Calculo Diferencial

UNIVERSIDAD AUTNOMA DE COAHUILA

FACULTAD DE INGENIERA MECNICA Y ELCTRICA UNIDAD NORTE

CALCULO DIFERENCIAL

NOMBRE: _________________________________MATRICULA:____________

Realizado por MC. Mario Alberto Barrera Moreno

Monclova Coahuila Enero de 2012

CALCULO DIFERENCIAL

Resumen El presente documento pretende apoyar el desarrollo de la clase de calculo

diferencial, teniendo en cuenta del contenido del temario del plan de estudios, se tiene

consideracin de los conocimientos bsicos del alumno en el rea de las matemticas y el

objetivo principal es explicar de forma clara los conceptos que rodean al Calculo y que

sean comprensibles para poder manejar el clculo de una forma ms sencilla.

Objetivo general:

Comprender el concepto de derivada en diferentes registros de representacin,

derivar cualquier funcin y aplicar la derivada a diversos problemas de Ingeniera.

Descripcin sinttica:

Este curso pretende que el alumno aprenda los diferentes elementos que

conforman el clculo diferencial de una variable para aplicarlos en el planteamiento y

solucin de problemas de Ingeniera, fomentando el desarrollo de habilidades como

trabajo en equipo y la comunicacin oral y escrita y el de actitudes como responsabilidad,

colaboracin y compromiso.

Aportacin de la asignatura al Perfil del Egresado:

Proporcionar al estudiante las habilidades, actitudes y conocimientos relacionados

con el clculo diferencial de una variable para que tenga un mejor desarrollo en su

trayectoria estudiantil y/o profesional.

Descripcin detallada del contenido de las Unidades:

Objetivo de la Unidad Estrategias de aprendizaje

Unidad I: Introducir el concepto de funcin y la idea de cambio, incluyendo la idea entre

cambio total y rapidez de cambio. Se introducen las funciones elementales utilizando

mtodos grficos, numricos, verbales y modelado de las mismas operaciones y

transformaciones con ellas.

Consultas, reportes, ejercicios interactivos, exposiciones, anlisis, sntesis,

retroalimentacin, trabajos finales, equipos de trabajo, investigacin. Unidad II: Comprender el concepto de lmites y sus propiedades. Determinar la

continuidad de una funcin.

Unidad III: Adquirir un conocimiento prctico de la derivada y su interpretacin como

rapidez instantnea. Hallar derivadas en trminos numricos, visualizarlas en forma

grfica, y reconocerla como una funcin. Utilizar la definicin de derivada para obtener las

reglas de derivacin y resolver problemas para adquirir prctica.

Unidad IV: Interpretar el significado de primera y segunda derivadas en aplicaciones

diversas y adquirir la prctica en el uso de la derivada para anlisis de optimizacin y

trazado de grficas.

CALCULO DIFERENCIAL

iv

Asignatura: Calculo Diferencial, rea del conocimiento: Bsica, subrea del conocimiento: matemticas Mario A. Barrera Moreno

Calculo Diferencial

CONTENIDO 1.Funciones ............................................................................................................. 1 1.1 Definicin intuitiva y formal de funcion ..................................................... 1 1.2 Funciones algebraicas.. ........................................................................... 3 1.3 Funciones Trascendentes ........................................................................ 4 1.4 Nuevas funciones a partir de las anteriores ............................................. 4

1.4.1 Operaciones con funciones ........................................................ 4 1.4.2 Funciones compuestas............................................................... 5

2. Lmites y Continuidad .......................................................................................... 7 2.1 Definicin intuitiva y formal de limite ........................................................ 7 2.2 Propiedades de los limites ....................................................................... 9 2.3 Calculo de limites ................................................................................... 10 2.4 Continuidad ............................................................................................ 15 3. Derivadas y diferenciacin ................................................................................ 22 3.1 Definicin ............................................................................................... 22 3.2 Formulas de derivacin ......................................................................... 28 3.2.1 Algebraicas ................................................................................ 28 3.2.1 Regla de la Cadena ................................................................... 35 3.2.1 Trascendentales ........................................................................ 38 3.3 Derivadas de orden superior ................................................................. 43 3.4 Derivadas implcitas .............................................................................. 45 3.5 Teorema del valor medio ...................................................................... 48 3.6 Regla LHpital ....................................................................................... 51 3.6 Aplicaciones y problemas de variacin con el tiempo ............................ 55

v


4. Aplicaciones de la derivada ............................................................................... 68 4.1 Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada para mximos y mnimos de una funcin .................. 70 4.2 Concavidad, puntos de inflexin y el criterio de la segunda derivada para mximos y mnimos de una funcin ............... 84 4.3 Problemas de optimizacin .................................................................... 88 Referencias Bibliogrficas ..................................................................................... 93

vi


INTRODUCCION GENERAL

El clculo diferencial es un campo de la matemtica, es el estudio de cmo

cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de

estudio en el clculo diferencial es la derivada. Una nocin estrechamente

relacionada es la de diferencial.

La derivada de una funcin en un cierto punto es una medida de la tasa en

la cual una funcin cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una

derivada involucra, en trminos matemticos, una tasa de cambio. Una derivada

es el clculo de las pendientes instantneas de f(x) en cada punto x.

Esto corresponde a las pendientes de las tangentes de la grfica de dicha

funcin en el punto dado; dichas tangentes pueden ser aproximadas por una

secante que pase por dos puntos muy cercanos al punto bajo el que se desea

obtener la tangente. Las derivadas tambin pueden ser utilizadas para calcular la

concavidad.

Las funciones no tienen derivadas en los puntos en donde hay una tangente

vertical (la cual tiene una pendiente infinita), una discontinuidad o bien un pico.

En la actualidad el Clculo se aplica al estudio de problemas de diversas

reas de la actividad humana y de la naturaleza: la economa, la industria, la

fsica, la qumica, la biologa, para determinar los valores mximos y mnimos de

funciones, optimizar la produccin y las ganancias o minimizar costos de

operacin y riesgos.

vii


UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COAHUILA, FIME UNIDAD NORTE 1

Asignatura: Calculo Diferencial, rea del conocimiento: Bsica, subrea del conocimiento: matemticas Mario A. Barrera Moreno.

1. FUNCIONES

1.1 Definicin intuitiva y formal de funcin

Una funcin es un objeto matemtico que se utiliza para expresar la

dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a travs de varios

aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de funcin numrica es la relacin

entre la posicin y el tiempo en el movimiento de un cuerpo.

La definicin general de funcin hace referencia a la dependencia entre los

elementos de dos conjuntos dados.

Dados dos conjuntos X y Y, una funcin (tambin aplicacin o mapeo) entre

ellos es una asociacin f que a cada elemento de X le asigna un nico elemento

de Y.

Se dice entonces que X es el dominio (tambin conjunto de

partida o conjunto inicial) de f y que B es su co-dominio (tambin conjunto de

llegada o conjunto final).

Un objeto o valor genrico x en el dominio X se denomina la variable

independiente; y un objeto genrico y del dominio Y es la variable dependiente.

Tambin se les llama valores de entrada y de salida, respectivamente.

Las funciones se pueden representar de distintas maneras:

Usando una relacin matemtica descrita mediante una expresin matemtica

ecuaciones de la forma )(xfy = Cuando la relacin es funcional, es decir



satisface la segunda condicin de la definicin de funcin, se puede definir una

funcin que se dice definida por la relacin, A menos que se indique lo

contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible

(respecto a inclusin) y que el co-dominio son todos los Reales. El dominio

seleccionado se llama el dominio natural, de la funcin.

Ejemplo: 2+= xy .Dominio natural es todos los reales, "Para todo x,

nmero entero, y vale x ms dos unidades".

Como tabulacin: tabla que permite representar algunos valores discretos de la

funcin.

Ejemplo:543210321012

YX

Ejercicio de clase

1.- Dada hallarxxf ,76)( = a) )0(f

b) )(af

c) )4(f

d) )3(f



1.2 Funciones algebraicas

En matemticas, una funcin algebraica es una funcin que satisface una ecuacin polinmica cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. Por

ejemplo, una funcin algebraica de una variable x es una solucin y a la ecuacin:

0,...)( 012

21

1 +++++=

nn

nn

n aaxaxaxaxaxf

Donde el entero positivo n es el grado de la funcin polinmica, Los

nmeros ai se llaman coeficientes, siendo an el coeficiente dominante y a0 el

termino constante de la funcin polinmica, suele utilizarse notacin de subndices

en las funciones polinmica, pero para las de grados bajos a veces se usan

formas mas sencillas, como las que se indican a continuacin.

Grado 0: axf =)( Funcin constante

Grado 1: baxxf +=)( Funcin lineal

Grado 2: cbxaxxf ++= 2)( Funcin cuadrtica

Grado 3: dcxbxaxxf +++= 23)( Funcin cubica

Una funcin que no es algebraica es denominada una funcin trascendente.



1.3 Funciones trascendentes

Una funcin trascendente es una funcin que no satisface una

ecuacin polinmial cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta

con las funciones algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuacin. En otras

palabras, una funcin trascendente es una funcin que trasciende al lgebra en el

sentido que no puede ser expresada en trminos de una secuencia finita

de operaciones algebraicas de suma, resta y extraccin de races. Una funcin de

una variable es trascendente si es independiente en un sentido algebraico de

dicha variable.

El logaritmo y la funcin exponencial son ejemplos de funciones

trascendentes.

El trmino funcin trascendente a menudo es utilizado para describir a las

funciones trigonomtricas sean: seno, coseno, tangente, cotangente, secante,

y cosecante.

Ejemplos de funciones algebraicas son las funciones racionales y la

funcin raz cuadrada.

0)(,)()()( = xq

xqxpxf Funcin racional, donde p(x) y q(x) son polinomios

1.4 Nuevas funciones a partir de las anteriores

Dos funciones pueden combinarse de varios modos para crear nuevas

funciones.

1.4.1 Operaciones con funciones

Ejemplo: Sea 1)(32)( 2 +== xxgyxxf

Podemos formar las funciones

12)1()32()()( 22 ++=++=+ xxxxxgxf Suma



42)1()32()()( 22 +=+= xxxxxgxf Resta

3232)1)(32()()( 232 +=+= xxxxxxgxf Multiplicacin

0)(,)()(

xgxgxf

Divisin

1.4.2 Funciones Compuestas

Es una funcin formada por la composicin o aplicacin sucesiva de otras

dos funciones. As la funcin dada por (f g)(x) = f(g(x))se llama funcin

compuesta de f con g. el dominio de f g es el conjunto de todos los x del dominio

de g tales que g(x) est en el dominio de x.

Ejemplo

Dadas 1)(32)( 2 +== xxgyxxf , hallar ))(())(( xfgyxgf

Solucin:

123)1(3))((2))(( 22 =+== xxxgxgf

101241)32(1))(())(( 222 +=++= xxxxfxfg



Ejercicios 1.1

1. Dada hallarxxxf ,17)(2 +=

a) )4(f

b) )(f

2. Dada hallarxxf ,5)( +=

a) )6(f

b) )( xxf +

3. Dada hallarxxf ,)( 3=

a) )1( +xf

b) )( 2xf

4. Dadas hallarxxgyxxf ,32)(54)( 2 +==

a) ))2((gf

b) ))(( xfg c) ))4(( fg c) ))2(( gf

5. Dadas hallarxxgyxxf ,1)()( 2 ==

a) ))1((gf

b) ))0(( fg c) ))4(( fg c) ))(( xgf



2. LIMITES Y CONTINUIDAD

2.1 Definicin intuitiva y formal de lmite

Cuando la variable independiente se aproxima a un valor dado, la funcin

puede aproximarse a cierto valor, o no aproximarse a ninguno. Si el caso es el

primero, en el que la funcin se aproxima a cierto valor, decimos que el valor al

cual se aproxima la funcin es el limite (L) de la misma, cuando la variable

independiente se aproxima al valor dado; este hecho se representa en la siguiente

forma:

Lxfax

=

)(lim

Lo anterior se lee como: el lmite de f(x) cuando x tiende a a ax , es L

El segundo caso, o sea, cuando la funcin no se aproxima a ningn valor,

decimos que el limite no existe.

Para comprender el concepto se tiene el siguiente ejemplo, si un fsico

desea medir cierta cantidad cuando la presin del aire es cero; como no es posible

lograr en un laboratorio un vaco absoluto, una manera natural de abordar el

problema es medir la cantidad deseada a presiones de aire cada vez ms

pequeas que nos remitan a la idea de aproximarnos al vaco perfecto deseado.

Ejemplo: Supongamos que debemos encontrar el lmite de la funcin

cuando 3x entonces39lim

2

3

xx

x .



El primer paso para calcular el lmite de la funcin, consiste en sustituir el

valor al cual tiende la variable independiente en la expresin dentro del lmite; si se

obtiene un valor real L restara demostrar que dicho valor es el lmite buscado.

Entonces observamos que para x=3 no se tiene un valor definido 00

,

llamado indeterminacin; sin embargo, f(x) puede calcularse de la siguiente

manera.

x 2.9 2.99 2.999 3 3.1 3.01 3.001

f(x) 5.9 5.99 5.999 ? 6.1 6.01 6.001

Al realizar la evaluacin de la funcin con cada uno de los valores tanto por

la izquierda y por la derecha de 3, determinamos que el valor del lmite cuando x

tiende a 3 es 6, a esto se le llama encontrar el lmite de forma intuitiva.

Entonces determinamos que si f(x) se hace arbitrariamente prximo a un

nico numero L cuando x se aproxima hacia c por ambos lados, decimos que el

lmite de f(x) cuando x tiende a c, es L por lo tanto;

Lxfax

=

)(lim

Ejercicio de clase

1.- estimar el lmite propuesto 2

2lim 22

xxx

x

x 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1

f(x)



LIMITES BASICOS Si b y c son nmeros reales y n un entero (positivo si c =0), entonces se

cumple

1. bbcx

=

lim 2. cxcx =lim 3. nn

cxcx =

lim

Ejemplo:

1. 33lim2

=x 2. 42lim

22

2==

x

x

2.2 Propiedades de los lmites

Si b y c son nmeros reales, n un entero positivo y f, g funciones que tienen

limite cuando, entonces:

1. Mltiplo escalar [ ] [ ])(lim))((lim xfbxfbcxcx

=

2. Suma o diferencia [ ] )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxfcxcxcx

=

3. Producto [ ] [ ][ ])()(lim)()(lim xgxfxgxfcxcx

=

4. Cociente 0)(lim,)(lim

)(limlim

)()(lim =

xgsi

xg

xf

xgxf

cxcx

cx

cxcx

5. Potencia [ ] [ ]n

cx

n

cxxfxf )(lim)(lim

=



Ejemplo:

Hallar )34(lim 22

+

xx

Aplicando las propiedades tenemos que:

[ ] 193)4(43limlim43lim4lim)34(lim2

2

22

2

2

2

2=+=+=+=+

xxxxxxxx

Propiedad 2 propiedad 1

Ntese que el lmite (cuando x tiende a 2) de la funcin polinmica, no es

sino el valor cuando x=2

2.3 Calculo de lmites

a) Lmite de un polinomio Si p es un polinomio y c es un nmero real, entonces

)()(lim cpxpcx

=

Ejemplo:

Hallar 193)2(2)34(lim 22

2=+=+

x

x

b) Lmite de una funcin racional

Si r es una funcin racional dada por )()()(

xqxpxr = y c es un nmero real tal

que 0)( cq , entonces

)()()()(lim

xqxpcrxr

cx==



Ejemplo:

Hallar 2

6lim2

2 +++

xxx

x

34

1222

62422

62)2(2

6lim22

2==

+++

=+

++=

+++

xxx

x

c) Lmite de una funcin que contiene radicales Si c>0 y n es cualquier entero positivo, o si c



La notacin que se emplea para los tres casos es:

lm v = , lm v = + , lm v = .

Entonces

= xax

1lim x

1, se hace infinito cuando x tiende a cero

( ) ,lim =

xfax x

1, si f(x) se hace infinita cuando x tiende a a,

entonces f(x) es discontinua para x=a

Ciertos lmites particulares que se presentan frecuentemente se dan a

continuacin, La constante C no es cero.

Escrito en forma de lmites

= v

cv 0lim

=

cvvlim

= c

vvlim

0lim = v

cv

Forma abreviada, frecuentemente usada

=0c

=c

=c

0=c



Ejemplo:

Hallar 3223

75432lim

xxxxx

x +

Procedimiento: Divdase el numerador y denominador por la x de mayor

potencia, aplique la referencia de limites particulares y ntese que se cancelan

todas las fracciones que son divididas por el infinito , ya que 0=c

Entonces 72

72

700002

715

432

715

432lim

2

3

2

3=

=

+

=

+

=

+

xx

xxx

Ejercicio de clase

Hallar 52

5325lim 2

2

=+

xxx

x



Ejercicio 2.1

1. 23254lim =

++

xx

x

2. 31

62234lim 3

2

0=

+++

tttt

t

3. 2523lim 2

322

0

xhxh

hxhhxh

=+

++

4. 3742356lim 3

23

=++

xxxx

x

5. ( )

( )1

22432lim 2

23

0=

+

kzzzkkz

k

6. 0lim 3524

=++++

fxexdxcbxax

x

7. =+++++

gfxexdxcbxax

x 23

24

lim

8. 2

22

44

2lim aasas

s=

9. 45

46lim 2

2

2=

+

xxx

x

10. 03234lim 23

2

=+

yyy

y



2.4 Continuidad

Se dice que una funcin )(xf es continua para ax = si el lmite de la

funcin, cuando x tiende a a , es igual al valor de la funcin para ax = , esto es:

)()(lim afxf

ax=

Ejemplo:

Hallar 3

6lim2

3 ++

xxx

x sustituyendo

00

3)3(6)3()3( 2=

++

=

f no est definida para x=-3

La funcin anterior para 2,1 == xx si est definida, luego para 3=x la

funcin se vuelve no definida a esto lo llamamos indeterminacin sin embargo hay

casos en los que esta indeterminacin puede ser eliminada y es posible asignar a

la funcin tal valor para x=a y que la condicin de continuidad se satisfaga,

entonces:



Ejemplo:

Hallar 3

6lim2

3 ++

xxx

x factorizando

3)2)(3(lim

3 ++

xxx

x

Cancelando )2(lim3

xx

sustituyendo 523 ==

De lo anterior podemos decir que la funcin se vuelve continua

cuando x tiende a -3 como se muestra en la figura

f est definida para x=-3

Las discontinuidades caen en dos categoras evitables y no

evitable, se dice que una discontinuidad x=c es evitable si f puede hacerse continua refirindola en x=c.

Ejemplo:

Hallar 1

1lim 231 +

xxxx

x

adoindetermin00

1)1()1()1(1)1(

23 ==+

=



Factorizando )1)(1(

1)1()1(

1lim 221 +

=+

xx

xxxx

xx

Cancelando 1

1lim 21 + xx

Sustituyendo 21

111

1)1(12 =+

=+

=

Ejemplo:

Hallar x

xx

11lim0

+

adoindetermin00

011

011

0110

==

=

=+

=

Conjugados ( )( ) ( )111)1(lim

1111

1111*11lim

0

22

0 +++

=+++

=+++++

xxx

xxx

xx

xx

xx

Cancelando ( ) ( ) 111lim

11lim

1111lim

000 ++=

++=

+++

= xxx

xxx

xxxx

Sustituyendo 21

111

111

1101

=+

=+

=++

=

De lo anterior se dice que una funcin es continua si se verifican las siguientes condiciones:

definido esta )(.1 cf existe )(lim.2 xfcx )( )(lim.3 cfxfcx =



Ejercicio 2.2

1. 2

2lim 22

xxx

x

x 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1

f(x) ?

2. 4

2lim 22

xx

x

x 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1

f(x) ?

3. x

xx

33lim0

+

x -0.1 -0.01 -0.001 0

f(x) ?

x 0.001 0.01 0.1

f(x)

4. 3

21lim3 +

x

xx

x -3.1 -3.01 -3.001 -3

f(x) ?

x -2.999 -2.99 -2.9

f(x)

5. ( )[ ] ( )3

4/11/1lim3

+ x

xx



x 2.9 2.99 2.999 3 3.001 3.01 3.1

f(x) ?

6. ( )[ ] ( )4

5/41/lim4

+ x

xxx

x 3.9 3.99 3.999 4 4.001 4.01 4.1

f(x) ?

1. 22

lim xx

2. ( )23lim3

+

xx

3. ( )12lim0

xx

4. ( )1lim 21

+

xx

5. ( )2lim 22

+

xxx

6. ( )423lim 231

+

xxx

7. 1lim3

+

xx

8. 34

4lim +

xx

9. ( )24

3lim +

xx

10. ( )30

12lim

xx

11. xx1lim

2

12. 2

2lim3 + xx

13. x

xx

1lim2

1

+

14. 41lim

3 +

xx

x

15. Si ( ) 2lim =

xfcx

y ( ) 3lim =

xgcx

, hallar:

a) ( )[ ]xgcx

5lim

b) ( ) ( )[ ]xgxfcx

+

lim

c) ( ) ( )[ ]xgxfcx

lim

d) ( )xgxf

cx

)(lim



16. Si ( )23lim =

xf

cxy ( )

21lim =

xg

cx, hallar:

a) ( )[ ]xfcx

4lim

b) ( ) ( )[ ]xgxfcx

+

lim

c) ( ) ( )[ ]xgxfcx

lim

d) ( )( )xgxf

cxlim

17. Si ( ) 4lim =

xfcx

, hallar:

a) ( )[ ]3lim xfcx

b) ( )xfcx

lim

c) ( )[ ]xfcx

3lim

d) ( )[ ]23

lim xfcx

18. Si ( ) 27lim =

xfcx

, hallar:

a) ( )3lim xfcx

b) ( )18

lim xfcx

c) ( )[ ]2lim xfcx

d) ( )[ ]32

lim xfcx

19. 11lim

2

1 +

xx

x

20. 1

32lim2

1 +

xxx

x

21. 93lim 23

x

xx

22. 11lim

3

1 ++

xx

x

23. 28lim

3

2 ++

xx

x

24. ( )x

xxxx

+

22

0lim

25. ( )x

xxxx

+

22lim0

26. ( )x

xxxx

+

33

0lim

27. ( )xx

x +

11lim3

0

28. 255lim 25

x

xx

29. 4

2lim 22

xx

x

30. 1

2lim 22

1 +

xxx

x

31. xx

x

22lim0

+



32. xx

x

33lim0

+

33. ( )[ ] ( )x

xx

4/14/1lim0

+

34. ( )[ ] ( )x

xx

2/12/1lim0

+

35. 3

21lim3

+ x

xx

36. 255lim 25

x

xx

37. 4

2lim 22

xx

x

38. 4

lim22 xx

x

39. 42lim

4

xx

x



3. DERIVADAS Y DIFERENCIACION

3.1 Definicin

La derivada de una funcin es el lmite de la razn del incremento de la

funcin al incremento de la variable independiente cuando ste tiende a cero.

Cuando el lmite de esta razn existe, se dice que la funcin es derivable o

que tiene derivada.

La definicin puede darse mediante smbolos, en la forma siguiente:

Dada la funcin

( )xfy = (1)

Consideremos un valor inicial fijo de x, demos a x un incremento x;

entonces obtenemos para la funcin y un incremento y, siendo el valor final de la

funcin

( )xxfyy +=+ (2)

Para hallar el incremento de la funcin, restamos (1) de (2); se obtiene

( ) ( )xfxxfy +=

Dividiendo los dos miembros por x, incremento de la variable

independiente, resulta:



( ) ( )x

xfxxfyxy

+=

=

El lmite del segundo miembro cuando x0 es, por definicin, la derivada

de f (x), o seade y, y se presenta por el smbolodxdy . Luego se denota que:

( ) ( )x

xfxxfdxdy

x +

= 0

lim , Define la derivada de y con respecto a x.

Entonces

xy

dxdy

x

= 0

lim

La operacin de hallar la derivada de una funcin se llama derivacin.

Smbolos para representar las derivadas. Puesto que y y x son siempre cantidades finitas y tienen valores

definidos, la expresin

xy

Es una verdadera fraccin. Pero el smbolo

dxdy

Puesto que, en general, la derivada de una funcin de x es tambin funcin

de x, se emplea tambin el smbolo f (x) para representar la derivada de ( )xf .

)(xfdxdy

= ,La derivada de y con respecto a x es igual a f prima de x



Ejemplos

dxdy o y

dxd indica la derivada de y con respecto a x;

( )xfdxd indica la derivada de ( )xf con respecto a x;

( )52 2 +xdxd

indica la derivada de 52 2 +x con respecto a x.

Notaciones de derivacin

( ) ( ) ( )xfxfDxfdxdy

dxd

dxdyy x ===== .

Debe hacerse hincapi en esto: en el paso esencial de hacer que 0x , la

variable es x y no x. el valor de x se supone fijo desde el principio. Para hacer

resaltar que 0xx = desde el principio hasta el fin, podemos escribir:

( ) ( ) ( )x

xfxxfxfx

+=

00

00lim



Regla general para la derivacin(o tambin llamado mtodo de los cuatro pasos) Segn la definicin de derivada se puede ver que el procedimiento para

derivar una funcin ( )xfy = comprende los siguientes pasos:

1. Se sustituye x por x+x y y por y+ y 2. Se resta la funcin original a la funcin incrementada (En polinomios

invertimos todos los signos que se presentan

3. Se divide toda la nueva expresin con x

4. Se calcula el lmite de la funcin cuando x tiende a cero, el valor

obtenido es la derivada de la funcin.

Ejemplo 1

Hallar la derivada de y= 4x2+x-6

1. Se sustituye x por x+ x y y por y+ y

6)()(4 2 +++=+ xxxxyy

Desarrollamos primeramente

62846)()2(4

22

22

++++=+

++++=+

xxxxxxyyxxxxxxyy

2. Se resta la funcin original a la funcin incrementada

xxxxy

xxyxxxxxxyy

+++=

+=

++++=+

2

2

22

28

646284

3. Se divide toda la nueva expresin con x

xxxxx

xy

++

= 228



Cancelando nos queda

128 ++= xx

xy

4. Se calcula el lmite de la funcin cuando x tiende a cero

1)0(28128lim0

++=++=

xxx

xy

x

18 += x

xy

O bien

18 += xdxdy

Ejemplo 2

Hallar la derivada de y= 3x2-5

Paso 1

5635)(3

22

2

++=+

+=+

xxxxyyxxyy

Paso 2

2

222

653563

xxxyxxxxxyyy

+=

+++=+

Paso 3

xx

xxx

xy

+

= 26

Paso 4

xxxxxy

x6066lim

0=+=+=

xy 6'=



Ejercicio 3.1

1. xy 32 = 2. bmxy +=

3. 2axy =

4. 22 tts =

5. 3cxy =

6. 33 xxy =

7. 43xy =

8. 23

2 +=

xy

9. xy

211

=

10. 12 +=

xxy

11. 22

4 xxy

=

12. 3432 += xxy



3.2 Formulas de derivacin

3.2.1 Frmulas de derivacin algebraicas

Dado que la regla general en la resolucin de problemas para el

clculo de la derivada es muy larga o complicada, por consiguiente se

pueden deducir de la regla general, frmulas para derivar ciertas formas

normales que se presentan con frecuencia. Ver formulario completo en

anexo A.



Ejemplo 1, derivada de la constante

Hallar la derivada de y= 5

Aplicando

0)( =dx

cd

Entonces

0)5( =dx

d

Ejemplo 2, derivada de x a una potencia

Hallar la derivada de 3xy = Aplicando

1)( = nn

nxdxxd

Entonces

2133

33)( xxdxxd

==

Ejemplo 3, derivada del mltiplo constante

Hallar la derivada de y= 3x3

Aplicando

dxudc

dxcud )()(

=

Entonces

dxxd

dxxd )(3)3(

33

= Aplicando 1)( = nn

nxdxxd

( ) 21333

333)(3)3( xxdxxd

dxxd

===

La derivada de toda constante es cero

La derivada de x a la n es igual al exponente por x a

la n menos 1



Ejemplo4, derivada de la suma y la diferencia

Hallar la derivada de 23 3xxy += Aplicando

dxwd

dxvd

dxud

dxwvud )()()()(

+=+

Entonces

dxxd

dxxd

dxxxd )3()()3( 2323

+=+

Aplicando 1)( = nn

nxdxxd

y dxudc

dxcud )()(

=

Tenemos que

( )[ ] xxxxxxy 63)2(3323)(3' 221213 +=+=+=

Ejemplo 5, derivada de la potencia de una funcin

Hallar la derivada de 22 )1( += xy Aplicando

dxudnu

dxud nn )()( 1=

Entonces

dxxdx

dxxd )1()1(2)1(

2122

22 ++=

+

Aplicando 1)( = nn

nxdxxd

y dxudc

dxcud )()(

=

Tenemos que

[ ]0)(2)1(2)1()()1(2' 1222

2 ++=

++= xx

dxd

dxxdxy

[ ] )1(42)1(2' 22 +=+= xxxxy



Ejemplo 6, derivada del producto

Hallar la derivada de )14()1( 22 += xxy Aplicando

dxudv

dxvdu

dxuvd )()()(

+=

Entonces

[ ] [ ] [ ]dx

xdxdxxdx

dxxxd 222222 )1()14()14()1()14()1( +++=+

Aplicando 1)( = nn

nxdxxd

, dxudc

dxcud )()(

=, dx

vddx

uddx

vud )()()(+=

+

Tenemos que

+++

+=

dxxdxx

dxd

dxxdxy

122222 )1()1(2)14()1()4()1('

+++

+=

dxd

dxxdxx

dxxdxy )1()()1(2)14()(4)1('

2222

[ ])2)(1(2)14()4()1(' 222 xxxxy +++=

)2)(1)(2)(14()4()1(' 222 xxxxy +++=

)1)(14(4)1(4' 222 +++= xxxxy

Factorizando

[ ])14()1()1(4' 22 +++= xxxxy

Simplificando

)41)(1(4' 222 xxxxy +++=

)15)(1(4' 22 ++= xxxy



Ejemplo 7, derivada del cociente

Hallar la derivada de )14()1( 22

+

=x

xy

Aplicando

2

)()(

vdx

vdudx

udv

vu

dxd +

=

Entonces

2

2222

)14(

)14()1()1()14('

+

+

=x

dxxdx

dxxdx

y

2

222

122

)14(

)1()(4)1()1()1(2)14('

+

+

=

xdx

ddx

xdxdx

xdxxy

2

222

122

)14(

)4()1()1()()1(2)14('

+

+

=

x

xdx

ddxxdxx

y

[ ]2

222

)14()4()1()2)(1(2)14('

++

=x

xxxxy

2

222

)14()1(4)1)(14(4'

++

=x

xxxxy

[ ]2

22

)14()1()14()1(4'

++

=x

xxxxy

2

222

)14()14)(1(4'

+

=x

xxxxy

2

22

)14()13)(1(4'

+

=x

xxxy



Ejemplo 8, Reescribiendo la funcin

Hallar la derivada de 21x

y =

Aplicando

dxud

uc

uc

dxd )(

2=

Entonces

( ) dxxd

xy )(1'

2

22=

( ) 342222)2(1'xx

xxx

y ===

Reescribiendo la funcin 21x

y =

Entonces 2= xy

Aplicando

( ) 1= nn nxxdxd

Tenemos que

312 22' == xxy

Reescribiendo solucin

32' = x

y

Dada

21x

y =

Reescribir

2= xy

Derivar

32' = xy

Simplificar

32' = x

y



Ejercicio 3.2

En los ejercicios 1-15, hallar f(x)

1. 5xy =

2. 43 23

xxxy =

3. x

xy 82 =

4. 22 86 = xxxy

5. x

xxy 1642 +

=

6. 223 842

xxxy +=

7. 223

4xxxxy +=

8. )2)(3( 2 ++= xxxy

9. )5( 2 += xxy

10. x

xy 52 +=

11. 5/4xy =

12. 13/1 = xy

13. 2 3xxy =

14. 3 44 3 xxy =

15. 3 4

1x

y =

En los ejercicios 16-21, completar la tabla usando el ejemplo 8

Funcin Reescribir Derivada Simplificar

16. 331x

y =

17. 232x

y =

18. 3)3(1x

y =

19. 2)3( x

y =

20. 3

4= x

y

21. xxy =



3.2.2 Frmulas de derivacin regla de la cadena

Sea )(ufy = una funcin de u y )(xgu = una funcin de x, entonces

[ ])(xgfy = que se presenta a y como una funcin de x, denominada compuesta de f y g, se denota por ))(( xgf .

Las derivadas de funciones compuestas pueden calcularse mediante

lo siguiente:

dxdu

dudy

dxdy

=

Ejemplo 9

Hallar la derivada de 52 )1( += xy

Entonces 5uy = donde )1( 2 += xu

45u

dudy

= y xdxdu 2=

Por la regla de la cadena tenemos que

dxdu

dudy

dxdy

=

xudxdy 25 4 =

xxdxdy 2)1(5 42 +=

42 )1(10 += xxdxdy



Ejemplo10

Hallar la derivada de 1

1+

=x

y

Entonces

uy 1=

donde 1+= xu

21

ududy

= y 1=dxdu

Por la regla de la cadena tenemos que

dxdu

dudy

dxdy

=

112 = udxdy

2)1(1+

=xdx

dy



Ejercicio 3.3

En los ejercicios 1-6 aplicar la regla de la cadena

1. 4)56( = xy

2. 1

1+

=x

y

3. 12 = xy

4. 23

)25( = xy

5. 2

23

=

xy

6. 62 )43( += xxy



3.2.3 Derivadas trascendentales

Ejemplo11 derivada uey =

Hallar la derivada de 24xey =

Aplicando

( )dx

udeedxd uu )(=

Entonces

dxxdey x )4('

24 2=

22 44 8)8(' xx xexey ==

Ejemplo 12 derivada uy ln=

Hallar la derivada de 32 )1ln( += xy

Aplicando

( )dx

udu

udxd )(1ln =

Entonces

[ ]dx

xdx

y32

32)1(

)1(1' ++

=

dxxdx

xy )1()1)(3(

)1(1'

2132

32+

++

=

++

+=

dxd

dxxdx

xy )1()()1)(3(

)1(1'

2132

32

[ ]xxx

y 2)1)(3()1(

1' 2232 ++=

)1(6

)1()1(6' 232

22

+=

++

=x

xxxxy



Ejemplo 13 derivadas de funciones trigonomtricas

a) Hallar la derivada de )4( xseny =

Aplicando

dxudu

dxsenud )(cos)( =

Entonces

dxxdx

dxxsend )4(4cos)4( =

xy 4cos4'=

b) Hallar la derivada de )6cos( 2xy =

Aplicando

dxudusen

dxud )()(cos

=

Entonces

dxxdxsen

dxud )6(6)(cos

22=

2612)(cos xxsendx

ud=



c) Hallar la derivada de x

y 2tan=

Aplicando

dxudu

dxud )(sec)(tan 2=

Entonces

=

xdxd

xy 22sec' 2

= 2

2 22sec'xx

y

( )2

2 2sec2'

xxy =

d) Hallar la derivada de 22 )1( += xSecy

Aplicando

dxudTguSecu

dxSecud )()(

=

Entonces

[ ]dx

xdxTgxSecy22

2222 )1()1()1(' +++=

++++=

dxxdxxTgxSecy )1()1(2)1()1('

21222222

[ ])2)(1(2)1()1(' 22222 xxxTgxSecy +++=

22222 )1()1()1(4' +++= xTgxSecxxy



Ejemplo 14 derivadas de funciones trigonomtricas inversas

a) Hallar la derivada de )4( xArcseny =

Aplicando

dxud

udxArcsenud )(

11)(

2=

Entonces

dxxd

xy )4(

)4(11'

2=

21614'

xy

=

b) Hallar la derivada de )6( 2xArcSecy =

Aplicando

dxud

uudxArcSecud )(

11)(2

=

Entonces

dxxd

xxy )6(

1)6(61'

2

222 =

136612'

42 =

xxxy

1362'

4 =

xxy



Ejercicio 3.4

Hallar la derivada de la funcin dada

1. xxy cos212 =

2. xsenxy cos54 +=

3. senxy += 6

4. 2csc6 xxy =

5. xy

cos1

=

6. xsenxy 2cos=

7. xxseny

2cos4

=

8. 54sec xy =

9. xtgy

312=

10. 53 )2( += xctcy

11. xxseny 6cos443=

5

6xey =

12. xey 4

1=

13. )1(2 += xey x

14. )2ln(3 += xy

15. )2(2ln 3 +

=x

y

16. 5

6xey =

17. xey 4

1=

18. )1(2 += xey x

19. )2ln(3 += xy

20. )2(2ln 3 +

=x

y

21. xey 3=

22. 5senxey

x

=

23. 2secln xy =

24. tgxey =

25. xetgy 2=

26. 210xArcseny =

27. 3ArcCtgxy =

28. )2cos(3 += xArcy

29. 4

2xArcSecy =

30. xeArcTgy =



3.3 Derivadas de orden superior

La operacin derivada parte de una funcin f y produce una nueva funcin f, si ahora se deriva f se producir otra funcin que se designa

como f y que se llama segunda derivada de f, esta a su vez puede ser

derivada para producir f, que se llama tercera derivada de f, y as

sucesivamente hasta n derivadas.

Derivada Notacin f Notacin y

Primera f(x) y

Segunda f(x) y

Tercera f(x) y

Cuarta f4(x) Y4

Quinta F5(x) y5

Ensima fn(x) yn

Ejemplo 1

Hallar la cuarta derivada de 95432 2345 ++= xxxxxy

Solucin

110121210' 234 += xxxxy

10243640'' 23 += xxxy

2472120''' 2 += xxy

722404 = xy



Ejercicio 3.5

Hallar la segunda derivada de orden superior segn se indica

1. 82323 += xxxy

2. 452 xxy =

3. 153 += xy

4. )1(2 += xxy

5. 3)52( += xy

6. 2)23( = xy

7. 22 )4( = xy



3.4 Derivadas implcitas

Una funcin implcita es aquella donde se da una relacin entre x e y

por medio de una ecuacin no resuelta para y.

Cuando y se define como funcin implcita de x, puede no ser

conveniente resolver la ecuacin para obtener y como funcin explicita de x,

o x como funcin explicita de y.

Entonces para calcular la derivada se sigue la siguiente regla

Derivar la ecuacin, termino a trmino, considerando y como funcin

de x, factorizar todos los trminos que contengandxdy y posteriormente

despejardxdy

Forma implcita Forma explicita Derivada

1=xy 11 == xx

y 22 1

xx

dxdy

==



Ejemplo 1

Hallar dxdy , dado 45 223 =+ xyyy

Solucin

02523 2 =+ xdxdy

dxdyy

dxdyy

( ) 02523 2 =+ xyydxdy

5232

2 +=

yyx

dxdy

Ejemplo 2

Hallar dxdy , dado 53 351515 yyyx ++=

Solucin

dxdyy

dxdyy

dxdy 42 15151515 ++=

( )42 15151515 yydxdy

++=

( )42 15151515

yydxdy

++=



Ejercicio 3.6

Hallar dxdy

segn se indica

1. 232 3xxyy +=+

2. 245 2220 yxx =

3. 15323 +=+ xyyy



3.5 Teorema del valor medio

El teorema de valor medio, tambin llamado teorema de los incrementos

finitos o teorema de Bonnet-Lagrange es una propiedad de las funciones

derivables en un intervalo.

Sea f(x) una funcin que satisface lo siguiente:

1. f(x) es una funcin continua en el intervalo [a, b]

2. f(x) es una funcin diferenciable en [a, b]

Entonces hay un nmero "c" en el intervalo [a,b] tal que

abafbfcf

=)()()('

La interpretacin geomtrica del teorema del valor medio nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.



Ejemplo 1

Compruebe que la funcin satisfaga las hiptesis del teorema del valor

medio en el intervalo dado. Determinar todos los nmeros c que satisfagan la

conclusin del teorema del valor medio.

523)( 2 ++= xxxf

[ ]1,1

26)( += xxf

Teorema valor medio despejado

))((')()( abcfafbf =

Sustituimos la x por la c

)11)(26(610 ++= c

Despejando

)2)(26(4 += c

0=c



Ejercicio 3.7

Aplicar el teorema del valor medio (si se puede) a las siguientes

expresiones.

1. Calcular un punto del intervalo [1, 3] en el que la tangente a la curva

y = x3 x2 + 2 sea paralela a la recta determinada por los puntos

A(1, 2) y B(3, 20). Qu teorema garantiza la existencia de dicho

punto?

2. En el segmento de la parbola comprendido entre los puntos A =

(1, 1) y B = (3, 0) hallar un punto cuya tangente sea paralela la

cuerda.Los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) pertenecen a la parbola

de ecuacin y = x2 + bx + c.



3.6 Regla LHpital

La regla de L'Hpital o regla de l'Hpital Bernoulli es una regla que usa

derivadas para ayudar a evaluar lmites de funciones que estn en forma

indeterminada del tipo

o,,0,00

.

Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a, b], y sean f(c)=g(c)=0,

con c perteneciente a (a, b) y g'(x)0 si x c .

Si f y g son derivables en (a, b), entonces si existe el lmite f'/g' en c, existe

el lmite de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto.

)(')('lim

)()(lim

xgxf

xgxf

cxcx =

Demostracin

El siguiente argumento se puede tomar como una demostracin de la

regla de L'Hpital, aunque en realidad, una demostracin rigurosa de la misma

requiere de argumentos e hiptesis ms fuertes para su demostracin.2 4 Se

asume que tanto f como g son diferenciables en c.

Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a



Sabemos que f y g son diferenciables en c, por lo tanto, utilizando la definicin de derivada:

)(')(

)()(lim

)()(lim

)()(lim

cgcf

cxcgxg

cxcfxf

xgxf

cx

cx

cx=

==

Ejemplos

La regla de L'Hpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan

de remplazar el valor numrico al llevar al lmite las funciones dadas. La regla dice

que, se deriva el numerador y el denominador, por separado; es decir: sean las

funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se obtendr: f'(x)/g'(x).

Aplicacin sencilla

00)sin(lim

0=

xx

x

1

11)cos(limHpitalL')sin(lim

00===

xx

xx

xx

Aplicacin consecutiva

Mientras la funcin sea n veces continua y derivable, la regla puede

aplicarse n veces:

00

)sin(2lim

0=

xxxee xx

x



)cos(12)(limHpitalL'

0 xee xx

x

)sin(limHpitalL'

0 xee xx

x

)sin(limHpitalL'

0 xee xx

x

21

11)0cos(

0)cos(

limHpitalL'0

0=

+=

=

eexee xx

x

Nota:

La regla de LHpital tambin se puede aplicar si +x

La regla de LHpital adems de resolver indeterminaciones del tipo 00

tambin se puede aplicar para resolver indeterminaciones del tipo ++

Si al calcular )(')('lim

xgxf

oxx nos volvemos a encontrar en las condiciones

establecidas por esta regla se puede volver aplicar de nuevo, y as sucesivamente

las veces que consideremos oportunas para la consecucin del lmite buscado.

Para resolver el resto de indeterminaciones no se puede aplicar directamente esta

regla. En estos casos se han de transformar en una indeterminacin del tipo 00 o

++ y despus aplicar la regla LHpital.



Ejercicio 3.8

Aplicar la regla LHpital a las siguientes expresiones.

1. xxx

x ln12lim

2

1

+

2. xx

xlnlim

0

3.

senxxx11lim

0

4. ( ) x

xx ln2

01lim +



3.7 Aplicaciones y problemas con variacin en el tiempo

En esta seccin se proponen ejercicios tratando de que valorices la

derivada de una funcin en un punto como indicador matemtico de la rapidez

instantnea de variacin o tasa instantnea de variacin de una funcin.

En distintas disciplinas como Electricidad, Electrnica, Termodinmica,

Mecnica, Economa, Biologa, etc., resulta de importancia fundamental no slo

saber que determinada magnitud o cantidad vara respecto de otra, sino conocer

cun rpido se produce esa variacin.

Puedes imaginar numerosos ejemplos de ello que seguramente te son

familiares. Pensemos, por ejemplo, en una persona que cae a un ro cuyas aguas

se encuentran a muy baja temperatura.

Es claro que la temperatura corporal ser funcin del tiempo que la persona

permanezca en el agua y claro tambin es que la funcin ser decreciente al

haber prdida de calor del cuerpo hacia el agua tendiendo el mismo a alcanzar la

temperatura del agua dada la diferencia de masa entre ambos Sin embargo en

este problema resulta vital conocer la rapidez de disminucin de la temperatura del

cuerpo que por cierto no es lineal.

La disminucin podra ser ms rpida al principio de la cada e ir luego

enlentecindose, ocurrir exactamente lo contrario, etc. De toda esa informacin

depender que sepamos cuanto tiempo se tiene an disponible para salvar la vida

de la persona, y esa informacin nos la dar justamente la derivada de la funcin

en cuestin.



De hecho muchas cantidades o magnitudes que conoces se definen

justamente como derivada de otra. Por ejemplo: la rapidez instantnea de un mvil

se define como la derivada de la funcin espacio recorrido; la aceleracin como

derivada de la velocidad; la fuerza electromotriz inducida, en Electrnica, como la

derivada del flujo del campo magntico, todas ellas respecto de la variable tiempo

(t). El ngulo de desplazamiento del eje de una viga, como derivada de la funcin elstica de la viga; la intensidad de corriente elctrica como la derivada de la

carga elctrica como derivada del volumen respecto del tiempo, etc.

Al respecto resulta importante que hayas entendido con claridad el

significado de la derivada. Por lo tanto antes de continuar con las aplicaciones es

importante resumir que:

Figura 3.1

Considera una funcin f de variable x. como se muestra en la figura 3.1 tenemos parte del grfico representativo de la funcin y sea x0el punto del dominio que hemos elegimos para trabajar.



Recuerda que llamamos punto al valor x0 y no al punto geomtrico P. Incrementamos ahora nuestra variable x en un valor h arbitrario y pasamos al nuevo punto x0 + h.

El incremento h puede ser tanto positivo como negativo. En el caso de la figura lo hemos tomado positivo movindonos en consecuencia hacia la derecha

de x0. Veamos que ha ocurrido con la funcin f.

En el punto x0el valor funcional es f(x0)y en el punto x0 + h es f (x0 + h).

La diferencia f (x0 + h) - f(x0)indica en valor y signo la variacin del valor funcional provocado por el incremento h de la variable x.

A esa diferencia se le llama incremento de la funcin en el punto x0 correspondiente al incremento h En la figura 3.1 este incremento es la medida del segmento QR.

Consideremos ahora el cociente de ambos incrementos, entonces:

( ) ( )h

xfhxf 00 +

A este cociente se le denomina cociente incremental en el punto x0.

Es importante que comprendas que este cociente incremental indica la

rapidez promedio de variacin de la funcin en el intervalo [x0, x0 + h].



Si disminuimos el valor del incremento h iremos obteniendo nuevas tasas promedio de variacin de la funcin, en general diferentes (excepto si la funcin

es del tipo f(x) = Kx en cuyo caso el cociente incremental dar siempre constante e igual a K).

Si esa sucesin de valores del cociente incremental tiene lmite finito para

0h habremos obtenido la rapidez instantnea de variacin de la funcin en x0.

Es al valor de ese lmite que hemos llamado derivada de la funcin en el punto x0

Desde el punto de vista grfico has visto que el cociente incremental es la

tangente trigonomtrica del ngulo QPR de vrtice P, hecho que deduces de

aplicar simplemente la definicin trigonomtrica de tangente en el tringulo PRQ y

que te permite afirmar que el valor del cociente incremental es la pendiente o

coeficiente angular de la recta PQ.

El paso al lmite que has efectuado posteriormente te permite entonces

concluir que el nmero real que has obtenido como derivada de la funcin f en el punto x0no es ms que el coeficiente angular de la recta tangente al grfico en el punto P.

Debes tener presente entonces que cuando calculas la derivada de una

funcin f en un punto x0 obtienes el coeficiente angular de la recta tangente al grfico de la funcin en el punto (x0, f(x0)), pero la informacin que has conseguido no es meramente una informacin geomtrica.

Esta informacin te permite obtener la rapidez con que est variando la

funcin en el punto considerado.



Cuanto mayor sea el valor absoluto de la derivada en el punto, ms rpido

vara la funcin en l, y esta informacin es de vital importancia en una variedad

enorme de problemas de distintas disciplinas.

Ten presente que a la hora de resolver problemas de la realidad, aplicando

modelos funcionales, nuestras funciones f representarn magnitudes o cantidades que varan en funcin de otras magnitudes o cantidades a las

cuales representar nuestra variable x

Por ejemplo si ests estudiando la variacin en el tiempo de la energa E dada por un dispositivo de algn tipo, nuestra funcin f representar la funcin

energa E, nuestra variable x representar al tiempo t y nuestras f(x) representarn los valores de E (t).

Si calculas la derivada en algn instante t0,

=)( 0tdtdE

, habrs obtenido con

qu rapidez est cediendo energa el dispositivo en ese instante medida, por

ejemplo, en

horaCalorias si esas son las unidades con que ests trabajando,

digamos, en un hora problema de Termodinmica.

Esa derivada que has calculado no es otra cosa que la potencia del dispositivo en ese instante.

Despus de definir derivada en un punto has visto el concepto de funcin

derivada.



A esta nueva funcin, asociada a tu funcin original, debes concederle toda

la importancia que realmente tiene.

Supongamos que has representado grficamente cierta funcin f representativa de cierta magnitud interviniente en un fenmeno como funcin de

otra magnitud, por ejemplo el tiempo.

La sola visualizacin de la curva te permite obtener variada informacin

sobre lo que est ocurriendo en el fenmeno.

Conocers cundo la magnitud en cuestin aumenta y entre qu instantes,

cundo disminuye, cuando se producen sus mximos y/o mnimos y cules son

sus valores. Pero puedes obtener an ms informacin cualitativa si imaginas

como van variando las pendientes de las rectas tangentes en los distintos puntos

de la curva.

Podrs concluir, por ejemplo, si aumenta o disminuye la rapidez con que la funcin aumentaba o disminua sus valores, podrs decidir eventualmente que

tu funcin aumenta cada vez ms rpido hasta cierto instante a partir del cual si

bien sigue aumentando lo hace cada vez ms lentamente (punto de inflexin de

la grfica) o a la inversa.

Tendrs entonces un panorama mucho ms completo del desarrollo del

fenmeno con toda la informacin adicional que te permite obtener la funcin

derivada.

Es claro que si obtuvieras la expresin analtica de la funcin derivada

podras obtener datos cuantitativos de todo lo anterior, incluso la representacin

grfica de la funcin derivada te permitira tener una idea rpida y ms acabada

de cmo transcurre el fenmeno en estudio.



Esperamos que todo lo dicho te haga valorar, en su justa medida, el aprender

a interpretar grficas obteniendo de ellas toda la informacin que realmente

contienen. En muchos fenmenos, incluso, no es posible obtener una expresin

analtica de la magnitud a estudiar, recurrindose entonces a instrumentos

adecuados para obtener su representacin grfica, procedindose luego a la

interpretacin de la misma.

Ejemplo 1, Aplicacin Qumica

La ley de Boyle para los gases perfectos establece que a temperatura constante KPV = donde P es la presin, V el volumen y K una constante. Si la

presin est dada por la expresin: ttP 230)( += con P en cm de Hg, t en seg; y el

volumen iniciales de 60cm3, determina la razn de cambio del volumen V con respecto al tiempo t a los 10 segundos.

Se te pide en este ejercicio que determines la velocidad de cambio del

volumen respecto del tiempo en el instante t = 10 seg, o sea, el valor de la

derivadadtdV calculada en t = 10. La idea ser entonces expresar el volumen V

en funcin del tiempo t. Por un lado la ley de Boyle establece que KPV = y por

otro conocemos como vara la presin con el tiempo ttP 230)( += basta entonces

que despejemos el volumen de la ley de Boyle y luego sustituyamos la presin por

su expresin en t. Tendremos entonces:

)()(

tPKtV = (1)



Sustituyendo P(t) obtenemos

tKtV

230)(

+=

Derivando y evaluando con t=10 seg.

[ ] 222 )50(2

)10(2302

)230(2 KK

tK

dtdV

=+

=+

= (2)

Calculamos K, para to=0, Vo=60, sustituyendo en (1)

3060 K=

1800=K

Sustituyendo en (2).

44.125003600

)50()1800(2

)50(2

22 ====K

dtdV

Por lo anterior podemos concluir que el gas est disminuyendo 1.44cm3 por

segundo a los 10 segundos de iniciado el proceso de compresin.



Ejemplo 2, Contaminacin

Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al

derramarse en el mar 100 m3 de petrleo.

Calcula con qu rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio

es de 50m si el espesor disminuye a razn de 10 cm/hr en el instante en que R =

50 m.

Debes hallar en este ejercicio la velocidad con que aumenta el radio R a

medida quela mancha se expande sobre la superficie del mar, en el instante en

que R = 50m.

Podramos pensar en hallar la expresin R(t) para derivarla posteriormente.

Sin embargo no se te indica como dato del problema la forma en que el

espesor h vara con el tiempo por lo que no lograremos encontrar R(t).

Debes encarar el ejercicio partiendo de la relacin entre R y h que nos

proporciona el volumen de la mancha que sabemos se mantiene constante.



Entonces:

hRV 2= (1)

Derivando

+=

dtdhRh

dtdRR

dtdV 22 (2)

Como V es constante, es decir independientemente de t, sabemos que:

0=dtdV lo que nos permite decir que 02 2 =+

dtdhRh

dtdRR

Despejando dtdR

dtdh

hR

dtdR

2=

(3)

Como se tiene el dato de que la altura de la mancha disminuye a razn de

10 cm/hr

hrm

dtdh 210=

De (1),

2RVh

=



Como V = 100m3, R= 50m, entonces

mh04.0

)50(100

2 ==

Sustituyendo en la ecuacin (3), se tiene que

hrm

dtdR 25.610

)04.0(250 2 ==

La velocidad con que aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es

de 50m, resulta entonces cercana a los 20 m/hr.



Ejercicio 3.9

1. Una tolva con forma de cono recto circular invertido de radio de base R y altura H est siendo llenada con lquido con un gasto constante Q = 0.5

m3por minuto. A medida que se produce el llenado el nivel del lquido en la

tolva sube. Q

Si R=2 m y H=3m:

a) Crees que ese nivel sube con velocidad constante? Justifica tu respuesta sin efectuar clculos.

b) Calcula ahora esa velocidad, verifica tu respuesta anterior e indica el valor de la velocidad cuando la altura del lquido en la tolva es de 1,5 m. Qu

condicin crees que debera cumplir el recipiente para que el nivel subiera a

velocidad constante? Justifica mediante clculo en el casoque el recipiente

sea un cilindro recto circular.

2. Un globo esfrico se llena con gas con un gasto constante Q = 100

litros/minuto. Suponiendo que la presin del gas es constante, halla la

velocidad con que est aumentando el radio R del globo en el instante en

que R=0.3 m.



3. La caja de un camin transportador de granos est siendo llenada con el

grano proveniente de un silo a razn de 0.5 m/min. El grano forma un cono

circular recto cuya altura es constantemente igual a 5/4 del radio de la

base. Calcula:

a) A qu velocidad est subiendo el vrtice del cono cuando la altura es de 1.50 m?

b) Cul es el radio de la base del cono en ese momento y a qu velocidad est variando?

4. Un cuerpo que pesa 0.5 toneladas es levantado verticalmente utilizando

una eslinga de acero que pasa por una polea colocada a 20 m de altura,

como indica la figura.

Un extremo se une directamente al cuerpo y el otro, (punto A), es

arrastrado por un vehculo que se mueve hacia la derecha con velocidad

v=20 km / hora y a una altura del piso de 1.50 m. La eslinga tiene una

longitud de 50 m

a) A qu distancia del cuerpo estar el vehculo en el instante de iniciar la maniobra?

b) En cierto instante t el cuerpo se halla a cierta altura h respecto del piso y el vehculo a cierta distancia x del cuerpo. Encuentra la relacin entre x y h. c) Cul es la velocidad del cuerpo en el instante en que su altura es de h= 6 m?



4. APLICACIONES DE LA DERIVADA

En este captulo te proponemos ejercicios sobre una aplicacin muy

importante y comn del concepto de derivada en distintas disciplinas, la

optimizacin de funciones.

A una empresa de transporte seguramente le interesa que el costo por

kilmetro de sus viajes sea el menor posible , a un fabricante de determinado

artculo le interesar que el costo de fabricacin por unidad sea el ms bajo

posible , en Electrotecnia , por ejemplo , interesar cmo disear determinado

dispositivo para que su consumo de energa sea mnimo , a una empresa de

construccin cmo dimensionar un silo para grano para que el costo de la

construccin sea el ms bajo posible , un vendedor se interesa en cul debe ser

el precio de venta de su producto para obtener el mayor beneficio posible. En fin,

son innumerables los problemas de estos tipos que se dan en la realidad.

Estos problemas llamados de optimizacin, desde el punto de vista matemtico se reducen a problemas de determinacin de mximos y mnimos absolutos de funciones de una variable real en determinados intervalos, problemas cuya resolucin conoces del curso terico.

Para resolver estos ejercicios debers entonces extremar una funcin.



Tu primer paso ser individualizar con claridad cul es la funcin a la que

debes hallarle el mximo y / o mnimo absoluto.

En ocasiones el enunciado del ejercicio te proporciona la expresin analtica

de esa funcin.

En otros, en cambio, t debers conseguir esa expresin analtica utilizando

los datos dados en el enunciado

.

Es comn que al principio elijas ms de una variable en el problema.

Si ello ocurre no debes perder de vista que se trata de problemas de

funciones de una variable, por lo que existirn relaciones entre esas variables que

has elegido que te permitirn finalmente reducir el problema a una nica variable.

Una vez que has logrado la expresin analtica de la funcin buscada

debers establecer el intervalo de variacin de la variable elegida.



4.1 Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada para mximos y mnimos de una funcin

Sea f una funcin continua con ecuacin = (), definida en un intervalo (,

).

La siguiente es la representacin grfica de f en el intervalo (, ).

Cuando se tiene la grfica de una funcin continua resulta bastante fcil

sealar en qu intervalo la funcin es creciente, decreciente o constante. Sin

embargo, no resulta fcil decir en que intervalo la funcin es creciente, decreciente

o constante sin la grfica de la funcin.

El uso de la derivada de una funcin puede ayudar a determinar si una

funcin es creciente, decreciente o constante en un intervalo dado. Para esto, se

necesita el teorema y la definicin a continuacin para mostrar varios ejemplos.



En la representacin grafica anterior puede observarse que la funcin f es:

1. Creciente en los intervalos (a,x3),(x5,x6)

2. Decreciente en los intervalos (x3,x5), (x6,b)

Tambin se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es

positiva, la funcin f crece y cuando la pendiente de la recta

tangente es negativa, la funcin decrece.

Note adems que en los puntos (x3, f(x3)) y (x6, f(x6) la recta tangente es

horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la

funcin se anula en cada uno de esos puntos.

Teorema: Sea f una funcin derivable en el intervalo (a,b). Luego,

I. Si f(x)>0 para todo x en el intervalo abierto (a,b), f es creciente en (a,b).

II. Si f(x)



Ejemplo

Determinemos los intervalos en que crece o decrece la funcin con

ecuacin ( )1421 2 + xx

Hallando la primera derivada

2)(' = xxf

Como

creciente es f entoncespara ,20)(' >> xxf

edecrecient es f entoncespara ,20)('



Criterio de la primera derivada para mximos y mnimos de una funcin

Un valor de una funcin es un mximo si es mayor que cualquiera de los

valores que le anteceden o le siguen inmediatamente. Un valor de una funcin es

un mnimo si es menor que uno cualquiera de los valores que le anteceden o le

siguen inmediatamente.

Por ejemplo, en la figura 4.1, es evidente que la funcin tiene un valor

mximo MA (= y = 2) cuando x=1, y un valor mnimo NB (= y = 1) cuando x=2.

Observara que un mximo, as definido, no es, necesariamente, el mayor

valor posible de una funcin, ni un mnimo tiene que ser el menor de todos. En

efecto en la figura se ve que la funcin (=y) tiene valores a la derecha de B que

son mayores que el mximo MA, y valores a la izquierda de A que son menores

que el mnimo de NB.

Figura 4.1



Si f(x) es una funcin creciente de x cuando x es ligeramente menor que a,

pero es una funcin decreciente de x cuando x es ligeramente mayor que a, es

decir, si f(x) cambia de sino pasando de + a al aumentar x a travs de a,

entonces f(x) tiene un mximo cuando x=a. Luego, si f(x) es continua, debe

anularse cuando x=a.

As, en el ejemplo anterior en C, f(x) es positiva; en A, f(x)=0; en D, f(x) es

negativa.

Por otra parte, si f(x) es una funcin decreciente cuando x es ligeramente

menor que a, pero es una funcin creciente cuando x es ligeramente mayor que a;

es decir, si f(x) cambia de signo pasando de a+ al aumentar x a travs de a,

entonces f(x) tiene un mnimo cuando x=a. Luego, si f(x) es continua debe

anularse cuando x=a.

As, en la figura, en D, f(x) es negativa; en B, f(x)=0; en E, f(x) es positiva.

Podemos formular, pues, las condiciones generales siguientes para

mximos y mnimos de f(x):

f(x) es un mximo si f(x) = 0 y f(x) cambia de signo pasando de + a - f(x) es un mnimo si f(x) = 0 y f(x) cambia de signo pasando de - a +



Los valores de la variable independiente que satisfacen la ecuacin f(x)=0

se llaman valores crticos; por ejemplo:

Si

f(x)=2x3-9x2+12x-3,

Entonces:

f(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)

Por lo tanto x=1 y x=2 son los valores crticos de la variable para la funcin

cuya grafica es la figura 1. Los valores crticos determinan puntos de cambio

donde la tangente es paralela a OX.

Para determinar el signo de la primera derivada en puntos vecinos a un

punto de cambio, basta sustituir en ella en primer lugar un valor de la variable

ligeramente menor que el valor critico correspondiente, y despus un valor

ligeramente mayor.

Si el primer signo es + y el segundo es -, entonces la funcin tiene un

mximo para el valor critico que se considera. Si el primer signo es y el segundo

+, entonces la funcin tiene un mnimo. Si el signo es el mismo en ambos casos,

entonces la funcin no tiene ni mximo ni mnimo para el valor crtico que se

considera.

Consideremos, el ejemplo anterior donde la funcin.

31292)( 23 +== xxxxfy (1)

Segn vimos,

( )( )216)( = xxxf (2)



Resolviendo la ecuacin f(x)=0, hallamos los valores crticos x=1, x=2.

Consideremos primero el valor x=1. Sustituiremos en el segundo miembro

de (2) valores de x cercanos a este valor crtico y observamos los signos de los

factores.

X Y

1 2

2 1

Cuando x1, f(x)= (-) (-)= +.

Cuando x1, f(x)= (+) (-)= -.

Luego f(x) tiene un mximo cuando x=1. Por la tabla adjunta vemos que

este valor es y=f(1)=2.

Veamos ahora lo que ocurre para x =2. Procederemos como antes,

tomando en este caso valores de x prximos al valor critico 2.

Cuando x2, f(x)= (+) (-)= -.

Cuando x2, f(x)= (+) (+)= +.

Luego f(x) tiene un mnimo cuando x=2. Segn la tabla anterior, este valor

es y=f(2)=1.



Estos resultados se resumen en la siguiente regla, que sirve de gua en las

aplicaciones.

1. Se halla la primera derivada de la funcin.

2. Se iguala la primera derivada a cero, y se hallan las races reales de la

ecuacin resultante. Estas races son los valores crticos de la variable.

3. Se consideran los valores crticos uno por uno y se calculan los signos

de la primera derivada, en primer lugar para un valor un poco menor*

que el valor critico y despus para un valor un poco mayor que l. Si el

signo de la derivada es primeramente + y despus -, la funcin tiene un

mximo para este valor critico de la variable; en el caso contrario, tiene

un mnimo. Si el signo no cambia, la funcin no tiene ni mximo ni

mnimo para el valor crtico considerado. En el tercer paso, a menudo

conviene descomponer f(x) en factores.

Notas:

1) Los puntos crticos son los nicos en los que pueden aparecer los extremos

relativos (mximos y mnimos relativos). Esto significa, que no todo punto crtico

va a ser un mximo o mnimo relativo.



Ejemplo 1.

Hallar los extremos relativos de la 20x - 3x = f(x) 35

Primer paso.

60x - 15x = (x)f' 24

Segundo paso. Resolviendo la ecuacin f(x)=0, tenemos:

0 60x - 15x 24 =

Factorizando y encontrando los valores crticos

04- x 15x0 4)-(x15x0 60x -15x

22

22

24

==

=

=

0

Despejando para x

4x x04- x 15x

22

22

==

==

00

Por lo tanto x1=0, x2=2, x3=-2

Tercer paso.

Para x=0

Cuando 0x , entonces f(x) es -

Puesto que el signo de la derivada cambia de + a-, la funcin tiene un valor

mximo para x=0



Para x=2

Cuando 2x , entonces f(x) es -

Puesto que el signo de la derivada no cambia, la funcin no tiene un valor

mximo o mnimo para x=-2

Para x=-2

Cuando 2x , entonces f(x) es +

Puesto que el signo de la derivada no cambia, la funcin no tiene un valor

mximo o mnimo para x=-2



Ejemplo 1.

Hallar los extremos relativos de la 1)(x1)-(x = f(x) 32 +

Primer paso.

1)-(5x1)1)(x-(x(x)f'

1)(x1)-3(x1)1)(x-2(x = (x)f'2

23

+=

+++

Segundo paso.

01)-(5x1)1)(x-(x 2 =++

Luego x=1, x=-1, x=1/5 estos son los valores crticos

Tercer paso. Para x=1

Cuando 1x , entonces f(x) es +

Puesto que el signo de la derivada cambia de

Calculo Diferencial

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