Determinacin del tamao muestral para le estimacin de la Media (Poblaciones

finitas)

Sabemos que el estimador de es X_

, es decir, que E(X_

)= . Veamos qu sucede

cuando se asume una poblacin finita:

E(X_

) = E

i=1

nxi

n = 1n

i=1

nE(X)

donde,

E(X) = i=1

Nxi.f(xi) =

i=1

N

xi.1N =

luego:

(5) E(X_

) = 1n i=1

n =

Es decir, aunque no se asuma que el tamao de la poblacin es infinito, el

estimador de es X_

.

En cuanto a la varianza de la distribucin muestral de la media cuando no se asume el supuesto de infinitud de la poblacin, se demuestra que:

(6) 2

X- =

N - nN - 1 *

2n

Evidentemente, si N es infinito N - nN - 1 1 y por lo tanto

2n

Se puede demostrar que, en el caso de poblaciones finitas, el estimador insesgado de la

varianza ser: 2x

^ = N - 1

N.S

2x

^ , que cuando N es infinito, equivale a la cuasivarianza, S2^ .

As cuando, en la frmula de la varianza de la distribucin muestral de la media (6)

sustituimos 2x por su estimador queda:

(7) 2

x-^ =

N - nN - 1

.N - 1N

. S2x^

n = N - n

N. S

2x^

n

que es el estimador de la varianza de la distribucin muestral de la media en el caso de

poblaciones finitas. De esta forma, el error tpico en el caso de poblaciones finitas, se

estima mediante:

(8) 2

x-^ =

N-nN

.S2x

^

n

siendo N el tamao de la poblacin y n el de la muestra.

De aqu se deduce:

(9) Emx = tN-nN

.S

2x

^

n ; Emx2 = t2.

N-nN

.S

2x

^

n

(10) n = N * t2 * S

2x

^

Emx2 * N+t2 * S2x

^

Segn la ecuacin (4), podemos sustituir t2 * S2x

^ por Emx2 * n, luego:

n = N * Emx

2 * n(Emx2 * N)+ (Emx

2 * n) =

NnN+n

De aqu se deduce que la correccin del tamao muestral para poblaciones finitas viene dada por:

(11) n = n

1+Nn

PROBLEMA 1

Estamos interesados en determinar el consumo diario medio de cigarrillos en una

cierta poblacin finita de slo 400 fumadores. Sabemos por estudios anteriores

que la cuasivarianza vale 23.48 y suponemos la poblacin infinita. En estas

condiciones, qu tamao muestral necesitamos si queremos que el error

cometido en la estimacin sea menor de 0.75 cigarrillos con una probabilidad de

0.95?.

En el caso de poblacin infinita, en el clculo por iteraciones habamos obtenido

n=164, con lo que la correccin para poblaciones finitas dar:

n = 164

1+400164

= 47.7 48

En cuanto a la aproximacin mediante la curva normal haba dado un n=161,

con lo que:

n = 161

1+400161

= 46.2 47

Podemos observar que con la correccin para poblaciones finitas se obtiene un

ahorro en el tamao de la muestra, aunque dicho ahorro ser menor a medida que

crezca N. De hecho, a todos los efectos prcticos se puede considerar que una

poblacin con N>100000 es infinita.

PROBLEMA 2

En una ciudad de 200.000 habitantes queremos estimar, con un error absoluto

mximo de 0.05 y una probabilidad de error de 0.01, la proporcin de personas

favorables a que se incrementen las multas por aparcar en doble fila. Qu tamao

muestral necesitamos? (calcularlo tanto por iteracin como por aproximacin a la

curva normal).

Puesto que no tenemos medios de suponer un valor a p con el que estimar la

varianza, nos pondremos en el caso peor: p=q=0.5. Por otra parte, al ser superior a

100.000 la poblacin, no compensa introducir la correccin para poblaciones

finitas, considerndose, a efectos prcticos, infinita.

En cuanto a la probabilidad, si aceptamos una probabilidad de error de 0.01 quiere

decir que trabajamos con una confianza de 0.99 (1-0.01=0.99). As, habr que

buscar el valor de z cuya funcin de distribucin de probabilidad sea 0.995.

z =2.58

n = 2.582.0.05.0.05

0.052 666