4ClculodiferencialClculodiferencialCompetencias Adquirir el concepto de derivada y las destrezas necesarias para el clculode derivadasde funcionesconcretasutilizandooperacionesconfuncionesderivables, las derivadas de las funciones elementales y la propia denicin. Saberaplicarelclculodiferencialparaelestudiodelcomportamientoyel dibujo de funcionesypara la resolucinde problemas concretos(opti-mizacin, desigualdades...) que pueden ser abordados mediante el anlisisde ciertas funciones. Comprender elsignicadode losdesarrollosde Taylorysaber utilizarlospara realizar clculos aproximados del valor de una funcin, para la discu-sin del comportamiento local de funciones, para la estimacin de tamaosrelativos, desigualdades, convexidad, etc. Saberusarlospotencialidadesde grasmo,clculosimblicoynumricode Maxima como herramienta de apoyo en la formulacin y resolucin delos problemas abordados en este captulo..Contenidos4.1. Funciones derivables4.2. Extremos de funciones derivables. Teoremas del valor medio4.3. Frmula de Taylor4.4. Funciones convexas4.5. EjerciciosAnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo128 Clculo diferencialLaderivadaesunodelosconceptosmstilesenelestudiodelasfuncionesreales, no slo desde un punto de vista abstracto sino como herramientaprcticapara la modelizacin matemtica de diferentes fenmenos de la realidad, en parti-cular de la Fsica, donde es sobradamente conocida la conexin existenteentre laderivada y la velocidad (o la aceleracin) de una partcula en movimiento.Las rectas son las funciones cuyo comportamiento es ms simple. La derivadaest conectada con la posibilidad de aproximar, al menos localmente, una funcinmediante una recta. An sin denirel contenidopreciso que asignamos a los tr-minos, es claro que una recta no va a permitir aproximar una funcin bastantegeneral con carcter global. La aproximacin podr ser adecuada nicamente concarcter local y ello si es elegida una buena recta.A las rectas siguen, en grado de dicultad, los polinomios. Las funciones poli-nmicas son ms exibles y es razonable plantearse la pregunta de si los polinomiospodrn ser utilizados como alternativa a las rectas en la aproximacin de las fun-ciones.Este tipo de cuestionesy sus consecuenciasms destacadas constituyenel ejecentral de este captulo. Los resultados principales son el teorema del valor medio(endiferentesformulaciones)ysugeneralizacinatravsdelteoremadeTaylor,as como la aplicacin de los mismos al estudio local de una curva o al clculo deextremos de funciones. En todo este captulo nos limitaremos a considerar funcionesreales de variable real.4.1. Funciones derivablesDenicin4.1.1Unafuncinf: I RdenidaenunintervaloabiertoIdeRsedicequeesderivableenc Isiexistelmh0f(c + h) f(c)h:= f(c).El valorf(c)recibeel nombredederivadadefencyesfrecuentellamaraf(c + h) f(c)hcocienteincrementaldefenc.c c + hf(c)f(c + h)AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo4.1 Funciones derivables 129El cociente incrementalrepresentala tasa de variacin media de la funcinentre los puntosc yc + h. Es este un concepto usado en muchas situaciones paramodelizar matemticamente comportamientos en promedio de ciertas magnitudes.El conceptode velocidadmedia de un mvil es bien conocido:f(x) representaladistancia al punto de partida de un mvil al cabo del tiempox yf(c + h) f(c)hesel cocienteentreel espaciorecorridodesdeel tiempocal c + hdivididoporel tiempoempleadoenhacerlo. Si f(x)representael nmerodebacteriasenundeterminado cultivo al cabo del tiempox el cocientef(c + h) f(c)hrepresentaahoralatasadecrecimientomediodelapoblacinbacterianaentrelos instantesc yc + h. Modelos anlogos se utilizan para medirla productividadmedia en un proceso industrial, la productividad de una inversin nanciera, etc.La derivada es una abstraccin matemtica para formular la tasa de variacininstantneadeundeterminadoproceso, entendidacomolmitedelatasadevariacinmediaal tender acerolalongituddel intervaloenel quesemidelavariacin.Denicin4.1.2Unafuncinf:I RdenidaenunintervaloabiertoIsedicederivableenIsifesderivableencadapuntodeI.Lafuncinf: I Rasdenidasellamaladerivadadelafuncinf.Ejemplos4.1.3 En los ejemplos que siguen, salvo que se indique lo contrario, elintervaloIser siempre abierto.(1) Si f:I R Resunafuncinconstanteenun intervaloI, entoncesfes derivable enIcon derivada nula.Esto es evidente, puesto quef(x +h) f(x) = 0 siempre quex, x +h Iypor tanto el cociente incremental es nulo.(2) Sif: I R R est denida porf(x) =x entoncesfes derivable enIcon derivadaf(x) = 1 para todox I.En efecto, el cociente incremental en este caso siempre vale 1 ya quef(x + h) f(x)h=x + h xh= 1 x, x + h I.(3) La funcin f: R R denida por f(x) = |x|, es derivable siempre en todopuntoc = 0 siendof(c) = 1 sic > 0 yf(c) = 1 sic < 0, como es sencillocomprobar. En cambio enc = 0 no es derivable ya quelmh0+|0 + h|h=lmh0+hh= 1 =lmh0|0 + h|h=lmh0hh= 1.AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo130 Clculo diferencialLaexistenciadederivadaenunpuntointeriordeunintervalorequiereuncierto nivel de suavidad en el grco de la funcin: los puntos angulososde la grca son puntos en los que, como ocurre con la funcin valor absoluto,no existe la derivada.(4) La funcinfdenida enR mediantef(x) = xn,n N, es derivable enR ysu derivada es la funcinf(x) = nxn1.Para comprobarlo basta utilizar la denicin y desarrollar (x+h)nmedianteel binomio de Newton. En efecto:lmh0(x + h)nxnh=lmh0nk=1

nk

xnkhkh=

n1

xn1= nxn1.(5) La funcin seno, g(x)=sen x, es derivableenRcon derivadag(x)=cos xylafuncincoseno, g(x)=cos x, tambinesderivableenRconderivadag(x) = sen x.Para hacer la derivada del seno basta recordar quesen(x + h) sen x = 2 cos[(2x + h)/2] sen(h/2)y admitir1quelmx0sen xx= 1.En efecto:lmh0sen(x + h) sen xh=lmh02 cos[(2x + h)/2] sen(h/2)h=lmh0cos[(2x + h)/2]sen(h/2)h/2= cos x.La derivada del coseno puede hacerse de forma anloga, resultando que(cos)(x) = sen x.1Unademostracindeestaarmacinrequiereladenicinanalticaprecisadelafuncinsenoquerealizaremosenel captulo8. Apesardeello, el lectorpodraceptarsindicultaddibujando una circunferencia de radio 1 y un pequeo arco de amplitud0 < x < /4 a partir de0X(vase la gura de la pgina 96), quesen x < x < tg xdividiendo porsen x y utilizando la regla del sndwich se obtiene inmediatamente quelmx0xsen x= 1.AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo4.1 Funciones derivables 131(6) Lafuncinexponencial, f(x) =ex, esderivableenRysuderivadaeslafuncinf(x) = ex. Para probarlo observemos que, por la proposicin 2.7.1,se tienelmy0y1log(1 + y) =lmy0log(1 + y)1/y= 1,de donde se sigue (haciendo el cambio de variableeh1 = y) quelmh0eh1h= 1.As pues:lmh0ex+hexh=lmh0exeh1h= ex.(7) La funcin logaritmo,f(x) = log x es derivable en(0, ) yf(x) = 1/x.(8) La funcin fdenida por las frmulas f(x) = xsen(1/x) si x = 0 y f(0) = 0noesderivableenx=0. Encambios esderivableentodoRlafuncingdada porg(x) = x2sen(1/x) six = 0 yg(0) = 0.Trate de demostrar la frmula para la derivada del logaritmo; el ejercicio 2.9.3puede serle til. Volveremos sobre este tema en el teorema 4.2.13.Demuestre tambin las armaciones del ejemplo 8. Aunque no le va a ayudaren las demostraciones, si dibuja conMaxima las funcionesfygdel ejemploen cuestin en intervalos muy pequeos [0, 0.001] podr visualizar por qu unaes suave y la otra no.Enladenicin4.1.1puedereemplazarseelintervaloabiertoIporcualquierabierto R supuesto quef: R.Incluso para intervalos que no sean abiertos puede tener sentidolmh0f(c + h) f(c)hsiempre que c, (c +h) I, lo cual, en el caso de que c sea uno de los extremos delintervaloIpuedereducirseaunlmiteporladerechaoporlaizquierda.Enesecaso todava se dice que la funcinfes derivable enc.Lo anterior lleva, para funciones denidas en un intervalo en que los lmiteslmh0+f(c + h) f(c)h:= f(c+) lmh0f(c + h) f(c)h:= f(c)existan, alconceptodederivadaporlaizquierdaf(c)defencydederivadapor la derechaf(c+) defenc.Unejemplotpicodeestasituacineslafuncinf : R Rdenidaporf(x) = |x|. En x = 0 la funcin no es derivable, pero tiene derivada por la izquierday por la derecha.AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo132 Clculo diferencialMaximaescapazdecalcularderivadasdefuncionesdemaneraformalme-diantediff(Funcin,x,Nmero); dondeNmero es 1 (no hay que ponerlo)si setratadelaprimeraderivada, 2paralasegunda, etc. Perotambinlepuede ayudar en un acercamiento experimental a la nocin de derivada.Denicin4.1.4Llamaremosentornoreducidodea KacualquierconjuntodelaformaV \ {a}siendoV unentornodea.Observacin4.1.5El hecho de que exista la derivada de fen c y valga m puedeformularse diciendo quef(c + h) = f(c) + mh + h(h) (4.1)donde(h) es una funcin denida en un entorno reducido del origen con la pro-piedad de quelmh0 (h) =0. En efecto, si la funcinfes derivable enc, en elsentido de la denicin 4.1.1, deniendo(h) =f(c + h)hf(c)se tiene que est denida en un entorno reducido de 0, siendolmh0(h) = 0.Despejando en la frmula anteriorf(c + h) se obtienef(c + h) = f(c) + f(c)h + h(h)queesjustolaecuacin(4.1)conm=f(c). Recprocamente, si secumplelaecuacin (4.1), despejando ahoram se obtienem =f(c + h) f(c)h+ (h)y comolmh0 (h) = 0, resulta quelmh0f(c + h) f(c)h= m,con lo cualfes derivable enc yf(c) = m.La ecuacin 4.1 tambin se escribe a veces en la formaf(c + h) = f(c) + mh + o(h) (4.2)dondeo(h)representaunafuncindenidaenunentornoreducidode0conlapropiedaddequelmh0o(h)h=0. Lafuncino(h)sellamaunaopequeadeh.AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo4.1 Funciones derivables 133fgf(c)cFigura 4.1: La recta tangenteLa funcin g (vase la gura 4.1) denida por g(x) = f(c) +m(xc) tiene porgrcounarectadependientemquepasaporel punto(c, f(c)). Dichafuncinrecibe el nombre derectatangentealacurvay= f(x)enelpunto(c, f(c)).Denicin4.1.6Unafuncinf : I Rse dice diferenciable enel puntoc Isiexisteunaaplicacinlineal L :R R,llamadadiferencial defencydenotadacondf(c),tal quelmh0f(c + h) f(c) L(h)h= 0.La diferencialesunaaplicacinlinealdeRenRqueaproximaelincrementode la funcin en el sentido de quef(c + h) f(c) = df(c)(h) + o(h).De lo anterior se deduce el resultado siguiente.Proposicin4.1.7f es unafuncinderivableenel puntoc si yslosi f esdiferenciableency,enesecaso,df(c)(x) = f(c)x.Utilicesusconocimientosbsicosdelgebralineal paraidenticartodaslasaplicaciones lineales deR enR. Por qu nmero estn caracterizadas? Cules ese nmero en el caso de la diferencial defenc? Es claro lo que signicala frmuladf(c)(1) = f(c)y que es cierta?Proposicin4.1.8Si f: I R R es una funcin derivable en c Ientoncesfescontinuaenc.Demostracin: De la frmulaf(c + h) = f(c) + mh + o(h)AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo134 Clculo diferencialsesiguequelmh0f(c + h)=f(c)quecorrespondealacontinuidaddefenelpuntoc. El recproco no es cierto. Basta considerar la funcin f denida en R por la frmulaf(x) = |x|.Operacionesrutinariasparael clculodelarectatangenteenunpunto, eldibujodelamismaenrelacin con lacurva, puedenserrealizadas deformasencilla conMaxima.Algunas frmulas elementales para el clculo de derivadas vienen dadas por lasproposiciones que siguen.Proposicin4.1.9Si f, gsonfuncionesdel intervaloabiertoI RenRderi-vablesenunpuntoc Ientonces:(1) Lasumaf+ gesderivableenccon(f+ g)(c) = f(c) + g(c).(2) El productofgesderivableenccon(fg)(c) = f(c)g(c) + f(c)g(c).(3) Sig(x) = 0enIentoncesf/gesderivableency

fg

(c) =f(c)g(c) f(c)g(c)g2(c).Demostracin: El primer apartado se obtiene de forma inmediata aplicando ladenicin de derivada, ya quelmh0(f+ g)(c + h) (f+ g)(c)h= lmh0f(c + h) + g(c + h) f(c) g(c)hlmh0f(c + h) f(c)h+ lmh0g(c + h) g(c)h= f(c) + g(c)Observe cmoel lmite de lasumaes igual alasumade los lmites, pues laderivabilidad defyg enc garantiza la existencia del lmite de los dos sumandos.Parael segundo, escribiendoladenicindederivadaysumandoyrestandof(c)g(c + h) observamos quelmh0f(c + h)g(c + h) f(c)g(c)h=lmh0g(c + h)f(c + h) f(c)h++ lmh0f(c)g(c + h) g(c)h= g(c)h(c) + f(c)g(c)AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo4.1 Funciones derivables 135ya queges continua enc, por ser derivable en dicho punto (proposicin 4.1.8).Para probar la frmula de la derivada del cociente escribimos:lmh0fg(c + h) fg(c)h=lmh0f(c + h)g(c) f(c)g(c + h)hg(c)g(c + h)=lmh0f(c + h)g(c) f(c)g(c) + f(c)g(c) f(c)g(c + h)hg(c)g(c + h)=lmh0g(c)f(c + h) f(c)hg(c)g(c + h)+ lmh0f(c)g(c) g(c + h)hg(c)g(c + h)= g(c)f(c)g2(c)+ f(c)

g(c)g2(c)

sin ms que recordar, de nuevo, que la funcinges continua enc. Observequeenlafrmuladeladerivadadel cocienteaparecelaexpresing2(c) quenoes ms queunaformarpidadeescribir lacantidad(g(c))2. Enrealidad es lgico escribirg2(c), ya queg2es una nueva funcin denida medianteg2(c) := (g(c))2. Esta notacin es ms clara que la alternativag(c)2.Proposicin4.1.10(Regladelacadena) SeanI1, I2intervalosabiertos deRyseanlasfuncionesf1:I1 Ryf2:I2 Rtalesquef1(I1) I2. Si f1esderivableenc I1yf2esderivableenf1(c)entoncesf2 f1esderivableency(f2 f1)(c) = f2(f1(c))f1(c).Demostracin: El resultado se obtiene utilizando quef(c + h) = f(c) + hf(c) + h(h); g(f(c) + k) = g(f(c)) + kg(f(c)) + k(k)dondelmh0(h) = lmh0 (h) = 0. En efecto:g(f(c + h)) = g(f(c) + hf(c) + h(h))= g(f(c)) + (hf(c) + h(h))g(f(c))++ (hf(c) + h(h))

hf(c) + h(h)

= g(f(c)) + hf(c)g(f(c))++ h

(h)g(f(c)) + (f(c) + (h))

hf(c) + h(h)

,es decir,g f(c + h) = g f(c) + hf(c)g(f(c)) + h(h),donde lmh0(h) =0. Estoacabalapruebadel teorema, deacuerdoconlaobservacin 4.1.5. AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo136 Clculo diferencialEjemplos4.1.11Vamos aaplicarlos resultadosanteriores(particularmentelasproposiciones 4.1.9 y 4.1.10 ms los ejemplos 4.1.3) y la denicin de derivada paracalcular la derivada de algunas funciones.(1) Para estudiar la derivabilidad y, en su caso, calcular la derivada de la funcindenida mediantef(x) =

x2sen21xsix = 00 six = 0consideraremosenprimerlugarquex Ryx =0. Hemosvistoquelafuncinx x es derivable y su derivada en todo puntoes 1 (v. 4.1.3); portanto,salvoparax=0, lafuncing1(x):=1/xesderivableysuderivadaesg1(x) = 1/x2(v. 4.1.9). Tambin queg2(x) := x2es derivable siendo suderivada la funcing2(x) = 2x (v. 4.1.3). La funcing3(z) := sen ztambinesderivableysuderivadag3(z) =cos z(v. 4.1.3). Aplicandolaregladelacadena(4.1.10)setienequelafuncing4(x):=sen 1/x=g3 g1(x)esderivable y su derivada esg4(g1(x))g1(x) = cos(g1(x))(1/x2) = cos 1/xx2.Por ltimo la aplicacing5(x) := sen21x= (sen1x)2= g2 g4(x)y por tanto tambin es derivable, por la regla de la cadena, siendo su derivadag5(x) = g2(g4(x)) g4(x) = 2g4(x) g4(x) = 2(sen 1/x)cos 1/xx2Ahora bien f(x) = g2(x) g5(x) y por tanto se trata de una funcin derivable,por ser producto de funciones derivables, siendo su derivada (v. 4.1.9)f(x) = g2(x) g5(x) + g2(x) g5(x) = 2xsen21x+ x22(sen 1/x)cos 1/xx2= 2xsen21x sen2xSomos conscientes de que usando recetas aprendidas el lector podra haberencontradolafrmulaparaf(x),pero,posiblemente, nohabrasidocons-ciente de que son las proposiciones que hemos ido realizando en esta primeraseccin del captulo las que dan soporte a esas recetas. En este nivel no slohay que manejar con destreza las recetas, sino que adems hay que saber darrazn de ellas.Para todos los x = 0 la funcin fviene dada por la frmula f(x) = x2sen21xy hemosvistoquefes derivablesiendof(x)=2xsen21x sen2x. SlonosAnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo4.1 Funciones derivables 137quedayaestudiarladerivabilidaddefenx=0. Perocuidado! nodebepensarse, comoalgunodenuestrosalumnosescribienciertaocasin, quesiendo fconstante en x = 0 su derivada es 0: cualquier funcin es constanteenx = 0! Para calcular la derivada enx = 0 hay que acudir a la denicin.f(0) =lmh0f(0 + h) f(0)h=lmh0h2sen21hh=lmh0h sen21h= 0debido a que la funcin seno es acotada.(2) Analicemosahorala derivabilidady calculemosla derivadadela funcinfdenidamediantef(x)=xxenlospuntosenqueseaposible. Laprimeracuestinatenerencuentaesquefsloestdenidacuandox>0(vasela seccin 2.5) siendof(x) = xx= ex log x.Comolafuncionesidentidad(x x), logaritmo(parax>0)yexponen-cial sonderivables, seobtienequef tambinloes(utiliceunprocesodedescomposicin anlogo al del ejemplo anterior), siendof(x) = ex log x(log x + x1x) = xx(log x + 1). (4.3)Resultaquef estdenidaenel intervalo(0, )yesderivableentodoslos puntos, siendo su derivada la que aparece en la frmula (4.3). Cabe pre-guntarsesi serposibleprolongardeformanatural(locual signicadeformacontinua)fenx=0yas es, yaqueexistelmx0ex log x=e0=1porque, aunquelmx0 xlog x corresponde a una indeterminacin, en el en-frentamientox 0 conlog x gana lax (cuestin de tamaos).En el corolario 2.7.3 se demostr que log n nbpara todo b > 0. En particularparab=1estosignicaquelmnnlog n= . Deellosepuedededucir,cambiando el signo en el lugar adecuado, quelmn1n log1n= 0Y ahora se puede generalizar para obtenerlmx0+xlog x = 0Para ello basta mayorar por una expresin en trminos de 1x

. Realice los detalles detodo esto.Siendo analticamente escrupulosos la cuestin funciona as:lmx0+xlog x =lmx0+log x1/x=lmx0+log(1/x)1/x= lmy+log yy= 0AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo138 Clculo diferencial 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 00.20.40.60.81x^xxFigura 4.2: Grca de la funcinf(x) = xxen[0, 1]En consecuenciael dominiodefes[0, ) y hacemosf(0) =1, para quefsea continua. La posibilidad de derivarfenx = 0 y el valor de la derivada,en su caso, depende del siguiente lmite:lmh0+f(0 + h) f(0)h=lmh0+eh log h1h=lmh0+h log hh=lmh0+log h = donde hemos recurrido al clculo de lmx0ex1xrealizado en el ejercicio 2.9.3. Aspues,fno es derivable en0.La gura 4.2 ha sido realizada con Maxima: genrela. Qu ocurre al dibujarlaparax [1, 1]?Utiliceestaherramientaparacalcularlasderivadasdelasfunciones de los ejemplos 4.1.11, prestando especial atencin al origen.4.2. Extremos de funciones derivables. TeoremasdelvalormedioRecordemosqueunafuncinf : I RdenidaenunintervaloI sedicecreciente si x 0)paracadax I V .(2) f esdecreciente(respectivamente,estrictamentedecreciente)enc,si existeunentornoreducidoV dectal quef(x) f(c)x c 0 (respectivamentef(x) f(c)x c< 0)paracadax I V .(3) ftieneunmximolocalenc IsiexisteunentornoV dectal quef(x) f(c)paratodox V .(4) ftieneunmnimolocalenc IsiexisteunentornoV dectal quef(x) f(c)paratodox V .(5) f tieneunextremorelativoencsi f tieneencunmximoounmnimorelativo.Observe que fes creciente en c signica que en un entorno Vde c se tiene quef(x) f(c) parax V ,x > c, yf(x) < f(c) parax V ,x < c. Un comentarioanlogopuedehacerseparalasotraspropiedadesdecrecimiento, estrictoono,enc. No debe confundirseestanocin local, referidaa los valores que tomafencomparacin al valorf(c) con el crecimientoo decrecimientoen un entorno dec,por muy pequeo que ste sea, vase a este respecto la observacin 4.2.4 (3).El siguiente resultado establece la equivalencia entre el crecimiento global y elcrecimiento local en cada uno de los puntos del intervalo.Proposicin4.2.2Seaf: I R.Sonequivalentes:(1) fescreciente(decreciente)enI.(2) fescreciente(decreciente)encadax I.AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo140 Clculo diferencialDemostracin: Evidentemente la segunda armacin es consecuencia de la pri-mera.Recprocamente,supongamosfcrecienteencadax I.Seayconx 0 con f(z) f() para cada z (, ).Pero por denicin de existe z0 con < z0 y z0 A siendo, por tanto, f(x) f(z0); aplicando la propiedad transitiva se obtiene nalmente quef(x) f().Veamosahoraque=y. Desdeluego y; perosi fuera 0entoncesfesestrictamentecrecienteenc.(2) Sif(c) < 0entoncesfesestrictamentedecrecienteenc.(3) Si c es un punto interior del intervalo I, fes derivable en c y c es un extremorelativo,entoncesf(c) = 0.Demostracin:Esunaconsecuenciainmediatadeladenicin4.2.1ydel sig-nicado def(c). Observaciones4.2.4(1) La anulacin de la derivada en un punto no implica que la funcin tenga unextremoendichopunto. Unejemplodeelloeslafuncinf(x)=x3(v.lagura 4.3) que es estrictamente creciente a pesar de quef(0) = 0.(2) La funcinf: [0, 1] R, denida porf(x) = x, tiene un mximo relativoenx = 1 y sin embargof(1) = 1 = 0.(3) Nodebeconfundirseelqueunafuncinseacrecienteenunpuntoconquelo sea en un entorno del punto. Por ejemplo, la funcin f: R R denidapor f(x) = x + 2x2sen(1/x) six = 0 yf(0) = 0 verica quef(0) = 1 y portantoes estrictamentecrecienteenx=0; sinembargo suderivadaf(x)=1+4xsen(1/x)2 cos(1/x2), para x = 0, toma valores positivos y negativos encada entorno reducido de 0. Entonces fno puede ser estrictamente crecienteen ningn entorno de 0 pues, si as fuera, no podra ser decreciente en ningnpunto,peroloesentodosaquellosenlosquesuderivadaesestrictamentenegativa.AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo4.2 Extremos de funciones derivables. Teoremas del valor medio 141-1-0.500.51-1 -0.5 0 0.5 1x3xFigura 4.3: La funcin f(x) = x3es estrictamente creciente aunque tenga derivadanula en el origen.00.0050.010.0150.020.0250 0.005 0.01 0.015 0.02x+2x2sin(1/x)xFigura4.4: Lagrcadelafuncindelaobservacin4.2.4(3). Aunquesehaelegido un intervalo bastante pequeo, el crecimiento aparente cerca de 0 se debe aproblemas de precisin y a que las oscilaciones son muy pequeas en comparacinconel grosordel trazo. Convienedarsecuentadequelagrcaoscilatodoeltiempo, como lo hace, de forma aparente, en la zona derecha.AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo142 Clculo diferencialVeriqueconrigor laarmacinrealizadaantes: laderivadaf(x) =1+4xsen(1/x) 2 cos(1/x), parax =0, tomavalorespositivosynegativosencada entorno reducido de0.Teorema4.2.5(TeoremadeRolle) Seaf: [a, b] R Rcontinuaen[a, b]yderivableen(a, b).Sif(a) = f(b),entoncesexistec (a, b)tal quef(c) = 0.Demostracin:a c bSi la funcin es constante entonces tomandoc :=a + b2(o cualquier otro punto) se tiene el resultado. Si la fun-cinnoesconstanteutilizandoel teoremadeWeiers-trass 3.3.1 sabemos que la funcinfposee un mximoyunmnimoabsolutoen[a, b]. Algunodeelloshadealcanzarseenunpuntocinterioral intervalo, esdecir, enc (a, b), porquesetratadeunafuncinnoconstanteyf(a)=f(b).Peroentoncespodemosaplicareltercerapartado delaproposicin 4.2.3 para concluir quef(c) = 0. Corolario4.2.6(TeoremadelvalormediodeCauchy)Seanf, g: [a, b] Rcontinuas. Si f, gsonderivablesen(a, b)entoncesexistec (a, b)tal que(f(b) f(a))g(c) = (g(b) g(a))f(c).Demostracin: Basta considerar la funcinh denida porh(x) := (g(b) g(a))f(x) (f(b) f(a))g(x)y aplicarle el teorema de Rolle 4.2.5 Observacin4.2.7La conclusin del teorema del valor mediode Cauchyse es-cribe a menudo en la forma:f(b) f(a)g(b) g(a)=f(c)g(c)=(entreotrasrazonesporquepuedesermsfcil derecordar).Pero, sonequiva-lentesambasformas?Obviamentelosproblemaspuedenvenirdequesepresen-ten ceros de los denominadoresen la frmula anterior, de manera que la primeraformulacines, enprincipio, msgeneral. Observesinembargoquesi tenemosgarantizadoqueg(x)noseanulaen(a, b), entonces,porel teoremade Rolle,sedebe tenerf(b) f(a) = 0, y, en tal caso, la concusin puede escribirse en formade fraccin.AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo4.2 Extremos de funciones derivables. Teoremas del valor medio 143a c bFigura4.5: Signicadogeomtricodel teoremadeLagrange: larectasecanteesparalela a alguna de las rectas tangentesCorolario4.2.8(TeoremadelvalormediodeLagrange)Seaf: [a, b] Rcontinua.Sifesderivableen(a, b),entoncesexiste (a, b)tal quef(b) f(a) = f()(b a).Demostracin: Se obtiene como caso particular del teorema de valor medio deCauchy tomandog(x) := x. La gura 4.5 esquematiza el contenido geomtrico deeste teorema. Figura4.6:Joseph-LouisLagrange(Turin,1736Paris, 1813)yAugustinLouisCauchy (Paris, 1789 Paris, 1857). Biografas en MacTutorA veces el teorema del valor medio de Lagrange se enuncia en la forma siguiente:existe (0, 1) tal quef(b) f(a) = f

a + (1 )b

(b a).Naturalmente esto no es ms que una forma de escribir todos los puntos de(a, b)como combinaciones lineales (con coecientes que suman 1, es decir combinacionesconvexas) dea yb.Enelesquemaquehemosseguidohemosprobadoel teoremadevalormediode Lagrange a partir del teorema de Rolle. Pero de hecho, el teorema de Rolle esun caso particular del teorema de Lagrange. As puesAnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo144 Clculo diferencialT. de Rolle T. de Cauchy T. de Lagrange T. de RolleO dicho de otro modo, los tres teoremas son equivalentes.El teorema de Lagrange (y sus equivalentes) tiene consecuencias muy impor-tantes, como tendremos ocasin de ir desgranando a lo largo de este captulo.Una de ellas es que una funcin derivable cuya derivada est acotada necesa-riamente es uniformemente continua. En lugar de escribir nosotros los detallesproponemosallectorquelosescribal. Sinmiedo!Esunacuestinsencilla.Perolepermitirprofundizarunpocomsenlacomprensindel signicadointuitivodefuncin uniformente continua.Corolario4.2.9Seaf: [a, b] Rcontinuaen[a, b] yderivableen(a, b)(1) Sif(x) = 0paratodox (a, b),entoncesfesconstanteen[a, b].(2) f(x) 0en(a, b)siyslosifescrecienteen(a, b).(3) f(x) 0en(a, b)siyslosifesdecrecienteen(a, b).(4) Sif(x) > 0,en(a, b),entoncesfesestrictamentecrecienteen(a, b).(5) Sif(x) < 0,en(a, b),entoncesfesestrictamentedecrecienteen(a, b).Demostracin: Todas se realizan de forma sencilla aplicando el teorema de valormediodeLagrange. Haremoslaprimeradeellasydejamosal cuidadodellectorla comprobacin de las otras.Fadox (a, b], porelteoremadeLagrange,aplicadoalintervalo[a, x], te-nemosquef(x) f(a)=f(c)(x a)paraalgnc (a, x) (a, b). Pero, porhiptesis, fseanulaen(a, b)yenconsecuenciaf(x)=f(a)cualquieraqueseax (a, b]. Es decir,fes constante. Obsrveseque una funcin puede ser estrictamentecrecientey tener derivadaceroenalgnpunto, as ocurre, porejemplo, conf(x) =x3yc=0(vasesugrco en la pgina 141).Sif: [a, b] R es continua, entonces fes creciente (o decreciente) en(a, b)siyslosi fescreciente(odecreciente)en[a, b].Aspuesenlosapartados(2)y(3)del corolarioanteriorsepuedereemplazarel crecimientoodecre-cimientoenel intervaloabierto(a, b)porlamismapropiedadenel cerrado[a, b].Exactamentelomismosepuededecirdelcrecimientoodecrecimientoestrictos(respecto a los apartados (3) y (4)). Justique estas armaciones.Corolario4.2.10Seaf: (a, b) Rderivableyseac (a, b)talquef(c) = 0.(1) Siexiste > 0tal quef(x) 0parax (c , c) (a, b)yf(x) 0parax (c, c + ) (a, b),entoncesfposeeunmnimorelativoenc.AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo4.2 Extremos de funciones derivables. Teoremas del valor medio 145(2) Si existe>0tal quef(x) 0si x (c , c) (a, b)yf(x) 0six (c, c + ) (a, b),entoncesfposeeunmximorelativoenc.Demostracin: Se obtienen de forma sencilla utilizando el corolario anterior. Enelprimercaso: fesdecrecienteen[c , c]ycrecienteen[c, c + ],portantofposee un mnimo relativo enc. Ejemplo4.2.11La desigualdad de Bernoulli(1 + x)n> 1 + nx; six > 1, x = 0 yn N conn > 1puede ser demostrada por induccin sobre n cuando n es un nmero natural (ejerci-cio 1.3). Pero es cierta incluso cuando n > 1 es un nmero real, como mostraremosa continuacin.Paraprobarlo, jemos unnmeroreal >1yconsideremos lafuncinfdenida parax > 1 por la frmulaf(x) = (1 + x)1 x.Comof(0)=0, paraobtenerloquepretendemosessucienteprobarquef esestrictamente creciente, si x>0yestrictamente decreciente si 1 1 y por tantof(x) > 0, es decirfes estrictamente creciente en(0, +).Porotraparte,si 1 0 en[0, +) se sigue quef(3)es estrictamentecrecienteysiendof(3)(0)=0setienequef(3)(x)>0en(0, +)yrepi-tiendo el razonamiento tambin se cumple quef(2)(x) > 0 yf(x) > 0 parax (0, +). Loquesignicaquenoexistenmspuntoscrticosyf esestrictamente creciente en[0, +).(2) La determinacin de los extremos de la funcing: R R denida porg(x) = e1x2six = 0 yg(0) = 0utiliza las mismas ideas. Comencemos calculando la derivada.g(x) = e1x2(2x3) six = 0con lo cual g es estrictamente creciente para x > 0 y estrictamente decrecienteparax f(a) +f(b) f(a)b a(c a).Consideremos una funcin g: [a, b] R que mida la separacin entre fy la rectasecante, denida porg(x) := f(x)

f(a) +f(b) f(a)b a(x a)

.La funcing es continua (por serlofy la recta secante) y0 = g(a) = g(b) < g(c),por lo que existe el mximo absoluto para g en [a, b] que necesariamente se alcanzaen un punto interior (a, b) siendog() > 0. Por tanto, aplicando el teorema deRolle 4.2.5, ha de serg() = 0. As quef() =f(b) f(a)b ay g(x) g() para todox [a, b] (4.20)Por consiguientef(x)

f(a) +f(b) f(a)b a(x a)

f()

f(a) +f(b) f(a)b a( a)

lo cual, reagrupando y teniendo en cuenta las frmulas (4.20), conduce af(x) f() +f(b) f(a)b a(x ) = f() + f()(x ), parax [a, b] (4.21)Porotra parte, al serfconvexaenexiste (por denicin)un intervalo[, ] [a, b] tal que (, ) de modo quef() + f()(x ) f(x) parax [, ] (4.22)lo que, unido a la desigualdad (4.21), nos lleva af(x) = f() + f()(x ) para todox [, ],es decir, f coincideconunarectaen[, ]. Dicharectaes paralelaalarectasecante, pues ambas tienen la misma pendiente de acuerdo con las frmulas (4.20),ynocoincideconellapuestoqueg()>0y, recordemos, gmidelaseparacinentrefy la recta secante. En consecuenciaf(a) < f() + f()(a ) (4.23)Sea[, ] (con[, ] [, ][a, b]) el mayor intervaloparael quelafrmula (4.22) es cierta. Para nalizar basta con que demostremos que a = , puesAnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo180 Clculo diferencialello signicara que (a, f(a)) pertenece a la recta f() +f()(x), obtenindoseas una contradiccin con la ecuacin 4.23.Probemosentoncesquea=. Si fueraa 0 yz B(, r).Pero como a la derecha defcoincide con una recta de pendientef(), necesa-riamentef() = f(), de modo quef(z) f() + f()(z ) = f() + f()(z )=f() + f()() + f()(z )=f() + f()(z )para todoz B(, r).Pero, usando de nuevo (4.21) obtenemos la desigualdad opuesta y se concluyequef(z) = f() + f()(z ) paraz B(, r).Esto contradice la supuesta maximalidad de[, ]. AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo4.5 Ejercicios 1814.5. EjerciciosResueltos4.5.1Calculeelsiguientelmitelmx0x tg x(1 + x)x1 sen2xSolucin: Es unlmite tpicoparausar desarrollos deTaylor. Setrataderealizarlosdesarrolloslimitadosdenumeradorydenominadorhastaelprimer coeciente no nulo. En el numerador bastar con obtener el desarrollolimitado de la tangente hasta la primera potencia no nula superior a 1, que,en este caso, es la terceratg x = tg 0 +11! tg(0)x +12! tg(0)x2+13! tg(0)x3+ o(x3)= 0 + x + 0x2+13x3+ o(x3) = x +13x3+ o(x3)Obtenindose, por tanto, el siguiente desarrollo limitado del numeradorx tg x = 13x3+ o(x3).Para el denominador podra procederse del mismo modo, pero habida cuentade que puede ser escrito en trminos de funciones cuyos desarrollos limitadosson conocidos(1 + x)x1 sen2x = exlog(1+x)1 (sen x)2podemos sacar ventaja utilizando convenientemente productos, sumas y com-posicin de los siguientes desarrolloseu= 1 + u +u22!+u33!+ +unn!+ o(un) (4.24)log(1 + v) = v v22+v33 v44+ + (1)n+1vnn+ o(vn) (4.25)sen w = w w33!+w55!+ + (1)n+1w2n+1(2n + 1)! + o(w2n+1) (4.26)AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo182 Clculo diferencialpara obtener queu = xlog(1 + x) = x2x32+x43+ + (1)n+1xn+1n+ o(xn+1)eu= ex log(1+x)= 1 +

x2x32+x43+ o(x5)

++12!

x2x32+x43+ o(x5)

2+ o(u3) == 1 x32+5x46+ o(x4)(sen x)2=

x x33!+ o(x3)

x x33!+ o(x3)

= x2x43+ o(x4)con lo que sustituyendo y efectuando ordenadamente los clculos se obtieneel desarrollo del denominadorex log(1+x)1 (sen x)2= x32+7x46+ o(x4) = x32+ o(x3)que basta realizar hasta tercer orden porque el numerador es de grado 3. Conayuda de estos desarrollos el lmite es inmediatolmx0x tg x(1 + x)x1 sen2x=lmx013x3+ o(x3)x32+ o(x3)=lmx013+ o(x3)/x312+ o(x3)/x3=23Las ideas son sencillasy tambin los procesos, slo hay que tratar de hacernicamentelosclculosnecesariosparadeterminarlamenorpotenciadexque no se anula y tener cuidado de no olvidar ninguna potencia de x al operarcon los desarrollos limitados. ConMaximaobtenerlosdesarrolloslimitadosdecualquierordenesinme-diato usando el comandotaylor(Funcin,variable,punto,orden). Y como losclculos los hace la mquina, no es costoso poner un orden alto y luego que-darnos con los que nos interesa, que es el primer trmino no nulo del desarollo.Podramos haber empezado, porejemplo, pordesarrollos deorden 5 enel numeradory denominador, para darnos cuenta de inmediato que con los de orden 3 es suciente.taylor(x-tan(x),x,0,3);taylor((1+x)^x-1- (sin(x))^2,x,0,3)proporcionan respectivamente 13x3y 12x3lo cual permite calcular el lmite de formasencilla entendiendo bien el resultado.Podramos haber utilizado tambinlimit( (x-tan(x))/((1+x)^x-1- (sin(x))^2),x,0);yel resultadohubierasidoel mismo. Pero entoncesMaxima habra sido una caja negra para nosotros.AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo4.5 Ejercicios 1834.5.2Sealafuncinf: (0, 1) Rdenidaporf(x) = (1 x)(1x)xx.(1) Estudieydibujelafuncin.(2) Pruebequeessimtricarespectoalejex =12.(3) Pruebequeesconvexa.(4) Demuestreque(1 x)(1x)xx (1 x)2+ x2.Solucin: Comox, 1 x > 0 la funcin est bien denida y corresponde af(x) = e(1x) log(1x)ex log x= e(1x) log(1x)+x log xLafuncinpuedeserprolongadaporcontinuidaden0y1convalor1enamboscasosyaque lmx1(1 x) log(1 x) =lmx0xlog x=09yenconsecuencialmx0[(1 x) log(1 x) + xlog x] = 0 =lmx1[(1 x) log(1 x) + xlog x]El dominiode f es pues [0, 1] despus de realizar estaprolongacinporcontinuidad. El teoremadelafuncincompuestanos garantizaque f esderivable en(0, 1).Para analizar el crecimiento defbasta con que lo hagamos en el exponenteg(x) := (1 x) log(1 x) + xlog xya que la funcin exponencial es creciente y positiva. Perog(x) = log(1 x) +1 x1 x(1) + log x + 1 = logx1 xy por tantog(x) = 0 x1 x x = 1 x x =12siendog(x) > 0 parax > 1/2 yg(x) < 0 parax < 1/2. En consecuenciag,y por ende f, tiene un mnimo en x = 1/2 siendo funa funcin estrictamen-tecrecientealaderechade1/2yestrictamentedecrecientealaizquierdade1/2. Ademsgesestrictamentecreciente, porqueel logaritmoloesy,trivialmente, tambinloesx/(1 x).Enconsecuencia(ysinnecesidaddecalcularla) sabemos que g 0. Pero entonces f(x) = eg(x)tiene por derivadasegunda(eg(x)g(x))=eg(x)[(g(x))2+ g(x)] 0 y por tantofes convexa.Con esa informacin ya resulta muy sencillo construir la grca.Adems la simetra de la frmula defsugiere una simetra geomtricaenlagrca, comoasocurre yapareceexplcitamentesealadoenunode9Observe quex 0, log x quien gana? Justifquelo usando la regla de LHospital.AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo184 Clculo diferenciallos tems. La demostracin analtica de la simetra se hace comprobando conun clculo sencillo quef(12 y) = f(12+ y) paray [0, 12]osea, quesustituyendoenlafrmulaxpor1/2 yobienpor1/2 + yseobtiene el mismo valor.La desigualdad(1 x)(1x)xx (1 x)2+ x2es consecuenciade que la funcin exponencial es convexa y por tantoe(1t)w+tz (1 t)ew+ tezcualesquiera que seanw, z R yt [0, 1] lo cual conduce a(1 x)(1x)xx= e(1x) log(1x)+x log x (1 x)elog(1x)+xelog x= (1 x)2+x2obteniendo de ese modo la frmula buscada.00.20.40.60.810 0.2 0.4 0.6 0.8 1f(x) = (1 x)(1x)xxh(x) = (1 x)2+ x2

4.5.3Determineintervalosenlosqueexistaunanicasolucinparalasecuacio-nessiguientes3x44x312x2+ 12 = 0; x x2log(1 + x) = 0.Solucin: La funcin f(x) := 3x44x312x2+12 un polinomio de grado4porloque, cmomximo, tiene4cerosquesonlasracesdelaprimeraecuacin. Comofesinnitamentederivable, entrecadadoscerosdefhaAnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo4.5 Ejercicios 185de existir un mximo o mnimo relativo, que sern, a la sazn, puntos en losque se anulaf. La derivadaf(x) = 12x312x224x = 12x(x2x 2) = 12x(x + 1)(x 2)se anula en x = 1, 0, 2 siendof(x) < 0 en (, 1), f(x) > 0 en (1, 0),f(x)>0en(0, 2)yf(x)>0en(2, +). Aspuesfesdecrecienteenelintervalo(, 1)hastaf(1)=7porloqueeneseintervalonoexisteningncerodef. Enel intervalo[1, 0] tampocopuedeexistirdebidoalcrecimiento. Enel intervalo[0, 2] f vadecreciendodesdef(0)=12hastaf(2) =20debiendopor tantoexistir unceroendichointervalocomoconsecuenciadel teorema de Bolzano, y s existe uno puesto que la funcines estrictamente decreciente endichointervalo. Comof es estrictamentecreciente en[2, +) (por serf> 0) y lmx+ = + existe uno y slo uncero en dicho intervalo, de hecho el cero est en el intervalo [2, 3] puesto quef(3) =39. Resumiendo,el polinomio propuestotiene slo dos races reales,una en el intervalo[0, 2] y otra en el[2, 3].Unavezseparadas lasraces, elclculoaproximado delasmismaspodrarealizarse con el mismo procedimiento que el utilizado en la demostracin abs-tacta del teorema de Bolzano. Pero esa tarea, ya rutinaria, puede ser realizadapor una mquina y, de hecho, Maxima dispone de un comando para obtener solucionesaproximadas en tales situaciones10find_root(Funcin=0, Variable,Punto1,Punto2);find_root(3*x^4-4* x^3 - 12*x^2 + 12=0,x,0,2); devuelve 0,95786495175773.find_root(3*x^4-4* x^3 - 12*x^2 + 12=0,x,2,3); devuelve 2,633286420252845.Para elcasodepolinomios,para obtenerracesaproximadas, sepuedenutilizartam-binrealroots(Polinomio=0,Precisin);donde Precisinesdelaforma0.00001que calcula las races reales jando la precisin de la aproximacinallroots(Polinomio=0); que proporciona las races reales y complejas.Para separar los ceros de la funcing(x) = x x2log(1 + x) utilizaremosideassimilares. Enprimerlugar, el dominiodelafuncines (1, +)ysetratadeunafuncininnitamentederivable, porqueel logaritmoylospolinomios lo son. Ademslmx1+ g(x) = + ylmx+ g(x) = (yaqueesx2quiendeterminael tamaodegen+)porlotantogtienealmenos un cero; de hechog(0) =0. Slo nos falta determinarsigtiene msceros. Comog(x) = 1 2x 11 + x= x(1 + 2x)1 + xtenemosquegseanulaenx= 1/2yx=0siendog(x) 0 parax (1/2, 0) yg(x) < 0 parax (0, +).Enx = 1/2 existe un mnimo, siendog(1/2) = 12 14 log 12= log 2 34=14 log 24e3< 0AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo186 Clculo diferencialHemos armado que log(24/e3) < 0, es decir, que 24/e3< 1. Esta desigualdadnoesevidenteyel lectorcuidadosoquizhayacomprobado, conMaximaoconcualquierotracalculadora,queefectivamenteas es. Sinembargo,uninstante dereexin muestra queesa no es una respuesta satisfactoria desdeun punto de vista riguroso, puesto que tales herramientas electrnicas conocen el valoraproximado dee, mientras quenosotros, realmente slo sabemos quee esel lmitedela sucesin montona creciente(1 + 1/n)n. En consecuecia24= 16 < (1 + 1/10)30=174494022688864073185588037538011000000000000000000000000000000 17.449 < e3En consecuencia,existeun nicocero en el intervalo(1, 0, 5) cuyovaloraproximado podemos calcular mediantefind_root (g(x),x,-0.99,-0.5);obteniendo 0.68380262375202. Enelintervalo(1/2, 0) no existe ningn cero puesg es estrictamente creciente yg(0) = 0, tampoco existe ningn cero degen el intervalo(0, +) puesgesestrictamente decreciente en ese intervalo. Con esto naliza el anlisis sobrela distribucin de ceros de la funcing. 4.5.4Pruebequexsen x 0. Lafuncin fpuede prolongarse por continuidad en x = 0 haciendof(0) = 0. Siffuera estrictamente creciente en(0, /2) tendramos resuelto el problema.Ytambinlotendramosresueltosi al sustituir f(x)porsudesarrollodeTaylorfueramoscapacesdeasegurarquef(x)>0en(0, /2). Veamossialguna de estas estrategias, o ambas, producen el resultado deseado.f(x) = cos xtg x +sen xcos2x 2xEs claroque f(0) =0peronoestclaroel signode f(x) en(0, /2).Podemos tratar de aplicar af la misma idea y calcularff(x) = sen xtg x +cos xcos2x+cos3x + 2 sen2xcos xcos3x2= sen2xcos x+1cos x+cos2x + 2 sen2xcos2x2=1 sen2xcos x+cos2x + sen2+sen2xcos2x2= cos x +1 + sen2xcos2x2 = cos x +1cos2x+ tg2x 2AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo4.5 Ejercicios 187f(x) = cos x + 1 + 2 tg2x 2 = cos x + 2 tg2x 1= 2 tg2x 2 sen2 x2= 2(tg2x sen2 x2) 2(tg2 x2 sen2 x2) = 2 sen2 x2(1cos2x21) = 2 sen2 x2 tg2 x2Con lo cual f(x) > 0 en (0, /2), por lo tanto f es estrictamente creciente ysiendo f(0) = 0 se tiene que f(x) > 0 en (0, /2), es decir f es estrictamentecreciente en(0, /2). Hemos obtenido lo que buscbamos.Utilizando el desarrollo de Taylor defenx = 0 tenemosf(x) = f(0) +f(0)1!x +f(0)2!x2+f(c)3!x3=f(c)3!x3parax (0, /2). Perof(x) = (cos x + 2 tg2x 1) = sen x + 2 tg x1cos2x= (sen x)(1 +2cos3x) =sen x(2 cos3x)cos3xyportantof(c)>0paracualquierc (0, /2). Conesteprocedimientoobtenemos tambin lo que buscbamos. 4.5.5Seanf, g:[0, 1] Rfuncionescontinuasen[0, 1] yderivablesen(0, 1),talesquef(0) = 0, g(0) = 2, |f(x)| 1, |g(x)| 1,paratodox (0, 1). Demuestre que f(x) 0parax [0, 1). AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo188 Clculo diferencial4.5.6 (1) Pruebe que la funcinf(x) =xlog xes estrictamente convexa en(0, ) enparticular estosignicaque el productode dos funcionescncavaspuedeserunafuncinestrictamenteconvexa(2) Six, y, a, bsonrealespositivospruebequexlog xa+ y log yb (x + y) log x + ya + bsiendoladesigualdadestrictasalvosixa=yb(3) Determineelvalormnimodexx11xx22. . . xxnnbajolacondicinx1 + x2 + + xn= S,siendoS> 0constante.Solucin:Para analizar la convexidad estudiaremos el signo de la segunda derivada def.f(x) = log x + x1x= log x + 1, f(x) =1x> 0por lo quefes estrictamente convexa.Observemos queaa + b+ba + b= 1 y en consecuencia utilizando la convexidaddefse tienexlog xa+ y log ya= axa log xa+ byblog ya= (a + b)(aa + bxa log xa+ba + byblog ya)[fes convexa] (a + b)f(aa + bxa+ba + byb)= (a + b)f(x + ya + b) = (x + y) log x + ya + bLa desigualdad del segundo apartado est probada.Continuando con la demostracin de dicho tem, supongamosxa=yb. Enton-ces tambin se cumplexa=x+ya+b, como es fcil probar, y por tantoxlog xa+ y log ya= (x + y) log xa= (x + y) log x + ya + bPor otra parte siendofestrictamente convexa la igualdadf(aa + bz +ba + bw) =aa + bf(z) +ba + bf(w)AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo4.5 Ejercicios 189slo puede darse cuando z= w, lo cual completa la demostracin del segundoapartado.Veamos ahora el tercer apartado.xx11xx22. . . xxnn= ex1 log x1ex2 log x2. . . exn log xn= ef(x1)++f(xn)= en(1nf(x1)++1nf(xn))[fconvexa y exponencial crece] enf( 1nx1+1nx2++ 1nxn)= enf(S/n)= en(S/n) log(S/n)= eS log(S/n)= (elog(S/n))S= (Sn)SY cuandox1= x2= = xn= S/n se cumplexx11xx22. . . xxnn= (Sn)Ssiendo, por tanto ese el valor mnimo de la expresin. AnlisisMatemticoIJ.M.Mira S.Snchez-Pedreo190 Clculo diferencialEjerciciospropuestos4.1) Estudie la derivabilidad enx = 0 de las siguientes funcionesf(x) = (x3+ x2)12f(x) =

|x|f(x) =

e1|x|six = 00 six = 0f(x) =

x43 log |x| six = 00 six = 0f(x) =

xsen xsix = 01 six = 0f(x) =

x2sen21xsix = 00 six = 04.2) Calcule las derivadas de las siguientes funcionesa) f(x) = arctgx 1 + arc cos

x1x,x > 1.b) f(x) = arctg

1cos x1+cos x,x (0, ).c) f(x) = xxx,x > 0.d) f(x) = (sen x)cos x,x (0,2).e) f(x) = x six 0,f(x) =4x22si0 < x x2x14.7) En cada uno de los casos siguientes,encuentrelos intervalos de crecimientoydedecrecimientoylosmximosymnimosrelativosyabsolutosdef(siexisten) en el conjunto en el quefesta denida:a) f(x) = x3+ ax + b;x R.b) f(x) = log(x29); |x| > 3.c) f(x) = x23(x 1)4;x [0, 1].d) f(0) = 1,f(x) =sen xx;0 < x 2.4.8) Hallelas dimensionesdelrectngulode reamximainscritoen unaelipsede semiejesa yb.4.9) Halle la relacin entre la arista de un cubo y el radio de una esfera para quesiendo constante la suma de sus reas, sea mnimo el valor de la suma de susvolmenes.4.10) Calculeel tiemponecesarioparacruzaren lnearecta y con lamnimave-locidad, una calle de anchurak, por el centro de la cual circulan a la mismavelocidadyenelmismosentido,automvilesdeanchoa separadosunodeotro por una distanciad.4.11) Seaf: I R una funcin continua, yx0un punto deI. Sabiendo quefes derivable en todos los puntos de Idistintos de x0 y que existe el lmite def(x) cuandox tiende ax0, pruebe queftambin es derivable enx0.4.12) Seaf:(0, 1] Runafuncin continua,derivableen(0, 1), con derivadaacotada. Pruebe quefes uniformemente continua en(0, 1].4.13) Pruebe que0 < 1 sen xx11+x, x (0, +);x 12x2< log(1 + x) < tg x, x (0, 1);11+xx < log(1 + x) < x, x > 1;1 ab< log b log a