Encuentro de Investigacin en IE, 13 14 de Marzo, 2008

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Resumen Se presenta una planta de levitacin magntica cuyo objetivo es sustentar en el aire una esfera de hierro logrando la anulacin de la fuerza gravitacional mediante la aplicacin de una fuerza magntica. La planta cuenta con un alto grado de estabilidad. Esto se obtiene automticamente mediante el sistema de control que gobierna la variacin de la corriente que fluye por la bobina, produciendo una fluctuacin del campo magntico capaz de atraer la esfera hasta el punto de equilibrio establecido por la posicin del arreglo foto-transmisor-receptor.

Abstract A plant of magnetic levitation which objective is to hold into the air an iron sphere to achieve nullification of gravitational force by applying a magnetic force is introduced. This plant presents a high degree of stability due to the operator system that controls the variations on the current that passes through the coil. This produces a fluctuation on the magnetic field that is able to attract the sphere to the point of equilibrium of to the phototransmitter-photoreceiver position.

Descriptores Controlador, Control Automtico, Levitador Magntico, Planta.

I. INTRODUCCIN L fenmeno de la levitacin magntica ha sido objeto de estudio en las ltimas dcadas, debido a

las bondades que ofrece, como lo es el alto grado de disminucin de la friccin especialmente en sistemas mecnicos, donde se tiene presente el mantenimiento

constante de partes debido al desgaste que presentan y al cambio continuo de aceites y aditivos empleados para disminuir tal efecto [1].

IIII.. DDEESSAARRRROOLLLLOO Primeramente se realizar una breve descripcin del principio de operacin de la planta de levitacin para determinar bajo qu esquema de control puede realizar la funcin, posteriormente se describe el modelo matemtico de control de la planta seguido de la estimacin del electroimn del inductor. A. Planta de levitacin Magntica

En esencia un levitador magntico est constituido por una planta de control automtico que realiza la funcin de comparar el valor de la corriente real a la salida de la planta con la referencia que tiene presente en la entrada siendo ste el valor deseado. Con estos dos valores estima el error, y como resultado efecta una accin de control cuya finalidad es disminuir el error lo ms prximo a cero.

La figura 1 ilustra a la planta de levitacin magntica constituida por circuitos analgicos. Como elementos de censado se tiene un arreglo foto-transmisor-receptor, donde la posicin horizontal determina la lnea imaginaria de la referencia que alimentar la entrada de seal de la planta. El controlador acta

Pal Javier Campos Hernndez, Leonardo Acho Zuppa, Andrs

Calvillo Tllez

Centro de Investigacion y Desarrollo de Tecnologa Digital -IPN

Sistemas de Control, Av. Del Parque 1310, Mesa de Otay, Tijuana B.C. CP-22510.

TEL: +(664)6231344, ext. 82837, correo-e: campos@citedi.mx,

Planta de Levitacin Magntica

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directamente sobre la corriente que circula por la bobina, manteniendo en permanente fluctuacin la intensidad del campo magntico el cual produce un efecto de imanacin sobre la esfera metlica logrando producir una fuerza magntica capaz de hacer levitar la esfera, para contrarrestar la fuerza gravitacional y lograr sustentar la levitacin. La atraccin de la esfera tiene como lmite de desplazamiento la referencia, por encima de ella se interrumpe el campo magntico y por debajo se mantiene en fluctuacin al campo magntico.

Figura 1. Planta de Levitacin magntica.

B. Modelo de control de la planta

El modelo que mejor describe la forma de gobernar la planta es a travs del control proporcional ms derivativo como lo ilustra la figura 2.

CONTROL

DETECTOR DE ERROR

PLANTA

ELEMENTO DE MEDIDA

ENTRADA DE REFERENCIA

SEAL DE ERROR

SEAL DE CONTROL

VARIABLE CONTROLADA

Figura 2. Diagrama a bloques del sistema de control.

C. Modelo Matemtico del control de la planta

El anlisis del principio de sustentacin de material ferromagntico esta gobernado por un sistema de control proporcional y derivativo como lo ilustra la figura 3.

El efecto de la accin del control derivativo es anticiparse a los cambios que pueden suceder en la seal de error para proporcionar una respuesta ms rpida a dichos cambios. La accin del controlador derivativo emite una seal de control proporcional a la velocidad de cambio del error. La seal de error lleva la informacin de qu tan distante se encuentra la esfera del punto de control, es tambin la diferencia de valores entre la seal de referencia y la de retroalimentacin. Esta diferencia es la nica informacin que utiliza el controlador para gobernar el proceso de levitacin.

Figura 3. Control proporcional y derivativo del levitador magntico

El controlador P + D se representa mediante la ecuacin 1.

( ) ( ) ( )p d d e tu t K e t k dt= + (1) donde:

e(t) = Error de Posicin Kp = Ganancia Proporcional Kd = Ganancia Derivativa

En el anlisis que modela la dinmica de levitacin de la esfera se considera la distancia de separacin x(t) de la parte inferior del electroimn a la esfera y al punto de equilibrio X(0) como la referencia de levitacin. La fuerza magntica f(x; t) que acta sobre la masa de la esfera se puede expresar por la segunda ley de Newton mostrada en la ecuacin 2.

( ) ( )2

2 ,d x t

m mg f t xdt

= (2)

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Para lograr generar la fuerza magntica requerida y de esta forma alcanzar la sustentacin de la esfera, se emplea una bobina con una inductancia L y al entrar en circulacin una corriente i, es capaz de generar un campo magntico determinado por la ecuacin 3.

( ) ( ) ( )2

,

2i t dL xf t x

dx= (3)

La inductancia de la bobina L(x) actuando sobre el material ferromagntico se determina por el nivel de inductancia sin material ferromagntico y el incremento de inductancia L(0) con el material ferromagntico, descrito por la siguiente ecuacin:

( ) (0) (0)L XL x LX

= + (4)

D. Planta de Levitacin Magntica

La planta de levitacin esta constituida por la seccin de potencia, la de censado, el solenoide y la estructura.

El sensor de posicin lo forma un arreglo foto transmisor-receptor el cual tiene la funcin de detectar el umbral de inhibicin del campo magntico, condicin a la que se llega cuando la esfera rebasa la lnea de referencia y alcanza la altura deseada.

La etapa de potencia la constituye el transistor MJE3055 que es capaz de manejar hasta 10Amperios. Dado que la bobina posee una resistencia en el conductor del orden de 5.6 ohmios, drena una corriente fluctuante alrededor de 1.85 Amperios y esta alimentado por una fuente de 12 Voltios de corriente directa. El arreglo se presenta en la figura 4.

Figura 4. Circuito de alimentacin de potencia del electroimn.

De la ley de voltaje considerando la corriente I que circula por el inductor, la resistencia R de la bobina y su inductancia L se tiene:

( )di tV IR Ldt

= + (5)

Y de la ley de Faraday del flujo magntico generado por un inductor con N espiras es:

( ) ( )d t dB tFem N NAdt dt

= = (6)

El campo magntico para un solenoide de longitud l se determina por:

NB il

= (7)

Por lo que la fuerza electromotriz del solenoide con un rea de apertura de las espiras A se tiene:

( )2 di tN AFeml dt

= (8)

De la definicin de inductancia L se asume que:

( )di tFem Ldt

= (9)

Relacionando a las dos ecuaciones anteriores se cumple con:

2 AL Nl

= (10) Para el caso de un inductor como el mostrado en la figura 5 se observa a un solenoide circular con un bobinado de varias capas de cobre con N nmero de espiras y un alma con permeabilidad relativa r de longitud l, dimetro de la apertura a y grueso del bobinado b, expresados en cm como a continuacin se expresa:

[ ][ ]

[ ] [ ] [ ]

2

20.315

6 9 10cm

rHycm cm cm

rL N

a b l=

+ + (11)

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a b

l

Figura 5. Inductor multicapa.

Para que el electroimn funcione adecuadamente es necesario igualar la fuerza de atraccin sobre la masa de la esfera con la fuerza magnetomotriz que provee la bobina, de esta forma con el dato del inductor y las dimensiones del carrete de arrollamiento se determin el nmero de vueltas del conductor. El inductor es una bobina de 4.4 milihenrios.

III. RESULTADOS Se logr una planta de levitacin magntica. Despus de realizar los clculos con las variables presentadas en la seccin anterior se obtuvieron los siguientes resultados. En la tabla 1 se presentan las dimensiones del electroimn elaborado para sustentar en el aire esferas con la masa descrita

TABLA I. MAGNITUD DE PARMETROS

Parmetro Magnitud

a b l L i V M

Calibre Imax

12mm 24mm 54mm 4.4mH 0.8A 12V 50g 22 1.2849A

Figura 6. Planta de Levitacin Magntica.

Figura 7. Controlador Proporcional mas Derivativo Izquierda y con PWM Derecha.

IV. CONCLUSIN Durante el desarrollo de la plataforma se requiri realizar algunos ajustes, para lograr desplazamientos muy finos y de esta forma evitar una atraccin brusca de la esfera o su precipitacin. Se logr una plataforma bastante ilustrativa y didctica capaz de

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demostrar fsicamente las teoras de control. En esta plataforma es posible probar los distintos tipos de controladores. Hasta este momento se ha realizado el diseo y pruebas a dos, uno mediante control proporcional ms derivativo, en el que se observ que se drena demasiada corriente a la bobina provocando con ello un incremento considerable de calor por lo que los experimentos no pueden durar activos mucho tiempo ya que se puede quemar la bobina. En este sentido consideramos incrementar el nmero de espiras de 600 a 1200.

Esto nos hizo reflexionar la situacin y probar con un nuevo controlador, esta vez empleando modulacin por amplitud del pulso, con el cual se logro disminuir la generacin de calor en la bobina y el tiempo de duracin del experimento se prolong. Con que la puerta est abierta, para desarrollar mas controladores que gobiernen la planta, pueden ser tanto analgicos, digitales, difusos o una combinacin, esto dar pie para posteriormente realizar una planta con otras dimensiones y hasta arreglos de electroimanes.

REFERENCIAS .

[1] Ying-Shing SHIAO, Desing and implementation of a controller for a magnetic levitation system, Proc. Natl. Sci. Counc, vol. 11, pp. 8894, 2001.

[2] Katsuhiko Ogata, Modern Control Engineering, Prentice Hall, 1997.

[3] Paul Horowitz & Winfield Hill, The Art of Electronics, Cambridge University Press 2nd edition, 1989.

[4] William M. Flanagan, Handbook of Transformer Design & Applications (2nd Edition), 2005

[5] Frederick W. Grover, Inductance Calculations: Working Formulas and Tables, Dover Phoenix Editions, 2004