(Apuntes en revisin para orientar el aprendizaje)

CLCULO DE VOLMENES MEDIANTE CORTEZAS CILNDRICAS Este mtodo se basa en utilizar anillos cilndricos de poco grosor llamados cortezas y que se ilustra en la siguiente figura:r2r

r1

r

h

El volumen de una corteza cilndrica de radio exterior r2 , radio interior r1 y altura h est dado por: V volumen del cilindro exterior menos volumen del del hueco V r2 2 h r12 h que tambin se puede escribir como:

h r2 r1 2 En el primer parntesis de la expresin obtenida se tiene el radio medio de la corteza, denotado con r en la figura, es decir, que r r r 2 1 2 Y en el segundo parntesis de dicha expresin se tiene el grosor de la corteza, denotado en la figura con r y que equivale a: r r2 r1Luego entonces, tomando en consideracin esto, el volumen de la corteza cilndrica se puede escribir como: V 2 rh r Por lo que. Vcorteza 2 radio medio altura grosor Sea

V

r22

r12 h

r2

r1 r2

r1 h 2

r2

r1

f

una funcin continua y no negativa en el intervalo cerrado

a, b , donde

0 a b . Y sea R la regin acotada por la grfica de la funcin, el eje de las abscisas y las rectas de ecuaciones x a y x b , tal como se muestra en la figura siguiente:

y

y

f x

Rx

a

b

Si se gira la regin R alrededor del eje " y " se forma el slido de revolucin mostrado en la figura: y

a

b

x

Ntese que si a 0 , entonces el slido de revolucin tiene un agujero cilndrico de radio " a " . Se construye ahora una particin del intervalo a, b y se considera el rectngulo de base

xn 1, xn y altura f wn , donde wn es el punto medio del subintervalo

xn 1, xn .

Cuando este rectngulo gira alrededor del eje " y " , entonces se obtiene una corteza cilndrica con radio medio wn , altura f wn y espesor xn xn xn 1

y

xn

f wnx

a xn 1El volumen de esta corteza cilndrica es. Vn 2 wnf wn

wn

xn

b

xn

Si se suman todos los volmenes de los subintervalos de la partiticn se llega a: V 2 w nf w n x nn

que es una suma que proporciona un valor aproximado al volumen del slido de revolucin en cuestin. Una figura aproximada para ilustrar el volumen correspondiente a esta sumatoria se muestra a continuacin, considerando solamente una particin con pocos subintervalos. y

x

aEs evidente que mientras menor sea la norma

bde la particin, mayor ser la

aproximacin de la sumatoria con el volumen del slido de revolucin, objeto del problema en estudio. De acuerdo con lo ya estudiado del lmite de una sumatoria, es posible establecer la siguiente definicin: DEFINICIN. Sea f una funcin continua y valuada positivamente en el intervalo a, b para el que se cumple que 0 a b . Entonces, el volumen V del slido de revolucin que se genera al girar alrededor del eje " y " , la regin limitada por la grfica de f , el eje de las abscisas y las rectas x a y x b , es igual a:V lim0 n

2 wn f wn

xk

b a

2 x f x dx

Como se observa, el volumen se obtiene con una integral definida. A manera de resumen, considerando las dos posibilidades de ejes de revolucin, los ejes " x " y " y " , se tiene que: Se considera una misma regin y i) Si el eje de revolucin es el eje vertical, entonces,

p xV 2b a

p x q x dx

eje de revolucin

q x

aii)

x

b

Si el eje de revolucin es el eje horizontal, entonces,

q ydV 2d c

p y q y dy

y

c

p y

eje de revolucin

Ahora se resolvern algunos ejercicios de aplicacin de este mtodo para calcular volmenes de slidos de revolucin. EJEMPLO. Se construye un depsito de combustible cuya forma se obtiene al hacer girar alrededor del eje de las abscisas, el segmento de la parbola x2 y 2 ; 4 x 4 8 Cul es su volumen? (las magnitudes " x " y " y " en metros). Utilizar para el clculo los dos mtodos, el de las cortezas cilndricas y el de los discos. Solucin. Lo primero que se har es presentar una grfica del depsito, mediante el giro de la x2 grfica de la parbola y 2 alrededor del eje de las abscisas. 8

y

4m

x

8mMtodo de las cortezas

y

2

y

y

4xV 2d c

42 4 2y

x

De acuerdo con lo tratado, la expresin a utilizar es la siguiente:p y q y dy

donde q y Luego,

2x

2 8 2 yV 22 0

4 4 2y

;

p yV

y82 0

y 4 4 2y dy

y 4 2y dy

Se resuelve primero la integral indefinida y,y 4 2y dy ; u 4 2y du 2 dy ; y1 3

4 u 2

1 4 u u du 2 21 4u 4 3 2V3 2

1 42 3 u2 33 2

4 u u u du5 1 2 u 10

1 4

4u 23 2

u 2 du5 2

u 5 28

5 2

C

C5 2 2

2 4 2y 380

1 4 2y 103 2

C

2 4 2y 3

1 4 2y 10

2 4 3

1 4 10

5 2

VMtodo de los discos

8

16 32 3 10

V

53.62 m3

y

2

x

y

2x

x2 8

4

4

Como se estudi, la integral definida con la que se calcula el volumen es la siguiente:V24 4

2

x2 8

2

dx

2

4 0

2

x2 8

2

dx

Se resuelve la integral indefinida y se llega a:2 x2 8x3 6

dx4

4

x2 2

x4 dx 64

4x

x3 6

x5 320

C

Por lo que el volumen buscado es igual a:V 2 4x x5 320 20

16

64 1024 6 320

V

53.62 m3

EJEMPLO. Calcular el volumen que se genera al girar, alrededor de la recta x 2 , la x3 1 y las rectas x 2 y y 1 . Graficar la regin regin limitada por la curva y 4 dada y el volumen requerido. Solucin. Se grafica de manera aproximada la curva dada y la regin que gira y se tiene:

yy x3 4 1

eje de giro

3

x

2

xx3 4

y 1

1

1

12 xx

2 No es posible calcular el volumen pedido mediante el mtodo de los discos, ya que no se puede despejar a la variable " x " . Luego este problema tiene que ser resuelto por el mtodo de cortezas cilndricas con un elemento diferencial rectangular vertical, como se muestra en la figura. Como el eje de revolucin es vertical, para determinar el volumen se utiliza la expresin:V 2b a

p x q x dx

donde

p xLuego el volumen equivale a:

2 x

y

q x

x3 4x3 dx 4

1

x3 1 4

V

2

2 0

2 x

Se resuelve la integral indefinida y x3 2 x dx 4V 2 x4 8 x5 202

x3 220

x4 dx 416 8 32 20

x4 82

x5 20

C

160 128 80

V

4 u3 5

La grfica de este volumen es:

y3

eje de giro

1

2

x

EJEMPLO. Determinar el volumen que se genera al hacer girar la regin limitada por las 2 parbolas y 4 x2 y y x 2 , alrededor del:

i) Eje " x "

; ii) Eje " y "

Solucin. Se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones de las parbolas y se realiza una grfica de las dos parbolas. As, y 4 x2 2 ; 4 x2 x 2 4 x2 x2 4 x 4 2 y x 2

2 x2i) Eje " x "

4x

0

2x x 2

0

x x

0 2

y y

4 0

yy 4 x2

q y

4

yy

x 2

2

p yx

2En este caso, la expresin que se utiliza es Vp y y y q y 4 y

222d c

p y q y dy en la que4 y 2 y

y

Luego,

V

2

4 0

y

4 y

2

y dy

2

4 0

y 4 y

2y

y y dy

Se resuelve primero la integral indefinida y para ello se divide sta en tres integrales. As, y 4 y dy . u 4 y du dy ; y 4 u4 u u du 4u du8 4 y 31 2

u du3 2

3 2

4u 2 3 25 2

3

u2 5 2C

5

C

y 4 y dy

2 4 y 5

2 y dyLuego,

y2

C ;

y y dy

y dy

3 2

y2 5 2

5

C

2y 2 5

5

C

VV 2 16 64 5

2

8 4 y 364 3 64 5

3 2

2 4 y 52 1632 3 u3

5 2

y

2

5 2 2 y 5

4

0

64 5

64 3

64 5

2

16

64 3

V

i) Eje " y "

yy 4 x2

4

x

q x

y

x 2

2

p x

2En este caso, la expresin que se utiliza es V

22d c

x

p x q x dx en la que:

p xV 22 0

x

yx 2

q x2

4 x222 0

x 2x2

2

x 4 x2

dx

4 x22 2 0

4 x 4 dx

2

2 0

2x

2

4 x dx

2

2 x3 3

2x

2

16 3

8

V

16 3

u3