Lugar geométrico de las raíces

Fuente: M.I. Ricardo Garibay JiménezNoviembre 2006

Adaptado: UBA 2016

INTRODUCCIÓN

En el análisis y diseño de sistemas de control es necesario asegurar una posición apropiada a los ceros y polos de malla abierta, de manera que al cerrar la malla, los polos resultantes determinen el comportamiento deseado del sistema.Para evaluar los polos de una función de transferencia es necesario factorizar el polinomio denominador lo que es complicado cuando se trata de polinomios de orden mayor que dos y con frecuencia manejan algún parámetro cuyo valor numérico no es definido, como la ganancia del controlador.

El método desarrollado por W. R. Evans permite graficar en el plano complejo los sucesivos valores de los polos de malla cerrada para todos los valores posibles del parámetro no definido. Este método es conocido como LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES. El parámetro a considerar será la ganancia K de trayectoria directa en su variación de 0 a infinito.

Los criterios anteriores nos definen la ubicación de los polos a la derecha del eje imaginario en el plano de Laplace y en el caso digital la ubicación de los polos fuera de la circunferencia unitaria.

La técnica que se presenta es aplicable para sistemas de control analógico (plano de Laplace) y de control digital (plano Z) y la diferencia entre ellos se reduce a la aplicación del criterio de estabilidad de Routh (caso continuo) o Jury (caso discreto).

(*) (*) (*)c pG G H

(*)(*) (*)(*)QKG H KP

Para la función de transferencia de Malla

Para la función de transferencia de malla cerrada (*) (*)(*) 1 (*) (*)Y KGR KG H

1 (*) (*) 0KG H

Quedando como ecuación característica

Gc(*) Gp(*)

CONTROLADORPROCESO

R(*) U(*) Y(*)

SEÑAL DECONTROL

+

-

H(*)

1 2

1 2

( )( )....( )1 0( )( )...( )

m

n

z z z z z zKz p z p z p

( )1 0( )q zKp z

( ) q(z) = 0p z K

La ecuación característica se ordena de manera que el parámetro de interés aparezca como factor multiplicador en la forma

Lo cual se enuncia como:

O también:

n m

Los puntos z1 que satisfacen la ecuación característica son los polos de malla cerrada y conforman el Lugar Geométrico de las Raíces.

( ) ( ) 0p z q zK

Donde q(z) y p(z) son polinomios en z, de orden m y n respectivamente y

CONDICIONES DE ANGULO Y MAGNITUD

1( ) ( )G z H zK

La ecuación característica se puede escribir como:

Lo que significa que si se evalúa la función de transferencia de malla G(z)H(z) en un punto que pertenece al LGR (un polo de malla cerrada), se obtiene un valor real negativo.

Es importante recordar que un número real negativo es una cantidad compleja de la misma magnitud y ángulo de -180° o sus múltiplos impares. Entonces la ecuación característica puede descomponerse en sus términos de ángulo y magnitud, de acuerdo con lo siguiente

( ) ( ) 180 2 1 , 0,1,2,3G z H z l l Condición de ángulo

Condición de magnitud1( ) ( )G z H zK

5.05.0)()(

z

zHzG

0.8lz

35

3.05.0

5.08.05.0

Ejemplo Si se tiene una función de transferencia de Malla

Probar

zl no pertenece al LGR

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )l l n nG z H z z C z C z C z P z P z P

Para calcular el ángulo se emplea la siguiente expresión

)())(()())((

)()(21

21

n

n

PzPzPzCzCzCz

zHzG

Considerando que

5.05.0)()(

z

zHzGEjemplo Si se tiene una Función de Transferencia de Malla

0.5 0.5 (2.5 2 0.5) 0 45 452.5 2 0.5

jj

Probar zl2=2.5+2j

1.03 lZ

0.5 0.5 ( 0.4) 0 180 1800.1 0.5

30.8

lzK

Probando

El punto zl3 satisface la ecuación característica con K=0.8

Pasos del Método

Considerando la ubicación de los polos y ceros de la función de transferencia de malla. El lugar geométrico inicia en los polos de malla con K = 0

Esto se puede ver en la ecuación característica en su forma:

Haciendo K = 0, se tiene

Los polos de malla cerrada para K = 0 coinciden con los polos de malla abierta.

1. Inicio y terminación del LGR

( ) ( ) 0p z Kq z

( ) 0p z

Los puntos de terminación del lugar geométrico, al crecer K tendiendo a infinito, el lugar de las raíces tiende a un cero de la función transferencia de malla o a infinito en el plano complejo.

Los polos de malla cerrada coinciden con los ceros de malla para

K

Esto se puede ver en la ecuación característica en su forma:

Haciendo

( ) ( ) 0p z q zK

( ) 0q z

K

Las asintotas son reglas direccionadas angularmente en cantidad n-m que indican los trazos del LGR que se van al infinito. Estas asintotas se cruzan en un punto llamado centroide y solamente direccional al LGR.

2.- Determinar asintotas del LGR

El número de polos de malla abierta en exceso, en relación con el número de ceros finitos, tienden a buscar a sus respectivos ceros en el infinito, conforme , en direcciones específicas, llamadas asíntotas.

K

Los lugares de las raíces para valores muy grandes de deben ser asintóticos a líneas rectas cuyos ángulos están dados por:

z

180 (21 1) (1 = 0, 1, 2,....) - mn

( ) ( )G z H z

m ( ) ( )G z H z

número de polos finitos de

número de ceros finitos de

n

pz

p p) G(z ) H(z ) ( )n m

La ecuación anterior resulta de la condición de ángulo considerando que

está muy alejado del origen, por lo cual:

(ángulo de la asíntota de

) 180 (21 1)pz

Es necesario considerar que todas las asíntotas intersectan sobre el eje real, debido a que los ceros y polos complejos ocurren en pares conjugados.

Las asíntotas están determinadas por la ecuación compleja:

n-m( + C) 0z K

donde C es el centroide o punto de intersección de las asíntotas y está dado por:

1 2 1 2( ... ) ( ... )n mp p p z z zc

n m

La solución de la ecuacion compleja anterior es:

180 (21 1) (1= 0, 1, 2,...)n m

pz C Kn m

Ejemplo 1. Para ilustrar el cálculo de las asíntotas y el centroide del lugar de geométrico, considérese un sistema de control cuya función de transferencia de malla abierta es:

0.015( ) H(z)= (z - .9) (z-.7)(z-.5)

G z

No se tienen ceros finitos y los polos son reales negativos:

1 2 3.9, p .7 y p 5. p 3 y m=0.nCon

1. No. de asíntotas: 2. 2. El centroide se calcula

( ) 3n m

1 2 3( ) .9 + .7 + .5 .73

p p pc

n m

3. Los ángulos de las asíntotas se calculan

Figura 1 Polos Figura 2 LGR

6031802601

lmnl 21180

donde l = 0,1,2,...

LUGAR GEOMÉTRICO SOBRE EL EJE REAL

El segmento que tenga a la derecha un numero impar de raíces ya sean polos o ceros pertenece al lugar geométrico, si el numero de raíces a la derecha del segmento no es impar entonces ese segmento no pertenece al LGR.

El lugar geométrico sobre el eje real es determinado por los polos y ceros de lazo abierto que están sobre él. Los polos y ceros complejos conjugados de la función transferencia de lazo abierto no tienen efecto en esta ubicación porque la contribución angular de un par de polos o ceros complejos conjugados es sobre cualquier punto del eje real.

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Ejemplo

Para los polos se define el ángulo o dirección del inicio del despliegue del lugar geométrico; mientras que para los ceros, se define la dirección del lugar en su parte final.

ÁNGULOS DE PARTIDA Y LLEGADA DEL LUGAR GEOMÉTRICO A RAÍCES

COMPLEJAS

En ambos casos el procedimiento de cálculo es similar y consiste en tomar un punto de prueba ubicado en la vecindad inmediata de la raíz compleja.

El ángulo del vector que va de la raíz compleja al punto de prueba, puede ser calculado restando de la suma de las contribuciones angulares de todas las otras raíces, polos y ceros, respecto al polo o cero complejo en cuestión, incluyendo los signos adecuados.

Lo anterior puede expresarse como:

a) El ángulo de partida del Lugar Geométrico desde un polo complejo se determina:

ángulos de otros polos ángulos de los ceros

b) El ángulo de llegada del Lugar Geométrico a un cero complejo se determina:

ángulos de los polos ángulos de otros ceros

180

180