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El cálculo y sus aplicaciones

Gabriel Jaime Posada Hernández

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Introducción

Relaciones y funciones

Límite de funciones

Derivada de una función

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Introducción

En la actualidad, las áreas administrativas, contables y económicas requieren de un profesional con conocimientos básicos de cálculo, de tal forma que lo lleven a incursionar en el campo investigativo y en la toma de decisiones, para generar nuevos conocimientos a partir de la integración de los conceptos propios y de las diferentes áreas de estudio, para ser más competente en los retos del mundo moderno.

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Relaciones y FuncionesEl concepto de Relación-Función es uno de los másimportantes en Matemáticas. Comprenderlo y aplicarlo se verá retribuido muchas veces.

Correspondencia• La noción de correspondencia desempeña un papel

fundamental en el concepto de Relación – Función.• En nuestra vida cotidiana frecuentemente hemos

tenido experiencia con correspondencias o RELACIONES.

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Ejemplos de Correspondencias o RELACIONES

• En un almacén, a cada artículo le corresponde un precio.

• A cada nombre del directorio telefónico le corresponde uno o varios números.

• A cada número le corresponde una segunda potencia.

• A cada estudiante le corresponde un promedio de calificaciones

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Ejemplos de Correspondencia (Relaciones – Funciones)

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Definición de Relación y de Función

• Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elemento del Recorrido o Rango.

• Una Función es una relación a la que se añade la restricción de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del recorrido.

• (Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones)

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Tablas de valores

• Estas tablas de valores nos permiten representar las ecuaciones (Relaciones) en el Plano cartesiano.

• Cuando la gráfica es una línea recta la Función es Lineal.

• Cuando la gráfica es una curva, ésta puede ser una ecuación o una función cuadrática.

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Definición intuitiva de límite.Consideremos la función

El dominio es Df = R - {1}

Evalúa la función en los números dados y explica el comportamiento.

1

3

x

xxy

X 0 0.5 0.8 0.9 0.99 0.999 0.9999

y 0 0.75 1.44 1.71 1.9701 1.9970 1.9997

X 2 1.5 1.2 1.1 1.01 1.001 1.0001

y 6 3.75 2.64 2.31 2.0301 2.0030 2.0003

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En el primer cuadro, ¿a qué número se aproxima x?

En el mismo cuadro, ¿a qué valor se aproxima y?

Es decir, cuando x se aproxima lo más cercano posible a 1 por la izquierda, el valor de y tiende a 2.

En el segundo cuadro, ¿a qué número se aproxima x?

En el segundo cuadro, ¿a qué número se aproxima y?

Es decir, cuando x se aproxima lo más cercano posible a 1 por la derecha, el valor de y tiende a 2.

¿Crees que si aproximamos todavía más los valores de x al valor dado, los valores de y se aproximen más al valor observado?

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Concepto de límiteSi f(x) se acerca arbitrariamente a un número l, conforme x se aproxima a un número a tanto por la izquierda como por la derecha, entonces “el límite de f(x) cuando x tiende a a es l”, lo cual se denota como:

Lxfax

)(lím

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Ejemplo:Sea la función

Hallar 2

Por lo tanto

22

2)(

x

xxf

)(2

xfxlím

X 1.8 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1 2.2

y 3.9493 3.9748 3.9975 3.9997 4.0002 4.0025 4.0248 4.0493

422

2lím

2

x

x

x

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La derivada• EjemploDurante el periodo de 10 años de 1970 a 1980, se

encontró que la población de cierto país estaba dada por la formula

P(t)=1+0,03t+t2

En donde P está dado en millones y t es el tiempo medido en años desde el inicio de 1970.

Calcule la tasa de crecimiento instantánea al inicio de 1975

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Sea y = f(x) una función dada. La derivada de y con respecto a x, denotada por dy/dx, se define por

x

y

dx

dyx

0lim

x

xfxxf

dx

dyx

)()(lim

0

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A la derivada también se le da el nombre de coeficiente diferencial y la operación de calcula la derivada de una función se denomina diferenciación

Si la derivada de una función existe en un punto particular, decimos que f es diferenciable en tal punto.

La derivada de y=f(x) con respecto a x tambien se denota por uno de los simbolos siguientes

fDyDxfyfdx

d

dx

dfy

dx

dxx ,),(','),(,),(

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Ejemplo

• Calcule la derivada de 2x2+3x+1

• Calcule dy/dx para la ecuación cubicay=Ax3+Bx2+Cx+D

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)(, 1 potencialadeFórmulanxdx

dyentoncesxySi nn

31222

2/312/12/1

2/112/32/3

6177

22)()1(

2

1

2

1)()

1(

2

3

2

3)(

77)(

uuudx

d

udu

d

tttdx

d

tdt

d

yyydy

d

xxxdx

d

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dx

duccu

dx

d)(

2211

1

4)1(4)(4)4()

4(

)()(

ttt

dx

dt

dx

d

tdt

d

nxcxdx

dccx

dx

d nnn

dx

dv

dx

duvu

dx

d )(

Calcule dy/dx si y = x2 +x1/2

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