Cálculo de varias variables 4e, Zill

1. Clculo de varias variables 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 26/11/10 22:52 Pgina i

2. 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 26/11/10 22:52 Pgina ii 3. Marlene Aguilar balo Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM), Campus Ciudad de Mxico Fidel Castro Lpez Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica (ESIME), Instituto Politcnico Nacional, Mxico Roco Cerecero Lpez Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM), Campus Cuernavaca, Mxico Jos Job Flores Godoy Universidad Iberoamericana, Ciudad de Mxico Enrique Arturo Galvn Flores Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica (ESIME), Instituto Politcnico Nacional, Mxico Joel Ibarra Escutia Instituto Tecnolgico de Toluca, Toluca, Mxico Linda Margarita Medina Herrera Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM), Campus Ciudad de Mxico Carlos Enrique Peralta Santa Cruz Universidad Continental de Ciencias e Ingeniera, Huancayo, Per John Alexander Prez Seplveda Universidad Nacional de Colombia, Medelln, Colombia Jorge Augusto Prez Alczar Escuela Colombiana de Ingeniera, Bogot, Colombia Petr Zhevandrov Facultad de Ingeniera, Universidad de la Sabana, Bogot, Colombia MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO SO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TORONTO Revisin tcnica: Dennis G. Zill Loyola Marymount University Warren S.Wright Loyola Marymount University Clculo de varias variablesCuarta edicin 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 7/12/10 11:49 Pgina iii Ramiro Saldaa Acosta Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey (ITESM), Campus Laguna, Mxico 4. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos Editor sponsor: Pablo E. Roig Vzquez Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha M. Editor de desarrollo: Edmundo Carlos Ziga Gutirrez Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca Traductores: Gabriel Nagore Czares CLCULO DE VARIAS VARIABLES Cuarta edicin Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS 2011 respecto a la primera edicin en espaol por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Prolongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre A, Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegacin lvaro Obregn, C.P. 01376, Mxico, D. F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736 ISBN 13: 978-607-15-0500-2 Translated from the 4th edition of: Calculus. Early transcendentals by Dennis G. Zill and Warren S. Wright. Copyright 2011 by Jones and Bartlett Learning, 40 Tall Pine Drive, Sudbury, MA 01776. All rights reserved. 978-0-7637-5995-7 1234567890 1098765432101 Impreso en China Printed in China Educacin 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 26/11/10 22:52 Pgina iv 5. Para el instructor Filosofa La cuarta edicin de Clculo: trascendentes tempranas constituye una revisin sustancial de la ltima edicin. Aunque en esta edicin hay mucho material nuevo, he intentado preservar intac- to mi objetivo original de compilar un texto de clculo que no sea slo una coleccin de definiciones y teoremas, habilidades y frmulas para memorizar, as como problemas para resolver, sino un libro que se comunique con sus lectores ms importantes: los estudiantes. Deseo que estos cambios hagan ms relevante e interesante el texto tanto para el estudiante como para el profesor. Caractersticas de esta edicin Secciones y ejercicios La mayor parte del material se ha actualizado y, en algunos casos, reor- ganizado. Muchas secciones y conjuntos de ejercicios se han reescrito por completo; asimismo, se les han agregado muchos problemas nuevos, en especial aplicaciones, problemas que requie- ren el uso de calculadora y computadora, problemas conceptuales y problemas de proyectos. En su mayora, las aplicaciones agregadas pertenecen al mbito de la vida real en el sentido de que se han investigado exhaustivamente usando fuentes originales. Tambin se han agregado problemas relacionados con la interpretacin de grficas. Adems, se ha hecho nfasis en las funciones trigonomtricas tanto en los ejemplos como en los conjuntos de ejercicios a lo largo del texto. En esta edicin hay ms de 7 300 problemas. Como ayuda en la asignacin de problemas, cada conjunto de ejercicios est dividido clara- mente en grupos de problemas identificados con ttulos como Fundamentos, Aplicaciones, Mode- los matemticos, Proyectos, Problemas con calculadora/SAC, etctera. Creo que la mayora de los ttulos son autosuficientes, de modo que los problemas que aparecen bajo el encabezado Pien- se en ello tratan aspectos conceptuales del material cubierto en esa seccin y son idneos como tareas o para discutir en clase. En el texto no se proporciona respuesta alguna para estos problemas. Algunos estn identificados como Clsicos matemticos y reflejan el hecho de que han existido durante largo tiempo, aparecen en la mayor parte de los textos o presentan algn deta- lle interesante, mientras que otros problemas identificados como Un poco de historia muestran algn aspecto histrico. En este texto las ecuaciones diferenciales aparecen en dos captulos: 8 (el cual se incluye en el libro Clculo de una variable) y 16. Las ecuaciones de primer orden se consideran en el captulo 8 del libro Clculo de una variable para beneficio de aquellos estudiantes que encuentren sus aplicaciones en cursos de fsica e ingeniera. En el captulo 16 se consideran la solucin y las aplicaciones de ecuaciones diferenciales de orden superior. Por supuesto, los captulos 8 y 16 pueden combinarse y cubrirse como una unidad en cualquier punto del curso, una vez que se haya concluido el captulo 4 del libro Clculo de una variable. En el apndice se proporcionan demostraciones de algunos de los teoremas ms largos. Al final de las secciones correspondien- Prefacio v 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:43 Pgina v 6. tes aparecen esbozos biogrficos de algunos matemticos que han impactado de manera importante el desarrollo del clculo bajo la rbrica de Posdata: Un poco de historia. Caractersticas especiales Cada captulo empieza con su propia tabla de contenido y una introduccin al material referido en ese captulo. En la parte final del libro, despus del apndice, el lector encontrar la seccin Frmulas matemticas, que constituye una revisin compacta de conceptos bsicos de lgebra, geometra, trigonometra y clculo: las leyes de los exponentes, frmulas de factorizacin, desarrollos binomiales, tringulo de Pascal, frmulas de geometra, grficas y funciones, funciones trigonomtricas, funciones exponenciales y logartmicas, y frmulas de diferenciacin e integracin. La seccin denominada Autoevaluacin, que fue introducida en la ltima edicin, consta de 56 reactivos sobre cuatro amplias reas de preclculo en matemticas. Esta evaluacin intenta alentar a los estudiantes a revisar por s mismos algunos de los temas de prerrequisito esenciales, como valores absolutos, plano cartesiano, ecuaciones de rectas, crculos, etc., que se aplican a lo largo del texto. En la seccin de respuestas se proporcionan las soluciones a todos estos reactivos. Los usuarios de las tres ediciones previas han sido muy receptivos a las Observaciones con las que a menudo termina una seccin. En consecuencia, el nmero de stas ha aumentado y se les ha denominado Notas desde el aula. Se pretende que estas notas sean anlisis informales diri- gidos directamente al estudiante. Estos anlisis varan desde advertencias sobre errores algebrai- cos, de procedimiento y de notacin comunes, pasando por la interpretacin errnea de teoremas y consejos, hasta preguntas que piden al estudiante pensar en el tema y ampliar las ideas recin presentadas. Tambin, a solicitud de los usuarios, se ha incrementado el nmero de notas al margen y anotaciones de orientacin en los ejemplos. Figuras, definiciones, teoremas Debido a la gran cantidad de figuras, definiciones y teoremas que hay en este texto, he cambiado a un sistema de numeracin doble decimal. Por ejemplo, la interpretacin de figura 10.2.3 es Considero que este tipo de numeracin facilita encontrar, por ejemplo, un teorema o una figura a la que se hace referencia en una seccin o en un captulo posterior. Adems, para relacionar mejor una figura con el texto, la primera referencia textual a cada figura aparece con el mismo estilo y color de letra que el nmero de la figura. Por ejemplo, la primera referencia a la primera figura en la seccin 11.5 se proporciona como FIGURA 11.5.1, y todas las referencias subsecuen- tes se escriben en el estilo tradicional de la figura 11.5.1. Tambin, en esta edicin cada figura en el texto presenta un breve subttulo explicatorio. Materiales de apoyo Esta obra cuenta con interesantes complementos para fortalecer los procesos de enseanza-apren- dizaje y su evaluacin, y se otorgan a profesores que adoptan este texto para sus cursos. Para obtener ms informacin respecto de estos materiales, contacte a su representante McGraw-Hill. Para el estudiante Usted se ha matriculado en uno de los cursos ms interesantes de matemticas. Hace muchos aos, cuando yo era estudiante de Clculo I, me sorprendieron el poder y la belleza del material. Era distinto de cualquier tipo de matemticas que hubiera estudiado hasta ese momento. Era divertido, emocionante y constitua un desafo. Despus de ensear matemticas universitarias por muchos aos, he conocido infinidad de tipos de estudiante, desde el genio incipiente que invent su propio clculo hasta estudiantes que luchaban por dominar la mecnica ms elemen- tal del tema. A lo largo de estos aos tambin he sido testigo de un fenmeno triste: algunos estudiantes fracasan en clculo no porque encuentren que el tema es imposible, sino porque tienen habilidades deficientes de lgebra y un conocimiento inadecuado del trabajo en trigonometra. El clculo construye de inmediato sobre su conocimiento y habilidades previos, donde hay Captulo Seccin del captulo 10 T T 10.2.3 d Tercera figura de la seccin 10.2 vi Prefacio 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:43 Pgina vi 7. mucho terreno nuevo por cubrir. En consecuencia, hay muy poco tiempo para repasar las bases en el planteamiento formal del aula. As, quienes enseamos clculo debemos asumir que usted puede factorizar, simplificar y resolver ecuaciones, resolver desigualdades, manejar valores absolutos, usar una calculadora, aplicar las leyes de los exponentes, encontrar ecuaciones de rectas, graficar puntos, trazar grficas elementales y aplicar importantes identidades logartmicas y trigonomtricas, la habilidad de hacer lgebra y trigonometra, trabajar con exponentes y logaritmos, as como trazar a mano, con rapidez y precisin, grficas bsicas que son claves para tener xito en un curso de clculo. En la pgina xiii encontrar la seccin Autoevaluacin, que contiene 56 preguntas. Esta prueba es una oportunidad para que usted verifique sus conocimientos acerca de algunos temas que se tratan en este texto. Reljese, tome su tiempo, lea y trabaje cada pregunta, y luego compa- re sus respuestas con las que se proporcionan en la pgina RES-1. Sin tomar en cuenta su califi- cacin, lo alentamos a que revise material de preclculo en algn texto acerca de la materia. Unas palabras para los estudiantes que han cursado clculo en preparatoria: por favor, no asuman que pueden lograrlo con un esfuerzo mnimo porque identifican algunos de los temas en clculo diferencial e integral. Un sentimiento de familiaridad con el tema combinado con una actitud de complacencia a menudo es la razn del fracaso de algunos estudiantes. Aprender matemticas no es como aprender a andar en bicicleta: en que una vez que se aprende, la habilidad permanece para siempre. Las matemticas son ms como aprender otro idioma o tocar un instrumento musical: requiere tiempo, esfuerzo y mucha prctica para desarrollar y mantener la habilidad. Aun los msicos experimentados continan practicando escalas fundamentales. Por lo anterior, usted, el estudiante, slo puede aprender matemticas (es decir, hacer que se le pegue) mediante el trabajo arduo de hacer matemticas. Aunque he intentado hacer ms claros para el lector la mayora de los detalles en la solucin de un ejemplo, inevita- blemente usted tiene que completar los pasos faltantes. No puede leer un texto de este tipo como si fuese una novela; debe abrirse camino a lo largo de l con lpiz y papel en mano. En conclusin, le deseo la mejor de las suertes en este curso. Agradecimientos Compilar un libro de texto de esta complejidad es una tarea monumental. Adems de los auto- res, mucha gente invirti tiempo y energa en el proyecto. En primer lugar, me gustara expresar mi aprecio para los equipos editorial, de produccin y mercadotecnia de Jones y Bartlett, y a los siguientes revisores de esta edicin y las ediciones previas, quienes contribuyeron con numero- sas sugerencias, crticas vlidas e incluso ocasionalmente con algunas palabras de apoyo: Prefacio vii Scott Wilde, Baylor University Salvatore Anastasio, SUNY, New Paltz Thomas Bengston, Penn State University, Delaware County Steven Blasberg, West Valley College Robert Brooks, University of Utah Dietrich Burbulla, University of Toronto David Burton, Chabot College Maurice Chabot, University of Southern Maine H. Edward Donley, Indiana University of Pennsylvania John W. Dulin, GMI Engineering & Management Institute Arthur Dull, Diablo Valley College Hugh Easler, College of William and Mary Jane Edgar, Brevard Community College Joseph Egar, Cleveland State University Patrick J. Enright, Arapahoe Community College Peter Frisk, Rock Valley College Shirley Goldman, University of California at Davis Joan Golliday, Santa Fe Community College David Green, Jr., GMI Engineering & Management Institute Harvey Greenwald, California Polytechnic State University Walter Gruber, Mercy College of Detroit Dave Hallenbeck, University of Delaware Noel Harbetson, California State University at Fresno Bernard Harvey, California State University, Long Beach Christopher E. Hee, Eastern Michigan University Jean Holton, Tidewater Community College Rahim G. Karimpour, Southern Illinois University Martin Kotler, Pace University Carlon A. Krantz, Kean College of New Jersey George Kung, University of Wisconsin at Stevens Point John C. Lawlor, University of Vermont Timothy Loughlin, New York Institute of Technology Antonio Magliaro, Southern Connecticut Slate University Walter Fred Martens, University of Alabama at Birmingham William E. Mastrocola, Colgate University Jill McKenney, Lane Community College Edward T. Migliore, Monterey Peninsula College Carolyn Narasimhan, DePaul University Harold Olson, Diablo Valley College Gene Ortner, Michigan Technological University Aubrey Owen, Community College of Denver 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:43 Pgina vii 8. viii Prefacio Marvin C. Papenfuss, Loras College Don Poulson, Mesa Community College Susan Prazak, College of Charleston James J. Reynolds, Pennsylvania State University, Beaver Campus Susan Richman, Penn State University, Harrisburg Rodd Ross, University of Toronto Donald E. Rossi, De Anza College Lillian Seese, St. Louis Community College at Meramec Donald Sherbert, University of Illinois Nedra Shunk, Santa Clara University Phil R. Smith, American River College Joseph Stemple, CUNY Queens College Margaret Suchow, Adirondack Community College John Suvak, Memorial University of Newfoundland George Szoke, University of Akron Hubert Walczak, College of St. Thomas Richard Werner, Santa Rosa Junior College Loyd V. Wilcox, Golden West College Jack Wilson, University of North Carolina, Asheville Tambin me gustara extender un agradecimiento extraespecial para las siguientes personas: Jeff Dodd, Jacksonville State University, por el proyecto del problema 37 de los ejercicios 8.3. John David Dionisio, Loyola Marymount University, y Brian y Melanie Fulton, High Point University, por proporcionar las soluciones de problemas y ejercicios. Roger Cooke, University of Vermont, y Fred S. Roberts, Rutgers University, por haber dedicado tiempo de sus ocupados programas y contribuido con los excelentes ensayos de clculo. Carol Wright, por su ayuda en las etapas finales de preparacin del manuscrito de ste y otros textos. David Pallai, distribuidor, y Tim Anderson, editor, por soportar toda la liberacin verbal de mis frustraciones. Jennifer Bagdigian, gerente de produccin, por coordinar amablemente las fases de produccin y por su paciencia para aguantar mis cambios de carcter sin fin, y a Irving Drooyan y Charles Carico, por iniciar todo. Incluso con toda la ayuda mencionada, la precisin de cada letra, palabra, smbolo, ecuacin y figura contenidos en este producto final es responsabilidad del autor. Estar muy agradecido de contar con el aviso de cualquier error o errores tipogrficos que llamen la atencin. Las correc- ciones pueden enviarse a [email protected] En conclusin, doy la bienvenida a Warren Scott Wright, mi colega desde hace mucho tiempo en Loyola Marymount University, y autor de muchos de los suplementos que acompaan mis textos, como coautor de este texto. Dennis G. Zill Warren S. Wright 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:43 Pgina viii 9. Contenido ix Prefacio v Autoevaluacin xiii Ensayo: La historia del clculo xvii 10 Cnicas y coordenadas polares 547 10.1 Secciones cnicas 548 10.2 Ecuaciones paramtricas 560 10.3 Clculo y ecuaciones paramtricas 568 10.4 Sistema de coordenadas polares 573 10.5 Grficas de ecuaciones polares 576 10.6 Clculo en coordenadas polares 585 10.7 Secciones cnicas en coordenadas polares 592 Revisin del captulo 10 597 11 Vectores y espacio tridimensional 601 11.1 Vectores en el espacio bidimensional 602 11.2 Espacio tridimensional y vectores 608 11.3 Producto punto 614 11.4 Producto cruz 622 11.5 Rectas en el espacio tridimensional 629 11.6 Planos 634 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:43 Pgina ix 10. x Contenido 11.7 Cilindros y esferas 640 11.8 Superficies cudricas 643 Revisin del captulo 11 650 12 Funciones de valores vectoriales 655 12.1 Funciones vectoriales 656 12.2 Clculo de funciones vectoriales 661 12.3 Movimiento sobre una curva 668 12.4 Curvatura y aceleracin 673 Revisin del captulo 12 679 13 Derivadas parciales 681 13.1 Funciones de varias variables 682 13.2 Lmites y continuidad 688 13.3 Derivadas parciales 695 13.4 Linealizacin y diferenciales 703 13.5 Regla de la cadena 711 13.6 Derivada direccional 718 13.7 Planos tangentes y rectas normales 724 13.8 Extremos de funciones multivariables 728 13.9 Mtodo de mnimos cuadrados 735 13.10 Multiplicadores de Lagrange 737 Revisin del captulo 13 744 14 Integrales mltiples 749 14.1 La integral doble 750 14.2 Integrales iteradas 753 14.3 Evaluacin de integrales dobles 757 14.4 Centro de masa y momentos 764 14.5 Integrales dobles en coordenadas polares 768 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:43 Pgina x 11. 14.6 rea de la superficie 773 14.7 La integral triple 776 14.8 Integrales triples en otros sistemas de coordenadas 783 14.9 Cambio de variables en integrales mltiples 790 Revisin del captulo 14 796 15 Clculo integral vectorial 801 15.1 Integrales de lnea 802 15.2 Integrales de lnea de campos vectoriales 808 15.3 Independencia de la trayectoria 815 15.4 Teorema de Green 824 15.5 Superficies paramtricas y reas 830 15.6 Integrales de superficie 839 15.7 Rotacional y divergencia 845 15.8 Teorema de Stokes 851 15.9 Teorema de la divergencia 856 Revisin del captulo 15 863 16 Ecuaciones diferenciales de orden superior 867 16.1 Ecuaciones exactas de primer orden 868 16.2 Ecuaciones lineales homogneas 872 16.3 Ecuaciones lineales no homogneas 878 16.4 Modelos matemticos 883 16.5 Soluciones en series de potencias 891 Revisin del captulo 16 895 Apndice AP-1 Demostraciones de teoremas seleccionados AP-1 Frmulas matemticas FM-1 Repaso de lgebra FM-1 Frmulas de geometra FM-2 Grficas y funciones FM-4 Contenido xi 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina xi 12. Revisin de trigonometra FM-5 Funciones exponencial y logartmica FM-7 Diferenciacin FM-8 Frmulas de integracin FM-9 Respuestas de la autoevaluacin RES-1 Respuestas de los problemas impares seleccionados RES-2 ndice analtico ND-1 Crditos de fotografas C-1 xii Contenido 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina xii 13. Autoevaluacin Las respuestas a todas las preguntas estn en la pgina RES-29. Como preparacin para el clculo Matemticas bsicas 1. (Falso/verdadero) __________ 2. (Falso/verdadero) Para __________ 3. (Falso/verdadero) Para __________ 4. (Falso/verdadero) __________ 5. (Llene el espacio en blanco) En el desarrollo de (1 - 2x)3 , el coeficiente de x2 es __________. 6. Sin usar calculadora, evale 7. Escriba lo siguiente como una expresin sin exponentes negativos: . 8. Complete el trinomio cuadrado: 2x2 + 6x + 5. 9. Resuelva las ecuaciones: a) b) c) d) 10. Factorice completamente: a) b) c) d) Nmeros reales 11. (Falso/verdadero) Si a 6 b, entonces __________ 12. (Falso/verdadero) __________ 13. (Falso/verdadero) Si a 6 0, entonces __________ 14. (Llene el espacio en blanco) Si entonces x = __________ o x = _______. 15. (Llene el espacio en blanco) Si a 5 es un nmero negativo, entonces __________. 16. Cules de los siguientes nmeros son racionales? a) 0.25 b) c) d) e) f) g) 0 h) i) j) k) l) 17. Relacione el intervalo dado con la desigualdad idnea. i) (2, 4] ii) [2, 4) iii) (2, 4) iv) [2, 4] a) b) c) d) 18. Exprese el intervalo (-2, 2) como a) una desigualdad y b) una desigualdad que implique valores absolutos. 19. Trace la grfica de en la recta numrica.(q, 1] [3, q) 1 6 x 1 30 x 2 6 20x 30 10x 30 6 1 2 11 13 2 15 12 1 1 2 9 12116 22 7 p8.131313 p a 5 03x0 18, a a 6 0. 2(9)2 9. a2 6 b2 . x4 16 x3 27 x4 2x3 15x2 10x2 13x 3 x 1x 1 1 1 2x 1 1 x 0x2 2x 5x2 7x x21 2 (x2 4)1>2 2x 2x2x2 4 (27)5>3 . 2n 4n 1 2n. x 0, x3>2 1 x2>3 . a 7 0, (a4>3 )3>4 a. 2a2 b2 a b. xiii 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina xiii 14. 20. Encuentre todos los nmeros reales x que satisfacen la desigualdad Escriba su solucin usando notacin de intervalos. 21. Resuelva la desigualdad y escriba su solucin usando notacin de intervalos. 22. Resuelva la desigualdad y escriba su solucin usando notacin de intervalos. Plano cartesiano 23. (Llene el espacio en blanco) Si (a, b) es un punto en el tercer cuadrante, entonces (-a, b) es un punto en el __________ cuadrante. 24. (Llene el espacio en blanco) El punto medio del segmento de recta desde P1(2, -5) hasta P2(8, -9) es __________. 25. (Llene el espacio en blanco) Si (-2, 6) es el punto medio del segmento de recta desde P1(x1, 3) hasta P2(8, y2), entonces x1 =__________ y y2 = __________. 26. (Llene los espacios en blanco) El punto (1, 5) est en una grfica. Proporcione las coordenadas de otro punto de la grfica si la grfica es: a) simtrica con respecto al eje x. __________ b) simtrica con respecto al eje y. __________ c) simtrica con respecto al origen. __________ 27. (Llene los espacios en blanco) Las intersecciones x y y de la grfica de son, respectivamente, __________ y __________. 28. En cules cuadrantes del plano cartesiano es negativo el cociente xy? 29. La coordenada y de un punto es 2. Encuentre la coordenada x del punto si la distancia del punto a (1, 3) es 30. Encuentre una ecuacin del crculo para el cual (-3, -4) y (3, 4) son los puntos extremos de un dimetro. 31. Si los puntos P1, P2 y P3 son colineales como se muestra en la FIGURA A.1, encuentre una ecuacin que relacione las distancias d(P1, P2), d(P2, P3), y d(P1, P3). 32. Cul de las siguientes ecuaciones describe mejor el crculo de la FIGURA A.2? Los smbolos a, b, c, d y e representan constantes diferentes de cero. a) b) c) d) e) Rectas 33. (Falso/verdadero) Las rectas 2x + 3y = 5 y -2x + 3y = 1 son perpendiculares. __________ 34. (Llene el espacio en blanco) Las rectas 6x + 2y = 1 y kx 9y = 5 son paralelas si k = __________. 35. (Llene el espacio en blanco) Una recta con intercepcin x (-4, 0) e interseccin y (0, 32) tiene pendiente __________. 36. (Llene los espacios en blanco) La pendiente y las intersecciones x y y de la recta 2x - 3y + 18 = 0 son, respectivamente, __________, __________, y __________. 37. (Llene el espacio en blanco) Una ecuacin de la recta con pendiente -5 e interseccin y (0, 3) es __________. 38. Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por (3, -8) y es paralela a la recta 2x - y = -7. ax2 ay2 cx e 0 ax2 ay2 c 0 ax2 ay2 cx dy 0 ax2 ay2 cx dy e 0 ax2 by2 cx dy e 0 FIGURA A.1 Grfica para el problema 31 P3 P2 P1 126. 0y0 2x 4 x 3 6 x 2 x2 2x 15 03x 10 7 7. xiv Autoevaluacin FIGURA A.2 Grfica para el problema 32 x y 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina xiv 15. 39. Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por los puntos (-3, 4) y (6, 1). 40. Encuentre la ecuacin de la recta que pasa por el origen y por el punto de interseccin de las grficas de x + y = 1 y 2x - y = 7. 41. Una recta tangente a un crculo en un punto P del crculo es una recta que pasa por P y es perpendicular a la recta que pasa por P y el centro del crculo. Encuentre la ecuacin de la recta tangente L indicada en la FIGURA A.3. 42. Relacione la ecuacin dada con la grfica idnea en la FIGURA A.4. i) ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) a) b) c) d) e) f) g) h) FIGURA A.4 Grficas para el problema 42 Trigonometra 43. (Falso/verdadero) __________ 44. (Falso/verdadero) sen(2t) = 2 sen t. __________ 45. (Llene el espacio en blanco) El ngulo 240 grados es equivalente a ___________ radianes. 46. (Llene el espacio en blanco) El ngulo radianes es equivalente a ___________ grados. 47. (Llene el espacio en blanco) Si tan t = 0.23, __________. 48. Encuentre cos t si sen t = y el lado terminal del ngulo t est en el segundo cuadrante. 49. Encuentre los valores de las seis funciones trigonomtricas del ngulo u dado en la FIGURA A.5. 5 4 3 FIGURA A.5 Tringulo para el problema 49 1 3 tan(t p) p>12 1 sec2 u tan2 u. 2 2 y x 2 2 y x 2 2 y x 2 2 y x 2 2 y x 2 2 y x 2 2 y x 2 2 y x x 10y 10 0x 10y 10 0 10x y 10 010x y 10 0y 1 0 x 1 0x y 0x y 1 0 FIGURA A.3 Grfica para el problema 41 (x 3)2 (y 4)2 4 y x P L 4 Autoevaluacin xv 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina xv 16. 50. Exprese las longitudes b y c de la FIGURA A.6 en trminos del ngulo u. Logaritmos 51. Exprese el smbolo k en la declaracin exponencial como un logaritmo. 52. Exprese la declaracin logartmica log64 4 = como una declaracin exponencial equivalente. 53. Exprese como un logaritmo simple. 54. Use una calculadora para evaluar . 55. (Llene el espacio en blanco) __________. 56. (Falso/verdadero) __________(logb x)(logb y) logb(ylogb x ). b3logb10 log10 13 log10 3 logb 5 3logb10 logb40 1 3 e(0.1)k 5 c b 10 FIGURA A.6 Tringulo para el problema 50 xvi Autoevaluacin 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina xvi 17. Ensayo xvii La historia del clculo Por Roger Cooke University of Vermont Suele considerarse que el clculo es una creacin de los matemticos europeos del siglo XVII, cuyo trabajo ms importante fue realizado por Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1711). Esta percepcin tradicional en general es correcta. No obstante, cualquier teora a gran escala es un mosaico cuyas baldosas fueron colocadas a lo largo de mucho tiempo; y en cualquier teora viviente las baldosas continan colocndose de manera continua. La declaracin ms poderosa que los historiadores se arriesgan a hacer es que un patrn se hizo evidente en cierto momento y lugar. Es el caso del clculo. Podemos afirmar con cierta confianza que los primeros trabajos del tema aparecieron en el siglo XVII y que el patrn se aclar mucho ms gracias al trabajo de Newton y Leibniz. Sin embargo, muchos de los principios esenciales del clculo se descubrieron desde mucho antes, en la poca de Arqumedes (287-211 a.C.), y algunos de esos mismos descubrimientos se lograron de manera independiente en China y en Japn. Adems, si se escudria con ms profundidad en los problemas y mtodos del clculo, uno pron- to se encuentra en la persecucin de problemas que conducen a las reas modernas de la teora de funciones analticas, geometra diferencial y funciones de una variable real. Para cambiar la metfora del arte al transporte, podemos pensar que el clculo es una gran estacin de ferroca- rril, donde los pasajeros que llegan de muchos sitios diferentes estn juntos durante un tiempo breve antes de embarcarse hacia destinos diversos. En este ensayo tratamos de mirar en ambas direcciones desde esta estacin, hacia los puntos de origen y los destinos. Empecemos con la descripcin de la estacin. Qu es el clculo? El clculo suele dividirse en dos partes, denominadas clculo diferencial y clculo integral. El clculo diferencial investiga las propiedades de las razones de cambio com- parativas de variables que estn vinculadas por medio de ecuaciones. Por ejemplo, un resultado fundamental del clculo diferencial es que si y = xn , entonces la razn de cambio de y con respecto a x es nxn-1 . Resulta que cuando se usa la intuicin para pensar en ciertos fenmenos movimiento de los cuerpos, cambios en la temperatura, crecimiento de poblaciones y muchos otros, se llega a postular ciertas relaciones entre estas variables y sus razones de cambio. Estas relaciones se escriben en una forma conocida como ecuaciones diferenciales. As, el objetivo principal de estudiar clculo diferencial consiste en comprender qu son las razones de cambio y cmo escribir ecuaciones diferenciales. El clculo integral proporciona mtodos para recupe- rar las variables originales conociendo sus razones de cambio. La tcnica para hacer esto se denomina integracin, y el objetivo fundamental del estudio del clculo integral es aprender a resolver las ecuaciones diferenciales proporcionadas por el clculo diferencial. A menudo estos objetivos estn encubiertos en libros de clculo, donde el clculo diferencial se utiliza para encontrar los valores mximo y mnimo de ciertas variables, y el clculo integral se usa para calcular longitudes, reas y volmenes. Hay dos razones para recalcar estas aplicaciones en un libro de texto. Primero, la utilizacin completa del clculo usando ecuaciones diferenciales implica una teora ms bien complicada que debe presentarse de manera gradual; entre tanto, al estudiante debe ensersele algn uso de las tcnicas que se proponen. Segundo, Isaac Newton Gottfried Leibniz 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina xvii 18. estos problemas fueron la fuente de las ideas que condujeron al clculo; los usos que ahora hace- mos del tema slo se presentaron despus del descubrimiento de aqul. Al describir los problemas que llevaron al clculo y los problemas que pueden resolverse usando clculo, an no se han indicado las tcnicas fundamentales que hacen de esta disciplina una herramienta de anlisis mucho ms poderosa que el lgebra y la geometra. Estas tcnicas implican el uso de lo que alguna vez se denomin anlisis infinitesimal. Todas las construcciones y las frmulas de la geometra y el lgebra de preparatoria poseen un carcter finito. Por ejemplo, para construir la tangente de un crculo o para bisecar un ngulo se realiza un nmero finito de operaciones con regla y comps. Aunque Euclides saba considerablemente ms geometra que la que se ensea en cursos actuales modernos de preparatoria, l tambin se autoconfin esencialmente a procesos finitos. Slo en el contexto limitado de la teora de las proporciones permiti la presencia de lo infinito en su geometra, y aun as est rodeado por tanto cuidado lgico que las demostraciones implicadas son extraordinariamente pesadas y difciles de leer. Lo mismo ocurre en lgebra: para resolver una ecuacin polinomial se lleva a cabo un nmero finito de operaciones de suma, resta, multiplicacin, divisin y extraccin de raz. Cuando las ecuaciones pueden resolverse, la solucin se expresa como una frmula finita que implica coeficientes. Sin embargo, estas tcnicas finitas cuentan con un rango limitado de aplicabilidad. No es posible encontrar las reas de la mayora de las figuras curvas mediante un nmero finito de operaciones con regla y comps, y tampoco resolver ecuaciones polinomiales de grado mayor o igual que cinco usando un nmero finito de operaciones algebraicas. Lo que se quera era escapar de las limitaciones de los mtodos finitos, y esto condujo a la creacin del clculo. Ahora consideraremos algunos de los primeros intentos por desarrollar tcnicas para manipular los problemas ms difciles de la geometra, luego de lo cual trataremos de resumir el proceso mediante el que se trabaj el clculo, y finalmente exhibiremos algo de los frutos que ha producido. Las fuentes geomtricas del clculo Uno de los problemas ms antiguos en matemticas es la cuadratura del crculo; es decir, construir un cuadrado de rea igual a la de un crculo dado. Como se sabe, este problema no puede resolverse con regla y comps. Sin embargo, Arqumedes descubri que si es posible trazar una espiral, empezando en el centro de un crculo que hace exactamente una revolucin antes de llegar al crculo, entonces la tangente a esa espiral, en su punto de interseccin con el crculo, forma la hipotenusa de un tringulo rectngulo cuya rea es exactamente igual al crculo (vea la figura 1). Entonces, si es posible trazar esta espiral y su tangente, tambin lo es cuadrar el crculo. Arqumedes, no obstante, guard silencio sobre cmo podra trazarse esta tangente. Observamos que uno de los problemas clsicos en matemticas puede resolverse slo si es posible trazar cierta curva y su tangente. Este problema, y otros parecidos, originaron que el problema puramente matemtico de encontrar la tangente a una curva se volviera importante. Este problema constituye la fuente ms importante del clculo diferencial. El truco infinitesimal xviii Ensayo Crculo Espiral Tangente FIGURA 1 La espiral de Arqumedes. La tangente al final de la primera vuelta de la espiral y los dos ejes forman un tringulo con rea igual a la del crculo centrado en el origen y que pasa por el punto de la tangente 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina xviii 19. que permite la solucin del problema es considerar la tangente como la recta determinada por dos puntos en la curva infinitamente prximos entre s. Otra forma de decir lo mismo es que una pieza infinitamente corta de la curva es recta. El problema es que resulta difcil ser preci- so sobre los significados de las frases infinitamente prximos e infinitamente cortos. Poco avance se logr en este problema hasta la invencin de la geometra analtica en el siglo XVII por Pierre de Fermat (1601-1665) y Ren Descartes (1596-1650). Una vez que se pudo representar una curva por medio de una ecuacin, fue posible afirmar con ms confianza lo que se entenda por puntos infinitamente prximos, al menos para ecuaciones polinomiales como y = x2 . Con simbolismo algebraico para representar puntos en la curva, era posible considerar dos puntos sobre la curva con coordenadas x0 y x1, de modo que x1 x0 es la distancia entre las coordenadas x. Cuando la ecuacin de la curva se escriba en cada uno de estos puntos y una de las dos ecuaciones se restaba de la otra, un lado de la ecuacin resultante contena el factor x1 x0, que entonces poda eliminarse por divisin. Por lo tanto, si y entonces y1 - y0 = x1 2 - x0 2 = (x1 - x0) = (x1 + x0), de modo que Cuando (x1 = x0), se concluye que (y1 = y0), y la expresin carece de sentido. Sin embargo, la expresin x1 + x0 tiene el valor perfectamente definido 2x0. Entonces, es posible considerar a 2x0 como la razn de la diferencia infinitamente pequea en y; es decir, y1 - y0 a la diferencia infinitamente pequea en x; es decir, x1 - x0, cuando el punto (x1, y1) est infinitamente cerca del punto (y1, y0) sobre la curva y = x2 . Como aprender al estudiar clculo, esta razn proporciona suficiente informacin para trazar la recta tangente a la curva y = x2 . Excepto por pequeos cambios en la notacin, el razonamiento anterior es exactamente la forma en que Fermat encontr la tangente a una parbola. Sin embargo, estaba abierta a una objecin lgica: en un momento, ambos lados de la ecuacin se dividen entre x1 - x0, entonces en un paso posterior decidimos que x1 - x0 = 0. Puesto que la divisin entre cero es una opera- cin ilegal, parece que estamos tratando de comernos nuestro pastel y no hacerlo; es decir, no se pueden hacer ambas cosas. Tuvo que pasar algn tiempo para responder de manera convincente a esta objecin. Hemos visto que Arqumedes no pudo resolver el problema fundamental del clculo diferencial: trazar la tangente a una curva. Sin embargo, Arqumedes pudo resolver algunos de los problemas fundamentales del clculo integral. De hecho, encontr el volumen de una esfera mediante un sistema extremadamente ingenioso: consider un cilindro que contena un cono y una esfera e imagin cortar esta figura en una infinidad de rebanadas delgadas. Al suponer las reas de estas secciones del cono, la esfera y el cilindro, pudo demostrar cmo el cilindro equilibrara al cono y a la esfera si las figuras se colocan en los platos opuestos de una balanza. Este equilibrio proporcion una relacin entre las figuras, y como Arqumedes ya conoca los volmenes del cono y del cilindro, entonces pudo calcular el volumen de la esfera. Este razonamiento ilustra la segunda tcnica infinitesimal que se encuentra en los fundamentos del clculo: un volumen puede considerarse como una pila de figuras planas, y un rea puede considerarse como una pila de segmentos de rectas, en el sentido de que si cada seccin horizontal de una regin es igual a la misma seccin horizontal de otra regin, entonces las dos regiones son iguales. Durante el Renacimiento europeo este principio se volvi de uso muy comn bajo el nombre de mtodo de los indivisibles para encontrar las reas y los volmenes de muchas figuras. Hoy en da se denomina principio de Cavalieri en honor de Bonaventura Cavalieri (1598-1647), quien lo us para demostrar muchas de las frmulas elementales que ahora forman parte del clculo integral. El principio de Cavalieri tambin fue descubierto en otras tierras donde jams lleg la obra de Euclides. Por ejemplo, los matemticos chinos del siglo V Zu Chongzhi y su hijo Zu Geng hallaron el volumen de una esfera usando una tcnica bastante parecida al mtodo de Arqumedes. As, encontramos matemticos que anticiparon el clculo integral usando mtodos infinitesimales para encontrar reas y volmenes en una etapa muy temprana de la geometra, tanto en la Grecia como la China antiguas. As ocurre con el mtodo infinitesimal para trazar tangentes; no obstante, este mtodo para encontrar reas y volmenes estaba sujeto a objeciones. Por ejemplo, el volumen de cada seccin plana de una figura es cero; cmo es posible reunir una coleccin de ceros para obtener algo que no es cero? Adems, por qu el mtodo no funciona en una dimensin? Considere las secciones de un tringulo rectngulo paralelas a uno de sus catetos. y1 y0 x1 x0 y1 y0 x1 x0 x1 x0. y1 x2 1,y0 x2 0 Ensayo xix 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina xix 20. Cada seccin corta a la hipotenusa y al otro cateto en figuras congruentes; a saber, en un punto a cada uno. Sin embargo, la hipotenusa y el otro cateto no miden lo mismo. Objeciones como sta eran preocupantes. Los resultados obtenidos con estos mtodos fueron espectaculares. No obstante, los matemticos prefirieron aceptarlos como un acto de fe, seguir usndolos e intentar construir sus fundamentos ms tarde, justo como en un rbol cuando la raz y las ramas crecen al mismo tiempo. La invencin del clculo A mediados del siglo XVII se conocan muchas de las tcnicas y hechos elementales del clculo, incluso mtodos para encontrar las tangentes de curvas simples y frmulas de reas acotadas por estas curvas. En otras palabras, muchas de las frmulas que usted encontrar en los primeros captulos de cualquier libro de texto de clculo ya eran conocidas antes de que Newton y Leibniz iniciaran su obra. Lo que faltaba hasta fines del siglo XVII era tomar conciencia de que estos dos tipos de problemas estn relacionados entre s. Para ver cmo se descubri la relacin, es necesario abundar ms en las tangentes. Ya mencionamos que para trazar una tangente a una curva en un punto dado se requiere saber cmo encontrar un segundo punto en la recta. En la etapa inicial de la geometra analtica este segundo punto sola tomarse como el punto en que la tangente corta al eje x. La proyeccin sobre el eje x de la porcin de la tangente entre el punto de tangencia y la interseccin con el eje x se denominaba subtangente. En el estudio de las tangentes surgi un problema muy natural: recons- truir una curva, dada la longitud de su subtangente en cualquier punto. Por medio del estudio de este problema fue posible percibir que las ordenadas de cualquier curva son proporcionales al rea bajo una segunda curva cuyas ordenadas son las longitudes de las subtangentes a la curva original. El resultado es el teorema fundamental del clculo. El honor de haber reconocido de manera explcita esta relacin pertenece a Isaac Barrow (1630-1677), quien lo indic en un libro denominado Lectiones Geometricae en 1670. Barrow plante varios teoremas semejantes al teorema fundamental del clculo. Uno de ellos es el siguiente: Si se traza una curva de modo que la razn de su ordenada a su subtangente [esta razn es precisamente lo que ahora se denomina derivada] es proporcional a la ordenada de una segunda curva, entonces el rea bajo la segunda curva es proporcional a la ordenada de la primera. Estas relaciones proporcionaron un principio unificado para el gran nmero de resultados particulares sobre tangentes y reas que se haban encontrado con el mtodo de indivisibles a principios del siglo XVII: para encontrar el rea bajo una curva haba que hallar una segunda curva para la cual la razn de la ordenada a la subtangente sea igual a la ordenada de la curva dada. As, la ordenada de esa segunda curva proporciona el rea bajo la primera curva. En este punto el clculo estaba preparado para surgir. Slo requera de alguien que pro- porcionara mtodos sistemticos para el clculo de tangentes (en realidad, subtangentes) e in- vertiera ese proceso para encontrar reas. Es el trabajo realizado por Newton y Leibniz. Estos dos gigantes de la creatividad matemtica siguieron senderos bastante distintos en sus descubrimientos. El mtodo de Newton era algebraico y desarroll el problema de encontrar un mtodo efi- ciente para extraer las races de un nmero. Aunque apenas empez a estudiar lgebra en 1662, ya alrededor de 1665 las reflexiones de Newton sobre el problema de extraer races lo condujeron al descubrimiento de la serie infinita que actualmente se denomina teorema del binomio; es decir, la relacin Al combinar el teorema del binomio con tcnicas infinitesimales, Newton pudo deducir las frmulas bsicas del clculo diferencial e integral. Crucial en el enfoque de Newton fue el uso de series infinitas para expresar las variables en cuestin, y el problema fundamental que Newton no resolvi fue establecer que tales series podan manipularse justo como sumas finitas. Por tanto, en un sentido Newton llev al infinito desde una entrada a su madriguera slo para encontrar que una cara estaba frente a la otra. A partir de la consideracin de las variables como cantidades fsicas que cambian su valor con el tiempo, Newton invent nombres para las variables y sus razones de cambio que refleja- ban esta intuicin. Segn Newton, un fluent (x) es una cantidad en movimiento o que fluye; su fluxin (x) es su razn de flujo, lo que ahora se denomina velocidad o derivada. Newton expuso (1 x)r 1 rx r(r 1) 2 x2 r(r 1)(r 2) 1 . 2 . 3 r3 p xx Ensayo 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina xx 21. sus resultados en 1671 en un tratado denominado Fluxions escrito en latn, pero su obra no fue publicada sino hasta que apareci una versin en ingls en 1736. (La versin original en latn fue publicada por primera vez en 1742.) A pesar de la notacin y de sus razonamientos que parecen insuficientes y rudimentarios hoy en da, el tremendo poder del clculo brilla a travs del mtodo de las fluxiones de Newton en la solucin de problemas tan difciles como encontrar la longitud de arco de una curva. Se pensa- ba que esta rectificacin de una curva era imposible, pero Newton demostr que era posible encontrar un nmero finito de curvas cuya longitud poda expresarse en trminos finitos. El mtodo de Newton para el clculo era algebraico, como hemos visto, y hered el teorema fundamental de Barrow. Por otro lado, Leibniz trabaj el resultado fundamental desde 1670, y su enfoque era diferente al de Newton. Se considera a Leibniz como el pionero de la lgica simblica, y su opinin acerca de la importancia de la buena notacin simblica era mucho mejor que la de Newton. Invent la notacin dx y dy que sigue en uso. Para l, dx era una abre- viacin de diferencia en x, y representaba la diferencia entre dos valores infinitamente prximos de x. En otras palabras, expresaba exactamente lo que tenamos en mente hace poco cuando consideramos el cambio infinitamente pequeo x1 x0. Leibniz consideraba que dx era un nmero infinitesimal, diferente de cero, pero tan pequeo que ninguno de sus mltiplos poda exceder cualquier nmero ordinario. Al ser diferente de cero, poda servir como denominador en una fraccin, y as dy/dx era el cociente de dos cantidades infinitamente pequeas. De esta forma esperaba superar las objeciones al nuevo mtodo establecido para encontrar tangentes. Leibniz tambin realiz una aportacin fundamental en la tcnica controvertida de encontrar reas al sumar secciones. En lugar de considerar el rea [por ejemplo, el rea bajo una curva y = f(x)] como una coleccin de segmentos de recta, la consideraba como la suma de las reas de rectngulos infinitamente delgados de altura y = f(x) y base infinitesimal dx. Por tanto, la diferencia entre el rea hasta el punto x + dx y el rea hasta el punto x era la diferencia infinitesimal en rea dA = f(x) dx, y el rea total se encontraba sumando estas diferencias infinitesimales en rea. Leibniz invent la S alargada (el signo integral ) que hoy en da se usa universal- mente para expresar este proceso de suma. As expresaba el rea bajo la curva y = f(x) como A = dA = f(x) dx, y cada parte de este smbolo expresaba una idea geomtrica simple y clara. Con la notacin de Leibniz, el teorema fundamental del clculo de Barrow simplemente indica que el par de ecuaciones son equivalentes. Debido a lo que acaba de plantearse, esta equivalencia es casi evidente. Tanto Newton como Leibniz lograron grandes avances en matemticas, y cada uno posee bastante crdito por ello. Resulta lamentable que la estrecha coincidencia de su obra haya con- ducido a una enconada discusin sobre la prioridad entre sus seguidores. Algunas partes del clculo, que implican series infinitas, fueron inventadas en India durante los siglos XIV y XV. Jyesthadeva, matemtico indio de fines del siglo XV, proporcion la serie para la longitud de un arco de crculo, demostr este resultado y de manera explcita plante que esta serie converge slo si u no es mayor que 45. Si se escribe u = arctan x y se usa el hecho de que = tan u = x, esta serie se convierte en la serie normal para arctan x. De modo independiente, otras series fueron desarrolladas en Japn casi al mismo tiempo que en Europa. El matemtico japons Katahiro Takebe (1664-1739) encontr un desarrollo en serie equivalente a la serie para el cuadrado de la funcin arcsen. l consider el cuadrado de la mitad de arco a la altura h en un crculo de dimetro d; esto result ser la funcin f(h) = . Takebe careca de notacin para el trmino general de una serie, aunque descubri patrones en los coeficientes al calcular geomtricamente la funcin en el valor particular de h = 0.000001, d = 10 hasta un valor muy grande de cifras decimales ms de 50, y luego al usar esta precisin extraordinaria para refinar la aproximacin al sumar sucesivamente trminos correctivos. Q d 2 arcsen h d R 2 sen u cos u A f(x)dx, dA f(x)dx Ensayo xxi u r Q sen u cos u sen3 u 3cos3 u sen5 u 5cos5 u p R 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina xxi 22. Al proceder de esta manera pudo discernir un patrn en las aproximaciones sucesivas, a partir de lo cual, por extrapolacin, pudo plantear el trmino general de la serie: Despus de Newton y de Leibniz quedaba el problema de dar contenido al esqueleto inven- tado por estos dos genios. La mayor parte de su obra fue completada por matemticos de la Europa continental, en especial por el crculo creado por los matemticos suizos James Bernoulli (1655-1705) y John Bernoulli (1667-1748), as como el estudiante de este ltimo, el marqus de LHpital (1661-1704). stos y otros matemticos trabajaron las conocidas frmulas para las derivadas e integrales de funciones elementales que an se encuentran en libros de texto actuales. Las tcnicas esenciales de clculo eran conocidas a principios del siglo XVIII, y un libro de texto del siglo XVIII como la Introduccin al anlisis del infinito, de Euler (1748), en caso de haber estado traducida al espaol se vera bastante como un libro de texto moderno. El legado del clculo Una vez que hemos abordado las fuentes del clculo y el procedimiento con el que fue elaborado, a continuacin analizaremos brevemente los resultados que produjo. El clculo obtuvo una cantidad impresionante de triunfos en sus dos primeros siglos. Result que docenas de fenmenos fsicos previamente oscuros que implican calor, fluidez, mecnica celeste, elasticidad, luz, electricidad y magnetismo posean propiedades mensurables cuyas relaciones podan describirse como ecuaciones diferenciales. La fsica se comprometi para siempre en hablar el lenguaje del clculo. Sin embargo, de ninguna manera fueron resueltos todos los problemas surgidos de la fsica. Por ejemplo, no era posible encontrar, en trminos de funciones elementales conocidas, el rea bajo una curva cuya ecuacin implicaba la raz cuadrada de un polinomio cbico. Estas integrales surgieron a menudo tanto en geometra como en fsica, y llegaron a conocerse como integrales elpticas porque el problema de encontrar la longitud slo poda comprenderse cuando la variable real x se sustituye por una variable compleja z = x + iy. El replanteamiento del clculo en trminos de variables complejas condujo a mucho descubrimientos fascinantes, que termina- ron por ser codificados como una nueva rama de las matemticas denominada teora de funciones analticas. La definicin idnea de integracin sigui siendo un problema durante algn tiempo. Como consecuencia del uso de procesos infinitesimales para encontrar reas y volmenes surgieron las integrales. Deba la integral definirse como una suma de diferencias infinitesimales o como la inversa de la diferenciacin? Qu funciones podan integrarse? En el siglo XIX se propusie- ron muchas definiciones de la integral, y la elaboracin de estas ideas llev al tema conocido actualmente como anlisis real. Mientras las aplicaciones del clculo han continuado cosechando cada vez ms triunfos en un flujo interminable durante los ltimos trescientos aos, sus fundamentos permanecieron en un estado insatisfactorio durante la primera mitad de este periodo. El origen de la dificultad era el significado que haba de asociarse a la dx de Leibniz. Qu era esta cantidad? Cmo poda no ser positiva ni cero? De ser cero, no poda usarse como denominador; de ser positiva, entonces las ecuaciones en que apareca no eran realmente ecuaciones. Leibniz consideraba que los infinitesimales eran entes verdaderos, que las reas y los volmenes podan sintetizarse al sumar sus secciones, como haban hecho Zu Chongzhi, Arqumedes y otros. Newton tena menos confianza acerca de la validez de los mtodos infinitesimales, e intent justificar sus razonamientos en formas que pudiesen cumplir las normas del rigor euclideano. En su Principia Mathematica escribi: Estos lemas tienen el cometido de evitar el tedio de deducir ad absurdum demostraciones impl- citas, segn el mtodo de los gemetras de la antigedad. Las demostraciones son ms breves segn el mtodo de indivisibles, pero debido a que la hiptesis de indivisibles parece ser algo ms dura y, en consecuencia, ese mtodo se acepta como menos geomtrico, en lugar de ello elijo reducir las demostraciones de las siguientes proposiciones a las sumas y razones primera y ltima de cantidades que desaparecen; es decir, a los lmites de estas sumas y razones... En consecuencia, si en lo sucesivo debo considerar que las cantidades estn formadas de partculas, o debo usar pocas lneas curvas por las [rectas] idneas, no debe interpretarse que estoy queriendo decir cantidades indivisibles, sino cantidades divisibles que desaparecen. . . f(h) dhc1 a q n1 22n1 (n!)2 (2n 2)! Q h d R n d xxii Ensayo 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina xxii 23. . . . En cuanto a estas ltimas razones con las que desaparecen las cantidades, no son en verdad las razones de cantidades ltimas, sino lmites hacia los cuales las razones de cantidades decre- cientes sin lmite siempre convergen; y a los que tienden de manera ms prxima que con cualquier diferencia dada, aunque nunca van ms all, ni en el efecto alcanzado, hasta que las cantidades disminuyen in infinitum. En este pasaje Newton afirma que la falta de rigor implicado en el uso de razonamientos infinitesimales puede compensarse con el uso de lmites. Sin embargo, su planteamiento de este concepto en el pasaje citado no es tan claro como uno deseara. Esta falta de claridad condujo al filsofo Berkeley a referirse desdeosamente a los fluxiones como fantasmas de cantidades. Sin embargo, los avances alcanzados en fsica usando clculo fueron tan sobresalientes que durante ms de un siglo nadie se preocup en proporcionar el rigor al que aluda Newton (y los fsicos siguen sin preocuparse al respecto!). Una presentacin completamente rigurosa y siste- mtica del clculo lleg slo hasta el siglo XIX. Segn la obra de Augustin-Louis Cauchy (1789-1856) y Karl Weierstrass (1815-1896), la percepcin era que los infinitesimales eran meramente de naturaleza heurstica y que los estudiantes estaban sujetos a un riguroso enfoque epsilon-delta de los lmites. De manera sorpren- dente, en el siglo XX Abraham Robinson (1918-1974) demostr que es posible desarrollar un modelo lgicamente consistente de los nmeros reales en el que hay infinitesimales verdaderos, como crea Leibniz. Sin embargo, parece que este nuevo enfoque, denominado anlisis no estndar, no ha sustituido a la presentacin tradicional actual del clculo. Ejercicios 1. El tipo de espiral considerada por Arqumedes ahora se denomina as en su honor. Una espiral de Arqumedes es el lugar geomtrico de un punto que se mueve a velocidad constante a lo largo de un rayo que gira con velocidad angular constante alrededor de un punto fijo. Si la velocidad lineal a lo largo del rayo (la componente radial de su velocidad) es y, el punto est a una distancia yt del centro de rotacin (suponiendo que es donde empieza) en el instante t. Suponga que la velocidad angular de rotacin del rayo es v (radianes por unidad de tiempo). Dados un crculo de radio R y una velocidad radial de y, cul debe ser v para que la espiral llegue al crculo al final de su primera vuelta? Res. El punto tendr una velocidad circunferencial rv = yt v. Segn un principio enunciado en la Mecnica de Aristteles, la velocidad real de la partcula est dirigida a lo largo de la diagonal de un paralelogramo (en este caso un rectngulo) cuyos lados son las componen- tes. Use este principio para mostrar cmo construir la tangente a la espiral (que es la recta que contiene a la diagonal de este rectngulo). Compruebe que los lados de este rectngulo guardan la relacin 1 : 2p. Observe la figura 1. 2. La figura 2 ilustra cmo Arqumedes encontr la relacin entre los volmenes de la esfera, el cono y el cilindro. El dimetro AB est duplicado, haciendo BC = AB. Cuando esta figura se hace girar alrededor de esta recta, el crculo genera una esfera, el tringulo DBG genera un cono y el rectngulo DEFG genera un cilindro. Demuestre los hechos siguientes: a) Si B se usa como fulcro, el cilindro tiene como centro de gravedad el centro K del crculo y, en consecuencia, todo puede concentrarse ah sin cambiar la torsin alrededor de B. b) Cada seccin del cilindro perpendicular a la recta AB, permaneciendo en su posicin actual, equilibrara exactamente la misma seccin del cono ms la seccin de la esfera si stos dos se desplazaran al punto C. c) Por tanto, el cilindro concentrado en K equilibrara al cono y a la esfera que se concen- tran en C. d) En consecuencia, el cilindro es igual al doble de la suma del cono y la esfera. e) Puesto que se sabe que el cono es un tercio del cilindro, se concluye que la esfera debe ser un sexto de ste. f) Que el volumen del cilindro es 8pr2 . A2py R B Ensayo xxiii 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina xxiii 24. 3. El mtodo con el que Zu Chongzhi y Zu Geng encontraron el volumen de la esfera es el siguiente: imagine que la esfera es una pelota fuertemente adherida dentro de la interseccin de dos cilindros que forma ngulos rectos entre s. Luego, el slido formado por la interseccin de los dos cilindros (denominado paraguas doble en chino) y que contiene la pelota se ajusta perfectamente dentro de un cubo cuya arista es igual al dimetro de la esfera. A partir de esta descripcin, trace una seccin de la esfera dentro del paraguas doble formado por los ejes de los dos cilindros y a una distancia h debajo de este pleno. Comprue- be los hechos siguientes: a) Si el radio de la esfera es r, el dimetro de su seccin circular es b) Por tanto, el rea del cuadrado formado por esta seccin del paraguas doble es 4(r2 h2 ), de modo que el rea entre la seccin del cubo y la seccin del paraguas doble es c) La seccin correspondiente de una pirmide cuya base es la parte inferior de un cubo y cuyo vrtice est en el centro de la esfera (o del cubo) tambin tiene un rea de 4h2 . Por tanto, el volumen entre el paraguas doble y el cubo es exactamente el volumen de esta pirmide ms su imagen especular arriba del plano central. Concluya que la regin entre el paraguas doble y el cubo es un tercio del cubo. d) En consecuencia, el paraguas doble ocupa dos tercios del volumen del cubo; es decir, su volumen es e) Cada seccin circular de la esfera est inscrita en la seccin cuadrada correspondiente del paraguas doble. Por tanto, la seccin circular es de la seccin del paraguas doble. f) En consecuencia, el volumen de la esfera es del volumen del paraguas doble; es decir, . 4. Proporcione un razonamiento infinitesimal de que el rea de la esfera es tres veces su volumen dividido entre su radio, al suponer que la esfera es una coleccin de pirmides infinitamente delgadas donde todos los vrtices se encuentren adheridos al origen. [Suge- rencia: parta del hecho de que el volumen de una pirmide es un tercio del rea de su base multiplicada por su altura. Arqumedes afirmaba que ste es el razonamiento que lo condujo al descubrimiento del rea de la esfera.] 4 3pr3 p 4 p 4 16 3 r3 . 4r2 4(r2 h2 ) 4h2 . 22r2 h2 . xxiv Ensayo FIGURA 2 Seccin de la esfera, el cono y el cilindro de Arqumedes B K A C D E FG 00ZillT2(i-xxiv)Prel.qxd 29/10/10 09:44 Pgina xxiv 25. Cnicas y coordenadas polares En este captulo Una ecuacin rectangular o cartesiana no es la nica manera, y a menudo tampoco la ms conveniente, de describir una curva en el plano. En este captulo consideraremos dos medios adicionales mediante los cuales puede representarse una curva. Uno de los dos enfoques utiliza un tipo de sistema de coordenadas completamente nuevo. Empezamos este captulo con la revisin de la nocin de una seccin cnica. 547 10.1 Secciones cnicas 10.2 Ecuaciones paramtricas 10.3 Clculo y ecuaciones paramtricas 10.4 Sistema de coordenadas polares 10.5 Grficas de ecuaciones polares 10.6 Clculo en coordenadas polares 10.7 Secciones cnicas en coordenadas polares Revisin del captulo 10 Captulo 10 r Satlite AfelioPerihelio rp ra 10Zill547-568.qxd 18/9/10 13:00 Pgina 547 26. 10.1 Secciones cnicas Introduccin Hipatia es la primera mujer en la historia de las matemticas sobre la que se tiene un considerable conocimiento. Nacida en 370 d.C., en Alejandra, fue una matemtica y filsofa renombrada. Entre sus escritos est Sobre las cnicas de Apolonio, el cual populariz el trabajo de Apolonio (200 a.C.) sobre las curvas que se obtienen al intersecar un doble cono con un plano: el crculo, la parbola, la elipse y la hiprbola. Vea la FIGURA 10.1.1. Al finalizar el periodo griego se desvaneci el inters en las secciones cnicas; despus de Hipatia el estudio de estas curvas fue ignorado durante 1 000 aos. En el siglo XVII, Galileo demostr que ante la ausencia de resistencia del aire, la trayectoria de un proyectil sigue un arco parablico. Casi al mismo tiempo Johannes Kepler propuso la hiptesis de que las rbitas de los planetas alrededor del Sol son elipses con el Sol en un foco. Esto fue verificado despus por Isaac Newton, utilizando los mtodos del recin desarrollado clculo. Kepler experiment tambin con las propiedades de reflexin de los espejos parablicos. Estas investigaciones aceleraron el desarrollo del telescopio reflector. Los griegos supieron poco de estas aplicaciones prcticas: haban estudiado las cnicas por su belleza y propiedades fascinantes. En lugar de utilizar un cono, veremos en esta seccin cmo la parbola, la elipse y la hiprbola se definen mediante la distancia. Con el empleo de un sistema de coordenadas rectangular y la frmula de la distancia, obtendremos ecuaciones para las cnicas. Cada una de estas ecuaciones estar en la forma de una ecuacin cuadrtica en las variables x y y: (1) donde A, B, C, D, E y F son constantes. La forma estndar de un crculo con centro (h, k) y radio r, (2) es un caso especial de (1). La ecuacin (2) es un resultado directo de la definicin de un crculo: Un crculo se define como el conjunto de todos los puntos P(x, y) en el plano de coordenadas que se encuentran a una distancia fija r dada, denominada radio, a partir de un punto fijo dado (h, k), llamado centro. De manera similar, utilizamos la frmula de la distancia para obtener ecuaciones correspondien- tes a la parbola, la elipse y la hiprbola. La grfica de una funcin cuadrtica es una parbola. Sin embargo, no toda parbola es la grfica de una funcin de x. En general, una parbola se define de la siguiente manera: y ax2 bx c, a 0, (x h)2 (y k)2 r2 , Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0, crculo elipse parbola hiprbola FIGURA 10.1.1 Cuatro secciones cnicas 548 CAPTULO 10 Cnicas y coordenadas polares Hipatia Cuando el plano pasa por el vrtice del cono obtenemos una cnica degenerada: un punto, un par de rectas o una sola recta. Definicin 10.1.1 Parbola Una parbola es el conjunto de todos los puntos P(x, y) en el plano que son equidistantes de una lnea fija L, llamada directriz, y un punto fijo F, llamado foco. La lnea a travs del foco perpendicular a la directriz se denomina eje de la parbola. El punto de interseccin de la parbola y el eje se conoce como vrtice de la parbola. 10Zill547-568.qxd 26/10/10 12:03 Pgina 548 27. Ecuacin de una parbola Para describir una parbola analticamente, supondremos en aras de la discusin que la directriz L es la recta horizontal y -p y que el foco es F(0, p). Utilizando la definicin 10.1.1 y la FIGURA 10.1.2, observamos que es la misma que Al elevar al cuadrado ambos lados y simplificar se llega a (3) Afirmamos que (3) es la forma estndar de la ecuacin de una parbola con foco F(0, p) y directriz y -p. De la misma manera, si la directriz y el foco son, respectivamente, x -p y F(p, 0), encontramos que la forma estndar para la ecuacin de la parbola es (4) Aunque asumimos que en la figura 10.1.2, esto, desde luego, no necesariamente es el caso. La FIGURA 10.1.3 resume la informacin acerca de las ecuaciones (3) y (4). p 7 0 2x2 (y p)2 y p. d(F, P) d(P, Q) 10.1 Secciones cnicas 549 FIGURA 10.1.2 Parbola con vrtice (0, 0) y foco en el eje y y x F(0, p) Q(x, p)yp P(x, y) Sugerencia de graficacin para las ecuaciones (3) y (4). y x yx2 foco directrizy 0, 1 4 1 4( ) FIGURA 10.1.4 Grfica de la ecuacin del ejemplo 1 y foco vrtice eje a) x2 4py, p 0 directrizyp F(0, p) x y foco vrtice b) x2 4py, p 0 directrizy p F(0, p) x eje y focovrtice eje c) y2 4px, p0 directriz xp F( p, 0) x y foco vrtice d) y2 4px, p0 directriz xp F( p, 0) eje x FIGURA 10.1.3 Resumen grfico de las ecuaciones (3) y (4). y (2, 0) 2 2 x x2 FIGURA 10.1.5 Directriz y foco del ejemplo 2 EJEMPLO 1 Foco y directriz Determine el foco y la directriz de la parbola cuya ecuacin es y x2 . Solucin Al comparar la ecuacin y x2 con (3) es factible identificar los coeficientes de y, 4p 1 y por ello En consecuencia, el foco de la parbola es y su directriz es la recta horizontal La familiar grfica, junto con el foco y la directriz, se presentan en la FIGURA 10.1.4. Al conocer la forma parablica bsica, lo nico que necesitamos saber para dibujar una grfica aproximada de la ecuacin (3) o (4) es el hecho de que la grfica pasa por su vrtice (0, 0) y la direccin en la cual se abre la parbola. Para agregar ms exactitud a la grfica es conveniente utilizar el nmero p determinado por la ecuacin en forma estndar para dibujar dos puntos adicionales. Advierta que si se elige y p en (3), entonces implica De tal modo, (2p, p) y (-2p, p) yacen sobre la grfica de x2 = 4py. De manera similar, la eleccin x = p en (2) produce los puntos (p, 2p) y (p, - 2p) sobre la grfica de y2 = 4px. El segmento de recta a travs del foco con puntos frontera (2p, p), (- 2p, p) para las ecuaciones con forma estndar (3), y (p, 2p), (p, -2p) para ecuaciones con la forma estndar (4) recibe el nombre de cuerda focal. Por ejemplo, en la figura 10.1.4, si elegimos entonces implica Los puntos frontera de la cuerda focal horizontal para y = x2 son A- , B y A , B. EJEMPLO 2 Determinacin de la ecuacin de una parbola Determine la ecuacin en forma estndar de la parbola con directriz x 2 y foco (-2, 0). Grafique. Solucin En la FIGURA 10.1.5 hemos graficado la directriz y el foco, y nos hemos dado cuenta, por su ubicacin, que la ecuacin que buscamos es de la forma y2 4px. Puesto que p -2, la parbola se abre hacia la izquierda y por ello Como mencionamos en la discusin precedente a este ejemplo, si sustituye en la ecuacin y2 -8x es posible que encontremos dos puntos sobre su grfica. De y2 8(2) 16 x p 2 1 4 1 2 1 4 1 2 x 1 2.x2 1 4y 1 4, x 2p.x2 4p2 y 1 4. A0, 1 4Bp 1 4. x2 4py. y2 4px. y2 4( 2)x o y2 8x. 10Zill547-568.qxd 18/9/10 13:00 Pgina 549 28. se obtiene Como se muestra en la FIGURA 10.1.6, la grfica pasa por (0, 0) as como a travs de los puntos frontera (-2, -4) y (-2, 4) de la cuerda focal. Vrtice trasladado a (h, k) En general, la forma estndar de la ecuacin de una parbola con vrtice (h, k) est dada por (5) o (6) Las parbolas definidas por estas ecuaciones son idnticas en forma a las parbolas definidas por las ecuaciones (3) y (4) debido a que las ecuaciones (5) y (6) representan transformaciones rgi- das (desplazamientos hacia arriba, abajo, a la izquierda y a la derecha) de las grficas de (3) y (4). Por ejemplo, la parbola tiene vrtice (-1, 5). Su grfica es la de x2 = 8y desplazada horizontalmente una unidad hacia la izquierda seguida de un desplazamiento vertical hacia arriba de cinco unidades. En cada una de las ecuaciones, (3) y (4) o (5) y (6), la distancia del vrtice al foco, as como la distancia del vrtice a la directriz, es EJEMPLO 3 Determinacin completa Encuentre el vrtice, foco, eje, directriz y grfica de la parbola (7) Solucin Con el fin de escribir la ecuacin en una de las formas estndares, completamos el cuadrado en y: Al comparar la ltima ecuacin con (6) concluimos que el vrtice es (-4, 2) y que 4p 8 o p 2. De acuerdo con la parbola se abre hacia la derecha y el foco est a 2 unidades a la derecha del vrtice en (-2, 2). La directriz es la recta vertical a 2 unidades a la izquierda del vrtice x -6. Una vez que sabemos que la parbola se abre hacia la derecha desde el punto (-4, 2), eso nos indica que la grfica tiene intersecciones. Para encontrar la interseccin con el eje x se deja y 0 en (7) y se determina de inmediato que La interseccin con x es Para determinar la interseccin con y dejamos x = 0 en (7) y se encuentra a partir de la frmula cuadrtica que o y Las intersecciones con y son y Al juntar toda esta informacin obtenemos la grfica de la FIGU- RA 10.1.7. La elipse se define como sigue: (0, 2 412).(0, 2 412) y 3.66.y 7.66y 2 412 A7 2, 0B. x 7 2. p 2 7 0, y2 4y 8x 28 0. 0 p0. (x 1)2 8(y 5) y 4. 550 CAPTULO 10 Cnicas y coordenadas polares Definicin 10.1.2 Elipse Una elipse es un conjunto de puntos P(x, y) en el plano tal que la suma de las distancias entre P y dos puntos fijos F1 y F2 es una constante. Los puntos fijos F1 y F2 se llaman focos. El punto medio del segmento de recta que une a F1 y F2 se denomina centro de la elipse. y x y2 8x (2, 4) (2, 4) FIGURA 10.1.6 Grfica de la parbola del ejemplo 2 y x (2, 2) (y2)2 8(x 4) x6 (4, 2) FIGURA 10.1.7 Grfica de la ecuacin del ejemplo 3 foco foco FIGURA 10.1.8 Una manera de dibujar una elipse FIGURA 10.1.9 Elipse con centro (0, 0) y focos en el eje x y x P(x, y) F2(c, 0)F1(c, 0) d1 d2 Si P es un punto de la elipse y son las distancias desde los focos hasta P, entonces la definicin 10.1.2 afirma que (8) donde es una constante. En un nivel prctico (8) puede utilizarse para dibujar una elipse. La FIGURA 10.1.8 muestra que si una cuerda de longitud k se une a un papel por medio de dos tachuelas, entonces puede trazarse una elipse insertando un lpiz contra la cuerda y movindolo de tal manera que la cuerda per- manezca tirante. Ecuacin de una elipse Por conveniencia elegiremos k 2a y pondremos los focos sobre el eje x con coordenadas y Vea la FIGURA 10.1.9. De (8) se concluye que (9)2(x c)2 y2 2(x c)2 y2 2a. F2(c, 0).F1(c, 0) k 7 0 d1 d2 k, d2 d(F2, P)d1 d(F1, P), (y k)2 4p(x h). (x h)2 4p(y k) (y 2)2 8(x 4). d sume 4 a ambos ladosy2 4y 4 8x 28 4 10Zill547-568.qxd 18/9/10 13:00 Pgina 550 29. Al elevar al cuadrado (9), simplificar y elevar al cuadrado otra vez obtenemos (10) En la figura 10.1.9 advertimos que los puntos F1, F2 y P forman un tringulo. Como la suma de las longitudes de cualesquiera dos lados de un tringulo es mayor que el lado restante, tenemos o En consecuencia, Cuando dejamos entonces (8) se convierte en Al dividir esta ltima ecuacin entre a2 b2 se llega a (11) La ecuacin (11) se denomina la forma estndar de la ecuacin de una elipse centrada en (0, 0) con focos (- c, 0) y (c, 0), donde c est definida por b2 = a2 - c2 y Si los focos se ubican sobre el eje y, entonces la repeticin del anlisis anterior conduce a (12) La ecuacin (12) se llama la forma estndar de la ecuacin de una elipse centrada en (0, 0) con focos (0, - c) y (0, c), donde c est definida por b2 = a2 - c2 y Ejes mayor y menor El eje mayor de una elipse es el segmento de recta que pasa por su centro, contiene a los focos y con puntos frontera sobre la elipse. Para una elipse con ecuacin estndar (11), el eje mayor es horizontal mientras que para (12) el eje mayor es vertical. El segmen- to de recta que pasa por el centro, perpendicular al eje mayor, y con puntos frontera sobre la elipse recibe el nombre de eje menor. Los dos puntos frontera del eje mayor se denominan vrtices de la elipse. Para (11) los vrtices son las intersecciones con el eje x. Si dejamos y 0 en (11) da Los vrtices son entonces (-a, 0) y (a, 0). Para (12) los vrtices son las intersecciones con el eje y (0, - a) y (0, a). Para la ecuacin (11), los puntos frontera del eje menor son (0, -b) y (0, b); para (12) los puntos frontera son (-b, 0) y (b, 0). Para (11) o (12), la longitud del eje mayor es la longitud del eje menor corresponde a 2b. Puesto que el eje mayor de una elipse es siempre mayor que el eje menor. Un resumen de esta informacin para las ecuaciones (11) y (12) aparece en la FIGURA 10.1.10. EJEMPLO 4 Vrtices, focos, grfica Determine los vrtices y focos de la elipse cuya ecuacin es Grafique. Solucin Si divide ambos lados de la igualdad entre 27, la forma estndar de la ecuacin es Advierta que y por ello se identifica la ecuacin con (12). De y b2 = 3 obtenemos y El eje mayor es vertical con puntos frontera o vrtices (0, -3) y (0, 3). El ejeb 13.a 3 a2 99 7 3 x2 3 y2 9 1. 9x2 3y2 27. FIGURA 10.1.10 Resumen grfico de las ecuaciones (11) y (12) interseccin con el eje y (0, b) (0, b) interseccin con el eje y eje menor eje mayor focofoco centro (c, 0) (c, 0) vrtice (a, 0) vrtice (a, 0) y x a) 1, a b x2 a2 y2 b2 interseccin con el eje x (b, 0) y x interseccin con el eje x (b, 0) vrtice (0, a) (0, a) vrtice foco foco centro eje mayor eje menor (0, c) (0, c) b) 1, a b x2 b2 y2 a2 a 7 b, a (a) 2a; x a. a 7 b 7 0. a 7 b 7 0. b2 x2 a2 y2 a2 b2 . b2 a2 c2 ,a2 c2 7 0.a 7 c.2a 7 2c (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 ). 10.1 Secciones cnicas 551 x2 a2 y2 b2 1. x2 b2 y2 a2 1. 10Zill547-568.qxd 18/9/10 13:00 Pgina 551 30. menor es horizontal con puntos frontera (- , 0) y ( , 0). Desde luego, los vrtices tambin se encuentran en las intersecciones con el eje y y los puntos frontera del eje menor son las intersecciones con el eje x. En este caso, para encontrar los focos recurrimos a o para escribir Con obtenemos En consecuencia, los focos estn sobre el eje y en y La grfica se presenta en la FIGU- RA 10.1.11. Centro trasladado a (h, k) Cuando el centro est en (h, k), la forma estndar de la ecuacin de una elipse es (13) o (14) Las elipses definidas por estas ecuaciones son idnticas en forma a las elipses definidas por las ecuaciones (11) y (12) puesto que las ecuaciones (13) y (14) representan transformaciones rgi- das de las grficas (11) y (12). Por ejemplo, la grfica de la elipse con centro (1, -3) es la grfica de desplazada horizontalmente 1 unidad hacia la derecha seguida por un desplazamiento vertical hacia abajo de 3 unidades. No es una buena idea memorizar frmulas para los vrtices y focos de una elipse con centro (h, k). Todo es lo mismo que antes, a, b y c son positivos, a 7 b, a 7 c y c2 = a2 - b2 . Usted puede ubicar los vrtices, focos y puntos frontera del eje menor utilizando el hecho de que a es la distancia del centro al vrtice, b es la distancia del centro a un punto extremo sobre el eje menor y c es la distancia del centro a un foco. EJEMPLO 5 Determinacin completa Encuentre los vrtices y focos de la elipse Grafique. Solucin Para escribir la ecuacin dada en una de las formas estndares (13) o (14) se completa el cuadrado en x y en y. Para hacerlo, recuerde que se desean los coeficientes de los trminos cuadrticos x2 y y2 iguales a 1. Si factoriza 4 de los trminos x y 16 de los trminos y, obtiene o La ltima ecuacin produce la forma estndar (15) En (15) identificamos o o y o El eje mayor es horizontal y yace sobre la recta horizontal y = 3 que pasa por el centro (1, 3). Corresponde al segmento de recta horizontal punteado con rojo de la FIGURA 10.1.12. Al medir a = 4 unidades a la izquierda y luego a la derecha del centro a lo largo de la recta y = 3, llegamos a los vrtices (-3, 3) y (5, 3). Al medir b 2 unidades tanto arriba como abajo de la recta vertical x 1 a travs del centro llegamos a los puntos frontera (1, 1) y (1, 5) del eje menor. El eje menor es el segmento de recta vertical punteada en negro de la figura 10.1.12. Por ltimo, al medir unidades a la izquierda y a la derecha del centro a lo largo de y 3 obtenemos los focos y La definicin de una hiprbola es bsicamente la misma que la definicin de la elipse con slo una excepcin: la palabra suma se sustituye por la palabra diferencia. (1 213, 3).(1 213, 3) c 213 c 213.c2 a2 b2 12,b 2,b2 4a 4,a2 16 (x 1)2 16 (y 3)2 4 1. 4(x 1)2 16(y 3)2 64. 4x2 16y2 8x 96y 84 0. x2 >9 y2 >16 1 (x 1)2 9 (y 3)2 16 1 (0, 16).(0, 16) c 16.b 13,a 3,c 2a2 b2 .c2 a2 b2 b2 a2 c2 1313 552 CAPTULO 10 Cnicas y coordenadas polares FIGURA 10.1.11 Elipse del ejemplo 4 (0, 6) y x (0, 3) (0, 3) (0, 6) ( 3, 0) ( 3, 0) (1, 1) (1, 5) y x (5, 3) (1, 3) (3, 3) 1 (x1)2 16 4 (y3)2 FIGURA 10.1.12 Elipse del ejemplo 5 (x h)2 b2 (y k)2 a2 1. (x h)2 a2 (y k)2 b2 1 4(x2 2x 1) 16(y2 6y 9) 84 4 . 1 16 . 9 10Zill547-568.qxd 18/9/10 13:00 Pgina 552 31. Si P es un punto sobre la hiprbola, entonces (16) donde d1 = d(F1, P) y d2 = d(F2, P). Al proceder como para la elipse, ubicamos los focos sobre el eje x en y como se muestra en la FIGURA 10.1.13 y se elige la constante k igual a 2a por conveniencia algebraica. Como se ilustra en la figura, la grfica de una hiprbola consta de dos ramas. Hiprbola con centro (0, 0) Si aplica la frmula de la distancia y el lgebra usuales a (16) se obtiene la forma estndar de la ecuacin de una hiprbola centrada en (0, 0) con focos (-c, 0) y (c, 0), (17) Cuando los focos yacen sobre el eje x, la forma estndar de la ecuacin de una hiprbola centrada en (0, 0) con focos (0, -c) y (0, c) es (18) Tanto en (17) como en (18), c est definida por b2 = c2 - a2 y Para la hiprbola (a diferencia de la elipse) tenga en mente que en (17) y (18) no hay relacin entre los tamaos relativos de a y b; en vez de eso, a2 siempre es el denominador del trmino positivo y la ordenada al origen siempre tiene como una coordenada. Ejes transversal y conjugado El segmento de recta con puntos frontera sobre la hiprbola y que yace sobre la recta que pasa por los focos se denomina eje transversal; sus puntos frontera reciben el nombre de vrtices de la hiprbola. Para la hiprbola descrita por la ecuacin (17), el eje transversal yace sobre el eje x. Por tanto, las coordenadas de los vrtices son las intersecciones con el eje x. Si deja y 0 obtiene o De tal manera, como se muestra en la FIGURA 10.1.14, los vrtices son (-a, 0) y (a, 0); la longitud del eje transversal es 2a. Advierta que dejando y = 0 en (18) obtenemos -y2 b2 = 1 o y2 = -b2 , la cual no tiene soluciones reales. En consecuencia, la grafica de cualquier ecuacin en esa forma no tiene intersecciones con el eje y. De cualquier modo, los nmeros son importantes. El segmento de recta que pasa por el centro de la hiprbola perpendicular al eje transversal y con puntos frontera (0, -b) y (0, b) se llama eje conjugado. De manera similar, la grfica de una ecuacin en forma estndar (18) no tiene intersecciones con el eje x. El eje conjugado (18) es el segmento de recta con puntos frontera (-b, 0) y (b, 0). Esta informacin para las ecuaciones (17) y (18) se resume en la figura 10.1.14. Asntotas Toda hiprbola posee un par de asntotas inclinadas que pasan por su centro. Estas asntotas son indicativas del comportamiento final, y como tales son una ayuda invaluable en el tra- zado de la grfica de una hiprbola. Al resolver (17) con respecto a y en trminos de x obtenemos Cuando o cuando entonces Por tanto, para valores grandes de los puntos sobre la grfica de la hiprbola son cercanos a los puntos sobre estas rectas (19) Por un anlisis similar encontramos que las asntotas inclinadas para (18) son (20) 0x0, 21 a2 >x2 S 1.a2 >x2 S 0,x S q,x S q y b a x A 1 a2 x2 . b x a.x2 >a2 1, a c 7 a. F2(c, 0)F1(c, 0) 0d1 d2 0 k, 10.1 Secciones cnicas 553 Definicin 10.1.3 Hiprbola Una hiprbola es un conjunto de puntos P(x, y) en el plano tal que la diferencia de las distancias entre P y los puntos fijos F1 y F2 es constante. Los puntos fijos F1 y F2 reciben el nombre de focos. El punto medio del segmento de recta que une los puntos F1 y F2 se denomina centro de la hiprbola. FIGURA 10.1.13 Hiprbola con centro (0, 0) y focos en el eje x y F1(c, 0) F2(c, 0) P(x, y) d2 d1 x FIGURA 10.1.14 Resumen grfico de las ecuaciones (17) y (18) y x eje conjugado eje transversal centro foco vrtice vrtice foco (c, 0) (a, 0) (a, 0) (c, 0) (0, b) (0, b) a) 1 x2 a2 y2 b2 y x eje conjugado eje transversal centro (0, c) foco (0, a) vrtice (b, 0) (b, 0) (0, a) vrtice (0, c) foco b) 1 y2 a2 x2 b2 x2 a2 y2 b2 1 y2 a2 x2 b2 1. y b a x y y b a x. y a b x y y a b x. 10Zill547-568.qxd 18/9/10 13:00 Pgina 553 32. Cada par de asntotas se interseca en el origen, que es el centro de la hiprbola. Advierta, tambin, en la FIGURA 10.1.15a) que las asntotas son simplemente las diagonales extendidas de un rectngulo de ancho 2a (la longitud del eje transversal) y altura 2b (la longitud del eje conjugado) en la figura 10.1.15b) las asntotas son las diagonales extendidas de un rectngulo de ancho 2b y altura 2a. Recomendamos al lector que no memorice las ecuaciones (19) y (20). Hay un mtodo sen- cillo para obtener las asntotas de una hiprbola. Por ejemplo, puesto que es equivalente a (21) Note que la ltima ecuacin en (21) se factoriza como la diferencia de dos cuadrados: Al igualar a cero cada factor y resolver para y obtenemos una ecuacin de una asntota. La ecuacin (21) es simplemente el lado izquierdo de la forma estndar de la ecuacin de una hiprbola dada en (17). De manera similar, para obtener la asntota de (18) slo se sustituye 1 por 0 en la forma estndar, se factoriza y se resuelve para y. EJEMPLO 6 Vrtices, focos, asntotas, grficas Determine los vrtices, focos y asntotas de la hiprbola Grafique. Solucin Primero escribimos la ecuacin en forma estndar al dividir ambos lados de la igualdad entre 225: (22) A partir de esta ecuacin se advierte que y y por ello y Por tanto, los vrtices son (-5, 0) y (5, 0). Puesto que implica tenemos c2 = 34 y por ello los focos son (- , 0) y ( , 0). Para determinar las asntotas inclinadas se re- curre a la forma estndar (22) con 1 sustituido por 0: Al igualar a 0 cada factor y resolver para y obtenemos las asntotas Trazamos los vrtices y la grfica de las dos rectas que pasan por el origen. Ambas ramas de la hiprbola deben volverse arbitrariamente cercanas a las asntotas cuando Vea la FIGURA 10.1.16. Centro trasladado a (h, k) Cuando el centro de la hiprbola es (h, k), los anlogos de la forma estndar de las ecuaciones (17) y (18) son, a su vez, x S q. y 3x>5. 134134 c2 a2 b2 ,b2 c2 a2 b 3.a 5b2 9,a2 25 x2 25 y2 9 1. 9x2 25y2 225. y2 >a2 x2 >b2 0, Q x a y b R Q x a y b R 0. y b a x y x a) 1 (0, b) (a, 0)(a, 0) (0, b) x2 y b a x y b a x a2 y2 b2 y x (0, a) (b, 0)(b, 0) (0, a) y a b x y a b x b) 1 y2 a2 x2 b2 FIGURA 10.1.15 Hiprbolas (17) y (18) con asntotas inclinadas 554 CAPTULO 10 Cnicas y coordenadas polares ste es un dispositivo mnem- nico o de memoria. No tiene importancia geomtrica. y x y x 3 5 y x 3 5 x2 y2 25 9 1 FIGURA 10.1.16 Hiprbola del ejemplo 6 x2 a2 y2 b2 o x2 a2 y2 b2 0. x2 25 y2 9 0 se factoriza como Q x 5 y 3 R Q x 5 y 3 R 0. 10Zill547-568.qxd 18/9/10 13:00 Pgina 554 33. (23) y (24) Como en (17) y (18), los nmeros a2 , b2 y c2 estn relacionados mediante El lector puede localizar los vrtices y focos utilizando el hecho de que a es la distancia del centro a un vrtice y c es la distancia del centro a un foco. Es posible obtener las asntotas inclinadas de (23) factorizando De manera similar, las asntotas de (24) se obtienen al factorizar al igualar cada factor a cero y resolver para y en trminos de x. Como una verificacin de su trabajo, recuerde que (h, k) debe ser un punto que yace en cada asntota. EJEMPLO 7 Determinacin completa Encuentre el centro, vrtices, focos y asntotas de la hiprbola Grafique. Solucin Antes de completar el cuadrado en x y y, factorizamos el 4 de los dos trminos en x y -1 de los dos trminos en y de manera que el coeficiente en cada expresin es 1. Entonces tenemos Ahora vemos que el centro es (1, -2). Puesto que el trmino en la forma estndar que implica a x tiene el coeficiente positivo, el eje transversal es horizontal a lo largo de la recta y -2 e identificamos a 1 y b 2. Los vrtices estn a una unidad a la izquierda y a la derecha del centro en (0, -2) y (2, -2), respectivamente. De resulta por lo que En consecuencia, los focos estn a unidades a la izquierda y a la derecha del centro (1, -2) en y Para encontrar las asntotas, resolvemos para y. De encontramos que las asntotas son y Observe que al sustituir x = 1, ambas ecuaciones producen y = -2, lo que muestra que ambas rectas pasan por el centro. Ahora ubicamos el centro, trazamos los vrtices y graficamos las asntotas. Como se muestra en la FIGURA 10.1.17, la grfica de la hiprbola pasa por los vrtices y se vuelve cada vez ms cercana a las asntotas conforme Excentricidad A cada seccin cnica se asocia un nmero e llamado excentricidad. x S q. y 2x 4.y 2xy 2 2(x 1) (1 15, 2).(1 15, 2) 15c 15. c2 a2 b2 5,b2 c2 a2 4x2 y2 8x 4y 4 0. (y k)2 a2 (x h)2 b2 0, b2 c2 a2 . 10.1 Secciones cnicas 555 FIGURA 10.1.17 Hiprbola del ejemplo 7 y y 2x y2x4 (1, 2) (2, 2)(0, 2) 4x2 y2 8x4y40 x Definicin 10.1.4 Excentricidad La excentricidad de una elipse y una hiprbola es Desde luego, debe tener en mente que para una elipse y para una hiprbola A partir de las desigualdades y observamos, a su vez, que 0 6 a 6 2a2 b2 ,0 6 2a2 b2 6 ac 2a2 b2 . c 2a2 b2 (y k)2 a2 (x h)2 b2 1. (x h)2 a2 (y k)2 b2 1 (x h)2 a2 (y k)2 b2 0 como Q x h a y k b R Q x h a y k b R 0. (x 1)2 1 (y 2)2 4 0 o Qx 1 y 2 2 R Qx 1 y 2 2 R 0 e c a . (x 1)2 1 (y 2)2 4 1. (4 x 1)2 (y 2)2 4 (4 x2 2x 1) (y2 4y 4) 4 4 . 1 ( 1) . 4 10Zill547-568.qxd 18/9/10 13:00 Pgina 555 34. la excentricidad de una elipse satisface 0 6 e 6 1, y la excentricidad de una hiprbola satisface La excentricidad de una parbola se discutir en la seccin 10.7. EJEMPLO 8 Excentricidad Determine la excentricidad de a) la elipse en el ejemplo 5, b) la hiprbola en el ejemplo 7. Solucin a) En la solucin de ejemplo 5 encontramos que a 4 y En consecuencia, la excentricidad de una elipse es b) En el ejemplo 7 encontramos que a = 1 y Por consiguiente, la excentricidad de la hiprbola es La excentricidad es un indicador de la forma de una elipse o una hiprbola. Si , entonces y en consecuencia Esto significa que la elipse es casi circular. Por otro lado, si entonces y por ello Esto quiere decir que cada foco es cercano a un vrtice y debido a ello la elipse es elongada. Vea la FIGURA 10.1.18. Las formas de una hiprbola en los dos casos extremos y e mucho mayor que 1 se ilustran en la FIGURA 10.1.19. e 1 b 0.c 2a2 b2 ae 1, a b.c 2a2 b2 0 e 0 e 15>1 2.23. c 15. e A213B>4 13>2 0.87. c 213. e 7 1. 556 CAPTULO 10 Cnicas y coordenadas polares Disco de satlite de TV superficie reflectora foco rayos salientes de luz a) Los rayos emitidos en el foco se reflejan como rayos paralelos rayos entrantes de luz b) Los rayos entrantes se reflejan en el foco foco superficie reflectora FIGURA 10.1.20 Superficie reflectora parablica Telescopio reflector de 200 pulg en Monte Palomar F1 F2 FIGURA 10.1.21 Propiedad de reflexin de una elipse y x x y FIGURA 10.1.18 Efecto de excentricidad en la forma de una elipse a) e cercana a 1 FIGURA 10.1.19 Efecto de excentricidad sobre la forma de una hiprbola b) e cercana a 1 y x b) e mucho mayor que 1 y x a) e cercana a cero Aplicaciones La parbola tiene muchas propiedades que la hacen apropiada en ciertas aplicaciones. Las superficies reflectoras se disean para aprovechar la propiedad de reflexin de las parbolas. Estas superficies, llamadas paraboloides, son tridimensionales y se forman rotando una parbola alrededor de su eje. Como se ilustra en la FIGURA 10.1.20, los rayos de luz (o seales electrnicas) provenientes de una fuente puntual ubicada en el foco de una superficie reflectora parablica se reflejarn a lo largo de lneas paralelas al eje. sta es la idea detrs del diseo de reflectores de bsqueda, algunas luces de destellos y los platos satelitales de ubicacin. En sentido inverso, si los rayos de luz entrantes son paralelos al eje de una parbola, se reflejarn en la superficie a lo largo de lneas que pasan por el foco. Los haces de luz de un objeto distante tal como una galaxia son esencialmente paralelos, y por eso cuando estos haces entran a un telescopio reflector son reflejados por un espejo parablico hacia el foco, donde suele ubicarse una cmara para capturar la imagen a lo largo del tiempo. Un disco parablico satelital domstico opera bajo el mismo principio que el telescopio reflector; la seal digital de un satlite de tele- visin es capturada en el foco del disco por un receptor. Las elipses tienen una propiedad de reflexin anloga a la parbola. Es posible demostrar que si una fuente luminosa o sonora se ubica en uno de los focos de una elipse, entonces todos los rayos u ondas se reflejarn desde la elipse hacia el otro foco. Vea la FIGURA 10.1.21. Por ejemplo, si un techo es elptico con dos focos sobre (o cerca) del piso, pero con una considerable distancia entre ellos, entonces cualquier susurro en uno de los focos se escuchar en el otro. Algunas 10Zill547-568.qxd 18/9/10 13:00 Pgina 556 35. famosas galeras de los susurros son el Statuary Hall en el Capitolio en Washington, D.C., el Mormon Tabernacle en Salt Lake City y la Catedral de San Pablo en Londres. Mediante su ley de la gravitacin universal, Isaac Newton fue el primero en demostrar la primera ley del movimiento planetario de Kepler. La rbita de cada planeta alrededor del Sol es una elipse con el Sol en uno de los focos. EJEMPLO 9 Excentricidad de la rbita terrestre La distancia del perihelio de la Tierra (la distancia mnima entre la Tierra y el Sol) es aproxima- damente de mi, y su distancia del afelio (la distancia ms grande entre la Tierra y el Sol) es casi de mi. Cul es la excentricidad de la rbita elptica de la Tierra? Solucin Asumimos que la rbita de la Tierra es como se ilustra en la FIGURA 10.1.22. De acuerdo con la figura advertimos que La solucin de este sistema de ecuaciones produce y De tal modo, la excentricidad e = ca es Las rbitas de siete de los planetas tienen excentricidades menores que 0.1 y, en consecuencia, las rbitas no son muy alejadas de la circular. Mercu

Cálculo de varias variables 4e, Zill

Education

Transcript of Cálculo de varias variables 4e, Zill