MATEMTICA III

INTEGRALES DOBLES ITERADAS SOBRE REGIONES RECTANGULARES

PROBLEMA DE APLICACINSupongamos que tenemos tanques o reservorios diseados para el almacenamiento de agua como los mostrados en las figuras siguientes. Podra dar sugerencias de cmo estimar el volumen en cada reservorio de agua ?

PREGUNTAS :1. Qu representa la integral definida si ? (Figura 01)

2. Cules son las propiedades bsicas de la integral definida ?

Figura 01

3. Cmo se podr calcular el rea de las siguientes regiones ?

Figura 02Figura 04Figura 03Figura 05

4. Se podr utilizar en forma similar al problema de rea, algn tipo de integral para calcular el volumen formado por la grfica de una funcin y su dominio ?(Fig. 6 )

5. Las propiedades de esta nueva integral sern similares a la integral definida para funciones de una sola variable?Figura 06

6. Qu opina sobre la alternativa de medir el volumen bajo una superficie y sobre un dominio rectangular mediante la suma de volmenes de paraleleppedos como se expone en la grfica siguiente ? ( Fig. 07 y Fig. 08 )Figura 07Figura 08

7. Cundo esta suma de volmenes representar la medida exacta del volumen bajo la superficie ?Base dividido en 16 rectngulosBase dividido en 64 rectngulosBase dividido en 256 rectngulos

8. Como se podr calcular el volumen expuesto en los siguientes slidos ? Base : Base :

LOGRO DE LA SESINAl trmino de la sesin, el estudiante, resuelve ejercicios sobre integrales dobles iteradas, aplicando las propiedades de integracin, argumentando e interpretando los resultados obtenidos con precisin.

DEFINICIN DE INTEGRAL DOBLESi es definida sobre un rectngulo en el plano XY, entonces la integral doble sobre es definido como sigue :

si este limite existe

INTEGRAL DOBLE COMO VOLUMENSi , entonces el volumen V del slido que se encuentra por encima del rectngulo R y debajo de la superficie es

PROPIEDADES Sean dos funciones cuyas integrales existen sobre el rectngulo R y una constante . Entonces se cumplen las siguientes propiedades : Nota. Estas propiedades tambin se cumplen para regiones que no son necesariamente rectangulares, las cuales se vern mas adelante

CALCULO DE LAS INTEGRALES DOBLESTeorema de Fubini Si es una funcin continua sobre el rectngulo entonces: Las integrales dadas en la parte derecha son llamadas integrales iteradas y su calculo se realiza integrando primero con respecto a la variable que est en los corchetes manteniendo constante la otra variable y finalmente se integra con respecto a la variable restante.

Ejercicios a resolver :1. Calcular la integral doble sobre los dominios dados :

Figura AFigura BFigura C(Figura A)(Figura B)(Figura C)