Calculo diferencial

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  • 1. ESQUEMA DE CONTENIDO

2. Men Principal 3. Men Limites 4. LIMITESEn matemtica, el lmite es unconcepto que describe la tendenciade una sucesin o una funcin, amedida que los parmetros de esasucesin o funcin se acercan adeterminado valor. En clculo(especialmente en anlisis real ymatemtico) este concepto seutiliza para definir los conceptosfundamentales de convergencia,continuidad, derivacin, integracin,entre otros. Men Limites 5. Teoremas Principales de los Limites Men Limites 6. EJEMPLOSMen Limites 7. EJEMPLOSMen Limites 8. Men Limites 9. Men Limites 10. Men Limites 11. y h(x) f(x) Lg(x)c xMen Limites 12. EJEMPLODe la figura se ve que:sen tanTDividiendo entre sen :11/sen tan sen= 1/cosPInvirtiendo cada trmino1 sen / cos tan1Tomando el lmitearco de longitudlim0 1 lim0 sen / lim 0 cos senperoO cos Q A(1, 0)lim0 cos = 1Por el teorema del emparedadolim0sen/ =1 Men Limites 13. Men Limites 14. Men Limites 15. EJEMPLOMen Limites 16. LIMITES AL INFINITOAnalicemos clientes f 50 ?Cul es el mximo nmero esperado declientes al cual se tiende en el largo plazo? t ? tiempo (aos) Entonces: lim f (t )t50Esto es un lmite al infinito, que nos indica a qu valor seaproxima la funcin cuando t crece indefinidamente.Men Limites 17. LIMITES AL INFINITO Si los valores de la funcin f (x) tienden al nmero L cuando x aumenta indefinidamente, se escribe: lim f ( x) L x De manera similar, valores de la funcin f (x) tienden al nmero M cuando x disminuye indefinidamente, se escribe: lim f ( x) M xMen Limites17 18. LIMITES AL INFINITO y y = f (x)y=MMlim f ( x) Mxx Ly=L lim f ( x) L x Men Limites 19. EJEMPLOMen Limites 20. Se dice que lim f ( x) es un lmite infinito si f (x)x a aumenta o disminuye ilimitadamente cuando xa. Tcnicamente, este lmite no existe, pero se puede dar ms informacin acerca del comportamiento de la funcin escribiendo:lim f ( x) si f (x) crece sin lmite cuando xa.x alim f ( x) si f (x) decrece sin lmite cuando xa.x aMen Limites 21. Interpretacin graficaMen Limites 22. Men Limites 23. Men Limites 24. Continuidad de funciones Continuidad en un puntoMen Limites 25. Continuidad de funcionesContinuidad en un punto Ilustracin graficaMen Limites 26. Continuidad de funcionesejemploMen Limites 27. Men Principal 28. Definicin: Geomtricamente la derivada se define como la pendiente de la recta tangente a la curva en unpunto previamente establecido.Confuso ?Men Derivadas 29. Recta tangente: Es una recta que tiene un puntocomn con una curva o funcin.En la grafica se muestra comoejemplo la recta tangente a unacircunferencia (ntese que soloexiste un punto de interseccin entrelos objetos matemticos). Men Derivadas 30. Pendiente de una recta: esta definida como el cambio o diferenciaen el eje vertical dividido por el respectivo cambio o diferencia enel eje horizontal (relacin de cambio).Notacin:y mx y2 y1m x2 x1Men Derivadas 31. Recta secante: Es una recta que interseca dos oms puntos de una curva.Men Derivadas 32. Si tenemos claros los conceptos en los cuales se fundamenta la definicin su comprensin ser muy sencillaMen Derivadas 33. Tenemos una recta tangente y unasecante con un punto comn P. Porotra parte la secante pasa por lospuntos P y Q y la distancia entre ellossobre el eje x esta dada por x. cadacuadro en la grafica equivale a launidad.La pendiente de la recta secante esta dada por larelacin: f (ax) f (a ) f (a x)f (a )m ax axMen Derivadas 34. Analiza la siguiente secuencia de graficas y observa como cambian sus elementos.Men Derivadas 35. Men Derivadas 36. Men Derivadas 37. Men Derivadas 38. A partir de el anlisis de la situacin planteada podemos determinar que la derivada esta dadapor la siguiente expresin:d ( f ( x)) f (ax)f (a)Se lee derivada de limf(x) evaluada endxx 0xtrminos de x. A medida que x tiende a cero la recta secante se aproxima a la recta tangente. Si esto es correcto podemos afirmar que el calculo del limite y la relacin planteada es equivalente al calculo de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en el punto P establecido (definicin geomtrica de la derivada).Men Derivadas 39. REGLAS PARA ENCONTRAR DERIVADASMen Derivadas 40. REGLAS PARA ENCONTRAR DERIVADASMen Derivadas 41. EJEMPLOMen Derivadas 42. EjemploMen Derivadas 43. REGLAS PARA ENCONTRAR DERIVADASMen Derivadas 44. Derivada Derivada Derivada Derivada DerivadaMen Derivadas 45. Men Derivadas 46. Con la reglas de derivacin estudiadas hasta el momento son limitadas aexpresiones sencillas.Qu hacer cuando se tiene expresiones como la siguiente y = (x2 4)53/3 ?,resulta que es prcticamente imposible derivarla.Surge la regla de la cadena que ayuda a derivar funciones compuestasTEOREMASLa regla de laLa regla de la Funciones Trigonomtricas y la regla cadenaPotenciade la CadenaMen Derivadas 47. Si y = f(u) es una funcin derivable de uY u = g(x) es una funcin derivable de x Entonces:y = f(g(x) es una funcin derivable de x yO su equivalente dy dy du. dx du dx df g x f ( g ( x)) g ( x) dxMen Derivadas 48. EJEMPLOEncontrar dy/dx para y = (x2 + 1)3SOLUCIONdydy du. u = x2 + 1 dxdu dx u=2xdy 23u .(2 x ) y = u3 dxdy3( x 2 1) 2 (2 x)dxdy 2 26 x( x1) Men Derivadas dx 49. Si y = [u(x)]n donde u es una funcin derivable de x y n es unnmero racional entonces dyn 1 dun u ( x) dxdxO su Equivalente d n n 1[u ] nu udx Men Derivadas 50. EJEMPLO 1 Encontrar la derivada de f(x) = (3x -2x2)3SOLUCIONu = 3x -2x2 dy du f ( x) .u = 3 4xf(x) = u3 du dx 2 f ( x) 3u .(3 4 x)2 2 f ( x) 3(3x 2 x ) (3 4 x) Men Derivadas 51. EJEMPLO 2Encontrar la derivada deg(t) = -7 / (2t 3)2SOLUCIONg(t) = -7(2t 3)-2g (t ) 7 (n)(u n 1 )(u )u = 2t 3 3g t7 ( 2)(u ) (2) u = 2 3g (t ) 28(2t 3) 28g (t )3(2t 3) Men Derivadas 52. dd sen u cos u u cos usen u u dx dxd 2d2 tan u sec u u cot ucsc u u dx dxdd sec u sec u tan u u csc u csc u tan u u dx dxMen Derivadas 53. EJEMPLO 1Encontrar la derivada de y=cos3xY=(cos u) uSOLUCIONu=3x Y=(-sen u) 6xU=6x Y=(-sen 3x) (6x)Respuesta:2y6 x( sen 3 x )Men Derivadas 54. EJEMPLO 2 Encontrar la derivada de f(t)=sen4t3f (t )sen 4t2d f (t ) 3( sen 4t )sen 4t dt2df (t )( sen 4t ) 3 f (t ) 3( sen 4t ) (cos 4t )4t dt f (t ) 3(sen 4t )2 cos 4t 4 Respuesta: f (t ) 12 sen 2 4t cos 4t Men Derivadas 55. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIORLa Operacin de derivacin toma una funcin f yproduce una nueva funcin f . Si ahora derivamos f ,producimos otra funcin denotada f (lase fbiprima) y denominada segunda derivada de f. A suvez, puede derivarse, y de ah producir f que sedenomina tercera derivada de f y as sucesivamente.La cuarta derivada se denota como f (4), la quintaderivada se denota como f(5), etc. Men Derivadas 56. EJEMPLOMen Derivadas 57. Men Derivadas 58. Men Derivadas 59. Men Derivadas 60. Men Derivadas 61. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situacin. Es una herramienta de clculo fundamental en los estudios de Fsica, Qumica y Biologa, o en ciencias sociales como la Economa y la Sociologa entre otros.1 Mximo y Mnimos3 Anti derivadas 2 Monotona y Concavidad4 Teorema del valor medio Men Principal 62. Un mximo relativo de una funcin es todo punto c, f(c) de(a,b), para el cual se cumple que f(x) f(c) para todo x de(a,b).Un mnimo relativo de una funcin es todo punto c, f(c) de(a,b), para el cual se cumple que f(x) f(c) para todo x de(a,b). Una funcin tiene unMx.r. mnimo o un mximo relativo en un punto c cuando c es un valorMnimo r. crtico de f.Men Aplicaciones 63. Derivada 1- Se calcula la 1 derivada, f(x) Las soluciones de f(x)=0son los candidatos a ser2- Se resuelve la ecuacin, f(x)=0mximos o mnimos Mximos 3- Se calcula la 2 derivada, f(x)f(pto. candidato)0, Pto candidato es 5- Calcular f(punto candidato) MNIMO Men Aplicaciones 64. Signo de Signo de c, f(c)GRFICO f en (a,c) f en (c,b)acb MXIMO + -Men Aplicaciones 65. Signo deSigno de c, f(c)GRFICOf en (a,c)f en (c,b)acb MXIMO+- MNIMO- +Men Aplicaciones 66. Signo de Signo de c, f(c)GRFICO f en (a,c) f en (c,b)acb MXIMO + - MNIMO -+ NINGUNO ++ NINGUNO - -Men Aplicaciones 67. Ymximorelativo decoordenadas (b, f " (b) < 0f(b)) f(b) = 0 f 0 f