Calculo Diferencial

Metodologa para el aprendizaje del clculo diferencial

Jos Santos Valdez y Cristina Prez 1

Metodologa para el Aprendizaje del Clculo Diferencial

Conforme al Programa de Estudio de Clculo diferencial del

Tecnolgico Nacional de Mxico

Jos Santos Valdez y Cristina Prez Tercera edicin Versin 2015



Las matemticas son una disciplina y por lo mismo requiere de alumnos disciplinados en sus estudios.

Jos Santos Valdez Prez

UNIDAD 1. LOS NMEROS REALES. Clases: 1.1 Los nmeros reales. 1.2 Productos notables y factorizacin. 1.3 Intervalos y desigualdades. 1.4 El valor absoluto. Evaluaciones tipo de la Unidad 1 (Los nmeros reales) Formulario de la Unidad 1 (Los nmeros reales)



Clase: 1.1 Definicin de los nmeros reales. 1.1.1 Los nmeros reales: - Ejemplos. 1.1.2 Interpretacin geomtrica de los nmeros reales. - Ejercicios. 1.1.3 La recta numrica. 1.1.4 Propiedades de los nmeros reales. 1.1.1 Los nmeros reales: Los nmeros enteros positivos Z+ naturales "N": Son los que usamos para contar sumando de uno en uno.

Notacin: L,3,2,1=+Z Los nmeros enteros negativos (inversos aditivos): Son los que usamos para contar restando de uno en uno.

Notacin: 1,2,3 = LZ El cero "0": Es el que usamos para contar sin alterar el resultado. Notacin: 0 Los nmeros enteros "Z": Es el conjunto de los nmeros enteros positivos; el cero y el conjunto de los nmeros enteros negativos.

Notacin: LL ,3,2,1,0,1,2,3}0{ == + ZZZ Los nmeros decimales: Son los nmeros que se expresan como fracciones de los nmeros enteros. Clasificacin: Decimal terminal Ejemplo: 0.25 Decimal peridico Ejemplo: 0.333... Decimal no peridico Ejemplo: 3.1415...

Los nmeros racionales: Son los nmeros decimales que pueden expresarse en la forma nm / . Notacin: .0, = nyZnmnmQ Clasificacin: Racional entero Ejemplo: 1.0 = 2/2 Racional terminal Ejemplo: 0.25 = 1/4 Racional peridico Ejemplo: 0.333... = 1/3

Los nmeros irracionales: Son los nmeros decimales que no pueden expresarse en la forma nm / . Notacin: 0,/ nyZnmnmI Ejemplos:

L414213.12 L7182818.2e L1415926.3pi Los nmeros reales "R": Son el conjunto de los nmeros racionales y los nmeros irracionales.

Notacin: IQR = Ejemplo: Dado el nmero real 0.28 establecer su clasificacin: Clasificacin: Decimal terminal; porque 0.28 termina en 8 Racional decimal terminal, porque 0.56/2 = 0.28 Real; Porque es un nmero racional. Ejercicios: 1.1.1.1 Dados los siguientes nmeros reales, establecer su clasificacin:

...333.0)1 7.0)2

854)3 +

2pi3)4 123)5



1.1.2 Interpretacin geomtrica de los nmeros reales: Los nmeros reales tienen su interpretacin geomtrica en la recta numrica. 1.1.3 La recta numrica; Tambin llamada recta real simplemente recta: Es la representacin de los nmeros reales en los puntos de una recta geomtrica. Elementos: - Coordenada: Son los nmeros reales que corresponden a cada punto de la recta; Ejemplo: 3 - Origen: Es el punto de la recta que corresponde al nmero cero; nico ejemplo: 0 - Parte positiva: es la parte que va del origen hacia la derecha; 0, 1, 2, 3, . . . - Parte negativa: es la parte que va del origen hacia la izquierda. . . . -3, -2, -1, 0 - Direccin: Es un conjunto numrico con orden creciente decreciente. . Positiva: Si los valores numricos son creciente; Ejemplo: -1, 0, 1, 2 es direccin positiva . Negativa: Si los valores numricos son decreciente; Ejemplo: 2, 1, 0, -1 es direccin negativa

Propiedades: . De correspondencia biunvoca: A cada punto de la recta, le corresponde uno y solamente un nmero real y a cada nmero real, le corresponde uno y solamente un punto de la recta. . De tricotoma: Si a, b R Se cumple una y solamente una de las siguientes tres proposiciones: 1a.

a = b

Significa que "a" est en el mismo lugar de "b".

2a.

a < b

Significa que "a" est a la izquierda de "b".

3a.

a > b

Significa que "a" est a la derecha de "b".

Ejemplo: 1) Trace Una recta real y represente en la misma los siguientes nmeros: 2, 0.5, - 4, 0, - 5 y 5.

Ejercicios: 1.1.3.1 Trace una recta real y represente en la misma los siguientes nmeros:

4;5;0;2;7.0;2)1 313

;25

;3

1;7;pi3;2)2 e

Direccin positiva

Parte ( + ) Parte ( - )

-3 -2 -1 0 1 2 3

Coordenada Origen Direccin negativa

b

a

a b

0.5

- 5 - 4 0 2 5

a b



1.1.4 Propiedades de los nmeros reales: 1. Propiedades genricas: 1.1 De identidad aa = xxEjemplo =: 1.2 Reflexiva si ba = ab = xyyxsEjemplo ==: 1.3 De cierre: En toda operacin de nmeros R el

resultado es otro nmero .R

RRysiEjemplo =+ 532532:

2. Propiedades de la adicin: 2.1 Conmutativa

abba +=+ 624642: =+=+Ejemplo 2.2 Asociativa

( ) cbacba ++=++ 1082)53(210532: =+=++=++ yEjemplo 2.3 De la sustraccin

)( baba += 1)3(2132: =+= yEjemplo 2.4 Del neutro

aa =+ 0 202: =+Ejemplo 2.5 Del inverso

0)( =+ aa 022)2(2: ==+Ejemplo

3. Propiedades de la multiplicacin: 3.1 Conmutativa

baab = 62332: ==Ejemplo 3.2 Asociativa

( ) ( )cabbcaabc == 40202)54(2542: ===Ejemplo 3.3 Distributiva

( ) acabcba +=+ 181264323)42(3:Ejemplo =+=+=+

3.4 De la divisin 1)/1( == abbaba 0b ( ) 214241242: 1 === Ejemplo 3.5 Del neutro

aa =1. 515: =Ejemplo 3.6 Del inverso

1)/1( =aa ( ) 1313: =Ejemplo 4. Propiedades del resultado cero: 4.1 00. =a ( )( ) 008.2: =zEjemplo 4.2

0=ab 0/0 == boya

( ) ( ) 012: =+ xxEjemplo de donde 202 1 ==+ xx y 101 2 == xx

Ejercicios: 1.1.4.1 S 1=a ; 1=b y 4=c hacer las operaciones numricas que se indican:

?)1 =+ ba ?0)4 =+a ?)()7 =bca ?1)10 =a ?)2 =++ cba ?)()5 =+ aa ?)()8 =+ cba ?1)11 =

aa

?)3 = ba ?)6 =ab ?)9 = ba ?0)12 =a



5. Propiedades del producto con signos negativos: 5.1 aa = )( xxEjemplo = )(: 5.2

abba = )( xyyxEjemplo = )(: 5.3

abba = ))(( xyyxEjemplo 6)3()2(: = 5.4

aa = )1( xxEjemplo = )1(: Ejercicios: 1.1.4.2 Hacer las operaciones que se indican:

?)1(1)1 =+ ?)1()1()5 = ?)1(1)9 = ?)1()13 = ?4)1(1)2 =++ ?)01()1()5 =+ ?)1/1()1()10 = ?))1(()1()14 =

?)1(1)3 = ?))4()1(()1()7 = ( ) ?1/1)1()11 = ?)1()1()15 = ?01)4 =+ ?))4()1(()1()8 =+ ?)1/0()1()1 =

6. Propiedades de los cocientes: 6.1 bcad

dc

ba

== 1234121123

41

: ===Ejemplo 6.2

ba

ba

ba

=

=

32

32

32

: =

=

Ejemplo 6.3

bca

bc

ba +

=+ ; b

ca

bc

ba

= 133

312

31

32

: ==+

=+Ejemplo 6.4

bdbcad

dc

ba +

=+ ; bd

bcaddc

ba

= 23

69

3263

33

2:

xxxxxxEjemplo ==

+=+

6.5

ba

bdad

=

43

3433

: =

x

xEjemplo

6.6

bd

ac

d

c

b

a=

152

152

3512

31

52

: ==

=

x

x

x

x

x

xEjemplo

6.7

c

d

b

a

bc

ad

d

cb

a

d

c

b

a===

65

1210

4352

54

32

54

32

: ==

==Ejemplo

Ejercicios: 1.1.4.3 Dados uno o ms nmeros reales hacer las operaciones numricas que se indican:

?)4()2(

)4()3()1 = ?

2

5

2

3)3 =+ ?

4

3

4

1)5 =+ ?

43

52)7 =

21

21

21)2 =

=

Son iguales s no

?2

5

2

3)4 =- ?

84

-

23)6 =

?

4352

)8 =



1.1.4.4 Resolver y/o simplificar:

?

x3

x9)1 = ?

4

x2

2

x5)4 =+ ?

x

4

x2

1)7 =- ?

2

1x)10 =

?4

x2

4

x)2 =+ ?

2

x3

5

x)5 =- ?

4

2

2

1)8 = 0

)3x(

36x36)11

32

2

=+

-

?x2

5

x2

4)3 =- ?

4

xx2)6 =- ?

4

x

3

x2)9 = 0

x

432x2)12

2=-

7. Propiedades de los exponentes: 7.1 010 = aa ( ) 1533: 04 =xEjemplo 7.2

+= Znaaaaa nn L321 xxxxxEjemplo =4: 7.3

n

n

aa

1=

0a 33 1:

xxEjemplo =

7.4 nn aa =

1 33

1: xxEjemplo =

7.5 ( ) mnnm aa = ( ) 63232: xxxEjemplo ==

7.6 ( ) nmmnn mnm aaaa 11 =

== ( ) 3122313 232: xxxxEjemplo =

==

7.7 nmnm

aaa+

= 53232: xxxxEjemplo == +

7.8 ( ) nnn baab = ( ) 3333 822: xxxEjemplo ==

7.9

mn

nm

n

m

aa

a

a

==

1 0a xx

xx

x

xEjemplo ====

143

343

4 1:

7.10

n

nn

ba

ba

=

0b 24

2

222

222

2 94

94

)(32

32

:xx

x

x

x

x

xEjemplo ===

Ejercicios: 1.1.4.5 Resolver y/o simplificar:

?3)1 4 =

?3)3 2 =xx ?23)5 3 =x

x ?2)6

2

2 =

x

?)83()2 0 =x ?)2()4 22 =x 8. Propiedades de los radicales: 8.1

imparesnyasparesnsasZnaaaa n

n

n n

00

1



Ejercicios: 1.1.4.6 Resolver y/o simplificar:

?64)1 2 3 = ?x9)2 2 = ?

9

x4)3

2

= =x

1- ?

x2

3

x2

x9)4

1.1.4.7 Determinar el valor o valores de "x".

02)1 =x 0)6 2 = xx 0124)11 23 = xx 012)16 2 =+ xx 02)2 =+x 04)7 2 = xx 02)12 2 = xx 03666)17 2 = xx 012)3 =+x 033)8 2 = xx 01212)13 23 = xx 024)18 23 =++ xxx 01)4 2 =x 0)9 3 = xx 01515)14 24 =+ xx

013)5 2 =x 04)10 3 = xx 012)15 2 =++ xx

9. Propiedades de las formas indeterminadas indefinidas; El resultado en las siguientes formas es indefinido: 9.1

)1

)(.0)3 )5

)7 )()9

00)11

0)13 ( )R)15

.0)2 00)4

)6

)8 )()10

1)12 01)14 ( ) R)16

10. De las formas no indeterminadas; El resultado es las siguientes formas es determinado (por tendencia):

;00)50)()4)()3)2)11.10 =====+ =+ R)12.10

0)3 =+

R

=+R

)5

=0

)7 R

=

0)9

=

R)11

=+ R)2

0)4 =

R

=

R)6

=

+

0)8

=

+R)10

( ) =>+ 1)13.10 R ( ) 01)2 = + R ( ) 01)4 =< + R Notas: 1) no es un nmero, es considerado como la idea de un nmero inmensamente grande positivo. 2) no es un nmero, es considerado como la idea de un nmero inmensamente grande negativo.

3) Observar que:

===

01

010 por tendencia; y que indefinido=

01

por exactitud.

Ejercicios: 1.1.4.8 Realizar las siguientes operaciones:

?10)1 = ?1)3 =+ ( ) ?10)5 = ?40)7 =+

?5)2 =

?8

)4 =

?2)6 =

?)2()8 =



Clase: 1.2 Productos notables y factorizacin. 1.2.1 Productos notables. 1.2.2 Productos notables de binomios conjugados. 1.2.3 Productos notables de binomios al cuadrado. 1.2.4 Producto notables de binomios al cubo. 1.2.5 Factorizacin. 1.2.6 Factorizacin de monomios con trminos comunes. 1.2.7 Factorizacin de diferencias de dos cuadrados. 1.2.8 Factorizacin de trinomios cuadrados perfecto:

1.2.9 Factorizacin de trinomios de la forma cbxx ++2 : 1.2.10 Factorizacin de trinomios de la forma cbxax ++2 utilizando la frmula cuadrtica. 1.2.11 Factorizacin de trinomios de la forma cbxx ++2 por el mtodo de completar un trinomio cuadrado perfecto:

1.2.12 Factorizacin de trinomios de la forma cbxax ++2 por el mtodo de completar un trinomio cuadrado perfecto. - Ejemplos. - Ejercicios. 1.2.1 Productos notables. Conceptos bsicos: Definicin: Son productos de expresiones algebraicos que basados en reglas se memorizan su aplicacin. Trmino algebraico.- Son un producto de nmeros y/o letras. Ejemplo: 3x; 2a; xy; etc Expresin algebraica: Son sumas ( + ) y/o restas ( - ) de trmino algebraicos. Observacin: Puesto que a cualquier trmino algebraico es posible sumarle y/o restarle el trmino algebraico (neutro) cero, entonces un solo trmino algebraico es tambin una expresin algebraica. Ejemplos: 3x; 2x 4y; a + 2b 3c; etc Monomio: Es una expresin algebraica declarada por un solo trmino. Ejemplo: 3x Binomio: Es una expresin algebraica declarada por dos trminos. Ejemplo: 2x 4y Trinomio: Es una expresin algebraica declarada por tres trminos. Ejemplo: a + 2b 3. Polinomio: Son expresiones algebraicas compuestas por dos o mas trminos. Ejemplos: 3x (vea la definicin de expresin algebraica); 2x 4y; a + 2b 3c; etc Los productos notables ms utilizados son: - Binomios conjugados. - Binomios cuadrados. - Binomios al cubo. 1.2.2 Productos notables de binomios conjugados: Son el producto de dos binomios que difieren nicamente en su signo.

Estructura algebraica: 22 ba)ba()ba( -=-+ Ejemplo: (2x + 3) (2x 3) = ( 2x )2 ( 3 )2 = 4x2 9 Ejercicios: 1.2.2.1 Usando las estructuras algebraicas resolver el producto de los siguientes binomios conjugados: 1) (x + 5) (x - 5) 2) (3x + 2y) (3x 2y) 3) (5x2- 2y) (5x2 + 2y) 1.2.3 Productos notables de binomios al cuadrado: Son el producto de dos binomios iguales.

Estructura algebraica: 222 aab2a)ba( ++=+

222 aab2a)ba( +-=- Ejemplos: (2x + 3)2 = ( 2x )2 + (2)(2x)(3) + ( 3 )2 = 4x2 + 12x + 9 (2x - 3)2 = ( 2x )2 - (2)(2x)(3) + ( 3 )2 = 4x2 - 12x + 9



Ejercicios: 1.2.3.1 Usando las estructuras algebraicas resolver el producto de los siguientes binomios cuadrados: 1) (x + 2)2 2) ( 2x - 3)2 3) (3x +2y)2 1.2.4 Productos notables de binomios al cubo: Son el producto de tres binomios iguales.

Estructura algebraica: 32233 bab3ba3a)ba( +++=+

32233 bab3ba3a)ba( -+-=- Ejemplos: (2x + 3)3 = (2x)3 + 3(2x)2(3) + 3(2x)(3)2 + (3)3 = 8x3 + 36x2 + 54x + 27 (2x - 3)3 = (2x)3 - 3(2x)2(3) + 3(2x)(3)2 - (3)3 = 8x3 - 36x2 + 54x - 27 Ejercicios: 1.2.4.1 Usando las estructuras algebraicas resolver el producto de los siguientes binomios al cubo. 1) (1 + x)3 2) (x - 5)3 3) (2xy - 4)3

1.2.5 Factorizacin. Conceptos bsicos: Factorizacin numrica: Es el proceso de encontrar en un nmero (original), productos de nmeros (llamados factores) que den como resultado el nmero original.

)2)(3)(2)(2()2)(3)(4()4)(6()3)(8()2)(12(24: =====Ejemplo Factorizacin algebraica: Es el proceso de encontrar factores de las expresiones algebraicas mediante la aplicacin de los propiedades de los nmeros reales (en algunos casos es el proceso inverso de los productos

notables). )(: baxbxaxEjemplo +=+ Las factorizaciones ms utilizadas son: - Monomios con trminos comunes. - Diferencia de dos cuadrados. - Trinomios cuadrados perfectos.

- Trinomios de la forma cbxx ++2 - Trinomios de la forma cbxax ++2 utilizando la frmula cuadrtica. - Trinomios completando el trinomio cuadrado perfecto. 1.2.6 Factorizacin de monomios con trminos comunes: Es el proceso de factorizar polinomios que contienen monomios con un trmino comn.

Estructura algebraica: )12(224:)( 2 +=++=+ xxxxEjemplobacbcac Ejercicios: 1.2.6.1 Factorizar los siguientes monomios con trminos comunes. 1) xy + x2 2) 4x2 2x 3) 5x3 + 30x2 15x 1.2.7 Factorizacin de diferencias de dos cuadrados: Es el proceso de factorizar una diferencia de cuadrados.

Estructura algebraica: ))((22 bababa += )32)(32()3()2(94: 222 +== xxxxEjemplo

Ejercicios: 1.2.7.1 Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados. 1) x2 9y2 2) 16x2 36y2 3) 25 a2x2



1.2.8 Factorizacin de trinomios cuadrados perfecto: Es el proceso de factorizar trinomios de la forma

cbxax ++2 que son cuadrados perfectos y por lo mismo cumplen con las siguientes condiciones: 1. cya tiene raz cuadrada exacta. 2. bca =2

Estructura algebraica: ( )22 cxacbxax +=++ bca = 2 Mtodo de factorizacin de trinomios cuadrados perfectos:

1) Obtenga cya y verifique que cya tengan races cuadradas exactas. 2) Obtenga ca2 . 3) S bca =2 entonces ( )22 cxacbxax +=++ . Ejemplo 1) Factorizar el trinomio 41616 2 ++ xx

( )( ) ( )

( )222 2416242

24416

41616 +==

==

==

=+=++ xc

a

cxaxx

Ejemplo 2) ( ) ( ) ( )22222 359302593025 =+=+ xxxxx Ejercicios: 1.2.8.1 Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos. 1) x2 4x + 4 2) x2 + 2xy + y2 3) x2 14x + 49

1.2.9 Factorizacin de trinomios de la forma cbxx ++2 : Es el proceso de factorizar trinomios de la forma cbxx ++2 que pueden no ser cuadrados perfectos, pero que cumplen la siguiente condicin:

La suma de dos factores del tercer trmino es igual al coeficiente del segundo trmino. Estructuras algebraica: )()( 212 fxfxcbxx ++=++ bffycff =+= 2121 Mtodo de factorizacin de trinomios de la forma cbxx ++2 : 1) Coloque la estructura )()( 212 fxfxcbxx ++=++ 2) Identifique .cyb 3) Obtenga los factores de ""c .

4) Seleccione los dos factores 21 fyf ; que cumplan la siguiente condicin: bff =+ 21 5) Sustituya 21 fyf quedando: )()( 212 fxfxcbxx ++=++ 6) Si lo desea, valide el resultado.

Regla sinttica: Busque dos nmeros, que multiplicados sean igual a ""c y sumados sean igual a ""b .

Ejemplo 1) Factorizar el trinomio 22 + xx :

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )21)5

2;1121;121)4

221;221)32;1)2

2)1

21

212 +=

==

=+=

==

==

=++=+ xx

paso

ffpaso

pasocbpaso

fxfxxxpaso

Ejercicios: 1.2.9.1 Factorizar los siguientes trinomios de la forma x2 + bx + c 1) x2 + 7x + 6 2) x2 9x + 18 3) x2 + 2x - 35 4) x2 + 11x + 24 5) x2 - 6x - 27



1.2.10 Factorizacin de trinomios de la forma cbxax ++2 utilizando la frmula cuadrtica: Es el proceso

de factorizar trinomios de la forma cbxax ++2 utilizando la frmula cuadrtica: a

acbbx

242

=

Estructura algebraica: )()( 212 fxfxacbxax =++ ya

acbbf2

421

+=

a

acbbf2

422

=

Mtodo de Factorizacin de trinomios de la forma cbxax ++2 utilizando la frmula cuadrtica: 1) Coloque la estructura: )()( 212 fxfxacbxax =++ 2) Identifique ., cyba 3) Obtenga

a

acbbf2

421

+= 4) Obtenga

a

acbbf2

422

=

5) Sustituya )()(; 2121 fxfxaenfyfa 6) S lo desea valide el resultado cbxaxfxfxa ++= 221 )()(

Ejemplo: Por la frmula cuadrtica, factorizar: 23 2 xx ( ) ( )212 23)1 fxfxaxxPaso = Paso 2) 2;1;3 === cba

Paso 3) 1)3(2)2)(3(4)1()1(

24 22

1 =+

=

+=

a

acbbf

Paso 4) 32

)3(2)2)(3(4)1()1(

24 22

2 =

=

=

a

acbbf

Paso 5) ( )( ) ( )( )23113)()1(3)(()1(32 3 2332322 +==+== + xxxxxxxxx x

Paso 6) 232323)()33()()1(3 223232 =+=+=+ xxxxxxxxx Ejercicios: 1.2.10.1 Factorizar los siguientes trinomios por la frmula cuadrtica: 1) x2 4x + 4 3) 3x2 + 14x + 8 5) 4x2 5x 6 2) 3x2 - 2x -1 4) 2x2 + 7x + 3 6) 5x2 8x + 3

1.2.11 Factorizacin de trinomios de la forma cbxx ++2 por el mtodo de completar un trinomio cuadrado perfecto: Es el proceso de factorizar trinomios de la forma cbxx ++2 completando un trinomio cuadrado perfecto Estructura algebraica: dxcbxx b ++=++ 22

2 )( ( )22bcd = Mtodo de factorizacin de trinomios de la forma cbxx ++2 completando un trinomio cuadrado perfecto:

1) Con bxx +2 formar un binomio elevado al cuadrado.

( ) dxcbxx b ++=++ 222 2) Desarrollar el binomio elevado al cuadrado.

( ) dbxx b +++= 222 3) Calcular el nmero d . ( )22bcd = 4) De nuevo forme el binomio elevado al cuadrado y procese

el valor de d . ( ) dx b ++= 22



Ejemplo: Factorizar 142 + xx por el mtodo de completar un trinomio cuadrado perfecto: ( ) ( ) dxdxxxPaso ++=++=+ 22242 214)1

dxxPaso +++= )44()2 2 ( ) 5411)3 224 ===dPaso

5)2(14)4 22 +=+ xxxPaso Ejercicios:

1.2.11.1 Factorizar los siguientes trinomios de la forma cbxx ++2 completando el trinomio cuadrado perfecto. 1) x2 + 4x + 1 2) x2 - 2x + 5 3) x2 - 3x + 9

1.2.12 Factorizacin de trinomios de la forma cbxax ++2 por el mtodo de completar un trinomio cuadrado perfecto: Es el proceso de factorizar trinomios de la forma cbxax ++2 completando un trinomio cuadrado perfecto. Estructura algebraica: adxacbxax

ab ++=++ 22

2 )( ( )22abacd =

Mtodo de factorizacin de trinomios de la forma cbxax ++2 completando un trinomio cuadrado perfecto:

1) Factorizar ""a ( )ac

abxxacbxax ++=++ 22

2) Con abxx +2 formar un binomio elevado al cuadrado.

( )( )dxaa

b ++=2

2

3) Desarrollar el binomio elevado al cuadrado ( )( )dxa

ab

abx +++=

22

2

4) Calcular el nmero d . ( )22abacd = 5) De nuevo forme el binomio elevado al cuadrado y procese

el valor de d . ( )( )dxa ab ++= 22 6) Obtenga el producto de:

( )( ) ( ) adxadxaa

ba

b ++=++2

22

2

Ejemplo: Factorizar 244 2 + xx por el mtodo de completar el trinomio cuadrado perfecto: ( ) ( )212424422 44244)1 +=+=+ xxxxxPaso x

( )( )dxPaso += 2214)2 ( )dxxPaso ++= 4124)3 ( ) 4141212)4)(2( 442)4 === dPaso ( )( )412214)5 += xPaso

( ) 14)6 221 += xPaso Ejercicios.

1.2.12.1 Factorizar los siguientes trinomios de la forma cbxax ++2 completando el trinomio cuadrado perfecto. 1) 2x2 + 4x + 1 2) 4x2 8x + 2 3) 4x2 + 12x + 6



Clase: 1.3 Intervalos y desigualdades. 1.3.1 Intervalo. - Ejemplos. 1.3.2 Desigualdades. - Ejercicios. 1.3.1 Intervalo. Definicin: Es el conjunto de valores (conjunto solucin) que puede tomar la variable "x" en la recta numrica. Ejemplo: S "x" puede tomar los valores de 1 a 4. Clasificacin y notacin de los intervalos:

N O T A C I O N TIPO

GRFICA INTERVALO DESIGUALDAD CONJUNTO

Cerrado

- [ ]

[ ]ba,

bxa { }bxax

Abierto - ( ) ( )ba, bxa



Ejemplos: 1) Dada la desigualdad lineal x + 8 < 10 encontrar el conjunto solucin y hacer la grfica correspondiente: Solucin: x + 8 + ( - 8 ) < 10 + ( - 8 ) x < 2 2) Dada la desigualdad lineal 2 x - 6 > 0 encontrar el conjunto solucin y hacer la grfica correspondiente: Solucin: 2 x 6 + ( + 6 ) > 0 + ( + 6 ) 2 x > 6 2 x ( 1/ 2 ) > 6 ( 1 / 2 ) x > 3 3) Dada la desigualdad lineal 414 x - 3 - 3 x < 5 Ejercicios: 1.3.2.1 Dada una desigualdad lineal: a) Encontrar el conjunto solucin. b) Graficar el conjunto solucin. 1) x 1 7 4) 4x + 1 < 2x 7) -1 1 - x > - 5 2) 2x 5 < 7 5) - 4 < 2x - 3 < 4 3) 2x > 3

6) 532

>+xx

Mtodo para investigar desigualdades cuadrticas:

S la estructura para una desigualdad cuadrtica es: ( ) ( )212 fxfxcbxax ++=++ ( ) 2121 , ffff



Clase: 1.4 El valor absoluto. 1.4.1 Definicin del valor absoluto. 1.4.2 Propiedades del valor absoluto. - Ejemplos. - Ejercicios. 1.4.1 Definicin del valor absoluto:

S a R el valor absoluto de " a " que se denota a se define como:



Comprobacin: Para 21

=x 34212 =+

Para

27

=x 34272 =+

341 =+ 347 =+ 33 = 33 = 3 = 3 3 = 3

3) Dada la desigualdad 432 > x encontrar el conjunto solucin y graficarlo: Aplicando la propiedad reflexiva:

s a < b b > a queda: 243 > xx 4210 >> x 2210 x

Ejercicios: 1.4.2.1 Tipo I. Demostrar numricamente las siguientes desigualdades. 1) Si a = 2 a 0 5) Si a = 5 - a a a 2) Si a = - 2 a 0 6) Si a = - 5 - a a a 3) Si a = 3 y n = 2 an an 7) Si a = 1 y b = - 2 | a + b a + b 4) Si a = - 3 y n = 3 an an 8) Si a = -1 y b = - 3 | a + b a + b Tipo II. Dada una igualdad que contiene valor absoluto, encontrar el conjunto solucin y graficarlo:

53)1 =+ x 622)2 = x 1034)3 = x Tipo III. Dada una desigualdad que contiene valor absoluto, encontrar el conjunto solucin y graficarlo: 1) x - 3 < 2 2) 1 > 2x + 3 3) 3 < x + 2 4) 2x - 3 > 5

( ) x

2/3 2

x x

- 2 5

( )



Evaluaciones tipo: Unidad 1. (Los nmeros reales).

Fecha:

Evaluacin tipo: Unidad 1. EXAMEN DE CLCULO DIFERENCIAL

Hora:

Oportunidad: 1a 2a No. de lista:

Apellido paterno Apellido materno Nombre(s) Unidad: 1. Tema: Los nmeros reales

Calificaciones: Elab: Clave: Evaluacin tipo 1 Examen de unidad

Examen sorpresa

Participaciones Tareas Valores Otras Calificacin final

1) Sea: 01282 =x

x

??

2

1

=

=

x

x

2) Sea: ?212

3

=

x

Desarrollar aplicando productos notables.

3) Sea: 0352 2 =+ xx

??

2

1

=

=

x

x Aplicar factorizacin.

4) Sea: 0322 +x

A) Obtener el conjunto solucin de x. B) Trace la grfica del conjunto solucin.



Fecha:


Hora:

Oportunidad: 1a 2a No. de lista: Apellido paterno Apellido materno Nombre(s) Unidad: 1. Tema: Los nmeros reales

Calificaciones: Elab: Clave: Evaluacin tipo 3 Examen De unidad

Examen sorpresa


1) En la celda RC (Respuesta correcta) escriba con tinta la clave correspondiente a la solucin del problema. 2) En el reverso de la hoja resuelva nicamente los problemas que contienen en la celda RC las siglas (SRD). 3) En caso de que asigne la clave correcta en celdas con siglas (SRD) sin haber resuelto el problema, este no tendr valor. 4) Para tener derecho a puntos extras, deber obtener como mnimo el 40% del examen aprobado. 5) Iniciada la evaluacin no se permite el uso de celulares, internet, ni intercambiar informacin material. 6) Cualquier operacin, actitud intento de fraude ser sancionada con la no aprobacin del examen. Ejemplo:

Ninguna 4 8 2 ?

84:=

=

x

xSean

Clave: 3QFNB Clave: 3UYRZ Clave: 3PSDH Clave: 3LMCA

RC 3LMCA

2=x

1=x

Ninguna

4=x 1

441

)1 =x

Clave: 3QFNA Clave: 3UYRS Clave: 3PSDW Clave: 3LMCR

RC

( ) ( )1414 + xx

Ninguna

( ) ( )1212 + xx

184 2 + xx

?14)2 2 =x Clave: 2DRBH Clave: 2UZRZ Clave: 2PSDA Clave: 3LMXC

RC

413

21 2

x

( ) ( )12 ++ xx

47

21 2

+

x

Ninguna

?3)3 2 =+ xx

Clave: 3NUYN Clave: 3TRYA Clave: 3UTGK Clave: 3LMWC

RC

Ninguna

2x

3x

3



Fecha:


Hora:

Oportunidad: 1a 2a No. de lista:

Apellido paterno Apellido materno Nombre(s) Unidad: 1. Tema: Los nmeros reales


Examen sorpresa



Ninguna 4 8 2 ?42:

=

=

x

xSean


R: Correcta 3LMCA

2=x

3=x

Ninguna

9=x 31

2211

)1 =

x

Clave: 3QFNA Clave: 3UYRS Clave: 3PSDW Clave: 3LMCV

RC

( ) ( )1919 + xx

Ninguna

( ) ( )1313 + xx

11881 2 + xx

?19)2 2 =x Clave: 2DRBH Clave: 2UZRZ Clave: 2PSDA Clave: 3LMXC

RC

212

25 2

x

( ) ( )32 ++ xx

( ) ( ))16 + xx

Ninguna

?65)3 2 =++ xx

Clave: 3NUYN Clave: 3TRYL Clave: 3UTGK Clave: 3LMWC

RC

Ninguna

2x

2x

3x

32

4)4 x Clave: 4OJKY Clave: 4NMRH Clave: 4UHND Clave: 4DFNB

RC

131

x

131

>> x

213)5 >x

Clave: 5GRDS Clave: 5MHJW Clave: 5XZSA Clave: 5PUTE

RC (SRD)



Fecha:


Hora:

Oportunidad: 1a 2a No. de lista: Apellido paterno Apellido materno Nombre(s) Unidad: 1. Tema: Los nmeros reales.


Examen sorpresa



Ninguna 4 8 2 ?

168:=

=

x

xSean


R: Correcta 3LMCA

Irracional y Raiz

Real y Racional

ReaL e Irracional

Ninguna

11)1 Clave: 10SWA Clave: 10YRX Clave: 10NM. Clave: 10MCV

RC

x

4

Ninguna x

2

x

2 ?31)2 =xx

Clave: 1BNGH Clave: 1YURT Clave: 1NHY. Clave: 1LPIM

RC

244

41

xx ++ 24241

xx ++ 22241

xx ++

Ninguna ?221)3

2

=

+ x

Clave: 2MHNH Clave: 2RTF. Clave: 2PLUY Clave: 2BNDP

RC

1x

Ninguna

1+x

1x ( )( )11)4 + xx

Clave: 3NMH. Clave: 3BNML Clave: 3CVBR Clave: 3RTEW

RC

)1)(3( + xx

)1)(2( + xx

Ninguna

)1)(3( + xx

32)5 2 + xx Clave: 4ASDI Clave: 4TRET Clave: 4LKUP Clave: 4KHM.

RC

Ninguna

( ) 61 2 +x

( ) 61 2 x

( ) 41 2 +x

52)6 2 + xx Clave: 5ASDQ Clave: 5OPU. Clave: 5TREA Clave: 5LKML

RC (SRD)

3



Formulario: Unidad 1 (Los nmeros reales). Propiedades de los nmeros reales: 1. Genricas: 2. De la adicin: 3. De la multiplicacin:

1.1 aa = 2.1

abba +=+ 3.1

baab =

1.2 si ba = ab = 2.2

( ) ( ) cbacba ++=++ 3.2

( ) ( )cabbcaabc ==

1.3 2.3 )( baba += 3.3

( ) acabcba +=+

En operaciones de R el resultado es .R 2.4

aa =+ 0 3.4 1)/1( == abbaba 0b

2.5

0)( =+ aa 3.5

aa =1. 3.6

1)/1( =aa

4. Del resultado cero:

5. Del producto con signos negativos:

4.1 00. =a 5.1 aa = )( 4.2

0=ab 0/0 == boya 5.2 abba = )( 5.3

abba = ))((

5.4

aa = )1( 6. De los cocientes: 7. De los exponentes: 6.1 bcad

dc

ba

== 7.1 010 = aa

6.2

ba

ba

ba

=

=

7.2 += Znaaaaa nn L321

6.3

bca

bc

ba +

=+ ; b

ca

bc

ba

=

7.3

n

n

aa

1=

0a

6.4

bdbcad

dc

ba +

=+ ; bd

bcaddc

ba

=

7.4 nn aa =

1

6.5

ba

bdad

=

7.5 ( ) mnnm aa = 6.6

bd

ac

d

c

b

a=

7.6 ( ) nmmnn mnm aaaa 11 =

==

7.7 nmnm

aaa+

= 6.7

c

d

b

a

bc

ad

d

cb

a

d

c

b

a===

7.8 ( ) nnn baab =

7.9

mn

nm

n

m

aa

a

a

==

1 0a

7.10

n

nn

ba

ba

=

0b



8. De los radicales:

8.3 nmnmm n aaa

1==

8.1

imparesnyasparesnsasZnaaaa n

n

n n

00

1

+ 1)13.10 R ( ) 01)2 = + R ( ) 01)4 =< + R

Productos notables.

Binomios conjugados: Estructura algebraica: 22 ba)ba()ba( -=-+

Binomios cuadrados: Estructuras algebraicas: 222 aab2a)ba( ++=+

222 aab2a)ba( +-=-

Binomios al cubo: Estructuras algebraicas: 32233 bab3ba3a)ba( +++=+

32233 bab3ba3a)ba( -+-=- Factorizacin.

Factorizacin de monomios con trminos comunes: Estructura algebraica: )( baxbxax +=+

Factorizacin de diferencias de dos cuadrados: Estructura algebraica: ))((22 bababa += Factorizacin de trinomios cuadrados perfecto

Estructura algebraica: a x2 + bx + c = (dx + e)2 donde d = a ; e = c y bca =2

Factorizacin de trinomios de la forma cbxx ++2 : Estructuras algebraica: )()( 212 fxfxcbxx ++=++ Factorizacin de trinomios de la forma cbxax ++2 utilizando la frmula cuadrtica:

a

acbbx

242

= Estructura algebraica: )()( 212 fxfxacbxax =++



Factorizacin de trinomios por el mtodo de completar un trinomio cuadrado perfecto:

Para: cbxax ++2 Estructura algebraica: dxcbxxa

b ++=++ 222 )(

Para: cbxax ++2 Estructura algebraica: adxacbxaxa

b ++=++ 222 )(

El valor absoluto: Propiedades del valor absoluto:

De los valores de a :

De las operaciones de a :

De orden:

Ra Rba , y nZ Rba , 1) 0=a a = 0 1) a = 2a aaa )1 2) aa = 2) na =

na baba ++)2

3) 0a 3) ba = ba polinomioPyRk + 4) aa kPkkPS ===)3

kpkkPS )5



UNIDAD 2. FUNCIONES. Clases:

2.1 Definicin, clasificacin y caracterizacin de las funciones. 2.2 Operaciones entre funciones.

2.3 Evaluacin de funciones.

2.4 Dominio y recorrido de funciones. 2.5 Graficacin de funciones elementales. 2.6 Principios de graficacin de funciones. 2.7 Reglas fundamentales de graficacin de funciones. 2.8 Interseccin entre grficas. Evaluaciones tipo de la Unidad 2 Funciones.



Clase: 2.1 Definicin, clasificacin y caracterizacin de las Funciones. 2.1.1 El plano rectangular. 2.1.2 Definicin de funcin - Ejemplos. 2.1.3 Caracterstica grfica de las funciones. - Ejercicios. 2.1.4 Clasificacin de las funciones. 2.1.5 Estructuras de las funciones. 2.1.6 Caracterizacin de las funciones. 2.1.1 El plano rectangular: Sean: - X una recta numrica horizontal. - Y una recta numrica vertical con punto en comn con "X". El plano rectangular; es el plano generado por el conjunto cerrado de puntos (x, y) que se encuentran entre las rectas "X" e "Y". Elementos del plano rectangular: Origen; Ejes; Coordenadas y Cuadrantes. 2.1.2 Definicin de funcin:

Es una relacin entre las variables """" yex del plano rectangular, cuya regla de correspondencia consiste en asignar a cada elemento ""x uno y solamente un elemento "" y . A todas las ecuaciones (modelos matemticos) que obedecen sta regla se les llaman funciones,

Notacin: )(xfy = 2.1.3 Caracterstica grfica de las funciones: Toda recta vertical toca la grfica de una funcin a lo ms una sola vez.

Es funcin No es funcin Es funcin No es funcin 2.1.4 Clasificacin de las funciones: nicamente daremos dos clasificaciones de funciones sujetas a nuestro inters, y lo anterior obedece a la completes y fluidez didctica en el proceso de aprendizaje, y adems tienen el propsito de cubrir las posibles deficiencias cognitivas antecedentes de este curso. La primera clasificacin obedece al grado de complejidad de las funciones y las hemos observado de la siguiente manera: 1) Funciones elementales. 2) Funciones bsicas. 3) Funciones metabsicas. Las funciones elementales las hemos concebido como las funciones que contienen en su estructura una constante bien una variable, y para nuestro caso nos referiremos a la variable x.

Ejemplos: ..;;1

;4 etcxsenyx

yy ===

Las funciones bsicas las definiremos como las funciones que contienen en su estructura un binomio de la

forma: 0, += aykbabaxy Ejemplos: ..);1(cos);12(ln;23 etcxyxyxy +=+=+=

X

Y



Y por ltimo; las funciones metabsicas las podemos inferir como aquellas que contienen en su estructura un

polinomio de la forma:

+ +++== Znykzbazbxaxxpy nn LL ,,)( 1

Ejemplo: 23 23 += xxy La segunda clasificacin presenta el universo de funciones en que opera el clculo integral y por lo mismo en cada etapa de aprendizaje se trata de globalizar el conocimiento atendiendo a este orden. 1) Funciones algebraicas. 2) Funciones exponenciales. 3) Funciones logartmicas. 4) Funciones trigonomtricas. 5) Funciones trigonomtricas inversas. 6) Funciones hiperblicas. 7) Funciones hiperblicas inversas. 2.1.5 Estructuras de las funciones:

Estructura Funcin

Nombre Elementales Bsicas Metabsicas Constante ky = Identidad xy = Raz xy = baxy += )(xpy = Racional

xy 1=

baxy

+=

1 )(

1xp

y =

Racional raz.

xy 1=

baxy

+=

1 )(

1xp

y =

Binmica baxy += Polinmica )(xpy =

Algebraicas:

Valor absoluto xy = baxy += )(xpy =

Exponencial de base e

xey = )( baxey += )( xpey = Exponenciales:

Exponencial de base a

xay =

+ Ra

)( baxay += )( xpay =

Logaritmo de base e

xy ln= )(ln baxy += )(ln xpy = Logartmicas

Logartmica de base a

xy alog= + Ra

)(log baxy a += )(log xpy a=

Seno xseny = )( baxseny += )(xpseny = Coseno xy cos= )(cos baxy += )(cos xpy = Tangente xy tan= )(tan baxy += )(tan xpy = Cotangente xy cot= )(cot baxy += )(cot xpy = Secante xy sec= )(sec baxy += )(sec xpy =

Trigonomtricas

Cosecante xy csc= )(csc baxy += )(csc xpy =



Arco seno xsenarcy = )( baxsenarcy += )(xpsenArcy = Arco coseno xy arccos= )(arccos baxy += )(cos xpArcy = Arco tangente xy arctan= )(arctan baxy += )(tan xpArcy = Arco cotangente xarcy cot= )(cot baxarcy += )(cot xpArcy = Arco secante xarcy sec= )(sec baxarcy += )(sec xpArcy =

Trigonomtricas inversas

Arco cosecante xarcy csc= )(csc baxarcy += )(csc xpArcy =

Seno hiperblico xsenhy = )( baxsenhy += )(xpsenhy = Coseno hiperblico xy cosh= )(cosh baxy += )(cosh xpy = Tangente hiperblico

xy tanh= )(tanh baxy += )(tanh xpy = Cotangente hiperblico

xy coth= )(coth baxy += )(coth xpy = Secante hiperblico xhy sec= )(sec baxhy += )(sec xphy =

Hiperblicas

Cosecante hiperblico

xhy csc= )(csc baxhy += )(csc xphy =

Arco seno hiperblico

xarcsenhy = )( baxarcsenhy += )(xparcsenhy = Arco coseno hiperblico

xarcy cosh= )(cosh baxarcy += )(cosh xparcy = Arco tangente hiperblica

xarcy tanh= )(tanh baxarcy += )(tanh xparcy = Arco cotangente hiperblica

xarcy coth= )(coth baxarcy += )(coth xparcy = Arco secante hiperblica

xharcy sec= )(sec baxharcy += )(sec xpharcy =

Hiperblicas inversas

Arco cosecante hiperblica

xharcy csc= )(csc baxharcy += )(csc xpharcy = Ejemplos: 1) Sea: xseny = establecer su clasificacin; Respuesta: Es la funcin elemental trigonomtrica seno. 2) Sea:

xy 1= establecer su clasificacin; Respuesta: Es la funcin elemental, algebraica y racional.

3) Sea: xy 35= establecer su clasificacin; Respuesta: Es una funcin exponencial de base ""a y bsica.

4) Sea: )2( += xctghy establecer su clasificacin; Respuesta: Es una funcin hiperblica y bsica. Ejercicios: 2.1.5.1 Dada las siguientes funciones, establecer su clasificacin:

1) 4=y 7) xhy 2arccos= 13) 22xseny = 2) xy 32= 8) xy = 1 14) 2+= xy 3) ( )xy = 1ln3 9) 23 += xy 15)

5tan2 xy =

4) 12 = xy 10) 123 2 += xxy 16) 3

2csc

xarcy =

5)

2sec3 xarcy =

11) xey 52= 17)

6) ( )xsenhy = 1 12) 4

2

=

xy

18)



2.1.6 Caracterizacin de las funciones. A continuacin se presentan las caracterizaciones mas conocidas de las funciones: Caracterizacin

1)

Por la correspondencia de sus elementos

Inyectiva unvoca Sobreyectiva suprayectiva Biyectiva biunvoca Inversas

2)

Por su crecimiento

Constante Creciente Decreciente Montona

3) Por su simetra Par simtrica al eje "Y" Impar simtrica al origen

4) Por su periodicidad Peridica No peridica

5) Por la definicin de sus partes Definida por una parte (una frmula)

Definida por partes (dos mas frmulas).

6) Por el despeje de sus variables Explcitas

Implcitas

1) Caracterizacin de las funciones por la correspondencia de sus elementos: Funcin inyectiva unvoca: Son aquellas donde a cada elemento del recorrido le corresponde slo un elemento del dominio sin importar que sobren elementos en el recorrido.

Funcin sobreyectiva suprayectiva: Son aquellas donde a cada elemento del recorrido le corresponde uno mas elemento del dominio, sin que sobren elementos en el recorrido.

Funcin biyectiva biunvoca: Son aquellas donde cada elemento del recorrido es imagen de uno y solamente de un elemento del dominio. Caracterstica grfica: Toda recta horizontal puede tocar a la grfica nicamente en un solo punto.

3

2

1

x

x

x

4

3

2

1

yyyy

)(xfy =

4

3

2

1

x

x

x

x

3

2

1

yyy

)(xfy = 12y

21 xx

3

2

1

x

x

x

3

2

1

yyy

)(xfy =



Funcin inversa: Son funciones cuyas grficas resultan ser el reflejo de otra grfica en la recta .xy =

2) Caracterizacin de las funciones por su crecimiento: Funcin constante: Son funciones cuyas grficas se proyectan horizontalmente. Funcin creciente: Son funciones cuyas grficas se proyectan hacia arriba. Funcin decreciente: Son funciones cuyas grficas se proyectan hacia abajo. 3) Caracterizacin de las funciones por su simetra: Funcin par: Son funciones cuyas grficas son simtricas con respecto al eje y. Funcin impar: Son funciones cuyas grficas son simtricas con respecto al origen. 4) Caracterizacin de las funciones por su periodicidad: Funcin peridica: Son funciones cuya estructura grfica en un intervalo es repetitivo en todo el dominio de la funcin. Funcin no peridica: Son funciones cuya estructura grfica en un intervalo no es repetitivo en todo el dominio de la funcin.

xy =

Funcin inversa

Funcin



5) Caracterizacin de las funciones por la definicin de sus partes: Funciones definidas por una parte: Son funciones expresadas por una sola frmula. Funciones definidas por partes: Son funciones cuyas grficas se representan por dos ms funciones. 6) Caracterizacin de las funciones por el despeje de sus variables: Funciones explcitas:

Son funciones cuya variable dependiente se encuentra despejada; Ejemplo: x

y 1=

Funciones implcitas:

Son funciones cuya variable dependiente no se encuentra despejada; Ejemplo: 1=xy



Clase: 2.2 Operaciones entre funciones. 2.2.1 Operaciones entre funciones: - Ejemplos. . Producto de una constante por una funcin. - Ejercicios. . Suma y/o diferencia de funciones. . Producto de funciones. . Cociente de funciones. . Composicin de funciones. 2.2.1 Operaciones entre funciones:

Si )(xf y )(xg son funciones y k una constante: )(xf y )(xg pueden forma otras funciones mediante las siguientes operaciones:

)()()1 xfkkxf =

Funcin mltiplo escalar

( )( ) )()()2 xgxfxgf =

Funcin suma y/o diferencia.

( )( ) )()()3 xgxfxgf =

Funcin producto.

( ) )()()4

xgxf

xgf

=

Funcin cociente.

( )( ) ))(()5 xgfxgf =o Funcin composicin. Ejemplos:

1) Sean las funciones .11;2 22

1 =+== kyxyxy Realizar las siguientes operaciones:

a) 1yk ; b) 2yk ; c) 21 yy + ; d) 21 yy ; e) 21 yy ; f) 2

1

yy; y g) )( 21 yy .

a) 2)2()1( 221 +== xxyk

b) 1)1()1(2 =+= xxyk

c) 112)1()2( 22221 +=++=++=+ xxxxxxyy

d) 312)1()2( 22221 ==+= xxxxxxyy

e) 22)1()2( 23221 +=+= xxxxxyy

f) 1

11122

2

1

+=

+

=

xx

x

x

yy

g) 122122)1()( 22221 +=++=+= xxxxxyy

x 1

x + 1 x2 2

x2 + x - x 2

- x 1 - 1



2) Sean las funciones xyyxseny 222

1 cos1 =+= Realizar la operacin 21 yy +

211

1cos.

1coscos1)(cos)1(

22

22222221

=+=

=+=

++=++=++=+

xxsen

ricatrigonomtIdentxxsenxxsenxxsenyy

Ejercicios:

2.2.1.1 Dadas las funciones 21 , yy y la constante k = 2 realice las siguientes operaciones:

;) 1yka ;) 2ykb ;) 21 yyc + ;) 21 yyd ;) 21 yye ;)2

1

yyf ).() 21 yyg

31)1 21 == yy

xyxy == 22

1 2)4

31)7 221 == yxy

2)2 21 == yxy

221 2)5 xyxy ==

31)8 221 =+= xyxy

221 2)3 xyy ==

3

21 1)6 xyy ==

2.2.1.2 Dadas las funciones 21 yyy realizar las operaciones que se indican:

xseny =1)1 xy csc1

2 =

Operacin: ))(()()( xgfxgxf =

xy cos)2 1 = xSecy1

2 =

Operacin: ))(()()( xfgxgxf =

xtgy =1)3 xCosxSen

y =2 Operacin: 0)()()()(

= xgx

gf

xgxf

xseny 21)4 = xy 22 cos= Operacin: ))(()()( xgfxgxf +=+

xtgy 21)5 =

xy 22 sec=

Operacin: ))(()()( xgfxgxf +=+

xy 21 csc)6 =

12 =y

Operacin: ))(()()( xgfxgxf =



Clase: 2.3 Evaluacin de funciones 2.3.1 Evaluacin de funciones. 2.3.2 Evaluacin en forma lineal. 2.3.3 Evaluacin en forma tabular. - Ejemplos. - Ejercicios. 2.3.1 Evaluacin de funciones:

Definicin: Es calcular el valor de ;"" y Las formas de evaluar son; la forma lineal y la forma tabular: 2.3.2 Evaluacin en forma lineal:

S )(xfy = , para evaluar en ax = se calcula: )(afy = simplemente )(af Esto se entiende que el valor de ""a sustituye el valor de "" x en la ecuacin.

Ejemplos: Evaluar en forma lineal las siguientes funciones: Nota: Siempre debe observarse que el nmero a evaluar de la funcin debe encontrarse dentro del dominio.

( ) ( ) 523332)1 =+==+= fxenevaluarxyS ( ) ( ) 167973337)2 22 =+=+==+= fxenevaluarxyS

( ) errorfxenevaluarxyS ==== 111)3 Observe que la funcin intent evaluarse fuera del dominio de la funcin, por lo que la calculadora le mand el mensaje de error.

3890.7)2(:2)4 )2( === efxenevaluareyS x 0)1(ln)1(:1ln)5 === fxenevaluarxyS

Nota: Para evaluar funciones trigonomtricas, trigonomtricas inversas, hiperblicas e hiperblicas inversas la calculadora debe de configurarse en radianes.

1)0cos()0(:0cos)6 ==== fxenevaluarxyS Nota: En el caso que el valor dado se de en grados, entonces los grados deben de convertirse a radianes;

Mediante la frmula ( )

=

180)( pigradosgrados Ejem:

7071.0180

45)45()45(:45)7 000 =

====

pisensenfxenevaluarxsenyS

0471.1)5.0(arccos)5.0(:5.0arccos)8 ==== fxenevaluarxyS 9640.0)2(tanh)2(:2tanh)9 ==== fxenevaluarxyS

0634.2)4(arccos)4(:arccos)10 ==== hfxenevaluarxhyS

En ocasiones es necesario evaluar una funcin y obtener la pareja ordenada ),( yx ; lo anterior generalmente lo hacemos con el propsito de graficar una funcin.

Ejemplos: Evaluar en forma lineal y obtener la pareja ordenada ),( yx de las siguientes funciones: ( ) ( ) ( )7,37161323:312)1 =+=+==+= fxenevaluarxyS

( )1,01)2(:0)2 )0(2 === efxenevaluareyS x ( )5835.3,25835.3)2(3ln2)2(:23ln2)3 === fxenevaluarxyS

)3,(3)1(3)(2cos3)(:2cos3)4 pipipipi ===== fxenevaluarxyS



Ejercicios:

2.3.2.1 Evaluar en forma lineal y obtener la pareja ordenada ),( yx de las siguientes funciones. ?)1(2)1 == fy ?)2(2)4 == fxy ?)5(ln3)7 =fx ?)3(12)2 =+= fxy ?)8(1)5 == fxy ?)45(cos5)8 0 == fxy ?)3(

21)3 == fxy ?)2(3)6 == fey

x ?)(tan2)9 == pifxy

2.3.3 Evaluacin en forma tabular:

x )( nafy = Evaluacin en forma tabular: S )(xfy = , para naaax ,,, 21 K= se calcula:

na

a

a

M

2

1

)(

)()(

2

1

naf

afaf

M

Ejemplo: Evaluar en forma tabular la funcin 12 = xy en: .2,1,0,1,2 =x x 4+= xy 2

101

( )( )( )( )6,26

5,154,04

3,13

Ejercicios:

2.3.3.1 Evaluar en forma tabular y obtener la pareja ordenada ),( yx de las siguientes funciones. 1)1 =y 4,3,2,1,0,1=x

2ln)5 xy = 4,3,2,1,01.0=x

32)2 xy = 3,2,1,0,1,2,3 =x

xy tan2)6 = 4,6,0,6,4pipipipi

=x

3)3 += xy 3,2,1,0,1,2 =x 3

arccos)7 xy = 1,5.0,0,5.0,1 =x

4)4 = xey 2,1,0,1,2 =x 4

3)6 xsenhy = 3,2,1,0,1,2,3 =x



Clase: 2.4 Dominio y recorrido de funciones. 2.4.1 Funcin definida. 2.4.6 Dominio de una funcin.

2.4.2 Funcin indefinida. 2.4.7 Recorrido de una funcin.

2.4.3 Punto tope de graficacin de una funcin bsica. 2.4.8 Mtodo de investigacin del dominio y recorrido de una funcin.

2.4.4 Punto lmite de graficacin de una funcin bsica. - Ejemplos.

2.4.5 Punto medio de graficacin de una funcin bsica. - Ejercicios.

2.4.1 Funcin definida: En un punto.- Es cuando la funcin al ser evaluada en un punto, el resultado es un nmero real.

sea ( ) RafaxenxfyS === )( Ejemplo: 12 += xy en 2=x 5)2( =f En un intervalo.- Es cuando la funcin est definida en todos los puntos del intervalo.

x )(xfy = sea ( ) naaaxenxfyS ,,, 21 L==

na

a

a

M

2

1

R

RR

M

Ejemplo: 12 = xy en: .2,1,0,1,2 =x x 4+= xy 2

101

6543

2.4.2 Funcin indefinida: En un punto.- Es cuando la funcin al ser evaluada en un punto, el resultado no es un nmero real (no est

definido). sea ( ) IndefinidoafaxenxfyS === )( Ejemplo:

xy 1= en 0=x .

01)0( definidoestanof ==

En un intervalo.- Es cuando la funcin no est definida en todos los puntos del intervalo.

x )(xfy = sea ( ) naaaxenxfyS ,,, 21 L==

na

a

a

M

2

1

Indefinido

IndefinidoIndefinido

M

Ejemplo: xy = en: 1,2,3,4 =x x xy = 1

234

IndefinidoIndefinidoIndefinidoIndefinido

2.4.3 Punto tope de graficacin de una funcin bsica:

Es la coordenada ( )0,x en donde se presume sea el tope de la grfica de la funcin; a partir del cual se inicia la traza de la funcin.



Ejemplo: El punto tope de la grfica de la funcin

xy = es el punto: ( )0,0

2.4.4 Punto lmite de graficacin de una funcin bsica:

Es la coordenada ( )0,x en donde se presume sea el punto indefinido de ""x mas cercano a dicha grfica y cerca del cual se inicia la traza de la funcin. Ejemplo: El punto tope de la grfica de la funcin

xy ln= es el punto: ( )0,0

2.4.5 Punto medio de graficacin de una funcin bsica:

El punto medio de graficacin de una funcin bsica ""Pmg de una funcin, es la coordenada ( )0,x en donde se presume sea el centro de la traza de la funcin a graficar; obteniendo el valor de "" x al ser despejada de la

ecuacin 0=+ bax ; tomando bax + de la ecuacin de la funcin a graficar. De la anterior definicin se infiere que son puntos medios de graficacin, los puntos lmites y puntos topes de graficacin de una funcin.

Ejemplo 1) Obtener el punto medio de graficacin de la funcin 4+= xy Solucin: 404 ==+ xx de donde el punto medio de graficacin es: 4=Pmg Ejemplo 2) Obtener el punto medio de graficacin de la funcin xy = 3 Solucin: 303 == xx de donde el punto medio de graficacin es: 3=Pmg

Ejemplo 3) Obtener el punto medio de graficacin de la funcin 23

4

=

xy

Solucin: 32023 == xx de donde el punto medio de graficacin es:

32

=Pmg

2.4.6 Dominio de una funcin: Definicin: Es el intervalo de valores que puede tomar "x".

Ejemplos: 1) Si ""x puede tomar cualquier valor: ),( =Dom 2) Si ""x puede tomar todos los valores mayores que uno: ),1( =Dom 2.4.7 Recorrido de una funcin:

Definicin: Es el intervalo de valores que puede tomar "" y . Ejemplo: 1) Si "" y puede tomar cualquier valor: ),(Re =c 2) Si "" y puede tomar todos los valores mayores o iguales a uno: ),1[Re =c 2.4.8 Mtodo de investigacin del dominio y recorrido de una funcin: 1) Evale la funcin en: 2) Analice las tendencias de x y de y.

x )(xfy =

10001.0

1.01000

+

+

PmgPmg

Pmg

xy =

xy ln=



Notas: a) Generalmente hay que partir del punto medio punto lmite de graficacin. b) Se desechan los resultados indefinidos excepto el resultado del punto medio punto lmite de graficacin. c) En ocasiones las tendencias son en ambos lados. d) Cuando se tiene dudas sobre la tendencia hay que dotar de ms nmeros a x. 3) Identifique el dominio y el recorrido. 4) Bosqueje el rea de graficacin. 5) Bosqueje la grfica de la funcin (la grfica se localizar en el rea de graficacin de la funcin). Ejemplos:

Ejemplo 1) Suponiendo que el punto medio de graficacin de la funcin 12 += xy ; Investigar: el dominio; el recorrido; y bosquejar la grafica de la funcin. Paso 1. Paso 2.

x 12 += xy + - 1000 0 - 0.1 0 0 0 + 0.1

+ + 1000

1 000 001 1.01 1 1 1.01 1 000 001 +

- La tendencia de x es: del punto medio hacia arriba (- , 0] del punto medio hacia abajo [0, ) - La tendencia de y es: del punto medio hacia arriba [1, ) del punto medio hacia abajo [1, )

Paso 3. De los dos intervalos de x el mnimo es - y el mximo es el dominio es: Dom = (- , ) De los dos intervalos de y el mnimo es 1 y el mximo es el recorrido es: Rec = [1, ) Paso 4. y 5.

Ejemplo 2) Investigar el dominio; el recorrido y hacer el bosquejo de la grafica de la funcin 2+= xy Paso 1. Paso 2.

x 2+= xy Desechado - 1000 - 2 - 0.1 - 2 -2 - 2 + 0.1 + 1000

+

Indefinido Desechado Indefinido 0 0 0.316... 31.62... +

La tendencia de x es: del punto lmite hacia arriba desechado del punto lmite hacia abajo [-2, ) - La tendencia de y es: del punto lmite hacia arriba desechado del punto lmite hacia abajo [1, )

Paso 3. De los dos intervalos de x el mnimo es -2 y el mximo es el dominio es: Dom = [-2, ) De los dos intervalos de y el mnimo es 1 y el mximo es el recorrido es: Rec = [0, ) Pasos 4 y 5.

0 - 2



3) Investigar el dominio; el recorrido y hacer el bosquejo de la grafica de la funcin 1

1

=

xy

Paso 1. Paso 2, x

11

=

xy

- 1000 1 - 0.1 1 1 1 + 0.1 + 1000

+

0 - 0.0009.. - 10 Indefinido 10 + 0. 001.. 0

La tendencia de x es: del punto lmite hacia arriba (1, - ) del punto lmite hacia abajo (1, ) - La tendencia de y es: del punto lmite hacia arriba en ambos lados (0, - ) del punto lmite hacia abajo en ambos lados (0, )

Paso 3. De los dos intervalos de x

el mnimo es "" ; el mximo es ; y - 1 es un punto indefinido.

el dominio es: Dom = ( ) 1, x De los dos intervalos de y

el mnimo es "" y el mximo es el recorrido es: Rec = ( ) 0, x Pasos 4 y 5.

4) Investigar el dominio; recorrido; sealar el rea de graficacin y graficar la funcin 1

1

=

xy

Paso 1. Paso 2. x

11

=

xy

- 1000 1 - 0.1 1 1 1 + 0.1 + 1000

+

Indefinido Indefinido + Indefinido 3.16.. 0.031.. 0

La tendencia de x es: del punto lmite hacia arriba se desecha. del punto lmite hacia abajo (1, ) - La tendencia de y es: del punto lmite hacia arriba se desecha. del punto lmite hacia arriba es (0, )

Paso 3. De los dos intervalos de x el mnimo es 1 y su imagen es indefinida; el mximo es ; el dominio es: Dom = ( ),1 De los dos intervalos de y el mnimo es 0 y el mximo es el recorrido es: Rec = ( ),0 Pasos 4. y 5.

Ejercicios: 2.4.8.1 Investigar el dominio; recorrido; trazar el rea de graficacin y graficar las siguientes funciones:

1)1 += xy

1)3 = xy 21)5

=

xy

2)2 2 = xy

xy = 132)4 11)6+

=

xy

+

0

1

+

+



Clase: 2.5 Graficacin de funciones elementales. 2.5.1 Definicin. - Ejemplos. 2.5.2 Clasificacin de las funciones elementales. - Ejercicios. 2.5.3 Tarea: Grficas de las funciones elementales.

2.5.1 Definicin: En secciones anteriores definimos las funciones elementales, como aquellas que contienen en su estructura un

solo elemento ( Constante ""k , variable ""x ); stas funciones son el punto de partida necesario para el aprendizaje de las funciones con un grado de dificultad mayor. 2.5.2 Clasificacin de las funciones elementales: Por su universalidad se clasifican en:

- Algebraicas - Exponenciales - Logartmicas - Trigonomtricas - Trigonomtricas inversas - Hiperblicas - Hiperblicas inversas

Funciones elementales algebraicas: Para el caso de las funciones algebraicas elementales se han tomado de manera arbitraria las funciones ms representativas para nuestro estudio. Funcin

Estructura

Dominio

Recorrido

Grfica

Constante

ky =

),(

( )kk,

Identidad

xy =

),(

),(

Valor absoluto

xy =

),(

[ ),0

Raz

xy =

[ ),0

[ ),0

Racional

xy 1=

( ) ( ) ,00,

( ) ( ) ,00,

Racional raz

xy 1=

),0(

),0(

ky =

xy =

xy =

xy 1=

xy 1=



Funciones elementales exponenciales: Funcin

Estructura

Dominio

Recorrido

Grfica representativa

De base ""e

xey =

),(

),0(

De base ""a xay = + Ra ),( ),0(

Funciones elementales logartmicas: Funcin

Estructura

Dominio

Recorrido

Grfica representativa

De base ""e

xy ln=

),0(

),(

De base ""a

xy alog= + Ra

),0(

),(

Funciones elementales trigonomtricas: Funcin

Estructura

Dominio

Recorrido

Grfica

Seno

xseny =

( ) ,

[ ]1,1

Coseno

xy cos=

( ) ,

[ ]1,1

Tangente

xy tan=

L,23,2 pipi x

( ) ,

Cotangente

xy cot=

L,2,,0 pipi x

( ) ,

Secante

xy sec=

L,23,2 pipi x

),1()1,(

Cosecante

xy csc=

L,2,,0 pipi x

),1()1,(

xey =

xy ln=



Identidades de funciones trigonomtricas: Seno Coseno Seno y Coseno

xsenxsen = )()1

xxsen

csc

1)2 =

xxsenxsen cos22)3 = xxsen 22 cos1)4 =

xxsen 2cos21

21)5 2 =

2cos1

21)6 2 xxsen =

xx cos)cos()1 =

xSecx

1cos)2 =

1cos22cos)3 2 = xx 122cos)4 2 = xsenx

xSenxx 22cos2cos)5 = xsenx 22 1cos)6 =

xx 2cos21

21

cos)7 2 +=

21

21)8 2 xCosxCos +=

1cos)1 22 =+ xxsen xsenxxsen 2

21

cos)2 =

Tangente Secante Tangente y Secante

xtgxtg = )()1

xctgxtg 1)2 =

xCosxSen

xtg =)3

xtgxtg

xtg 2122)4

=

1sec)5 22 = xxtg

xx sec)sec()1 =

xx

cos

1sec)2 =

xtgx 22 1sec)3 +=

1sec)1 22 = xtgx

Cotangente Cosecante Cotangente y Cosecante

xctgxctg = )()1 xtg

xctg 1)2 =

xsen

xxctg cos)3 =

1csc)4 22 = xxctg

xx csc)csc()1 =

xsenu

1csc)2 =

xctgx 22 1csc)3 +=

1csc)1 22 = uctgu

Funciones elementales trigonomtricas inversas: Funcin

Estructura

Dominio

Recorrido

Grfica

Seno inverso

xsenarcy =

[ ]1,1

[ ]2,2 pipi

Coseno inverso

xarcy cos=

[ ]1,1

[ ]pi,0

Tangente inversa

xarcy tan=

),(

)2,2( pipi



Cotangente inversa

xarcy cot=

),(

),0( pi

Secante inversa

xarcy sec=

),1[]1,(

],2[]2,0[ pipipi

Cosecante inversa

xarcy csc=

),1[]1,( ]2,0()0,2[ pipi

Funciones elementales hiperblicas: Funcin

Estructura

Dominio

Recorrido

Grfica

Seno Hiperblico

2

xx eexsenhy

==

),(

),(

Coseno hiperblico 2

coshxx ee

xy+

==

),(

),1[

Tangente hiperblica

x

xsenhxy

coshtanh ==

),(

)1,1(

Cotangente hiperblica

0tanh

1coth

==

x

xxy

),0()0,(

),1()1,(

Secante hiperblica

xxhy

cosh1

sec ==

),(

)1,0(

Cosecante hiperblica

0

1csc

==

x

xsenhxhy

),0()0,(

),0()0,(



Identidades de funciones hiperblicas: Seno hiperblico Coseno hiperblico Seno y Coseno hiperblico

xsenhxsenh = )()1

xx cosh)cosh()1 =

1cosh)1 22 = xsenhx

xxsenhxsenh cosh22)2 =

xsenhxx 22cosh2cosh)2 +=

( )12cosh212)3 = xxsenh

( )12cosh212cosh)3 += xx

22cosh1)4 2 xxsenh +=

22cosh1

cosh)4 2 xx +=

Tangente hiperblica Secante hiperblica Tangente y Secante hiperblica

x

xsenhx

coshtanh)1 =

xxh 22 tanh1sec)1 =

1sectanh)1 22 =+ xhx Cotangente hiperblica

Cosecante hiperblica

Cotangente y Cosecante hiperblica

xsenhx

xcosh

coth)1 =

1cothcsc)1 22 =xh

1csccoth)1 22 = xhx Funciones elementales hiperblicas inversas: Funcin

Estructura

Dominio

Recorrido

Grfica

Seno hiperblico inverso

( )1ln 2 ++== xxxarcsenhy ),( ),(

Coseno hiperblico inverso

( )1lnarccos 2 +== xxxhy ),1[ ),0[ Tangente hiperblica inversa

x

xxhy

+==

11ln

21

arctan

)1,1(

),(

Cotangente hiperblica inversa

11ln

21

coth

+==

x

xxarcy

),1()1,(

),0()0,(

Secante hiperblica inversa

+

==

x

xxharcy

211lnsec

]1,0(

[ ),0

Cosecante hiperblica inversa

++==

x

x

xxharcy

211lncsc

),0()0,(

),0()0,(



2.5.3 Tarea: Grficas de las funciones elementales: Funciones a graficar:

Formato de la tarea: Funcin Tabulador a lpiz Grfica a lpiz Grfica por computadora No Ecuacin Nombre Clasificacin

Fecha de entrega: La que el maestro indique. HOJA DE PRESENTACIN

Grapa

INSTITUTO TECNOLGICO DE SALTILLO

Clculo Diferencial Tarea: Grficas de funciones elementales. Libre a su imaginacin Alumno: A. Paterno A. Materno Nombre NL

Maestro: Grupo: horas Fecha:

Material: Hojas blancas tamao carta; en un solo lado; engrapadas. Elaboracin: A mano con lpiz y en computadora; 4 grficas por hoja. Hoja de presentacin: Vea el formato de la hoja de presentacin; es la informacin mnima requerida; se permite hoja de color y elaborada en computadora. Evaluacin: - Tarea obligatoria para tener derecho a examen de la unidad. - De 0 a 20 puntos extras en la unidad. Valoracin: NA = No acredita la unidad;

00 =T puntos; 51 =T puntos; 102 =T puntos; 153 =T puntos; 204 =T puntos;

Las 3 mejores tareas exentan examen de la unidad y reconsideracin al final del curso.

Clasificacin Funcin Nombre Funcin Nombre

4)1 =y Constante xy =)4 Raz xy =)2 Identidad

xy 1)5 =

Racional

Algebraicas

xy =)3 Valor absoluto x

y 1)6 = Racional raz

Exponenciales xy 10)7 = Exponencial de base diez

xey =)8 Exponencial de base e Logartmicas: xy 10log)9 = Logaritmo de base diez xy ln)10 =

logaritmo natural

xseny =)11 Seno xsenarcy =)14 Inversa del seno xy cos)12 = Coseno xarcy cos)15 = Inversa del coseno

Trigonomtricas

xtgy =)13 Tangente xtgarcy =)16 Inversa de la tangente xsenhy =)17 Seno hiperblico xsenharcy =)20 Inversa del seno

hiperblico

xy cosh)18 = Coseno hiperblico

xarcy cosh)21 = Inversa del coseno hiperblico

Hiperblicas

xtghy =)19 Tangente hiperblica

xtgharcy =)22 Inversa de la tangente hiperblica



Clase: 2.6 Principios de graficacin de funciones. 2.6.1 Grfica de una funcin. 2.6.2 Mtodo de graficacin de funciones bsicas. - Ejemplos. - Ejercicios. 2.6.1 Grfica de una funcin:

Definicin: Es marcar y unir todos los puntos de las coordenadas ),( yx en el plano rectangular, obtenidos de una evaluacin tabular. Ejemplos:

Ejemplo 1) Graficar la funcin .2,1,0,1:4 =+= xenxy x 4+= xy

2101

( )( )( )( )6,26

5,154,043,13

Ejemplo 2) Graficar la funcin .,2

,0,2

,:2cos pipipipi == xenxy

x xy 2cos= pi )1,(1 pi 2/pi )1,2(1 pi 0 )1,0(1 2/pi )1,2(1 pi pi )1,(1 pi

Ejemplo 3) Graficar la funcin .,4

3,

2,

4,0,

4,

2,

43

,:2 pipipipipipipipi == xenxseny

x xseny 2= pi 4

3pi

2pi

4pi

0 4

pi

2pi

43pi

pi

0 ...4.1

2 ...4.1

0 ...4.1

2 ...4.1

0

-1 1 2

(2, 6)

(-1, 3)

(1, 5)

(0, 4)

)1,2( pi )1,2( pi

)1,( pi

2pi 2pi pi pi

)1,0( )1,(pi

xseny 2=

2

PM

0

-2



Ejemplo 4) Graficar la funcin .3,2,1,0,1,2,3:2 == xeneyx

Ejercicios: 2.6.1.1 Evaluar en forma tabular y graficar las siguientes funciones.

3)1 =y 4,3,2,1,0,1=x 2)5 += xey 2,1,0,1,2 =x xy 2)2 = 3,2,1,0,1,2,3 =x xy 2ln)6 = 4,3,2,1,01.0=x

2)3 2 = xy 3,2,1,0,1,2 =x xseny 23)7 = pi

pipipi ,

2,0,

2, =x

32)4 xy = 0,1,2,3,4 =x

2sec)8 xharcy =

3,2,1,0,1,2,3 =x

2.6.2 Mtodo de graficacin de funciones bsicas:

1) Obtenga el Pmg . 2) Elabore el tabulador con los valores:

3,2,1,,1,2,3 +++ PmgPmgPmgPmgPmgPmgPmg 3) Obtenga los puntos. 4) Marque los puntos en un plano rectangular 5) Haga la traza de la grfica uniendo los puntos. Nota: observe que el trazo de la grfica es similar al trazo de la grfica de la funcin elemental.

x )(xfy =

321

123

+

+

+

PmgPmgPmgPmgPmgPmgPmg

Ejemplos:

1) Graficar la funcin 1+= xy

x 2

x

ey = - 3 - 2 - 1 0 1 2 3

x 1+= xy

2101234

=

Pmg

320

123

0

1+= xy

PM

2x

ey =

0



2) Graficar la funcin

xy += 31

3) Graficar la funcin 3

1

=

xy


2

1+

=

xy


)2(ln xy = Ejercicios: 2.6.2.1 Graficar las siguientes funciones: 1)

y = x + 2

4) y = 2

1+x

7)

y = 2 ln (x+2)

2) y = x1 5) 33 += xy 8) ( )4cos = xy

3) xy = 1 6) 12 = xey 9)

x xy += 31

0 1 2

3=Pmg 4 5 6

2.73 2.41 2 1 Indefinido Indefinido Indefinido

x

31

=

xy

0 1 2

3=Pmg 4 5 6

- 0.333 - 0.5 - 1 Indefinido 1 0.5 0.333

x

21+

=

xy

Calculo Diferencial

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