CALCULO DE INTEGRALES DE FUNCIONES EXPRESADAS COMO SERIE DE TAYLOR

sen x=x−x33 !

+ x55 !

−x77 !

∫0

1

senx dx¿

¿

Integramos cada término de la serie

sen x=x−∫dx x33 !

+∫ dx x55!

−∫dx x77 !

dx

sen x=x22

−[16∗x 44 ! ]+[ 120∗x66 ! ]−[ 15040∗x 88 ! ]¿

¿ [12− 124+ 1720

− 140320 ]−[0 ]=0.45969VA

∫0

1senx dx=−cos x+c ]

¿ev aluadode 0a1=⌈−0.99985⌉−[−1 ]=1.5 x10−04=0.00015VV ¿

Ejemplos de ejercicios resueltos

Ejercicio 1:

Escribir la fórmula de Taylor de orden 5 alrededor del origen (serie de Maclaurin)

para la función: f(x) = ex senx.

PASO 1:

Al ser de orden 5 deberemos realizar las cinco primeras derivadas de la función, y

dado que nos situamos alrededor del origen deberemos calcular f(0), f’(0),f”(0) …

f””’(0).

En este caso nos encontramos con que nuestra función es una combinación de la

función ex y la función senx, por tanto podemos realizar este paso por separado

para posteriormente combinar los resultados.

PASO 2:

Recordemos que una vez realizadas las derivadas deberemos aplicar la siguiente

fórmula:

Teniendo en cuenta que nos encontramos alrededor del origen, a en este caso

vale 0. por tanto nos quedaría algo como lo siguiente:

PASO 3:

Por último, dado que hemos realizado los pasos anteriores por separado para

cada función, ahora toca unirlos, dado que se nos pide la fórmula de Taylor de

orden 5, todos aquellos resultados cuyo exponente sea superior a 5 serán

ignorados. por tanto si por ejemplo tenemos x3. x4 = x7, este no formaría parte del

polinomio final, pues su exponente es mayor que 5.

Como teníamos f(x) = ex senx, tendremos que multiplicar los resultados anteriores:

Para terminar el ejercicio simplemente faltaría simplificar la expresión de arriba por

ejemplo realizando las sumas y restas.

Escriba aquí la ecuación.

Una funcion que no tiene antiderivada (es decir no la puedes integrar por los metodos conocidos, llámese sustitucion, por partes, universal, etc). Se puede expresar como una sucesion de la serie de tailor

f(x)= f(x0) +(x - x0) f'(x0) + (x-x0)^2 f''(X0) / 2! + .... + (x-x0)^n f^n (x0) / n! ....  

Es decir imaginemos que tu quieres expresar la serie de Taylor de e^x en el punto 0 (eso es super importante el punto)f(x)= e^xf(x)= f(x0) +(x - x0) f'(x0)/ + (x-x0)^2 f''(X0) / 2! + .... + (x-x0)^n f^n (x0) / n! .... f(x)=e^(0) + (x - 0 )e^(0)/2! + (x -0)^3 e^(0) / 2! + ..... (x-0)^n / n¡f(x)= 1 + x + x^2 /2¡ + x^3/3¡ + x^n / n¡

Eso se define como La sumartoria desde i=0 hasta n de X^n / n¡ 

Es decir no tienes que hacer el proceso solo debes aprenderte la ultima formula... Ahora para que te sirve eso.... bueno es para integrar funciones que no tienen antiderivada, por ejemplo e^x^2 (e elevado a la x al cuadrado) por mas que intentes no podras integrar eso.

Entonces expresas la funcion como una serie de taylor es decir e^x = X^n / n¡ e^x^2 = (X^2)^n / n¡ Integral(e^x^2)= Integral (X^2n)/n¡ Ahora solo tienes que integrar un polinomio y la respuesta es:Integral(e^x^2)= (X^2n +1) / n¡(2n+1)

1.- Calcule la serie de maclaurin para .

Solución

Si para toda x, por tanto, para toda n. así, de la ecuación de maclaurin se tiene la serie de maclaurin:

Obtenga la serie te Taylor para sen x en a.

si ƒ(x) = sen x, entonces ƒ`(x) = cos x, ƒ``(x) = -sen x, ƒ````(x) = -cos x, (x) = sen x, y así sucesivamente. De este modo, de la fórmula de Taylor,

la serie de Taylor requerida se obtiene del teorema serie de Taylor.

2.-Utilizando la definición de desarrollo de Taylor ( ó de MacLaurin ) se obtiene:

Sea f ( z )=ez. Es entera y f

(n)( z )=ez , f(n)(0 )=1 ∀ n∈N

Luego: e z=1+ z

1 !+ z

2

2 !+.. .+ z

n

n !+ .. .=∑

n=0

∞ zn

n ! ; R=∞

Análogamente:

senz=z− z3

3 !+ z

5

5 !−. . .+(−1)n z2n+1

(2n+1 )!+. ..=∑

n=0

∞ (−1)n z2 n+1

(2n+1)! ; R=∞

cos z=1− z

2

2!+ z

4

4 !−.. .+(−1)n z2 n

(2n )!+. . .=∑

n=0

∞ (−1)n z2 n

(2n )! , R=∞

Shz=∑

n=0

∞ z2n+1

(2n+1 )! , R=∞ ; Chz=∑

n=0

∞ z2n

(2n )! , R=∞

3.- Como consecuencia de los anteriores es inmediato que por ejemplo:

e− z=∑

n=0

∞ (−1 )n zn

n ! R=∞ e3 z=∑

n=0

∞ 3n zn

n! R=∞

e z

2

=∑n=0

∞ z2n

n ! R=∞ sen5 z=∑

n=0

∞ (−1)n52 n+1 z2n+1

(2n+1) ! R=∞

4.- A partir de la serie geométrica

11−z

=1+z+z2+ .. .+zn+. ..=∑n=0

∞zn

, R=1 pueden obtenerse de forma inmediata:

11+ z

=1−z+z2−. ..+(−1 )n zn+. ..=∑n=0

∞(−1 )n zn

; R=1

1

1+ z2=1−z2+z4−z6+. ..=∑

n=0

∞(−1)n z2 n

; R=1

1

9−z2=

19

1−( z 3 )2=19 [1+( z3 )

2

+( z3 )4

+.. .]=∑n=0

∞ z2n

32n+2 R=3