Calculo de Influencias Indirectas

(Modulo de Scilab)

Jorge Catumba RuizUniversidad Nacional de Colombia

3 de Marzo de 2012

Planteamiento:En muchos casos, tanto en el campo aplicado como en el campopuro de las matematicas, es necesario conocer la importanciaque tiene cierto objeto dentro de un ambiente. Por ejemplo,queremos saber la relevancia de una pagina web dentro del gra-fo de internet, o, dado un conjunto de variables y las conexionesque existen entre ellas queremos encontrar la mas importanteo la mas dependiente. En principio, los problemas de este tipoque se puedan poner a manera de grafo podrıan solucionarse atraves de varios metodos que toman en cuenta diferentes carac-terısticas del grafo y el problema que se quiere estudiar.

Influencia Directa

•2

&& •

2

��

•

1mm

1

MM

1

1 --•

2

FF

•2

ff

M.A.GPara el grafo

(2)•2

))•(3)

2

��

•(1)

1kk

1

JJ

1

1 ,,(5)•

2

GG

•(4)

2

ii

se tiene la matriz

0 0 0 0 01 0 0 0 21 2 0 0 01 0 2 0 01 0 0 2 0

.

Pregunta:¿Para que la matriz D de adyacencia de un grafo?

Respuesta:La matriz de adyacencia es una representacion de el grafo quelo hace mas manejable desde el punto de vista computacionalen el sentido de que es mas util para aplicarle cada uno de losmetodos establecidos y obtener una matriz T que llamamos deinfluencias indirectas.“La interpretacion del concepto ‘influencia indirecta’ dependedirectamente del metodo que se utiliza.”

Pregunta:¿Para que la matriz D de adyacencia de un grafo?Respuesta:La matriz de adyacencia es una representacion de el grafo quelo hace mas manejable desde el punto de vista computacionalen el sentido de que es mas util para aplicarle cada uno de losmetodos establecidos y obtener una matriz T que llamamos deinfluencias indirectas.“La interpretacion del concepto ‘influencia indirecta’ dependedirectamente del metodo que se utiliza.”

MICMAC (Godet)

Teniendo la matriz de influencias directas D calculamos la ma-triz de influencias indirectas T como

T = Dk .

PageRank (Google)Se asume que las entradas de D son reales no negativas y quela suma de las entradas de cada fila es 0 o 1. La matriz T deinfluencias indirectas esta dada por

T = lımk→∞

[pD + (1− p)En]k

donde 0 < p < 1 es un numero escogido cerca de 1, D seobtiene de D reemplazando las entradas de cada fila 0 de D por1/n y En es la matriz con entradas iguales a 1/n.Aquı D se construye a partir del grafo tomando

Di ,j =

{f (e)

out(i)si existe e ∈ E tal que h(e) = (i , j)

0 en otro caso.

dondeout(i) =

∑j∈V

{f (e) : h(e) = (i , j)}.

PWP (Dıaz)

Dada la matriz de influencias directas D, se fija un numero realλ > 0 y se calcula T , la matriz de influencias indirectas, como

T = T (D) =1

eλ+eλD+ donde ex

+ = ex − 1 =∞∑

k=1

xk

k!.

Ejemplo

33**

22uu

11HH

3}}2

41**

71

mm

5

2

LL

63HH

PageRankd = (0,3232 0,0663 0,0750 0,1590 0,1507 0,1126 0,1128).MICMACf = (198 108 324 36 216 58 108),d = (198 108 36 324 54 216 108).PWPf = (12,5717 9,2379 13,7636 3,2732 9,1754 5,7829 4,5878),d = (12,5717 4,5878 3,8552 13,7636 4,6189 9,8198).

Comentarios Finales

I Por ahora se trabaja en un escenario discreto donde lasinfluencias se transmiten linealmente.

I Ademas de los tres metodos presentados se cuenta consoporte para el metodo “Heat Kernel” que calcula T demanera muy similar al metodo “PWP”.

I Esta en proceso la optimizacion del codigo para podermanipular matrices con entradas en los polinomios devariable t.

I Se puede obtener el toolbox directamente en Scilab o enhttp://atoms.scilab.org/toolbox/indinf.

Comentarios Finales

I Por ahora se trabaja en un escenario discreto donde lasinfluencias se transmiten linealmente.

I Ademas de los tres metodos presentados se cuenta consoporte para el metodo “Heat Kernel” que calcula T demanera muy similar al metodo “PWP”.

I Esta en proceso la optimizacion del codigo para podermanipular matrices con entradas en los polinomios devariable t.

I Se puede obtener el toolbox directamente en Scilab o enhttp://atoms.scilab.org/toolbox/indinf.

Comentarios Finales

I Por ahora se trabaja en un escenario discreto donde lasinfluencias se transmiten linealmente.

I Ademas de los tres metodos presentados se cuenta consoporte para el metodo “Heat Kernel” que calcula T demanera muy similar al metodo “PWP”.

I Esta en proceso la optimizacion del codigo para podermanipular matrices con entradas en los polinomios devariable t.

I Se puede obtener el toolbox directamente en Scilab o enhttp://atoms.scilab.org/toolbox/indinf.

Referencias

1 R. Dıaz. Indirect Influences. Instituto de Matematicas ysus Aplicaciones, Universidad Sergio Arboleda. Bogota,Colombia 2009.

2 M. Baudin. Introduction to Scilab. The ScilabConsoritum. Francia, Noviembre de 2010.

3 M. Godet, De l’Anticipation a l’Action, Dunod, Parıs1992.

4 A. Langville, C. Meyer, Deeper Inside PageRank, InternetMathematics 1 (2004) 335-400.

¡Gracias por su atencion!

@jorgerev90