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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO DEL PERU FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

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INDICE

1. CARATULA

2. INDICE

3. DEDICATORIA

4. AGRADECIMIENTOS

5. INTRODUCCION

6. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

6.1. CONCEPTO

6.2. OSCILACIONES Y VIBRACIONES

6.2.1. TIPOS

6.3. DEFINICION

6.4. CARACTERISTICAS

6.5. MAGNITUDES

6.6. CINEMATICA DE MAS

6.7. CONDICIONES INICIALES

6.8. DINAMICA DE MAS

6.9. ENERGIA EN MAS

6.10. REFERENTE A MOVIMIENTO CIRCULAR

7. CONCLUSIONES

8. BIBLIOGRAFIA


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A MI MADRE POR SU

Comprensin Y

AYUDA

INCONDICIONAL EN

CADA DERROTA Y

EN CADA TRIUNFO

SIEMPRE A MI LADO

A MI PADRE PORQUE

SE QUE DESDE EL

CIELO ME PROTEGE


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AGRADECIMIENTOS

A MIS MAESTROS QUE DIA A DIA NOS IMPARTEN

CONOCIMIENTOS SIN LOS CUALES NO PODRIA REALIZAR MI

SUEO QUE ES SER INGENIERA CIVIL.

AGRADESCO TAMBIEN A MIS FAMILIARES QUE SIN SU APOYO

NO ESTARIA AHORA EN PROCESO DE REALIZAR ESE SUEO

AGRADESCO SOBRE TODO A MI PADRE QUE DESDE EL CIELO

SE QUE CONSPIRA POR MI,QUE SIEMPRE VELA POR MI

BIENESTAR Y QUE SU MEMORIA SIEMPRE ME SERVIRA PARA

RETOMAR FUERZAS ANTE CUALQUIER OBSTACULO QUE SE

ME PRESENTE


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INTRODUCCION

En la presente monografa se tratara el tema de movimiento armnico simple es

una clase muy especial de movimiento ocurre cuando la fuerza sobre un cuerpo es

proporcional al desplazamiento del cuerpo desde alguna posicin de equilibrio. Si

esta fuerza se dirige hacia la posicin de equilibrio hay un movimiento repetitivo

hacia delante y hacia atrs alrededor de esta posicin.

Un movimiento se llama peridico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las

variables del movimiento (velocidad, aceleracin, etc.) toman el mismo valor, es

decir repiten los valores de las magnitudes que lo caracterizan.

Un movimiento peridico es oscilatorios la trayectoria se recorre en ambas

direcciones en los que la distancia del mvil al centro pasa alternativamente por un

valor mximo y un mnimo. El movimiento se realiza hacia adelante y hacia atrs,

es decir que va y viene, (en vaivn) sobre una misma trayectoria.

Un movimiento oscilatorio es vibratorio si su trayectoria es rectilnea y tiene su

origen en el punto medio, de forma que las separaciones a ambos lados, llamadas

amplitudes, son iguales.

Un movimiento vibratorio es Armnico cuando la posicin, velocidad y aceleracin

se puede describir mediante funciones senos y cosenos. En general el movimiento

armnico puede ser compuesto de forma que estn presentes varios perodos

simultneamente. Cuando haya un solo perodo, el movimiento recibe el nombre

de Movimiento Armnico Simple o abreviadamente, M.A.S. Adems de ser el ms

sencillo de analizar, constituye una descripcin bastante precisa de muchas

oscilaciones que se observan en la naturaleza.


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CONCEPTO

El movimiento armnico simple (m.a.s.), tambin denominado movimiento

vibratorio armnico simple (m.v.a.s.), es unmovimiento peridico, y vibratorio en

ausencia de friccin, producido por la accin de una fuerza recuperadora que es

directamente proporcional a la posicin. Y que queda descrito en funcin del tiempo

por una funcin senoidal (seno o coseno). Si la descripcin de un movimiento

requiriese ms de una funcin armnica, en general sera un movimiento armnico,

pero no un m.a.s.

En el caso de que la trayectoria sea rectilnea, la partcula que realiza un m.a.s.

oscila alejndose y acercndose de un punto, situado en el centro de su trayectoria,

de tal manera que su posicin en funcin del tiempo con respecto a ese punto es

una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que acta sobre la partcula es

proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia ste.

MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

Un movimiento armnico simple

(M.A.S) es un movimiento

vibratorio bajo la accin de una

fuerza recuperadora elstica,

proporcional al desplazamiento y

en ausencia de todo rozamiento.


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OSCILACIONES Y VIBRACIONES

Decimos que un cuerpo oscila o vibra cuando se mueve de forma peridica en

torno a una posicin de equilibrio debido al efecto de fuerzas restauradoras.

Las mgnitudes caractersticas de un movimiento oscilatorio o vibratorio son:

Periodo (T): El tiempo que tarda de cumplirse una oscilacin completa. Su

unidad de medida en el Sistema Internacional es el segundo (s)

Frecuencia (f): Se trata del nmero de veces que se repite una oscilacin en

un segundo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el hertzio

(Hz)

En el caso de la bola del ejemplo anterior, el periodo es el tiempo que tarda esta en

volver a pasar por el mismo punto en igual sentido. La frecuencia es el nmero de

veces en un segundo en que la bola pasa por el mismo punto en igual sentido.

El periodo y la frecuencia son magnitudes inversas:

Con esto tenemos que 1 Hz = 1 s-1

Aunque el concepto de vibracin es el mismo que el de oscilacin,

en ocasiones se emplea el trmino vibracin para designar una

f=1/T


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oscilacin muy rpida o de alta frecuencia.

Tipos de vibraciones

Existen dos tipos de vibraciones u oscilaciones atendiendo a las fuerzas que actan:

1. Oscilaciones libres: Cuando sobre el cuerpo no actan fuerzas disipativas. El

cuerpo no se detiene, oscila indefinidamente, al no haber una fuerza que

contrarreste el efecto de la fuerza restauradora

2. Oscilaciones amortiguadas: Cuando actan fuerzas disipativas (como por

ejemplo la fuerza de rozamiento o de friccin) que acaban por hacer que las

oscilaciones desaparezcan. El cuerpo acabar retornando a la posicin de

equilibrio

DEFINICION

Una partcula describe un Movimiento Armnico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a

lo largo del eje X, estando su posicin x dada en funcin del tiempo t por la

ecuacin

donde

A es la amplitud.

w la frecuencia angular o pulsacin.

x = A sen (t + )


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w t + j la fase.

j o jo la fase inicial.

CARACTERISTICAS

Vibratorio: El cuerpo oscila en torno a una posicin de equilibrio siempre en

el mismo plano

Peridico: El movimiento se repite cada cierto tiempo denominado periodo

(T). Es decir, el cuerpo vuelve a tener las mismas magnitudes cinemticas y

dinmicas cada T segundos

Se describe mediante una funcin sinusoidal (seno o coseno

indistintamente)

Como los valores mximo y mnimo de la funcin seno son +1 y -1, el

movimiento se realiza en una regin del eje X comprendida entre +A y -A.

La funcin seno es peridica y se repite cada 2p, por tanto, el movimiento se

repite cuando el argumento de la funcin seno se incrementa en 2p, es

decir, cuando transcurre un tiempo T tal que w(t+T)+j=w t+j+2p .

MAGNITUDES DEL M.A.S

1. Elongacin, x: Representa la posicin de la partcula que oscila en funcin

del tiempo y es la separacin del cuerpo de la posicin de equilibrio. Su

unidad de medidas en el Sistema Internacional es el metro (m)

2. Amplitud, A: Elongacin mxima. Su unidad de medidas en el Sistema

Internacional es el metro (m).

3. Frecuencia. f: El nmero de oscilaciones o vibraciones que se producen en

un segundo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Hertzio

(Hz). 1 Hz = 1 oscilacin / segundo = 1 s-1.

4. Periodo, T: El tiempo que tarda en cumplirse una oscilacin completa. Es la

inversa de la frecuencia T = 1/f . Su unidad de medida en el Sistema

Internacional es el segundo (s).

x=Acos(t+0)

x=Asin(t+0)

T = 2p/w


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5. Fase, : La fase del movimiento en cualquier instante. Corresponde con el

valor =t+0. Se trata del nguloque representa el estado de vibracin

del cuerpo en un instante determinado. Su unidad de medida en el Sistema

Internacional es el radin (rad). Cuando se produce una oscilacin completa,

la fase aumenta en 2 radianes y el cuerpo vuelve a su posicin

(elongacin) x inicial. Esto es debido a que cos()=cos(+2)

6. Fase inicial, 0 : Se trata del ngulo que representa el estado inicial de

vibracin, es decir, la elongacin x del cuerpo en el instante t = 0. Su unidad

de medida en el Sistema Internacional es el radin (rad)

7. Frecuencia angular, velocidad angular o pulsacin, : Representa la

velocidad de cambio de la fase del movimiento. Se trata del nmero de

periodos comprendidos en 2 segundos. Su unidad de medida en el sistema

internacional es el radin por segundo ( rad/s ). Su relacin con el perodo y

la frecuencia es =2T=2f

CINEMATICA DE UN M.A.S

En un movimiento rectilneo, dada la posicin de un mvil, obtenemos la velocidad

derivando respecto del tiempo y luego, la aceleracin derivando la expresin de la velocidad.

La posicin del mvil que describe un M.A.S. en funcin del tiempo viene dada por

la ecuacin

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del mvil

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleracin del mvil

Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armnico simple se define

entonces en una dimensin mediante la ecuacin diferencial

Siendo la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo se obtiene la

siguiente ecuacin donde es la frecuencia angular del movimiento:

x = A sen (w t + j)

v = A w cos (w t + j)

a = - A w2 sen (w t + j ) = - w2x


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La solucin de la ecuacin diferencial (2) puede escribirse en la forma

donde:

es la elongacin o desplazamiento respecto al punto de equilibrio.

es la amplitud del movimiento (elongacin mxima).

es la frecuencia angular

es el tiempo.

es la fase inicial e indica el estado de oscilacin o vibracin (o fase) en el

instante t = 0 de la partcula que oscila.

Adems, la frecuencia de oscilacin puede escribirse como esto:

,

y por lo tanto el periodo como

La velocidad y aceleracin de la partcula pueden obtenerse derivando respecto del

tiempo la expresin

.

Velocidad

La velocidad instantnea de un punto material que ejecuta un movimiento armnico

simple se obtiene por lo tanto derivando la posicin respecto al tiempo:

Aceleracin

La aceleracin es la variacin de la velocidad del movimiento respecto al tiempo de

espera y se obtiene por lo tanto derivado la ecuacin de la velocidad respecto al

tiempo de encuentro:


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CONDICIONES INICIALES

Conociendo la pulsacin w, la posicin inicial x0 y la velocidad inicial v0 (en el

instante t=0).

Se puede determinar la amplitud A y la fase inicial

La amplitud y la fase inicial se pueden calcular a partir de las condiciones

iniciales del movimiento, esto es de los valores de la elongacin y de la

velocidad iniciales.

Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones obtenemos

Dividiendo miembro a miembro las dos ecuaciones obtenemos

DINAMICA DE M.A.S.

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresin de la fuerza necesaria para que un mvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a ste.

En la ecuacin anterior vemos que la fuerza que origina un movimiento armnico simple es una fuerza del tipo:

F = m a = - m w2 x

x0=Asenj

v0=Awcosj


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Es decir una fuerza como la que hace un muelle, directamente proporcional a la elongacin pero de signo contrario. K es la constante recuperadora o constante de elasticidad y se puede observar, en las dos ecuaciones anteriores, que est relacionada con la pulsacin:

Teniendo en cuenta que w = 2p/ T podemos deducir el periodo del movimiento armnico simple:

ENERGIA EN M.A.S.

En el m.a.s. la energa se transforma continuamente de potencial en cintica y

viceversa.

En los extremos solo hay energa potencial puesto que la velocidad es cero y en el

punto de equilibrio solo hay energa cintica. En cualquier otro punto, la energa

correspondiente a la partcula que realiza el m.a.s. es la suma de su energa potencial ms su energa cintica.

Toda partcula sometida a un movimiento armnico simple posee una energa

mecnica que podemos descomponer en: Energa Cintica (debida a que la

partcula est en movimiento) y Energa Potencial (debida a que el movimiento

armnico es producido por una fuerza conservativa).

Si tenemos en cuenta el valor de la energa cintica

Y el valor de la velocidad del m.a.s.

sustituyendo obtenemos

F = -K x

K = mw2

Ec = 1/2 m v2

v = dx / dt = A w cos (w t + jo)

Ec = 1/2 m v2 = 1/2 m A2 w2cos2 (w t + jo)

Ec = 1/2 k A2 cos 2(w t + jo)


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a partir de la ecuacin fundamental de la trigonometra:

de donde la energa cintica de una partcula sometida a un m.a.s. queda

Observamos que tiene un valor peridico, obtenindose su valor mximo cuando la

partcula se encuentra en la posicin de equilibrio, y obtenindose su valor mnimo

en el extremo de la trayectoria.

La energa potencial en una posicin y vendr dada por el trabajo necesario para

llevar la partcula desde la posicin de equilibrio hasta el punto de elongacin y.

Por ello el valor de la energa potencial en una posicin x vendr dado por la

expresin

Teniendo en cuenta que la energa mecnica es la suma de la energa potencial

ms la energa cintica, nos encontramos que la energa mecnica de una partcula

que describe un m.a.s. ser:

En el m.a.s. la energa mecnica permanece constante si no hay rozamiento, por

ello su amplitud permanece tambin constante.

sen2 + cos2 = 1

Ec = 1/2 k A2 [ 1 - sen 2(w t + jo)]

Ec = 1/2 k[ A2 - A2sen 2(w t + jo)]

Ec = 1/2 k [ A2 - x2]

Ep = 1/2 k x2

Etotal = 1/2 K x2 + 1/2 K (A2-x2) = 1/2 KA2

E = 1/2 k A2


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M.A.S. RELACIONADO CON EL MOVIMIENTO CIRCULAR

En este apartado, vamos a interpretar geomtricamente el Movimiento Armnico

Simple (M. A. S.), relacionndolo con el movimiento circular uniforme.

se observa la interpretacin de un M.A.S. como proyeccin sobre el eje X, del

extremo de un vector rotatorio de longitud igual a la amplitud A, que gira con

velocidad angular w igual a la frecuencia angular del M.A.S, en el sentido contrario a las agujas del reloj. Dicha proyeccin vale


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CONCLUSIONES

De todos los movimientos oscilatorios el movimiento armnico simple

(M.A.S.), constituye una aproximacin muy cercana a muchas oscilaciones

encontradas en la naturaleza, adems que es muy fcil de describir

matemticamente

Entender el movimiento vibratorio es esencial para el estudio de los

fenmenos ondulatorios relacionados con el sonido y la luz.

En los movimientos oscilatorios el cuerpo va de una posicin extrema y

regresa a la posicin inicial pasando siempre por la misma trayectoria.

Algunos ejemplos de fenmenos en los que se presenta este tipo de

movimiento son: el latido del corazn, el pndulo de un reloj, las vibraciones

de los tomos.

Un movimiento peridico es oscilatoriosi la trayectoria se recorre en ambas

direcciones en los que la distancia del mvil al centro pasa

alternativamente por un valor mximo y un mnimo

El ngulo w t + j que forma el

vector rotatorio con el eje de

las X se denomina fase del

movimiento. El ngulo j que

forma en el instante t=0, se

denomina fase inicial


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El movimiento armnico simple se puede estudiar desde diferentes puntos

de vista:cinemtico, dinmico y energtico

El ms sencillo de los movimientos peridicos es el que realizan los cuerpos

elsticos.

BIBLIOGRAFA

Marion, Jerry B. (1996). Dinmica clsica de las

partculas y sistemas. Barcelona: Ed. Revert. ISBN

84-291-4094-8.

Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Fsica (4

volmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-

398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-

4445-7.

Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en

ingls). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-

32057-9.

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