8/18/2019 Cálculo de Áreas Por Polares

1/1

DLI.T

CÁLCULO DE ÁREAS

POR

COORDENADAS

POLARES

Si se buscacalcularÁ¡eas

de Regiones

irculares

o

de

partes

de

un

Círculo,

son adecuadas

as

Coor-

denadas

Polares,

or

tanto

debeefectuarse

na Transformación

estas

Coordenadas.

De acuerdoa las relaciones

entre

las

Coordenadas

Ca¡tesianas

Polares,

on

su

respectivo

acobiano:

rCos0

rSen0

Et 9.2 Á¡eaencerrada or: x2 * y2 = 32

La

Región

es un

círculo

de Radio

i;

su

Área

se

calculará

mediante

Coordenadas

olares.

Si: x

=

Y=

A

=

[f

_dy

dx

=

[f_,

(#l

dr

d0

=

[{_,r

dr

d0

R:

x2*y2

=32

+ R/:

r

=

j

A

=

f[_dvdx

=

If_,rdrda

rdrda

=

f ' "

Jo

q

12 "

dA

='01

=

2

1,,

=

[r,'" [,,t

=

{,,'"

t l 'ou

2

ln

2zn

=

9n

2

SC

2

2

Al

plantear

Extre-

mos,

el

ángulo

0 de-

be

cubrir

todo

el

círculo,

por

eso

va

desde

0

hasta

Zrc,

siempre

en

Radianes

A

su vez

el

radio (r),

para

llenar

todo el

círculo

prolonga

desde

l

Origen

hasta

3.

@l

iueAiante

Integrales

Dobles

en Coordenadas

Polares,

determinar

las

A¡eas

de:'

;

x

=

t/ly

;

x

;

y

=,11*

y

Región

R,

por

Coordenadas

olares.

Rt:

r

=

4

r=3

+

0

=Arctan\ l t7l=n/6

0

=

Arctan

$lt)

=

Tr,/3

A=f[-dydx=f-,rdrda=:: , 'L^rdrd0=:: , '+f ,*=

:: , '

b)

R:

x2

*

y2

=

22

;

x

x2*y2

=4x;

I

La

figura

así obtenida

se

lama

Lúnula.

Se

considera

solo

en

el

primer

Cuadrante.

Transformando

la

Región

R

a

R'

R:

x '*y '=

22

R/:

r

=

x '*y '

=

4x

=+

r

=

El

Ángulo

de intersección

entre

a) R:

x2*y2

=42

x2*y2=32

Transformando

a

R:

x2*y2

=

42

xr*yr=32

$Y-x

tlix

=

y

Zdo=

2

7,n

t2

dr

dA

en

Coordenadas

olares.

2

=+

0=

4Cos0 3

Curvas

está

en:

0

-

n/3

=

¡nlt ¡acoso

dr

do

Jo

Jz

A

=

{f

-dv

dx

=

f f*.,,

'¡

14

Cos

nn/3 _.1

dA

=

 

J,

71,

=

(20

+

4Sen0Cos0)

f

:'

g

cos2a

2t

do

2n

+

l, f l

ntt

l=

lo

La

gráfica

adjunta

muestra

además

de la

Región

R,

a la

nueva

Región

R'

que

se

obtiene

mediante

a Transformación.

Si

se

equiere

el

Á¡ea

total

de a Lúnula,

será

suficiente

con

duplicar o obtenido.

i/

x