calculo diferencial

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS

DEL ESTADO DE MEXICO

NICOLAS ROMERO II

CUADERNO DE EJERCICIOS DE CALCULO DIFERENCIAL

Ing. Alberto Osnaya Becerril

ACADEMIA DE FÍSICA Y MATEMATICAS

2011

Problemario de cálculo diferencial

Contenido

Presentación

Introducción

Para recordar

Unidad 1

Funciones

1.1. ¿Qué es una función?

1.2. Dominio y rango de una función.

1.3. Grafica de funciones.

1.4. Función compuesta.

1.5. Operaciones básicas con funciones.

1.6. Composición de funciones

Graficas de funciones

Composición de funciones

Operación de funciones

Tema 2. Dominio y rango de una función…………………………………7

Tema 3. Graficas de funciones…………………………………………….9

Tema 4.Operaciones con funciones………………………………………10

Tema 5. Composición de funciones………………………………………11

Tema 6. Función inversa………………………………………………….12

Tema 7. Limite de una función…………………………………………...17

Tema 7.1. Limites finitos…………………………………………………17

Tema 7.2. Limites trascendentes………………………………………….18

Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de México

Nicolás Romero II 1


Tema 7.3. Limites infinitos o impropios………………………………….19

Tema 8. Derivadas………………………………………………………...21

Tema 9. Regla de la cadena……………………………………………….26

PRESENTACION.

El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos Del Estado de México, plantel

Nicolás Romero II, institución preocupada por la calidad formativa de sus egresados, es

la principal participe en este cuaderno de ejercicios de cálculo diferencial.

Este proyecto tiene como objetivo fundamental ofrecer a los estudiantes los

conocimientos del cálculo diferencial de una manera sencilla, logrando ser una

herramienta que facilite la materia con una serie de problemas resueltos, en los cuales

puedan observar como se obtuvo el resultado, asi como también una serie de

problemas propuestos en los cuales podrán evaluar sus conocimientos.

Estamos concientes de que este trabajo contiene ejercicios muy básicos y un

contenido teórico muy reducido, por lo que es solamente un apoyo para el curso, y

que la explicación, comprobación, asi como ejercicios mas complejos dependen del

profesor asignado a la materia.

Agradezco de manera formal a la comunidad académica y en especial al cuerpo

directivo del plantel CECyTEM Nicolás Romero II, por haberme dado la oportunidad de

realizar este proyecto reiterando mi compromiso con la educación




Ing. Alberto Osnaya Becerril

Academia de Física Y Matemáticas

Introducción.

Este cuadernillo de ejercicios comprende parte de los temas fundamentales de la

materia de Calculo Diferencial correspondiente al cuarto semestre del Colegio de

Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de México. El cuadernillo está dirigido a

todos los estudiantes familiarizados con los conceptos fundamentales del Algebra y la

Geometría, el lenguaje con el que está estructurado se presenta de manera amigable,

absteniéndose lo más posible de términos confusos o de proposiciones que carecen de

gran significado para los alumnos, ya que su principal propósito es el de mostrar paso a

paso la forma en la que se resuelven los ejercicios más comunes presentes en la

materia de cálculo diferencial de una manera confiable y explicita.

En cada tema se presentan una serie de ejercicios resueltos, así también diversos

ejercicios propuestos para que el alumno ejercite lo antes visto y ponga a prueba sus

conocimientos. Los resultados de cada ejercicio se muestran al final de este cuadernillo

a fin de que el alumno corrobore la veracidad de sus resultados.

El cálculo diferencial es de suma importancia para la vida profesional de nuestros

estudiantes ya que cobra un enorme significado al aplicarlo en problemas reales de la

vida cotidiana o en el trabajo diario, por tal motivo la última unidad está dedicada a la

aplicación del cálculo en este tipo de problemas ya que el objetivo primordial es que el

alumno formule sus conocimientos teóricos para fines prácticos.

Para finalizar, cabe mencionar que servirá de poco la implementación de este

cuadernillo si los alumnos no se esfuerzan por resolver todos los ejercicios y de esa

manera adquirir la experiencia necesaria para lograr llegar un curso exitoso.




PARA RECORDAR.....

Antes de comenzar es indispensable recordar algunas reglas básicas de algebra

para facilitar los ejercicios, tales como son:

Leyes de los exponentes Leyes de los signos

Cuadrado de un binomio

Es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer

término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Factorizacion

Trinomio cuadrado perfecto




Es igual a la raíz cuadrada del primer término, signo del segundo termino, y la

raíz cuadrada del tercer termino

Ejemplos:

Diferencia de cuadrados

Es igual al producto de binomios conjugados, y se encuentra extrayendo la raíz

cuadrada del primer término que será el primer elemento de cada binomio, la raíz

cuadrada del segundo representa los segundos elementos de los binomios, el primer

binomio será positivo y el segundo elemento del segundo binomio será negativo.

Ejemplo.

Trinomio de la forma

Será igual a un par de binomios con término común. La raíz cuadrada del primer

término es el primer elemento de cada binomio. Se buscan dos números que sumados

sean igual al segundo termino y que multiplicados sean igual al tercer termino.

Ejemplo.

Triángulo de Pascal

El triángulo que se forma me indica los coeficientes que han de estar presentes en la

resolución del binomio. Estos coeficientes dependerán de la potencia a la cual este

elevado el binomio correspondiente. 1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Ejemplo.




El primer término se coloca a la potencia cero y el segundo a la potencia a la cual esta

elevado el binomio, la potencia del primero va en orden creciente y la del segundo

término en orden decreciente. Al inicio de cada término se coloca el coeficiente

correspondiente del Triángulo de Pascal.

Unidad 1

FUNCIONES.

1.1. ¿Qué es una función?

Una función queda representada de la siguiente manera:

Es costumbre en algunas ocasiones nombrar la función con letras tales como g y/o h ,

por lo que no siempre se representara con la letra f.

Antes de entrar en materia debemos entender por lo menos, lo que es una función.

Una función es aquella que para cada elemento del dominio le corresponde uno y

solamente uno de los elementos del contradominio, en otras palabras, para cada valor

de “x” le corresponderá un único valor de “y”. Esto se puede apreciar de manera

gráfica de la siguiente forma: Al trazar una línea vertical en cualquier parte de la

gráfica solamente debe tocar un punto de la misma para que corresponda a una

función.



Esta es una función, ya que para cada valor de “x” le corresponde un único valor de “y”

No es función

No son funciones


1.2. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN.

Dominio. Es el conjunto de números x para los cuales existe.

Rango. Es el conjunto formado por los números que resultan al aplicar f a cada

uno de los números x que pertenecen al dominio.

Definiciones de intervalos.

Sean a, b , se le llama intervalo cerrado de extremos a y b al conjunto

representado por y definido por:

a x b

Sean a, b , se le llama intervalo abierto de extremos ay b al conjunto representado

por y definido por:

a x b

a < x < b

Sean a, b , se le llaman intervalo semiabierto o semicerrado. El primero es abierto

por la izquierda y cerrado por la derecha, y el segundo es abierto por la derecha y

cerrado por la izquierda, definidos por:

a x b




a x b

a x b

a

EJERCICIOS RESUELTOS.

Ejercicio 1

Con cualquier número real que se sustituya en la función obtendremos un resultado,

excepto con el cero. Por lo tanto.

D

El rango serán los resultados obtenidos de sustituir el dominio en la función. Por lo

tanto.

R

Ejercicio 2

Observando nuestra función sabemos que no existen las raíces negativas, por lo que

nuestro dominio comenzara a partir de los números que al sustituirlos nos den un

valor positivo y así poder obtener un resultado de la raíz, es decir:

D

Los resultados de la raíz deberán ser positivos, sin embargo las raíces cuadradas tienen

el signo de (+, -) el rango será:

R

Ejercicio 3




D R

Ejercicio 4

D R

Ejercicio 5

D R

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.2.

Determinar el dominio y el rango de las siguientes funciones.

1.3. GRAFICAS DE FUNCIONES.




La grafica de una función es la colección de puntos en el plano

cartesiano tales que “x pertenece al dominio de f, y ”. En otras palabras en el

eje de las x se encontrara el dominio y en el eje de las y el rango

EJERCICIOS RESUELTOS

Se muestra cómo se lleva a cabo la tabulación de una función algebraica. Algo muy

importante es observar si la gráfica corresponde o no a una función, la manera más

sencilla de hacerlo es llevando a cabo la prueba de trazar una línea vertical sobre

cualquier punto de la gráfica.

Ejercicio1

D Observando el dominio determinamos que podemos sustituir cualquier

número real en la función. La grafica se puede extender cuanto se desee.

R

Se procede a realizar la tabulación de la gráfica sustituyendo los valores de x

(dominio) en la función y así obtener el valor de y (rango o contradominio)

-3 9 - 3 + 2 8

-2 4 - 2 + 2 4

-1 1 – 1 + 2 2

0 0 + 0 + 2 2

1 1 + 1 + 2 4

2 4 + 2 + 2 8

3 9 + 2 + 2 13




Ejercicio 2

D

R Debido al Rango, podemos observar que los resultados obtenidos siempre

serán positivos

x x2 y

-3 9

-2 4

-1 1

0 0 0

1 ( 1 )2 1

2 ( 2 )2 4

3 ( 3 )2 9

Ejercicio 3

D . Esto nos indica que el único número que no podemos sustituir es

el cero.

R




Eje x Eje y

-3 -2.6

-2 -1.5

-1 0

1 0

2 1.5

3 2.6

Ejercicio 4

En este ejercicio se da un rango determinado para la

Función, que son los números menores o iguales a -4

Eje x x + 3 Eje y

-4 -4 + 3 -1

-3 -3 + 3 0

-2 -2 + 3 1

-1 -1 + 3 2

0 0 + 3 3




1 1 + 3 4

2 2 + 3 5


Realizar las graficas de las siguientes funciones.

1.4. Función compuesta

Una vez que ya comprendemos lo que es una función, como la podemos identificar en

una gráfica, y la forma en la que se establece su dominio y su rango, estamos en

condiciones para efectuar operaciones llamadas composición de funciones.

Para realizar este tipo de operaciones, simplemente tenemos que sustituir el valor

propuesto de “ ” en nuestra función dada, como se muestra a continuación

EJERCICIOS RESUELTOS.

Ejercicio 1

Encontrar :




Para se sustituye el “1” en “ ”. Este mismo procedimiento se sigue en los

demás ejercicios

-2+2 0, y al realizar la multiplicación todo se vuelve cero.

Como podemos observar tenemos dos binomios,

mismos que se tienen que desarrollar utilizando la regla ya conocida.

Para realizar esta operación primero debemos de resolver como se

muestra a continuación.

Ahora sustituimos el resultado de en nuestra función original.



Se recomienda al estudiante realizar esta multiplicación


Ejercicio 2

Encontrar:


Como ya se sabe primero resolvemos y el resultado obtenido lo

sustituimos en la función original.





a) Encontrar:

b) Encontrar:

c) Encontrar:

d) Encontrar:

1.5. OPERACIONES BASICAS CON FUNCIONES

En las funciones se pueden aplicar las operaciones aritméticas básicas, tales como son

la suma, resta, multiplicación y la división, las cuales quedan definidas de la siguiente

manera:





En los siguientes ejemplos se muestra cómo se lleva a cabo la suma, resta,

multiplicación y división de funciones.

Ejercicio 1

Si

Sumando términos semejantes

Ejercicio 2

Si entonces:

Suma fraccionaria

Común denominador




Ley del sándwich

Ejercicio 3

entonces:

Ejercicio 4

Si





Determinar la suma, resta, multiplicación y división de las siguientes funciones.



En este tipo de ejercicios como en muchos otros es indispensable conocer las leyes de los exponentes


1.6. COMPOSICION DE FUNCIONES

La composición de funciones es otra forma de realizar operaciones con funciones, la

cual queda definida de la siguiente manera:


A continuación se muestra la forma en la cual podemos sustituir una función en otra.

Esto se torna en ocasiones un tanto confuso, pero con la práctica de los ejercicios

anteriores no se tendrá mayor problema

Ejercicio1

Se sustituye la función en donde corresponde.




Ejercicio 2

encontrar

Sustitución

Sustitución

Sustitución

Sustitución Binomio cuadrado perfecto

Ejercicio 3

encontrar:

El cuadrado con la raíz, se elimina


Para las siguientes funciones encontrar:




1.7. FUNCIÓN INVERSA

Las funciones inversas quedan definidas de la siguiente manera:

En este caso:

Dominio de Rango de f

Rango de Dominio de f


Nota: En esta ocasión le corresponde al alumno realizar la graficas

Ejercicio 1

La sustituimos por “ y”

Como se trata de encontrar la función inversa debemos de

despejar “x”




Ejercicio 2

Ejercicio 3

EJERCICIOS PROPUESTOS




UNIDAD 2

LIMITES

En esta unidad veremos cómo se realizan algunos límites de una manera directa

empleando simplemente la sustitución del valor correspondiente, así también algunos

en los cuales tendremos que llevar a cabo una factorización algebraica para que el

limite correspondiente tenga un cierto valor, es decir para que el limite exista.

Existen distintos tipos de límites como son, los límites finitos, infinitos o impropios,

trascendentales y aquellos que tienden a la derecha o la izquierda, el profesor a cargo

es el encargado de darte cada uno de estos conceptos, asi que comencemos con los

límites finitos.

2.1. LIMITES FINITOS


En este tipo de operaciones lo que se tiene que hacer es sustituir el valor del limite

dado, pero en muchas ocasiones no es posible sustituirlo de manera directa ya que el

limite no existiría, asi que se debe de factorizar la función a fin de obtener un

resultado, especificando el valor que no se puede sustituir, es importante aclarar que

no siempre existirá el limite

Ejercicio1

Factorización Sustitución




Ejercicio 2

Ejercicio 3

Factorizacion

Ejercicio 4

Se eliminan las “x” que están fuera del paréntesis y el límite existe.


Determinar el límite de las siguientes funciones




TEMA 7.2

LIMITES TRASCENDENTES

Este tipo de limites se refieren principalmente a las funciones trigonometricas como

veremos a continuación.


* Tenemos algunos límites ya establecidos cuya comprobación corresponde al profesor

de la asignatura, como son:

* De igual manera tenemos algunos límites muy sencillos como los son:

“Simplemente se sustituye el valor del limite en la “x”

* Y algunos otros en los que se necesita realizar un cambio de variable.

“1”




Si Cambio de variable

“1”

Si

5

yx Cambio de variable

1 0

Estos límites aparecen al principio del tema





TEMA 7.3

LIMITES INFINITOS O IMPROPIOS

En este tipo de límite utilizaremos los conceptos de los límites cuando tienden ala

derecha

0

limxx

y los limites que tienden hacia la izquierda


Ejercicio 1

El numero “3” es una cantidad positiva y el cero tiende a la derecha, por

lo que también es positivo

Ejercicio 2

El numero “3” es una cantidad positiva y el cero tiende a la izquierda,

por lo que es un numero negativo

Ejercicio 3

El numero “- 2” es una cantidad negativa y el cero tiende a la

izquierda, por lo que es un numero negativo

Ejercicio 4

Si sustituimos el limite cuando tiende a la derecha, podremos observar

que siempre obtendremos un valor mayor a “- 1”, por lo que tendremos

un valor positivo




1 1.3 1.5……

Ejercicio 5

Si sustituimos el limite cuando tiende a la derecha, podremos observar

que siempre obtendremos un valor menor a “- 1”, por lo que

tendremos un valor negativo

-1 -0.9 -0.5 -0.3….


Obtener los límites correspondientes de las siguientes funciones.




TEMA 8

DERIVADAS

Reglas de derivación

Algunas de las reglas de derivación básicas que utilizaremos son las siguientes:





Los ejercicios de calculo diferencial, no son tan complicados como parece siempre y

cuando se tengan bien establecidas las reglas de derivación y los principios básicos de

algebra, ya que es uno de los principales problemas al resolver este tipo de ejercicios.

Ejercicio 1

Regla 1, derivada de una constante.

Ejercicio 2

Regla 2, derivada de una variable

Ejercicio 3

Regla 3, una constante por una variable

Regla 2




“Como se puede observar en ocasiones se deben de aplicar varias reglas de derivación

en un solo ejercicio”

Ejercicio 4

Regla 4

* En los siguientes ejercicios, ubica las reglas que se estan utilizando.

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8





Ejercicio 9

Ejercicio 10

Ejercicio 11




EJERCICIOS PROPUESTOS:




TEMA 9

REGLA DE LA CADENA

La gran mayoría de la funciones que se estudian en calculo estan construidas por una

composición de funciones, de aquí la importancia de conocer un método sencillo para

diferenciar dichas funciones, el cual es conocido como “Regla de la cadena”. La cual

queda representada de la siguiente manera.




EJEMPLOS RESUELTOS

Ejercicio 1

“Recuerda el tema composición de funciones”

El primer paso es identificar El segundo paso es determinar la derivada de

a .

El tercer paso es sustituir estos valores en la regla de la cadena

Ejercicio 2




Ejercicio 3

Ejercicio 4




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