CalcIV

5/10/2018 CalcIV - slidepdf.com

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Facultad de Ingeniería UCV Cálculo I Práctica 4 CALCULO I: Práctica 4 con la calculadora ClassPad 330

Objetivos: En esta práctica aprenderemos a utilizar la Aplicación Principal y la Aplicación Gráficos & Tablas del Menú de Aplicaciones Incorporadas de la calculadora ClassPad 330 , para visualizar algunos aspectos relativos al concepto de función, el concepto de igualdad de funciones, el significado y las consecuencias que se obtienen al generar una nueva función, a partir de dos o más, mediante algunas operaciones

entre ellas, tales como: adición, sustracción, multiplicación, división y composición.

Requisitos: Antes de realizar esta práctica es imprescindible haber estudiado el Capítulo 1 del texto recomendado y haber realizado en su totalidad la Práctica 3 .

Observaciones: Es importante señalar al estudiante que debe realizar las actividades propuestas siguiendo cuidadosamente cada instrucción .

Para distinguir en esta práctica las instrucciones y actividades de la transmisión de información,

estás se destacarán con los iconos , , o una barra gris en el margen izquierdo. El primer icono o la barra gris dispuesta a lo largo de una secuencia de instrucciones numeradas, indicará al estudiante que se abre una sección donde únicamente podrá hacer uso de la calculadora y ejecutar las instrucciones propuestas, el segundo le indicara que se está planteando una situación problemática

dirigida o no y el último, que debe reportar por escrito la respuesta a la situación problemática formulada.

4.1 Presentación de la Aplicación Gráficos & Tablas. Gráficas dealgunas funciones reales de variable real de uso frecuente.

La Aplicación Gráficos & Tablas de la ClassPad 330, permite trazar una porción de la gráfica de una

función real de variable real definida por su regla de correspondencia )x(f y

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= .

Cuando se activa la Aplicación Gráficos & Tablas, aparece una ventana dividida en pantalla: laventana del editor de gráficos y la ventana de gráficos.

Figura 1

En esta ventana dividida encontrará, en la parte inferior, el cuadro de mensajes que puede mostrar laregla de correspondencia de una función, expresiones algebraicas y valores numéricos. En ocasionespuede ser utilizado para la edición y entrada de datos y parámetros.



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)x(f

La ventana del editor de gráficos está dividida en hojas. Las hojas se encuentran numeradas del 1 al 5 y cada una puede almacenar hasta 20 ecuaciones de curvas. De manera que se pueden almacenar hastaun máximo de 100 ecuaciones de curvas. También es posible trazar la gráfica de curvas en el planodescritas por sus ecuaciones paramétricas o en coordenadas polares.

Para representar la gráfica de una función definida por su regla de correspondencia y = , se

escribe primeramente, en la primera línea de edición de la ventana del editor de gráficos, la expresión

(el valor de f en x) y se confirma con [EXE], luego se realizan ajustes en la ventana de visualización

y finalmente se toca un botón para trazar su gráfica.

)x(f

En base al siguiente ejemplo, veamos algunas particularidades sobre el trazado de la gráfica deuna función real de variable real:

1. Trace la gráfica de la función cuya regla de correspondencia es .3x −x)x(f 2 −

2. Operación con la ClassPad.

(1) Extraiga el lápiz táctil de la ranura de resguardo.

(2) En el teclado plástico presione la tecla para encender la

calculadora o simplemente toque con el lápiz táctil la pantalla.

(3) En el panel de iconos toque el icono permanente para activar el menú de Aplicaciones Incorporadas.

(4) En el menú de Aplicaciones Incorporadas toque el iconopara activar directamente la Aplicación Graficos & Tablas.

(5) En barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar la Ventana del Editor de Gráficos.

• Antes de trazar la gráfica de nuestra función será necesariorealizar las siguientes tareas de configuración en el formato degráfico y en la ventana de visualización:

(6) En barra de menús toque el icono para acceder al menú delFormato de Aplicación. Al desplegarse el menú aparecen losmenús de opciones de configuración. Toque [Formato de gráfico].

• Configuraremos por defecto las opciones de la ventana degráficos:

(7) En la parte inferior del cuadro de diálogo Básico, toque [Defecto][Def.].

• Configuraremos también por defecto la ventana de visualización:

(8) En la barra de herramientas toque el botón para acceder a laVentana de Visualización. Toque [Defecto] [Acep.] (Figura 2).

(9) Presione la tecla para activar el teclado virtual.

(10) En la línea de edición y1: escriba el valor de la función en x, esto

es, escriba 3x2 − y toquex .

• Observe que el recuadro de verificación , en la línea de edición,

pasa al estado activado indicando que la función ha sidoalmacenada y preparada para el trazado de su gráfica.

(11) Toque para trazar la gráfica y toque para maximizar laventana de gráficos (Figura 3).

Figura 2

Figura 3



Facultad de Ingeniería UCV Cálculo I Práctica 4 Observación:

Debe tenerse presente que la gráfica trazada en pantalla, es en realidad una porción de la gráfica totalde la función (la que corresponde a los distintos valores que la misma toma en su dominio de definición). Laporción trazada en nuestro caso, es la que corresponde únicamente a los puntos de la gráfica que se

encuentran en el rectángulo [ ] [ ]8.8,8.87.7,7.7 − . Este rectángulo de visualización (ventana de

visualización) es el que definimos anteriormente por defecto. La ventana de visualización puede ampliarseo reducirse a conveniencia del usuario. Es necesario tener de antemano una idea del dominio de la funcióny de su recorrido para configurar una ventana que permita visualizar la porción de la gráfica que interesa.

También podemos trazar la gráfica de una función definida en un intervalo. El siguiente ejemploveremos cómo se realiza esto:

3. Trace la gráfica de la función cuya regla de correspondencia es para

.

3x −

3x ≤

x)x(f 2 −

1≤

(12) En la barra de herramientas toque el botón para activar el editor

de gráficos.(13) Active el teclado virtual.

(14) Ubique ahora el cursor en la línea de edición y1: al final de la

expresión editada 3x − .x2

(15) En el teclado [mth] toque el botón y seguidamente toque el

botón (comando “whit”).

(16) Oprima y seguidamente toque la secuencia de botones

y confirme tocando .

• En este momento tenemos almacenada la función en el intervalodado.

(17) Toque el botón para trazar la gráfica.

• Aparece la gráfica de la función en el intervalo dado.

(18) Toque para maximizar la ventana de gráficos.Figura 4

Podemos trazar más de una gráfica en un mismo sistema de coordenadas como en el siguienteejemplo:

4. Trace en un mismo sistema coordenado las gráficas de las siguientes curvas:

a) (Función cuadrática)1x2 +xy 2 −

b)


x

1x2 +

y (Función raíz cuadrada)

c) (Función polinómica de grado 3)5xy 3 +

(19) En la barra de herramientas toque el botón para activar el editor de gráficos.

(20) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el editor de gráficos.

(21) Oprima para activar el teclado virtual.



Facultad de Ingeniería UCV Cálculo I Práctica 4 (22) Toque la solapa para activar el teclado de plantillas.

(23) En la línea de edición y1: edite la expresión 1x2x2 + y toque

.

• Para distinguir la gráfica de una curva dada de la gráfica de otra,será necesario realizar el trazado de cada una con distintos tiposde línea, como veremos enseguida:

(24) En la línea de edición y2: edite la expresión x .

• Observe que al editar la función en la línea y2: aparece al lado laseñal que indica el tipo de línea con que aparecerá lagráfica de la segunda función. Esta línea podemos cambiarla dela siguiente manera:

(25) Toque la señal al lado de la expresión.

(26) En el cuadro de diálogo toque [Grues] [Acep.] para elegir el estilo

de línea grueso. Toque ahora .

(27) En la línea de entrada y3: edite la expresión 1x5 2 + .x3

(28) Toque la señal al lado de la expresión.

(29) En el cuadro de diálogo toque [Cuadrados] [Acep.]. Toquefinalmente .

• Para poder apreciar buena parte de las gráficas, configuremos lossiguientes parámetros de la ventana de visualización:

(30) En la barra de herramientas toque el botón .

(31) En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros:


8:xMín − 8:x 1:xescala

1:y

; máx ;

3:y −Mín ; máx ;21:y escala

• Con estos parámetros visualizaremos las gráficas en el

rectángulo ]21,3 . Los demás parámetros se

configuran automáticamente.

[ ] [8,8 −

(32) Toque [Acep.].

(33) Toque y luego toque para maximizar la pantalla.

• Aparecen una porción de las gráficas de las tres funciones.

Figura 5

Figura 6

Figura 7

La Classpad dispone de una librería de funciones. Se puede acceder a las más usuales como: valor absoluto, trigonométricas, potenciales, exponenciales, etc., tocando botones que las rotulan en el tecladovirtual; pero en general se puede acceder a todas las funciones de librería desde un catálogo disponible enel teclado virtual [cat].

5. Trace la gráfica de cada una de las siguientes funciones definidas por las ecuaciones:

a) xy = (Función valor absoluto).

b) [ ]xy = (Función mayor entero menor o igual a x).

c) (Función signo de x, para x no nulo).)x(signumy =

d) [ ]xxy − (Función mantisa).

Trazado de la gráfica de la función valor absoluto:



Facultad de Ingeniería UCV Cálculo I Práctica 4 (34) En la barra de herramientas toque el botón para activar el

editor de gráficos.



• Trazaremos la gráfica de la función valor absoluto:

(37) En la línea de edición y1:, con el teclado de plantillas 2D activado,

toque y luego toque .

• Hemos almacenado la función valor absoluto.

(38) Toque para activar la ventana de visualización.

(39) En el cuadro de diálogo toque en secuencia [Memoria] [Inicial][Acep.].

• En la ventana inicial visualizaremos la porción de la gráfica en el

rectángulo ]8.3,8.3 en la ventana dividida.


[ ] [7.7,7.7 −

Figura 8


• Se observa la gráfica típica de la función valor absoluto en la ventana de visualización por defecto.

6. ¿Cuál es la regla de correspondencia de la función valor absoluto?, ¿cuáles son su dominionatural y su recorrido?

Trazado de la gráfica de la función mayor entero menor o igual a x:

(41) Toque el botón para activar el editor de gráficos.



• Trazaremos ahora la gráfica de la función mayor entero menor o igual a x:

(44) Toque la solapa para acceder al catálogo de funciones ycomandos de la ClassPad.

• Observe que en este teclado, a la derecha, aparece el listadodeslizable con todas las funciones y comandos de la ClassPad.En el lado izquierdo aparece el menú desplegable [Forma].

(45) Toque el botón para desplegar el menú [Forma].

(46) En el menú desplegado toque [Func] para mostrar en el listado lasfunciones de librería de la ClassPad (Figura 9).

(47) En la parte inferior toque el botón para listar las funciones cuya

inicial es la letra rotulada por el botón.

(48) Con el cursor en la línea de edición y1: toque [Intg(] y luego

toque .

• La función queda incorporada en el editor de gráficos (Figura 10).

(49) Toque seguidamente la secuencia y luego toque .

• Con esto la función ha quedado almacenada.

Figura 9

Figura 10



Facultad de Ingeniería UCV Cálculo I Práctica 4 (50) Toque y luego toque para maximizar la pantalla.

• Tenemos trazada la gráfica de la función en la ventana por defecto.

Observación:

En pantalla se aprecia el aspecto escalonado de la gráfica de esta función. En cada entero, la gráfica

presenta “saltos” produciendo un escalón. Al realizar el trazado de una función escalonada, por lo general,el software graficador de la ClassPad realiza un trazado “continuo” deficiente. Este trazado lo realizacalculando numéricamente un número determinado de puntos del gráfico de la función, que luego une por medio de una poligonal, dejando segmentos verticales en los puntos de salto. Como sabemos este trazadoes deficiente, dado que los segmentos verticales no representan la gráfica de una función. Sin embargo, lospuntos que conforman los segmentos verticales no son considerados por la calculadora como veremos acontinuación:

(51) En la barra de menús toque [Análisis] [Trazo].

• Aparece un cursor titilante en forma de cruz sobre la gráfica dela función.

• En la parte inferior de la ventana aparecen las coordenadas del

punto donde se posiciona el cursor en la gráfica.

(52) Oprima varias veces la tecla direccional elíptica del teclado de la

calculadora en las direcciones y para deslizar el cursor sobre el gráfico.

(53) Deslice el cursor pasando por los puntos de abscisa entera.

• Observara que al pasar por estos puntos, se obtieneinmediatamente un salto y el cursor no registra los puntos delsegmento vertical.

(54) Toque y oprima dos veces la tecla para realizar unacercamiento.

(55) Toque [Análisis] [Trazo]. Figura 11

(56) Deslice nuevamente el cursor sobre cada punto de abscisa entera y observe los saltos.

(57) Al terminar toque .

7. Si x es un número real, entonces existe un entero n tal que 1nxn + . Muestre que:

a) [ ] nx .

b) Si k es un entero, entonces [ ] [ ] kxkx +


.



Facultad de Ingeniería UCV Cálculo I Práctica 4 Trazado de la gráfica de la función signo de x con x no nulo:

(58) Toque el botón .

(59) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.].

(60) Oprima .

(61) Toque la solapa para acceder al catálogo de funciones ycomandos de la ClassPad.

(62) En el listado alfabético que se encuentra en la parte inferior, toque el

botón .

(63) Toque el botón y en el listado seleccione la función [signum(].

(64) Con el cursor en la línea de edición y1:, toque ..

(65) Oprima .

(66) Toque para activar la ventana de visualización.

(67) En el cuadro de diálogo toque [Memoria] [Inicial] [Acep.].


Figura 12

(69) Active la función de trazo tocando [Análisis] [Trazo].

(70) Deslice el cursor sobre la gráfica de la función.

(71) Ubique el cursor sobre el origen y observe el valor asignado a la función en este punto.

(72) Toque .

8. De acuerdo a lo observado anteriormente, ¿cuál es la regla de correspondencia de estafunción?, ¿cuáles son su dominio y recorrido?

9. Trace la gráfica de la función mantisa en la ventana [Inicial]. Active la función [Trazo] y desliceel cursor sobre los puntos de abscisa entera. Indique cuáles son su dominio y recorrido.

En la ClassPad, el usuario puede definir sus propias funciones e incorporarlas a la librería de

funciones. A modo de ejemplo, supongamos que queremos definir una función que llamaremos funciónescalón unitario y cuya regla de correspondencia viene dada por:

⎩=

si1

si0))x(signum1(

2

1)x(u


>

<

0x

0x

Esta función podemos almacenarla eventualmente como función de usuario y disponer de ella encualquier momento.

Para almacenar esta función y tenerla disponible para su uso, se procede de la siguientemanera:



Facultad de Ingeniería UCV Cálculo I Práctica 4 (73) Toque en el panel de íconos para acceder directamente a la

Aplicación Principal.

(74) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.].

(75) Toque [Acción] [Comando►] [Define].

(76) Oprima y toque la lengüeta para activar el teclado

alfabético.• Registremos ahora la regla de correspondencia de la función

escalón unitario:

(77) Toque la secuencia de botones y teclas:

(Figura 13).

• De esta manera queda guardad la función escalón unitario.

• Como habrá observado, para registrar funciones de usuarionecesariamente debe hacerse uso del teclado virtual alfabético y el teclado plástico de la ClassPad.

(78) Toque .

(79) Limpie el editor de gráficos y active el teclado virtual alfabético.

(80) Escriba en la primera línea de edición )x(u y toque [Ejec].

(81) Trace la gráfica de la función tocando .

Figura 13

Figura 14

4.2 Igualdad de funciones.

Dos funciones f y g son iguales cuando al superponer sus gráficas, éstas resultan congruentes, esdecir, sus gráficas coinciden en todos sus puntos. Esta definición se traduce en términos operativos en lasiguiente:

Dos funciones f y g son iguales si y sólo si, DgDomf Dom = y )x(g)x(f = para cada Dx∈ .

De manera que si dos funciones f y g tienen el mismo dominio D y la igualdad es una

identidad para todos los valores de x en el dominio común D, entonces sus gráficas deben coincidir entodos sus puntos y recíprocamente.

)x(g)x(f

10. Establezca analíticamente la igualdad de las siguientes funciones:

y , donde u es la función escalón unitario definida

anteriormente.

⎪

⎪⎨⎧

−

+=

si1x

six2x)x(f

2


>

<

2x

2x

)2x −(u)1xx(x2x)x(g 22 ⋅




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Trazado de la gráficas de las dos funciones:

Para trazar la gráfica de una función a trozos se edita primeramente, línea a línea, la regla decorrespondencia de cada trozo de la función restringida a su intervalo correspondiente de definición.

(82) Active la ventana del editor de gráficos y borre la funciónalmacenada. Active el teclado virtual [mth].

(83) En la línea de edición y1:, escriba la expresión x2x2 + . Toque

.

(84) En la línea de edición y2:, escriba la expresión 1x − y toque

..

(85) Elija la ventana de visualización [Inicial].

(86) Trace la gráfica de f y maximice la ventana de gráficos.

(87) Active la función [Trazo] de la ventana de gráficos.

• Observara que el cuadro de mensajes, ubicado en la parteinferior de la ventana, presenta la regla de correspondencia delprimer trozo de la función en el intervalo indicado.

(88) Deslice el cursor hasta el final del primer trozo y oprima la tecla

direccional elíptica hacia abajo . Figura 15

• Observará que el cursor salta al siguiente trozo. Esto se evidencia en el cuadro de mensajes.

(89) Al terminar desactive la función [Trazo].

11. ¿Está definida la función f en x = 2?

(90) Toque el botón .

(91) Active el teclado virtual [abc].

(92) En la línea de edición y3:, toque la secuencia de botones y teclas

.

• Para trazar la gráfica de g usemos otro estilo de línea.

(93) Toque en la línea de edición y3: la señal .

(94) En el cuadro de diálogo toque [Grues] [Acep.].

(95) Toque [Ejec].

(96) Toque para trazar las gráficas de f y g.

(97) Maximice la ventana de gráficos.

• Observe que las gráficas coinciden.

(98) Active la función [trazo] y observe lo que pasa en el punto de salto

en cada una de las gráficas de f y g. Toque repetidamente .


Figura 16

12. indique ¿qué observa al usar la función [trazo] en el punto x = 2, en cada una de las gráficasde f y g?



Facultad de Ingeniería UCV Cálculo I Práctica 4 13. A continuación se proponen 4 posibles identidades en la variable x. En cada caso:

• Defina el primer miembro como la función f y el segundo como la función g.

• Realice posteriormente el trazado de las gráficas de f y g con tipos de línea distintos.Utilice la ventana [Inicial] para realizar el trazado de las gráficas.

• Establezca como conclusión si la identidad propuesta es verdadera o falsa.

a) x2 =x

b) [ ] [ ] 3x3x +

222 3x)3x −

c) (

d) 5x

5x=

14. Conclusión: a) b) c) d)

4.3 Operaciones aritméticas con funciones.

Con dos funciones f y g podemos construir una nueva función mediante las operaciones aritméticasde adición, sustracción, multiplicación y división. En cada caso, la nueva función es respectivamente,

(suma), (diferencia), (producto) y


gf + gf − gf ⋅g

f (cociente).

La regla de correspondencia de la nueva función y su dominio vienen dadas por:

)x(g)x(f )x)(gf ( + ; gDomf Dom)gf (Dom I

)x(g)x(f )x)(gf ( − ; gDomf Dom)gf (Dom I

)x(g)x(f )x)(gf ( ⋅ ; gDomf Dom)gf (Dom I

)x(g

)x(f )x(

g

f =

⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛; { }0)x(g:x)gDomf Dom(

g

f =

⎟⎠

⎞

⎜⎝

⎛IDom

Con el fin de construir y examinar nuevas funciones, a partir de dos funciones f y g dadas, convienedefinirlas como funciones de usuario y trazar sus gráficas junto con la gráfica de la nueva función.

Por ejemplo, tomemos las funciones irracionales 2x4 − y)x(f = x)x( = .g

15. Establezca analíticamente:

• =f Dom =gDom

• =)x)(g f ( =)gf (Dom

• =)x)(g f ( =)gf (Dom

• =)x)(gf ( =)gf (Dom

• =⎟⎜ )x(g

f

⎠=⎜

f Dom ⎟

⎠

⎞

⎝ g



Facultad de Ingeniería UCV Cálculo I Práctica 4 Para corroborar los cálculos obtenidos analíticamente de los dominios de las funciones f, g,

gf + , gf − , gf ⋅ y g /f , trazaremos en cada caso, las gráficas de las funciones f, g y de la nueva

función.


(100) Toque para acceder a la Aplicación Principal.

• Definiremos primeramente las funciones f y g:




(104) Toque ahora la siguiente secuencia de teclas y botones:

.


(106) Toque seguidamente la siguiente secuencia de teclas y botones:

.

(107) Toque .

(108) Limpie la ventana del editor de gráficos.

(109) Active el teclado [abc].

(110) En la primera línea de edición escriba )x(f y toque [Ejec].

(111) En la segunda línea de edición escriba )x(g . Toque y elija

[Grues]. Toque [Acep] [Ejec].

(112) En la tercera línea de edición escriba )x(g)x(f + . Toque y

elija [Cuadrados]. Toque [Acep] [Ejec].(113) Configure la ventana de visualización con los siguientes parámetros:

3:xMín − x 1:x

1:yMín − 6:y 1:yescala

; máx ;3: escala

; máx ;

(114) Trace las gráficas de las tres funciones y maximice la ventana degráficos.

(115) Active la función [trazo] y corrobore el cálculo de los dominios de f,

g y gf + .

Figura 17

Figura 18

Figura 19

De manera análoga, trace los casos para gf − , gf ⋅ y g /f . Cambie en la tercera línea deedición, en el editor de gráficos, únicamente los signos de operación, almacene la función yrealice el trazado.





Consideremos a F(D) como el conjunto de todas las funciones reales de variable real definidas enun dominio común D. Al igual que en el caso de adición y multiplicación de números reales, sepueden establecer las siguientes propiedades análogas:

A1. Si , entonces (F es cerrado con respecto a la adición).Fg, ∈ Fg∈

Fh,g, ∈ )hg(f h)gf

f

f

f +

A2. Si , entonces ( = + +

F

F O

Fg,f ∈ Fg∈

Fh,g, ∈ )hg(f h)gf

(la adición es asociativa).

A3. Si , entonces (la adición es conmutativa).g,f f ggf +

A4. Si , entonces (la función constante cero es el neutro aditivo en F).f Of =

M1. Si , entonces (F es cerrado con respecto a la multiplicación).f

M2. Si , entonces (f ⋅ ⋅

F

F

F

Fh,g,f ∈ )hf gf )hg(

(la multiplicación es asociativa).

M3. Si , entonces (la multiplicación es conmutativa).g,f

f ∈

f ggf ⋅

11f =M4. Si , entonces (la función constante uno es la unidad multiplicativa F).

M5. Dada f no necesariamente tiene inversa multiplicativa en F.

M6. Si , entonces f = ⋅ + ⋅


+ (la multiplicación es distributiva respecto a la

adición en F).

17. Responda a cada una de las siguientes interrogantes:

a) ¿Por qué el dominio de la adición de dos funciones es la intersección de los dominios de lasfunciones sumandos?

b) ¿Por qué el dominio de la división de dos funciones es la intersección de los dominios delnumerador y el denominador, con la excepción de las abscisas en las cuales el denominador se anula?

c) ¿Por qué se acostumbra a decir que “la gráfica de la adición (sustracción, multiplicación y

división)” de dos funciones se obtiene “sumando (restando, multiplicando, dividiendo)ordenada a ordenada”?



Facultad de Ingeniería UCV Cálculo I Práctica 4 18. En el siguiente problema se da las gráficas de las funciones 6x +)x(f − y )4x −

[ ]6,0

(x2

1)x(g =

definidas ambas en el intervalo . En cada figura, divida el intervalo en 12 partes iguales y

realice:

a) La suma de f y g, sumando ordenada a ordenada y trace un boque de su gráfica.

b) La diferencia de f y g, restando ordenada a ordenada y trace un bosquejo de su gráfica.

Figura 20 Figura 21

)x)(gf ( =)x)(gf ( c) En la ClassPad los trazados de las gráficas de las funciones respectivas para corroborar los

bosquejos obtenidos en a) y b).

19. En cada uno de los siguientes casos, encuentre para la función que modela la situaciónplanteada, el dominio real y su respectivo recorrido. Verifique posteriormente sus resultadostrazando la gráfica de la función:

a) En un experimento psicológico sobre información visual, un sujeto observó brevemente unarreglo de letras, después se le pidió recordar tantas letras del arreglo como le fuese posible.El procedimiento se repitió varias veces. Suponga que “y” denota el número promedio de

letras recordadas de arreglos con “x” letras. Se sabe que los datos recolectados se ajustan ala gráfica de la función:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

<

≤

=

x5si5.4

4si2x2

1x0six

y


≤

≤

≤

12

5x

4

b) Un lago puede dar cabida a un máximo de 14 000 peces. El índice de crecimiento “y” de lapoblación de peces es igual al producto del número de peces presentes “x” y la diferenciaentre 14 000 y el número peces presentes. Encuentre a “y” en función de “x”.



Facultad de Ingeniería UCV Cálculo I Práctica 4 4.4 Composición de funciones.

Otra manera de construir una función a partir de dos funciones f y g, es realizando la operación de

composición entre ellas. La nueva función se denota por . La composición de funciones es la

construcción de un proceso que se obtiene como resultado de encadenar dos o más procesos, como por ejemplo, si tenemos una naranja, por medio del proceso de exprimido se obtiene jugo de naranja; una vezobtenido el jugo, se aplica un segundo proceso que consiste en envasarlo. El efecto total de lacomposición de estos dos procesos, puede mirarse como un solo proceso que consiste en tener unanaranja y por medio de él obtener jugo de naranja envasado.

gf o

)x(f )x(f

)x(g

)x(

gf o ))x(g(

gf o

))x(g(

La regla de correspondencia de una función definida por la ecuación , puede mirarse

como los pasos a seguir para obtener un número y a partir del número x, es decir, la regla decorrespondencia representa el desarrollo de un proceso algebraico. En el caso de la composición de dosfunciones f y g, la cadena de procesos algebraicos consiste en lo siguiente: se tiene un número x (naranja)

y sobre éste se aplica el primer proceso algebraico (función g) para obtener el resultado ( jugo de

naranja)). Una vez obtenido el resultado g , sobre él se aplica el segundo proceso (función f ) para

obtener el resultado final ( jugo de naranja envasado). Si miramos la situación en términos del

resultado final y no de los procesos involucrados, pensaremos que tenemos el número x y por medio de un

solo proceso algebraico (función ) se obtiene el resultado f .

y

))x(g(f

En el diagrama de la Figura 22 se presenta laconstrucción de la regla de correspondencia de la función

composición a partir de las reglas de correspondencia de

las funciones f y g, esto es, .f )x)(gf ( =o

Figura 22

Sin embargo, la función no siempre es factible de ser construida a partir de funciones arbitrarias f

y g. Existe una condición para su existencia, el siguiente diagrama pone de manifiesto esa condición:

gf o

Figura 23

Observemos ahora los procesos involucrados y no el resultado final: para hallar la imagen de un

número x mediante , primeramente x debe ser un elemento del dominio de la primera función que se

aplica, esto es, . Por otra parte, al obtener , este elemento debe estar en el dominio de la

segunda función que se aplica ( ), pues en caso contrario, no podemos obtener .Luego, una condición suficiente para la existencia de la función , es que

gf o

gDom )x(g

f Dom ))x(g(gf o

x∈

)x(g ∈ f φgRanf Dom I

gf o

como se

observa en el diagrama de la Figura 23. Por otra parte, observe que el dominio de coincidirá con el

dominio de g si y sólo si . Pero si Ranf DomgRan ⊂ f Domg ⊄ con , entonces de

manera estricta Dom . En cualquier caso,

φgRanf Dom I

gDom)gf ( o { }f Dom)x(g:gDomx ∈)gf (Dom ∈o .

Las condiciones y plantean por lo general dos inecuaciones. La intersección

de los conjuntos de soluciones de estas inecuaciones es justamente el dominio de .

gDom )x(g ∈x∈ f


Dom

gf o



Facultad de Ingeniería UCV Cálculo I Práctica 4 20. Considere las funciones cuyas reglas de correspondencia son:

1x +)x(f = y 2x)x(g −

a) Encuentre analíticamente los conjuntos: f Dom , gDom , f Ran y gRan . Verifique sus

resultados trazando en la ClassPad las gráficas de f y g.

b) Muestre que gf o existe y determine su regla de correspondencia.

c) Encuentre analíticamente )gf (Dom o y )gf (Ran o . Verifique sus resultados trazando en la

ClassPad la gráfica de gf o .

Solución a la situación problemática planteada en a):

Dado que [ [x 0x ≥ = + ∞es un número real únicamente para , se deduce que ,0f Dom

[

y

. Por otro lado, para cualquier valor b , tenemos que+,0gDom 0 bb =b2 =

[ [,2g

, lo que indica que

y Ran .[,1f Ran



• Definiremos primeramente las funciones f y g:




(120) Toque ahora la siguiente secuencia de teclas y botones:

.


(122) De manera análoga defina la función 2xg − .)x(

(123) Toque .

(124) Limpie la ventana del editor de gráficos.


(126) En la primera línea de edición escriba )x(f y toque [Ejec].

(127) En la segunda línea de edición escriba )x(g . Toque y elija

[Grues]. Toque [Acep] [Ejec].

(128) Configure la ventana de visualización con los siguientes parámetros:


1:xMín − :xmáx :x

3:yMín − 4:y 1:yescala

; ; escala6 1

; máx ;

(129) Trace las gráficas de las tres funciones y maximice la ventana degráficos.

(130) Active la función [trazo] y corrobore el cálculo de los dominios yrangos de f y g.


Figura 24

Figura 25



Facultad de Ingeniería UCV Cálculo I Práctica 4 Solución a la situación problemática planteada en b):

Dado que [ [ [ [ [ [ ≠ φ,0,2,0gRanf Dom II , la función existe y su regla de

correspondencia viene dada por

gf o

12x)2x(f ))x(g(f )x)(gf +o( .

Esto lo podemos corroborar en la Aplicación Principal:


(133) Con el teclado [abc] activado, escriba ))x(g(f y toque .

• Se obtiene la regla de correspondencia de la composición de f con g:

12 +x)x)(gf ( =o .

Figura 26

Para hallar el dominio de tengamos presente quegf o { }f Dom)x(g:gDomx)gf (Dom ∈o

0 f Dom)x(g

. La

condición es equivalente a la inecuación x y la condicióngDomx∈ ∈ es equivalente a la

inecuación 02 ≥x − . Luego { }02 ≥xygf Dom −o

[,4

0x:x ≥ , el conjunto solución del sistema de

inecuaciones es el intervalo [ , de manera que [ [,4)gf o(Dom . Dado que en este intervalo la

variable x puede tomar valores desde 4 hasta +∞ se deduce que [ [,1)gf (Ran o .

(134) Active el teclado virtual [mth] y toque .

(135) En la línea de entrada escriba la inecuación 0x ≥ .

(136) Toque [Acción] [Ecuación/Desigualdad►] [and].

(137) Seguidamente escriba la inecuación 02x ≥ y toque .

• Se obtiene que [ [,4Dom .)gf ( o

• Tracemos la gráfica de gf o .

(138) Toque .


(140) En la tercera línea de edición escriba ))x(g(f . Toque y elija

[Cuadrados]. Toque [Acep] [Ejec].

(141) Toque y luego toque para maximizar la pantalla. Figura 27

(142) Active la función [trazo] y corrobore que [ [,4 y [ [,1 .)gf (Dom o )gf (Ran o

Observación:

La operación de composición de funciones tiene las siguientes propiedades:

C1. (la composición de funciones es asociativa).)hg( o

f If f

f h)gf ( ooo =

C2. La composición de funciones no necesariamente es conmutativa.

C3. Si I denota la función identidad I = =


oo

)hg()hf (h)gf ( ooo +

.

C4. (la composición de funciones es distributiva por la derecha respecto

a la adición de funciones).




Prof. Robinson Arcos a

)hg( o

Departamento Matemática Aplicad17

C5. (la composición de funciones es distributiva por la derecha respecto a

la multiplicación de funciones).

)hf (h)gf ( oo ⋅

22. Considere las funciones cuyas reglas de correspondencia son:

3x)x(f + 1x)x(g 2 −y

a) Encuentre analíticamente los conjuntos: f Dom , gDom , f Ran y gRan . Verifique susresultados trazando las gráficas de f y g.

b) Muestre que f g o existe y determine su regla de correspondencia.

c) Encuentre analíticamente )f g(Dom o y )f g(Ran o . Verifique sus resultados trazando la

gráfica de f g o .

23. Considere las siguientes funciones:

8

x)x(f

2

= 6x2con ≤ y 5xx

)x(2

+ 6x2 ≤4

g con ≤

a) Configure en la ventana de visualización los siguientes parámetros:

3:xMín − ; ;7:xmáx 1:xescala4:yMín − ; ; escala10:ymáx 1:y

b) Trace la gráfica de las funciones f y g en el intervalo [ ]6,2 y determine gráficamente f Ran

y gRan .

c) Muestre que gf o existe y determine su regla de correspondencia.

d) Encuentre analíticamente )gf (Dom o .

e) Trace la gráfica de gf o y determine gráficamente )gf (Ran o .

f) En las siguientes figuras se presentan las gráficas de f, g, gf o y de la recta de ecuación

xy = en el intervalo [ ]6,2 . Para obtener un bosquejo de la gráfica de gf o , a partir de las

gráficas de f y g, se sigue el diagrama de flechas presentado en la figura 28 en cada punto[ ]6,2 . El diagrama permite encontrar geométricamente el punto ))x)(gf (( o de la

gráfica de gf o . Interprete este diagrama y en la Figura 29, encuentre en cada entero del

intervalo los puntos correspondientes de la gráfica de gf o y trace con ellos un bosquejo de

dicha gráfica.

x ,x

Figura 28 Figura 29



Facultad de Ingeniería UCV Cálculo I Práctica 4 24. Sea f y g dos funciones tales que y encuentre6x + 9x)x)(gf ( 2 +o5 20x + )x(g .

x)x(f 2 +

25. Sea f y g dos funciones tales que x2 y 1)x)(gf ( −ocos1)x(g + xsen2 e )x(f .encuentr

26. Sea f, g y h tres funciones cuyas reglas de correspondencia vienen dadas por x ,

=

a) Regla pon

)x(f

xlng y 1x)x(h + . Encuentre para hgf oo su:

de corres dencia.

)x(

b) Dominio.

c) Recorrido.

27. Construya dos funciones f y g para corroborar que no sie pre gf o f g o .m es igual

4.5 La función inversa.

Como se comentó anteriormente, la regla de correspondencia de una fun rse como el

desa

ción puede mira

rrollo de un proceso algebraico. Por ejemplo, si tenemos la función definida por 1x)x(f y 3 − , su

regla de correspondencia nos indica cuál es el proceso de desarrollo algebraico que d obre

un número x para obtener el número

ebe ejecutarse s

y . Justamente, la expresión 1x)x(f 3 − nos indica los pasos

que deben seguirse para obtener y a partir de x . Estos pasos podemos e tizarlos de la siguiente

manera:

squema

} } }

y1 =

l algoritmo llevado a cabo es el siguiente:

Paso 1: tome x y elévelo al cubo.

• Paso 2: al núm en el paso anterior,

1x3 − )

• Paso 3: al n o en el paso anterior,

x1xxx 33

32

31

−

E

• el número

(Se obtiene 3x )

ero obtenidoréstele una unidad.

(Se obtiene

úmero obtenidextráigale la raíz cuadrada.

(Se obtiene finalmente, y1 = ).x

3

Figura 30

Tanto atem a, son im s los proce os. En determinados

soft

en la vida real, como en áticla m portante sos invers

wares encontramos los botones [Deshacer] y [Rehacer], que al ser activadosalternativamente, uno deshace el proceso (co ando o acción) re o por el otro.

Cabe formularnos la siguiente pregunta: ¿cuál es el proceso algebraico que


m alizad

debe llevarse a cabopar

: ¿Existe tal proceso inverso?; y deexis

a deshacer el proceso algebraico realizado por la función f?

Esta pregunta conduce inevitablemente a otras preguntas comotir, ¿cuál es el procedimiento algebraico que debe seguirse para obtenerlo?




Prof. Robinson Arcos ento Matemática Aplicada 19

proceso y desde elpun

ues la mayoría delas

caso de nuestra función f , ver

el p

Departam

En realidad no siempre existe un proceso que deshaga de manera única a otroto de vista algebraico, los algoritmos para encontrar el proceso inverso son aquellos que se derivan de

los escasos procedimientos que existen para despejar x en términos de y en la ecuación )x(f y = .

Además existen maneras inimaginables de construir una regla de correspondencia, pfunciones importantes en matemática presentan reglas de correspondencia que no se construyen por

medio de una expresión algebraica como las trigonométricas y logarítmicas.

Por otra parte, en muy contadas ocasiones resulta evidente, como en el

roceso inverso que deshace el proceso que una función realiza. Si queremos deshacer el procesorealizado por f , basta deshacer uno a uno los pasos ejecutados por f , pero en orden inverso:

Paso 1: deshacer el paso 3 realizado por f , esto es, tomar elnúmero y y elevarlo al cuadrado.

(Se obtiene y2 1x3 − ).

Paso 2: deshacer alizado por ecir, sumar al

Paso 3: deshacer alizado po , es decir, extraer

el paso 2 re f , es dresultado obtenido en el paso anterior una unidad.

(Se obtiene 32 x1y = ).

el paso 1 re r f la raíz cúbica al número obtenido en el paso anterior.

(Se obtiene por último, x1y3 2 = ).

Los pasos e la de corre dencia de

{

squematizados de la reg sponla función que hemos construido son:

{ {

x12

1

= y1yyy 322 →32

De lo anterior podemos afirmar que existe un proceso inverso qu realizado por f .

Est

Figura 31

e deshace el proceso

a nueva función se denota por 1f − , de manera que 3 21 1y)y(f x +− y se llama la función inversa

de f .

En esta discusión nos hemos preocupado por la obtención algebraica de 1f − a partir de f , pero no

hem

número y hacia el núme

g tes propiedades

• )x(Ix)y(f ))x(f (f A11 =−

la función identida al

os tomado en cuenta en dónde está definida la función inversa 1f − . Al aplicar f a x tenemos que

f Domx∈ y f Rany∈ . Si f lleva el número x hacia el número y, entonces por construcción, 1f − lleva el

ro x. Se deduce entonces que f Ranf Dom 1 = y f Domf Ran 1 = .

Por otra parte, Si f DomA = y f RanB = entonces uien :tenemos las si

Donde AI es d restringida

conjunto A.

• )y(Iy)x(f ))yf B

Donde n identida

Figura 32

(f ( 1

BI es la funció d restringida al

conjunto .B

Figura 33




• De lo anterior se deduce la siguiente equivalencia de las ecuaciones:

) xy(1f x)x(f y = para f Dom y f Rany∈ .

• La notación 1f − no debe confundirse con la funciónf

1. La primera, es la función inversa de f en el

sentido de que A1 If f = y B

1 If f =o . La segunda es el inverso multiplicativo de f cuya regla

de correspondencia es

− o

)x(f

1)x = y satisface(

f

1⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛1f

f

1=

⎠

⎞⎜ para x tal que 0)x(f ≠ .

f

1

⎝⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅f

• El problema de encontrar analíticamente la regla de correspondencia de 1f − , consiste en resolver la

ecuación )x(f y = para f Dom en términos de y. Esta ecuación debe tener solución única, de

lo contrario f no tendrá inversa para f Dom

x∈

x∈ . Por otra parte, al despejar x en la ecuación

)x(f y = se obtiene )y(f ; como es costumbre, se reserva la variable x como la variable

independiente, en consecuencia al obtener esta última ecuación, debemos intercambiar los papeles

de x y y obteniéndose )x(f 1= .

x 1=

y

Veamos cómo se realizan estos pasos con la ClassPad para la función 1x3 − :y =

[Tengamos presenta que [ [ [∞,1f Dom y = + ∞,0f

1f −

Ran . Para hallar la regla de correspondencia de

debemos resolver la ecuación 1x3 −y = 0y ≥en la variable x, para .




(145) Active el teclado virtual 2D.

(146) En la línea de entrada escriba la ecuación 1x3 − .y =

(147) Toque [Ejec].

• Resolveremos la ecuación 1x3 − para x en términos de y

con f Dom .

y =

x

(148) Toque [Acción] [Ecuación / Desigualdad►] [Solve].

(149) Toque seguidamente .

• Se obtiene 3 2 1y + como solución única para 0y ≥ .x =

Figura 34

• Para obtener la regla de correspondencia de 1f − , se procede del siguiente modo:

(150) Toque [Acción] [Asistente►] [invert] [ans] [ejec].

• Se obtiene3 2 1x + , esto es,y = 3 2 1xf + . Además,


1 )x( = [ [,0 y

[ [,1 .

−f Dom 1

−f Ran 1





1f −

xAl trazar las gráficas de f y encontramos que la gráfica de una de ellas se obtiene a partir de la

gráfica de la otra por medio de una simetría o reflexión respecto a la recta de ecuación y =

}f Dom

. Esto es, si el

gráfico de f es el conjunto { x);x(f y:)y,x()f (G ∈

{ }f Dom);x(f

, entonces el gráfico de es el conjunto

.

1f −

x∈y:)x,y()f (G 1 =

Observemos este hecho trazando las gráficas de f y 1f − en la ventana de gráficos de la

ClassPad:

(151) Toque .

(152) Toque [Edit] [Borra todo] [Acep].

(153) Active el teclado virtual .

(154) En la primera línea de edición registre la función 1x3 − y

toque [Ejec.].

y =

(155) En la segunda línea de edición registre la función3 2 1x + .

Toque

y =

. Seleccione un estilo de línea ytoque [Ejec.] (Figura 35).

(156) En la tercera línea de edición registre la función xy = . Seleccione

un estilo de línea distinto al de las otras dos y toque [Ejec.].

(157) Trace las gráficas de las tres funciones.

(158) Maximice la ventana de visualización.


1:xMín − 6:xmáx 1:x

1:y

; ; escala

1:y −Mín ; máx ;8:y escala

• Observe que la gráfica de 1f − se obtiene por reflexión de lagráfica de f respecto a la recta xy = .

• Por otra parte, observe que [ [,0Dom y

[ [,1 .

= f Ranf 1

= f Domf Ran 1

Figura 35

Figura 36

Observación:

• De lo anterior, tenemos que si el par )f (G)b,a( ∈ , entonces el par )f (G 1∈ y ambos pares

son puntos simétricos respecto a la recta de ecuación x

)a,b(

y = (primera bisectriz).

• La mayoría de las funciones no poseen inversa en un dominio dado, recuerde que la ecuación

)x(f y = debe tener solución única para la variable x en términos de y con f Domx∈ y f Rany∈ .

Geométricamente, esto significa que el conjunto Dom debe ser una

función. Tomemos por ejemplo, la función definida por x2x , cuyo dominio natural es

Rf = . Al resolver la ecuación se obtienen dos soluciones

{ }f x);x(f ∈y:)x,y()f (G 1 =

y 2 −

Dom 1y1x + y 1y1 + para

1y − . Esto es debido a que la función asigna a dos valores distintos 1x y 2x un mismo valor y.

En consecuencia la relación inversa no es una función.

x =

Observemos esto en la ventana de gráficos de la ClassPad:





4:xMín − 10:xmáx 1:xescala

1:y

(160) En la ventana del editor de gráficos toque [Edit] [Borra todo][Acep].

(161) Active el teclado virtual.

(162) En la primera línea de edición registre la función x2x2 − y

toque [Ejec.].

y =

(163) Trace la gráfica de la función.



; ;

8:y − máxMín ; ;8:y escala

(166) En la barra de menús toque [Análisis] [Esbozo►] [Inverso].

• Aparece la gráfica de la relación inversa de f .

Figura 37

Como puede observarse en la Figura 37, la gráfica de la relación inversa de f no representa la gráficade una función, de manera que f no tiene inversa en su dominio de definición; En la gráfica de la

relación inversa ocurre que para cada valor de x, se obtienen dos posibles valores para y.Para asegurar que la relación inversa de una función f sea también una función, f debe verificar la

condición siguiente:

Para cada , sif 1xDom 2xx,x 21 ∈ ≠ entonces )x(f 2)x(f 1 ≠ .

Es decir, valores distintos tomados en el dominio de f , tienen imágenes distintas. Si f satisface estacondición, se dice que es inyectiva o uno a uno en su dominio.

Al observar la gráfica de f (Figura 37), vemos que f no es inyectiva en el conjunto de los números

reales, si tomamos por ejemplo, y x01 =x 22 = encontramos que )2(f 0)0(f = .

Si una función f no es inyectiva en un dominio dado, es posible que sea inyectiva en un subconjunto de

su dominio. Por ejemplo, tomemos el intervalo ] ]1, , entonces f restringida a este intervalo, esto es,

es inyectiva y posee inversa] −1,:f ˆ [ [,1 [ [ ] ]1,,1:f ˆ 1 → .

Veamos esto gráficamente y analíticamente en la ClassPad:

(167) En la ventana del editor de gráficos active el teclado virtual [mth].

(168) Toque el botón para activar el teclado de opciones.

(169) En la primera línea de edición ubique el cursor después de la

expresión x2xy 2 − y toque .

(170) En la segunda línea de entrada registre la función xy = .

Seleccione un estilo de línea [Grues] y toque .

(171) Trace las gráficas de las dos funciones.


(173) En la barra de menús toque [Análisis] [Esbozo►] [Inverso].

• Si hay más de una gráfica trazada y se pide trazar la gráfica de larelación inversa de una función en particular, aparece un cursor titilante para seleccionar la función de interés.

(174) En este caso oprima [EXE]. Figura 38

Observe que la relación inversa de f es ahora una función.ˆ





f ˆ x2

1x ≤

Para hallar la regla de correspondencia de se resuelve la ecuación para x en términos

de y con .

xy 2=



(177) Active el teclado virtual. (178) Toque [Acción] [Ecuación / Desigualdad►] [solve].

(179) Seguidamente edite la ecuación x2x2 − y toque y = .

• Aparecen dos soluciones: 1y1 + yx = 1y1 + . Dado

que 1x ≤ ( ] ]1,Dom ∞ ), la primera solución corresponde a la

función inversa 1f ˆ− ya que

x =

f

11y ≤ para 1y1x − − .

(180) Seleccione la primera ecuación, toque para copiar la ecuaciónen el portapapeles.

(181) Ubique el cursor en la línea de entrada.

(182) Toque [Acción] [Asistente►] [Invert] .

• Se obtiene la regla de correspondencia de 1f ˆ− , esto es,

1x1 + .)x(f ˆ 1 =

(183) Toque .

(184) En la tercera línea de edición registre la función inversa. Trace lasgráficas de las tres funciones. Maximice la ventana del editor degráficos y corrobore el resultado.

Figura 39

Figura 40

29. Trace la gráfica de la función cuya regla de correspondencia es

1x

1x)x(f

+

−= en la Ventana

Inicial y deduzca que f es inyectiva en su dominio y encuentre . 1f −

30. En el siguiente problema:

a) Configure la ventana de visualización con los siguientes parámetros:

3:xMín − ; ;3:xmáx 1:xescala

2:yMín − ; ;5:y escalamáx 1:y

x)x(f 4=b) Trace la gráfica de la función cuya regla de correspondencia es 1x2 2 + y deduzca

que f no es inyectiva en su dominio.

c) Encuentre un intervalo donde f sea invertible y trace la gráfica de 1f ˆ− e indique su dominio yrecorrido.

31. Trace en la ventana Inicial la grafica de la función cuya regla de correspondencia es

. Deduzca que f es inyectiva en su dominio y encuentre . ⎩ − six1 2 ≥

<=

0x

0xsix2)x(f 1f −

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