7/25/2019 Clculo de rea y Volumen de Hiperesferas mediante el mtodo de Montecarlo

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Hiperesfera

Se le llama hiperesfera o n-esfera, al conjunto de todos los puntos delespacio n -dimensional que se encuentran a distancia dada de un

punto jo del espacio. En los espacios de dimensin uno (las rectas) la1-esfera est formada por dos puntos situados a una distancia dada,uno a cada lado de un punto central. a !-esfera no es sino lacircunferencia, " la #-esfera es una esfera. $onforme aumenta ladimensin tenemos las hiperesferas correspondientes a dimensin %,&, ',...

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Hiperesfera de ! dimensiones

ara clcular el rea o olumen de una n-esfera se utili*o el m+todo

de ontecarlo lan*ando puntos aleatorios a un rano determinado.ara calcular el rea de una circunferencia(! dimensiones) , primerose raca una circunferencia con centro en el orien " de radio 1, enun suplot.

/i.1 $ircunferencia con centro en el orien " radio 1.

0espu+s de tener la circunferencia, se elie el numero de puntosaleatorios con los que se reali*ar el calculo " se crea una arialeque contaili*a el numero de puntos que quedan dentro del circulo .

$on un ciclo que a desde 1 hasta el numero de puntos enerados, sedene el rano en donde se enerarn los puntos aleatoriosuniformes en (a,), despu+s de haer denido los ranos se crean !

ariales 2, " en las que el rano para los puntos se multiplica por unrand, como rand a de 3-1 con este rano los puntos aleatorios tienenun nueo rano, de -1 a 1. Este rano se da por 4rand5a6(-a)7rand 8 donde a5-1 "51

Se clcula la distancia que ha" desde el centro del circulo hasta cadapunto enerado. ara saer si el punto esta dentro o fuera de lacircunferencia del circulo se enera un if, si la distancia del centro alpunto es menor o iual a 1, el punto est dentro del circulo " se

plotea color a*ul8 si es ma"or esta fuera del circulo " se plotea colorrojo.

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$on este ciclo se empie*a a contar el numero de puntos dentro delcirculo, " se suman las distancias que an de 1 hasta el numero depuntos , siempre " cuando la distancia sea iual o menor que 1,despu+s se calcula el rea multiplicando

%7el numro de puntos dentro 9numero de puntos totales.ara racar la apro2imacin del rea mientras los puntos caendentro de la circunferencia se empie*a a enerar una apro2imacinde rea , mientras mas puntos caian dentro, la apro2imacin sermas e2acta la raca " se estaili*ara en esa apro2imacin.

/i.! $omo ha" puntos dentro del c:rculo, el rea se estaili*a en %, de acuerdo ala frmula (%7!9!)5%.

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/i.! Entre mas puntos caen adentro la rca se hace mas estale " es mejorla apro2imacin.

ara el historama de esta rea se raca con el comando de matla(

hist(",m) ), donde " es la apro2imacin del rea " m los n;meros depuntos totales.

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/i.# Historama de .! .

Hiperesfera de # dimensiones

ara determinar el olumen de una esfera (#-esfera), se raca la

esfera de radio 1 con centro en el orien.

/i.% Esfera con centro en el orien " radio 1.

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Se hace el mismo procedimiento que se utili*o en la circunferenciasolo que se area una ariale mas para enerar otros n;merosaleatorios en el eje *, " estos estarn en el plano 2,",*. 0enimos losranos en donde se eneraran los puntos aleatorios, despu+s de iual

manera cada rano se multiplica por rand.

Se determina la distancia del centro a cada punto eneradosumndole la ariale *, " se crea un if, si el punto es menor o iuala 1, esta dentro de la esfera " se plotea con color rojo " si es ma"orcolor amarillo, as: distinuimos que puntos estn contenidos dentrode la esfera.

Se contaili*an los puntos dentro de la esfera para otener laapro2imacin del olumen " tami+n se utili*a para racar elolumen conforme los puntos caen adentro.

ara el clculo del olumen es

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/i.' ?raca e historama de la apro2imacin del olumen.

ara una hiperesfera de % dimensiones o superior, es imposileracar " isuali*ar si los puntos estn dentro. ero se calcula iual,

cumpliendo que la distancia al orien sea menor o iual a 1, " amedida que aumentamos las dimensiones llea un momento en elque es dif:cil encontrar puntos que cumplan esta condicin, "a quepara cada dimensin tenemos que sumar el cuadrante de un nueot+rmino.

Hiperesfera de % dimensiones

Se suma una ariale mas de puntos aleatorios, al iual a la distanciaal orien.

ara el clculo de su apro2imacin de olumen es 1'7puntos dentro9n;mero de puntos totales

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/i.@ uestra los puntos dentro de la hiperesfera de % dimensiones " suapro2imacin de olumen.

Hiperesfera de & dimensiones

El clculo para esta hiperesfera es #! 7 puntos dentro9 n;mero de puntos totales

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/i.< Apro2imacin del olumen en & dimensiones.

Hiperesfera de ' dimensiones

ara esta dimension de hiperesfera el clculo es

'%7 puntos dentro9 numero de puntos totales

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/i.B Apro2imacin de olumen de hiperesfera de ' dimensiones

Hiperesfera de @ dimensiones

El clculo para esta hiperesfera es

1!

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/i.13 Apro2. 0e olumen de hiperesfera de @ dimensiones.

Hiperesfera de < dimensiones

El calculo para la apro2. 0e olumen para esta hiperesfera es

!&'7 puntos dentro9 numero de puntos totales

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/i.11 Apro2. 0el olumen de hiperesfera de < dimensiones

Hiperesfera de B dimensiones

El clculo para esta hiperesfera es&1!7 puntos dentro9 n;mero de puntos totales

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/i.1! Apro2. 0el olumen de Hiperesfera de B dimensiones

Hiperesfera de 13 dimensiones

ara la apro2imacin de este olumen se calcula13!%7 puntos dentro9 numero de puntos totales

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/i.1# Apro2. 0el olumen de hiperesfera de 13dimensiones.

$omparacion entre el olumen " el m+todoontecarlo(apro2imacin)

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$omo se muestra en la siuiente tala, la relacin m2ima entre lospuntos dentro " los lan*ados respecto al olumen del n-esfera se dacuando lleamos a cinco dimensiones, " a partir de ah: el olumen dela n-esfera empe*ar a conerer hacia cero.

En los $lculos pasados se lan*aron 13333 puntos " estos son lossiuentes datos otenidos.

0imensin Columen onte$arlo

untosdentro

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