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CALCULO APLICADO AL
DISEÑO YMANUFACTURA
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Índice
Unidad 1. Derivada. Aplicaciones mecánicasUnidad 2. Integrales. Aplicaciones mecánicasUnidad 3. Ecuaciones diferenciales.
Aplicaciones en la termodinámica y vibraciones.Unidad 4. onteo y probabilidades.Unidad !. Distribuci"n de probabilidadesdiscretas y continuas.
Unidad #. $odelamiento matemático.Unidad %. Introducci"n al $&todo de Elementos'initos.
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UNIDAD 1
DERIVADAS
APLICACIONESMECÁNICASálculo Aplicado al Dise(o y
$anufactura
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Índice
• Introducci"n• )b*etivos +enerales• )b*etivos espec,-cos1. a/"n de cambio2. $á0imos y m,nimosibliograf,a
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Introduccin !" #" unid"d$
• En la unidad 1 se estudian aplicaciones delas derivadas de una funci"n como la ra/"nde cambio o velocidad de variaci"n y la
determinaci"n de má0imos y m,nimoscomo cuando se desea encontrar los costosm,nimos para fabricar un componente o lacapacidad má0ima de un recipiente dada
una cantidad -*a de material.
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O%&eti'o( )ener"#e( !" #"unid"d$
• eleccionar formular desarrollar yutili/ar erramientas de matemáticaaplicada para soluciones de problemas
de tecnolog,a mecánica.• 'ormular y utili/ar derivadas e
integrales en la soluci"n de problemas
de tecnolog,a mecánica y de ingenier,a.
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O%&eti'o( e(*ec+,co( !" #"unid"d$
• Aplicar la derivada como erramientapara solucionar problemas mecánicos5ue impli5uen ra/"n de cambio.
• Aplicar la derivada como erramientapara solucionar problemas mecánicos5ue impli5uen determinar má0imos y
m,nimos.
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1- R".n de c"/%io-Cine/0tic"
$)6I$IE78) E8I9:7E)• ;)II7EA
t
x v
m∆
∆=
dt
dx
t
x v
lim0 Δt=
∆
∆=
→
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1- R".n de c"/%io-Cine/0tic"
• AE9EAI
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1- R".n de c"/%io-Cine/0tic"
• En el caso de aceleraci"n constante a ?@ son válidas las siguientes f"rmulas=
En donde=vo ? velocidad inicial.
v ? velocidad -nal.
a ? aceleraci"n constante.t ? tiempo.0 ? despla/amiento.
at vv
o
+=
axvvo
222 +=
2
2
1at tv x
o +=
tvv xo)(
2
1+=
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1- R".n de c"/%io-Cine/0tic"$)6I$IE78) A$)7I) I$;9EEs un movimiento rectil,neo en el 5ue laaceleraci"n es proporcional al despla/amientocon signo negativo=
9a siguiente funci"n satisface la relaci"nplanteada=
En donde=A ? Amplitud medida linealmente. ? frecuencia circular o angular constante enradiantes por segundo.t ? tiempo en segundo.
t A sen x ω =
x-k a2
=
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1- R".n de c"/%io-Cine/0tic"
• Entonces=t sen A x ω .=
t Cos Adt
dx
v ω ω ==
xt ASen
dt
xd a
22
2
2
ω ω ω −=−==
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E&e/*#o 1
Un punto ; se mueve a lo largo de unal,nea recta de acuerdo con la ecuaci"n=
en donde 0 está en metros y t en seg.Determinar el despla/amiento lavelocidad y la aceleraci"n cuando t?3
seg
524 3 ++= t t x
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E&e/*#o
Un punto se mueve a lo largo de unal,nea recta de modo 5ue sudespla/amiento es=
s ? Bt2 C 2t en donde s esta en m y t ens.epresentar el despla/amiento la
velocidad y la aceleraci"n en funci"n deltiempo.
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E&e/*#o - So#ucin
t ? Bt2 C 2t 6 ? 1#t C 2 a ? 1#
2 1#
2 3# 34 1#
! 21 B2 1#
1 B2 1#2 1#
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E&e/*#o -So#ucin
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E&e/*#o 2
Un tren var,a su velocidaduniformemente de # mF a 3 mF enuna distancia de ! m. Guál es su
aceleraci"nH
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E&e/*#o 3
9a aceleraci"n de un punto en unmovimiento rectil,neo viene dada por laecuaci"n=
a ? JB.
e sabe 5ue la velocidad v es cero y eldespla/amiento 0 es C2! cuando t esigual a cero. Determinar la ecuaci"n deldespla/amiento.
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E&e/*#o 4
Una part,cula se mueve sobre una l,nearecta ori/ontal con una aceleraci"n de
uando t?2s su despla/amiento ess?2%m y su velocidad v?2% mFs .alcular la velocidad y la aceleraci"n de
la part,cula cuando t?4s .
3.6 sa =
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E&e/*#o 4-Re(*ue(t"
s (cm)
7236
0
108
144
t (s)
3)1t(s +=
180
v (m/s)
36
18
0
54
72
t (s)
2
)1t(3v +=
90
a (m/s )
12
6
0
18
24
1 2 3 4 5t (s)
)1t(6a +=30
2
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E&e/*#o 5
En el mecanismo de vaiv&n o bielatriangular de la -gura la manivela )Aestá girando con una velocidad angularconstante radFs. Deducir la e0presi"ndel despla/amiento velocidad yaceleraci"n del elemento desli/ante.
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E&ercicio 1
Una partida tiene un movimiento en l,nearecta de con la ecuaci"n 0?t33t2!Kestando 0 en m y t en s . Guál es el
despla/amiento en el lapso en 5ue lavelocidad var,a de BmFs a 4mFs Hol= 0?1213!m
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E&ercicio
Un cuerpo se mueve a lo largo de unal,nea recta de modo 5ue sudespla/amiento medido desde un punto
-*o sobre dica l,nea viene dado pors?3t2C2t . Lallar el despla/amiento lavelocidad y la aceleraci"n al -nal de los
3s• ol= 33m 2mFs #mFs2
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E&ercicio 2
El movimiento de un part,cula estáde-nido por la relaci"n 0?t43t3C2t2B estando 0 en m y t en s .
Determinar la velocidad v y laaceleraci"n a cuando t?2sol= v? 4mFsK a? 1#mFs2
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E&ercicio 3
9a curva velocidadtiempo de un punto 5uese mueve sobre una l,nea recta estádibu*ada en la -gura. GMu& distancia recorre
el punto en 2s H
ol= 0?!.J m
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E&ercicio 4
El movimiento de una part,cula vienedado por la aceleraci"n a?t32t2C%estando a en mFs2 y t en s. 9a velocidad
es de 3!B mFs cuando t?1s y eldespla/amiento vale C33J m cuandot?1s.
alcular el despla/amiento la velocidad yla aceleraci"n cuando t?2s.• ol= 0?1!.J mK v?J.#% mFsK a?% mFs2
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6i%#io7r"8+"
• Nonson icard O1JJ%P ;robabilidad yestad,stica para ingenieros. $&0ico D.'.=;rentice Lall O!1J.2FN#%P
• ;areto 9uis O1JB!P 'ormulario demecánica. arcelona= EA .A.O#2.1F;2#'P
• ;in/"n Alvarado O1JJ3P. álculo Idiferencial. $&0ico D.'. = Larla .A.O!1!F;!JP