1. Untitled-7 16/23/09 2:03:14 PM

2. Clculo 20-Prelim L2.indd i1/12/09 18:04:21 3. REVISORES TCNICOS MXICO Jos de Jess ngel ngel Universidad Anhuac Norte Miguel ngel Arredondo Morales Universidad Iberoamericana Len Vctor Armando Bustos Peter Instituto Tecnolgico y de Estudio Superiores de Monterrey, Campus Toluca Aureliano Castro Castro Universidad Autnoma de Sinaloa Javier Franco Chacn Tecnolgico de Monterrey, Campus Chihuahua Sergio Fuentes Martnez Universidad Anhuac Mxico Norte Enrique Gonzlez Acosta Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Sonora Norte Miguel ngel Lpez Mario Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Central de Veracruz Eleazar Luna Barraza Universidad Autnoma de Sinaloa Toms Narciso Ocampo Paz Instituto Tecnolgico de Toluca Velia Prez Gonzlez Universidad Autnoma de Chihuahua Ignacio Ramrez Vargas Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Hidalgo Hctor Selley Universidad Anhuac Norte Jorge Alberto Torres Guilln Universidad de Guadalajara Enrique Zamora Gallardo Universidad Anhuac NorteCOLOMBIA Petr Zhevandrov Universidad de La Sabana Jorge Augusto Prez Alczar Universidad EAN Liliana Barreto Arciniegas Pontificia Universidad Javeriana Gustavo de J. Castaeda Ramrez Universidad EAFIT Jairo Villegas G. Universidad EAFITPER Carlos Enrique Peralta Santa Cruz Universidad Continental de Ciencias e Ingeniera0-Prelim L2.indd ii1/12/09 18:04:21 4. Clculo 2 de varias variables Novena edicinRon Larson The Pennsylvania State University The Behrend CollegeBruce H. Edwards University of FloridaRevisin tcnica Marlene Aguilar Abalo Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de Mxico Jos Job Flores Godoy Universidad Iberoamericana Joel Ibarra Escutia Instituto Tecnolgico de Toluca Linda M. Medina Herrera Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de MxicoMXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO SO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TORONTO0-Prelim L2.indd iii1/12/09 18:04:21 5. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos Editor sponsor: Pablo E. Roig Vzquez Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha Martnez Editora de desarrollo: Ana L. Delgado Rodrguez Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca Traduccin: Joel Ibarra Escutia, ngel Hernndez Fernndez, Gabriel Nagore Czares, Sergio Antonio Durn ReyesCLCULO 2 DE VARIAS VARIABLES Novena edicin Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorizacin escrita del editor.DERECHOS RESERVADOS 2010, respecto a la novena edicin en espaol por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Edicio Punta Santa Fe Prolongacin Paseo de la Reforma Nm. 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe Delegacin lvaro Obregn C.P. 01376, Mxico, D.F. Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736ISBN 978-970-10-7134-2 Traducido de la novena edicin de: Calculus. Copyright 2010 by Brooks/Cole, a Cengage Learning Company. All rights reserved. ISBN-13: 978-1-4390-3033-2 TI es una marca registrada de Texas Instruments, Inc. Mathematica es una marca registrada de Wolfram Research, Inc. Maple es una marca registrada de Waterloo Maple, Inc. 1234567890109876543210Impreso en ChinaPrinted in China0-Prelim L2.indd iv1/12/09 18:04:21 6. C ontenido Unas palabras de los autores Agradecimientos Caractersticas CAPTULO 10Cnicas, ecuaciones paramtricas y coordenadas polares 10.1 Cnicas y clculo 10.2 Curvas planas y ecuaciones paramtricas PROYECTO DE TRABAJO: Cicloides 10.3 Ecuaciones paramtricas y clculo 10.4 Coordenadas polares y grficas polares PROYECTO DE TRABAJO: Arte anamrfico 10.5 rea y longitud de arco en coordenadas polares 10.6 Ecuaciones polares de las cnicas y leyes de Kepler Ejercicios de repaso SP Solucin de problemasCAPTULO 11Vectores y la geometra del espacio 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5Vectores en el plano Coordenadas y vectores en el espacio El producto escalar de dos vectores El producto vectorial de dos vectores en el espacio Rectas y planos en el espacio PROYECTO DE TRABAJO: Distancias en el espacio 11.6 Superficies en el espacio 11.7 Coordenadas cilndricas y esfricas Ejercicios de repaso SP Solucin de problemas CAPTULO 12Funciones vectoriales 12.1 Funciones vectoriales PROYECTO DE TRABAJO: Bruja de Agnesi 12.2 Derivacin e integracin de funciones vectoriales 12.3 Velocidad y aceleracin 12.4 Vectores tangentes y vectores normales 12.5 Longitud de arco y curvatura Ejercicios de repaso SP Solucin de problemasix x xii695 696 711 720 721 731 740 741 750 758 761763 764 775 783 792 800 811 812 822 829 831833 834 841 842 850 859 869 881 883 v0-Prelim L2.indd v1/12/09 18:04:22 7. viContenidoCAPTULO 13Funciones de varias variables 13.1 13.2 13.3Introduccin a las funciones de varias variables Lmites y continuidad Derivadas parciales PROYECTO DE TRABAJO: Franjas de Moir 13.4 Diferenciales 13.5 Regla de la cadena para funciones de varias variables 13.6 Derivadas direccionales y gradientes 13.7 Planos tangentes y rectas normales PROYECTO DE TRABAJO: Flora silvestre 13.8 Extremos de funciones de dos variables 13.9 Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables PROYECTO DE TRABAJO: Construccin de un oleoducto 13.10 Multiplicadores de Lagrange Ejercicios de repaso SP Solucin de problemas885 886 898 908 917 918 925 933 945 953 954 962 969 970 978 981Integracin mltiple98314.1 14.2 14.3 14.4CAPTULO 14984 992 1004 1012 1019 1020 1026 1027 1038 1044 1045 1052 1055Integrales iteradas y rea en el plano Integrales dobles y volumen Cambio de variables: coordenadas polares Centro de masa y momentos de inercia PROYECTO DE TRABAJO: Centro de presin sobre una vela 14.5 rea de una superficie PROYECTO DE TRABAJO: Capilaridad 14.6 Integrales triples y aplicaciones 14.7 Integrales triples en coordenadas cilndricas y esfricas PROYECTO DE TRABAJO: Esferas deformadas 14.8 Cambio de variables: jacobianos Ejercicios de repaso SP Solucin de problemas CAPTULO 15Anlisis vectorial 15.1 15.2 15.3Campos vectoriales Integrales de lnea Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria 15.4 Teorema de Green PROYECTO DE TRABAJO: Funciones hiperblicas y trigonomtricas 15.5 Superficies paramtricas 15.6 Integrales de superficie PROYECTO DE TRABAJO: Hiperboloide de una hoja 15.7 Teorema de la divergencia0-Prelim L2.indd vi1057 1058 1069 1083 1093 1101 1102 1112 1123 11241/12/09 18:04:22 8. Contenido15.8 Teorema de Stokes Ejercicios de repaso PROYECTO DE TRABAJO: El planmetro SP Solucin de problemasvii1132 1138 1140 1141Apndice AA-2Apndice BTablas de integracinA-4Soluciones de los ejercicios impares ndice analtico0-Prelim L2.indd viiDemostracin de teoremas seleccionadosA-9 I-571/12/09 18:04:22 9. U nas palabras de los autores Bienvenido a la novena edicin de Clculo! Nos enorgullece ofrecerle una nueva versin revisada de nuestro libro de texto. Mucho ha cambiado desde que escribimos la primera edicin hace ms de 35 aos. En cada edicin los hemos escuchado a ustedes, esto es, nuestros usuarios, y hemos incorporado muchas de sus sugerencias para mejorar el libro. A lo largo de los aos, nuestro objetivo ha sido siempre escribir con precisin y de manera legible conceptos fundamentales del clculo, claramente definidos y demostrados. Al escribir para estudiantes, nos hemos esforzado en ofrecer caractersticas y materiales que desarrollen las habilidades de todos los tipos de estudiantes. En cuanto a los profesores, nos enfocamos en proporcionar un instrumento de enseanza amplio que emplea tcnicas pedaggicas probadas, y les damos libertad para que usen en forma ms eficiente el tiempo en el saln de clase. Tambin hemos agregado en esta edicin una nueva caracterstica denominada ejercicios Para discusin. Estos problemas conceptuales sintetizan los aspectos clave y proporcionan a los estudiantes mejor comprensin de cada uno de los conceptos de seccin. Los ejercicios Para discusin son excelentes para esa actividad en el saln de clase o en la preparacin de exmenes, y a los profesores puede resultarles valioso integrar estos problemas dentro de su repaso de la seccin. stas y otras nuevas caractersticas se unen a nuestra pedagoga probada en el tiempo, con la meta de permitir a los estudiantes y profesores hacer el mejor uso del libro. Esperamos que disfrute la novena edicin de Clculo. Como siempre, sern bienvenidos los comentarios y sugerencias para continuar mejorando la obra.Ron LarsonBruce H. Edwardsix0-Prelim L2.indd ix1/12/09 18:04:22 10. A gradecimientos Nos gustara dar las gracias a muchas personas que nos ayudaron en varias etapas de este proyecto a lo largo de los ltimos 35 aos. Su estmulo, crticas y sugerencias han sido invaluables.Revisores de la novena edicin Ray Cannon, Baylor University Sadeq Elbaneh, Buffalo State College J. Fasteen, Portland State University Audrey Gillant, Binghamton University Sudhir Goel, Valdosta State University Marcia Kemen, Wentworth Institute of Technology Ibrahima Khalil Kaba, Embry Riddle Aeronautical University Jean-Baptiste Meilhan, University of California Riverside Catherine Moushon, Elgin Community College Charles Odion, Houston Community College Greg Oman, The Ohio State University Dennis Pence, Western Michigan University Jonathan Prewett, University of Wyoming Lori Dunlop Pyle, University of Central Florida Aaron Robertson, Colgate University Matthew D. Sosa, The Pennsylvania State University William T. Trotter, Georgia Institute of Technology Dr. Draga Vidakovic, Georgia State University Jay Wiestling, Palomar College Jianping Zhu, University of Texas at ArlingtonMiembros del Comit de Asesores de la novena edicin Jim Braselton, Georgia Southern University; Sien Deng, Northern Illinois University; Dimitar Grantcharov, University of Texas, Arlington; Dale Hughes, Johnson County Community College; Dr. Philippe B. Laval, Kennesaw State University; Kouok Law, Georgia Perimeter College, Clarkson Campus; Mara D. Neusel, Texas Tech University; Charlotte Newsom, Tidewater Community College, Virginia Beach Campus; Donald W. Orr, Miami Dade College, Kendall Campus; Jude Socrates, Pasadena City College; Betty Travis, University of Texas at San Antonio; Kuppalapalle Vajravelu, University of Central FloridaRevisores de ediciones anteriores Stan Adamski, Owens Community College; Alexander Arhangelskii, Ohio University; Seth G. Armstrong, Southern Utah University; Jim Ball, Indiana State University; Marcelle Bessman, Jacksonville University; Linda A. Bolte, Eastern Washington University; James Braselton, Georgia Southern University; Harvey Braverman, Middlesex County College; Tim Chappell, Penn Valley Community College; Oiyin Pauline Chow, Harrisburg Area Community College; Julie M. Clark, Hollins University; P.S. Crooke, Vanderbilt University; x0-Prelim L2.indd x1/12/09 18:04:22 11. AgradecimientosxiJim Dotzler, Nassau Community College; Murray Eisenberg, University of Massachusetts at Amherst; Donna Flint, South Dakota State University; Michael Frantz, University of La Verne; Sudhir Goel, Valdosta State University; Arek Goetz, San Francisco State University; Donna J. Gorton, Butler County Community College; John Gosselin, University of Georgia; Shahryar Heydari, Piedmont College; Guy Hogan, Norfolk State University; Ashok Kumar, Valdosta State University; Kevin J. Leith, Albuquerque Community College; Douglas B. Meade, University of South Carolina; Teri Murphy, University of Oklahoma; Darren Narayan, Rochester Institute of Technology; Susan A. Natale, The Ursuline School, NY; Terence H. Perciante, Wheaton College; James Pommersheim, Reed College; Leland E. Rogers, Pepperdine University; Paul Seeburger, Monroe Community College; Edith A. Silver, Mercer County Community College; Howard Speier, Chandler-Gilbert Community College; Desmond Stephens, Florida A&M University; Jianzhong Su, University of Texas at Arlington; Patrick Ward, Illinois Central College; Diane Zych, Erie Community CollegeMuchas gracias a Robert Hostetler, de The Behrend College, en The Pennsylvania State University, y a David Heyd, de la misma institucin, por sus importantes contribuciones a las ediciones previas de este texto. Una nota especial de agradecimiento a los profesores que respondieron nuestra encuesta y a los ms de dos millones de estudiantes que han usado las ediciones anteriores de la obra. Tambin quisiramos agradecer al personal de Larson Texts, Inc., que apoy en la preparacin del manuscrito, realiz el diseo editorial, levant la tipografa y ley las pruebas de las pginas y suplementos en la edicin en ingls. En el mbito personal, estamos agradecidos con nuestras esposas, Deanna Gilbert Larson y Consuelo Edwards, por su amor, paciencia y apoyo. Adems, una nota especial de gratitud para R. Scott ONeil. Si usted tiene sugerencias para mejorar este texto, por favor sintanse con la libertad de escribirnos. A lo largo de los aos hemos recibido muchos comentarios tiles tanto de los profesores como de los estudiantes, y los valoramos sobremanera. Ron Larson Bruce H. Edwards0-Prelim L2.indd xi1/12/09 18:04:22 12. C aractersticas Herramientas pedaggicas PARA DISCUSINPara discusin 72.NUEVO! Los ejercicios para discusin que aparecen ahora en cada seccin sintetizan los conceptos principales de cada una y muestran a los estudiantes cmo se relacionan los temas. A menudo constituyen problemas de varias partes que contienen aspectos conceptuales y no computacionales, y que pueden utilizarse en discusiones de clase o en la preparacin de exmenes.yfB C AConsiderar la longitud de la grca de f(x) (1, 5) hasta (5, 1): yDE xa) Entre qu par de puntos consecutivos es mayor la razn de cambio promedio de la funcin? b) La razn de cambio promedio de entre A y B es mayor o menor que el la razn de cambio instantneo en B? c) Trazar una recta tangente a la grca entre los puntos C y D cuya pendiente sea igual a la razn de cambio promedio de la funcin entre C y D.Desarrollo de conceptos 11.Utilizar la grfica para responder a las siguientes preguntas.5/x, desdey(1, 5)(1, 5) 5 4DESARROLLO DE CONCEPTOS5 4 33 2(5, 1)2(5, 1)11xx 1234512345a)Estimar la longitud de la curva mediante el clculo de la distancia entre sus extremos, como se muestra en la primera gura. b) Estimar la longitud de la curva mediante el clculo de las longitudes de los cuatro segmentos de recta, como se muestra en la segunda gura. c) Describir cmo se podra continuar con este proceso a n de obtener una aproximacin ms exacta de la longitud de la curva.Los ejercicios de desarrollo de conceptos son preguntas diseadas para evaluar la comprensin de los estudiantes en torno a los conceptos bsicos de cada seccin. Estos ejercicios animan a los estudiantes a verbalizar y escribir respuestas, lo que promueve habilidades de comunicacin tcnica que sern invaluables en sus futuras carreras.AYUDAS DE ESTUDIOLas ayudas de estudio distinguen errores comunes, indican casos especiales que pueden provocar confusin, y amplan a conceptos importantes. Estas ayudas proporcionan a los estudiantes informacin puntual, similar a los comentarios del profesor en clase.EJEMPLO 1Levantamiento de un objetoDeterminar el trabajo realizado al levantar un objeto de 50 libras a 4 pies. Solucin La magnitud de la fuerza requerida F es el peso del objeto, como se muestra en la gura 7.48. As, el trabajo realizado al levantar el objeto 4 pies esWFD Trabajo 50 4 Fuerza 200 libras-pies.(fuerza)(distancia). 50 libras, distancia4 pies.AYUDA DE ESTUDIO Cuando se use la definicin para encontrar la derivada de una funcin, la clave consiste en volver a expresar el cociente incremental (o cociente de diferencias), de manera que x no aparezca como factor del denominador. AYUDA DE ESTUDIO El ejemplo 3 tambin se puede resolver sin hacer uso de la regla de la cadena, si se observa quey x6 AYUDA DE ESTUDIO Tener en cuenta que se puede comprobar la respuesta de un problema de integracin al derivar la C l j l 73x43x21EJEMPLOSA lo largo del texto, se trabajan ejemplos paso a paso, que muestran los procedimientos y tcnicas para resolver problemas, y dan a los estudiantes una comprensin amplia de los conceptos del clculo.xii0-Prelim L2.indd xii1/12/09 18:04:22 13. CaractersticasxiiiEJERCICIOSLa prctica hace al maestro. Los ejercicios son con frecuencia el primer lugar que consultan los estudiantes en un libro de texto. Los autores han dedicado mucho tiempo analizndolos y revisndolos; el resultado es un completo y slido conjunto de ejercicios de diferentes tipos y niveles de dificultad al final de cada seccin para considerar todos los estilos de aprendizaje de los estudiantes.4.3EjerciciosEn los ejercicios 1 y 2, utilizar el ejemplo 1 como modelo para evaluar el lmite nlmnf ci iEn los ejercicios 13 a 22, formular una integral denida que produce el rea de la regin. (No evaluar la integral.) 13.xif x114.5f x6 5 44f xyx,x0,(Sugerencia: Sea ci 2.3f xyx,x33x0, 2163. 223i n .)0,x0,1i 3 n3.)(Sugerencia: Sea ciEn los ejercicios 3 a 8, evaluar la integral denida mediante la denicin de lmite. 15. 638 dx3.214x3 dx5.1 1x27.4x2 dx6.1 21 dx2x28.1f x3 Ciclo respiratorio El volumen V en litros de aire en los pulmo2 1 nes durante un ciclo respiratorio de cinco segundos se aproxima x x 1 2 3 mediante el modelo V 2 1 0.1729t 4 5 0.1522t 2 0.0374t 3 donde 1 2 3 4 5 t es el tiempo en segundos. Aproximar el volumen medio de aire en los pulmones16. f x un ciclo. durante x 2 4 x64. Promedio de ventas Una compaa ajusta un modelo a los datos y y de ventas mensuales de un producto de temporada. El modelo es 8 4 t t 3 0 t 24 1.8 0.5 sen , S t6 4 6 4 2 donde S son las ventas (en miles) y t es el tiempo en meses. 2 1x dx4.23xy5sobre la regin delimitada por las grcas de las ecuaciones. 1.6y3 dx2a)Utilizar una herramienta de graficacin para representar (t) 0.5 sen( t 6) para 0 t 24. Emplear la grfica para explicar por qu el valor medio de (t) es cero sobre el intervalo. b) Recurrir a una herramienta de graficacin para representar S(t) y la recta g(t) t 4 1.8 en la misma ventana de observacin. Utilizar la grfica y el resultado del apartado a) para explicar por qu g recibe el nombre recta de tendencia.APLICACIONESCundo usar esto?, los autores tratan de responder esta pregunta de los estudiantes con ejercicios y ejemplos que se seleccionaron con todo cuidado. Las aplicaciones se toman de diversas fuentes: eventos actuales, datos de trabajo, tendencias industriales, y se relacionan con una amplia gama de intereses. Entender dnde se usa (o puede usarse) el clculo fomenta una comprensin ms completa del material.318CAPTULO 44Ejercicios de repaso2.y15. Velocidad y aceleracin Se lanza una pelota hacia arriba verticalmente desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 96 pies por segundo.fa)Cunto tardar la pelota en alcanzar su altura mxima? Cul es la altura mxima? Cundo la velocidad de la pelota es la mitad de la velocidad inicial? c) A qu altura est la pelota cuando su velocidad es la mitad de la velocidad inicial?xxb)En los ejercicios 3 a 8, encontrar la integral indenida. 16. 4x2 x45.x 8x37.2x4.3 dxdx2 dx 3x 4x2 x23x46. 8.9 sen x dx5 cos x1dxt051015202502.57162945Encontrar la solucin particular de la ecuacin diferencial (x) 6x cuya grca pasa por el punto (1, 2).10.Encontrar la solucin particular de la ecuacin diferencial (x) 6(x 1) cuya grca pasa por el punto (2, 1) y es tangente a la recta 3x y 5 0 en ese punto.Campos de pendientes En los ejercicios 11 y 12 se da una ecuacin diferencial, un punto y un campo de pendientes. a) Dibujar dos soluciones aproximadas de la ecuacin diferencial en el campo de pendiente, una de las cuales pase a travs del punto indicado. b) Utilizar la integracin para encontrar la solucin particular de la ecuacin diferencial y utilizar una herramienta de gracacin para representar la solucin. 2x4,4,dy dx12.2y2x,6, 202138516064651En los ejercicios 17 y 18, utilizar la notacin sigma para escribir la suma. 17.1 31 3 n18.1 32 11 n1 33 23 n1d)304050602140627883a)Emplear una herramienta de graficacin para determinar un modelo de la forma v at3 bt2 ct d para los datos.23 n. . .n1ix23.7224.fa)1 3f1 . 3 1a)Utilizar esta frmula para aproximar el error de la aproximacin.cos x dx. Encontrar 1 1b) Utilizar esta frmula para aproximar 1Utilizar una herramienta de gracacin para completar la tabla. 01.01.51.92.53.04.0x2dx.7.Arqumedes demostr que el rea de un arco parablico es igual a del producto de la base y la altura (ver la gura).2.02.11 1c) Probar que la aproximacin gaussiana de dos puntos es exacta para todos los polinomios de grado 3 o menor.25.02Fxn4ixhFxi1i i220.1 201x1b)12i if x dx 1202i19.5La aproximacin gaussiana de dos puntos para f es 1sen t 2 dt.Sea x Fxn6.1 dt, x > 0. tEncontrar L(1). Encontrar L (x) y L (1). Utilizar una herramienta de gracacin para aproximar el valor de x (hasta tres lugares decimales) para el cual L(x) 1. Demostrar que L(x1 x2) L(x1) L(x2) para todos los valores positivos de x1 y x2. x2.1 3 10. . . 2Sea x a) b) c)Reescribir las velocidades en pies por segundo. Usar las capacidades de regresin de una herramienta de gracacin para encontrar los modelos cuadrticos para los datos en el apartado a). c) Aproximar la distancia recorrida por cada carro durante los 30 segundos. Explicar la diferencia en las distancias.2061x1.a) b)21.6205Solucin de problemas65En los ejercicios 19 a 22, utilizar las propiedades de las sumas y el teorema 4.2 para calcular las sumas.yx 11 2 x 2SP30v12 sec2 x dx9.dy dx100Modelado matemtico La tabla muestra las velocidades (en millas por hora) de dos carros sobre una rampa de acceso a una carretera interestatal. El tiempo t est en segundos.v211.0vLos ejercicios de repaso ubicados al final de cada captulo proporcionan a los estudiantes ms oportunidades para practicar. Estos conjuntos de ejercicios constituyen una revisin completa de los conceptos del captulo y son un medio excelente para que los estudiantes preparen un examen.una distancia de 264 pies. Encontrar la distancia en la cual el automvil puede llegar al reposo a partir de una velocidad de 30 millas por hora, suponiendo la misma desaceleracin constante.yf3.tEJERCICIOS DE REPASOIntegracinEn los ejercicios 1 y 2, utilizar la grca de f para dibujar una grca de . 1.65. Modelado matemtico Se prueba un vehculo experimental en una pista recta. Parte del reposo y su velocidad v (metros por segundo) se registra en la tabla cada 10 segundos durante un minuto.12122. i1xEscribir en notacin sigma a) la suma de los primeros diez enteros impares positivos, b) la suma de los cubos de los primeros n enteros positivos y c) 6 10 14 18 42. Calcular cada suma para x1 72, x21, x35, x41 1 sen t 2 dt. Utilizar una Fx x 2 x 2 2 herramienta de gracacn para completar la tabla y estimar lm G x .a)2x1.91.951.992.01b)2.1Gx3yc)c)Utilizar la denicin de la derivada para encontrar el valor exacto del lmite lm G x . xSOLUCIN DE PROBLEMASbSea G x2En los ejercicios 3 y 4, a) escribir el rea bajo la grca de la funcin dada denida sobre el intervalo indicado como un lmite. Despus b) calcular la suma del apartado a) y c) calcular el lmite tili d l lt d d l t d b)8.Gracar el arco parablico delimitado por y 9 x2 y el eje x. Utilizar una integral apropiada para encontrar el rea A. Encontrar la base y la altura del arco y vericar la frmula de Arqumedes. Demostrar la frmula de Arqumedes para una parbola general.Galileo Galilei (1564-1642) enunci la siguiente proposicin relativa a los objetos en cada libre: El tiempo en cualquier espacio que se recorre por un cuerpo acelerado uniformemente es igual al tiempo en el cual ese mismo espacio se recorrera por el mismo cuerpo movin-Estos conjuntos de ejercicios al final de cada captulo prueban las habilidades de los estudiantes con preguntas desafiantes que retan su pensamiento.0-Prelim L2.indd xiii1/12/09 18:04:26 14. xivCaractersticasClculos clsicos con relevancia contempornea TEOREMASLos teoremas proporcionan el marco conceptual del clculo; se enuncian claramente y se distinguen del resto del texto por medio de recuadros para tener una rpida referencia visual. Las demostraciones ms importantes muchas veces siguen al teorema, y se proporcionan otras ms en un apndice.TEOREMA 4.9 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO Si una funcin es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una antiderivada de en el intervalo [a, b], entonces bf x dxFbFa.aDEFINICIONESAl igual que con los teoremas, las definiciones se enuncian claramente utilizando palabras sencillas y precisas; tambin se separan del texto mediante recuadros para tener una rpida referencia visual.DEFINICIN DE LONGITUD DE ARCO Sea la funcin dada por y f(x) que represente una curva suave en el intervalo [a, b]. La longitud del arco de f entre a y b es bs1f x2dx.aSimilarmente, para una curva suave dada por x c y d esg(y), la longitud de arco de g entreds1g y2 dy.cLa regla de LHpital tambin puede aplicarse a los lmites unilaterales, como se demuestra en los ejemplos 6 y 7.Forma indeterminada 00EJEMPLO 6Encontrar lm sen x x. xPROCEDIMIENTOSyLos procedimientos aparecen separados del texto para brindar una referencia fcil. Estas lneas proporcionan a los estudiantes instrucciones paso a paso que les ayudarn a resolver problemas de manera rpida y eficiente.0Solucin Porque la sustitucin directa produce la forma indeterminada 00, proceder como se muestra abajo. Para empezar, asumir que el lmite existe y es igual a y.ln ylm sen xxxForma indeterminada 00.0ln lm sen x xTomar un logaritmo natural de cada lado.0lm ln sen xxxxContinuidad.0lm x ln sen xxForma indeterminada 0 (0ln sen x lm x 0 1 xRegla de LHpital.x2 lm x 0 tan xNOTASForma indeterminadacot x lm x 0 1 x2).Forma indeterminada 0 0.2x lm x 0 sec2x0.Regla de LHpital.Las notas proporcionan detalles adicionales acerca de los Ahora, porque ln y 0, concluir que y e 1, y se sigue que teoremas, definiciones y ejemplos. Ofrecen una profundizacin adicional o generalizaciones importantes que los estulm sen x 1. diantes podran omitir involuntariamente. Al igual que las ayudas de estudio, NOTA Al aplicar la frmula para la longitud de arco a una curva, hay que asegurarse de que la curva se recorra una sola vez en el intervalo de integracin. Por ejemplo, el crculo dado por las notas resultan invaluax cos t y y sen t, recorre una sola vez el intervalo 0 t 2, pero recorre dos veces el interbles para los estudiantes. valo 0 t 4. I 0xx0-Prelim L2.indd xiv01/12/09 18:04:33 15. xvCaractersticasAmpliar la experiencia del clculo ENTRADAS DE CAPTULOEcuaciones diferenciales6Las entradas de captulo proporcionan motivacin inicial para el material que se abordar en el captulo. Adems de los objetivos, en la entrada de cada captulo un concepto importante se relaciona con una aplicacin del mundo real. Esto motiva a los estudiantes a que descubran la relevancia del clculo en la vida.En este captulo se estudiar una de las ms importantes aplicaciones del clculo: las ecuaciones diferenciales. El lector aprender nuevos mtodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, como las homogneas, lineales de primer orden y de Bernoulli. Posteriormente aplicar esas reglas para resolver ecuaciones diferenciales en problemas de aplicacin. En este captulo, se aprender: n Cmo generar un campo de pendientes de una ecuacin diferencial y encontrar una solucin particular. (6.1) n Cmo usar una funcin exponencial para modelos de crecimiento y decrecimiento. (6.2) n Como usar el mtodo de separacin de variables para resolver ecuaciones diferenciales. (6.3) n Cmo resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y la ecuacin diferencial de Bernoulli. (6.4)EXPLORACINConverso del teorema 4.4 Es verdadero el converso del teorema 4.4 ? Esto es, si una funcin es integrable, tiene que ser continua? Explicar el razonamiento y proporcionar ejemplos. Describir las relaciones entre continuidad, derivabilidad e integrabilidad. Cul es la condicin ms fuerte? Cul es la ms dbil? Qu condiciones implican otras condiciones?Dr. Dennis Kunkel/Getty ImagesSegn el tipo de bacteria, el tiempo que le toma duplicar su peso al cultivo puede variar mucho, desde varios minutos hasta varios das. Cmo usara una ecuacin diferencial para modelar la tasa de crecimiento del peso del cultivo de una bacteria? (Vea la seccin 6.3, ejercicio 84.)EXPLORACINSuponer que se pide encontrar una de las siguientes integrales. Cul elegira? Explicar la respuesta.EXPLORACIONESLas exploraciones proporcionan a los estudiantes retos nicos para estudiar conceptos que no se han cubierto formalmente. Les permiten aprender mediante el descubrimiento e introducen temas relacionados con los que estn estudiando en el momento. Al explorar temas de esta manera, se estimula a que los estudiantes piensen de manera ms amplia.a)x3 x 2 x3b)1 dxo1 dxtan 3x sec 2 3x dxUna funcin y f(x) es una solucin de una ecuacin diferencial, si la ecuacin se satisface cuando y y sus derivadas se remplazan por f(x) y sus derivadas. Una manera de resolver una ecuacin diferencial es mediante los campos de pendientes, los cuales muestran la forma de todas las soluciones de una ecuacin diferencial. (Ver seccin 6.1)o 405tan 3x dxNOTAS HISTRICAS Y BIOGRAFASLas notas histricas proporcionan a los estudiantes informacin sobre los fundamentos del clculo; las biografas les ayudan a sensibilizar y a ensearles acerca de las personas que contribuyeron a la creacin formal del clculo.DESAFOS DEL EXAMEN PUTNAMnndonde n1on1n8?134. Demostrar que si x es positivo, entonces loge 11 1 . > x 1 xEstos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competition. The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.Las preguntas del examen Putnam aparecen en algunas secciones y se toman de los exmenes Putnam reales. Estos ejercicios extendern los lmites del entendimiento de los estudiantes en relacin con el clculo y brindarn desafos adicionales para aquellos ms interesados.The Granger CollectionPreparacin del examen Putnam 133. Cul es mayorLA SUMA DE LOS PRIMEROS CIEN ENTEROSBLAISE PASCAL (1623-1662)El maestro de Carl Friedrich Gauss (17771855) pidi a sus alumnos que sumaran todos los enteros desde 1 hasta 100. Cuando Gauss regres con la respuesta correcta muy poco tiempo despus, el maestro no pudo evitar mirarle atnito. Lo siguiente fue lo que hizo Gauss:Pascal es bien conocido por sus .. . 1 2 3 100 contribuciones a diversas reas de las ... 99 98 1 matemticas y de la fsica, as como por 100 ... 101 101 101 su inuencia con Leibniz. Aunque buena 101 100 101 parte de su obra en clculo fue intuitiva y 5 050 carente del rigor exigible en las matemticas 2 modernas, Pascal anticip muchos Esto se generaliza por medio del teorema resultados relevantes. 4.2, donde 100i t1100 101 25 050.PROYECTOS DE SECCINLos proyectos aparecen en algunas secciones y exploran a mayor profundidad las aplicaciones relacionadas con los temas que se estn estudiando. Proporcionan una forma interesante y entretenida para que los estudiantes trabajen e investiguen ideas de manera conjunta.PROYECTO DE TRABAJODemostracin del teorema fundamental Utilizar una herramienta de gracacin para representar la funcin y1 sen2t en el intervalo 0 t . Sea F(x) la siguiente funcin de x.b)Utilizar las funciones de integracin de una herramienta de gracacin para representar F.c)Emplear las funciones de derivacin de una herramienta de gracacin para hacer la grca de F (x). Cmo se relaciona esta grca con la grca de la parte b)?d)Vericar que la derivada de y (1 2)t (sen 2t) 4 es sen2t. Gracar y y escribir un pequeo prrafo acerca de cmo esta grca se relaciona con las de los apartados b) y c).xsen 2 t dtFx 0a)Completar la tabla. Explicar por qu los valores de estn creciendo.x063223 56Fx0-Prelim L2.indd xv1/12/09 18:04:35 16. xviCaractersticasTecnologa integrada para el mundo actualx 2xEncontrarINVESTIGACIONES CON SISTEMAS ALGEBRAICOS POR COMPUTADORACambio de variablesEJEMPLO 51 dx.Los ejemplos a lo largo del libro se acompaan de investigaciones que emplean un sistema algebraico por computadora (por ejemplo, Maple) para explorar de manera adicional un ejemplo relacionado en el libro. Permiten a los estudiantes explorar el clculo manipulando funciones, grficas, etc., y observar los resultados.Solucin Como en el ejemplo previo, considerar que u 2x 1 para obtener dx du 2. Como el integrando contiene un factor de x, se tiene que despejar x en trminos de u, como se muestra.u2xx1u1 2Resolver para x en trminos de u.Despus de esto, utilizando la sustitucin, se obtienex 2xu1 dxu11 4u32du 2u11 22du25 21 u 4 5 2 1 2x 103 2u 3 2 1C 1 2x 65 23 21C. Razonamiento grco En los ejercicios 55 a 58, a) usar una herramienta de gracacin para representar grcamente la funcin, b) representar su funcin inversa utilizando la herramienta de gracacin y c) determinar si la grca de la relacin inversa es una funcin inversa. Explicar la respuesta.EJERCICIOS CON HERRAMIENTAS DE GRAFICACINLa comprensin con frecuencia mejora utilizando una grfica o visualizacin. Los ejercicios de tecnologa de graficacin piden a los estudiantes recurrir a una herramienta de graficacin para ayudar a encontrar una solucin.CASCampos de pendientes En los ejercicios 67 a 72, usar un sistema algebraico por computadora para a) trazar la grfica del campo de pendientes para la ecuacin diferencial y b) trazar la grfica de la solucin que satisface la condicin inicial especificada.67.dy dx0.25y,y0468.dy dx4y,y0669.dy dx0.02y 1070.dy dx0.2x 2y,y0dy dx0.4y 3x,y0172.dy dx1 e 2f xx3xx 8y0y,seny , 4y079. 81.2CAS21 4xx2 11380.dx1 d sen82.En los ejercicios 33 a 40, usar un sistema algebraico por computadora para determinar la primitiva que atraviesa el punto dado. Usar el sistema para hacer la grca de la antiderivada resultante. 33. 35.x25x 10x25x2 x 2 dx, x2 2 2dx, 6, 0 34. 0, 16x 2 x2 x36.1 dx, 13x3 x242dx,2, 1 3, 4x x22 4xexe 213dxx 3dxNUEVO! De igual manera que los ejercicios con herramientas de graficacin, algunos ejercicios pueden resolverse mejor utilizando un sistema algebraico por computadora. Estos ejercicios son nuevos en esta edicin.0-Prelim L2.indd xvix 4x2TECNOLOGA La regla de Simpson puede usarse para dar una buena aproximacin del valor de la integral en el ejemplo 2 (para n 10, la aproximacin es 1.839). Al usar la integracin numrica, sin embargo, se debe estar consciente de que la regla de Simpson no siempre da buenas aproximaciones cuando algunos de los lmites de integracin estn cercanos a una asntota vertical. Por ejemplo, usando el teorema fundamental del clculo, se obtiene 1.99EJERCICIOS CON SISTEMAS ALGEBRAICOS POR COMPUTADORAhxA lo largo del libro, los recuadros de tecnologa dan a los estudiantes una visin de cmo la tecnologa puede usarse para ayudar a resolver problemas y explorar los conceptos del clculo. No slo proporcionan discusiones acerca de dnde la tecnologa tiene xito, sino tambin sobre dnde puede fracasar.En los ejercicios 79 a 82, usar un sistema algebraico por computadora para encontrar la integral. Usar el sistema algebraico por computadora para hacer la grfica de dos antiderivadas. Describir la relacin entre las grficas de las dos antiderivadas.a56.4TECNOLOGA971.CAS55.0x 43 dx x26.213.Aplicando la regla de Simpson (con n macin de 6.889.10) para esta integral se produce una aproxi-1/12/09 18:04:40 17. 1059997_cop10.qxd 9/2/08 10-1.qxd 3/12/09 16:443:48 PM Page 695 Page 69510 10Cnicas, ecuaciones Conics, Parametric paramtricas y Equations, and Polar Coordinates coordenadas polaresEn this chapter, you will analyze and write In este captulo se analizarn y se escribirn ecuacionesusing their properties. equations of conics de cnicas usando sus propiedades. Tambinto write and graph You will also learn how se aprender cmo escribir y graficar ecuaciones parametric equations and polar equations, paramtricas y polares,can be used to study and see how calculus y se ver cmo se puede graphs. clculo para to the rectangular these usar el In addition estudiar tales grficas. Adems de las ecuaciones study equations of conics, you will also rectangulares de of conics. polar equations cnicas, tambin se estudiarn ecuaciones polares de cnicas. In this chapter, you should learn the En este captulo, se aprender: following. I Cmo analizar y escribir ecuaciones I How to analyze and write equations of de una parbola, una elipse y una a parabola, an ellipse, and a hyperbola. hiprbola. (10.1) (10.1) I Cmo trazar una curva representada I How to sketch a curve represented by por ecuaciones paramtricas. (10.2) I parametric equations. (10.2) I Cmo usar un conjunto de ecuacioI How to use a set of parametric equations nes paramtricas para encontrar la to find the slope of a tangent line to a pendiente de una lnea tangente a curve and the arc length of a curve. una curva y la longitud de arco (10.3) de una curva. (10.3) I How to sketch the graph of an equation I Cmo dibujar la grfica de una ecuain polar form, find the slope of a tangent cin en forma polar, encontrar la line to a polar graph, and identify special pendiente de una lnea tangente a polar graphs. (10.4) una grfica polar e identificar grfiI How to find the area of a region cas polares especiales. (10.4) bounded by a polar graph and find the I Cmo encontrar el rea de una arc length of a polar graph. (10.5) regin acotada por una grfica polar I How to analyze and write a polar y encontrar la longitud de arco de equation of a conic.10.5) ) una grfica polar. ( (10.6 I Cmo analizar y escribir una ecuacin polar de una cnica. (10.6) Chuck Savage/CorbisThe path modelar la trayectoria de una height at bisbol with the una altura Se puedeof a baseball hit at a particular pelota de an anglebateada ahorizontal can be modeled un ngulo con el horizontal utilizando ecuaciones paramtricas. be especfica ausing parametric equations. How can a set of parametric equationsCmo I used to find the minimum angle at which the ball must leave encontrar el ngulo se puede usar un conjunto de ecuaciones paramtricas parathe bat in order for the hit to be a home run? (See Section del bate para 75.) mnimo al cual la pelota debe salir 10.2, Exercise que el golpe sea un jonrn? (Ver la seccin 10.2, ejercicio 75.)En el sistemacoordinate system, graphing an equation involves tracingtrazar una curva alrededor de un punto pole. In the polar de coordenadas polares, graficar una ecuacin implica a curve about a fixed point called the fijo llamado elapolo. Considerar una regin and by the rays that contain los rayos que contienen los puntos extremos de Consider region bounded by a curve acotada por una curva y por the endpoints of an interval on the curve. You un intervalo sobre la curva.to approximate the area of such a region. In Section 10.5, de tal regin.how la seccin can use sectors of circles Pueden usarse sectores circulares para aproximar el rea you will see En the limit 10.5 se ver be used to find this area. process can cmo es posible usar el proceso de lmite para encontrar esta rea.695 695 18. 10-1.qxd3/12/0969616:44Page 696CAPTULO 10Cnicas, ecuaciones paramtricas y coordenadas polares10.1 Cnicas y clculo I I I IEntender la definicin de una seccin cnica. Analizar y dar las ecuaciones de la parbola utilizando las propiedades de la parbola. Analizar y dar las ecuaciones de la elipse utilizando las propiedades de la elipse. Analizar y dar las ecuaciones de la hiprbola utilizando las propiedades de la hiprbola.Secciones cnicasBettmann/CorbisToda seccin cnica (o simplemente cnica) puede describirse como la interseccin de un plano y un cono de dos hojas. En la figura 10.1 se observa que en las cuatro cnicas bsicas el plano de interseccin no pasa por el vrtice del cono. Cuando el plano pasa por el vrtice, la figura que resulta es una cnica degenerada, como se muestra en la figura 10.2.HYPATIA (370-415 D.C.) Los griegos descubrieron las secciones cnicas entre los aos 600 y 300 a.C. A principios del periodo alejandrino ya se saba lo suficiente acerca de las cnicas como para que Apolonio (269-190 a.C.) escribiera una obra de ocho volmenes sobre el tema. Ms tarde, hacia finales del periodo Alejandrino, Hypatia escribi un texto titulado Sobre las cnicas de Apolonio. Su muerte marc el final de los grandes descubrimientos matemticos en Europa por varios siglos. Los primeros griegos se interesaron mucho por las propiedades geomtricas de las cnicas. No fue sino 1900 aos despus, a principios del siglo XVII, cuando se hicieron evidentes las amplias posibilidades de aplicacin de las cnicas, las cuales llegaron a jugar un papel prominente en el desarrollo del clculo.Circunferencia Secciones cnicasParbolaFigura 10.1Punto Cnicas degeneradasRectaDos rectas que se cortanFigura 10.2Existen varias formas de estudiar las cnicas. Se puede empezar, como lo hicieron los griegos, definiendo las cnicas en trminos de la interseccin de planos y conos, o se pueden definir algebraicamente en trminos de la ecuacin general de segundo grado Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.PARA MAYOR INFORMACIN Para conocer ms sobre las actividades de esta matemtica, consultar al artculo Hypatia and her Mathematics de Michael A. B. Deakin en The American Mathematical Monthly.HiprbolaElipseEcuacin general de segundo grado.Sin embargo, un tercer mtodo en el que cada una de las cnicas est definida como el lugar geomtrico (o coleccin) de todos los puntos que satisfacen cierta propiedad geomtrica, funciona mejor. Por ejemplo, la circunferencia se define como el conjunto de todos los puntos (x, y) que son equidistantes de un punto fijo (h, k). Esta definicin en trminos del lugar geomtrico conduce fcilmente a la ecuacin estndar o cannica de la circunferencia (x - h)2 +(y - k)2 = r2.Ecuacin estndar o cannica de la circunferencia.Para informacin acerca de la rotacin de ecuaciones de segundo grado en dos variables, ver el apndice D. 19. 1059997_1001.qxp 9/2/08 10-1.qxd 3/12/09 1059997_1001.qxp3:49 PM Page 697 16:44 Page 6979/2/083:49 PMPage 69710.1 Conics Cnicas y clculo 697 697 SECCIN 10.1 and Calculus 10.1Conics and Calculus697Parabolas Parbolas A xA parabola is the el conjunto de todosylos puntosequidistant from a fixed line called llaUna parbola es set of all points x, that are (x, y) equidistantes de una recta fija Parabolas the directrix and a fixedpunto fijo, fuera de dicha recta, llamado foco. El punto medio entre mada directriz y de un point called the focus not on the line. The midpoint between the foco yanddirectriz essetis the vertex, andythe line passingel focofrom vrticeand el called A parabola is the el vrtice, y la x, that are por through el focus line eje el focus la the directrix of all points recta que pasaequidistant ythe a fixed es the de vertex isdirectrix andthefixed figuraNote in Figure 10.3 on the line. The midpoint between the the axis of a parabola. 10.3 the focus not es a parabola is symmetric la parbola. Obsrvese en la point calledque la parbolathat simtrica respecto de su eje. with the focus and the directrix is the vertex, and the line passing through the focus and the respect to its axis. vertex is the axis of the parabola. Note in Figure 10.3 that a parabola is symmetric TEOREMA 10.1 toECUACIN ESTNDAR O CANNICA DE UNA PARBOLA with respect its axis. THEOREM 10.1 STANDARD EQUATION OF A PARABOLA La forma estndar o cannica de la ecuacin de una parbola con vrtice Thek) y directriz y of thepequation of a parabola with vertex h, k and (h, standard form k es EQUATION OF A PARABOLA THEOREM 10.1 STANDARD directrix y 2 k p is x standard form k. the equation of a Eje vertical.with vertex h, k and The h2 4p y of parabola x h 4p y k . Vertical axis directrix y x k h p is la ecuacin es Para la directriz p, For directrix2x 2 h p, the equation is Vertical axis Eje horizontal. y x 4px4p y . k . k h h y k 2 4p x h . Horizontal axis For directrix x h p, a p unidades (distancia dirigida) del vrtice. Las El foco se encuentra en el eje the equation is The focus lies onfoco axis las siguientes. distance) from the vertex. The coordenadas del 2the 4p x p units (directed son y k h. Horizontal axis coordinates of the focus are as follows. Eje vertical. h, k focus lies on the axis p units (directed distance) from the vertex. The p The Eje horizontal. h, p, p of the focus are as follows. Vertical axis h k k coordinates h p, k Horizontal axis h, k p Vertical axis h p, k Horizontal axisEjePa r a b Parbola o la A x Pa r a b o F l a o c u s Foco d2d2(x, y)(x, y) pd1 d 1 d d F o c u s 2 2 V e r t e Vrtice d d 2 d(x, y) x 1 1 p d1 d2 Di r e c Directriz trix V e rte x d1 pFigure 10.3 10.3 Figura Di r e c t r i xFigure 10.3EXAMPLE 1 1 Hallar el the Focusuna parbola Finding foco de of a Parabola EJEMPLOyy=1 2 x 1 x2 2 yV r t i c e y = 1 x 1 x2 1 2 2)V r1,t i 1c2 )ep = 1 21Foco p = 1 221) 1, 1 ) 2xFoco x21 11Parabola with a vertical axis, p < 0 Figure 10.4Parbola con eje vertical, axis, p0 < 0 Parabola with a vertical p < Figura 10.4 Figure 10.41 1 2 FindEXAMPLE theparbola dada por y of a Parabola the focus de 1 Finding the by x x. Hallar el foco of la parabola given Focus 2 2 1 1 2 Solucin To focusthe the foco, se given by y form by completing the square. Find x. Solution thePara hallar el parabolaconvierte a la formaxcannica o estndar completando el find of focus, convert to standard 2 2 cuadrado. 1 1 2 y 2 x 2x Write original equation. Solution To find the focus, convert to standard form by completing the square. 2 yy 11 1 1x 2x 1 x2x1 Factor out 1. ecuacin original. 22 2 Reescribir2 la 2 y x x Write original equation. 2y 1 2 2x x 2 22 Multiply each side by 2. 1 1 Sacar como factor. y y2 1 12x x x 2 2x Factor out 1. 2y 1 2 x 2 2x Group terms. 2 Multiplicar cada lado por 2. 2y 1 12x x 2 x 2 2y 2x Multiply each side by 2. 2y 2 x 2 2x 1 Add and subtract 1 on right side. 2 2y 1 2 x 2x Group terms. Agrupar trminos. x 2 2x 2y 1 2y x 2 2x 1 2 x 2x 1 Add and subtract 1 on right side. 2 2y 2 Sumar restar 1 en el x 1 2y 2 2 yx 2 1 2x 1 Write inystandard form. lado derecho. x 2 2x 1 2y 2 x 2 this 1 22y Comparing2x equation with2 x h 2 4 p y k , you can conclude that x 1 2 y 1 Write in standard form. x1, 1 2 k 2 y and 1, 1 h p 2 1. Expresar en la forma estndar o cannica. Comparing this equation with x h 2 4 p y k , you can conclude that Because p is negative, the parabola opens 2 downward, as shown in Figure 10.4. So, the 1 Si se compara esta ecuacin con and h p 4p y. k, se concluye que x h 1, k 1, focus of the parabola is p units from the vertex, or2 k1 1 h 1, p 1. Because p is negative, theyparabola opens downward, as shown in Figure 10.4. So, the 2 h, k p 1, 2 . Focus focus of the parabola is p units from the vertex, or Como p es negativo, la parbola se abre hacia abajo, como se muestra en la figura 10.4. Por tanto, el foco de la parbola se encuentra a p unidades del vrtice, o sea h, k p 1, 1 . Focus 2 A line segment that passes through the focus of a parabola and has endpoints on 1 h, k p 1, 2 . the parabola iscalled a focal chord. The specificFoco. chord perpendicular to the axis focal of the parabola segment thatrectum.through the focus ofshows how to determine the on A line is the latus passes The next example a parabola and has endpoints length of the latus rectum a focal chord. The specific focal chord perpendicular to the axis the parabola is called and the length of the corresponding intercepted arc. of the parabola is the latus rectum. The next example shows how to determine the A un segmento de la recta que pasa por el foco de una parbola y que tiene sus extrelength of the latus rectum and the length of the corresponding intercepted arc. mos en la parbola se le llama cuerda focal. La cuerda focal perpendicular al eje de la parbola es el lado recto (latus rectum). El ejemplo siguiente muestra cmo determinar la longitud del lado recto y la longitud del correspondiente arco cortado. 20. 10-1.qxd3/12/0969816:44Page 698CAPTULO 10Cnicas, ecuaciones paramtricas y coordenadas polaresLongitud de la cuerda focal y longitud de arcoEJEMPLO 2Encontrar la longitud del lado recto de la parbola dada por x 2 4py. Despus, hallar la longitud del arco parablico cortado por el lado recto. ySolucin Debido a que el lado recto pasa por el foco (0, p) y es perpendicular al eje y, las coordenadas de sus extremos son x, p y x, p. Al sustituir, en la ecuacin de la parbola, y por p se obtienex2 = 4pyx 2p.x 2 4p p Lado recto o latus rectum (2p, p)Entonces, los extremos del lado recto son 2p, p y 2p, p, y se concluye que su longitud es 4p, como se muestra en la figura 10.5. En cambio, la longitud del arco cortado es(2p, p) x(0, p) 2pLongitud del lado recto o latus rectum: 4psFigura 10.52pEmplear la frmula de longitud del arco.1 y 2 dx2p210x 2p2ydxx2 4py x 2p2p Fuente de luz en el foco1 4p 2 x 2 dx p 0 2p 1 x4p 2 x 2 4p 2 ln x 4p 2 x 2 2p 0 1 2p8p 2 4p 2 ln2p 8p 2 4p 2 ln2p 2p 2p 2 ln 1 2 4.59p.Simplificar.Teorema 8.2.Una propiedad muy utilizada de la parbola es su propiedad de reflexin. En fsica, se dice que una superficie es reflejante o reflectante si la tangente a cualquier punto de la superficie produce ngulos iguales con un rayo incidente y con el rayo reflejado resultante. El ngulo correspondiente al rayo incidente es el ngulo de incidencia, y el ngulo correspondiente al rayo que se refleja es el ngulo de reflexin. Un espejo plano es un ejemplo de una superficie reflejante o reflectante. Otro tipo de superficie reflejante es la que se forma por revolucin de una parbola alrededor de su eje. Una propiedad especial de los reflectores parablicos es que permiten dirigir hacia el foco de la parbola todos los rayos incidentes paralelos al eje. ste es el principio detrs del diseo de todos los espejos parablicos que se utilizan en los telescopios de reflexin. Inversamente, todos los rayos de luz que emanan del foco de una linterna con reflector parablico son paralelos, como se ilustra en la figura 10.6.EjeTEOREMA 10.2 PROPIEDAD DE REFLEXIN DE UNA PARBOLA Sea P un punto de una parbola. La tangente a la parbola en el punto P produce ngulos iguales con las dos rectas siguientes. Reflector parablico: la luz se refleja en rayos paralelos Figura 10.61. La recta que pasa por P y por el foco 2. La recta paralela al eje de la parbola que pasa por P 21. 10-1.qxd3/12/0916:44Page 699SECCIN 10.1699Cnicas y clculoBettmann/CorbisElipsesNICOLS COPRNICO (1473-1543) Coprnico comenz el estudio del movimiento planetario cuando se le pidi que corrigiera el calendario. En aquella poca, el uso de la teora de que la Tierra era el centro del Universo, no permita predecir con exactitud la longitud de un ao.Ms de mil aos despus de terminar el periodo alejandrino de la matemtica griega, comienza un renacimiento de la matemtica y del descubrimiento cientfico en la civilizacin occidental. Nicols Coprnico, astrnomo polaco, fue figura principal en este renacimiento. En su trabajo Sobre las revoluciones de las esferas celestes, Coprnico sostena que todos los planetas, incluyendo la Tierra, giraban, en rbitas circulares, alrededor del Sol. Aun cuando algunas de las afirmaciones de Coprnico no eran vlidas, la controversia desatada por su teora heliocntrica motiv a que los astrnomos buscaran un modelo matemtico para explicar los movimientos del Sol y de los planetas que podan observar. El primero en encontrar un modelo correcto fue el astrnomo alemn Johannes Kepler (1571-1630). Kepler descubri que los planetas se mueven alrededor del Sol, en rbitas elpticas, teniendo al Sol, no como centro, sino como uno de los puntos focales de la rbita. El uso de las elipses para explicar los movimientos de los planetas es slo una de sus aplicaciones prcticas y estticas. Como con la parbola, el estudio de este segundo tipo de cnica empieza definindola como lugar geomtrico de puntos. Sin embargo, ahora se tienen dos puntos focales en lugar de uno. Una elipse es el conjunto de todos los puntos (x, y), cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. (Ver la figura 10.7.) La recta que une a los focos interseca o corta a la elipse en dos puntos, llamados vrtices. La cuerda que une a los vrtices es el eje mayor, y su punto medio es el centro de la elipse. La cuerda a travs del centro, perpendicular al eje mayor, es el eje menor de la elipse. (Ver la figura 10.8.) (x, y) d1d2FocoEje mayor(h, k)FocoVrticeCentroVrtice FocoFoco Eje menorFigura 10.7Figura 10.8PARA MAYOR INFORMACIN Para saber ms acerca de cmo hacer explotar una elipse para convertirla en una parbola, consultar al artculo Exploding the Ellipse de Arnold Good en Mathematics Teacher.TEOREMA 10.3 ECUACIN ESTNDAR O CANNICA DE UNA ELIPSE La forma estndar o cannica de la ecuacin de una elipse con centro (h, k) y longitudes de los ejes mayor y menor 2a y 2b, respectivamente, donde a > b, esx h 2 y k2 1 a2 b2El eje mayor es horizontal.x h 2 y k2 1. b2 a2El eje mayor es vertical.oSi los extremos de una cuerda se atan a los alfileres y se tensa la cuerda con un lpiz, la trayectoria trazada con el lpiz ser una elipse Figura 10.9Los focos se encuentran en el eje mayor, a c unidades del centro, con c 2 a 2 b 2. La definicin de una elipse se puede visualizar si se imaginan dos alfileres colocados en los focos, como se muestra en la figura 10.9. 22. 10-1.qxd3/12/0970016:44Page 700CAPTULO 10Cnicas, ecuaciones paramtricas y coordenadas polaresEJEMPLO 3Completar cuadradosEncontrar el centro, los vrtices y los focos de la elipse dada por 4x 2 y 2 8x 4y 8 0. Solucin Al completar el cuadrado se puede expresar la ecuacin original en la forma estndar o cannica.(x 1)2 (y + 2)2 + =1 16 44x 2 y 2 8x 4y 8 0y 24x 2 Vrtice2 4y 84x 12 y 2 2 16x 2Escribir la ecuacin original.4x 2 2x 1 y 2 4y 4 8 4 4Foco 4 8x y2x 12 y 22 1 4 164CentroEscribir la forma estndar o cannica.As, el eje mayor es paralelo al eje y, donde h 1, k 2, a 4, b 2 y c 16 4 23. Por tanto, se obtiene:FocoCentro:61, 2h, k.h, k a.Vrtices: 1, 6 y 1, 2VrticeElipse con eje mayor verticalFocos:Figura 10.101, 2 23 y 1, 2 23 h, k c.La grfica de la elipse se muestra en la figura 10.10. NOTA Si en la ecuacin del ejemplo 3, el trmino constante F 8 hubiese sido mayor o igual a 8, se hubiera obtenido alguno de los siguientes casos degenerados.1. F 8, un solo punto, 1, 2:x 1 2 y 2 2 0 4 162. F > 8, no existen puntos solucin:EJEMPLO 4x 1 2 y 2 2 < 0 4 16ILa rbita de la LunaLa Luna gira alrededor de la Tierra siguiendo una trayectoria elptica en la que el centro de la Tierra est en uno de los focos, como se ilustra en la figura 10.11. Las longitudes de los ejes mayor y menor de la rbita son 768 800 kilmetros y 767 640 kilmetros, respectivamente. Encontrar las distancias mayor y menor (apogeo y perigeo) entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna. LunaSolucin Para comenzar se encuentran a y b. 2a 768 800 768,800Tierraa 384,400 384 400 2b 767 640 767,640 383 820 b 383,820 PerigeoApogeoLongitud del eje mayor. Despejar a. Longitud del eje menor. Despejar b.Ahora, al emplear estos valores, se despeja c como sigue. c a 2 b 2 21 108 21,108Figura 10.11La distancia mayor entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna es a c 405,508 kilmetros y la distancia menor es a c 363 292 kilmetros. 363,292 405 508 23. 10-1.qxd3/12/0916:44Page 701SECCIN 10.1PARA MAYOR INFORMACIN Para ms informacin acerca de algunos usos de las propiedades de reflexin de las cnicas, consultar el artculo Parabolic Mirrors, Elliptic and Hyperbolic Lenses de Mohsen Maesumi en The American Mathematical Monthly. Consultar tambin el artculo The Geometry of Microwave Antennas de William R. Paezynski en Mathematics Teacher.Cnicas y clculo701En el teorema 10.2 se present la propiedad de reflexin de la parbola. La elipse tiene una propiedad semejante. En el ejercicio 112 se pide demostrar el siguiente teorema. TEOREMA 10.4 PROPIEDAD DE REFLEXIN DE LA ELIPSE Sea P un punto de una elipse. La recta tangente a la elipse en el punto P forma ngulos iguales con las rectas que pasan por P y por los focos. Uno de los motivos por el cual los astrnomos tuvieron dificultad para descubrir que las rbitas de los planetas son elpticas es el hecho de que los focos de las rbitas planetarias estn relativamente cerca del centro del Sol, lo que hace a las rbitas ser casi circulares. Para medir el achatamiento de una elipse, se puede usar el concepto de excentricidad. DEFINICIN DE LA EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE La excentricidad e de una elipse est dada por el cociente c e . a Para ver cmo se usa este cociente en la descripcin de la forma de una elipse, obsrvese que como los focos de una elipse se localizan a lo largo del eje mayor entre los vrtices y el centro, se tiene que 0 < c < a. En una elipse casi circular, los focos se encuentran cerca del centro y el cociente c/a es pequeo, mientras que en una elipse alargada, los focos se encuentran cerca de los vrtices y el cociente c/a est cerca de 1, como se ilustra en la figura 10.12. Obsrvese que para toda elipse 0 < e < 1. La excentricidad de la rbita de la Luna es e 0.0549, y las excentricidades de las nueve rbitas planetarias son las siguientes.FocosMercurio: e 0.2056 aJpiter:e 0.0484Venus:e 0.0542e 0.0167Urano:e 0.0472Marte: a)Saturno:Tierra:ce 0.0068 e 0.0934Neptuno: e 0.0086Por integracin se puede mostrar que el rea de una elipse es A ab. Por ejemplo, el rea de la elipsec es pequeo ax2 y2 21 2 a bFocosest dada por a aA40c b)c es casi 1 ac Excentricidad es el cociente . a Figura 10.124b ab a 2 x 2 dx a2a 2 cos 2 d.Sustitucin trigonomtrica x a sen q .0Sin embargo, encontrar el permetro de una elipse no es fcil. El siguiente ejemplo muestra cmo usar la excentricidad para establecer una integral elptica para el permetro de una elipse. 24. 10-1.qxd3/12/0970216:44Page 702CAPTULO 10Cnicas, ecuaciones paramtricas y coordenadas polaresEncontrar el permetro de una elipseEJEMPLO 5Mostrar que el permetro de una elipse x 2a 2 y 2b 2 1 es21 e 2 sen2 d. sin4ae0c aSolucin Como la elipse dada es simtrica respecto al eje x y al eje y, se sabe que su permetro C es el cudruplo de la longitud de arco de y baa 2 x 2 en el primer cuadrante. La funcin y es diferenciable (o derivable) para toda x en el intervalo 0, a excepto en x a. Entonces, el permetro est dado por la integral impropiaddaa1 y 2 dx 4C lim 4 lm0 a1 y 2 dx 4010b 2x 2 dx. a 2 x 2a2Al usar la sustitucin trigonomtrica x a sen , se obtiene sin C4 2sin sen 1 ab cos a cos d02422 222a 2 cos 2 b 2 sen2 d sin 2024a 21 sen2 b 2 sen2 d sin 2 sin 2024REA Y PERMETRO DE UNA ELIPSEa 2 a2 b 2sen2 d. sin 20En su trabajo con rbitas elpticas, a principios del siglo XVII, Johannes Kepler desarroll una frmula para encontrar el rea de una elipse, A ab. Sin embargo, tuvo menos xito en hallar una frmula para el permetro de una elipse, para el cual slo dio la siguiente frmula de aproximacin C a b.Debido a que e 2 c 2a 2 a 2 b 2a 2, se puede escribir esta integral como2C 4a1 e 2 sen2 d. sin 20Se ha dedicado mucho tiempo al estudio de las integrales elpticas. En general dichas integrales no tienen antiderivadas o primitivas elementales. Para encontrar el permetro de una elipse, por lo general hay que recurrir a una tcnica de aproximacin. EJEMPLO 6Aproximar el valor de una integral elpticaEmplear la integral elptica del ejemplo 5 para aproximar el permetro de la elipse x2 y2 1. 25 16y 6x2 y2 + =1 25 16Solucin Como e 2 c 2a 2 a 2 b 2a 2 925, se tieneC 4520x 642224622 2Aplicando la regla de Simpson con n 4 se obtiene C 20C 28.36 unidadessin 1 9 sen d. 2511 40.9733 20.9055 40.8323 0.8 6 4 28.36.6Figura 10.13Por tanto, el permetro de la elipse es aproximadamente 28.36 unidades, como se muestra en la figura 10.13. 25. 10-1.qxd3/12/0916:44Page 703SECCIN 10.1Cnicas y clculo703Hiprbolas (x, y)d2d1 FocoFoco d2 d1 es constante d2 d1 = 2a cLa definicin de hiprbola es similar a la de la elipse. En la elipse, la suma de las distancias de un punto de la elipse a los focos es fija, mientras que en la hiprbola, el valor absoluto de la diferencia entre estas distancias es fijo. Una hiprbola es el conjunto de todos los puntos (x, y) para los que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. (Ver la figura 10.14.) La recta que pasa por los dos focos corta a la hiprbola en dos puntos llamados vrtices. El segmento de recta que une a los vrtices es el eje transversal, y el punto medio del eje transversal es el centro de la hiprbola. Un rasgo distintivo de la hiprbola es que su grfica tiene dos ramas separadas.a Vrtice CentroVrticeTEOREMA 10.5 ECUACIN ESTNDAR O CANNICA DE UNA HIPRBOLA La forma estndar o cannica de la ecuacin de una hiprbola con centro h, k esEje transversalx h2 y k2 1 a2 b2El eje transversal es horizontal. y k2 x h2 1. a2 b2Figura 10.14El eje transversal es vertical.oLos vrtices se encuentran a a unidades del centro y los focos se encuentran a c unidades del centro, con c2 a 2 b2.NOTA En la hiprbola no existe la misma relacin entre las constantes a, b y c, que en la elipse. En la hiprbola, c2 a 2 b2, mientras que en la elipse, c2 a 2 b2. IUna ayuda importante para trazar la grfica de una hiprbola es determinar sus asntotas, como se ilustra en la figura 10.15. Toda hiprbola tiene dos asntotas que se cortan en el centro de la hiprbola. Las asntotas pasan por los vrtices de un rectngulo de dimensiones 2a por 2b, con centro en (h, k). Al segmento de la recta de longitud 2b que une h, k b y h, k b se le conoce como eje conjugado de la hiprbola.TEOREMA 10.6 ASNTOTAS DE UNA HIPRBOLA Si el eje transversal es horizontal, las ecuaciones de las asntotas son b y k x h a AsntotaEje conjugado (h, k + b) (h a, k)(h, k)ab y k x h. aSi el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asntotas son a y k x h bbyya y k x h. b(h + a, k)(h, k b) AsntotaFigura 10.15En la figura 10.15 se puede ver que las asntotas coinciden con las diagonales del rectngulo de dimensiones 2a y 2b, centrado en (h, k). Esto proporciona una manera rpida de trazar las asntotas, las que a su vez ayudan a trazar la hiprbola. 26. 10-1.qxd3/12/0970416:44Page 704CAPTULO 10Cnicas, ecuaciones paramtricas y coordenadas polaresUso de las asntotas para trazar una hiprbolaEJEMPLO 7Trazar la grfica de la hiprbola cuya ecuacin es 4x 2 y 2 16. TECNOLOGA Para verificar la grfica obtenida en el ejemplo 7 se puede emplear una herramienta de graficacin y despejar y de la ecuacin original para representar grficamente las ecuaciones siguientes. y1 4x 2 16 y2 4x 2 16Solucin Para empezar se escribe la ecuacin en la forma estndar o cannica. x2 y2 1 4 16 El eje transversal es horizontal y los vrtices se encuentran en 2, 0 y 2, 0. Los extremos del eje conjugado se encuentran en 0, 4 y 0, 4. Con estos cuatro puntos, se puede trazar el rectngulo que se muestra en la figura 10.16a. Al dibujar las asntotas a travs de las esquinas de este rectngulo, el trazo se termina como se muestra en la figura 10.16b. yy 66(0, 4) 4(2, 0)x2 y2 =1 4 16(2, 0)xx 644664464(0, 4) 66a)b)Figura 10.16DEFINICIN DE LA EXCENTRICIDAD DE UNA HIPRBOLA La excentricidad e de una hiprbola es dada por el cociente c e . aComo en la elipse, la excentricidad de una hiprbola es e ca. Dado que en la hiprbola c > a resulta que e > 1. Si la excentricidad es grande, las ramas de la hiprbola son casi planas. Si la excentricidad es cercana a 1, las ramas de la hiprbola son ms puntiagudas, como se muestra en la figura 10.17. yyLa excentricidad es grandeLa excentricidad se acerca a 1Vrtice FocoVrtice Fococ e= a cFocoFoco VrticeVrticexxc e= aa caFigura 10.17 27. 10-1.qxd3/12/0916:44Page 705SECCIN 10.1Cnicas y clculo705La aplicacin siguiente fue desarrollada durante la Segunda Guerra Mundial. Muestra cmo los radares y otros sistemas de deteccin pueden usar las propiedades de la hiprbola. EJEMPLO 8Dos micrfonos, a una milla de distancia entre s, registran una explosin. El micrfono A recibe el sonido 2 segundos antes que el micrfono B. Dnde fue la explosin?ySolucin Suponiendo que el sonido viaja a 1 100 pies por segundo, se sabe que la explosin tuvo lugar 2 200 pies ms lejos de B que de A, como se observa en la figura 10.18. El lugar geomtrico de todos los puntos que se encuentran 2 200 pies ms cercanos a A que a B es una rama de la hiprbola x 2a 2 y 2b 2 1, donde4 000 3 000 2 000d2 Bd1 A2 000Un sistema hiperblico de deteccin2 000 3 000 1 000 2 0002c 5 280 5280 d2 d1 2a 2 200 2200 Figura 10.18c=1 milla 5 280 pies = = 2 640 pies. 2 2a=2 200 pies = 1100 pies 2xyComo c2 a 2 b2, se tiene que b2 c2 a2 5 759 600 y se puede concluir que la explosin ocurri en algn lugar sobre la rama derecha de la hiprbola dada porMary Evans Picture Libraryx2 y2 1. 1 210 000 5 759 600 1,210,000 5,759,600CAROLINE HERSCHEL (1750-1848) La primera mujer a la que se atribuy haber detectado un nuevo cometa fue la astrnoma inglesa Caroline Herschel. Durante su vida, Caroline Herschel descubri ocho cometas.En el ejemplo 8, slo se pudo determinar la hiprbola en la que ocurri la explosin, pero no la localizacin exacta de la explosin. Sin embargo, si se hubiera recibido el sonido tambin en una tercera posicin C, entonces se habran determinado otras dos hiprbolas. La localizacin exacta de la explosin sera el punto en el que se cortan estas tres hiprbolas. Otra aplicacin interesante de las cnicas est relacionada con las rbitas de los cometas en nuestro sistema solar. De los 610 cometas identificados antes de 1970, 245 tienen rbitas elpticas, 295 tienen rbitas parablicas y 70 tienen rbitas hiperblicas. El centro del Sol es un foco de cada rbita, y cada rbita tiene un vrtice en el punto en el que el cometa se encuentra ms cerca del Sol. Sin lugar a dudas, an no se identifican muchos cometas con rbitas parablicas e hiperblicas, ya que dichos cometas pasan una sola vez por nuestro sistema solar. Slo los cometas con rbitas elpticas como la del cometa Halley permanecen en nuestro sistema solar. El tipo de rbita de un cometa puede determinarse de la forma siguiente. 1. Elipse: 2. Parbola: 3. Hiprbola:v < 2GMp v 2GMp v > 2GMpEn estas tres frmulas, p es la distancia entre un vrtice y un foco de la rbita del cometa (en metros), v es la velocidad del cometa en el vrtice (en metros por segundo), M 1.989 1030 kilogramos es la masa del Sol y G 6.67 108 metros cbicos por kilogramo por segundo cuadrado es la constante de gravedad. 28. 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 706 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 706 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PMPM Page 706 1059997_1001.qxp 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 706 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 706 10-1.qxd 3/12/09 9/2/08 Page 706 Page 706 16:44 3:49 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 706 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 706 9/2/08 3:49 Page 706 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM PMPage 706 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 706 1059997_1001.qxp 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 706 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 706706 706 706 706 706 706 706 706 706 706 706 706 706CAPTULO 10Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Cnicas, ecuaciones paramtricas y coordenadas polares Chapter 10 Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 1010 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 1010 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates10.1 Exercises SeeSeewww.CalcChat.com forforworked-out solutions totoodd-numbered exercises. 10.1 Exercises Seewww.CalcChat.com forforworked-outsolutions odd-numbered exercises. www.CalcChat.com worked-out solutions odd-numbered exercises. 10.1 Ejercicios Seewww.CalcChat.com for worked-out solutions odd-numbered exercises. 10.1 Exercises SeeSeewww.CalcChat.comforforworked-out solutions totototoodd-numberedexercises. www.CalcChat.com worked-out solutions odd-numbered exercises. www.CalcChat.com 10.1 Exercises SeeSee www.CalcChat.comworked-out solutions toodd-numbered exercises. 10.1 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 10.1 Exercises See www.CalcChat.com for for worked-out solutions odd-numbered exercises. 10.1 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions totoodd-numbered exercises. worked-out solutions to odd-numbered exercises. En Exercises 1 8,amatch the laSee www.CalcChat.com grfica. [Las los ejercicios 1 8, relacionar See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.a 20, hallar el vrtice, and directrix of the ecuacin con su for worked-out En los ejercicios 17 foco y la directriz de to Exercises exercises. In10.1 Exercises equation with its graph. [ThesolutionsIn odd-numbered1720, find the vertex, focus,el and directrix of the InIn Exercises 118, match the equation with itsitsgraph. [The InInExercises1720, find the vertex, focus, and directrix ofofthe In Exercises 1 match the equation with its graph. [The Exercises 8, match the equation with graph. [The In Exercises 1720, find the vertex, focus, and directrix Exercises 1720, find the vertex, focus, the In Exercises 1 8, match the equation with its graph. [The In Exercises 1720, find the vertex, focus, and directrix of the In Exercises 1 8,8, match the equation with its graph. [The InExercises 1720, find the vertex, focus, and directrix ofthe grficas estn marcadas a),(c), c), (e), (f), withand graph. [The e), In Exercises 11 match the equationf),(g), its 8, graphs are labeled (a), match (d),d),(e), (f),g) y h).](h).] (b), b), graphs are labeled match the equation(f), (g), andgraph. [The with graph. graphs Exercises 8,(a), (b), (c), the (e), (f), withand its(h).] [The In In are labeled 8, (b),the equation(f),(g), its graph. [The graphs are 1 (a), (d), (g), and (h).] graphs are 1 8, (a), (b), (c), (d), (e), (g), and (h).] graphsare labeled8,(a), (b), (c),(d), equation(g), and(h).] In Exerciseslabeledmatch (c), (d), (e), (f),with its (h).] Exercises 1 (a), (b), (c), (d), (e), match (c), equation (g), its (h).] In Exerciseslabeled(a), (b), the (d), (e), (f),with andgraph. [The graphs are labeled (d), a) Exercises labeled (a), (b), (d), (e), (f),y (g), and graph. [The b) y 8, graphs are labeled match (c), equation y(f), its (h).] In graphs are labeled (a), (b), the (d), (e), (f), (g), and (h).] are labeled match (c), equation yy its (h).] (g), In Exercises 1yy (a), (b), (c), (d), (e), (f),with and graph. (a) graphs are 1 8, (a), (b), the(c), (b) (e),ywith(g), and (h).] [The (b) graphs yy y (a) yy (a) (b) (a) (b) (a) (b) (a) (b) y graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), (f), y(g), and (h).] (a)(a) (b)(b) 4 graphs are labeled y(a), (b), (c), (d), (e), (f), y(g), and (h).] y 8 8yy y 4 4yy (a) (b) (a) (b) 4 4 88 8 (a) (b) 8 44 686y y y8 (a) (b) 224 y 4 6686 (a) (b) 86 4 8 464 4464 6 6 8 84 6 4 4 4 6 64 4 x 8 8 6 2 4 4 4 66 2 2 22 244 4 88 6 2 2 2 4 6 2 4 8 8 6 2 2 2 4 8 6 2 4 2 8 8 6 4 4 2 22 44 4 6 6 24 2 4 4 886 24 2 4 8 8 6 2 4 8 6 24 4 2 4 4 4 2 yy y (c) c) yy y (c) y (c)(c) (c) (c) 4 4 y (c)(c) y y (c) yy (c) (c) 44 4y (c) (c) 44 4 y 4 2242 2242 4 4 42 xx x 2 x x x 6 4 2 2 4 6 2 664422 42 22 2 4 4 6 6 x 4 44 2 22 244 466 6 x x 6 6 42 2 4 6 x 4 2 6 6 2 2 x 6 4 22 2 4 6 x 4 4 22 2 4 6 4 42 2 4 6 6 6 4 4 24 4 66 442 4 22 44 66 x x 4 6 4 4 2 2 4 6 6 4 44 4 2 4 6 2 4 4 (e) (e) e) y (e)(e) (e) (e)(e) (e)(e) (e) (e) (e) (e)4 22242 42 2 2 x 4 42 2 2 2 22 44 2 44 4 22 2 2 4 4 2 2 2 4 2 24 4 4 22 44 4 44 4 4 4 2 4 4 2 4 4 4 4 4yy (d) d) (d) 4yy yy (d) (d) (d) 4 yy (d) (d) (d)(d) 44 4yy y (d) 4 4 y (d) 44 4 y (d) 224 y 4 (d) 2242 42 2 2 x 4 42 2 2 2 22 2 44 4 66 6 22 2 44 4 66 6 2 4 6 2 222 2 4 6 2 2 2 22 2 24 466 6 2 4 4 6 2 4424 2 2 24 4 4 2 4 6 2 4 4 6 2 4 2 24 4 4 4 (f(f ) f)(f ) 4 y (f )(f)) 4 (f )(f ) (f ) (f ) (f (f )) (f ) (f )x 84 22 44 6 8 y yy y y y y 6 y y 66 6yy 6 6 6 y 6 y6 6 26 22 2 62 62 2 2 2 6 6 2 2 2 2 2 6 6 2 22 2 66 6 x 6 2 2 66 2 6 6 22 6 22 2 6 6 22 2 2 2 6 6 6 6 2 2 2 6 6 2 6 6 6 2 6 6 6 2 6 6 26 6 2 6 6 6 6 6 6 1. y22 22 4x 6 y y 4x 1.1. yy4x6 1. 2 4x 1.1. y 24x4x(g) (g) (g) (g) (g) g)(g) (g) (g)(g) (g) (g) (g) (g)2 1 x31132y y y y yy y y y y 4 4yy 4 4 44 4 4 y 24 y 4 242 2 2242 2 4 42 2 2 2 2 2 4 6 x 2222 2 2 4 4 6 6 2 2 4 6 2 2 22 2 22 2 44 4 66 6 22 2 2 4 6 2 2 2 2 2 2 24 46 6 24 2 2 2 22 44 66 24 2 4 2 244 4 2 4 4 6 6 2 4 2 4 4 24 4 4 2 2. x x 4 4222 2 y y 2 44 2 2 2 y 2 2.2. x422 2(h) (h) (h) (h) (h) (h) h) (h) (h)(h) (h) (h) (h) (h)4 2 2 2. x y 2.2.xx 44 22yy 22 4 2 y y y 2 1. y 2 4x 2. x x 2 2 2 2 2 2 12 1. yy22 y4x 2 2 2. xx22222222 2 1. 1.2 4x 2. 2. x 2424 y 1 2 4x 1. x 2 2. x 42 2 y y 2 1. y 4x 2 2. xx242 2y 12 1 3.3.y2x 44x22 2y y 4.4. xx2222 2yyy1122 1 1 2 4 x 22 y4y 122 1 1 422 2 2 2 y2x 422 2 yyy22 4x 2 y 3. 3. xx2x444x 2 22 4. 4. x 16 422 2yy 2111 3.3.yx 4 2 y 22 4.4. x 222 y 4122 1 1. 2. 16 2 2 y441 x 1. 42 2 2 2. x 16 y 16 3. 4. xx 16 16 y 44 2 2 y y 2 3. 3.x 422 2 y 2 4. 4. 22 2 11 4 1 3. x x 42 4 2 3. x2x 2 y422 2y 2 2 4.4. x2x 22162222 y 142 11 1 4. 2 2 2y 22 y 1 2 1 y 2 2 16 16 4 x y y 2 2 2 x2 yy2 16 4 xxx216yy2 1 1 44 1 xxxx2 y42222 12 y 2 16 2 5.5. x 4y 2 y 2 6.6. x 1 1 3. yy 1 1 4. 16 16 1 3.5.4x9211 4.6. x2 y 211 5. 5. x4 x 9 y 2 1 6. 6. 1616 16y 4 2 2 2 5. x22 y 22 1 6. x22 x 2 y 22 1 4 5. 4424 999 6.1616yy16 x2 x4 y 9 y 16 16 16 x161616 1 5. 5.2 y92 1 6. 6.2 216 y1 1 16 2 2 5. x42 1 6. x 2 16 222 16 22 5. yx4 224 x29 229 1 1 6. 16 22211y 22 x y 2 22 4y xx x 16 2 yx y xx229 22 yyy 2 1 xy 2 xy92 2 1 16 16 16 y4 2 1 9 x 2 2 12 16 7.7. yy2 9x 11 8.8. xxx 2 1 y 1 y 1 5. 6. 5. y x2 6. x 22 2 2 2 7. 7.1622 y1 1 111 8. 8. 16 x9 22 4 4 11 7.7. y16 922 x 11 8.8.x 216 y22 y 11 4 9 16 9 916 y4 42 2 x 2 7.162 1121 1 8. 8.x 999 2224424 16 2 16 xx1 1 yy16 1 7. 7.2 16 1 1 8. x 2 2 y4 11 1 9 2 4 7. 16 2 1 8. 7. y 2 x1 8. x 9 2 2 1 16 1 9 4 y x and directrix y2 16 x2 916, 16 1 916,find the vertex, focus, 29 y4 1 of the 9 4 1 In7. Exercises 1 1 7. Exercises 916, find the vertex, focus, and directrix ofofthe 8. focus, and directrix of the InExercises 916, find the vertex,8. focus, and directrixof the find the vertex, focus, anddirectrix of the InIn Exercises 916, find the vertex, focus, and 4 In 16 Exercises the vertex, directrix the In Exercises 916, findthe vertex, focus, and directrix of the 16 1 9 4 1 9 In Exercises sketch its graph. parabola, and 916, find graph. parabola, andsketch find vertex, focus, and directrix of the 916, parabola, and 916, findgraph. vertex, focus, and directrix of the In In Exercises sketchits thethe parabola, and sketch its the vertex, focus, graph. parabola, and sketch itsthe vertex, focus, and directrix of the parabola, and916, find graph. In Exercises 916, itsitsgraph. Exercises sketch its graph. In Exercises sketch findhallar el vrtice, el and directrix of the parabola, and En parabola, and9sketch its graph. los ejercicios a 16, foco y la directriz de parabola, and sketch its graph. In Exercises sketch its the vertex, focus, and directrix of the parabola, and sketch its graph. 10. 2 6y In Exercises 916, find graph. 10. x22 2 and 0 and 9. y 2 2 parabola,8x916, find the vertex, focus,6y 0directrix of the la 9. yy222 8x trazar su grfica. 10. xxx222 6y00 parbola, y y y 8x 9. 9. 2y 8x 8x 6y 10. 10. x 6y6y 0 9.9. y2 8x sketch its graph. 10. xx 6y 00 parabola,8x 5 and 2 9. 10. parabola, y 3 its 0 2 and 2 0 11. 9.22 y 8x sketch22 graph. 12. 10.2x x 6y2 8 y0 7 0 8x 2 9. x 10. x2 6y 0 y y 7 11. y 8x y 2 0 12. 10. 6 8 11.9.xy2x558x 332222 00 9. 10. x x 6220 y 0 3 6 11. 5 12. 6 11. y x 5 y 12. 11. xx 5yyy33 0 00 12. xx266y228887700 12. xx66y08yy77 00 x 5 3 32 8x 11.11.224y 4x y 22 0 14. 12.22 6y2228x 25 70 0 12. yxx 0 y 7 22 5 y 0 2 6 8 2 x 6y 6 0 8 y 13. yyx 54y y 3 0 0 9. 10. x 6y 9. 10. xx66y8x8y 25 0 11. 2 4y4y4x4x0 0 12. 2 6y2 25 13. x y 14. 11. y x 8x 4x 3 12. y 13. yyy222 54y 4x30 0 14. yyy222 66y 8x257 0 11. yy 5 y4x 2 12. y 6y6y 8 y 7 0 8x 13. 14. 8xy 257 0 13. 14. 13. 2x4y 4x0 0 14. 2x 6 88x25 0 0 6y 25 13. x 4x 30 14. 2 2 2 0 15. 13.2224x 4y 302 0 16. 14.22224y2 8x y 12725 000 0 x2y 4y 4x 4y y 0 4x y 6y 8x 25 8 11. xy2222 54x4y4x4 00 0 12. yyx22y6 8x25 4y4y 8 8x127 0 0 11. xyx54y4y4y4042 0 12. yyx66y6y8x8xy 25 00 13. xyx 4x4x 4y 44000 14. yyy 4y 8x 12 00 15. 222 4y 4y 4 16. y 4y 8x 12 13. yx 4x 4y 0 14. 2y2 6y 8x 12 0 15. 16. 13. 14. 4x 4y 8x 12 15. 16. 15. 16. 15. x 4x 4y 4 0 16. y 4y 8x 12 0 15. y 4y 4x 0 16. y 2 6y 8x 25 0 2 2 13. x 2 4 0 14. y 2 13. 15.22 4y 4x 4x 4y 0 0 0 14. 16.22 6y 8x 25 12 0 0 15. x 2 x 4x 4y 4 16. y 2 y 4y 4y 8x 8x 12 0 4x 4y 4 4y 8x 12 0 15. 16. 15. yx2 4x 4y 4 0 16. yy 4y 8x 12 0 2 2 15. x 4x 4y 4 0 16. y 4y 8x 12 0 15. x 2 4x 4y 4 0 16. y 2 4y 8x 12 0 15. x 2 4x 4y 4 0 16. y 2 4y 8x 12 0la Exercises Luego usar una utility to graph the parabola. the In parbola. 1720, find the vertex, focus, and the parabola. Then use a a graphing vertex, to graph graficacin para graphing herramienta de directrix of parabola. Then use agraphingutility to graph directrix of parabola. Then use aafind thethe utilityfocus, and theparabola. thethe In In Exercises 1720, graphing utilitytofocus, and parabola. parabola. Then use find utility graph the parabola. parabola. Then use a graphing utility graph the parabola. parabola. Thenparbola. the vertex, focus, and thedirectrix of In Exercises 1720, graphingvertex, focus, and directrix of the Exercises 1720, graphing utility to graph directrix of In Exercises la use afind the vertex, totographthe parabola.the representar 1720, find parabola. Then use a parabola. utility graph directrix parabola. Then a graphing utility to graph 8x parabola. In Exercises 1720, a graphing utility 1graph parabola. the vertex, to to 1and directrix parabola. Then use find the vertex, focus,112 the 8x 6of parabola. In Exercises Then0 0afindgraphing18.y yto graph 22the parabola.the y22 22 x 1720, x Then use y x 17. parabola. y useusegraphing utilityfocus,16and2thethe 6of the 18. parabola. 17. y2 0 17. yyyyxxxyyy00 18. yy 61x6x8x 6 6 17. 18. 6 2 parabola. 6 1 1 8x 17. 2 Then use a 18. 2x2 8x 6 17. yy22x xxy yy0 00 graphing utilityyy graph2 8x8x666 18. yyto1xxx the8x 6 17. 2 18. parabola. 4 graphing utility 2toygraph22the 9 0 6 17.17.222 Then a 18.18. 2 11 x 2 8x parabola.4x use0 0 6x 1 8y parabola. 2x6 19. y2y 2yx4xx 0 20. xyx 2x x6 8x 6 0 17. 18. 2 2xx 8x 9 6 19. x4x y 4 20. 17. 18. 2x 2 8y 9 19. yyyy224x44y00 20. xxyx2266x8y9900 17. y2 x4x 0 18. 2x2x 8x 0 y 0 8y 6 8y 19. 20. 4 0 19. 20. 19. yy224x4xy 44 00 20. yx22x 8y8y9 00 19. y 2 4x 40 20. x 22x6 8y 99 0 1 x x2 19.19.22 y 2 x y 40 0 20.20.2222x2x 8x 6 0 y x 2x 8x 0 y2 4x 4 0 4x 0 17. y 2 4x y 4 0 18. y 21x 8y 8y 9 0 17. y 4x 4 0 18. x 2x 2 8y 9 9 19. y 2128, find an equation of the2x 8y 9 0 20. x parabola. 6 6 6 19. 20. x 19. Exercises 20. In Exercises 2128, find an equation the InInExercises2128, find anhallar unaofofthe parabola.9 0 Exercises 4 find an equationofthe 2xparabola. In los 4x 2128, findanequation x 2of theparabola. Exercises 2128,0 28, equation ofthe2x parabola. In Exercises2128, 0afind anequation ecuacin 8y 9 0 2 ejercicios 2 parabola. 2 4x In Exercises 2128, find an equation x the parabola. En de la parbola. 8y 19. y 20. 19. y 20. of In Exercises 4 21 In Exercises 2128, find an equation of the parabola. 2128, In Exercises 4 find an equation of of parabola. 21. InVertex:5,5, 2128, find an equation thetheparabola. 22. of the 2, 1 In Exercises5,2128, find an equationVertex: parabola. 21.Vertex: 5,5, 4 22. Vertex: 2, 111 Vertex: 2, 1 21. Vertex: 5,44 22. Vertex: 2, 21. Vertex: Vertex: 22. Vertex: 21. Vrtice: 4 22. Vertex: 2, 21. Exercises5, 4) find an equation Vertex:parabola. 22. of the 2, 11) 22. Vrtice: 2, 1 21. Vertex: 2128, In Exercises3, 4 4 4 21. Focus: 2128, Vertex: 22. of Vertex:(2, In 21. Vertex:(5,5, 4 find an equationFocus: parabola.1 the 4 21. Focus: 3,5,4) Vertex: 5, 4 22.22.Focus:2,2, Vertex: 2,1 Focus: 4 Focus: 2, 1 1 21. Vertex: 3,44 Vertex: 3,3, 22. Focus: 2, 1 Vertex: 2, 11 21. Focus: (3,5,44 22. Focus: (2, 1 Vertex: 2,1) Focus: Focus: Focus: 2, 1 Foco: 3, Foco: 2, 1 Focus: 5, 3, Focus: 2, 21. Vertex: 0,0,4 Vertex: 3, 4 22. Vertex: 2,2,1 Vertex: 2 2 1 23. Vertex: 5,54 24. Focus: 2,1 Focus:(0, Focus: 2 21. Vertex: 3,54 4 22. Focus: 2,2 1 Focus: 3,0, 5 Focus: 2,1 23. Vertex: 0,0,55 Vertex: 3, 45) 24. Focus: 2,2, 2,1 Focus: 2, Focus: 0, 4 5 Focus: 2,2 1 23. Vrtice: 24. Focus: 2, 23. Focus: 24. Foco: 2, 2 23. Vertex: 24. 23. Vertex: 24. Focus: 23. Vertex: 0, 5 24. Focus: 2, 2 23. Directrix:3,y 5 24. Directrix:2, 1 Focus: Focus: x2, Vertex: Focus: Focus: 0,43 Focus: 2, 2 23.23.Directrix:40,3 Vertex: y 5 3 24.24.Directrix:2x12 Directrix: y Directrix: 23. Directrix:0, y5 3 Vertex: 24. Directrix:2, 222 Focus: x 2 Directriz: y Directriz: x 2 23. Directrix:3, y53 Vertex: 0, 3 24. Directrix:2, xxx 2 Focus: 2, 22 Directrix: y 3 Directrix: Directrix: 5 Directrix: 2 x y Directrix: 23. Directrix:0,y 3 Vertex: yy y y 3 24. Directrix: 2 2 Focus: 2, x 2 25. Vertex: 0,yy5y 3 26. Focus: 2, x 2 23. 24. yyyy 25. Directrix: 26. y 2 y 25. 26. 25. Directrix:yyyy 3 26. Directrix: 4)x 2 25. 26. 25. 26. yy (2, 25. Directrix:(0, 4) 3 26. Directrix: x 25.25. 26.26. y y (2,(2,x4) 2 (2, (2, 4) y y Directrix:y y(0,4)4) Directrix:yy(0,4)4)3 Directrix:4)x (2, (0,(0, 3 y 4Directrix: 4)4) 2 (2, 4) 25. 26. 4 25. 26. 4 25. 26. 4444y (2, 4) (0, 4) (2, (2, 4) y (0, (0, 4) (2, 4) 4) (0, 4) 4) 25. 26. 4 y 25. 26. 343y 4 (2, 4) 3 y (0, 4) 3 3 3343 3333 43 3 3 (0, 4) (2, 4) (2, 4) 3 3 (0, 4) 232 3 232 3 4 43 32 22 2 22 2 22 2 3 3 2 2 121 2 3 3 31 3 2 2 2 1121 (0, 0) 2 21 (2, 0) (2, 0)0) (4, 0)0) (2, 0) (4,0)0) (2,0)0) (2,0) (0, 0) (4,x 1 (0, 0) (2, 0) 0) (2,(2,x0) (4,(4,0) (2, (2, (2,2 (2, 0)0) (2,0) x (0, (4, (4,0) 0) 2 (0,0) 0) 21 (0,(0, 0) 1 1 0) (2, 2 0) (2, xxxx 0) 0) (4, x0)xx0) x 1 (0, (0, 2 3 xx 1 0) 0) 1 (2, (2, 0) 0)11 1 (2, 0)x 0) 0) (2, (2, 0) (0, 0) 2 3 (4, (4, x x (2, (0, 1 2 3 (4, 0) 0) 1 (2, 0) 1 1 (2, 0) x (0,110)2222 3333 (4, 0) x 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x 1 1 x (2, 0) (2, 0) 0) (0, 0) 2 (4, x (2, 0) (0, 10) 1 2 2 3 3 (4, 0) 1 3, 27. Axis1 1parallel1 (2, y-eje y; graphpasses through 30, 3, 0) 4, y 1 11 27. Axisis is parallel y-axis; graph passes1 through 3 3, 44 paralelo y- x axis; la por 3 27. El 1isparallel totoalaxis; graph passes 11through0,0, ,3 x3,44 x 27. Axisejeisparallel totoy-y-axis;graph passes pasa 22 3(0,0,33,,(3,3,4),,, 27. Axis passes through 27. Axisis esparallel y-axis; graph passesthrough 3), 27. Axis isisparallel totoy-axis; graphgrfica through 0,0,3,,x3,3,4,4, 27.27. Axis 11. 1 to to axis; graph passes 1through 0,3,33,3,,4, Axis4,4, parallel and 1 11. parallel 1 through 0, , 2 3 2 3 1 is 1 and y-axis; graph passes(4, is 11 27. and 4,4, parallel to y-axis; graph passes through 0, 3,, 3, 4,, Axis is parallel to y-axis; graph passes through 0, 3, 3, 4, and and 11 27. Axis4,4,11 . Axis is 11 27. and 11).11.... and 4, parallel to y-axis; graph passes through 0, 3 2 3, 4 28. Directrix: 112; y-axis; graphofpassesrectum are0, 0,0, 3, 4,, and and 4, 4, . . 2; extremos 27. Directrix: yy. 2;y-endpointsofoflatus recto (latus 30,23, and Axis is 11 y to endpoints lado through are 3,, and to endpoints 28. and 4, 11 yyy 2; endpoints of passes through are 0,22and Directrix: and is parallel 2; axis; graph latus rectum 2 4 27. Directrix:parallel2; endpoints ofoflatus rectum are0,rectum) and 28. Axis4, 11.y2; endpoints dellatus rectum are 0,0, 2and Directriz: son 28. Directrix: 28. latus rectum and 28. Directrix: latus rectum are 28. Directrix: y 2; endpoints of latus rectum are 2 and 0, 28.28.0,22.4,y11..2y 2; endpoints of latus rectum are 0, 2 and and 4, 8, . 8, Directrix: and2. 8, 2. 8,8,22.. 11y 2; endpoints of latus rectum are 0, 2 and 2. 28. Directrix: y 2; endpoints of latus rectum are 0, 2 and 28. Directrix: y 2; endpoints of latus rectum are 0, 2 and Directrix: 28. 8,8,2. 8, 8, 8, 2..2. 28. Directrix: y find endpoints of latus endpoints are 0, 2 and 8, 2 28. Directrix: y 2; the center, of latus rectum are 0, 2 and 8, 2. In Exercises 2934, 2; 34, hallar el centro,rectumand eccentricity En Exercises2934,find the center, foci, vertices, and eccentricity la los 2. 2934, find the center, foci, vertices, and vrtice y el foco, eccentricity InInExercises2934,29 findthecenter, foci, vertices, and el eccentricity Exercises 2934,find the center,foci, vertices, and eccentricity In 8, 2. Exercises find In Exercises 2934, a the center, foci, vertices, and eccentricity In Exercises 2934, find the center, foci, vertices, and eccentricity 8, ejercicios sketch its graph. foci, vertices, In the of the Exercises de la elipse itstrazar su foci, vertices, and eccentricity ellipse, and center, excentricidad and sketch itsgraph. ofoftheellipse, 2934, sketchitsgraph. foci, vertices, and eccentricity In In ellipse,and sketchthethegraph. grfica. of the ellipse, and find the ellipse, 2934, find graph. of Exercises and sketch center, graph. ofthe ellipse,and sketch theitsgraph.foci, vertices, and eccentricity In Exercises 2934,find itsy center, In Exercises 2934,sketchthecenter, foci, vertices, and eccentricity of of the ellipse, andfind its its graph. 2 the ellipse, and sketch of Exercises 22 2and sketch its center, foci, vertices,2 and eccentricity In Exercises 2934,sketch its graph.foci, 22 7y 2 63 of the 22 22 y and find the graph. 3x 2 7y22 63 In the ellipse, 22 sketchthe center,30.3x22vertices,2and eccentricity 16xellipse, 16 find its graph. y 2934, 29. the ellipse,2 and 16 30. of 16x 29. 16x 29. 16x 16 30. 3x 7y7y 6363 29. 16x 222yyy2 1616 30. 3x3x 7y 63 16 29. 30. 29. 30. 29. the ellipse,yand16 30. 3x 7y2 63 of 29.16x y 2and 1 its graph. 3x 2 7y 2 y63 6 sketch 29. 16x 30. of the 22322 2 y2y 16 2 2 its graph. 30. 22 22 632 2 ellipse, sketch 2 x 16x 2 2 2 63 29. 16x 22 2 30. x 3x4 7y 7yyyy6 2 16 1 29. 16x23 y y1 30. 3x 227y 63 yy 29. xx3332y y161 1 30. 3x2 42 2 6 1 x y y x 31. x16x32y2 16112222 1 32. 3x 7y2263662222 1 31. x 16 32 y 25 1211 32. xxx2 442 yy 66211 32. 14 1 1 31. 16x 2 y 1625 2 1 1 32. 3xx 42 2 63y 2 2 31. 32. 31. 32. 31. 2 32. x2 31. x 22 2 2y16y 121 1 29. 16xx 3 30. 3x4 47y 22 14 6 1 14 29. x1616 y 2 y2525 2 16 4 y 31.31. 3 3 y 1 32. x x 22 y1462 14 16 25 14 16 3 25 1 1 1 30.32. 7yy63 6 6 1 1 31. x 2 16 25 2524y 32. x 4 16 2 1 31. 32. 31. 9x 4y 222 y36x1 1 36 x 4 2 y 14 2 1 33. 9x224y22 36x 2 24y 36 32. 00x 4 y 1462 1 25 9x163 4y 36x251 24y 360 0 x 22 3 4y 36x 24y 36 6 2 4y 14 33.9xx 24y 236x224y3600 33. 9x 21624y2y 36x24y 3636 0 16 2 14 33. 9x 36x 1 25 24y 33. 33. 33. 9x 4y 36x 24y1 3632. 0x 42 14 1 32. x 42 1 31. 31. 9x 2 2 33. 64x 34. 16x22 25y2222 36x64x 24y150y 0 00 14 2 2 14 279 33. 9x 22 25y2236x24y 36279 0 34. 9x 9x 25y 2564x150y 36279 34. 16x 2 4y 150y 279 33. 9x 16 4y 25y 36x 24y150y 279 64x 34. 33.16x25y2236x64x150y 3627900 33. 16x164y25y2 2564x24y150y362790 0 34. 16x 34. 16x 25y 34. 16x2 22224y2 64x150y 0 0 00 25y 2 64x 150y 279 16x 34. 9x2 64x 24y 33. 16x 2 4y 2 25y 150y36 279 0 150y 279 33.34. 216x 24y2 2 64x 150y36 0279 0 0 34. 9x 22 25y 2 36x 24y150y 0 3538, 64x 279 34. 16x 25y 34. los ejercicios 36xafind the center, foci, foco yvertices In Exercises25y 2 64x hallar centro, 0 and vertices of the En 16x 2 InInExercises 3538,64xfindthe center, foci,0 and vertices ofofde la In Exercises3538, find 150y center, el and vertices of the Exercises 3538, find the el 279 foci, center, foci, the In 16x 2 25y2 64x 150y 279 0 and vertices ofthe Exercises 3538, 38, the center, foci, and el vrtice the 2 35 In Exercises25y3538,find the center, foci, and vertices of the 34. 16x a 3538, find the 34. Exercises graphingfind thetocenter, foci,ellipse. In and ellipse. Use ayuda de una herramienta thegraficacin represenutility graph elipse. Con a3538, find the center, the ellipse.vertices of the ellipse. Use 3538, find the to graphthe and vertices of the ellipse. Exercises 3538,utilitytocenter, thefoci, and vertices of the In In Use agraphingutility tograph foci, and vertices of the Exercises graphing utility center, the ellipse. ellipse. Use graphing utility to center,de ellipse. utility graph the ellipse. ellipse. Use 3538, ellipse.Use aagraphingfind thethegraphfoci, ellipse. In Exercises agraphing utility to graphfoci, ellipse. Exercises graphing find to graphthe and vertices of the In ellipse. Use a a graphing tar 12x Use20y 2 find the center, the la 2 a ellipse.elipse. 3538, find utility graphfoci, and vertices of the In Exercises20y 2 12x utility to to foci, and vertices of the ellipse. Use a graphing graph In Exercisesa 3538,12xutility to graph0the ellipse. 35. ellipse. Usegraphing 40y 37 graph the ellipse. ellipse. 2Use20ygraphing utility to 37 the ellipse. 2 35. 12x 20y 12x the center, 0 0 35. 12x 22222 20y 2222 12x40y3700 ellipse. 12x 40y 40y 35. 12x graphing 40y 37 35. 12x a20y 12xutility to graph the 35