CALCULO DIFERENCIAL

MATEMATICA PURA

Universidad Nacional Federico Villarreal

Facultad de Educación Matemática - Física

CALCULO DIFERENCIAL Toribio Córdova C.

TEMAS:

LÍMITES CONTINUIDAD DERIVADAS

CALCU LO DIFERENCIAL UNFV – BASE 2009

Toribio Córdova Condori UNFV / Educación Secundaria / Matemática – Física

2

1. Definición de límite.

a) 𝑳𝒊𝒎𝒙⟶𝟏 𝐱𝟐−𝟑𝐱+𝟐𝐱𝟐−𝟒𝐱+𝟑

= 𝟏𝟐

b) 𝑳𝒊𝒎𝒙⟶𝟏 √𝐱 + 𝟑 = 𝟐

Resolución

a) 𝑳𝒊𝒎 𝒙⟶𝟏

𝒙𝟐−𝟑𝒙+𝟐𝒙𝟐−𝟒𝒙+𝟑

= 𝟏𝟐

∀𝜀 > 0 ,∃ 𝛿 > 0 / x ∈ Dom f ⋀ 0< |𝑥 − 1| < 𝛿 ⟺ �𝑓(𝑥) − 12� < 𝜀

Resolución

�𝑓(𝑥) − 12� < 𝜀

�𝑥2 − 3𝑥 + 2𝑥2 − 4𝑥 + 3

−12� < 𝜺

�2𝑥2 − 6𝑥 + 4 − 𝑥2 + 4𝑥 − 3

2(𝑥2 − 4𝑥 + 3) � < 𝜀

�𝑥2 − 2𝑥 + 1

2(𝑥2 − 4𝑥 + 3)� < 𝜀

12� (𝑥−1)2

(𝑥−1)(𝑥−3) � < 𝜺



3

12

|𝑥 − 1| � 1𝑥−3

� < 𝜀

Acotamos con la asíntota

𝑥 − 3 = 0 ⇒ 𝑥 = 3 (Asíntota) �𝑎 – 𝑥𝑜�𝜖 < 0,1]

|𝟑 − 𝟏| ∉< 0,1] ⟹ 𝛿1 = 1

−1 < 𝑥 − 1 < 1

0 < 𝑥 < 2

−3 < 𝑥 − 3 < −1

−13 >

1𝑥 − 3 > −1

� 1𝑥−3

� = 1

12

|𝑥 − 1| �1

𝑥 − 3� < 𝜀 ⟹ |𝑥 − 1| < 2𝜖 = 𝛿2

∴ 𝜹𝒎𝒊𝒏 = {𝟏,𝟐𝜺} Rpta

b) 𝑳𝒊𝒎 𝒙⟶𝟏

√𝒙 + 𝟑 = 𝟐

∀𝜀 > 0 ,∃ 𝛿 > 0 / x ∈ Dom f ⋀ 0< |𝑥 − 1| < 𝛿 ⟺ |𝑓(𝑥) − 2| < 𝜀

Resolución

|𝑓(𝑥) − 2| < 𝜀

�√𝑥 + 3 − 2� < 𝜺

�𝑥 + 3 − 4√𝑥 + 3 + 2

� < 𝜺



4

�𝑥 − 1

√𝑥 + 3 + 2� < 𝜀

|𝑥 − 1| �1

√𝑥 + 3 + 2� < 𝜺

Acotamos con el dominio

𝑥 + 3 >0

√𝑥 + 3 > 0

√𝑥 + 3 + 2 >2

� 1√𝑥+3+2

� <2

|𝑥 − 1| �1

√𝑥 + 3 + 2� < 𝜀 ⟹ |𝑥 − 1| <

𝜀2

= 𝛿1

∴ 𝜹𝒎𝒊𝒏 = {𝛆𝟐} Rpta

2. Calcular 𝑳𝒊𝒎

𝒙⟶𝟏𝒇(𝒙) si existe.

𝟒+∥ 𝟏

𝒙∥ �√𝒙−∥ 𝒙 ∥�+∥ ∥ − 𝟏

𝒙∥ 𝒙 − 𝟑 ∥ ; 𝒙 < −𝟏

F(x)=

�𝟏 − (𝒙. 𝒔𝒈𝒏(𝒙))𝟐 − 𝟏𝒙 ;𝒙 ≥ −𝟏 ,𝒙 ≠ 𝟎

Resolución



5

4+∥ 1

𝑥∥ �√𝑥−∥ 𝑥 ∥�+∥ ∥ − 1

𝑥∥ 𝑥 − 3 ∥ ; 𝑥 < −1

F(x)=

�1 − (𝑥. 𝑠𝑔𝑛(𝑥))2 − 1𝑥

; 𝑥 ≥ −1 , 𝑥 ≠ 0

𝑳𝒊𝒎𝒙⟶−𝟏

∃ ⟺ 𝑳𝒊𝒎𝒙⟶−𝟏−

= 𝑳𝒊𝒎𝒙⟶−𝟏+

i. 𝐿𝑖𝑚𝑥⟶−1−

4+∥ 1𝑥∥ �√𝑥−∥ 𝑥 ∥�+∥ ∥ − 1

𝑥∥ 𝑥 − 3 ∥

= 4 + (−1) ��𝑥 − (−2)�+∥ 0𝑥 − 3 ∥

= 4 − �√𝑥 + 2� − 3

= 4 − ��(−1) + 2� − 3

= 0

ii. 𝐿𝑖𝑚𝑥⟶−1+

�1 − (𝑥. 𝑠𝑔𝑛(𝑥))2 − 1𝑥

= �1 − �(−1)(−1)�2− 1

−1

=√0 + 1

= 1

𝑪𝒐𝒎𝒐 𝑳𝒊𝒎𝒙⟶−𝟏−

≠ 𝑳𝒊𝒎𝒙⟶−𝟏+

∴ 𝑳𝒊𝒎𝒙⟶−𝟏

= ∄ Rpta

𝒙 < −1

∥ 𝒙 ∥ = −𝟐

∥𝟏𝒙∥= −𝟏

∥ −𝟏𝒙∥= 𝟎

∴ 𝑺𝒈𝒏(𝒙) = −𝟏

𝑺𝒈𝒏(𝒙) < 0



6

3. Calcular :

𝑳𝒊𝒎𝒙→−𝟏

√𝟓 + 𝒙 + √𝟐𝟔 − 𝒙𝟑 + √𝟏𝟓 − 𝒙𝟒 + √𝒙+ 𝟏𝟒 − 𝟕√𝒙 + 𝟏𝟎√𝒙 + 𝟏𝟒 + √𝒙+ 𝟏 − 𝟑

𝑳𝒊𝒎𝒙→−𝟏

√𝟓 + 𝒙 + √𝟐𝟔 − 𝒙𝟑 + √𝟏𝟓 − 𝒙𝟒 + √𝒙 + 𝟏𝟒 − 𝟕√𝒙 + 𝟏𝟎√𝒙 + 𝟏𝟒 + √𝒙 + 𝟏 − 𝟑

Resolución

=�5+𝑥− 2+ �26−𝑥3 −3+ �15−𝑥4 −2+ �𝑥+14 −7−7

�𝑥+10−3 �𝑥+14 +�𝑥+1−3+3

=�5+𝑥− 2+ �26−𝑥3 −3+ �15−𝑥4 −2+ �𝑥+14 −7−7

�𝑥+10−3 �𝑥+14 +�𝑥+1−3+3

=

5+𝑥− 4√5+𝑥+ 2

+ 26−𝑥−27

� √26−𝑥3 2�+� √26−𝑥3 �(3)+(32)

+ 15−𝑥−16

� √15−𝑥4 2�+� √15−𝑥4 �(2)+(22)

+ √𝑥 + 14

𝑥+10−9√𝑥+10+3

+ √𝑥 + 14 + √𝑥 + 1

=𝑥+1

4 + −(𝑥+1)27 + −(𝑥+1)

12𝑥+1

6

=27(𝑥+1)−4(𝑥+1)−9(𝑥+1)

108𝑥+16

Racionalización

(𝒂𝒏 − 𝒃𝒏) = (𝒂 − 𝒃)(𝒂𝒏−𝟏+𝒂𝒏−𝟐𝒃 + 𝒂𝒏−𝟑𝒃𝟐 + … + 𝒃𝒏−𝟏)



7

=14(𝑥+1)108𝑥+16

= 14(𝑥+1)18(𝑥+1)

= 79

∴ 𝑳𝒊𝒎𝒙→−𝟏

√𝟓+𝒙+ √𝟐𝟔−𝒙𝟑 + √𝟏𝟓−𝒙𝟒 + √𝒙+𝟏𝟒 −𝟕

√𝒙+𝟏𝟎 √𝒙+𝟏𝟒 +√𝒙+𝟏−𝟑 = 𝟕

𝟗 Rpta

4. Calcular:

a) 𝑳𝒊𝒎𝒙→𝝅∕𝟒

𝒕𝒈 (𝒙−𝝅𝟒)

𝒙−𝝅𝟒

b) 𝑳𝒊𝒎𝒙→𝟎

𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒙)−𝒄𝒐𝒔(𝒎𝒙)𝒙𝟐

,𝒎 > 𝒐

Resolución

a) 𝐿𝑖𝑚𝑥→𝜋∕4

𝑡𝑔 (𝑥−𝜋4)

𝑥−𝜋4

𝑥 − 𝜋4

= 𝑢 ⟹ 𝑥 = 𝑢 + 𝜋4 . Si 𝑥 →

𝜋4 , entonces 𝑢 → 0

𝐿𝑖𝑚𝑢→0

𝑡𝑔 (𝑢 + 𝜋

4 − 𝜋

4)

𝑢 + 𝜋4

− 𝜋4

∴ 𝐿𝑖𝑚𝑢→0

𝑡𝑔 (𝑢)𝑢

= 1 Rpta



8

b) 𝐿𝑖𝑚𝑥→0

cos(𝑛𝑥)−cos(𝑚𝑥)𝑥2

; 𝑚 > 𝑜

𝐿𝑖𝑚𝑥→0

−2𝑠𝑒𝑛 �𝑛𝑥+𝑚𝑥

2� 𝑠𝑒𝑛 �𝑛𝑥−𝑚𝑥

2�

𝑥2


2𝑠𝑒𝑛 �𝑛𝑥+𝑚𝑥

2� 𝑠𝑒𝑛 �𝑚𝑥−𝑛𝑥

2�

𝑥2


2𝑥(𝑚+𝑛)2 𝑠𝑒𝑛 𝑥�𝑚+𝑛

2 �𝑥(𝑚+𝑛)

2

𝑠𝑒𝑛𝑥 �𝑚−𝑛2 �𝑥(𝑚−𝑛)

2𝑥(𝑚−𝑛)

2

𝑥2


2𝑥 �𝑚+𝑛

2� 𝑥 �𝑚−𝑛

2�

𝑥2

∴ 𝑳𝒊𝒎𝒙→𝟎

𝒎𝟐−𝒏𝟐

𝟐= 𝒎𝟐−𝒏𝟐

𝟐 Rpta

Propiedad

Cos A + Cos B = - 2sen 𝑨+𝑩𝟐

sen 𝑨−𝑩𝟐



9

5. Usando límites calcule:

𝑳𝒊𝒎𝜶→𝝅

𝟐

𝑨𝒓𝒆𝒂 ∆𝑩𝑻𝑸𝑨𝒓𝒆𝒂 ∆𝑷𝑩𝑪

Resolución

Se pide: 2

Area lim

Area BTQ

LPBCπ

α→

∆=

∆ ………………(1)

Q

P

C

T S

B

α

N

M

1θ

θθ

θ

1

1

secθ

45º /2−θ

tgθ

cosθ

cosθ

cosθ

2 2 1x y+ =

θ

1O

cos tg(45º /2)θ⋅ −θ



10

De la figura:

Cálculo de las áreas

Area 2

BQ TMBTQ

⋅=∗ ∆ ……………….(2) Area

2PC NB

PBC⋅

=∗ ∆ ………………….(3)

Se observa: 1 csc ; cos ; tg ; cos tg 45º2

BQ TM PC NBθ = + θ = θ = θ = θ⋅ −

Reemplazando en (2) y (3):

(1 csc ) cos (1 sen ) cos Area

2 2senBTQ

+ θ ⋅ θ + θ ⋅ θ∆ = =∗

θ

90ºtg cos tg 45º tg cos tg

2 2 Area 2 2

PBC

θ −θ θ⋅ θ⋅ − θ⋅ θ⋅ =∗ ∆ =

1 cos(90º )tg cos

tg cos (1 sen )sen(90º )Area 2 2cos

PBC

− −θ θ⋅ θ⋅ θ⋅ θ⋅ − θ−θ ∆ = =θ

Sustituyendo en (1):

2 2

(1 sen ) cosArea 2lim limArea

BTQL

PBCπ πα→ α→

+ θ ⋅ θ∆

= =∆

sentg cos

θθ⋅ θ (1 sen )

2⋅ − θ

cosθ2

(1 sen ) cossenlim

sen(1 sen )

cosπ

α→

+ θ ⋅ θθ=

θ⋅ − θ

θ

2 2

2 2

2 2 2

(1 sen ) (1 sen ) (1 sen )(1 sen ) cos (1 sen ) (1 sen )lim lim lim

(1 sen )sen (1 sen )senL

π π πα→ α→ α→

+ θ ⋅ + θ − θ+ θ ⋅ θ + θ ⋅ − θ= = =

− θ θ − θ θ (1 sen )− θ 2sen θ

2

2

2

(1 sen )lim

senL

πα→

+ θ=

θ Pero: 180ºθ= −α Entonces:

[ ] [ ] [ ]

2

2 222

2 2 22

2 2

1 sen1 sen(180º ) 1 sen 1 12lim lim 2 4sen (180º ) sen 1sen

2

Lπ π

α→ α→

π + + −α + α + = = = = = =π−α α

∴ 𝑳𝒊𝒎𝜶→𝝅

𝟐

𝑨𝒓𝒆𝒂 ∆𝑩𝑻𝑸𝑨𝒓𝒆𝒂 ∆𝑷𝑩𝑪

= 𝟒

Rpta



11

Racionalización

(𝒂𝒏−𝒃𝒏) (𝒂𝒏−𝟏+𝒂𝒏−𝟐𝒃+⋯+𝒂𝒃𝒏−𝟐+𝒃𝒏−𝟏)

= (a-b)

Factor Racionalizante

6. Calcular:

𝑳𝒊𝒎𝒙→∞

��𝒙𝟕−𝒙𝟓

𝒙𝟐+𝟏

𝟓− 𝒙�; si existe

= Lim𝑥→∞

⎩⎪⎨

⎪⎧ x7−x5

x2+1− x5

��x7−x5

x2+1

5�4

+��x7−x5

x2+1

5�3

𝑥+��x7−x5

x2+1

5�2

𝑥2 + ��x7−x5

x2+1

5� 𝑥3 + 𝑥4

⎭⎪⎬

⎪⎫

Resolución

𝐿𝑖𝑚𝑥→∞

��𝑥7 − 𝑥5

𝑥2 + 15

− 𝑥�

= Lim𝑥→∞

⎩⎪⎨

⎪⎧ ��x7−x5

x2+1

5�5

− (𝑥)5

��x7−x5

x2+1

5�

4

+��x7−x5

x2+1

5�

3

𝑥+��x7−x5

x2+1

5�

2

𝑥2 + ��x7−x5

x2+1

5� 𝑥3 + 𝑥4

⎭⎪⎬

⎪⎫

= 𝐿𝑖𝑚𝑥→∞

⎩⎪⎨

⎪⎧ 𝑥7−𝑥5−𝑥5(𝑥2+1)

𝑥2+1

��𝑥7−𝑥5

𝑥2+1

5�4

+��𝑥7−𝑥5

𝑥2+1

5�3

𝑥+��𝑥7−𝑥5

𝑥2+1

5�2

𝑥2 + ��𝑥7−𝑥5

𝑥2+1

5� 𝑥3 + 𝑥4

⎭⎪⎬

⎪⎫


𝑥7 − 𝑥5 − 𝑥7 − 𝑥5

(𝑥2 + 1) ��𝑥7−𝑥5

𝑥2+1

5�4

+��𝑥7−𝑥5

𝑥2+1

5�3

𝑥+��𝑥7−𝑥5

𝑥2+1

5�2

𝑥2 + ��𝑥7−𝑥5

𝑥2+1

5� 𝑥3 + 𝑥4�

𝑨∞ = 𝟎

Recordar

A ∃ 𝑅



12


−2𝑥5

𝑥5

(𝑥2+1)𝑥1

�� 𝑥7−𝑥5

𝑥2+15

�4

+� �𝑥7−𝑥5

𝑥2+15

�3

𝑥+� �𝑥7−𝑥5

𝑥2+15

�2

𝑥2+ � �𝑥7−𝑥5

𝑥2+15

�𝑥3+𝑥4�

𝑥4


−2𝑥5

𝑥5

�𝑥2

𝑥1+ 1

𝑥1�

⎩⎨

⎧��

𝑥7−𝑥5

𝑥2+1𝑥5

5

�

4

+��𝑥7−𝑥5

𝑥2+1𝑥5

5

�

3

𝑥𝑥

+��𝑥7−𝑥5

𝑥2+1𝑥5

5

�

2

𝑥2

𝑥2+ ��

𝑥7−𝑥5

𝑥2+1𝑥5

5

� 𝑥3

𝑥3+ 𝑥4

𝑥4

⎭⎬

⎫


−2𝑥5

𝑥5

�𝑥2

𝑥1+ 1

𝑥1� ��𝑥7−𝑥5

𝑥7+𝑥55

�4

+��𝑥7−𝑥5

𝑥7+𝑥55

�3𝑥𝑥

+��𝑥7−𝑥5

𝑥7+𝑥55

�2𝑥2

𝑥2+ ��𝑥7−𝑥5

𝑥7+𝑥55

� 𝑥3

𝑥3+ 𝑥4

𝑥4�


−2

�𝑥 + 1𝑥��

𝑥7

𝑥7−𝑥5

𝑥7𝑥7

𝑥7+𝑥5

𝑥7

5�

4

+��𝑥7

𝑥7−𝑥5

𝑥7𝑥7

𝑥7+𝑥5

𝑥7

5�

3

+��𝑥7

𝑥7−𝑥5

𝑥7𝑥7

𝑥7+𝑥5

𝑥7

5�

2

+ ��𝑥7

𝑥7−𝑥5

𝑥7𝑥7

𝑥7+𝑥5

𝑥7

5� + 1�


−2(𝑥)(5)

=−25 𝐿𝑖𝑚

𝑥→∞

1𝑥 = 0

∴ 𝑳𝒊𝒎𝒙→∞

��𝒙𝟕−𝒙𝟓

𝒙𝟐+𝟏

𝟓− 𝒙� = 𝟎 Rpta



13

7. Usando la definición, probar que:

𝑳𝒊𝒎𝒙→𝟐

𝟏 − 𝒙(𝒙 − 𝟐)𝟐 = −∞

Se tiene que:

Resolución { }Dom ( ) 2 2f x x= − ⇒ =¡ es un punto de acumulación del dominio.

La definición del límite de 2

1( )

( 2)x

f xx−

=−

cuando f(x) tiende a −∞ , si x tiende a 2 es:

22

1lim 0, 0/ Dom ( ) 0 2 ( )

( 2)x

xx f x si x f x M

x→

−=−∞ ⇔ ∀ε> ∃δ> ∈ ∧ < − <δ ⇒ <−

−

2

1 ( )

( 2)x

f x Mx−

⇒ = <−−

……………………………..….(1)

11 1 1 1 3

Si 0 2 2 12 2 2 2 2

x x x< − <δ = ⇒ − < − < ⇒ < − <

Como: 2( 2) 0; siendo 2 x x− > ≠ ⇒ multiplicamos la expresión anterior por: 2

1( 2)x−

2 2 2

1 1 3

2( 2) ( 2) 2( 2)x

x x x−

⇒ < <− − −

2 2 2

3 1 1

2( 2) ( 2) 2( 2)x

x x x−

⇒ − < <−− − −

…………………...(2)

De las ecuaciones (1) y (2):

2 2

1 1

2( 2) 2( 2)M M

x x⇒ − <− ⇒ >

− −

2 21 1 1 2( 2) ( 2) 2

2 2x x x

M M M⇒ − < ⇒ − < ⇒ − <

1Si 0 2 se toma:

2x

M< − <δ δ=



14

∴ 𝜹 = {𝜹𝟏;𝜹𝟐} = 𝒎í𝒏 �𝟏𝟐

;� 𝟏𝟐𝑴� Rpta

8. Calcular:

𝑳𝒊𝒎𝒙→𝟎

(𝒕𝒂𝒏𝒙 − 𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙) + 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒙 − (𝒔𝒊𝒏𝒙)𝟐 + 𝟎.𝟓 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒙𝟑(𝟏 − 𝒔𝒊𝒏𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙)

Sea

Resolución

− + − +=

− +

2

3tg 2sen sen tg sen 0 5sen2

1 sen cosx x x x x xf x

x x x( ) . ,( )

( )

Reduciendo la función:

− + − + × =

− +

2

3

1 sensen 2 sen sen 0 5 2sen coscos cos

1 sen cos

xx x x x xx xf x

x x x

. , .( )

( )

− + − + =− +3

1 sensen 2 sen coscos cos

1 sen cos

xx x xx xf xx x x

( )( )

− + − − + =− +3

1 sensen 1 1 sen coscos cos

1 sen cos

xx x xx xf xx x x

( )( )

− + − − + =− +3

1 cos sensen 1 sen coscos cos cos

1 sen cos

x xx x xx x xf x

x x x( )

( )

− + − − + =− +3

1 cos sensen 1 cos sencos

1 cos sen

x xx x xxf x

x x x

( )( )

( )

− +=

sen 1 cos senx x xf x

( )( )

− − +3

1 1cos

1 cos senx

x x x( )



15

( )− ⋅−

= = =

2

3 3 3

1 cos sensen tg 2sen1 coscos 2cosx xxx xxx xf x

x x x( )

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅

2 2 2

2 2 2

sen sen sentg tg 1 tg2 2 22 2

24

2 2

x x xx x xf x

x x xx x x( )

Reemplazando en el límite:

= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅

2 2

2 2x→0 x→0 x→0 x→0

sen sen1 tg 1 tg 12 2lim lim lim lim 1 12 2 2

2 2

x xx xf x

x xx x( )

∴ 𝑳𝒊𝒎𝒙→𝟎

𝒇(𝒙) = 𝟏𝟐 Rpta

9. Sea f la función definida por:

𝐟(𝐱) = |𝐱 + 𝟓| +𝟓

|𝐱| − 𝟒

Bosqueje el gráfico de f mostrando sus asíntotas.

Resolución

El dominio de la función f(x) será:

{ } { } { }= ∈ − ≠ = ∈ ≠ = ∈ ≠ ∨ ≠ −¡ ¡ ¡4 0 4 4 4( ) / / /Domf x x x x x x x x

Redefiniendo la función:

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −5, 𝑥 = 0 (𝑥 ≠ 0)

Se tienen 3 intervalos:



16

< − ⇒ = −∗ + ∧ = − 5 x+5 5 x( )x x x

⇒ = − + + < −− −1

5 5 54

( ) ( ) ;f x x xx

− ≤ < ⇒ = ∧ −∗ + = 5 0 x+5 5 xx x x

⇒ = + − − ≤ < ≠ −+25 5 5 0 , 4

4( ) ;f x x x x

x

> ⇒ = + ∧ =∗ 0 x+5 5 xx x x

⇒ = + + ≥ ≠−35 5 0 4

4( ) ; ,f x x x x

x

Luego:

− + + < − +

= + − − ≤ < ≠ −+

+ + ≥ ≠ −

55 54

55 5 0 , 44

55 0 44

;

( ) ;

; ,

x xx

f x x x xx

x x xx

Asíntotas verticales

Las posibles asíntotas verticales de la gráfica de f(x) serán en los puntos de

acumulación del dominio (𝑥 = ±4).

:

− − −→− →−

= + − = − + − = + ∞ = +∞ +

∗4 4

5 5 5 4 5 14 0

lim ( ) limx x

f x xx

+ + +→− →−

= + − = − + − = − ∞ = −∞ +

∗4 4

5 5 5 4 5 14 0

lim ( ) limx x

f x xx

∴ 𝒙 = −𝟒 es una Asíntota Vertical

− − −→ →

= + + = + + = − ∞ = −∞∗ − 4 4

5 5 5 4 5 94 0

lim ( ) limx x

f x xx

+ + +→ →

= + + = + + = + ∞ = +∞∗ − 4 4

5 5 5 4 5 94 0

lim ( ) limx x

f x xx

∴ 𝒙 = 𝟒 es una Asíntota Vertical



17

Asíntotas horizontales

→+∞ →+∞

= + + = +∞ + = +∞ ∉∗ −

¡5 5 0 4

lim ( ) limx x

f x xx

:

( )→−∞ →−∞

= − + + = − −∞ + = +∞∗ ∉ +

¡5 5 0 4

lim ( ) limx x

f x xx

∴ No tiene Asíntota Horizontal

Asíntotas oblicuas

A.O.D:

: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃

→+∞ →+∞ →+∞

+ + −= = = + + = −

55 5 54 1 14

( )lim lim lim( )x x x

xf x xmx x x x x

→+∞ →+∞ →+∞

= − = + + − = + = − − 5 55 5 5

4 4lim ( ) lim lim

x x xb f x mx x x

x x

= +∴ 5y x

A.O.I:

→−∞ →−∞ →−∞

− + + + = = = − + + = − +

55 5 54 1 14

( )lim lim lim( )x x x

xf x xmx x x x x

→−∞ →−∞ →−∞ →−∞

= − = − + + + = − − − + = − − = − + + −

5 5 55 5 5 54 4 4

lim ( ) lim lim limx x x x

b f x mx x x x xx x x

=∴ − − 5y x

Gráfico

:



18

-5

y

x

5

X=-4 X=4

10. Dada la función definida por:

𝑺𝒈𝒏(𝒙𝟐 − 𝟖) − 𝟑; 𝒙 ≤ −𝟑

𝒇(𝒙) = 𝒙�𝒙𝟑� + 𝟓𝒔𝒈𝒏(𝒙 − 𝟓); −𝟑 < 𝑥 < 𝟎

𝒙 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 ; 𝒙 ≥ 𝟎

Determinar los puntos de discontinuidad. Determinar el

tipo de discontinuidad y si es posible redefinir la función

para evitar la discontinuidad.

Redefiniendo la función f(x). Para ello hallaremos:

Resolución

≤ − ⇒ ≥ ⇒∗ − ≥ > ⇒ − =2 2 2 Si: 3 9 8 1 0 sgn 8 1( )x x x x

∗ 𝑆𝑖: − 3 < 𝑥 < 0 ⟹ −1 <𝑥3

< 0 ⟹ �𝑥3� = −1



19

− < < ⇒ − < − < − ⇒ − = −∗ Si: 3 0 8 5 5 sgn 5 1 ( )x x x

− −= = ≥ ≠

− + +− −∗ 2

3 3 1 0 33 2 26

; ,( )( )

x x x xx x xx x

Luego:

− ≤ −

= − + − − < < ≥ +

1 3 31 5 1 3 0

1 02

;( ) ( ) ( ) ;

;

xf x x x

xx

− ≤ −

⇔ = − − − < < ≥ ≠ +

2 3 5 3 0

1 0 32

;( ) ;

; ,

xf x x x

x xx

Graficando f(x):

-2

-5

1/2

y

x-3 -2

3

Se observa que la función es discontinua en x=0. El tipo de discontinuidad es inevitable. Lo que me indica que no es posible redefinir la función para hacerla continua en dicho punto.

Rpta



20

11. Resolver:

a) Sea 𝒇(𝒙) =�𝟔+ √𝒙𝟔𝟑

−𝟐

𝒙−𝟔𝟒;𝒙 ≠ 𝟔𝟒; ¿Cómo debe ser definida

f(64), de modo que la función sea continua en x= 64?

b) Un automóvil viaja de noche por una carretera en

forma de parábola con vértice en el origen, el

vehículo parte de un punto a 100 m al oeste y a 100

m al norte del origen y viaja en dirección general

hacia el este. Hay una estatua a 100 m al este y 50

m al norte de origen ¿en qué punto de la carretera

los faros del automóvil la iluminaria?

Resolución

a) Debemos redefinir la función en x=64 a fin de hacerla continua en dicho punto.

Aplicamos límite de una función cuando x tiende a 64:

→ →

+ −= =

−

3 6

64 64

6 2 064 0

lim ( ) limx x

xf xx

(Forma indeterminada)

Levantando la indeterminación:

→ → →

+ + + ++ − + −= = ⋅

− − + + + +

2 3 23 3 6 66 6 3

2 3 264 64 64 6 63

6 6 2 26 2 6 264 64 6 6 2 2

( ) .lim ( ) lim lim( ) .x x x

x xx xf xx x x x

→ →

+ −= ⋅

− + + + +

6

2 364 64 6 63

6 8 164 6 2 6 4

lim ( ) lim( )x x

xf xx x x



21

→ →

− + ⋅ + ⋅ + += ⋅ ⋅

− + ⋅ + ⋅ + ++ + + +

66 65 4 3 2 56

66 65 4 3 2 52 364 64 6 63

1 2 2 2 264 2 2 26 2 6 4

...lim ( ) lim

...( )x x

x x x xf xx x x xx x

→ →

−= ⋅

+ + + +2 364 64 6 63

1 646 2 6 4

lim ( ) lim( )x x

xf xx x − 64x

⋅+ ⋅ + ⋅ + +66 65 4 3 2 5

12 2 2...x x x

→= ⋅ = ⋅

⋅⋅ ⋅+ + + +5 5264 33

1 1 1 13 46 2 6 26 2 2 6 2 4

lim ( )( )x

f x

→=

64

12304

lim ( )x

f x

La función redefinida será:

+ − ≠ −= =

3 66 2 6464

1 642304

;( )

;

x xxf x

x

Rpta

b) Graficando:

y

x

100

100

Partida

Estatua50

P(a,b)

N

S

O E

-100

Ecuación general de la parábola con vértice en el origen:

= 2y ax ........................... (1)

Pero − ∈ ⇒ = − ⇒ =2 1100 100 Parábola En la Ec 1 100 100 100

( ; ) .( ) : ( )a a



22

⇒ = 21 100

y x .............................. (2)

Hallando la ecuación de la recta LT de la iluminación en el punto P:

Para ello consideramos el punto de paso (100; 50): (de la estatua)

− = −50 100( )y m x

⇒ = + − 50 100y mx m ............................. (3)

Cálculo de la pendiente “m” con la ecuación de la parábola:

= = ⇒ =2 1

100 50m y x m x¢

Reemplazando en (3):

⇒ = − +21 2 5050

y x x .........................(4)

Igualando las ecuaciones (2) y (4):

= − +2 21 1 2 50100 50

x x x

= − +20 200 5000x x

Resolviendo: ± − ±= =

2200 200 4 1 5000 200 100 22 2( )( )x

= ± ⇒ = − ∨ = +1 2100 50 2 100 50 2 100 50 2x x x

En la ecuación (2): ⇒ = − = − = −2 21 100 50 2 10 5 2 150 100 2100( ) ( )y

Finalmente el punto P pedido es:

∴ 𝑷(𝒂;𝒃) = (𝟏𝟎𝟎 − 𝟓𝟎√𝟐;𝟏𝟓𝟎 − 𝟏𝟎𝟎√𝟐) Rpta



23

12. Hallar c y d para que f(x) sea continua:

( )−

−

+ − − + < − − + − − = = −

− − −

> −− − −

32 2

23

1

2 5

3

8 24 2 17 5 4

1

31 6 8 1

26 5 8

;

( ) ;

;

x x xc xx x

f x cd xd x x

xx x

Sea

Resolución

32 2 2 5

1 2 323

8 24 2 ( 31 6 8)( ) ; 1 ( ) ; 1

26 5 87 5 4

x x x d x xf x c x f x x

x xx x

− + − − + − − − = <− ∧ = >− − − −− + − −

La función f(x) será continua en 0 1 x =− ⇔ se cumplen las tres condiciones siguientes:

i) 1( 1)f cd−∃ − =

ii) 32 2 2 5

1 2 3231 1 1 1

8 24 2 ( 31 6 8)lim ( ) lim ( ) lim lim

26 5 87 5 4x x x x

x x x d x xf x f x c

x xx x− + − +

−

→− →− →− →−

+ − − + − − − = ⇔ = − − −− + − −

3 32 2 2 2

1 2 23 31 1 1

8 24 2 ( 8 3) ( 24 2 3) lim ( ) lim lim

7 5 4 ( 7 2) ( 5 2)x x x

x x x x x xf x c c

x x x x− − −→− →− →−

+ − − + + − − − + − = = − + − − − − + − −

∗

Multiplicando cada término por sus factores racionalizantes:

32 2 2 2 2332 2

32 2 2 2 23

1 2 2 2331 123

2 2 233

8 3 ( 24 2) 3 24 2 3( 8 3) ( 24 2 3)

8 3 ( 24 2) 3 24 2 3lim ( ) lim(7 ) 2 7 2 5 2

( 7 2) ( 5 2)(7 ) 2 7 2 5 2

x x

x x x x xx x x

x x x x xf x cx x x

x xx x x

− −→− →−

+ + − + + − + ++ − ⋅ − − + − ⋅

+ + − + + − + +=− + − + − +

− − ⋅ + − − ⋅− + − + − +

[ ]

2 2

32 2 2 2 23

1 21 1

2 2 233

8 9 24 2 27

8 3 ( 24 2) 3 24 2 3lim ( ) lim7 8 5 4

(7 ) 2 7 2 5 2

x x

x x x

x x x x xf x cx x

x x x

− −→− →−

+ − − + −−

+ + − + + − + +=− − − −

+− + − + − +



24

2 2

32 2 2 23

1 21 1

2 233

1 24 25

8 3 ( 24 2) 3 24 2 9lim ( ) lim( 1) ( 1)

(7 ) 2 7 4 5 2

x x

x x x

x x x x xf x cx x

x x x

− −→− →−

− − −−

+ + − + + − + +=− + − −

+− + − + − +

11 1

( 1)

lim ( ) limx x

x

f x c− −→− →−

+

=2

( 1) ( 1)

8 3

x x

x

− +−

+ + 32 2 23

( 25)

( 24 2) 3 24 2 9( 1)

x

x x x xx

−

− + + − + +− +2 33

( 1)

(7 ) 2 7 4

x

x x

+−

− + − + 2

( 1)

5 2

x

x

−

− +

32 2 2 23

11 1

2 233

1 25

8 3 ( 24 2) 3 24 2 9lim ( ) lim1 1

(7 ) 2 7 4 5 2

x x

x x

x x x x xf x cx

x x x

− −→− →−

− −−

+ + − + + − + +=− −

−− + − + − +

Evaluando el límite:

11

2 26 1 26 17686 3(9) 3 27 27lim ( )

1 2 1 1 5 453(4) 2(2) 12 2 12

xf x c c c c

−→−

− −− − +

= ⋅ = ⋅ = ⋅ =− −

− − +

5 52 2

2 3 31 1 1

31 6 8 ( 31 2) 6( 1) lim ( ) lim lim

26 5 8 ( 26 3) 5( 1)x x x

x x x xf x d d

x x x x+ + +

− −

→− →− →−

− − − − − − += =

− − − − − − +∗

Multiplicando por sus factores racionalizantes:

4 3 45 55

4 3 45 52

2 2 23 31 13

2 23 3

(31 ) (31 ) .2 ... 2( 31 2) 6( 1)

(31 ) (31 ) .2 ... 2lim ( ) lim(26 ) 3 26 3

( 26 3) 5( 1)(26 ) 3 26 3

x x

x xx x

x xf x dx x

x xx x

+ +

−

→− →−

− + − + +− − ⋅ − +

− + − + +=− + − +

− − ⋅ − +− + − +

4 3 45 52

21 1

2 23 3

31 326( 1)

(31 ) (31 ) .2 ... 2lim ( ) lim26 27

5( 1)(26 ) 3 26 3

x x

xx

x xf x dx

xx x

+ +

−

→− →−

− −− +

− + − + +=− −

− +− + − +



25

22

1 1

( 1)

lim ( ) limx x

x

f x d+ +

−

→− →−

− +

=4 3 45 5

6 ( 1)(31 ) (31 ) .2 ... 2

xx x

− +− + − + +

( 1)x− +2 23 3

5 ( 1)(26 ) 3 26 3

xx x

− +− + − +

4 3 45 52

21 1

2 23 3

16

(31 ) (31 ) .2 ... 2lim ( ) lim1

5(26 ) 3 26 3

x x

x xf x d

x x

+ +

−

→− →−

−−

− + − + +=−

−− + − +

Evaluando el límite:

42 2 2 2

21

2

1 1 4816 6 481 275 2 80 80lim ( )1 1 136 80 1365 5

27 273 3x

f x d d d d+

− − − −

→−

−− − − ×⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

− ×− − −⋅

21 2

1 1 1

68 481 27 lim ( ) lim ( ) lim ( )

45 80 136x x xf x f x f x c d

− +

−

→− →− →−

×⇒ = = ⇒ = ⋅

×

iii) 1 2 1

1

68 481 27lim ( )

45 80 136xf x cd c d cd− − −

→−

×= ⇒ = ⋅ =

×

Igualando:

68

45c∗ c= 1 45

68

d d− ⇒ = Rpta

∗ 𝑐𝑑−1 = 𝑑−2. 481𝑥2780𝑥136

⟹ 𝑐 = 1𝑑

. 481𝑥2780𝑥136

⟹ 𝑐 = 6845

. 481𝑥2780𝑥136

∴ 𝒄 = 𝟏𝟒𝟒𝟑𝟖𝟎𝟎

Rpta



26

13. Halle el área de la región comprendida por la recta

tangente normal a la curva cuya ecuación es 𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 +

𝒚𝟐 = 𝟕 en el punto (1;2) y la asíntota oblicua derecha a

la gráfica de la función:

𝒇(𝒙) =𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙 + 𝟏𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 + �𝒙𝟐 + 𝟔

Sean LT y LN rectas tangente y normal respectivamente a la curva

Resolución 2 2 7x xy y+ + = en el

punto (1;2).

Entones:

: 2 ( 1) 2TL y m x y mx m− = − ⇒ = + − ……………………….. (1)

1 1 1: 2 ( 1) 2NL y x y x

m m m− =− − ⇒ =− + + …………………….. (2)

Calculando “m”:

Derivando implícitamente la ecuación de la curva 2 2 7x xy y+ + =

2 2 0 ( 2 ) 2x y xy yy x y y x y+ + + = ⇒ + +¢ ¢ ¢= - ( )

2

2x y

y mx y+

⇒+

¢= = -

En (1,2) la pendiente m será: 2(1) 2 41 2(2) 5

m+

=−+

= -

Reemplazando en las ecuaciones (1) y (2):

4 14 5 3: :

5 5 4 4T NL y x L y x=− + ∧ = +

Calculando ahora, la asíntota oblicua derecha a la gráfica de la función:



27

32

2

2 3 1( ) 6

6x x

f x xx x

+ += + +

− −

Sea la ecuación de la asíntota oblicua derecha de f(x): y ax b= + ………….(3)

Hallando “a” y “b”:

32

3 22

2

2 3 16( ) 2 3 1 66 lim lim lim

( 6)x x x

x xxf x x x xx xa

x x xx x x→+∞ →+∞ →+∞

+ ++ + + + +− − = +

− −∗ = =

3

limx

xa

→+∞=

2 3

3

3 12

x x

x

+ +

21 6

1

x

x x

+ − −

26

1x

x

+2 3

2

2

3 12 6

lim 11 6

1x

x xx

x x→+∞

+ += + +

− −

Evaluando:

2 0 01 0 3

1 0 0a a

+ += + + ⇒ =

− −

[ ]3

22

2 3 1 lim ( ) lim 6 3

6x x

x xb f x ax x x

x x→+∞ →+∞

+ += − = + + −

−∗ −

( ) ( )3 2 22 2

2 2 2

2 3 1 2 15 1 6lim 2 6 lim 6

6 6 6x x

x x x x x xb x x x x x

x x x x x x→+∞ →+∞

+ + + + + += − + + − = + + − ⋅

− − − − + +

22 2 2

2 2

2 15 1 6lim lim

6 6x x

xx x x x

bx x x x→+∞ →+∞

+ + + −= + = − − + +

2

2

15 12

x x

x

+ +

2 2

61 6 61 1 1xx x x

+ − − + +

Evaluando el límite se obtiene: 2 62 0 2

1 2b b= + = + ⇒ =

∞⋅

En la ecuación (3): 3 2y x= + (Ecuación de la asíntota oblicua derecha de f(x))

Con las rectas obtenidas, determinamos sus puntos de intersección:

4 14 5 3: : A.O.D: 3 2

5 5 4 4T NL y x L y x y x=− + ∧ = + ∧ = +

Resolviendo se obtienen: 4 50 5 1(1;2), ; , ;

19 19 7 7 − −

Graficando las ecuaciones de rectas halladas:



28

B

(1;2)

4 50;

19 19

5 1;

7 7 − −

TL

NL

. . .AO D

C

A ( )f x

y

x

Finalmente el área sombreada:

2AB AC

Area⋅

= ………………………………(4)

2 2 2 24 50 15 12 3 411 2

19 19 19 19 19AB = − + − = + =

2 2 2 25 1 12 15 3 411 2

7 7 7 7 7AC = + + + = + =

En (1):

𝑨𝒓𝒆𝒂 =𝟑√𝟒𝟏 𝟏𝟗 . 𝟑√𝟒𝟏𝟕

𝟐⟹ ∴ 𝑨𝒓𝒆𝒂 = 𝟑𝟔𝟗

𝟐𝟔𝟔 Rpta

14. Sea

32n 1 n 1

( ) cos sen 14 m n nx x x

f xx x x

π + π + = − + +

Hallar 2n m si: 1

lim ( )24x

f x→+∞

=−



29

Transformando f(x):

Resolución

32n 1 n 1

( ) cos sen 14 m n nx x x

f xx x x

π + π + = − + +

3

2n 1 n 1( ) cos sen

4 m n nx x x

f xx x x

π + π + = − + 2 n 1

sennxx

π + +

2 n 1cos

nxx

π + +

32n 1 n 1

( ) cos cos4 m n nx x x

f xx x x

π + π + = + +

3 n 1 n 1( ) cos 1 cos

4 m n nx x x

f xx x x

π + π + = ⋅ + +

3

2n 1 n 1( ) cos 2cos

4 m n 2nx x x

f xx x x

π + π + = ⋅ ⋅ +

232 1 1

( ) cos cos4 n 2 2nm

xf x

x xxx

π = ⋅ π+ ⋅ + +

222 1 1

( ) cos sen4 n 2nm

xf x

x xx

= ⋅ − ⋅ − +

22

2

2

1sen

2 1 1 2 1 2n( ) cos sen cos4 4 1n 2n nm m

x xf xx x x

x x x

− − = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

+ +

22

2

22 2

1 11sen sen2 1 12n 2n2n( ) cos cos

4 4 11n nm m4n2n4n

x xf xx x

x x xx

− − = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + +⋅

Luego, por condición: 1lim ( )

24xf x

→+∞=−

2

2

11 sen1 12n2n lim cos

4 1n 24m2n

x

xx

x x→+∞

− ⇒ ⋅ ⋅ =−

+



30

( )2 2

112n (1) 1

m 24

−⇒ ⋅ ⋅ =−

∴ 𝒏𝟐𝒎 = 𝟏𝟐 Rpta

15. Calcular:

𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟏

𝒙𝟐√𝒙 + 𝟐𝟑 − �|𝒙 + 𝟓| − 𝒙�|𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟓|

Dominio |𝑥2 + 6𝑥 + 5| > 0|𝑥2 + 6𝑥 + 5| = 𝑥2 + 6𝑥 + 5

lim𝑥→−1+

𝑥2√𝑥 + 23 − �|𝑥 + 5| − 𝑥�|𝑥2 + 6𝑥 + 5|

= lim𝑥→−1+

𝑥2√𝑥 + 23 − �|𝑥 + 5| − 𝑥

�|𝑥 + 5||𝑥 + 1|

𝑥 → −1+ → 𝑥 > −1 ∴ 𝑥 + 5 > 4 |𝑥 + 5| = 𝑥 + 5

𝑥 + 1 > 0 |𝑥 + 1| = 𝑥 + 1

lim𝑥→−1+

𝑥2√𝑥 + 23 − �|𝑥 + 5| − 𝑥�|𝑥2 + 6𝑥 + 5|

= lim𝑥→−1+

𝑥2�√𝑥 + 23 − 1� − �√𝑥 + 5 − 2� − (𝑥 − 2)(𝑥 + 1)

�(𝑥 + 5)(𝑥 + 1)

Resolución

Dividiendo entre 𝑥 + 1 = �(𝑥 + 1)2

limx→−1+

x2�√x + 23 − 1�

�(x + 5)(x + 1)− lim

x→−1+�√x + 5 − 2�

�(x + 5)(x + 1)+ lim

x→−1+

(x − 2)(x + 1)�(x + 5)(x + 1)

… . (∗)

𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2

𝑎 = √𝑥 + 23 ∧ 𝑏 = 1

𝑥 + 2 − 1 = �√𝑥 + 23 − 1�(�(𝑥 + 2)23 + √𝑥 + 23 + 1)



31

√𝑥 + 23 − 1 =𝑥 + 1

�(𝑥 + 2)23 + √𝑥 + 23 + 1

lim𝑥→−1+

𝑥2

�(𝑥 + 5)�(𝑥 + 1).

𝑥 + 1

�(𝑥 + 2)23 + √𝑥 + 23 + 1= lim

𝑥→−1+𝑥2�(𝑥 + 1)

�(𝑥 + 5)�(𝑥 + 2)23 + √𝑥 + 23 + 1= 0

lim𝑥→−1+

�(𝑥 + 5) − 2

�(𝑥 + 5)�(𝑥 + 1).�(𝑥 + 5) + �(𝑥 + 1)

�(𝑥 + 5) + �(𝑥 + 1)= lim

𝑥→−1+�(𝑥 + 5)�(𝑥 + 1)𝑥 + 1

��(𝑥 + 5) + 2�

= lim𝑥→−1+

√𝑥 + 1

�(𝑥 + 5) ��(𝑥 + 5) + 2�= 0

lim𝑥→−1+

(𝑥−2)(𝑥+1)�(𝑥+5)�(𝑥+1)

= lim𝑥→−1+

(𝑥−2)√𝑥+5

= 0

En *

∴ 𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟏

𝒙𝟐 √𝒙+𝟐𝟑 −�|𝒙+𝟓|−𝒙

��𝒙𝟐+𝟔𝒙+𝟓�= 𝟎 − 𝟎 − 𝟎 = 𝟎 Rpta

16. Calcular.

Hallar la derivada de:

𝒇(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝟑(�𝟏 − 𝒙)𝟑

Resolución



32

𝜃 =(√1 − 𝑥3 )

𝑓´(𝑥) = 3𝑐𝑜𝑠2𝜃(𝑐𝑜𝑠𝜃) ´

𝑓´(𝑥) = ( 3𝑐𝑜𝑠2𝜃)(−𝜃¨𝑠𝑒𝑛𝜃)

𝑓´(𝑥) = − 3𝑐𝑜𝑠2𝜃. (�1 − 𝑥)3 ´. 𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑓´(𝑥) = −3𝑐𝑜𝑠2𝜃(13

).𝑠𝑒𝑛𝜃

(√1− 𝑥3 )2(−1). 𝑠𝑒𝑛𝜃

∴ 𝒇´(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝟐( √𝟏−𝒙𝟑 ). 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽

( √𝟏−𝒙𝟑 )𝟐 Rpta

17. Sea f una función definida por la regla de

correspondencia

𝒙𝟐+ 𝒙+𝟏 𝒙+𝒂

; 𝒔𝒊 𝒙 < 1

F(x)=

𝒙𝟑 + 𝒃𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟑 ; 𝒔𝒊 𝟏 ≤ 𝒙 ≤𝟑𝟐

F(x) = limℎ→0

𝑓(𝑥𝑜+ℎ)−𝑓(𝑥𝑜)ℎ

Resolución

X0 = 1

(1° ∃ la derivada )



33

𝑓(𝑥)lim𝑥→1

𝑓(𝑥) − 𝑓(1)𝑥 − 1

∗ 𝑓(𝑥) lim𝑥→1+

𝑓(𝑥3 + 𝑏𝑥2 − 5𝑥 + 3) − 𝑓(1 + 𝑏 − 2)𝑥 − 1

X > 1

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1+

𝑥3 + 𝑏𝑥2 − 5𝑥 + 3 − 𝑏 + 1𝑥 − 1


𝑥3 + 𝑏𝑥2 5𝑥 + 4 − 𝑏𝑥 − 1


(𝑥−1)�𝑥2+(𝑏+1)𝑥+(𝑏−4)�𝑥−1

⟹ 1 + b + 1 + b - 4 = 2b – 2 ………………………(1)

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→1−

𝑥2+𝑥+1𝑥+𝑎

− 3𝑎+1

𝑥 − 1

X < 1

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1−

(𝑎 + 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1) − 3(𝑥 + 𝑎)(𝑥 − 1)(𝑥 + 𝑎)(𝑎 + 1)

1 b -5 4 - b

1 b + 1 b - 4

1 b + 1 b - 4 0

1



34


(𝑎 + 1)𝑥2 + (𝑎 + 1)𝑥 + (𝑎 + 1) − 3𝑥 − 3𝑎(𝑥 − 1)(𝑥 + 𝑎)(𝑎 + 1)


(𝑎 + 1)𝑥2 + (𝑎 − 2)𝑥 + (1 − 2𝑎)(𝑥 − 1)(𝑥 + 𝑎)(𝑎 + 1)


(𝑥−1)[(𝑎+1)𝑥+(2𝑎−1)](𝑥−1)(𝑥+𝑎)(𝑎+1)

⇒ 𝑎+1+2𝑎−1𝑎+1

= 3𝑎𝑎+1

……………………..(2)

2° tiene que ser continua

• f(1) =1+b-5+3 = b-1

• 𝑓(𝑥) = lim𝑥→1+

𝑥3 + 𝑏𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 1 + 𝑏 − 2 = 𝑏 − 1

• 𝑓(𝑥) = lim𝑥→1+

𝑥2+𝑥+1𝑥+𝑎

= 3𝑎+1

(𝟏) = (𝟐)

2b – 2 = 3

𝑎+1⇒ 2(b - 1)(a + 1) = 3a

2(ab + b – a + 1) = 3a

2ab + 2b - 2a + 1 = 3a

2ab + 2b + 1 = 5a ……………………….(𝛼)

a + 1 a - 2 1-2a

a + 1 2a - 1

a + 1 2a - 1 0

1

=



35

( 3 ) =( 4 )

b-1 = 3𝑎+1

⟹ (b - 1)(a + 1) = 3

ab + b - a - 1 = 3

ab + b – a = 4

ab + b = 4 + a

2ab +2b = 8 +2a ………………………(𝛽

𝛃 en 𝛂

(8 + 2a) + 1 = 5a

9 = 3a

a = 3 Rpta

6b +2b=8+6

8b = 14

b = 𝟕𝟒 Rpta



36

18. Calcular

𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒙 + 𝑪 ; 𝒔𝒊 − 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏

F(x)=

𝟏 − 𝒙𝟐

𝟏 + 𝒙𝟐 ; 𝒔𝒊 𝒙 > 1 ∨ 𝑥 < −1

Hallar f”(x) suponiendo que f´(x) existe sobre el

dominio de f(x)

Resolución

Para x0 = -1

∗ 𝑓′_(−1) = lim𝑥→−1

𝑓(𝑥) − 𝑓(−1)𝑥 + 1

= lim𝑥→−1+

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 − (𝐴 − 𝐵 + 𝐶)𝑥 + 1

lim𝑥→−1+

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 − 𝐴 + 𝐵 − 𝐶)𝑥 + 1

lim𝑥→−1+

𝐴(𝑥2 − 1) + 𝐵(𝑥 + 1)𝑥 + 1

lim𝑥→−1+

𝐴(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 + 1)𝑥 + 1

lim𝑥→−1+

𝐴(𝑥 − 1) + 𝐵1

= 𝐴(−1 − 1) + 𝐵 = 𝐵 − 2𝐴

𝑓+` (−1) =𝐵 − 2𝐴

∗ 𝑓(−1) lim𝑥→−1−

𝑓(𝑥) − 𝑓(−1)𝑥 + 1

= lim𝑥→−1

1−𝑥2 −01+𝑥2

𝑥 + 1



37

lim𝑥→−1−

1 − 𝑥2

(1 + 𝑥2)(𝑥 + 1)= lim

𝑥→−1−−(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(1 + 𝑥2)(𝑥 + 1)

=−(−1 − 1)

1 + 1=

22

= 1

𝑓(−1) = 1

𝑓′+(−1) = 𝑓′_(−1)

B – 2A = 1 ……………….(1)

Para x0 = 1

∗ 𝑓′+(−1) lim𝑥→−1+

𝑓(𝑥) − 𝑓(−1)𝑥 + 1

= lim𝑥→−1+

1−𝑥2 −01+𝑥2

𝑥 − 1

lim𝑥→−1−

−(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(1 + 𝑥2)(𝑥 − 1)

=−22

= −1

𝑓′+(1) = −1

∗ 𝑓′_(1) = lim𝑥→1−

𝑓(𝑥) − 𝑓(−1)𝑥 − 1

= lim𝑥→1−

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 − (𝐴 + 𝐵 + 𝐶)𝑥 − 1

lim𝑥→1−

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 − 𝐴 − 𝐵 − 𝐶)𝑥 − 1

lim𝑥→1−

𝐴(𝑥2 − 1)𝐵(𝑥 − 1)𝑥 − 1

lim𝑥→1−

𝐴(𝑥 + 1)(𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 − 1)𝑥 − 1

lim𝑥→1−

𝐴(𝑥 + 1) + 𝐵1

𝑓′_(1) = 2𝐴 + 𝐵

B +2A = -1 ……………….(2)

DE (1) Y (2) se tiene:

B= 0 y A = -1/2 Rpta



38

19. Si:

33 2(2 1) 2 6 16 ; ( 3); 3 3f x x x y f x u x+ = + − = + = +¢

Halle: dydu en 2x =

Se pide

Resolución

dydu

Pero: dy dy dxdu dx du

= ⋅ ………………………….. (1)

Calculando la derivada: dydx

De: 3( 3)y f x= + Sea: 3 2( ) 3 ( ) 3 0xg x x g x x D x= + ⇒ = ⋅ +¢

2 ( ) 3 3x

g x x x xx

⇒ = ⋅ =¢

Luego: ( ( )) ( ( )) ( )dy

y f g x f g x g xdx

= ⇒ = ⋅¢ ¢ ………… (2)

Por otro lado como 2

3 2 3 4 37(2 1) 2 6 16 ( )

2x x

f x x x f x+ −

+ = + − ⇒ =¢ ¢

Entonces: ( ) ( )23 3 6 3 33 3

3 4 3 37 6 9 4 12 37( ( ))

2 2

x x x x xf g x

+ + + − + + + + −= =¢

6 33 10 16

( ( ))2

x xf g x

+ −⇒ =¢

Reemplazando en (2): 6 3

3 10 163

2x xdy

x xdx

+ −= ⋅ ……………..… (3)

Calculando la derivada: dxdu



39

De 2 3 2 2 3 3

3 3 3 3 3

u dx u xu x x

du− +

= + ⇒ = ⇒ = = ……………… (4)

(3) y (4) en (1):

6 33 10 16 2 3 3

32 3

x xdy xx x

du+ − +

= ⋅ ⋅

Finalmente, evaluando para x=2:

6 33 2 10 2 16 2 3 2 3

3 2 22 3

dydu

+ ⋅ − ⋅ += ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∴ 𝒅𝒚𝒅𝒖

= 𝟗𝟔 Rpta

20. Usando la definición de límite, probar que:

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟎

𝒙𝟐𝒔𝒆𝒏�𝒚𝒙�

�𝒙 + 𝟏𝟐� (𝟐 + 𝒔𝒆𝒏𝒙)

= 𝟎

lim𝑥 →𝑜

𝑥2 𝑠𝑒𝑛 (1/2)(𝑥+1/2 ) (2+𝑠𝑒𝑛 𝑥)

= 0 ↔ ∀∈> 0,∃ 𝑓 > 0/𝑥 𝜖 𝐷𝑓, 0 < (𝑥 − 𝑜) < ∝

Resolución

𝑥2𝑠𝑒𝑛 (1/𝑥)

(𝑥 +1/2) (2+𝑠𝑒𝑛𝑥) – 0 /< 𝜖

i) |𝑥|2|𝑠𝑒𝑛(1/𝑥)||𝑥+1/2||2+𝑠𝑒𝑛 𝑥|

< 𝜖

ii) ʆ1 = 12�12− 0�

ʆ1 = 14

… 𝜶 en i) lo reemplazamos:

1, 2, 3



40

En 𝜶 tenemos:

iii) |𝑥| < 14

|𝑥|2|𝑠𝑒𝑛(1/𝑥)||𝑥+1/2||2+𝑠𝑒𝑛 𝑥|

< 𝜖

−14

< 𝑥 <14

14

< 𝑥 + 12

< 34

|𝑥|2 . 1𝑠𝑒𝑛 (1/𝑥)1 . 1

. � 1𝑥+ 12

� . . � 12+𝑠𝑒𝑛𝑥

� < 𝜖

4 >1

𝑥 + 12

>43

1𝑥+ 12

< 4 … (1) (𝑥)2. 1.4.1 < 𝜖

𝑥2. 4 < 𝜖

• Sabemos /sen 𝜃< 1

→ �𝑠𝑒𝑛 1𝑥�< 1 ….. (2) 𝑥 = √𝜖

2

→ |𝑠𝑒𝑛 𝑥 |< 1

-1 <sen x < 1

1 <sen x + 2 < 3

� 1𝑠𝑒𝑛 𝑥+2

� < 1 ….. (3)

∴ ʆ = 𝒎𝒊𝒏 �𝟏𝟒

, √𝝐𝟐� Rpta



41

21. Para que valores de a y b se cumple:

𝒍𝒊𝒎𝒙→−∞

��𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟏 − 𝒂𝒙 − 𝒃� = 𝟎

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞

��𝑥2 − 𝑥 − 1 − (𝑎𝑥 − 𝑏� = 0

Resolución


�√𝑥2−𝑥−1 −(𝑎𝑥+𝑏) (√𝑥2−𝑥−1+(𝑎𝑥+𝑏�√𝑥2−𝑥−1 +(𝑎𝑥+𝑏)

= 0


𝑥2 − 𝑥 − 1 − (𝑎𝑥 + 𝑏)2

√𝑥2 − 𝑥 − 1 + (𝑎𝑥 + 𝑏)= 0


𝑥2 − 𝑥 − 1 − 𝑎2𝑥2 − 2𝑎𝑏𝑥 − 𝑏2

√𝑥2 − 𝑥 − 1 + (𝑎𝑥 + 𝑏)= 0


𝑥2(1 − 𝑎2) − 𝑥(1 + 2𝑎𝑏) − (1 + 𝑏2)

|𝑥|�1 −1

𝑥−

1

𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏= 0

x< 0


𝑥2(1 − 𝑎2) − 𝑥(1 + 2𝑎𝑏) − (1 + 𝑏2)

−𝑥�1 −1

𝑥−

1

𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏= 0

Para que el = 𝒍𝒊𝒎𝒙→−∞

𝑓(𝑥) = 0, el exponente deben ser igual del denominador

con el numerador, entonces tenemos:



42

1 − 𝑎2 = 0

𝑎 = ±1

⟹ 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞

[−𝑥(1 + 2𝑎𝑏) − (𝑏2 + 1)]

−𝑥�1 −1

𝑥−

1

𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏

⟹ 1 + 2𝑎𝑏 = 0, 𝑎 ≠ −1

1 + 2(1)𝑏 = 0

∴ 𝒂 = 𝟏 ∧ 𝒃 = −𝟏𝟐

Rpta

22. Calcule el 𝒍𝒊𝒎𝒙→+∞

𝒔𝒆𝒏√𝒙+ 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏√𝒙

Resolución

Transformando la diferencia de senos a producto. Se tiene:

𝑠𝑒𝑛√𝑥 + 1 −𝑠𝑒𝑛√𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 �√𝑥+1 + √𝑥2

� 𝑠𝑒𝑛 �√𝑥+1 + √𝑥2

�

�𝑠𝑒𝑛√𝑥 + 1 − 𝑠𝑒𝑛 √𝑥 � = 2 �𝑠𝑒𝑛 (𝑥+1− √𝑥2

)� . �𝑐𝑜𝑠 (𝑥+1− √𝑥2

)�

Pero |cos 𝑥| ≤ 1 → 0 < �𝑠𝑒𝑛√𝑥 + 1 − √𝑥� = 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞

� 1𝑥+1− √𝑥

� = 0



43

𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞

�√𝑥+1− √𝑥2

� = 0


�𝑠𝑒𝑛 �√𝑥+1−√𝑥2

�� = 0 ….. (2)

De (1) y (2), por el teorema de “Sándwich” se sigue que: 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞

�𝑠𝑒𝑛 √𝑥 + 1 − √𝑠𝑒𝑛√𝑥�

∴ 𝒍𝒊𝒎𝒙→+∞

�𝒔𝒆𝒏 √𝒙 + 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏√𝒙� = 𝟎 Rpta

23. Calcule los valores de “a”. Si:

𝒍𝒊𝒎𝒙→𝒂

�𝒙𝟑−𝒂𝟑�−�𝒙𝟐−𝒂𝟐�|𝒙−𝒂| = 𝟐𝟓

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

�|𝑥 − 𝑎|𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2 − |𝑥 − 𝑎||𝑥 + 𝑎|

|𝑥 − 𝑎| � = 25

Resolución


(|𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2| − |𝑥 + 𝑎|) = 25

Sabemos 𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2 ≥ 0

Si 𝑥 + 𝑎 ≥ 0



44


𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2 − (𝑥 + 𝑎) = 25


𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2 − 𝑥 − 𝑎 = 25

Reemplazando: 𝑎2 + 𝑎 .𝑎 + 𝑎2 − 𝑎 − 𝑎 = 25 3𝑎2 − 2𝑎 − 25 = 0

∴ 𝒂 = 𝟏±𝟐√𝟏𝟗𝟑

Rpta

𝑆𝑖 𝑎 + 𝑥 < 0 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑎

𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑎2 + 𝑥 + 𝑎 = 25

Reemplazando: 𝑎2 + 𝑎 .𝑎 + 𝑎2 + 𝑎 + 𝑎 = 25 3𝑎2 + 2𝑎 − 25 = 0

∴ 𝒂 = −𝟏 ±𝟐 √𝟏𝟗𝟑

Rpta

24. Usando asíntotas Esbozar la gráfica

𝟑𝒙𝟑 + 𝟑𝒙 + 𝟓𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟔 + �𝒙𝟐 + 𝟒 ; 𝒙 > −1

𝑭(𝒙) =

−𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 + 𝟏𝒙𝟐 + 𝟏 + �𝒙𝟐 + 𝟗, 𝒙 < −1



45

Resolución

Asintota vertical (derecha)

𝑙𝑖𝑚𝑥→−1+

𝑥3+3𝑥+5

𝑥2−𝑥+6 + √𝑥2 + 4 =

3(−1)−3+5

1+1 +6 + √1 + 4 =

1

8+ √5 = ∄ 𝐴. 𝑉. (𝐷𝐸𝑅𝐸𝐶𝐻𝐴)

Asintota Vertical (izquierda)

𝑙𝑖𝑚𝑥→−1−

−𝑥3+𝑥2+1

𝑥2+1+ √𝑥2 + 9 =

−(−1)+1+1

1+1 +6 + √1 + 9 =

3

2+ √10 = ∄ 𝐴. 𝑉. (𝐼𝑍𝑄𝑈𝐼𝐸𝑅𝐷𝐴)

Asintota Horizontal (Derecha)


𝑥3+3𝑥+5

𝑥2−𝑥+6 + √𝑥2 + 4 = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→+∞

𝑥3+3𝑥+5

𝑥2−𝑥+6 − 3𝑥 + √𝑥2 + 4 + 3𝑥


3𝑥2 − 15𝑥 + 5

𝑥2 − 𝑥 + 6 + �𝑥2 + 4 + 3𝑥 = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→+∞

3 − 15

𝑥+

5

𝑥2

1 − 1

𝑥+

6

𝑥2

+ 𝑥�3𝑥�1 +4

𝑥2� + ∞

∄ 𝐴.𝐻. (DERECHA) Asintota Horizontal

𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞

𝑥3 + 𝑥2 + 1

𝑥2 + 1 + �𝑥2 + 9 = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→−∞

−𝑥3 + 𝑥2 + 1

𝑥2 + 1 + 𝑥 + �𝑥2 + 9 − 𝑥

𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞

𝑥2 + 𝑥 + 1

𝑥2 + 1 + �𝑥2 + 9 − 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→−∞

1 + 1

𝑥+

1

𝑥2

1 + +1

𝑥2

+9

𝑥 ��1 +9

𝑥2 + 1�𝑥 + ∞

= 1 + 9

2 (∞)= 1 + 0 = 1

∄ 𝐴.𝐻. (IZQUIERDA)



46

ASINTOTA OBLICUA – DERECHA ( y = mx+ b )

𝑚 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞

�3𝑥3 + 3𝑥 + 5𝑥2 − 𝑥 + 6

+ �𝑥2 + 4� = 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞

�3𝑥2 + 3𝑥 + 5 𝑥�𝑥2 − 𝑥 + 6

+ √𝑥2 + 4

𝑥�

𝑚 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞

⎣⎢⎢⎡3 + 3

𝑥2+ 5

𝑥3

1 − 1𝑥

+ 6𝑥2

+ �1 + 4 𝑥�

𝑥⎦⎥⎥⎤

⟹𝒎 = 𝟒

𝑏 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞

�3𝑥3 + 3𝑥 + 5𝑥2 − 𝑥 + 6

+ �𝑥2 + 4 − 4x� = 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞

�3𝑥3 + 3𝑥 + 5𝑥2 − 𝑥 + 6

− 3x + �𝑥2 + 4 − x�

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞

�3𝑥3 + 3𝑥 + 5 − 3𝑥3 + 3𝑥2 − 18𝑥

𝑥2 − 𝑥 + 6 + �𝑥2 + 4 − 𝑥�


�3𝑥2 − 15 + 5𝑥2 − 𝑥 + 6

+ 4

√𝑥2 + 4 + 𝑥�


⎣⎢⎢⎡3 − 15

𝑥+ 5

𝑥2

1 − 1𝑥

+ 6𝑥2

+ 4

x�1 + 4𝑥2

+ 1𝑥⎦⎥⎥⎤

= 3 + 0 = 3

⟹𝒃 = 𝟑 ∴ 𝒚 = 𝟒𝒙 + 𝟑 𝑨.𝑶 𝑫𝑬𝑹𝑬𝑪𝑯𝑨



47

ASINTOTA OBLICUA –IZQUIERDA ( y=mx+b )

𝒎 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞1𝑥 �−𝑥3 + 𝑥2 + 1

𝑥2 + 1 + �𝑥2 + 9� = 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞�

−𝑥2 + 𝑥+ 1 𝑥�𝑥2 + 1

+ �𝑥2 + 9

𝑥 �


�−1+ 1𝑥+

1𝑥3

1+ 1𝑥2

+ −𝑥 �1+ 9 𝑥�

𝑥� = −1 − 1 = −2

⇒ 𝒎 = −𝟐

𝑏 = 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞

�−𝑥3 + 𝑥2 + 1

𝑥2 + 1 + �𝑥2 + 9 + 2x� = �

−𝑥3 + 𝑥2 + 1𝑥2 + 1

+ x + �𝑥2 + 9 + x �


�−𝑥3 + 𝑥2 + 1 + 𝑥3 + 𝑥

𝑥2 + 1 + �𝑥2 + 9 + x� = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→−∞�−𝑥2 + 𝑥 + 1𝑥2 + 1

+ �𝑥2 + 9 + x �


�+1+1

𝑥 +1𝑥2

1 + 1𝑥2

+ x �1 + 9𝑥

+ 𝑥� = 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞

�1 + 𝑥 �1 + 9𝑥

+ 1� = 1 −∞ = −∞

∄ 𝐴.𝑂. (IZQUIERDA)



48

25. Hallar:

a) Sea la función f definida por:

𝒇(𝒙) = �𝒙𝟐−𝒂�−𝟏|𝒙|−𝒃

, 𝒄𝒐𝒏 𝒂 > 𝑏 > 0

Analice la continuidad, indique los tipos

b) Halle los enteros positivos que son extremos

superiores e inferiores para:

𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 − 𝟏

Resolución

a) 𝑓(𝑥) = �𝑥2−𝑎�−1|𝑥|−𝑏

,𝑎 > 𝑏 > 0

f(x) =

Analizando la continuidad

𝑓(𝑏) ∄

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑏+𝑥>𝑏

�𝑥2−𝑎�−1|𝑥|−𝑏

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑏+

−�𝑥2−𝑎�−1𝑥−𝑏

= −𝑏2+𝑎−1𝑏−𝑏

= +∞

𝑥 > 𝑏 ⟹ 𝑥2 > 𝑏2 ⟹ 𝑥2 − 𝑎 > 𝑏2 − 𝑎 ⟹ |𝑥2 − 𝑎| = −(𝑥2 − 𝑎)

�𝑥2−𝑎�−1𝑥−𝑏

, 𝑥 > 𝑏 �𝑥2−𝑎�−1−𝑥−𝑏

, 𝑥 < 𝑏



49

𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑏−

�𝑥2−𝑎�−1−𝑥−𝑏

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑏−

−(𝑥2−𝑎)−1−𝑥−𝑏

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑏−

−𝑥2+𝑎−1−𝑥−𝑏

= −𝑏2+𝑎−1−2𝑏

𝑥 > 𝑏 ⟹ 𝑥2 > 𝑏2 ⟹ 𝑥2 − 𝑎 > 𝑏2 − 𝑎 ⟹ |𝑥2 − 𝑎| = −(𝑥2 − 𝑎)

⟹ 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑏+

𝑓(𝑥) ≠ 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑏−

𝑓(𝑥)

⟹ 𝑓(𝑏) ≠ 𝑙𝑖𝑚𝑥→𝑏

𝑓(𝑥)

⟹ 𝑓 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑏 ∴ 𝒇 𝒆𝒔 𝑫𝒊𝒔𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂 𝑰𝒏𝒆𝒗𝒊𝒕𝒂𝒃𝒍𝒆

b) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 − 𝟏

𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 3 = 0

= 3(𝑥2 − 1) = 0

= 3(𝑥 − 1)(𝑥 − 1) = 0

⟹ 𝑥 = 1 , 𝑥 = −1 (𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠)

Max Min

x< -1

𝑓′>0

f creciente

-1 < x < 1

𝑓′< 0

f decreciente

x > 1

𝑓′> 0

f creciente

-1 -1



50

𝒇(−𝟏) = 𝟏 ⟹ (−𝟏,𝟏) puntos críticos

𝒇(𝟏) = −𝟑⟹ (𝟏,𝟑)

26. Sea la función f definida por:

𝟑− √𝟐𝒙+𝟏𝟓𝟑

𝒂� √𝒙+𝟐𝟑 − 𝟐� ,𝒙 < 6

𝑓(𝑥) = 𝒂𝒃 , 𝒙 = 𝟔

�𝒙𝟐−𝟑𝟓−𝟏

𝒙−𝒄,𝒙 > 𝟔

Hallar a, b y c de modo que f sea continua en todos

los ℝ , si c es natural.



51

Resolución

Hallemos la continuidad en x = 6

i) 𝑓(6) = 𝑎𝑏 ………….. (1)

ii)

𝑙𝑖𝑚𝑥→6+𝑥>6

√𝑥2 − 35 − 1𝑏(𝑥 − 𝑐) .

√𝑥2 − 35 − 1√𝑥2 − 35 − 1

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→6+𝑥>6

𝑥2 − 35 − 1

𝑏(𝑥 − 𝑐)(√𝑥2 − 35 − 1)

𝑙𝑖𝑚𝑥→6+

(𝑥 + 6) (𝑥 − 6)

𝑏(𝑥 − 𝑐) (√𝑥2 − 35 − 1)

Para poder cancelar la indeterminada necesariamente “c” tiene que ser 6 =>


(𝑥 + 6) (𝑥 − 6)𝑏(𝑥 − 6) (√𝑥2 − 35 + 1)

=6 + 6

𝑏(1 − 1) =122𝑏 =

6𝑏

𝑙𝑖𝑚𝑥→6−𝑥<6

(3 − √2𝑥 + 153 )𝑎√𝑥 + 23 − 2

𝑙𝑖𝑚𝑥→6−

−2(𝑥−6)9+3 √2𝑥+153 + �(2𝑥+15)23

𝑥−6�(𝑥+2)23 +2 √𝑥+23 +4


−2(�(𝑥 + 2)23 + 2 √𝑥 + 23 + 4)

9 + 3 √2𝑥 + 153 + 2 �(2𝑥 + 15)23=

1𝑎

.−2(12)

27=−89𝑎

C = 6



52


𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→6−

𝑓(𝑥)

6𝑏

=−89𝑎

𝑏 = −27𝑎4

………… (2)

iii) 𝑓(6) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→6

𝑎𝑏 = 6𝑏 𝑙𝑖𝑚

𝑥→6+ 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚

𝑥→6−𝑓(𝑥)

ab2 = 6

𝑎 �−27𝑎4�2

= 36 ……………(de (2) )

𝑎3. 272

16 = 6

𝑎3 = 96729

∴ 𝒂 = 𝟐 √𝟏𝟐𝟑

𝟗 , 𝒃 = −𝟑 √𝟏𝟐𝟑

𝟐 , 𝒄 = 𝟔 Rpta

27. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva

𝒙𝟐𝒚𝟐 = (𝒚 + 𝟏)𝟐(𝟒 − 𝒚𝟐) 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 (𝟎,−𝟐)



53

𝑦′ = 2(𝑦+1)�4−𝑦2�−(2𝑥𝑦2)2𝑥𝑦+2𝑦 (𝑦+1)2

Resolución

(𝑥2 − 𝑦2)′ = [(𝑦 + 1)2(4 − 𝑦2)]′

2𝑥𝑦2 + 𝑥2(2𝑦)𝑦′ = 2(𝑦 + 1)(4 − 𝑦2) + [(𝑦 + 1)2(−2𝑦 − 𝑦′)]

2𝑥𝑦2 + 2𝑥2𝑦𝑦′ = 2(𝑦 + 1)(4 − 𝑦2) − 2𝑦(𝑦 + 1)2𝑦′

2𝑥2𝑦𝑦′ + 2𝑦(𝑦 + 1)2𝑦′ = 2(𝑦 + 1)(4 − 𝑦2) − 2𝑥𝑦2

𝑦′(2𝑥𝑦 + 2𝑦(𝑦 + 1)2) = 2(𝑦 + 1)(4 − 𝑦2) − 2𝑥𝑦2

𝑦′(0,−2) =2(−2 + 1)[4 − (−2)]− [0(−(−2)2]

2 [0 (−2)] + 2(−2) (−2 + 1)2

𝑦′(0,−2) = 0 // eje x

∴ 𝒚 + 𝟐 = 𝟎 Rpta

28. Un tenedor de alambre trepa a un poste telefónico a

razón de 2,5 pies/seg., mientras su jefe está sentado a

la sombra de un árbol está observándolo. Si el terreno

está lleno y el jefe está a 36 pies de la base del poste

¿cuántos segundos tiene que trepar el tendedor para que

su distancia entre él y su jefe crezca a razón de un

pie/seg.



54

1=36 + t

Resolución

Sabemos que:

1 = 36 + 𝑡 ℎ = 2.5𝑡

𝑑𝑙𝑑𝑡

= 1 p/s 𝑑ℎ𝑑𝑡

= 2.5 p/s

De la figura : 1 = √362 + ℎ2

𝑑𝑙𝑑𝑡 =

12

(362 + ℎ2)−12. (2ℎ).ℎ9

𝑑𝑙𝑑𝑡 =

ℎ√362 + ℎ2

.𝑑ℎ𝑑𝑡

2√362 + ℎ2 = 5ℎ

4(362 + ℎ2) = 25ℎ2



55

722 = 21ℎ2 𝑐𝑜𝑚𝑜 ℎ = 2.5𝑡2

4(72)2

25(21)= 𝑡2

∴ 𝒕 = 𝟒𝟖√𝟐𝟏𝟑𝟓

Rpta

29. 𝑺𝒊 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙+ 𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙

Hallar la n-ésima derivada de y.

𝑦′ = 21−1𝑠𝑒𝑛 �2𝑥 + (1− 1)𝜋2� + 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥 �𝑠𝑒𝑛 �𝑥 + 1

𝜋

2��

𝑦′′ = 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥

Resolución

𝑦′ = 2𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑦′′ = 22−1𝑠𝑒𝑛 �2𝑥 + (2 − 1) 𝜋2� + 2𝑠𝑒𝑛 �𝑥 + (2 − 1) 𝜋

2� + 𝑥 �𝑠𝑒𝑛 �𝑥 + 2 𝜋

2��

𝑦′′′ = −4𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛𝑥 − (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥) = −4𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑦′′′ = 23−1𝑠𝑒𝑛 �2𝑥 + (3 − 1) 𝜋2� + 3𝑠𝑒𝑛𝑥 �𝑥 + (3 − 1) 𝜋

2� + 𝑥 �𝑠𝑒𝑛 �𝑥 + 3 𝜋

2��



56

𝑦𝑖𝑣 = −8𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 4𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑦𝑖𝑣 = 24−1𝑠𝑒𝑛 �2𝑥 + (4 − 1) 𝜋2� + 4𝑠𝑒𝑛 �𝑥 + (4 − 1) 𝜋

2� + 𝑥 �𝑠𝑒𝑛 �𝑥 + 4 𝜋

2��

𝑦𝑣 = 16𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 4𝑠𝑒𝑛𝑥 + (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥) = 8𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 5𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑦𝑣 = 25−1𝑠𝑒𝑛 �2𝑥 + (5− 1) 𝜋2� + 5𝑠𝑒𝑛 �𝑥 + (5 − 1) 𝜋

2� + 𝑥 �𝑠𝑒𝑛 �𝑥 + 5 𝜋

2��

Generalizando

𝒚𝒏 = 𝟐𝒏−𝟏𝒔𝒆𝒏 �𝟐𝒙+ (𝐧 − 𝟏) 𝝅𝟐� + 𝒏𝒔𝒆𝒏 �𝒙 + (𝒏 − 𝟏) 𝝅

𝟐� + 𝒙 �𝒔𝒆𝒏�𝒙 + 𝒏𝝅

𝟐��

Rpta

La función F definida por

𝑭(𝒙) = 𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝒂𝒙𝟑+𝒃𝒙𝟐−𝟏𝟒𝒙

Posee una discontinuidad evitable en x=2 para ciertos valores de a y b

Halle los valores de A y B analizar la discontinuidad.

Analizando la discontinuidad evitable

Ejemplo:

i) 𝑓(2) = 4−4+𝑎(8+4𝑏−28)

= 𝑎96−20

i) ∃ F(x) f (no necesariamente)

ii) ∃ lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥)

iii) Lim f(x) lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑥)



57

ii) 𝑙𝑖𝑚𝑥→2±

4−4+𝑎(8+4𝑏−28)

= 𝑎96−20

iii) f(x) 𝑙𝑖𝑚𝑥→2±

esto no se puede dar porque sería continua en

por ello el f(x)

x =2

NO DEBE EXISTIR

.

Para hallar los valores de A y B asimismo que exista, y es

denominado, y es continua en x = 2, pero los valores serán

opuestos.

𝑥3 + 𝑏𝑥2 − 14𝑥 ≠ 0

f(x) = 𝑋2− 2𝑋+𝑎

𝑥3+ 𝑏𝑥2−14𝑥

x (𝑥2 + 𝑏𝑥 − 14) ≠14 , 2

2(2+b) ≠14

b ≠5

∴ b = 5

𝑎 ∈ 𝐼𝐼

Para:

𝑥2 − 2𝑥 + 𝑎, existe ∀ a ∉ ℝ ∴a ∉ ℝ

a = k√−1



58

30. La función 𝒇(𝒙) = �𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒑𝒙

Tiene un asíntota oblicua, ¿Para qué valores de P?

Resolución

Para poseer asíntota oblicua debe cumplir: Para el problema:

i) 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞+

�1+𝑥2+𝑝𝑥𝑥

=1𝑥1� 1

𝑥2+𝑥2+𝑝𝑥

𝑥= � 1

𝑥2+ 1 + 𝑝

𝑥= 1

ii) 𝑙𝑖𝑚

𝑥→∞��1 + 𝑥2 + 𝑝𝑥 − 1x � = 1+𝑝𝑥

�√1+𝑥2+ 𝑃𝑥+𝑥�= 1+𝑝𝑥

�|𝑥|� 1𝑥2+1+

𝑝𝑥 +𝑥�

= 1+𝑝𝑥

𝑥 �� 1𝑥2+1+px + 1�

=1𝑥+ 𝑝

� 1𝑥2+1+𝑝𝑥+1

= 𝑝2

La Asintota oblicua es de la forma:

𝑦 = 𝑥 +𝑝2

−𝑦 = −𝑥 −𝑝2

∴ La función f(x) va tener una asíntota oblicua para

cualquier valor de P. Rpta

i) 𝑙𝑖𝑚

𝑥→∞±𝑓(𝑥) = 𝑚 , m ∈ ℝ

ii) 𝑙𝑖𝑚

𝑥→∞±[𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥] = 𝑏 , m ∈ ℝ



59

31. Calcular “y” > 1 �𝒙𝒚

+ �𝒚𝒙

= 𝟒 , (𝒙 ≠ 𝒚)

��𝑥𝑦 + �

𝑦𝑥�

2

= 42

Resolución

𝑥𝑦

+ 2 + 𝑦𝑥 =16

𝑥𝑦

+ 𝑦𝑥

= 14

�𝑥𝑦 +

𝑦𝑥�

′= 0

(𝑥𝑦′ + 𝑦𝑥′)′ = 0

𝑦′ − 𝑥𝑦−2.𝑦′ + 𝑦′𝑥−1

𝑦′(𝑥−1 − 𝑥𝑦2) = 𝑦𝑥−2 − 𝑦−1

𝑦′ = 𝑦𝑥−2−𝑦−1

𝑥−1−𝑥𝑦−2=

𝑦𝑥2

− 1𝑦1𝑥− 𝑥

𝑦2

𝑦′ =𝑦2−𝑥2

𝑥2𝑦𝑦2−𝑥2

𝑥𝑦2

= �𝑦2−𝑥2�(𝑥𝑦2)𝑥2𝑦 (𝑦2−𝑥2)



60

𝑦′ = 𝑦𝑥

𝑦′ = 𝑦𝑥−1

𝑦′′ = 𝑦′𝑥−1 − 𝑦𝑥−2

𝑦′′ = 𝑦′

𝑥− 𝑦

𝑥2

𝑦′′ = 𝑦𝑥

. 1𝑥− 𝑦

𝑥2

𝑦′′ = 𝑦𝑥2− 𝑦

𝑥2

∴ 𝒚′′ = 𝟎 Rpta

32. Determinar el punto de intersección de la recta

L : 2x + y – 5 = 0, con la recta Tangente a la gráfica

de la curva

Resolución

𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 �𝑦𝑥� − 𝐿𝑛�√𝑥2 + 𝑦2� = 0 en el punto Po (1,0)

𝐿: 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑔 �

𝑦𝑥� − 𝐿𝑛 ��𝑥2 + 𝑦2� = 0



61

1ra. Derivada: �𝑦𝑥

1�

1+ �𝑦𝑥�2 −

��𝑥2+ 𝑦2�1

�√𝑥2+ 𝑦2= 0

(𝑦. 𝑥−1)1

1 + 𝑦2

𝑥2

−12

(�𝑥2 + 𝑦2)−1 2�

√𝑥2 + 𝑦2= 0

𝑦′ = 𝑥+𝑦

𝑥−𝑦 ∴ 𝑚𝐿𝑇 = 1+0

1−0= 1

Luego:

𝐸𝑐. 𝐿𝑇 = 𝑦+0𝑥−1

= 1

⟶ 𝐿𝑇 = 𝑦 − 𝑥 + 1 = 0

Se intersecta con 2𝑥 + 𝑦 − 5 = 0

⟶ 𝑥 = 2 , 𝑦 = 1

∴ 𝑷𝒖𝒏𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 (𝟐;𝟏) Rpta



62

33. Analice y clasifique los puntos de discontinuidad de la

función f(x) en su dominio señalando los resultados del

análisis sobre la gráfica de f(x) donde:

𝟐

𝟏 − |𝒙| , 𝒙 < 2

𝒇(𝒙) = 𝟐 −𝟐𝟗 (𝒙 − 𝟑)𝟐, 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟒

𝟒, 𝒙 = 𝟒

𝟒 − 𝒙, 𝒙 > 𝟒

𝑓(2) = 2 − 29

(2 − 3)2 = 2 − 29

(1)2 = 169

Resolución


21−|𝑥|

= 𝑙𝑖𝑚𝑥→2−

21+𝑥

= 21+2

= 23


�2 −2

9 (𝑥 − 3)2� = 2 −

2

9(2 − 3)2 =

169

Punto de discontinuidad inevitable:

𝑓(4) = 4 𝑙𝑖𝑚𝑥→4−

�2− 29 (𝑥− 3)� = 2− 2

9 = 169


(4 − 𝑥) = 4 − 4 = 0

≠ 𝑠

≠ 𝑠



63

34. 𝟏(𝒔𝒆𝒄 𝒙)𝟐

⎝

⎜⎛�[(𝒔𝒆𝒄𝒙)𝟐 − 𝟏]𝟑��𝟏 − � 𝟏

𝒄𝒔𝒄 𝒙�𝟐�𝟒

⎠

⎟⎞𝒅𝒙

Resolución

Reduciendo la función:

I = 1(sec𝑥)2 ��[(sec𝑥)2 − 1]3�[(cos x)2]4� 𝑑𝑥

I = 1(sec𝑥)2 ��[tan x]6(cos x)4� 𝑑𝑥 = 1

(sec𝑥)2(tan x)3(cos𝑥)2𝑑𝑥

I = (tan x)3

(sec 𝑥)4𝑑𝑥

En I:

I = (tan x)3

(sec𝑥)4𝑑𝑥 = (tan x)2

(sec𝑥)5tan 𝑥 sec 𝑥 𝑑𝑥= �(sec x)2

(sec x)5− 1

(sec x)5� tan 𝑥 sec 𝑥 𝑑𝑥

I = [(sec x)−3 − (sec x)−5]𝑑(sec𝑥)

I = (sec x)−3𝑑(sec𝑥) − (sec x)−5𝑑(sec𝑥)=− (sec x)−2

2+ (sec x)−4

4+ ℂ

∴ 𝐈 = − (𝐜𝐨𝐬 𝐱)𝟐

𝟐+ (𝐜𝐨𝐬 𝐱)𝟒

𝟒+ ℂ Rpta



64

35. 𝟏−𝒙+𝟐𝒙𝟐−𝒙𝟑

𝒙�𝒙𝟐+𝟏�𝟐𝒅𝒙

Hallando fracciones:

Resolución

1 − 𝑥 + 2𝑥2 − 𝑥3

𝑥(𝑥2 + 1)2 =𝐴𝑥

+𝐵𝑥 + 𝐶

(𝑥2 + 1) +𝐷𝑥 + 𝐸

(𝑥2 + 1)2

1 − x + 2x2 − x3

x(x2 + 1)2 =A(x4 + 2x2 + 1) + (Bx + C)(x3 + x) + (Dx + E)x

x(x2 + 1)2

−𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 1 = 𝐴𝑥4 + 2𝐴𝑥2 + 𝐴 + 𝐵𝑥4 − 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥3 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑥2 + 𝐸𝑥

0𝑥4 − 1𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 1 = (𝐴 + 𝐵)𝑥4 + 𝐶𝑥3 + (2𝐴 + 𝐵 + 𝐷)𝑥2 + (𝐸 + 𝐶)𝑥 + 𝐴

Igualando coeficientes:

A + B = 0 C = -1 2A + B + D = 2 C + E = -1 A = 1

B = -1 C = -1 D = 1 E = 0 A = 1

Remplazando:

1 − x + 2x2 − x3

x(x2 + 1)2 =1x−

x + 1(x2 + 1) +

x(x2 + 1)2

𝑢 = 𝑥2 + 1

𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑢2

= 𝑥𝑑𝑥



65

Integrando cada fracción: 1 − 𝑥 + 2𝑥2 − 𝑥3

𝑥(𝑥2 + 1)2 𝑑𝑥 = 1𝑥𝑑𝑥 −

𝑥 + 1(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 +

𝑥(𝑥2 + 1)2 𝑑𝑥

1 − 𝑥 + 2𝑥2 − 𝑥3

𝑥(𝑥2 + 1)2 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥𝑥−

𝑑(𝑥2 + 1)(𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 +

𝑑𝑥(𝑥2 + 1) +

12

𝑢−2𝑑𝑢

1 − 𝑥 + 2𝑥2 − 𝑥3

𝑥(𝑥2 + 1)2 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥| −12𝑙𝑛|𝑥2 + 1| − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 +

12𝑢−1

(−1) + ℂ

𝟏−𝒙+𝟐𝒙𝟐−𝒙𝟑

𝒙(𝒙𝟐+𝟏)𝟐𝒅𝒙 = 𝒍𝒏|𝒙| − 𝟏

𝟐𝒍𝒏�𝒙𝟐 + 𝟏� − 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙 − 𝟏

𝟐(𝒙𝟐+𝟏)+ ℂ Rpta

36. 𝒙𝟐−𝟑𝒙+𝟕

�𝒙𝟐−𝟒𝒙+𝟔�𝟐𝒅𝒙

Hallando fracciones:

Resolución

𝑥2 − 3𝑥 + 7(𝑥2 − 4𝑥 + 6)2 =

Ax + B(x2 − 4x + 6)2 +

Cx + D(x2 − 4x + 6)

𝑥2−3𝑥+7(𝑥2−4𝑥+6)2 = (Ax+B)+(Cx+D)�x2−4x+6�

(x2−4x+6)2



66

𝑥2 − 3𝑥 + 7 = 𝐴𝑥 + 𝐵 + 𝐶𝑥3 − 4𝐶𝑥2 + 6𝐶𝑥 + 𝐷𝑥2 − 4𝐷𝑥 + 6𝐷

𝑥2 − 3𝑥 + 7 = 𝐴𝑥 + 𝐵 + 𝐶𝑥3 − 4𝐶𝑥2 + 6𝐶𝑥 + 𝐷𝑥2 − 4𝐷𝑥 + 6𝐷

𝑥2 − 3𝑥 + 7 = 𝐶𝑥3 + 𝑥2(𝐷 − 4𝐶) + (𝐴 + 6𝐶 − 4𝐷)𝑥 + (𝐵 + 6𝐷)

Igualando coeficientes:

C = 0 C = 0

D - 4C = 1 D = 1

A + 6C - 4D = -3 A=1

B + 6D = 7 B = 1

Remplazando:

𝑥2 − 3𝑥 + 7(𝑥2 − 4𝑥 + 6)2 =

x + 1(x2 − 4x + 6)2 +

1(x2 − 4x + 6)

Integrando cada función:

I= 𝑥2−3𝑥+7

(𝑥2−4𝑥+6)2𝑑𝑥

I= �𝑥−2�+3

�𝑥2−4𝑥+6�2𝑑𝑥+ 1

�𝑥2−4𝑥+6�𝑑𝑥

I= �𝑥−2�

�𝑥2−4𝑥+6�2𝑑𝑥+ 3

�𝑥2−4𝑥+6�2𝑑𝑥 + 1

�𝑥2−4𝑥+6�𝑑𝑥

* ** ***



67

En :

12

duu2

= 12

u−2du = − 12

1u

+ ℂ

* En :

3(x2 − 4x + 6)4 𝑑𝑥 = 3

dx

�(x2 − 4x + 6)4= 3

dx

��(x − 2)2 + �√2�2�4

= 3 √2(sec𝜃)2𝑑(𝜃)

��√2tan𝜃�2+2�

2 = 3√24

(sec𝜃)2𝑑(𝜃)[(tan𝜃)2+1]2

= 3√24

(sec 𝜃)2𝑑(𝜃)[sec𝜃]4 = 3√2

4�𝜃2

+ sin2𝜃4� + ℂ

= 𝟑√𝟐𝟖𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 �𝐱−𝟐

√𝟐� + 𝟑

𝟒𝒙−𝟐

��(𝐱−𝟐)𝟐+𝟐�+ ℂ

*

𝑢 = 𝑥2 − 4𝑥 + 6

𝑑𝑢 = (2𝑥 − 4)𝑑𝑥

𝑑𝑢2

= (𝑥 − 2)𝑑𝑥

**

tan𝜃 =𝑥 − 2√2

√2tan𝜃 = 𝑥 − 2

𝑑�√2tan𝜃� = 𝑑(𝑥 − 2)

√2(sec𝜃)2𝑑(𝜃) = 𝑑(𝑥)

Sea:



68

En : 1

(x2−4x+6)𝑑𝑥 = 𝑑𝑥

(x−2)2+�√2�2

= 𝑑𝑢

u2+�√2�2 = 1

√2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑢

√2+ ℂ

= 1√2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥−2

√2+ ℂ

Por último , y en I:

I = − 12(𝑥2−4𝑥+6)

+ 3√28𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �𝐱−𝟐

√𝟐� + 3

4𝑥−2

��(x−2)2+2�+ 1

√2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥−2

√2+ ℂ

I = − 12�𝑥2−4𝑥+6� �

8−3𝑥2� + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑔 �𝑥−2

√2� �3√2

8+ 1

√2� + ℂ

I = 𝟑𝒙−𝟖𝟒�𝒙𝟐−𝟒𝒙+𝟔�

+ 𝟕√𝟐𝟖𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒈 �𝒙−𝟐

√𝟐� + ℂ Rpta

***

𝑢 = 𝑥 − 2

𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

***

*

**

***



69

37. 𝒙𝒆𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙

(𝟏+𝒙𝟐)𝟑𝟐𝒅𝒙

∫𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫𝒗 𝒅𝒖

Resolución

I=∫ 𝑥√1+𝑥2

𝒆𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒙

(1+𝑥2) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥√1+𝑥2

𝑑(𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)

I= 𝑥√1+𝑥2

𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 − ∫ 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥𝑑 � 𝑥√1+𝑥2

�

I = 𝑥√1+𝑥2

𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 − ∫𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 1

(1+𝑥2)32𝑑𝑥

En L:

L= ∫ 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥

(1+𝑥2)𝑑𝑥

(1+𝑥2)12

= ∫ 1

(1+𝑥2)12𝑑(𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥)

u dv

d �x

√1 + x2� =

𝑑𝑥√1 + 𝑥2 − 𝑑�√1 + 𝑥2�𝑥(1 + 𝑥2)

d �x

√1 + x2� =

𝑑𝑥

(1 + 𝑥2)3

2

L

u dv



70

L= 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥

√1+𝑥2− ∫ 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥𝑑 � 1

(1−𝑥2)12�

L= earctgx

√1+x2+ ∫ earctgx 𝑥

(1−𝑥2)32𝑑𝑥

L= 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥

√1+𝑥2+

En :

I = 𝑥√1+𝑥2

𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥

√1+𝑥2+

𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥

√1+𝑥2(𝑥 − 1)

𝑰 = 𝐞𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠𝐱

𝟐�𝟏+𝐱𝟐(𝐱 − 𝟏) Rpta

d �1

√1 + x2� = −

𝑥

(1 − 𝑥2)32

𝑑𝑥

I

I

I

2I =



71

38. [𝒙𝟐𝒍𝒏𝒙 − 𝒙(𝒍𝒏𝒙)𝟐]𝒅𝒙

Resolución

I=∫ 𝑙𝑛𝑥𝑥2𝑑𝑥 − ∫(𝑙𝑛𝑥)2𝑥𝑑𝑥

En :

= 𝑙𝑛𝑥𝑥3

3 −�𝑥3

31𝑥 𝑑𝑥 =𝑥3𝑙𝑛𝑥

3 − 13�𝑥

2𝑑𝑥

= 𝒙𝟑𝟑 𝒍𝒏𝒙−

𝒙𝟑𝟗 + ℂ

En :

= (𝑙𝑛𝑥)2 𝑥2

2 −∫𝑥2

22𝑙𝑛𝑥𝑥 𝑑𝑥 = (𝑙𝑛𝑥)2 𝑥2

2 − ∫𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥

= 𝑥2

2 (𝑙𝑛𝑥)2 −∫𝑙𝑛𝑥𝑥𝑑𝑥

* **

*

*

**

u = lnx dv = x2dx

du =dxx

v =x3

3

u = (lnx)2 dv = x2dx

du =2lnx

xdx v =

x2

2

L



72

Hallando L:

L= 𝑥2

2 𝑙𝑛𝑥 − ∫ 𝑥2

21𝑥 𝑑𝑥 =

𝑥2

2 𝑙𝑛𝑥 −12∫𝑥𝑑𝑥

L= 𝑥2

2 𝑙𝑛𝑥 −𝑥2

4 + ℂ

=𝑥2

2 (𝑙𝑛𝑥)2 − 𝑥2

2 𝑙𝑛𝑥+ 𝑥2

4 + ℂ

En I:

𝑰 = 𝒙𝟑

𝟑𝒍𝒏𝒙 − 𝒙𝟑

𝟗− 𝒙𝟐

𝟐(𝒍𝒏𝒙)𝟐 + 𝒙𝟐

𝟐𝒍𝒏𝒙 − 𝒙𝟐

𝟒+ ℂ Rpta

39. (𝒔𝒆𝒄𝒙)𝟐

�𝟒−(𝒕𝒂𝒏𝒙)𝟐�𝟑𝟐𝒅𝒙

Resolución

∫(sec𝑥)2

[4−(tan𝑥)2]32𝑑𝑥 = ∫ 1+(𝑡𝑎𝑛𝑥)2

[4−(tan𝑥)2]32𝑑𝑥 … … … … … . ..

u = lnx dv = xdx

du =dxx

v =x2

2

**

*



73

Sea :

Sustituyendo en :

∫ 1+(𝑡𝑎𝑛𝑥)2

�4−(tan𝑥)2�32𝑑𝑥 = ∫

1+4�senθ�2

�4−4(𝑠𝑒𝑛𝑥)2�32

2𝑐𝑜𝑠𝜃

�1+4�senθ�2�𝑑𝑥 = ∫ 2𝑐𝑜𝑠𝜃

2[1−(𝑠𝑒𝑛𝜃)2]32𝑑𝜃

= �𝑐𝑜𝑠𝜃

4[𝑐𝑜𝑠𝜃]3 𝑑𝜃 =1

4�(𝑠𝑒𝑐𝜃)2𝑑𝜃 =

1

4�𝑑(𝑡𝑎𝑛𝜃)

=14 𝑡𝑎𝑛𝜃 + ℂ

∴ ∫(𝒔𝒆𝒄 𝒙)𝟐

[𝟒−(𝒕𝒂𝒏𝒙)𝟐]𝟑𝟐𝒅𝒙 = 𝟏

𝟒𝒕𝒂𝒏𝒙

�𝟒−(𝒕𝒂𝒏𝒙)𝟐+ ℂ Rpta

𝑡𝑎𝑛𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(2𝑠𝑒𝑛 𝜃) = 𝑥

𝑑𝑥 = 11+4(𝑠𝑒𝑛𝜃)2

2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃… … … ………………….... **

**

*

𝜃

2 tanx

�4 − (tan 𝑥)2



74

40. 𝟏

�𝒛𝟐−𝟐𝒛+𝟓�𝟐𝒅𝒛

∫ 1(z2−2z+5)2 𝑑𝑧 = ∫ 1

(z2−2z+1+4)2 𝑑𝑧 = ∫ 1

�(z−1)𝟐+22�2𝑑𝑧………

Resolución

Sea :

En :

∫ 1

�(z−1)𝟐+22�2𝑑𝑧 = ∫ 2(secθ)2

[4(𝑡𝑎𝑛𝜃)2+4]2 𝑑𝜃 = ∫ 2(secθ)2

[4(𝑠𝑒𝑐𝜃)2]2 𝑑𝜃 = 18 ∫

𝑑𝜃(𝑠𝑒𝑐𝜃)2

=18�(𝑐𝑜𝑠𝜃)2 𝑑𝜃 =

18�𝜃2

+𝑠𝑒𝑛2𝜃

4� + ℂ

=𝜃

16 +𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃

16 + ℂ

∫ 1(𝐳𝟐−𝟐𝐳+𝟓)𝟐 𝑑𝑧 =

𝜃

16+

𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃

16+ ℂ

*

𝑧 − 1 = 2𝑡𝑎𝑛𝜃

𝑑𝑧 = 2(𝑠𝑒𝑐𝜃)2𝑑𝜃

*



75

𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑧 − 1

√z2 − 2z + 5

𝑐𝑜𝑠𝜃 =2

√z2 − 2z + 5

�1

(z2 − 2z + 5)2 𝑑𝑧 =1

16𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �𝑧 − 1

2 � +1

16(𝑧 − 1)2

z2 − 2z + 5 + ℂ

∴ ∫ 𝟏

�𝒛𝟐−𝟐𝒛+𝟓�𝟐𝒅𝒛 = 𝟏

𝟏𝟔𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 �𝒛−𝟏

𝟐� + 𝟏

𝟖� 𝒛−𝟏𝒛𝟐−𝟐𝒛+𝟓

� + ℂ Rpta

z − 1 = 2tanθ

tanθ =z − 1

2

𝟐

z - 1

𝜃

�z2 − 2z + 5



76

I.- INTEGRAL DE LA FORMA:

∫(𝑨𝒙+𝑩)𝒅𝒙�𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙+𝒄

41. Calcular la integral: ∫(𝟔−𝒙)𝒅𝒙

�𝟒𝒙𝟐−𝟏𝟐𝒙+𝟕

Resolución

Complementando cuadrados:

4𝑥2 − 12𝑥 + 7 = 4 �𝑥2 − 3𝑥 + 74� = 4 �𝑥2 − 3𝑥 +

94−

94

+ 74� = 4 ��𝑥 −

32�2

−12�

=> 𝐼 = ∫�6−𝑥�𝑑𝑥

�4 ��𝑥− 32�2− 12�

= ∫�6−𝑥�𝑑𝑥

2��𝑥− 32�2− 12�

= 12∫

�6−𝑥�𝑑𝑥

��𝑥− 32�2− 12�

Por Sustitución trigonométrica:

Sea: 𝑥 − 32

= 1√2𝑠𝑒𝑐𝜃 => 𝑑𝑥 = 1

√2𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑔𝜃𝑑𝜃

=> 𝐼 = 12 ∫

�6− 32− 1√2sec𝜃� 1

√2 sec𝜃 tg𝜃 d𝜃

�� 1√2

sec𝜃�2− 12

= 12 ∫ �

�92− 1√2sec𝜃�. 1

√2sec𝜃tg𝜃 d𝜃

1√2

tg𝜃�

= 12 ∫ �

92− 1

√2sec𝜃� 𝑠𝑒𝑐𝜃𝑑𝜃 = 9

4 ∫ sec𝜃 d𝜃 − 12√2

∫ 𝑠𝑒𝑐2 𝜃d𝜃



77

𝐼 =94𝐿𝑛|𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑔𝜃| =

12√2

𝑡𝑔𝜃 + 𝐶1

Como: 𝑥 − 3

2= 1

√2 sec𝜃

𝑠𝑒𝑐𝜃 =𝑥−321√2

=>

=> 𝐼 = 94𝐿𝑛 �√2

2(2𝑥 − 3) + √2 . √4𝑥

2− 12𝑥+74

� − 12√2

.√2 �4𝑥2−12𝑥+74

+ 𝐶1

=> 𝐼 = 94𝐿𝑛 �√2

2(2𝑥 − 3) + √2

2√4𝑥2 − 12𝑥 + 7� − 1

2√2. √2 2�4𝑥2−12𝑥+7

4+ 𝐶1

= 94𝐿𝑛 �√2

2(2𝑥 − 3 + √4𝑥2 − 12𝑥 + 7)� − 1

4√4𝑥2 − 12𝑥 + 7 + 𝐶1

= 94𝐿𝑛 √2

2 + 9

4𝐿𝑛�2𝑥 − 3 + √4𝑥2 − 12𝑥 + 7� − 1

4√4𝑥2 − 12𝑥 + 7 + 𝐶1

∴ 𝑰 = 𝟗𝟒𝑳𝒏�𝟐𝒙 − 𝟑 + √𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟕� − 𝟏

𝟒√𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟕 + 𝑪𝟏

Rpta

𝑥 −32

1√2

��𝑥 −32�

2

− 12



78

II.- INTEGRAL DE LA FORMA

: ∫𝑹 �𝒙 , �𝒂𝒙+𝒃𝒄𝒙+𝒅

𝒏� 𝒅𝒙

42. 𝑰 = ∫ 𝟏𝒙�𝒙−𝟗𝒙+𝟗

dx

Resolución

Sea: 𝑢 = �𝑥−9𝑥+9

=> 𝑥 = 9 (1 + 𝜇2) 1−𝜇2

𝑑𝑥 = 36 𝜇 𝑑𝜇(1−𝜇2)2

=> 𝐼 = ∫ 1−µ2

9 (1+ µ2) .𝑢. 36 µ dµ

(1−µ2)2= ∫ 36 µ dµ

1−µ4

4 µ2

1−µ4= 4 µ2

(1−µ2)(1−µ)( 1+µ )= 𝐴µ+B

1+µ2+ 𝑐

1−𝜇+ 𝐷

1−𝜇

= (𝐴µ+B)�1−µ2� +c �1−µ2�(1+µ)+ D �1+µ2�(1−µ)(1+µ2)(1−µ)(1+µ)

=(−𝐴 + C − D)µ3 + (−𝐵 + 𝐶 + 𝐷)µ2 + (A + C − D)µ + (B + C + D)

(1 + µ2)(1− µ)(1 + µ)

- A + C - D = 0

- B + C + D = 4 => A = 0, B = - 2, C = 1 , D = 1

A + C – D = 0

B + C + D = 0



79

4 𝜇2

1−𝜇4= −2

1+𝜇2+ 1

1−𝜇+ 1

1+𝜇

∫ 4 𝜇2

1−𝜇4𝑑𝑢 = −2∫ 𝑑𝜇

1+𝜇2+ ∫ 𝑑𝜇

1−𝜇+ ∫ 𝑑𝜇

1+𝜇

= −2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑢) − 𝐿𝑛|1 − 𝑢| + 𝐿𝑛|1 + 𝑢|

= −2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(µ) + Ln �d + µ1 − µ

� + c

= −2𝑎𝑟𝑐𝑡�𝑥−9𝑥+9

+ 𝐿𝑛 �1+ �𝑥−9𝑥+9

1− �𝑥−9𝑥+9

� + 𝑐

∴ 𝑰 = −𝟐𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈�𝒙−𝟗𝒙+𝟗

+ 𝑳𝒏 �√𝒙+𝟗 + √𝒙−𝟗 √𝒙+𝟗 – √𝒙−𝟗

� + 𝑪 Rpta

III.- INTEGRAL DE LA FORMA

:

�𝑹 �𝒙,(𝒂𝒙+ 𝒃)𝒄𝒙 + 𝒅

𝒑𝟏/𝒒𝟏,(𝒂𝒙 + 𝒃)𝒄𝒙 + 𝒅

𝒑𝟐/𝒒𝟐…

(𝒂𝒙+ 𝒃)𝒄𝒙 + 𝒅

𝒑𝒌/𝒒𝒌� 𝒅𝒙

43. 𝑰 = ∫ 𝒙− √𝒙−𝟐𝟑

𝒙𝟐− �(𝒙−𝟐)𝟐𝟑 𝒅𝒙

Resolución



80

Sea 𝑥 − 2 = 𝜇3 = > x = 𝑥 = 𝜇3 + 2

= > 𝑑𝑥 = 3𝜇2𝑑𝑢

=>

𝐼 = ∫ (𝜇3+ 2)− 𝜇(𝜇3+ 2)2− 𝜇2

. 3𝑢2𝑑𝑢 = 3∫ 𝜇2(𝜇3− 𝜇+2)(𝜇3+ 2)2− 𝜇2

. du = 3∫ 𝜇5−𝜇3+ 2𝜇2

(𝜇3+ 𝜇+2)− (𝜇3+ 2− 𝜇)𝑑𝑢

= 3∫ 𝜇5−𝜇3+ 2𝜇2

(𝜇+1)(𝜇2−𝜇+2)(𝜇3−𝜇+2)𝑑𝑢 …… (*)

𝜇5−𝜇3+ 2𝜇2

(𝜇+1)(𝜇2−𝜇+2)(𝜇3−𝜇+2)= 𝐴

𝑢+1+ 𝐵𝑢+𝑐

𝜇2−𝜇+2+ 𝐷𝜇2+ 𝐸𝜇+𝐹

𝜇3−𝜇+2

=𝐴(𝜇2 − 𝜇 + 2)(𝜇3 − 𝜇 + 2) + ( 𝐵𝜇 + 𝐶)(𝑢 + 1)(𝜇3 − 𝜇 + 2 ) + (𝐷𝜇2 + 𝐸𝜇 + 𝐹)(𝜇 + 1)(𝜇2 − 𝜇 + 2 )

(𝜇 + 1)(𝜇2 − 𝜇 + 2)(𝜇3 − 𝜇 + 2)

= ( 𝐴+𝐵+𝐷)𝜇5 +�−𝐴+𝐵+𝐶+𝐸) 𝜇4+(𝐴−𝐵+𝐶+𝐷+𝐹�𝜇3+ (3𝐴+𝐵−𝐶+2𝐷+𝐸)𝜇2+(−4𝐴+2𝐵+𝐶+2𝐸+𝐹)𝜇+(4𝐴+2𝐶+2𝐹)

(𝜇+1)(𝜇2−𝜇+2)(𝜇3−𝜇+2)

= > A = ¼ , B = 3/4 , C = -1/2 , D = 0, E = 0, F = 0

= > 𝜇5− 𝜇3+ 2𝜇2

(𝜇+1)(𝜇2−𝜇+2)(𝜇3−𝜇+2) =14

𝜇+1+

34𝜇−

12

𝜇2−𝜇+2+ 0

𝜇3−𝜇+2

- A + C + D = 1

-A + B + C + E = 0

A - B + C + D + F = - 1

3A+B – C + 2D + E = 2

-4A+ 2B + C + 2E + F = 0

4A + 2C + 2F = 0



81

=>∫ 𝜇5− 𝜇3+ 2𝜇2

(𝜇+1)(𝜇2−𝜇+2)(𝜇3−𝜇+2) = 14 ∫

𝑑𝜇𝜇+1

+�34𝜇−

12�

𝜇2−𝜇+2𝑑𝑢… … (∆)

II = ∫34𝜇−

12

𝜇2−𝜇+2𝑑𝑢 = ∫

34𝜇−

12

�𝜇−12�2+74𝑑𝑢

Por Sust. Trigonométrica:

𝜇 − 12

= √74𝑡𝑔𝜃

=>d𝜇 = 𝑑𝑢 = √74𝑠𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃

II = ∫�34�

12+

√72 tg𝜃�−

12�

74𝑆𝑒𝑐

2𝜃. √72𝑆𝑒𝑐2𝜃𝑑𝜃 = ∫ �34 �

12

+ √72

tg𝜃� − 12� 27 √7 𝑑𝜃

= 27 √7∫ �38 + 3√7

8tg𝜃 − 1

2� d𝜃 = 2

7 √7 �38 √7tg𝜃 − 1

8� 𝑑𝜃

= 27 √7 �∫ 3

8√7 tg𝜃d𝜃 − ∫ d𝜃8� = 2

7 √7 �38√7∫ tg𝜃𝑑𝜃 − 1

8 ∫𝑑𝜃�

=27 √7 �3

8 √7 𝐿𝑛|𝑠𝑒𝑐𝜃| − 18𝜃�

Pero: tg𝜃 =𝜇−12√72

= >

=> II = 27√7 �3

8 √7 Ln ��𝜇−12�

2+74

√72

� − 18

arctg �𝜇−12√72

��

II

��𝜇−12� +

74

√72

𝜇 −12

𝜃



82

=> II = 34𝐿𝑛 � 2

√7��𝜇 − 1

2�2

+ 74� − √7

28arctg �2𝜇−1

√7� + 𝐶1

II en (∆)

∫ 𝜇5− 𝜇3+ 2𝜇2

(𝜇+1)(𝜇2−𝜇+2)(𝜇3−𝜇+2) = 14 𝐿𝑛 |𝜇 + 1| + 3

4 Ln � 2

√7��𝜇 − 1

2�2

+ 74� − √7

28 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �2𝜇−1

√7�+ 𝐶1

Remplazar en (*)

=>I=3�14𝐿𝑛 |𝜇 + 1| + 3

4𝐿𝑛 � 2

√7��𝜇 − 1

2�2

+ 74� − √7

28𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �2𝜇−1

√7� + 𝐶1�

=> I=34 Ln|𝜇 + 1| + 9

4𝐿𝑛 � 2

√2��𝜇 − 1

2�2

+ 74� − 3√7

28𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 �2𝜇−1

√7� + 𝐶

Pero: 𝑥 − 2 = 𝜇3 => 𝑢 = √𝑥 − 23

𝑰 = 𝟑𝟒𝑳𝒏�√𝒙 − 𝟐 𝟑 + 𝟏� + 𝟗

𝟒𝑳𝒏 � 𝟐

√𝟕��√𝒙 − 𝟐𝟑 − 𝟏

𝟐�𝟐

+ 𝟕𝟒� − 𝟑√𝟕

𝟐𝟖𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 �𝟐 √𝒙−𝟐 𝟑 −𝟏

√𝟕� + 𝑪

Rpta

IV.- INTEGRALES DE LA FORMA

: ∫ 𝑷𝒏(𝒙)𝒅𝒙�𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄



83

44. 𝑰 = ∫ 𝟐𝒙𝟐− 𝟒𝒙+𝟒�𝟑+𝟐𝒙−𝒙𝟐

𝒅𝒙

Resolución

∫ 2𝑥2−4𝑥+4√3+2𝑥−𝑥2

𝑑𝑥 = (𝐴𝑥 + 𝐵)√3 + 2𝑥 − 𝑥2 + 𝜆 ∫ 𝑑𝑥√3+2𝑥−𝑥2

Derivando: 2𝑥2−4𝑥+4√3+2𝑥−𝑥2

= 𝐴√3 + 2𝑥 − 𝑥2 + (𝐴𝑥+𝐵)(2−2𝑥)2√3+2𝑥−𝑥2

+ λ√3+2𝑥−𝑥2

2𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 𝐴(3 + 2𝑥 − 𝑥2) + (𝐴𝑥 + 𝐵)(1 − 𝑥) + 𝜆

2𝑥2 − 4𝑥 + 4 = (−2𝐴)𝑥2 + (3𝐴 − 𝐵)𝑥 + (3𝐴 + 𝐵 + 𝜆)

−2𝐴 = 2 3𝐴 − 𝐵 = 4 ⟹ 𝐴 = −1, 𝐵 = 1, 𝜆 = 6 3𝐴 + 𝐵 + 𝜆 = 4

∫ 2𝑥2−4𝑥+4√3+2𝑥−𝑥2

= (−𝑥 + 1)√3 + 2𝑥 − 𝑥2 + 6∫ 𝑑𝑥√3+2𝑥−𝑥2

= (−𝑥 + 1)√3 + 2𝑥 − 𝑥2 + 6∫ 𝑑𝑥�4−(𝑥−1)2

∴ 𝑰 = (−𝒙 + 𝟏)√𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝒙𝟐 + 𝟔𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 �𝒙−𝟏𝟐� + 𝒄 Rpta



84

V.- INTEGRALES DE LA FORMA

: ∫ 𝒅𝒙

(𝒙−𝒂)𝒏�𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄

45. 𝑰 = ∫(𝒙+𝟐)𝒅𝒙

(𝒙−𝟏)�𝒙𝟐+𝟏

𝑥+2𝑥−1

= 1 + 3𝑥−1

Resolución

𝐼 = ∫(1 + 3𝑥−1

) 𝑑𝑥√𝑥2+1

= ∫ 𝑑𝑥√𝑥2+1

+ 3∫ 𝑑𝑥(𝑥−1)√𝑥2+1

…..(*)

𝐼𝐼 = ∫ 𝑑𝑥(𝑥−1)√𝑥2+1

𝑥 − 1 = 1𝑡 => 𝑑𝑥 = −𝑑𝑡

𝑡2

𝐼𝐼 = ∫−𝑑𝑡𝑡2

1𝑡��1𝑡+ 1�

2+1

= −∫ 𝑑𝑡

𝑡� 1𝑡2+ 1+2𝑡+ 1

= −∫ 𝑑𝑡√2𝑡2+ 2𝑡+1

= −∫ 𝑑𝑡

�2��𝑡 + 1𝑡�2+14�

= − 1√2∫ 𝑑𝑡

��𝑡 + 1𝑡�2+ 14

II



85

=1√2

𝐿𝑛 �𝑡 + 12

+ ��𝑡 + 1𝑡�2

+ 14� + 𝑐

= 1√2𝐿𝑛 �𝑡 + 1

2+ 1

√2√2𝑡2 + 2𝑡 + 1� + c

Reemplazar: 𝑡 = 1𝑥−1

𝐼𝐼 = − 1√2𝐿𝑛 � 1

𝑥−1+ 1

2+ 1

√2� 2

(𝑥−1)2+ 2

(𝑥−1) + 1�

= − 1√2𝐿𝑛 � 1

𝑥−1+ 1

2+ 1

√2� 𝑥2+ 1

(𝑥−1)2� + 𝑐

= − 1√2𝐿𝑛 � 1

𝑥−1+ 1

2+ 1

√2(𝑥−1)√𝑥2 + 1� + 𝑐

𝐼𝐼 = − 1√2𝐿𝑛 � 𝑥+1

2(𝑥−1)+ √𝑥2+1

√2(𝑥−1)� + 𝑐

= −1√2

𝐿𝑛 �1

𝑥 − 1�𝑥 + 1

2+

1√2

�𝑥2 + 1�� + 𝑐



86

Reemplazar en (*)

𝑰 = 𝑳𝒏�𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟏� − 𝟑√𝟐𝑳𝒏 � 𝟏

𝒙−𝟏�𝒙+𝟏

𝟐+ 𝟏

√𝟐√𝒙𝟐 + 𝟏�� + 𝒄 Rpta

VI.- Integral de la forma

: ∫𝒙𝒎 (𝒂 + 𝒃𝒙𝒏)𝒑𝒅𝒙

46. 𝑰 = ∫�𝟏+𝒆𝟒𝒙𝟒

𝒆𝒙𝒅𝒙

Sea: 𝑡 = 𝑒𝑥 -> 𝑑𝑡 = 𝑒𝑥𝑑𝑥

Resolución

=> 𝐼 = ∫ √1+𝑒4𝑥4

𝑒2𝑥. 𝑒𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑡−2 (1 + 𝑡4)1 4� 𝑑𝑡

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑚 = −2, 𝑛 = 4, 𝑝 =14

, 𝑚 + 1𝑛

+ 𝑝 = 0 ∈ 𝑍

⟹ 𝑧4𝑡4 = 1 + 𝑡4 ⟹ 𝑧4 = 𝑡−4 + 1

⟹ 𝑑𝑡 = −𝑡5𝑧3𝑑𝑧

⟹ 𝐼 = ∫ 𝑡−2 (𝑧4𝑡4)14(−𝑡5𝑧3𝑑𝑧) = −∫ 𝑡4 𝑧4𝑑𝑧 = −∫ 𝑧4

𝑧4−1𝑑𝑧

= −��1 + 1

𝑧4 − 1� 𝑑𝑧 = −��𝑑𝑧 + �

𝑑𝑧𝑧4 − 1

�



87

𝐼 = −∫�1 + 1𝑍4−1

� 𝑑𝑧 = − �∫𝑑𝑧 + ∫ 𝑑𝑧𝑧4−1

�

𝐼 = −∫𝑑𝑧 − ∫ 𝑑𝑧𝑧4−1

….. (*)

1𝑧4−1

= 1(𝑧+1)(𝑧−1)(𝑧2+1)

= 𝐴𝑧+1

+ 𝐵𝑧−1

+ 𝑐𝑧+𝐷𝑧2+1

=A (z − 1) (𝑧2 + 1) + B(Z + 1)(𝑧2 + 1) + (Cz + D)(𝑧2 − 1)

(𝑧 + 1)(𝑧 − 1)(𝑧2 + 1)

=(A + B + C)𝑧3 + (−A + B + D)𝑧2 + (A + B − C)Z + (−𝐴 + 𝐵 − 𝐷)

(𝑧 + 1)(𝑧 − 1)(𝑧2 + 1)

A + B + C = 0 - A + B + D = 0 => A = - 1/4, B = 1/4 , C = 0, D = -1/2 A + B – C = 0 - A + B - D = 1

1𝑧4 − 1 =

−14

𝑧 + 1 + 14

z − 1 + −1

2𝑧2 + 1

∫ 1𝑧4−1

= − 14 ∫

𝑑𝑧𝑧+1

+ 14 ∫

𝑑𝑧𝑧−1

− 12 ∫

𝑑𝑧𝑧2+1

= −14𝐿𝑛|𝑧 + 1| + 1

4𝐿𝑛|𝑧 − 1| − 1

2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑧 + 𝑐1

=14

[𝐿𝑛 |𝑧 − 1| − 𝐿𝑛 |𝑧 + 1|] −12𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑧 + 𝑐1



88

∫ 𝑑𝑧𝑧4−1

= 14𝐿𝑛 �𝑧−1

𝑧+1� − 1

2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑧 + 𝑐1

Reemplazar en (*)

𝐼 = −𝑧 − 14𝐿𝑛 �𝑧−1

𝑧+1�+ 1

2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑧+c

𝑃𝑒𝑟𝑜 𝑧4𝑡4 = 1 + 𝑡4 ⟹ 𝑧4 =1 + 𝑡4

𝑡4 ⟹ 𝑧 =√1 + 𝑡44

𝑡

⟹ 𝐼 = − √1+𝑡44

𝑡− 1

4𝐿𝑛 �

�1+𝑡44

𝑡 −1

�1+𝑡44

𝑡 +1� + 1

2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � √1+𝑡

44

𝑡� + 𝑐

⟹ 𝐼 = − √1+𝑡44

𝑡− 1

4𝐿𝑛 � √1+𝑡

44 − 𝑡√1+𝑡44 +𝑡

� + 12𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 � √1+𝑡

44

𝑡� + 𝑐

Como: 𝑡 = 𝑒𝑥

𝑰 = −�𝟏+𝒆𝟒𝒙𝟒

𝒆𝒙− 𝟏

𝟒𝑳𝒏 �

�𝟏+𝒆𝟒𝒙𝟒 −𝒆𝒙

�𝟏+𝒆𝟒𝒙𝟒 +𝒆𝒙�+ 𝟏

𝟐𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈�

�𝟏+𝒆𝟒𝒙𝟒

𝒆𝒙� + 𝒄

Rpta

VII.- Integral de la forma

: ∫𝑅 , (𝑥,√𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)𝑑𝑥



89

47. 𝑰 = ∫�𝒙𝟐+𝟑𝒙�𝒅𝒙

(𝒙−𝟏)�𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟏𝟎

𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑎 = 1 > 0 ⟹ �𝑥2 − 2𝑥+ 10 = √1𝑥 + 𝑡 = 𝑥 + 𝑡

⟹ 𝑥2 − 2𝑥 + 10 = 𝑥2 + 𝑡2 + 2𝑡𝑥 10 − 𝑡2 = 2𝑡𝑥 + 2𝑥 10 − 𝑡2 = 2𝑥(𝑡 + 1)

Resolución

𝑥 = 10−𝑡2

2(𝑡+1) ⟹ 𝑑𝑥 = −�𝑡2+2𝑡+10�

2(𝑡+1)2𝑑𝑡

𝐼 = ∫−��10−𝑡

2

2(𝑡+1)�2+3 �10−𝑡

2

2(𝑡+1)�� . (𝑡2+2𝑡+10)2(𝑡+1)2

𝑑𝑡

�10−𝑡2

2(𝑡+1)−1��3(10−𝑡2)2(𝑡+1) + 𝑡�

− ∫�(10−𝑡2)4(𝑡+1)2

2+ 3(10−𝑡2)

2(𝑡+1) � . (𝑡2+2𝑡+10)2(𝑡+1)2

𝑑𝑡

�8−2𝑡−𝑡2

2(𝑡+1) ��𝑡2+2𝑡+102(𝑡+1) �

= −�

�10−𝑡2�2

+6�10−𝑡2�(𝑡+1)

4(𝑡+1)2

�8−2𝑡−𝑡2�(𝑡2+2𝑡+10)

4(𝑡+1)2

. (𝑡2 + 2𝑡+ 10)2(𝑡+ 1)2 𝑑𝑡

𝐼 = ∫(10−𝑡2)2+6 (𝑡+1)(10−𝑡2)

(8−2𝑡−𝑡2)(𝑡2+2𝑡+10). (𝑡2+2𝑡+102(𝑡+1)2

𝑑𝑡

= 12 ∫

𝑡4−6𝑡3− 26𝑡2+60𝑡+160𝑡4+4𝑡3−3𝑡2−14𝑡−8

𝑑𝑡



90

= 12 ∫ �1 − 10𝑡3+ 23𝑡2− 74𝑡−168

(𝑡+1)2(𝑡2+2𝑡−8)� 𝑑𝑡

𝐼 = 12�∫ 𝑑𝑡 − ∫ 10𝑡3+23𝑡2−74𝑡−168𝑑𝑡

(𝑡+1)2(𝑡+4)(𝑡−2)� …. (*)

10𝑡3+23𝑡2−74𝑡−168

(𝑡+1)2(𝑡+4)(𝑡−2)= 𝐴

(𝑡+1)2+ 𝐵

𝑡+1+ 𝐶

𝑡+4+ 𝐷

𝑡−2

= 𝐴 (𝑡+4)(𝑡−2)+𝐵(𝑡+1)(𝑡+4)(𝑡−2)+𝐶 (𝑡+1)2(𝑡−2)+𝐷 (𝑡+1)2(𝑡+4)(𝑡+1)2(𝑡+4)(𝑡−2)

= (𝐵+𝐶+𝐷)𝑡3+ (𝐴+3𝐵+6𝐷)𝑡2+(2𝐴−6𝐵−3𝐶+9𝐷)𝑡 +(−8𝐴−8𝐵−2𝐶+4𝐷)(𝑡+1)2(𝑡+4)(𝑡−2)

B + C + D = 10

A + 3B + 6D = 23 => A = 9, B = 0, C = 8/3, D = -8/3

2A - 6B - 3C+ 9D = -74

-8A - 8B - 2C + 4D = -168

=>10𝑡3+23𝑡2−74𝑡−168

(𝑡+1)2(𝑡+4)(𝑡−2)= 9

(𝑡+1)2+ 10

𝑡+1+ 8/3

𝑡+4+ −8/3

𝑡−2

∫ 10𝑡3+23𝑡2−74𝑡−168(𝑡+1)2(𝑡+4)(𝑡−2)

= 9∫ 9(𝑡+1)2

+ 10∫ 9𝑡+1

+ 83 ∫

𝑑𝑡𝑡+4

− 83 ∫

𝑑𝑡𝑡−2

=−9𝑡 + 1 + 10𝐿𝑛 |𝑡 + 1| +

83 𝐿𝑛

|𝑡 + 4| −83 𝐿𝑛

|𝑡 − 2|



91

= −9𝑡+1

+ 10𝐿𝑛|𝑡 + 1| + 83𝐿𝑛 �𝑡+4

𝑡−2�

En (*)

𝐼 =12 �𝑡 +

−9𝑡 + 1 − 10𝐿𝑛 |𝑡 + 1| −

83 𝐿𝑛 �

𝑡 + 4𝑡 − 2��

𝐼 = 𝑡2

+ −92(𝑡+1)

− 5𝐿𝑛 |𝑡 + 1| − 43𝐿𝑛 �𝑡+4

𝑡−2� + 𝑐

Como: √𝑥2 − 2𝑥 + 10 = 𝑥 + 𝑡

𝑡 = √𝑥2 − 2𝑥 + 10 − 𝑥

𝑰 =√𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎 –𝒙

𝟐+

𝟗𝟐�𝟏 − 𝒙 + √𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎 �

− 𝟓𝑳𝒏 �𝟏 − 𝒙 + �𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎� −

𝟒𝟑𝑳𝒏 � 𝟒−𝒙+

�𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟏𝟎

−𝟐−𝒙+ �𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟏𝟎� + 𝑐

Rpta

VIII.- INTEGRAL DE LA FORMA

: ∫𝑹 �𝒙 √𝒂𝒙 + 𝒃 , √𝒄𝒙 + 𝒅�𝒅𝒙

48. 𝑰 = ∫ �𝒙(𝒙+𝟏)√𝒙 + √𝒙+𝟏

𝒅𝒙

Resolución



92

Sea: 𝑥 = 𝑧2 ⟹ 𝑑𝑥 = 2𝑧𝑑𝑧

𝐼 = ∫�𝑧2(𝑧2+ 1)𝑧+√𝑧2+1

. 2𝑧𝑑𝑧 = ∫ 𝑧√𝑧2+1 (2𝑍𝑑𝑍)𝑧+√𝑧2+1

= 2∫ 𝑧2√𝑧2+1𝑧+√𝑧2+1

𝑑𝑍

𝐶𝑜𝑚𝑜: 𝑎 = 1 > 0 ⟹ �𝑧2 + 1 = 𝑧 + 𝑡

ELEVANDO ALCUADRADO

𝑧2 + 1 = 𝑧2 + 𝑡2 + 2𝑡𝑧

⟹ 𝑧 = 1−𝑡2

2𝑡 ⟹ 𝑑𝑧 = −(𝑡2+1)

2𝑡2𝑑𝑡

𝐼 = −2∫�1−𝑡

2

2𝑡 �2�1−𝑡

2

2𝑡 +𝑡�

1−𝑡22𝑡 + 1−𝑡

22𝑡 + 𝑡

. (𝑡2+1)2𝑡2

𝑑𝑡

𝐼 = −2�(1−𝑡2)2

4𝑡2(𝑡2+1)2𝑡

1𝑡

.(𝑡2 + 1)

2𝑡2 𝑑𝑡 = −2�(1 − 𝑡2)2(𝑡2 + 1)

8𝑡2 .(𝑡2 + 1)

2𝑡2 𝑑𝑡

𝐼 = −18�

(1 − 𝑡2)2(𝑡2 + 1)(𝑡2 + 1)𝑡4

𝑑𝑡 = −18�

(1 − 𝑡4)2

𝑡4𝑑𝑡 = −

18�

(1 + 𝑡8 − 2𝑡4)𝑡4

𝑑𝑡

𝐼 = −18�(𝑡4 + 𝑡2 − 2)𝑑𝑡 =

−18�� 𝑡−4 𝑑𝑡 + �𝑡2 𝑑𝑡 − 2 �𝑑𝑡�

𝐼 = −18

(𝑡−3

−3+ 𝑡3

3− 2𝑡)



93

𝐼 =1

24𝑡3−𝑡3

24+𝑡4

+ 𝑐

𝑃𝑒𝑟𝑜: √𝑧2 + 1 = 𝑧 + 𝑡 ⟹ 𝑡 = √𝑧2 + 1 − 𝑧 ⟹ 𝑡 = √𝑥 + 1 − √𝑥

𝑰 = 𝟏𝟐𝟒(√𝒙+𝟏−√𝒙)𝟑

− (√𝒙+𝟏−√𝒙)𝟑

𝟐𝟒+ √𝒙+𝟏−√𝒙

𝟒+ 𝒄 Rpta

49. ∫𝒆𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙 𝒅𝒙

Resolución

I= ∫ 𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑑𝑥

Por partes: ∫𝒖 .𝒅(𝒗) = 𝒖.𝒗 − ∫𝒗.𝒅(𝒖)

En I:

I=−13𝑒2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 − ∫− 2

3𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑒2𝑥𝑑(𝑥)

u d(v)

𝑢 = 𝑒2𝑥 𝑑(𝑣) = 𝑠𝑒𝑛3𝑥𝑑(𝑥)

𝑑(𝑢) = 2𝑒2𝑥𝑑(𝑥) 𝑣 = −𝑐𝑜𝑠3𝑥

3



94

I=−13𝑒2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 2

3 ∫ 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑒2𝑥𝑑(𝑥)

I=−13𝑒2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 2

3 ∫ 𝑒2𝑥 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑(𝑥) = −1

3𝑒2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 2

3

En :

*=∫ e2x cos3x d(x)

*= 13𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛3𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛3𝑥

32𝑒2𝑥𝑑(𝑥)

*= 13𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛3𝑥 −

2

3∫ 𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑑(𝑥)

*en I :

𝐼 = −13𝑒2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 +

23

(13𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛3𝑥 −

23𝐼)

𝐼 = −13

e2xcos3x +29

e2xsen3x −49

I

* *

*

u d(v)

𝑢 = 𝑒2𝑥 𝑑(𝑣) = 𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑑(𝑥)

𝑑(𝑢) = 2𝑒2𝑥𝑑(𝑥) 𝑣 =𝑠𝑒𝑛3𝑥

3

I



95

𝐼 +49𝐼 −

13𝑒2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 +

29𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛3𝑥

𝐼 =139−

13𝑒2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 +

29𝑒2𝑥𝑠𝑒𝑛3𝑥

∴ 𝑰 = −𝟑𝟗𝒆𝟐𝒙𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙 + 𝟐

𝟏𝟑𝒆𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙 + 𝑪 Rpta

50. 𝑰 = ∫(𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙)𝟐

(𝒙𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙−𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙)𝟐 𝒅𝒙

Resolución

I=∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥𝑥

𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 (𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥−𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥)2

𝑑𝑥

En I:

I= 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥𝑥 (𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥−𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥)

+ ∫ 𝑑𝑥𝑥2

u d(v)

𝑢 =𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥

𝑥 𝑑(𝑣) =

𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥(𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥)2 𝑑(𝑥)

𝑑(𝑢) =𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥

𝑥2𝑑(𝑥) 𝑣 = −

1𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥



96

∴ 𝑰 = 𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙𝒙 (𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙−𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙)

− 𝟏𝒙

+ 𝑪 Rpta

51. I=∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙+𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙−𝟏(𝒔𝒆𝒏𝒙−𝒙)𝟐 𝒅𝒙

I=∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥−(𝑠𝑒𝑛𝑥)2−(𝑐𝑜𝑠𝑥)2

(𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥)2 𝑑𝑥

Resolución

I=∫ −𝑠𝑒𝑛𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥)−𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑥−1)(𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥)2 𝑑𝑥

I=∫ −𝑠𝑒𝑛𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥)

𝑑𝑥 +∫ −𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑥−1)(𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥)2 𝑑𝑥

En J :

J=∫−𝑐𝑜𝑠𝑥 (𝑐𝑜𝑠𝑥−1)(𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥)2

𝑑𝑥

J

u d(v)

𝑢 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑(𝑣) =𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1

(𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥)2 𝑑(𝑥)

𝑑(𝑢) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑(𝑥) 𝑣 = −1

(𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥)



97

J= 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥

+ ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥

𝑑𝑥

En I :

I=∫− 𝑠𝑒𝑛𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥)

𝑑𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥

+ ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥−𝑥

𝑑𝑥

∴ 𝑰 = 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙−𝒙

+ 𝒄 Rpta

52. 𝑰 = ∫ �𝟐𝝔𝟒+𝝔𝒕�𝒅𝒕𝝔𝟐𝒕−𝝔𝒕−𝟐

Factor izando y acomodando:

Resolución

I = ∫(2𝜚4+1)𝜚𝑡𝑑𝑡(𝜚𝑡+1)(𝜚𝑡−2)

Sea: 𝜚𝑡=x dx =𝜚𝑡𝑑𝑡

I =∫ (2x+1)(x+1)(x−2)

dx = ∫ � Ax+1

+ Bx−2

� dx . . . . (∗)

⟹ (2𝑥+1)(𝑥+1)(𝑥−2)

= 𝐴𝑥+1

+ 𝐵𝑥−2



98

= 𝐴(𝑥−2)+ 𝐵(𝑥+1)(𝑥+1)(𝑥−2)

2𝑥+1(𝑥+1)(𝑥−2)

= (𝐴+𝐵)𝑥+(𝐵−2𝐴)(𝑥+1)(𝑥−2)

A + B = 2 ⟹ 2B + 2A = 4

B – 2A = 2 ⟹

3B = 5

B – 2A = 1

⟹ B = 53

⋀ A = 13

En (*)

I = ∫13

𝑥+1 dx + ∫

53

𝑥−2 dx

I = 13

𝐿𝑛|𝑥 + 1| + 53

𝐿𝑛|𝑥 − 2|+ C

I = Ln |(𝑥 + 1)|13 + Ln �(𝑥 − 2)

53�+ C = Ln |(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)5|

13+ C

∴ 𝑰 = 𝟏𝟑

𝑳𝒏�(𝝔𝒕 + 𝟏)(𝝔𝒕 − 𝟐)𝟓�𝟏𝟑 + 𝒄 Rpta

53. ∫ �𝟔 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕.𝒄𝒐𝒔𝒕−𝟑𝒔𝒆𝒏𝒕𝒄𝒐𝒔𝒕+𝒄𝒐𝒔𝒕�𝒔𝒆𝒏𝟑𝒕−𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕

dt

Resolución



99

Factor izando:

I = ∫�6𝑠𝑒𝑛2𝑡−3𝑠𝑒𝑛𝑡 +1�

𝑠𝑒𝑛3𝑡−𝑠𝑒𝑛2𝑡 . costdt

x= sen t ≫ dx = cost dt

I= ∫�6𝑥2−3𝑥 +1�

𝑥3𝑡−𝑥2 dx = ∫

�6𝑥2−3𝑥 +1�𝑥2(𝑥−1)

dx

I= ∫�6𝑥2−3𝑥 +1�𝑥2 (𝑥−1)

= ∫ � 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥

+ 𝐶𝑥−1

� dx

6𝑥2−3𝑥+1𝑥2(𝑥−1)

= (𝐵+𝐶)𝑥2+(𝐴−𝐵)𝑥−𝐴𝑥2(𝑥−1)

B + C = 6

A – B = - 3

- A = 1 ⇒ A = - 1 ⇒ B = 2 ⇒ C = 4

∫ �− 1𝑥2

+ 2𝑥

+ 4𝑥−1

� dx = -∫𝑥2𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑑𝑥𝑥

+ 4 ∫ 𝑑𝑥𝑥−1

I = 1𝑋

+2 Ln |𝑥|+4 Ln |𝑥 − 1|+c

I = 1𝑋

+ Ln |𝑥|2+ Ln |𝑥 − 1|4 + c

I = 1𝑋

+ Ln |𝑥2 . (𝑥 − 1)4| + c



100

I = 1𝑋

+ Ln |𝑥 . (𝑥 − 1)2|2 + c = 1𝑥 + 2Ln |𝑥(𝑥 − 1)2| + c

∴ 𝑰 = 𝟏𝒔𝒆𝒏𝒕

+ 2Ln �𝒔𝒆𝒏𝒕 (𝒔𝒆𝒏𝒕 − 𝟏)𝟐� + 𝒄 Rpta

54. 𝑰 = ∫ 𝒙+𝟐

(𝒙−𝟏)�𝒙𝟐+𝟏dx

Resolución

1er. Paso: Divido el Numerador con el factor (x-1); y separó 2 integrales:

∫ 𝑥−1(𝑥−1)√𝑥2+1

dx + ∫ 3(𝑥−1)√𝑥2+1

dx

∫ 𝑑𝑥𝑥2+1

+ 3 ∫ 𝑑𝑥𝑥−1 √𝑥2+1

⟹ Ln �𝑥 + √𝑥2 + 1�+ 3∫ 𝑑𝑥𝑥−1 √𝑥2+1

2do. Paso: Resolvemos y (x-1) lo sustituimos por 1 𝑇�

∫ 𝑑𝑥𝑥−1 √𝑥2+1

⟶𝑥−1= 1𝑇𝑇= 1

𝑥−1⟶ Donde: dx = −𝑑𝑡

𝑇2

Reemplazamos:

∫−𝑑𝑟𝑇2

1𝑇��1+1𝑇�

2+1

= ∫−𝑑𝑟𝑇2

1𝑟�2𝑇2+2𝑇+1

�𝑇2

= - ∫ 𝑑𝑇√2𝑇2+2𝑇+1

= - ∫ 𝑑𝑇

��2𝑇2+ 1√2�2+ � 1

√2�2



101

− 1√2∫ √2𝑇

��2𝑇2+ 1√2�2+ � 1

√2�2= - 1

√2 . Ln �√2 + 1

√2 + √2𝑇2 + 2𝑇 + 1�

Sustituimos T = - 1√2

Ln � √2𝑥−1

+ 1√2

+ √𝑥2+1

𝑥−1�

La respuesta de la Integral es:

∫ 𝒙+𝟐

(𝒙−𝟏)�𝒙𝟐+𝟏dx = Ln �𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟏� − 𝟑

√𝟐 Ln� √𝟐

𝒙−𝟏+ 𝟏

√𝟐+

�𝒙𝟐+𝟏𝒙−𝟏

� + 𝒄

Rpta

55. 𝑰 = ∫√𝒙𝟑 �(𝟏+√𝒙)𝟑 + �𝟐− √𝒙𝟑

√𝒙𝟑 𝒅𝒙

Resolución

1er. Paso: Separamos Integrales:

∫√𝑥3 . �(1+ √𝑥)3

4

√𝑥3 𝑑𝑥 + ∫�2− √𝑥3

√𝑥3 dx

∫ �(1 + √𝑥)34

𝑑𝑥 +∫�2− √𝑥3

√𝑥3 dx

2do. Paso: Resolvemos cada Integral:

a) ∫ ��1 + √𝑥�34

dx → x = 𝑎2

dx= 2a da



102

∫ �(1 + 𝑎)34 2𝑎 𝑑𝑎 ⟹1 + a = 𝑏4

da =4𝑏3𝑑𝑏

�𝑏3. 2 (𝑏4 − 1) . 4𝑏3𝑑𝑏 ⟹ 8�(𝑏10 − 𝑏6) 𝑑𝑏 ⟶ 8𝑏11

11−

8𝑏7

7

⟶8𝑏7

77(7𝑏4 − 11) ⟶

877

(1 + 𝑎)74 . (7𝑎 − 4)

⟶8

77 �1 + √𝑥�74�7√𝑥 − 4�

b) ∫�2− √𝑥3

√𝑥3 dx ⟹ x = 𝑝3

dx = 3𝑝3.𝑑𝑝

∫��2−𝑝𝑝

𝑑𝑥 ⟹ 2 – p = q2

dp = - dq . 2q

∫ 𝑞 . 3 (2 − 𝑞2) – dq . 2q = - 6 ∫(2𝑞2 − 𝑞4) . dq

⟹ - 12 𝑞3

3 + 6𝑞

5

5⟹- 4(2 − 𝑝)3 2� + 6

5(2 − 𝑝)5 2�

⟹ -4 (2 − √𝑥3 )3 2� + 65

(2 − √𝑥3 )5 2�

𝑰 = 𝟖𝟕𝟕�𝟏 + √𝒙�

𝟕𝟒 (𝟕√𝒙 − 𝟒)- 𝟒�𝟐 − √𝒙𝟑 �

𝟑𝟐 + 𝟔

𝟓�𝟐 − √𝒙𝟑 �

𝟓𝟐 + 𝒄

Rpta



103

56. ∫ √𝒙

�𝟏+ √𝒙𝟑 �𝟐 𝒅𝒙

I=

Resolución

( ) dxxx .1.. 23/12/1 −+∫

Se tiene : m=1/2 , n=1/3, p=-2, como p=-2 € Z.

• dttdxtx 56 6.............. ==

I= ( ) ( )( )[ ] dtttt 523/162/16 6.1..−

+∫

I= [ ]( )

dtt

tdtttt ∫∫+

=+−

22

85223

166.1..

I= ( )=

+

+−+−∫ dt

tttt 22

224

134326

I= ( )=

+

+−+−∫ ∫ dt

ttttt

22

235

1343

32

56

POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

ii



104

21 t+

θθθ ddttgt .sec...................... 2==

ii= ( )( ) ( ) θ

θθθθ

θθ dtgdtgdt

tt .

sec34.sec.

sec34

134

2

22

4

2

22

2

∫∫∫+

=+

=+

+

θθθ dsen .)cos34( 22∫ +=

42

23.3.)3( 22 θθθθθθθθ sendsenddsen −+=+=+= ∫ ∫∫

csencsen+−=+−=

4cos2

27

42

27 θθθθθ

csen+−=

2cos.

27 θθθ

ii = ( ) ct

tctt

t+

+−=+

++−

1.227

11.

1.

21

27

222

θθ

ii=c

ttarctgc ++

−)1(22

72

Pero:

6 xt =

1

t



105

I=c

xxxarctgxxx +

++−+−

3

6666 5

13)(21184

56

Rpta

57. 𝑰 = ∫ 𝒅(𝒙)

𝒙 �𝟏+𝒙𝟓𝟑

Resolución

( ) dxxx 3/151 1 −− +∫

Se tiene : m=-1 , n=5, p=-1/3, como m+1 3

=0 ∈ 𝑍

351 tx =+

dttdxx 24 3.5 =

dttxdx 24

53 −=

( ) dttxtx ..53. 243/131 −−−∫

( ) dttxtx ..53. 243/131 −−−∫

=dttx ..

53 5∫ −



106

= ∫ −1.

53

3tdtt

( )( ) 11111 223 +++

+−

=++−

=− tt

cBtt

Attt

tt

t

)1)(()1( 2 −++++= tcBtttAt

( ) ( ) )(2 CAtCBAtBAt −++−++=

01

0

=−=+−

=+

CACBA

BA

A=1/3, B=-1/3, C=1/3

∫∫∫ +++−

+−

=− 1

3/13/113

11

.23 tt

dtttdt

tdtt

( ) dttt

ttdt .

11

31

131

2∫∫ ++−

−−

=

( ) dtt

tt .

43

21

1311ln

31

2∫+

+

−−−

=

( )dt

t

tt .

43

21

231

311ln

31

2∫+

+

−−−−

ii



107

=

+

+

−

+

+

+

−− ∫∫43

212

3.

43

21

21

311ln

31

22

t

dtdtt

tt

dtdutuSea =+= ............21........

+−

+−−=

− ∫ ∫∫432

3

43

.311ln

31

1.

223

u

dt

u

duutt

dtt

∫∫+

++

−−

432

1

43

.221.

311ln

31

22 u

dt

u

duut

cuarctgut +

++−−

23

.

23

1.21

43ln

611ln

31 2

ctarctgttt

dtt+

+++

+−−=

−∫ 21.

32

31

43

21

611ln

31

1. 2

3

ctarctgtt +

+++

+−−=

21.

32

353

43

21

1011ln

51 2

Como 3 51 xt +=

I cxarctgxx +

+++

++−−+=

211.

32

353

43

211

10111ln

51 3 5

23 53 5

Rpta

i



108

58. Hallar el área comprendida por la siguiente función:

𝟐𝒙 + 𝟖; −𝟒 ≤ 𝒙 ≤ −𝟐𝒙𝟐; −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑

−𝟑𝒙 + 𝟏𝟖; 𝟑 ≤ 𝒙 ≤ 𝟔

Y el eje “x” mediante el cálculo del límite de las sumas de RIEMANN.

Resolución

⇒ Graficando la función:

Para A1 :

𝑥 ∈ [−4,−2] ⇒ ∆𝑥 =(−2) − (−4)

𝑛 =2𝑛

A1 A2 A3

𝑎 = −4 𝑏 = −2

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 8

f(x) =



109

𝑥1 = 𝑎 + ∆𝑥𝑖 ⇒ 𝑥𝑖 = −4 + 2𝑛𝑖 ⇒ 𝑥𝑖 = 2𝑖

𝑛− 4

𝑓(𝑥𝑖) = 2 �2𝑖𝑛− 4� + 8 = 4𝑖

𝑛

A1= lim𝑛→∞ ∑ 𝐴1 = lim𝑛→∞ ∑8𝑖𝑛2

=𝑛𝑖=1

𝑛𝑖=1 lim𝑛→∞

8𝑛2∑ 𝑖𝑛𝑖=1

A1= lim𝑛→∞8𝑛2

(𝑛)(𝑛+1)2

= lim𝑛→∞ 4 �1 + 1𝑛�1

= 4 ⇒ A1= 4

Para A2 :

𝑥 ∈ [−2,−3] ⇒ ∆𝑥 =𝑏 − 𝑎𝑛

=3 − (−2)

𝑛=

5𝑛

𝑥1 = 𝑎 + (𝑏−𝑎) 𝑛

𝑖 ⇒ 𝑥𝑖 = −2 + 5𝑖𝑛

⇒ 𝑥𝑖 = 5𝑖𝑛− 2

𝑓(𝑥𝑖) = �5𝑖𝑛− 2�

2= 25𝑖2

𝑛2 − 20𝑖

𝑛+ 4

Ai=𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖 = (25𝑖2

𝑛2 − 20𝑖

𝑛+ 4) 5

𝑛= 125𝑖2

𝑛3− 100𝑖

𝑛2+ 20

𝑛

A2 = lim𝑛→∞ ∑ 𝐴𝑖 = lim𝑛→∞ ∑ (125𝑖2

𝑛3− 100𝑖

𝑛2+ 20

𝑛)𝑛

𝑖=1𝑛𝑖=1

A2 = lim𝑛→∞ (125𝑛3

𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)6

− 100𝑛2

(𝑛+1)𝑛2

+ 20)



110

A2 = lim𝑛→∞ (1256

(1 + 1𝑛

)(2 + 1𝑛

) − 100𝑛2

(𝑛+1)𝑛2

+ 20)

A2 = 125

3− 50 + 20 =

35

3 ⟹A2= 35

3

Para A3 :

𝑥 ∈ [3,6] ⇒ ∆𝑥 =𝑏 − 𝑎𝑛

=6 − 3𝑛

=3𝑛

𝑥1 = 𝑎 + (𝑏−𝑎) 𝑛

𝑖 ⇒ 𝑥𝑖 = 3 + 3𝑖𝑛

⇒ 𝑥𝑖 = 3𝑖𝑛

+ 3

𝑓(𝑥𝑖) = −3 �3𝑖𝑛

+ 3� + 18 = 9 − 9𝑖𝑛

Ai =𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖 = (9 − 9𝑖𝑛

) 3𝑛

= 27𝑛− 27𝑖

𝑛2

A3 = lim𝑛→∞ ∑ 𝐴𝑖 = lim𝑛→∞ ∑ �27𝑛− 27𝑖

𝑛2�𝑛

𝑖=1𝑛𝑖=1

A3 = lim𝑛→∞( 27𝑛∑ (1) − 27

𝑛2∑ (𝑖)𝑛𝑖=1

𝑛𝑖=1 )

A3 = lim𝑛→∞( 27 − 27𝑛2

(𝑛)(𝑛+1)2

) = lim𝑛→∞( 27 − 272

(1)(1 + 1𝑛

) )

A3 =27 − 272

= 272

⟹ A3=272



111

A1 + A2 + A3 = 𝟒 + 𝟑𝟓𝟑

+ 𝟐𝟕𝟐

= 𝟏𝟕𝟓𝟔

Rpta

59. Hallar el área comprendida entre las siguientes curvas cuando 𝒙 ∈ [𝟏,𝟑]:

𝒚𝟏= 𝒙𝟐𝒚𝟐= 𝟒𝒙𝟐−𝟑𝒙

Resolución

⇒ Graficando la función:

Hallando los puntos de intersección:



112

𝑥3 = 4𝑥2 − 3𝑥𝑥2 − 4𝑥2 + 3𝑥 = 0𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) = 0

⇒∆𝑥 =𝑏 − 𝑎𝑛 =

3− 1𝑛 =

2𝑛

𝑥1 = 𝑎 + ∆𝑥𝑖 = 1 + 2𝑖𝑛

∆𝒊 = 𝒚𝟐(𝒙𝒊) − 𝒚𝟏(𝒙𝒊)

∆𝑥 =2𝑛�4 �1 +

2𝑖𝑛�2

− 3 �1 +2𝑖𝑛� − (1 +

2𝑖𝑛

)3�

∆𝑖 = �4�1 +4𝑖𝑛

+4𝑖2

𝑛2�2

− 3 −6𝑖𝑛− �1 + 3 �

2𝑖𝑛� + 3 �

2𝑖𝑛�2

+ (2𝑖𝑛

)3��

∆𝑖 = �4 +16𝑖𝑛

+16𝑖2

𝑛2− 3 −

6𝑖𝑛− 1 −

6𝑖𝑛−

12𝑖2

𝑛2−

8𝑖3

𝑛3�

2𝑛

∆𝑖 =8𝑖𝑛2

+8𝑖2

𝑛3−

16𝑖3

𝑛4

∆ = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞

�𝑨𝒊 = 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞

��𝟖𝒊𝒏𝟐

+𝟖𝒊𝟐

𝒏𝟑−𝟏𝟔𝒊𝒏𝟒

�𝒏

𝒊=𝟏

𝒏

𝒊=𝟏

∆= lim 𝑛→∞

8(1 + 2+. . . .𝑛)𝑛2 +

8(12 + 22 + ⋯𝑛2)𝑛3 −

16(13 + 23 + ⋯𝑛3)𝑛4



113

A B

∆= lim 𝑛→∞

82𝑛(𝑛 + 1)

𝑛2 +86𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

𝑛3 −164𝑛2(𝑛 + 1)

𝑛4

∆= lim 𝑛→∞

4 �1 +1𝑛� +

86 �1 +

1𝑛� �2 +

1𝑛� − 4(1 +

1𝑛)2

∆= 4 +86

(2) − 4 =83

∴ ∆= 𝟖𝟑𝒖𝟐 Rpta

60. 𝑰 = 𝒙𝟐𝒔𝒆𝒏𝒉(𝟐𝒙)𝒆𝟓𝒙𝟐𝒙𝒅𝒙 + ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏𝟒𝒙+𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙+𝟔

𝒅𝒙

Resolución

𝒙𝟐𝒔𝒆𝒏𝒉(𝟐𝒙)𝒆𝟓𝒙𝟐𝒙𝒅𝒙+ �𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

𝒔𝒆𝒏𝟒𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙+ 𝟔𝒅𝒙

𝐴 = 12 ∫(𝑥2𝑒7𝑥𝑒𝑥𝑙𝑛2𝑒5𝑥𝑑𝑥)2𝑥

=12�𝑥2𝑒(7+𝑙𝑛2)𝑥𝑑𝑥 −

12�𝑥2𝑒3𝑥𝑒𝑥𝐿𝑛2𝑑𝑥



114

=12�𝑥2𝑒(7+𝑙𝑛2)𝑑𝑥 −

12�𝑥2𝑒(3+𝐿𝑛2)𝑥𝑑𝑥

=12 �𝑥

2 �𝑒(7+𝑙𝑛2)𝑥

7 + 𝑙𝑛2 −𝑒(3+𝐿𝑛2)𝑥

3 + 𝑙𝑛2 � − ��𝑒(7+𝑙𝑛2)𝑥

7 + 𝑙𝑛2 − 𝑒(3+𝐿𝑛2)𝑥

3 + 𝑙𝑛2 � 2𝑥𝑑𝑥�

=12 �𝑥2 �

𝑒(7+𝑙𝑛2)𝑥

7 + 𝑙𝑛2−𝑒(3+𝐿𝑛2)𝑥

3 + 𝑙𝑛2� − 2𝑥 �


7 + 𝑙𝑛2− 𝑒(3+𝐿𝑛2)𝑥

3 + 𝑙𝑛2� + ��


7 + 𝑙𝑛2− 𝑒(3+𝐿𝑛2)𝑥

3 + 𝑙𝑛2�2𝑑𝑥�

=12�𝑥2 �


7 + 𝑙𝑛2−𝑒(3+𝐿𝑛2)𝑥

3 + 𝑙𝑛2� − 2𝑥 �


7 + 𝑙𝑛2− 𝑒(3+𝐿𝑛2)𝑥

3 + 𝑙𝑛2� + 2 �


7 + 𝑙𝑛2− 𝑒(3+𝐿𝑛2)𝑥

3 + 𝑙𝑛2��

∴ 𝑨 =𝒙𝟐

𝟐�𝒆(𝟕+𝒍𝒏𝟐)𝒙

𝟕 + 𝒍𝒏𝟐−𝒆(𝟑+𝑳𝒏𝟐)𝒙

𝟑 + 𝒍𝒏𝟐� − 𝒙 �

𝒆(𝟕+𝒍𝒏𝟐)𝒙

𝟕 + 𝒍𝒏𝟐− 𝒆(𝟑+𝑳𝒏𝟐)𝒙

𝟑 + 𝒍𝒏𝟐� + �


𝟕 + 𝒍𝒏𝟐− 𝒆(𝟑+𝑳𝒏𝟐)𝒙

𝟑 + 𝒍𝒏𝟐�

𝐵 = ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑠𝑒𝑛4𝑥+𝑐𝑜𝑠4𝑥+6

𝑑𝑥

= �2𝑐𝑜𝑠2𝑥

(2 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥)(2 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥) 𝑑𝑥

=12�

(2 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 2 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑐𝑜𝑠2𝑥(2 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥)(2 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥) 𝑑𝑥

=12�

𝑐𝑜𝑠2𝑥(2 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥) 𝑑𝑥 +

12�

𝑐𝑜𝑠2𝑥(2 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥) 𝑑𝑥

∴ 𝑩 = −𝟏𝟐𝑳𝒏|𝟐 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙| +

𝟏𝟐𝑳𝒏|𝟐 + 𝒔𝒆𝒏𝒙|



115

𝐼 = 𝐴 + 𝐵

∴ 𝑰 =𝒙𝟐

𝟐�𝒆(𝟕+𝒍𝒏𝟐)𝒙

𝟕 + 𝒍𝒏𝟐−𝒆(𝟑+𝑳𝒏𝟐)𝒙

𝟑 + 𝒍𝒏𝟐� − 𝒙 �


𝟕 + 𝒍𝒏𝟐− 𝒆(𝟑+𝑳𝒏𝟐)𝒙

𝟑 + 𝒍𝒏𝟐� + �


𝟕 + 𝒍𝒏𝟐− 𝒆(𝟑+𝑳𝒏𝟐)𝒙

𝟑 + 𝒍𝒏𝟐�

−𝟏𝟐𝑳𝒏|𝟐 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙| +

𝟏𝟐𝑳𝒏|𝟐 + 𝒔𝒆𝒏𝒙|

Rpta

61. ∫ 𝒅𝒙√𝒙−𝟏√𝟐−𝒙�𝟒√𝒙−𝟏+𝟑√𝟐−𝒙�

Resolución

Damos forma a la expresión

1√𝑥 − 1√2 − 𝑥�4√𝑥 − 1 + 3√2 − 𝑥�

=4√𝑥 − 1 + 3√2 − 𝑥

√𝑥 − 1√2 − 𝑥�16(𝑥 − 1) − 9(2 − 𝑥)�

4√2−𝑥(25𝑥−34) =

−4√2−𝑥

25(𝑥−2)+16=

−4√2−𝑥

16−25√2−𝑥2 =

−4√2−𝑥

�5√2−𝑥�2−42

=−4

√2−𝑥

�5√2 − 𝑥 − 4��5√2 + 𝑥 − 4�

3√𝑥−1(25𝑥−34) =

3√𝑥−1

25(𝑥−1)−9=

3√𝑥−1

�5√𝑥−1−3��5√𝑥−1+3�

→ 1

√𝑥−1√2−𝑥�4√𝑥−1+3√2−𝑥�=

−4√2−𝑥

�5√2−𝑥−4��5√2+𝑥−4�+

3√𝑥−1

�5√𝑥−1−3��5√𝑥−1+3�

Hallamos la integral de cada parte



116

∫−4

√2−𝑥

�5√2−𝑥−4��5√2+𝑥−4�𝑑𝑥 = ∫

12√2−𝑥

5√2−𝑥−4𝑑𝑥 − ∫

12√2−𝑥

5√2−𝑥+4

=15�

52√2−𝑥

5√2− 𝑥 − 4𝑑𝑥 −

15�

52√2−𝑥

5√2 − 𝑥 + 4𝑑𝑥

𝐼1 = 15

ln�5√2 − 𝑥 − 4� − 15

ln�5√2 − 𝑥 + 4�

∫3

√𝑋−1�5√𝑋−1−3��5√𝑋−1+3�

= ∫1

2√𝑥−1

5√𝑥−1−3𝑑𝑥 − ∫

12√𝑥−1

5√𝑥−1+3𝑑𝑥

= 15�

52√𝑥−1

5√𝑥 − 1 − 3𝑑𝑥 −

15�

52√𝑥−1

5√𝑥 − 1 + 3

𝐼2 = 15

ln�5√𝑥 − 1 − 3� − 15

ln�5√𝑥 − 1 + 3�

Luego 𝐼 = 𝐼1 − 𝐼2

=15

ln�5√2 − 𝑥 − 4� −15

ln�5√2 − 𝑥 + 4� −15

ln�5√𝑥 − 1 − 3� − 15

ln�5√𝑥 − 1 − 3�

∴ 𝑰 = 𝟏𝟓𝐥𝐧 �𝟓√𝟐−𝒙−𝟒

𝟓√𝟐−𝒙+𝟒� − 𝟏

𝟓𝐥𝐧 �𝟓√𝒙−𝟏−𝟑

𝟓√𝒙−𝟏+𝟑� + 𝒄 Rpta

62. ∫ − 3

2/5

)39( xdxx

Resolución



117

ydydxyxxdxxx 2)39(

23

2

=→=→−∫

∫∫∫ −=

−=

− 3

5

3

5

3

4

)3(272

)39(2

)39(.2

ydyydy

yydy

yyy

3-y = w - dy = dw dy = -dw

dww

wdww

w∫∫

−=

−−3

5

3

5 )3(272)3(

272

dww

wwwww∫

−+−+−3

2345 )2434052709015(272

dwwww

ww∫ −+−+− ]2434052709015[272

322

cww

wwww++−−−− ]

2243405ln27090

215

3[

272

3

23

Como w =3 - x

cxx

xxxx +−

+−

−−−+−−−)3(

9)3(

303ln20)3(32)3(

95)3(

812 23

Rpta

63. ∫ 𝑿𝟐𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙(𝒕𝒈𝒙−𝒙𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙)𝟐 𝒅𝒙

Resolución

= �𝑥2𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥

�𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

− 𝑥 � 1𝑐𝑜𝑠2𝑥

��2 = �

𝑥2𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑑𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)2 = �

𝑥2𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)2



118

= ∫ 𝑥2𝑐𝑡𝑔2𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑥−𝑥)2

= 12 ∫ 𝑥

2𝑐𝑡𝑔2𝑥 � 2𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑥)2�

Integración por partes ∫𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫𝑣𝑑𝑢

dv = 2𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥

(𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑥)2

=2(1− 𝑐𝑜𝑠2𝑥)𝑑𝑥(𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)2 =

−(𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 1)(𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)2 =

−𝑑𝑑𝑥

(𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)(𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)2 𝑑𝑥

𝑣 = �𝑑 �1

(𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)� =1

𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥 = 𝑣

u = 𝑥2𝑐𝑡𝑔2𝑥 → 𝑑𝑢 = �2𝑥𝑐𝑡𝑔2𝑥 + 2𝑥2𝑐𝑡𝑔𝑥(−𝑐𝑠𝑐2𝑥)�𝑑𝑥

𝑑𝑢 = 2𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥(𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑥𝑐𝑠𝑐2𝑥) = 2𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥 �𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥

−𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥�𝑑

𝑑𝑢 =2𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥

(𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)𝑑𝑥

�𝑥2𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥

(𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)2 = (𝑥2𝑐𝑡𝑔2𝑥) �1

𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥� − ��

1𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥

� �2𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥𝑠𝑒𝑛2𝑥

� (𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥)𝑑𝑥

=𝑥2𝑐𝑡𝑔2𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑥 −� 2𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥𝑐𝑠𝑐2𝑥𝑑𝑥

Luego hallamos (por partes)

2∫𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥𝑐𝑠𝑐2𝑥𝑑𝑥 = 2 �−𝑥𝑐𝑡𝑔2𝑥

2− ∫ −𝑐𝑡𝑔2𝑥

2𝑑𝑥�

u = x → dx = du dv = 𝑐𝑡𝑔𝑥𝑐𝑠𝑐2𝑥𝑑𝑥

u dv

u dv



119

v =∫ 𝑐𝑡𝑔𝑥𝑐𝑠𝑐2𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑡𝑔2𝑥

2

Resolvemos

2 �−𝑥𝑐𝑡𝑔2𝑥

2 −�−𝑐𝑡𝑔2𝑥

2 𝑑𝑥� = −𝑥𝑐𝑡𝑔2𝑥 + �𝑐𝑡𝑔2𝑥𝑑𝑥

= −𝑥𝑐𝑡𝑔2𝑥 + �(𝑐𝑠𝑐2𝑥 − 1)𝑑𝑥

= −𝑥𝑐𝑡𝑔2𝑥 + �𝑐𝑠𝑐2𝑥 − �𝑑𝑥

= −𝑥𝑐𝑡𝑔2𝑥 + 𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑥 → ∫2𝑥𝑐𝑡𝑔𝑥𝑐𝑠𝑐2𝑥𝑑𝑥 = −𝑥𝑐𝑡𝑔2𝑥 + 𝑐𝑡𝑔𝑥 − 𝑥 Finalmente

�𝑿𝟐𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙

(𝒕𝒈𝒙 − 𝒙𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙)𝟐 𝒅𝒙 = (𝒙𝟐𝒄𝒕𝒈𝟐𝒙) �𝟏

𝒔𝒆𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒙� + −𝒙𝒄𝒕𝒈𝟐𝒙 + 𝒄𝒕𝒈𝒙 − 𝒙 + 𝒄

Rpta

64. dx

xxx

∫ +

+4 56 7

6 1

Sea t12 = x 12𝑡11dt = dx

Resolución

∫∫∫ ++

++

++

)1("12

)1(12"12)1(

1414

13

1514

2

ttdtt

ttdtt

tttt

=

∫∫ ++

+

21

)1(12

)1(12 3

II

ttdt

ttdt



120

1,1)1(

)(1)1(

11 ==⇒

+++

=+

+=+

= BAtt

AtBAt

BtA

ttI

tttt

ttI

dt

+=+−=

++= ∫ 1

ln121ln12ln121

11121…………………α

CtBCtBAtDAt

dtC

tB

tA

ttI ++++++=

++++=

+= )()()(

1)1(1 23

3232

A = 1, B = -1 , C = 1 , D = -1

dttttt

I ∫

+−+−=

1111112 322

1ln2414ln12 432 +−−+= ttt

tI

432 414

1ln12

ttttI −++

=

I = I1+I2

𝑰 = 𝟐𝟒𝑳𝒏 � √𝒙𝟏𝟐

√𝒙+𝟏𝟏𝟐 � + 𝟒

√𝒙𝟒 − 𝟏𝟒 √𝒙𝟑 + 𝒄 Rpta

65. I = ∫ dxxsenex x22

∫= dxxsenexI x22

Resolución



121

Sea : u = x2 du = 2x dx

du = e2x sen x dx ∫= dxdseneu x2

=→=

=→=

xx eqdxedq

dxxdpxsenp

22

21cos

dxxexseneu xx cos

21

21 22 ∫−=

dxxexsene xx cos

21

21 22 ∫−=

=→=∆

−=→=

xx ekdxek

dxxsendrxr

22

21

cos

−−−= ∫ )(

21cos

21

21

21 222 dxxsenexexseneu xxx

∫−−= dxdsenexexseneu xxx 222

41cos

41

21

xexseneu xx cos

41

21

45 22 −=

dxxxexsenexexsenexI xxxx 2)cos51

52()cos

51

52( 22222 −−−= ∫

B

x

A

xxx dxxexdxxsenxexexxsenexI ∫∫ +−−= cos52

54cos

51

52 222222

Rpta

66. ∫𝒙𝒆𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏𝒙𝒅𝒙

Resolución



122

u = x du = dx

xexsenedxxseneudxxsenedu xxxx cos51

52 2222 −==→= ∫

A = x dxxexsenexexsene xxxx )cos

51

52(cos

51

52 2222 −−

− ∫

++−−= ∫

u

xxxx dxxSenexeuxexxSenex 2222

21cos

21

51][

52cos

51

52

uxeuxexxsenxe xxx

101cos

101

52cos

51

52 222 ++−−=

A = xsenexexexxsenex xxxx 2222

253cos

254cos

51

52

−+−

∫= dxxxeB x cos2

u = x du = dx

du = e2x cos x dx u = ∫ dxxe x cos2

∫+= dxxsenexe xx 22

21cos

21

−+= xexsenexe xxx cos

51

52

21cos

21 222

xexsenexeU xxx cos

101

51cos

21 222 −+=

xsenexeU xx 22

51cos

52

+=



123

B = x (∫

+−+ dxxsenexexsenexe xxxx 2222

51cos

52)

51cos

52

∫ ∫−−+= dxxsenexexsenexxxe xxxx 2222

51cos

52

51cos

52

∫∫ −

+−+= dxxsenedxxsenexexsenexxxe xxxxx 22222

51

21cos

21

52

51cos

52

∫∫ −−−+= dxxsenexsenexexsenexxxe xxxxx 22222

51

51cos

51

51cos

52

∫−−+ xsenexexsenxexxe xxxx 2222

52cos

51

51cos

52

B = xsenexexsenexxxe xxxx 2222

254cos

253

51cos

52

−−+

+

−+−−−= xsenexexexxsenxexexxSenexI xxxxxx 22222222

253cos

254cos

51

52

54cos

51

52

−−+ xsenexexsenxexex xxxx 2222

254cos

253

51cos

52

52

++−+−− xsenexexexxsenexxexsenxex xxxxxx 22222222

12512cos

12516cos

254

258cos

51

52

xsenexexsenexxex xxxx 2222

1258cos

125252cos

254

−6

−+

CxexsenexxexsenexxexxsenexI xxxxxx +−++−−=∴ cos12522

1254cos

258

256cos

51

52 22222222

Rpta



124

67. ∫ +

= 243 )3( xLnxLnxdxI

Sea u = Ln x du = 𝑑𝑥𝑥

Resolución

I = 2623243 )3()]3([)3( +

=+

=+ ∫∫∫ uu

duuudu

uudu

)3()3()3(1

22345626 ++

+++++++=

+ uH

uG

uF

uE

uD

uC

uB

uA

uu

1 = (F+H) u7 + (E+6F + G+3H)u6 + (D+6E+9F)u5 + (C+6D+9E)u4 + (B+6C+9D)u3 + (A+6B+9C) u2 + (6A +9B)u + (9ª)

F + H = 0

E + 6F + G + 3H = 0 A = 1/9 E = -13/2187

D + 6E + 9F = 0 B = - 2/27 F = 22/6561

C + 6D + 9E = 0 C = 1/243 G = -1/243

B + 6C + 9D = 0 D = 4/729 H = -22/6561

A + 6B + 9C = 0

6A + 9B = 0

9A = 1



125

−+

−+−++−=+ ∫∫∫∫∫∫∫∫ 22345626 )3(243

1656122

218713

7294

2431

272

91

)3(1

udu

udu

udu

udu

udu

udu

udu

uu

)3(656122

+∫ udu

−

+−

−+

−−

−+

−+

−−

−

31

2431

6561221

218713

21

7294

31

2431

41

272

51

91

2345 uLn

uuuuuµ

3656122

+uLn

Pero : xLn=µ

I = +++−−+

− xLnLnxLnxLnxLnxLnxLn 6561

222187

13729

2729

154

145

12345

xLnLnxLn

+−+

3656122

)3(2431

CxLn

xLnLnLnxxLnxLnxLnxLnxLn

I ++

++

++−−+−

=∴36561

22)3(243

12187

13729

2729

154

145

12345

Rpta

68. ∫ 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙+𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐𝒙 (𝟏+𝒔𝒆𝒏𝒉𝟐𝒙+𝒄𝒐𝒔𝒉𝟑𝒙)𝟐

𝒅𝒙

�2𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 + 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥2𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥

(1 + 𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑥)2𝑑𝑥

�2𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥(1 + 𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑥)

(1 + 𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑥)2𝑑𝑥

Resolución



126

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑥 = 1 + 𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑥

→ �2𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑥

(𝑐𝑜𝑠ℎ2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑥)2

2�𝑐𝑜𝑠ℎ3𝑥

𝑐𝑜𝑠ℎ4𝑥(1 + 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥)2

2�1

𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥(1 + 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥)2

𝑠𝑒𝑎 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 = 𝑢 → 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 → 𝑑𝑥 =𝑑𝑢

𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥

⟹ �𝑑𝑢

(1 + 𝑢)𝑢√𝑢2 − 1

∫ −1(1+𝑢)√𝑢2−1

𝑑𝑢 + ∫ 1𝑢√𝑢2−1

𝑑𝑢

𝐼1 𝐼2

Para 𝐼1

ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 + 1 =1𝑠

⟹ 𝑑𝑢 = −1𝑠2𝑑𝑠

⟹ −�−1

1𝑆�(1

𝑠−1)2 − 1

−1𝑠2

𝑑𝑠

−�1𝑠

1

( 1𝑠2− 2

𝑠+ 1 − 1)

12

𝑑𝑠𝑠2

�1𝑠

1

�1−2𝑠𝑠2

𝑑𝑠𝑠2

= �𝑑𝑠

√1−2𝑠𝑠2

𝑠2= −

12�𝑑(−2𝑠)√1 − 2𝑠

𝑠𝑒𝑎 𝑢 = 1 − 2𝑠

−12�𝑑𝑢√𝑢

= −12𝑢32

32

= −13𝑢32



127

Reemplazando todo los valores se obtiene

𝐼1 = −13�1 − 2 �

1𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 − 1

��

𝐼1 =23�

1𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 − 1

�

Para 𝐼2

𝐼2 = �1

𝑢√𝑢2 − 1𝑑𝑢

Sea 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑧 ⟹ 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑧𝑡𝑎𝑛𝑧𝑑𝑧

𝐼2 = �𝑠𝑒𝑐𝑧𝑡𝑎𝑛𝑧𝑑𝑧

𝑠𝑒𝑐𝑧√𝑠𝑒𝑐2 − 1= �

𝑡𝑎𝑛𝑧𝑑𝑧𝑡𝑎𝑛𝑧

𝐼2 = �𝑑𝑧 = 𝑧 + 𝐶

Pero 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐𝑢

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠

𝐼2 = arcsec (𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥)

𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2

∴ 𝑰 = 𝟐𝟑� 𝟏𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙−𝟏

� + 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒄(𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙) + 𝑪 Rpta

69. ∫ 𝟓

𝒙𝟒�𝒙𝟐+𝟑𝒙−𝟏

Resolución



128

Por cambio de variable:

𝑥 =1𝑡

→ 𝑑𝑥 = −𝑑𝑡𝑡2

Remplazando:

−�5𝑡2𝑑𝑥

(1𝑡)4� 1

𝑡2+ 3 1

𝑡− 1

= −�5𝑑𝑡

1𝑡2�1+3𝑡−𝑡2

𝑡2

= −5�𝑡3𝑑𝑡

√1 + 3𝑡 − 𝑡2

Haciendo método Ostrogradski

�−5𝑡𝑑𝑡

√+3𝑡 − 𝑡2= (𝐴𝑡2 + 𝑏𝑡 + 𝑐)�−𝑡2 + 3𝑡 + 1 + 𝜆�

𝑑𝑡√−𝑡2 + 3𝑡 + 1

𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜

−5𝑡3 = (2𝐴𝑡 + 𝐵)(�−𝑡2 + 3𝑡 + 1)2 + (𝐴𝑡2 + 𝑏𝑡 + 𝑐)(−𝑡 + 3) + 𝜆

−5𝑡3 = −2𝑡3 + 5𝐴𝑡2 + 2𝐴𝑡 − 𝐵𝑡2 + 3𝐵𝑡 + 𝐵 − 𝐴𝑡3 − 𝐵𝑡2 − 𝐶𝑡 + 3𝐴𝑡2 + 3𝐵𝑡 + 3𝐶 + 𝜆

−5𝑡3 = −3𝐴𝑡3 + (9𝐴 − 2𝐵)𝑡2 + (2𝐴 + 6𝐵 − 𝐶)𝑡 + (𝑏 + 3𝐶 + 𝜆)

Igualando tenemos

𝐴 =53

;𝐵 =152

;𝐶 =145

3; 𝜆 = −

3052

𝐼 = �53𝑡2 +

15𝑡2

+145

3��−𝑡2 + 3𝑡 + 1 −

3052

�𝑑𝑡

√−𝑡2 + 3𝑡 + 1

𝐼 = �53𝑡2 +

15𝑡2

+145

3��−𝑡2 + 3𝑡 + 1 −

3052

�2√13

𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 �2𝑡√13

��

Reemplazando 𝑡 = 1𝑥

𝑰 = � 𝟓𝟑𝒙𝟐

+ 𝟏𝟓𝟐𝒙

+ 𝟏𝟒𝟓𝟑��− 𝟏

𝒙𝟐+ 𝟑

𝒙+ 𝟏 − 𝟑𝟎𝟓

𝟐� 𝟐√𝟏𝟑

𝒂𝒓𝒄𝒐𝒔 � 𝟐𝒙√𝟏𝟑

�� + 𝑪 Rpta

70. 𝑰 = ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙√𝟏+ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙𝟑 𝒅𝒙

Resolución



129

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥

⟹�2𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 �1 + 𝑠𝑒𝑛3𝑥3 𝑑𝑥

Pero como 𝑑𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥

⟹�2𝑠𝑒𝑛𝑥 �1 + 𝑠𝑒𝑛3𝑥3 𝑑𝑠𝑒𝑛𝑥

ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑢

2�𝑢 �1 + 𝑢33 𝑑𝑢

Sea 𝑡3 = 𝑢−3 + 1 ⟹ 𝑢3 = 1𝑡3−1

⟹ 3𝑡2𝑑𝑡 = −3𝑢−4𝑑𝑢 ⟹ 𝑑𝑢 =−𝑡2𝑑𝑡𝑢−4

= −𝑡2𝑢4𝑑𝑡

2�𝑢�1 +1

𝑡3 − 1(−𝑡2𝑢4𝑑𝑡)

3⟹ 𝑢5 = �

1√𝑡3 − 13 �

5

2�𝑢�𝑡3

𝑡3 − 1(−𝑡2𝑢4𝑑𝑡)

3

−2�𝑡

𝑡3 − 1(−𝑡2)

1

�√𝑡3 − 13 5�𝑑𝑡

−2�𝑡3

(𝑡3−1)2 𝑑𝑡

2�𝑢�1 + 𝑢3𝑑𝑢3

𝑠𝑒𝑎 𝑡3 =𝑢3 + 1𝑢3

⟹ 𝑢3 =1

𝑡3 − 1

⟹ 3𝑡2𝑑𝑡 = −3𝑢−4𝑑𝑢 ⟹ 𝑑𝑢 =3𝑡2𝑑𝑡−3𝑢−4

−�𝑢5�1 +1

𝑡3 − 13

𝑡2𝑑𝑡

−�(�𝑡3 − 13 )5√𝑡33

√𝑡3 − 13 𝑡2𝑑𝑡



130

−�−3𝑡3𝑡2𝑑𝑡

3(𝑡3 − 1)2

−13�

𝑡3𝑑𝑡3

(𝑡3 − 1)2

−13�

𝑧𝑑𝑧(𝑧 − 1)2

𝑧(𝑧 − 1)2

=𝐴

𝑧 − 1+

𝐵(𝑧 − 1)2

Operando se obtiene:

A=1; B=1

−16�

1(𝑧 − 1)2 𝑑𝑧 + �

1(𝑧 − 1)2

𝑑𝑧

−16

ln|𝑧 − 1| − (𝑧 − 1)−1

𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑧 = 𝑡3

−16

ln|𝑡3 − 1| − (𝑡3 − 1)−1

Pero 𝑡3 = 𝑢−3 + 1

−16

ln|𝑢−3| − (𝑢−3)−1

𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑥

∴ 𝑰 = −𝟏𝟔𝒍𝒏�𝒔𝒆𝒏−𝟑𝒙� − (𝒔𝒆𝒏𝟑𝒙)𝟏 + 𝑪 Rpta

71. 𝑰 = ∫ 𝒅𝒙𝟑𝟑𝒙+𝟐.𝟑(𝟐𝒙+𝟏)+𝟓.𝟑𝒙

Resolución



131

ℎ𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢 = 3𝑥 → 𝑑𝑢 = 3𝑥 ln𝑑𝑥

∴ 𝑑𝑥 =𝑑𝑢

3𝑥 ln 3=

𝑑𝑢𝑢 ln 3

→ �𝑑𝑢

𝑢 ln 3 (𝑢3 + 2𝑢23 + 5)

→1

ln 3�

𝑑𝑢𝑢2(𝑢2 + 6𝑢 + 5)

Por fracciones parciales;

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢2 + 6𝑢 + 5 = (𝑢 + 5)(𝑢 + 1)

𝐴𝑢

+𝐵𝑢2

+𝐶

(𝑢 + 5)+

𝐷𝑢 + 1

=1

𝑢2(𝑢2 + 6𝑢 + 5)

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒:

𝐴 =6

25; 𝑏 −

15

;𝐶 = −61

100 𝑦 𝐷 =

37100

→1

ln 3��

625

𝑑𝑢 −15�𝑑𝑢𝑢2

−61

100�

𝑑𝑢𝑢 + 5

+37

100�

𝑑𝑢𝑢 + 5

�

1𝑙𝑛3

�6

25ln𝑢 −

15−1𝑢−

61100

ln(𝑢 + 5) +37

100ln(𝑢 + 1)�

Pero

1𝑙𝑛3

�6

25ln 3𝑥 +

153𝑥

−61

100ln(3𝑥 + 5) +

37100

ln(3𝑥 + 1)� + 𝐶

∴ 𝑰 = 𝟔𝟐𝟓𝒙 + 𝟏

𝟓𝒍𝒏𝟑.𝟑−𝒙 + 𝟔𝟏

𝟏𝟎𝟎𝒍𝒏 (𝟑𝒙+𝟓)

𝒍𝒏𝟑+ 𝟑𝟕

𝟏𝟎𝟎𝒍𝒏 (𝟑𝒙+𝟏)

𝒍𝒏𝟑+ 𝑪 Rpta



132

72. Sea 𝑰𝒏 = ∫(𝟗 − 𝟗𝒙)𝒏𝟐 𝒅𝒙 ;𝒏 ∈ 𝒁, hallar la regla la fórmula

de recurrencia

Resolución

Haciendo

x = cosθ

dx = dcosθ = senθdθ

→ In = −3n � sennθsenθdθ = 3n � senθ(n+1)θdθ

Sea n = par

−3n � sen(n+1)θdθ = −3n �(1 + cosnθ)n2senθdθ

= 3n �(1 + cos2θ)n2dcosθ

para n = 2 ∶ 32 �(1 + x2) dx = 32 �x +x3

3�

para n = 4 ∶ 34 �(1 + x2)2 dx = 34 �x5

5+ 2

x3

3+ x�

para n = 6 ∶ 36 �(1 + x2)3 dx = 34 �x7

7+ 3

x5

5+ 3

x3

3+ x�

En general

𝑰𝒏 = 𝟑𝒏 �𝒙𝒏+𝟏

𝒏 + 𝟏+ 𝒄𝟏

𝒏𝟐𝒙𝒏−𝟏

𝒏 − 𝟏+ 𝒄𝟐

𝒏𝟐𝒙𝒏−𝟑

𝒏 − 𝟑+ ⋯�

Sea n = impar

In=∫ sennθdθ

�1 − 𝑥2

x

1

𝜃

x

�1 − 𝑥2

1

𝜃



133

𝐼𝑛= ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛−1𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 = −𝑠𝑒𝑛𝑛−1𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + (𝑛 − 1)�𝑠𝑒𝑛𝑛−2𝜃𝑐𝑜𝑠2𝜃𝑑𝜃

𝐼𝑛=−𝑠𝑒𝑛𝑛−1𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃+(𝑛−1)�∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛−2𝜃𝑑𝜃−∫ 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜃𝑑𝜃�

𝐼𝑛−2 𝐼𝑛

𝐼𝑛 = −𝑠𝑒𝑛𝑛−1θcosθ + (𝑛 − 1)[𝐼𝑛−2 − 𝐼𝑛]

𝐼𝑛 − 𝐼𝑛(𝑛 − 1) =−𝑠𝑒𝑛𝑛−1θcosθ + (n − 1)𝐼𝑛−2

𝑛

𝐼𝑛 = −𝑠𝑒𝑛𝑛−1θcosθ + (n − 1)𝐼𝑛−2

Reemplazando:

𝑰𝒏 = −(�𝟏−𝒙𝟐)(𝒏−𝟏)𝒙+(𝒏−𝟏)𝑰𝒏−𝟐𝒏

Rpta

73. Calcular :

�𝐥𝐧(𝒙𝟒 + 𝟏) − 𝐥𝐧(𝒙𝟒)

𝒙𝟕�𝒙𝟒 + 𝟏𝒅𝒙

�𝐥𝐧 �𝟏 + 𝟏

𝒙𝟒� .�𝟏 + 𝟏

𝒙𝟒

𝒙𝟓𝒅𝒙

Resolución

�𝐥𝐧 �𝒙

𝟒+𝟏𝒙𝟒

�

𝒙𝟓.√𝒙𝟒 + 𝟏𝒙𝟐

𝒅𝒙

Como:



134

𝒅� 𝟏𝒙𝟒� == −𝟒𝒙𝟓 𝒅𝒙 →

𝒅𝒙𝒙𝟓

= −𝒅( 𝟏

𝒙𝟒)

𝟒

→ �𝐥𝐧 �𝟏 +𝟏𝒙𝟒� .�𝟏 +

𝟏𝒙𝟒

.𝒅 𝟏𝒙𝟒

Como:

𝟏𝒙𝟒

= 𝒖

�𝐥𝐧(𝟏 + 𝒖).√𝟏 + 𝒖 .𝒅𝒖

1+u = t

→ �𝐥𝐧 𝒕.√𝒕 .𝒅𝒕

Haciendo:

=𝟑𝟐𝐥𝐧 𝒕 . 𝒕

𝟑𝟐 −

𝟐𝟑

.𝒕𝟑𝟐

𝟑𝟐

Integramos por partes:

= 𝐥𝐧 𝒕 .𝒕𝟑𝟐

𝟑𝟐

− � 𝐥𝐧 �𝟏𝒕� .𝒕𝟑𝟐

𝟑𝟐

.𝒅𝒕

𝑰= 𝟑𝟐𝐥𝐧 𝒕 . √𝒕𝟐𝟑 − 𝟒

𝟗. √𝒕𝟐𝟑

T= u+1

Como:

U= 𝟏𝒙𝟒

+ 𝟏

𝑰 = 𝟐𝟑𝐥𝐧 �𝟏+𝒙

𝟒

𝒙𝟒� . �� 𝟏

𝒙𝟒+ 𝟏�

𝟐 𝟑− 𝟒

𝟑��𝟏+𝒙

𝟒

𝒙𝟒�𝟐𝟑

+ 𝑪 Rpta

u dv



135

74. Calcular :

𝑰 = �𝟏 − √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐

𝒙 + √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐𝒅𝒙

Resolución

𝑰 = �𝒙 + 𝟏 − 𝒙 − √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐

𝒙 + √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐𝒅𝒙

𝑰 = −𝒙𝟐

𝟐− 𝒙 + ∫√𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 𝒅𝒙… … … … … … . . (𝟏)

particionando la integral:

𝑰 = �𝒙 + 𝟏

𝒙 + √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐𝒅𝒙 − �

𝒙 + √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐

𝒙 + √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐𝒅𝒙

𝑰 = �𝒙 + 𝟏

𝒙 + √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐𝒅𝒙 − �𝒅𝒙

𝑰 = �(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐)

𝒙𝟐 − 𝟏 − 𝒙 + 𝒙𝟐𝒅𝒙 − 𝒙

𝑰 = �(𝒙 + 𝟏)(𝒙 − √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐)

−(𝟏 + 𝒙)𝒅𝒙 − 𝒙

𝑰 = −�𝒙𝒅𝒙 + ��𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 𝒅𝒙 − 𝒙

𝑰𝟐

𝑰𝟐 = ��𝟑𝟒

+ �𝟏𝟐

+ 𝒙�𝟐

𝒅�𝟏𝟐+𝒙�

Haciendo:



136

𝟏𝟐

+ 𝒙 = 𝒖

𝑰𝟐 = 𝟏𝟐�𝒖�

𝟑𝟒

+ 𝒖𝟐 +𝟑𝟒𝐥𝐧�𝒖 + �𝒖𝟐 +

𝟑𝟒�� + 𝒄… … … (𝟐)

Reemplanzando (2)en (1)

U=𝟏𝟐

+ 𝒙

𝑰 = −𝒙𝟐

𝟐− 𝒙 +

𝟏𝟐�𝒖�

𝟑𝟒

+ 𝒖𝟐 +𝟑𝟒𝐥𝐧�𝒖 + �𝒖𝟐 +

𝟑𝟒�� + 𝒄

Como:

𝑰 = −𝒙𝟐

𝟐− 𝒙 + 𝟏

𝟐��𝟏𝟐

+ 𝒙�√𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝟑𝟐𝐥𝐧 ��𝟏

𝟐+ 𝒙� + √𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐�� + 𝒄

Rpta

75. Calcular:

𝐥𝐢𝐦𝒏→∞

𝟑𝒏�𝟏 + �

𝒏𝒏 + 𝟑

+ �𝒏

𝒏 + 𝟔+ ⋯… … . . +�

𝒏𝒏 + 𝟑(𝒏 − 𝟏)�

Resolución

lim𝑛→∞

3 �1𝑛

+ �𝑛

𝑛2(𝑛 + 3) + �𝑛

𝑛2(𝑛 + 6) + ⋯… … . . +�𝑛

𝑛2[𝑛 + 3(𝑛 − 1)]�

lim𝑛→∞

3 �1𝑛

+ �𝑛

𝑛2(𝑛 + 3) + �𝑛

𝑛2(𝑛 + 6) + ⋯… … . . +�𝑛

𝑛2[𝑛 + 3(𝑛 − 1)]�



137

lim𝑛→∞3 �1𝑛

+ � 1𝑛(𝑛+3)

+ � 1𝑛(𝑛+6)

+ ⋯… … . . +� 1𝑛[𝑛+3(𝑛−1)]�

lim𝑛→∞

3

⎣⎢⎢⎡1𝑛

+ �13�1𝑛−

1𝑛 + 3

� + �16�1𝑛−

1𝑛 + 6

� + ⋯… … . . +�1

3(𝑛 − 1) �1𝑛−

1

𝑛 + 13(𝑛−1)

�

⎦⎥⎥⎤

∴ 𝐥𝐢𝐦𝐧→∞𝟑[𝟎] = 𝟎 Rpta

76. Suponga que en número x (t) de lagartos en un pantano satisface la ecuación diferencial 𝒅𝒙𝒅𝒕

=(𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟏)𝒙𝟐 − (𝟎.𝟎𝟏)𝒙, sabiendo que en un principio

hay 25 lagartos resuelva esta ecuación ¿puede usted afirmar lo que ocurrirá con esta población a largo plazo?

∫ 𝑑𝑥𝑥25 = ∫ (0.0001𝑡2 − 0.01𝑡)𝑑𝑡𝑡

0

(𝑥 − 25) = �(0.0001)𝑡3

3− (0.01)

𝑡2

2�

𝑥 − 25 =(0.0001)

3𝑡3 −

(0.01)2

𝑡2

Resolución 𝑑𝑥𝑑𝑡

= (0.001)𝑡2 − (0.01)𝑡

𝑥(𝑡) =⋕ 𝑙𝑎𝑔𝑎𝑟𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑥 = (0.0001𝑡2 − 0.01𝑡)𝑑𝑡

0 0 0 0 0 0 0 0

t

0



138

∴ 𝒙(𝒕) = 𝟐𝟓 + (𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟏)𝟑

𝒕𝟑 − (𝟎.𝟎𝟏)𝟐

𝒕𝟐 Rpta

77. Calcular 𝒍𝒊𝒎𝒏→∞ �𝟐𝒏𝟐+𝟑𝒏+𝟏𝟐𝒏𝟐+𝒏+𝟐

�𝒏

�lim𝑛→∞ �1 + 12𝑛2+𝑛+2

2𝑛

�(2𝑛

2+𝑛+22𝑛 )

�

𝑛( 2𝑛2𝑛2+𝑛+2)

Resolución

lim𝑛→∞

�1 +2𝑛

2𝑛2 + 𝑛 + 2�𝑛

lim𝑛→∞

�1 +1

2𝑛2+𝑛+22𝑛

�

(2𝑛2+𝑛+22𝑛 )𝑛( 2𝑛

2𝑛2+𝑛+2)

= 𝑒lim𝑛→∞2𝑛2

2𝑛2+𝑛+2 = 𝑒lim𝑛→∞

2

2+1𝑛+2𝑛2 = 𝑒1

𝒍𝒊𝒎𝒏→∞ �𝟐𝒏𝟐+𝟑𝒏+𝟏𝟐𝒏𝟐+𝒏+𝟐

�𝒏

= 𝒆 Rpta

78. Sea L la recta tangente a la hipérbola 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝟏en el

punto 𝑨 = (𝒆𝒏+𝒆−𝒏

𝟐, 𝒆

𝒏+𝒆−𝒏

𝟐), probar que L corta el eje X

en el punto (𝒆𝒏−𝒆−𝒏

𝟐,𝟎) y al eje y en el punto

(𝟎,−𝒆𝒏+𝒆−𝒏

𝟐).

lim𝑛→∞

�1 +1𝑥�𝑥

= 𝑒



139

Resolución

L: y = ax + b x, y > 0

y = �x2 − 1

dy𝑑𝑥

=𝑥

√x2 − 1

a =en+e−n

2

�(en−e−n2 )2

= en+e−n

en−e−n

en − e−n

2=

en + e−n

�(en − e−n)2=

en + e−n

en − e−n�

en − e−n

2� + 𝑏

𝑏 =en − e−n

2−

12

(en + e−n)2

en − e−n

𝑦 =en + e−n

en − e−n𝑥 −

en − e−n

2

𝐲 = 𝟎

0 =en + e−n

en − e−n . 𝑥 −en − e−n

2

𝑥 = en+e−n

2�e

n−e−n

en+e−n�

A = (en + e−n

2,en + e−n

2)

x2 − y2 = 1

Y

X

L



140

𝑥 =en − e−n

2

x = 0

∴ 𝒚 = −𝟏𝟐

(𝐞𝐧 − 𝐞−𝐧) Rpta

79. Expresar el siguiente limite como una integral definida:

𝐥𝐢𝐦𝒏→∞

��(𝒙𝒊 − 𝒙𝒊 − 𝟏)𝟐 + [𝒄𝒐𝒔(𝒙𝒊)− 𝒄𝒐𝒔(𝒙𝒊 − 𝟏)]𝟐 , [𝟎,𝝅]𝒏

𝒊=𝟏

Resolución

lim𝑛→∞

��(∆𝑥𝑖)2 + [𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑖) − 𝑐𝑜𝑠(𝑥𝑖 − 1)]2𝑛

𝑖=1

��(𝑥𝑖) = 𝑓(𝑥𝑖)−𝑓(𝑥𝑖−1)∆𝑥𝑖

, ∆𝑥𝑖 = 𝜋𝑛

lim𝑛→∞

�𝜋𝑛⏟∆𝑥𝑖

�1 + 𝑠𝑒𝑛2(𝑥𝑖)𝑛

𝑖=1

∴ 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞

��(𝒙𝒊 − 𝒙𝒊 − 𝟏)𝟐 + [𝒄𝒐𝒔(𝒙𝒊) − 𝒄𝒐𝒔(𝒙𝒊 − 𝟏)]𝟐𝒏

𝒊=𝟏

= � [1 + 𝑠𝑒𝑛2(𝑥𝑖)]12 𝑑𝑥

𝝅

𝟎

Rpta

80. Determine f(x) si 𝐟"(𝐱) = 𝟔𝐱 + 𝟏 y además ��(𝟎) = 𝟐, 𝐟(𝟏) = 𝟎

Resolución



141

�𝑓"(𝑥𝑖)𝑑𝑥 = �(6𝑥 + 1)𝑑𝑥

��(𝑥𝑖) =6𝑥2

2+ 𝑥 + 𝑐1��(𝑥) =

6(0)2

2+ 0 + 𝑐1 ⟹ 𝑐1 = 2

��(𝑥) = 3𝑥2 + 𝑥 + 2 ↦ � ��(𝑥) = �(3𝑥2 + 𝑥 + 2)𝑑𝑥

𝑓(𝑥) = 𝑥3 +𝑥2

2+ 2𝑥 + 𝑐2

𝑓(1) = 1 +12

+ 2(1) + 𝑐2 = 06 ⟶32

+ 2 + 𝑐2 = 6 𝑐2 = −72

∴ 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐

𝟐+ 𝟐𝒙 − 𝟕

𝟐 Rpta

81. Sea s y c dos funciones reales tales que ��(𝒙) = 𝒄(𝒙) y ��(𝒙) = −𝒔(𝒙),∀𝒙 ∈ 𝑹, si se cumple que 𝒔(𝒙) = 𝟎,𝒄(𝟎) = 𝟏 demostramos que:

[𝒔(𝒙)]𝟐 + [𝒄(𝒙)]𝟐 = 𝟏

−c"(x) = s(x)�c(x)

→ −c"(x) = c(x)

Resolución

��(𝐱) = −𝐬(𝐱)

c"(x) + c(x) = 0

Ensayando una solución :

c(x) = 𝑒𝛼𝑥

c"(x) = 𝛼2𝑒𝛼𝑥



142

Remplazando :

(𝛼2 + 1)𝑒𝛼𝑥 = 0

𝛼 = +𝑖

Solución general :

c(x) = 𝐴𝑒𝑖𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖𝑥

c(x) = 𝑆(𝑥) = 𝐴𝑖𝑒𝑖𝑥 − 𝐵𝑖𝑒−𝑖𝑥

Tenemos las condiciones iniciales:

𝑠(𝑥) = 0 ∧ 𝑐(0) = 1

Remplazando:

𝐴 + 𝐵 = 1 ∧ 𝐴 = 𝐵

𝐴 = 𝐵 =12

c(x) =12 �𝑒

𝑖𝑥 + 𝑒−𝑖𝑥��𝑐𝑜𝑠𝑥

�

𝑐(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∧ 𝑠(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥

∴ [𝒔(𝒙)]𝟐 + [𝒄(𝒙)]𝟐 = [𝒔𝒆𝒏𝒙]𝟐 + [𝒄𝒐𝒔𝒙]𝟐 = 𝟏 Rpta

8 2 . E v a l u a r

a. 𝑰 = ∫ 𝟐(𝟏+𝒙𝟒)𝟏𝟐+(𝟏+𝒙𝟑)−

𝟒𝟑

𝒙𝟑 𝒅𝒙



143

Resolución

𝐼 = 2�(1 + 𝑥4)

12

𝑥3 𝑑𝑥 + �

(1 + 𝑥3)−43

𝑥3 𝑑𝑥 = 2�𝑥−3(1 + 𝑥4)

12 𝑑𝑥

��𝐴

+ �𝑥−3(1 + 𝑥3)−43𝑑𝑥

��𝐵

𝐴 = ∫𝑥−3(1 + 𝑥4)12 𝑑𝑥

𝑚 = −3, 𝑛 = 4, 𝑃 =12

𝑚 + 1𝑛

+ 𝑝 = −12

+12

= 0 ∈ Ζ

⟹ 1 + x4 = 𝑡2𝑥4

x4 = 1𝑡2−1

⟹

𝐴 = � x−3(t2x4)12 �−

1

2𝑡𝑥5� dt = −

12� t2x4𝑑𝑡 = −

12� t2 �

1𝑡2 − 1

� 𝑑𝑡 = −12��

t2

𝑡2 − 1�𝑑𝑡

= −12��1 +

1𝑡2 − 1

� 𝑑𝑡 = −12��𝑑𝑡 +��

1𝑡2 − 1

� 𝑑𝑡� = −12�t +

12

ln �𝑡 − 1𝑡 + 1

�� = −𝑡2−

14𝑙𝑛 �

𝑡 − 1𝑡 + 1

�

Pero 𝑡=�𝑥4+1𝑥2

𝐴 = −√𝑥4 + 1

2𝑥2−

14𝑙𝑛 �

√𝑥4+1𝑥2

− 1√𝑥4+1𝑥2

+ 1� + 𝑐1

𝐵 = ∫ x−3(1 + x3)−43𝑑𝑥

𝑚 = −3, 𝑛 = 3, 𝑃 = −43

𝑚 + 1𝑛

+ 𝑝 = −23−

43

= −63

= −2 ∈ Ζ

2𝑡 𝑑𝑡 = −4x−5𝑑𝑥

𝑑𝑥 = −12𝑡𝑥5𝑑𝑡

𝑡2 = 𝑥−4+1

𝐴 = −√𝑥4 + 1

2𝑥2−

14𝑙𝑛 �

√𝑥4 + 1 − 𝑥2

√𝑥4 + 1 + 𝑥2� + 𝑐1



144

⟹ 1 + x3 = 𝑡3𝑥3

⟹ t3 = 𝑥−3 + 1

⟹ 3t2𝑑𝑡 = −3𝑥−4𝑑𝑥

𝑑𝑥 = −t2x4𝑑𝑡 x3 =1

𝑡3 − 1 𝑡 =

√1 + x33

𝑥

𝐵 = � x−3(t3x3)−43 (−t2x4)𝑑𝑡 = � x−3𝑡−4 x−4(−t2x4)𝑑𝑡 = −� x−3 t−2𝑑𝑡 = −�

𝑑𝑡x3t2

= −�𝑑𝑡

t2( 1𝑡3−1

)= −�

𝑡3 − 1t2

𝑑𝑡 = −��𝑡 −1t2� 𝑑𝑡 = −�(𝑡)𝑑𝑡 + ��

1t2� 𝑑𝑡 = −

t2

2−

1𝑡

+ 𝑐2

𝐼 = 2 �−√𝑥4 + 1

2𝑥2−

14𝑙𝑛 �

√𝑥4 + 1 − 𝑥2

√𝑥4 + 1 + 𝑥2� −

�(1 + x3)23

2𝑥2−

𝑥√1 + x33 � + 𝑐

∴ 𝑰 = −�𝒙𝟒+𝟏𝒙𝟐

− 𝟏𝟐𝒍𝒏 �

�𝒙𝟒+𝟏−𝒙𝟐

�𝒙𝟒+𝟏+𝒙𝟐� − �(𝟏+𝐱𝟑)𝟐𝟑

𝟐𝒙𝟐− 𝒙

�𝟏+𝐱𝟑𝟑 + 𝒄 Rpta

b. ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙+𝒔𝒆𝒏𝟒𝒙𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙−𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙

𝒅𝒙

Resolución

cos4x + sen4x = 1 − 2sen2xcos2x = 1 −12

4sen2xcos2x = 1 −12

sen22x Reemplazando en la integral:

𝐵 = −12

(�1 + x33

𝑥 ) −𝑥

�1 + x33 + 𝑐2



145

�1 − 1

2sen22x

𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 = �

1 − 12

(1 − cos22x)𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑑𝑥 = �1 − 1

2+ 1

2cos22x

cos2x𝑑𝑥

∫ 1𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑑𝑥 − ∫12

𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 + 1

2 ∫𝑐𝑜𝑠22𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 − 12 ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 + 1

2 ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥

=12�𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 +

12�𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥

=12�𝑠𝑒𝑐2𝑥𝑑𝑥 +

12

12𝑠𝑒𝑛2𝑥

∴ ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙+𝒔𝒆𝒏𝟒𝒙𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙−𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙

𝒅𝒙 = 𝟏𝟒𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙+ 𝒕𝒈𝟐𝒙| + 𝟏

𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙+ 𝒄 Rpta

c. 𝑰 = ∫ 𝒙 𝒍𝒏(√𝟑𝒙 + 𝟏𝟑

) 𝒅𝒙

Resolución

𝐼 =13�𝑥𝑙𝑛(3𝑥 + 1)𝑑𝑥

𝑢 = ln(3𝑥 + 1) ⟹ 𝑑𝑢 =3

3𝑥 + 1

𝑑𝑣 = 𝑥𝑑𝑥 ⟹ 𝑣 =𝑥2

2

𝑰 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖

𝑥2

6ln(3𝑥 + 1) −

12�

𝑥2

3𝑥 + 1𝑑𝑥

𝑥2

6ln(3𝑥 + 1) −

118

��3𝑥 − 1 +1

3𝑥 + 1� 𝑑𝑥

∴ 𝑰 = 𝒙𝟐

𝟐𝒍𝒏(𝟑𝒙 + 𝟏) − 𝒙𝟐

𝟏𝟐+ 𝒙

𝟏𝟖− 𝟏

𝟓𝟒𝒍𝒏(𝟑𝒙+ 𝟏) + 𝒄 Rpta



146

d. 𝑰 = ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒙

[𝒙𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒙)+𝒄𝒐𝒔𝒉(𝒙)]𝟐 𝒅𝒙

∫ coshxx

𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥[𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥+𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥]2 𝑑𝑥

Resolución

𝑢 =𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥

⟹ 𝑑𝑢 =−(𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥)𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥

𝑥2𝑑𝑥

𝑑𝑣 =𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥

[𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥]2 𝑑𝑥 ⟹ 𝑣 =−1

𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥

𝑰 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖

−𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥

1(𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥+𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥)

− ∫−(𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥+𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥)

𝑥2−1

(𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥+𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥)𝑑𝑥

∴ 𝑰 = − 𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙𝒙(𝒙𝒔𝒆𝒏𝒉𝒙+𝒄𝒐𝒔𝒉𝒙)

+ 𝟏𝒙

+ 𝒄 Rpta

e. 𝑰 = ∫ (𝟏+𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙)

𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙√𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒅𝒙

∫ (2+cos2x)2cos2x√senx

dx

Resolución

1 + sen2x = 2 − cos2𝑥

= ∫ 2dx2cos2x√senx

− ∫ (cos2x)2cos2x√senx

dx

u dv

𝑥𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 + 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 = 𝑟

𝑑𝑟 = 𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 𝑑𝑥 ⟹𝑑𝑟

𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 = 𝑑𝑥

𝑑𝑣 =𝑥 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥

[𝑟]2𝑑𝑟

𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 =𝑑𝑟𝑟2 ⟹𝑣 =

−1𝑟



147

= �dx

cos2x√senx−

12�

1√senx

dx

senx = u2 ⟹ 𝑑𝑥 =2𝑢

√1 − u2𝑑𝑢

∫ 1cos2x√senx

𝑑𝑥 = ∫ 2𝑢(1−u2)√1−u2𝑢

𝑑𝑢

= 2�(1 − u2)−32𝑑𝑢

u = senθ → du = cosθdθ

= 2 ∫(1 − sen2θ)−32cosθdθ = 2∫ 1

cos3θcosθdθ

= 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐2dθ = 2tanθ = 2tan (arcsen(u))

= 2𝑢

√1 − 𝑢2, 𝑢 = √𝑠𝑒𝑛𝑥

=2√𝑠𝑒𝑛𝑥

√1 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥= 2

√𝑠𝑒𝑛𝑥√𝑐𝑜𝑠2𝑥

= 2√𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥

⟹−12�

1√𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑑𝑥, 𝑠𝑒𝑛𝑥 = u2

⟹−12�

1√𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑑𝑥 , 𝑠𝑒𝑛𝑥 = u2

⟹ 12∫

2𝑢(�1−𝑢2)𝑢

𝑑𝑢

= −12�

𝑑𝑢√1 − 𝑢2

u = senθ → du = cosθ dθ

= −12 ∫

cosθ

√1−𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑑𝜃 = −1

2 ∫𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑑𝜃 = −12𝜃

= −12𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑢) = −

12𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(√𝑠𝑒𝑛𝑥)

u

�1 − 𝑢2

1

𝜃



148

∴ ∫ (𝟏+𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙)𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙√𝒔𝒆𝒏𝒙

𝒅𝒙 = 𝟐𝒔𝒆𝒄𝒙√𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝟏𝟐𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏�√𝒔𝒆𝒏𝒙� + 𝒄 Rpta

f. 𝑰 = ∫ 𝟑𝒔𝒆𝒏𝒙+𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙

𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙+𝟑𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙

Resolución

Aplicamos el método siguiente:

�𝒄𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒅𝒄𝒐𝒔𝒙𝒂𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒃𝒄𝒐𝒔𝒙

𝒅𝒙 = 𝑨𝒙 + 𝑩 𝒍𝒏|𝒂𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒃𝒄𝒐𝒔𝒙| + 𝒄

Entonces:

��3𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥

� 𝑑𝑥 = 𝐴𝑥+𝐵 𝑙𝑛|2𝑠𝑒𝑛𝑥+ 3𝑐𝑜𝑠𝑥| + 𝑐

Derivando:

3𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥

= 𝐴 +𝐵(2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑠𝑒𝑛𝑥)

2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥

3𝑠𝑒𝑛𝑥+2𝑐𝑜𝑠𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥+3𝑐𝑜𝑠𝑥

= 2𝐴𝑠𝑒𝑛𝑥+3𝐴𝑐𝑜𝑠𝑥+2𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥−3𝐵𝑠𝑒𝑛𝑥2𝑠𝑒𝑛𝑥+3𝑐𝑜𝑠𝑥

3𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥(2𝐴 − 3𝐵) + 𝑐𝑜𝑠𝑥(3𝐴 + 2𝐵)

∴ 𝑰 = 𝟏𝟐𝟏𝟑𝒙 − 𝟓

𝟏𝟑 𝒍𝒏|𝟐𝒔𝒆𝒏𝒙+ 𝟑𝒄𝒐𝒔𝒙| + 𝒄 Rpta

83. Evaluar

a. 𝑰 = ∫(𝒙 − 𝒂)𝒑−𝟏(𝒙 − 𝒃)−𝒑−𝟏 𝒅(𝒙); 𝒑 ≥ 𝟎, 𝒂 ≠ 𝒃

2A − 3B = 3

3A + 2B = 2 A =

1213

, B = −5

13



149

Resolución

= �(x − a)p−1

(x − b)p+1 𝑑𝑥 = ��(x − a)(x − b)�

𝑝−1 1(x − b)2 𝑑𝑥

Sea:

𝑢 =𝑥 − 𝑎𝑥 − 𝑏

⟹𝑑𝑢

(𝑎 − 𝑏)=

𝑑𝑥(𝑥 − 𝑏)2

Reemplazando:

= �(x − a)p−1

(x − b)p+1 𝑑𝑥 = � u(𝑝−1) 𝑑𝑢(a − b)

=1

(a − b)�u(𝑝−1)𝑑𝑢 =

1(a − b)

𝑢𝑝

𝑝+ ∁

𝑢 = 𝑥−𝑎𝑥−𝑏

:

�(x − a)p−1

(x − b)p+1 𝑑𝑥 =1

p(a − b)�𝑥 − 𝑎𝑥 − 𝑏

�𝑝

+ ∁

∴ ∫(𝒙 − 𝒂)𝒑−𝟏(𝒙 − 𝒃)−𝒑−𝟏 𝒅(𝒙) = 𝟏𝐩(𝐚−𝐛)

�𝒙−𝒂𝒙−𝒃

�𝒑

+ 𝒄 Rpta

b. 𝑰 = ∫(𝒙𝟐−𝟏𝒙𝟐+𝟏

) 𝟏�𝟏+𝒙𝟒

𝒅(𝒙)

Resolución

Dividiendo entre x:



150

𝐼 = �(x − 1

𝑥

x + 1𝑥

)1

√1 + x4d(x);

Sea 𝑡 = 𝑥 + 1𝑥 :

t2 = x2 +1𝑥2

+ 2 ⟹�t2 − 2 =√1 + x4

𝑥

dt = �1 −1𝑥2�dx ⟹

dt

�1 − 1𝑥2�

= dx

c. 𝑰 = ∫�𝒙𝟐−𝟏�

(𝒙𝟒+𝟑𝒙𝟐+𝟏)𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈�𝒙𝟐+𝟏𝒙 �

𝒅(𝒙)

𝑑(𝑢) = (𝑥2−1)𝑥4+3𝑥2+1

𝑑(𝑥) 𝑑(𝑥) = 𝑥4+3𝑥2+1(𝑥2−1)

𝑑(𝑢)

Resolución

𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 �𝑥2 + 1𝑥

�

Remplazamos:

∫(𝑥2−1)

(𝑥4+3𝑥2+1).𝑢(𝑥4+3𝑥2+1)

(𝑥2−1)𝑑(𝑣) = ∫ 𝑑(𝑢)

𝑢

∴ ∫�𝒙𝟐−𝟏�

(𝒙𝟒+𝟑𝒙𝟐+𝟏)𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈�𝒙𝟐+𝟏𝒙 �

𝒅(𝒙) = 𝒍𝒏 �𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈�𝒙𝟐+𝟏𝒙�� + 𝒄 Rpta

CALCULO DIFERENCIAL

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