Calculo 2 - Suma de Riemann. Integral de e
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Empleando el hecho de que:
Demostraremos que, si entonces:
1. , de modo que . Sustituyendo en la expresin de la derecha de la igualdad a demostrar:
2. Podemos reescribir la expresin obtenida en 1, ya que estamos considerando un nmero finito de elementos, de modo que:
3. Consideraremos la suma:
Es posible reescribir la suma como sigue:
Puesto que n es un nmero muy grande, es muy pequeo, de tal forma que podemos acotarlo:
Esto es muy importante, ya que implica que estamos ante una serie geomtrica, hecho que nos ayuda a deducir que:
4. De regreso al lmite, tenemos:
5. Efectuaremos un cambio de variable, sea:
A medida que n va a infinito, u tiende a cero, entonces, reescribimos el lmite:
Aplicamos la regla de l'Hpital para resolver el lmite (puede verificarse que se satisfacen las propiedades de la misma para ser aplicada):
De regreso a la igualdad:
6. Finalmente, obtenemos: