CALCULO DIFERENCIAL

JUAN GERARDO GARCÍA SALAZAR

Cálculo Diferencial

0

CAPITULO I



1

Prólogo

El propósito de la elaboración de este libro, radica ante todo hecho el facilitar la

compresión del CÁLCULO DIFERENCIAL y la obtención de soluciones a problemas

con cierto grado de dificultad, así mismo, su propósito es el servir en el análisis de

principios y aplicaciones fundamentales de las matemáticas.

En este libro encontrará problemas en los cuales su solución quizás no sea

única, pero se otorgan las bases para su desarrollo y comprensión.

Un ejemplo especifico de lo anterior, es cuando se usan funciones

trigonométricas, y su solución depende de qué tanto se haya desarrollado una

identidad.

De esta manera, en todos aquellos problemas a resolver, se otorgan las bases

específicas y concretas para lograr resultados satisfactorios e inclusive en aquellos

problemas que implique un alto grado de dificultad.

La elaboración de este libro fue con gran atención, análisis y el con gran

propósito de que resulte de gran apoyo al lector. Sin embargo, si resulta algún error en

su contenido, se agradecerá noblemente el hacerlo saber a servidor.

Juan Gerardo García Salazar Correo: [email protected]



2

“Como un homenaje póstumo a mis padres”

“A mi esposa e hijos”

“A mis hermanos”

“Y a todos los alumnos y ex alumnos del Instituto Tecnológico de Agua Prieta”

E = MC2

Einstein tenía razón

Juan Gerardo García Salazar

Agua Prieta, Sonora 2007



3

ÍNDICE

Capitulo I Números reales

1.1 Clasificación de los números reales.---------------------------------------------------------5

1.2 Representación gráfica de los números reales y sus propiedades----------------6

1.3 Valor absoluto y sus propiedades.------------------------------------------------------------ 6

1.4 Desigualdades y sus propiedades ------------------------------------------------- ----------7

Ejemplos resueltos de desigualdades ------------------------------------------------------------8

Ejemplos resueltos de valor absoluto --------------------------------------------------------- 12

Ejercicios diversos para resolver--------------------------------------------------------------- 14

Capitulo II Funciones

2.1. Definición.------------------------------------------------------------------------------------------ 16

2.2. Ecuación.------------------------------------------------------------------------------------------- 17

2.3. Álgebra de funciones y funciones inversas ---------------------------------------------23

2.4. Operaciones con funciones.------------------------------------------------------------------30

Problemas propuestos ----------------------------------------------------------------------- ------32

Capitulo III Limites y continuidad

3.1. Idea de límite--------------------------------------------------------------------------------------- 35

3.2 Teorema sobre límites---------------------------------------------------------------------------36

3.3. Continuidad.----------------------------------------------------------------------------------------42

Ejercicios propuestos-------------------------------------------------------------------------------- 47

Capitulo IV Derivadas

4.1 Incrementos y Diferenciales ----------------------------------------------------------------- 49

4.2 Definición de derivada ------------------------------------------------------------------------- 54

4.3. Derivadas de funciones algebraicas simples.------------------------------------------ 56

4.4 Derivadas sucesivas.-----------------------------------------------------------------------------65

4.5. Derivadas implícitas----------------------------------------------------------------------------- 67

4.6. Derivada de Funciones Trigonométricas ------------------------------------------------72



4

4.7. Derivadas de funciones inversas e implícitas-------------------------------------------80

4.8. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.---------------------------- 83

4.9. Derivadas de funciones hiperbólicas--------------------------------------------------- 91

Ejercicios propuestos------------------------------------------------------------------------------ 94

Capitulo V. Aplicaciones de derivadas

5.1 ley de velocidad y aceleración --------------------------------------------------------------- 96

5.2 Concavidad ----------------------------------------------------------------------------------------100

5.3 Problemas sobre máximos y mínimos criterio primera y segunda derivada104

5.4 Aplicación de máximos y mínimos ------------------------------------------------------ 108

Ejercicios para resolver --------------------------------------------------------------------------- 123

Capitulo VI Sucesiones y series

6.1. Desarrollo de una función en serie.------------------------------------------------- 128

6.2. Diferencia entre sucesión y serie----------------------------------------------------- 128

6.3. Convergencia y divergencia.----------------------------------------------------------- 128

6.4. Sucesión acotada --------------------------------------------------------------------------129

6.5. Series Aritméticas.------------------------------------------------------------------------129

6.6. Series geométricas ----------------------------------------------------------------------- 129

6.7. Derivación de series de potencias----------------------------------------------------130

6.8. Serie de McLaurin -------------------------------------------------------------------------132

6.9. Serie de Taylor ------------------------------------------------------------------------------134

6.10. Aplicaciones ------------------------------------------------------------------------------ 134

Bibliografía -----------------------------------------------------------------------------------------139



5

CAPITULO I NUMEROS REALES

1.5 Números reales

1.6 Representación gráfica de los números reales

1.7 Valor absoluto y sus propiedades

1.8 Desigualdadaes y sus propiedades

1.1 Números reales

El conjunto de los números reales se establece, como el resultado de un proceso

gradual de aplicación de otros conjuntos que son:

1) Números naturales 1, 2, 3, 4,......, que se utilizan para contar y que se

denominan también números enteros positivos. La suma o multiplicación de

números naturales, es otro natural.

2) Números racionales positivos o fracciones positivas (p / q).

Son los cocientes de dos números enteros positivos; por ejemplo 3/5, 4/8,

121/11 (el conjunto de los números naturales esta incluido en el de los

racionales positivos 3/1, 8/2, etc.

3) Números irracionales positivos. Son los números no racionales como

2,....etc.

4) Cero. Se introduce en el sistema numérico de forma que puedan realizarse

operaciones como 5-5 ,3/4, -3/4, etc. Tiene la propiedad de que cualquier

número multiplicado por el da cero y cero dividido entre cualquier número

diferente a cero es igual a cero (0/q = 0).

5) Números negativos. Son los números enteros, racionales e irracionales

antepuestos del signo menos de la resta como por ejemplo: -3,-3/2,-3.

El conjunto de los números reales. Esta formado por los números racionales e

irracionales, tanto positivos como negativos y el número cero.



6

1.2 Representación gráfica de los números reales

Los números reales se pueden representar mediante los infinitos puntos de una

recta. Para ello se elige un punto de la misma que represente al cero y se toma como

el origen, los enteros positivos se representan hacia la derecha de este origen y los

enteros negativos hacia la izquierda. Los números racionales también se pueden

representar también tomando en cuenta sus signos para su colocación.

-3/2 1/2

(Negativos) (Positivos)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

La posición de los números reales, establece un orden en el conjunto de dichos

números. Si un punto A de la recta esta situado a la derecha de otro B de la recta, el

número correspondiente A es mayor que B (A >B) o también en el número

correspondiente a B es menor que A (B < A). Los signos > y < son signos de

desigualdad.

1.3 El valor absoluto de un número: Es el correspondiente al número

prescindiendo el signo que le afecte. El valor absoluto se representa encerrando el

número entre dos barras verticales. Por ejemplo:

│-6│ =6 │-b│ =b │3/4│= 3/4 │x - a│= x – a

│x│ = x si x > 0; │-x│ = x si x < 0 ; │0│=0

Intervalo: Es la distancia comprendida entre dos números distintos en la recta

numérica.

Intervalos finitos: Sean a y b dos números tales que a < b, el conjunto de todos los

números x comprendidos en a y b reciben el nombre de intervalo abierto a a b y se

escribe a < x < b. Los puntos a y b reciben el nombre de extremos del intervalo. Un



7

intervalo abierto no contiene a sus extremos.

1.4 Desigualdades y sus propiedades

a (a, b) b

Intervalo abierto: a < x < b

Intervalo cerrado: Si a x b un intervalo cerrado si contiene sus extremos.

a [ a, b] b

Intervalo cerrado: a ≤ x≤ b

Intervalos infinitos. Sea a un número cualquiera.

El conjunto de todos los números x tales que x < a recibe el nombre de intervalo

infinito. Otros intervalos infinitos son definidos por x a, x a, x a.

Intervalo x ≥ a

Intervalo x < a

Constante y variable en el intervalo a < x < b:

1) Cada uno de los símbolos a y b representan un solo número que se denomina

una constante.

2) El símbolo x representa un número cualquiera del conjunto de números y se

denomina variable.



8

-2 -1 0 1 2 +

Las desigualdades como: 3x – 5 > 0 y x ² - 5x – 24 ≤ 0, también definen intervalos

sobre una escala numérica.

Ejemplos resueltos:

Ejemplo 1. Encontrar todos los números reales que satisfagan la desigualdad, dar el

intervalo solución e ilustrar la solución en la recta numérica.

5x + 2 > x – 6

Sumamos (-x) a ambos miembros de la desigualdad.

5x - x + 2 > -6

4x + 2 > -6

Sumamos (-2) a ambos miembros

4x > -6 –2

4x > -8

Dividimos ambos lados entre 4 tenemos:

x > -8/4

Intervalo (-2, + )

Ejemplo 2. Encontrar todos los números reales que satisfagan la desigualdad.

x > -2



9

____x____ < 4 x 3

x - 3

Se deben de considerar 2 casos:

Caso 1. x – 3 > 0 esto es, x > 3

Multiplicando ambos miembros de la desigualdad por x – 3 obtenemos:

x < 4x - 12

Sumando (-4x) en ambos miembros obtenemos

-3x < -12

Dividiendo en ambos lados entre -3 y cambiando el sentido de la desigualdad

tenemos.

El intervalo (4,)

Caso 2. x – 3 < 0 esto es x < 3

Multiplicando ambos lados por x – 3 obtenemos:

x > 4x – 12

-3x < -12

x debe ser menor que 4 y también menor que 3 así la solución al caso 2 es el

intervalo (- , 3).

x > 4

x < 4



10

Las soluciones combinadas son los intervalos (- , 3) y (4, +)

Ejemplo 3. Encontrar todos los números reales que satisfagan la desigualdad.

( x + 8 ) ( x + 9) > 0

La desigualdad se satisface cuando ambos factores tengan el mismo signo, esto es

x + 8 > 0 y x + 9 >0 o si x + 8 <0 y x + 9 < 0.

Caso 1.

x + 8 > 0 y x + 9 > 0 esto es:

x > -8 y x > -9

De este modo ambas desigualdades cumplen si x > -8 lo cual es el intervalo (-8, +).

Caso 2.

x + 8 < 0 y x + 9 < 0 esto es:

x < -8 y x < -9

Ambas desigualdades se cumplen si x < -9, lo cual es el intervalo ( -, -9).

Por lo tanto si combinamos las soluciones para los casos 1 y 2 tenemos intervalo

(-, -9) y (-8, +).

Ejemplo 4. Resolver.

3 – 1 > 1 + 1

x 4 x

Sumando ¼ a cada lado obtenemos

0 1 2 3 4 5 6



11

3 > 1 + 1 + 1

x x 4

3 > 1 + 5

x x 4

Sumamos –1 a cada lado obtenemos

x

3 - 1 > 5

x x 4

2 > 5

x 4

Multiplicando cada lado por ½

1 > 5 vemos que 1 > 0 y en particular x >0

x 8 x

Como 1 y 5 tiene el mismo signo podemos invertir y cambiar el sentido de la

x 8

desigualdad

Luego entonces el conjunto solución es 0 < x < 8 o (0, 8)

5 5

Ejemplo 5.

Encontrar el conjunto de todos los números x que satisfacen a

3x – 7 > 0 , 4x + 2 < 0 y -3x + 5 > 0

x < 8

5



12

Los números reales x deben satisfacer simultáneamente las 3 condiciones. De aquí

que:

3x - 7 > 0 4x + 2 < 0 -3x + 5 >0

3x > 7 4x < -2 -3x > -5

El conjunto solución es el conjunto vacío 0, pues x no puede satisfacer a las 3

condiciones a un mismo tiempo.

Ejemplo 6. Resolver para x

3x + 2 = 5 esta ecuación será satisfecha si

3x + 2 = 5 o 3x + 2 = -5

Son 2 soluciones a la ecuación dada.

Ejemplo 7. Resolver para x

3x + 2 = 4x + 3

se satisface si

3x + 2 = 4x + 3 o 3x + 2 = - (4x + 3 )

3x –4x = 3 – 2 3x + 2 = -4x –3

-x = 1 3x + 4x = -3 –2

x < 7/3 x < -1/2 x < 5/3

x = 1 x = -7/3

x = -1

x = -5/7



13

Ejemplo 8. Encontrar el conjunto de todos los números que satisfagan

x – 3 = x + 7

Elevando ambos lados al cuadrado obtenemos

(x – 3)² = (x + 7)²

Recordando que

│x - a│² = (x –a)²

x² - 6x + 9 = x² +14x + 49

-6x –14x = 49 - 9

-20x = 40

El conjunto solución es {-2}.

Ejemplo 9. Resolver.

│y – 7 │< /3, > 0

│ y –7 │< /3 si solo si - < y – 7 <

3 3

Sumando 7 a ambos lados tenemos:

7 – < y < + 7 Por lo tanto el conjunto de solución es:

3 3

x = -2

(7 - , 7 + )

3 3



14

Ejercicio núm. 1 a

Encontrar todos los números reales que satisfagan la desigualdad. Dar el intervalo

solución e ilustrar la solución en la recta numérica.

1.- 3x + 4 > x – 8

2.-3x + 5 > 3 - x

3.- 2x –1 < 0

3 2

4.- x - 1 < __x__

2 – x 3 - x

5.- __4___ ≤ 2

5 - x

6.- ___1___ ≥ ___4___

2x - 1 3 – 2x

7.- 5 ≤ 3 – 2x < 0

8.- (x – 3) (x + 5) >0

9.- 1 – x – 2x² > 0

10.- 4 x + 2 > __5 x + 3

2 3

11.- 3 < __6x - 2_ < -2

2x – 1

12.- 0 < 11y – 3 < -2



15

y – 1

13.- x+ 1 < __x__

2 – x 3 + x

14.- 2x² - 6x + 3 < 0

Ejercicio 1 b.

Resolver.

1.- │3x – 8 │ = 2

2x – 3

2.- │ 2x + 3 │ = │4x + 5 │

3.- x + 2 = 5

x – 2

4.- │x – 8 │= x – 5

5.-│ x + 3 │ = x + 3/5

6.- │3x │> │6 – 3x │

7.- __5___ > __1__

2x – 1 x – 2

8.- _6- 5x_ > 1/2

3x + 2

9.- __3x - 2_ > _3_

8x + 3 5

10.- │9 – 2 x │ > 4



16

11.- │4x – 1 │ < - 4

12.- │5x + 1 │= x – 3

13.-

14.- 5x – 3 = │2x - 1 │

15.-

7x > 1 x + 5

3 2

_1 > _3__

x+ 3 2x+3



17

Capitulo II Funciones

2.1. Definición.

2.2. Ecuación.

2.3. Álgebra de funciones y funciones inversas

2.4. Operaciones con funciones.

2.1. Definición. El conjunto de todas la parejas ordenadas de números reales se

llama el plano numérico y cada pareja ordenada (x, y) se llama un punto en el plano

numérico.

Podemos identificar la región R con puntos en un plano geométrico (espacio

bidimensional).Se escoge una recta horizontal en el plano geométrico y se le llama eje

x. se escoge un recta vertical y se le llama eje y .El punto de intercesión entre x e y se

llama origen y se denota por la letra o.Se escoge una unidad de longitud,

establecemos la dirección positiva en el eje x a la derecha del origen y la dirección

positiva en el eje y arriba del origen.

Asociamos una pareja ordenada de números reales (x, y) con un punto “P” en el

plano geométrico. La distancia de P desde el eje y se llama abscisa o coordenada x

de P y se denota por x. la distancia de P desde el eje x se llama la ordenada o

coordenada y de P y se denota por y. La abscisa y la ordenada de un punto se llaman

las coordenadas cartesianas rectangulares del punto; a cada punto le corresponde

una única pareja coordenada (x, y) y a cada pareja (x, y) se le asocia un solo punto.

Esta correspondencia uno a uno se llama un sistema de coordenada cartesiana

rectangular.

Las figuras ilustran un sistema de coordenadas artesianas rectangulares.

POSITIVO I

POSITIVO

I

POSITIVO

NEGATIVO II

POSITIVO IV

NEGATIVO IV

y

x

´ x

NEGATIVO III



18

(2 ,1)

(-2, -3)

(-3, 2)

(0, 1)

y

y

´

x

´

x

a) Sistema coordenado dividido en cuadrantes y signos según cuadrantes.

b) Algunos puntos coordenados cartesianos.

2.2. Ecuación.- Es una expresión de igualdad que contiene una o mas incógnitas o

variables, como x, y, z; se utilizan en matemáticas para definir una ley o una teoría.

La ecuación es una identidad si es valida para cualquier valor de la incógnita como:

(x + b) ² = x² + 2bx +b²

Y es condicionada solo si es cierta para determinados valores.

Función.- Es un conjunto de parejas ordenadas de números (x, y) en el cual dos

parejas ordenadas distintas no tienen el mismo primer número.

El conjunto de todos los valores posibles de x se llama el dominio de la función y

el conjunto de todos los valores posibles de y se llama el rango de la función.

La restricción es que dos parejas ordenadas distintas no puedan tener el

mismo primer número.

Ejemplo 1.- Si se da la ecuación y ² -x = 2 trazar su gráfica.

Despejando tenemos: y ² = x +2, y = ±( x +2

Y



19

Tabulando tenemos:

x -2 -1 0 1 2 3 4 5

y 0 ±1 ±(2 ±( 3 ±2 ±(5 ±(6 ±(7

Se traza la gráfica

��

No es función si se grafica en relacion a la raiz ±, ya que losvalores de x no son unicos, de

acuerdo a la definición de funcion, por ejemplo en x ( - 1 hay p( (-1,1) y otro punto p2 (-1.-1),

empleando Mathcad dando la ecuación se obtiene directamente su grafica y con este software se

deduce si es o no funcion.

Ejemplo 2.- Discutir y bosquejar la gráfica de x ² - 4x - 8y + 4 = 0

Pasos:

Se completa el cuadrado en los términos que contiene a x.

x ² -4x= 8y-4

x ² -4x +4 =8y

y

4

3

2

1

0

1

2

3

4

y´

x´ x -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5



20

4

3

2

1

0

1

2

3

4

4 3 2 1 1 2 3 4 5 6

(x-2)² = 8y

Analíticamente

(x-h)² = 4 p (y-k)

Es la ecuación de una parábola con p =2 vértice (2,0), foco (2,2) y directriz

y = -2 eje de simetría x =2

Dominio valores de x (-,+), Rango valores de y (,+)

Si es funcion de acuerdo a la definición los valores de x no se repiten, más sin

embargo los de y si se pueden repetir.lo mismo que en el anterior si se usa Mathcad

se puede obtener su grafica en forma directa

Ejemplo 3.- Trazar la gráfica de la ecuación y = | x + 4 |

Por definición de valor absoluto tenemos:

y = x + 4 si x + 4 >0

y

y = - (x + 4) si x + 4 <0

o equivalente

y = x + 4 si x > -4

y

y

x

D´

0

f (2, 2)

R

D



21

y = - (x + 4) si x< -4

Tabular con algunos valores que satisfacen la ecuación dada.

X 0 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

Y 4 5 6 7 3 2 1 0 1 2 3

Se traza la gráfica:

Ejemplo 4.- Trazar la gráfica de la ecuación.

(2x + y – 1) (4y + x²) = 0

Solución.

Por la ecuación de los números reales de que a b = 0 a = 0 o b = 0 tenemos de

la ecuación dada que:

2 x + y – 1= 0

y

Despejando y en 1 y 2 tenemos que

y = -2x + 1

y

y = -1 x²

4

4 y +y ² = 0

8

6

4

2

y

y´

x´

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

4

1

2

x

Dominio x (-,+), Rango valores de y (0,+)



22

Tabulando tenemos:

X 0 1 2 3 4

Y 1 -1 -3 -5 -7

Para y = - 1 x²

4

Dominio x (-,+), Rango valores de y (-,+)

Ejercicios., Realíce los ejercicios y compruebelos pormedio de un software de

matematicas se recomienda usuar el software Mathcad (en cualquiera de sus

versiones).

1.- Discutir y bosquejar la gráfica de y²- 6y –2x –11= 0 trace su gráfica.

En los ejercicios del 2 al 15 trace la gráfica de la ecuación.

2.- y² = x-3

3.- y = x-5

x 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5

y 0 -1/4 -1 -9/4 -4 25/4 -1/4 -1 -9/4 -4 25/4

-5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

x´ x

y´

y



23

4.- y = 4x²

5.- y = 2x -5

6.- 4x² + 9y² =36

7.- 4x²-y² =0

8.- x² = y + 5

9.- y = 6x –3

10.- y =10

11.- (y²- x + 2) (y +√ x-4) = 0

12.- (x –2y +3) (y - x²) =0

13.- y² = -2x

14.-y =│x – 4 │-│x-2│

15.-y =5x³

16.-y² = 4 –x²

17.- y = x² - 5

18.-x² + y² = 25

19.-(x + 3y) (y – x²)= 0

20.-y = x³ - 3



24

2.3. Álgebra de funciones y funciones inversas

Funciones

Definiciones

1. Constantes. En las investigaciones matemáticas intervienen dos clases de

cantidades: unas que son constantes y otras que son variables.

Las constantes pueden ser absolutas o arbitrarias.

Así en la expresión y = 5x + 2, 5 y 2 son constantes absolutas porque nunca cambian;

pero en x²+ y² =a², que en la ecuación de una circunferencia, representa el radio y se

puede suponer circunferencias grandes y pequeñas, en las que a tendrá diferentes

valores y solo permanecerá constante en un problema determinado. A esta segunda

clase de constante se le llama parámetros.

En la ecuación y = mx + b, m y b son parámetros.

2. Variables. Las variables son de 2 clases: independientes y dependientes.

El radio de una circunferencia puede variar independientemente de cualquier otra

magnitud, mientras que la superficie del círculo varía forzosamente, al variar l radio: El

radio en este caso, variable dependiente.

Análogamente dado y = x ² -12x + 32, a todo cambio de x corresponde otro para y; x

es la variable independiente y y es la variable dependiente.

3. Función. A la variable dependiente se le llama función de x en un intervalo, cuando

a todo valor de x de ese intervalo se hace corresponder, de alguna manera, un valor

para y.

Valor de una función. Para saber el valor que adquiere una función dada, cuando a la

variable independiente se le asigne un valor particular, basta sustituir esa variable por

dicho valor.

Así, por ejemplo, dada la función



25

f(x) = 5x² + 2 cos x

f (0) = 5 (0) + 2 cos (0) = 2

f (1) = 5 (1) ² + 2 cos ( 1) =

= 5 + 2 (.5393) = 6.0786

f(-x) = 5 (-x) ² + 2cos (-x)

= 5x² + 2 cos x =f(x)

Las funciones pueden ser algebraicas y trascendentes.

Función algebraica de una variable independiente. Es aquella en que la

dependencia puede expresarse con las operaciones algebraicas: suma y resta con un

número limitado de factores, división y potencia con exponentes constantes ya sea

entero o fraccionario, positivo o negativo. Por ejemplo:

2x + 5 , ax + b , x + 4 , 4x² + 2 , ax ⅔

3x – 5

Función algebraica de una variable. Es una función que no puede ligarse a la

variable independiente por medio de las cuatro operaciones algebraicas, efectuadas

en un número limitado de veces; por ejemplo:

2x , log А x , sen x , ang tan x

Ejemplos de funciones forma gráfica y operaciones con funciones:

Ejemplo 1

Sea la función h el conjunto de todas las parejas ordenadas (x , y) tales que:

y = │ x │

Encontrar el dominio y el rango de h y trazar la gráfica de h.



26

Solución:

El dominio de h es (-, + )

El rango como es valor absoluto no hay valores negativos para y entonces el rango

de h es (0, + )

Ejemplo 2.

-4 si x< -2

Si y -1 si –2 ≤ x ≤ 2

3 si 2 < x

x x´

y

y´

1

-1 1



27

Encontrar el dominio y el rango de la función y trazar la gráfica de la función.

Solución:

Solo es una interpretación de datos

Ejemplo 3.

√ (25 - x²) si x < 5

Si y =

x - 5 si 5 < x

Solución

y = √ 25 - x²

y = x - 5

x 0 1 2 3 4 5

y 5 √24 √21 4 3 0

y´

y

x´ x

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

6

5

4

3

2

1

0

1

2



28

x 5 6 7 8

y 0 1 2 3

DOMINIO: (- , +)

DOMINIO: I

RANGO: (0, +)

Función inversa: Hay pares de funciones cuyas curvas representativas tienen la

particularidad de que a todo punto de la una, corresponde a otro de la segunda,

ligados entre si, a saber: la abscisa de un punto de la una, es igual a la ordenada de

uno de la segunda y viceversa.

Como ejemplo, considere las funciones siguientes:

Ejemplo

y ² = 4x x ² = 4y

y = √ 4x x = √ 4y

y = √ 4x x = √ 4y

A todo punto de la primera curva corresponde, en la segunda, otro punto simétrico con

respecto a la bisectriz del ángulo x o y.

x 0 1 2 3 4

y 0 ±2 ± √8 ± √12 ±4

x 0 1 2 3 4

y 0 ±2 ± √8 ± √12 ±4



29

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

Representando en la misma gráfica las funciones 1, 2 antes consideradas, se

obtienen dos parábolas, simétricas con respecto a la bisectriz del primer cuadrante del

ángulo de los ejes.

Ejemplo 2.

Escríbase la función inversa de la función y desee en un mismo diagrama, la gráfica

de ambas funciones.

(y – 4)² = (2 – x)³

Intercambiando la x y la y se obtiene:

(x – 4)² = (2 – y)³

Tabulando la ecuación primitiva se tiene

x 2 1 0 -1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

x´ x

y

y´

x´ x



30

y 4 5/3 6.8/1.2 9.2/-1.2

X

Ejemplo 3.

¿Basta para obtener la función inversa de y = 2 + (x – 4)³, tomar el recíproco del

exponente del binomio x – 4?

Solución

No, porque se tendría

y – 2 = (x – 4)⅓; o sea: (y –2 )³ = x –4

y la función inversa es: x –2 = ( y –4) ³

2.4. Operaciones con funciones

Si f es la función que tiene como dominio valores de x y como rango valores de y , el

7

6

5

4

3

2

1

2

3

y´

y

-1 0 1 2 3 4



31

símbolo f(x) denota el valor particular de y que corresponde al valor de x.

Ejemplo 1.

Dada f(x) = __x - 1__ hallar f(0), f(-1) , f(2 a), f(1/x) , f(x + h)

x² + 2

Cada uno de estos valores se sustituye en la función original obteniéndose un valor

particular con respecto a la función dada.

f(0)= __0 – 1_ = -1/2

0 + 2

f(-1) = __-1 –1__ = - 2/3

(-1) ² + 2

f(2 a) = __2a – 1__ = __2a – 1 __

(2 a)² + 2 4a² + 2

f(1/x) = __(1/x) – 1__ = __x – x ² __

(1/x)² + 2 1 +2x²

f(x + h) = __x + h – 1__ = ___x + h – 1 ____

(x + h )² + 2 x² + 2xh + h² + 2

Ejemplo 2.

Dada

g (x) = √3x -1



32

Encontrar

g (x +h ) – g(x) _ ; h ≠ 0

h

Solución

g (x +h ) – g(x) _ = _√ 3 ( x + h ) – 1 _- √ 3x – 1

h h

Aplicando el principio del binomio conjugado para racionalizar el denominador de que

a² -b² = (a – b) (a + b) tenemos:

= (√3x + 3h – 1 - √3x – 1 ) ( (√3x + 3h – 1 + √3x – 1)

h(√3x + 3h – 1 + √3x – 1)

= (3x + 3h – 1) - (3x – 1 ) = ___________3h _______

h(√3x + 3h – 1 + √3x – 1) h(√3x + 3h – 1 + √3x – 1)

Cancelando h por división se tiene que:

Problemas propuestos

En cada uno de los ejercicios la función es el conjunto de todas las parejas ordenadas

(x , y) que, satisfacen la ecuación dada. Encontrar el dominio y el rango de la función y

trazar la gráfica de la función.

g (x +h ) – g(x) _ = ___________3h _______

h √3x + 3h – 1 + √3x – 1



33

Ejercicio 2 a.

1.-f(x) = - √ 16- x²

x si x ≥ 0

2.-f (x) =

-1 si x ≤ 0

3.-g (y) = y² /2

4.- r (t) = - │t – 3│

3 si t < 2

5.- g (t) = t + 2 si 2 ≤ t < 4 0

0 si t ≥4

6.- f (x) = __x³ - 2x²__

x – 2

6x + 7 si x ≤ -2

7.- y =

4 – x si -2 < x

x ² - 4 si x < 3

8.- f (x) =

2x – 1 si 3 ≤ x



34

g (x +h ) – g(x)

h

9.- f (x) = __(x² + 3x – 4 ) ( x² – 5x + 6)

(x ² - 3x + 2) (x – 3)

10.- f (x) = │5x - 2 │

11.- Escríbase la función inversa de cada una de las funciones siguientes y dese en un

mismo diagrama la gráfica de ambas funciones.

a) x² = 5 y

b) y = x⅔

c) y = 2 + (x – 4)³

d) (y – 4)² = (3 – x)³

12.- Si la función implícita (y – 4) ² = (3 – x) ³ se intercambian los exponentes, ¿se

obtiene la función inversa de la función dada?

Ejercicio 2b.-

1.- Dada f (x) = 2x² + x encontrar:

a) f (-3)

b) f (2x³)

c) f (x + h )

d) f (2x + 3 )

e) f (x³ - 3)

f)



35

2.- Dada f (x) = √3x² – x encontrar

g (x +h ) – g(x)

h

3.-Dada f (x) = ³ √2x² – 1

a) f (-1/2)

b) f (3/4ª)

c) g (x +h ) – g(x)

h

4.- Dadas f (x) = √x – 2 ; g (x) = √x² – 1 encontrar:

a) f + g

b) f – g

c) f/g

d) F (x) = (f o g ) x = f [g(x) ]



36

III Capitulo

Límites y continuidad

3.1. Idea de límite

3.2 Teorema sobre límites

3.3. Continuidad.

3.1. Sea el cuadrado ABCD de 4 cm. De lado (ver fig.) construya una serie de

cuadrados, de manera que los puntos medios de los lados del primero sean los

vértices del segundo, los puntos medios e los lados de este sean los vértices del

tercero, y así sucesivamente.

El área de la superficie del cuadrado ABCD = 16 cm ² el cuadrado EFGH, es la mitad

del cuadrado ABCD; por lo tanto, el área de los triángulos HAE, EBF, FCG, y GDH

que quedan en el cuadrado ABCD, después de haber construido el cuadrado EFGH

es la mitad del primer cuadrado, luego:

El área de los triángulos del primer cuadrado es igual a 8 cm² por consideraciones

análogas se obtiene el área de los demás triángulos.

Haciendo la suma de todos ellos se tiene:

Área e los triángulos 1° cuadrante: = 8 cm²




Área e los triángulos 5° cuadrante: = .5 cm²

H

A

D C

B A

E

F

G

H



37


Área e los triángulos 7° cuadrante: = .125cm²



Suma = 15.96875 cm²

Por los resultados anteriores se observa que:

1° Los números 8, 4, 2,1 etc., forman una progresión geométrica decreciente de

razón 0.5

2° El valor de un término se acerca tanto mas a cero cuando mayor sea el número de

términos que lo proceden.

3° La suma de los términos es constantemente inferior a 16, y tanto mas próxima a

este número cuando mas términos se tomen en la progresión.

Se dice, en casos como este, que la suma tiende a un límite que en el problema que

se esta considerando, es 16.

Notación:

Se escribe lim s = 16

n

3.2. Teorema sobre límites

I.- Si f(x) = c constante, tendremos lim f(x) = c

x a

lim f(x) = A lim f(x) = B Resulta:

x a x a

II.- lim Kf(x) = KA siendo K una constante.



38

x a

III.- lim [f (x) g (x)] = lim f (x) lim g (x) = A B

x a x a

IV.- lim [f (x) * g (x)] = lim f (x) * lim g (x) = A * B

x a x a

V.- lim f (x) = ___________ _______ = A

g (x) lim g (x) B Siempre y cuando B = 0

x a

VI.- lim Nf (x) = N lim f (x) = N A siempre que N A sea un número real.

Ejercicios resueltos

Si f (x) = x² - 2x +3 encontrar

a) lim __f( x) – f (1)___

x→ 1 x – 1

b) lim __f(1 + h ) – f (1)___

h→ 0 h

Solución

a) lim __f( x) – f (1) = lim _x²- 2x + 3 – 2_= lim __ x² – 2x + 1 = lim (x–1)²

x→ 1 x – 1 x→ 1 x – 1 x→ 1 x – 1 x→1 (x – 1)

= lim ( x – 1 ) = 0

x→1

lim f(x) = c

x a



39

b) lim __f(1 + h ) – f (1) = lim __(1 + h ) – 2 (1 + h ) + 3 -2 = lim 1+2h+h²–2 –2h +1

h→ 0 h h → 0 h h→0 h

Ejercicio 2

Si G(x) = -√ 16 - x², encontrar lim _G( x) – G (1)

x→1 x – 1

o sea H (x) = __G( x) – G(1) , x ≠ 1

x – 1

H( x) = _-√16 – x +√ 15 = _(-√16- x²+ √15) (√16 - x² + √15)

x – 1 (x – 1 ) (√16 - x² √15)

H( x) = _______x²-1 __ = _(x – 1 ) (x + 1 )

(x – 1) (√16 - x² +√15) (x – 1) (√16 - x² + √15)

Como x≠ 1 cancelado el término x -1 tenemos que

H( x) = __ x + 1 ____

√16 - x² + √15

Por lo tanto

lim H (x) = lim __G( x) – G(1) = _ 1 + 1 = ___2____ =__2___

h→0 x – 1 √16 - 1 + √15 √15 + √15 2 √15

= lim _h²_= lim =0

h→0 h h→0

lim __G( x) – G(1) = 1__

h→0 x – 1 √15



40

Ejercicio 3

Encontrar lim = _-√z - 5 __

z 25 z - 25

sea f (z) = _-√z - 5 z ≥ 0 z ≠ 25

z– 25

f (x) = __(√z- 5 ) (√z + 5) = _ z - 25 = ___1____ por lo tanto

h 0 (z – 25 ) ( √z + 5) (z – 25 ) (√z +5 √z + 5

Ejercicio 4

lim __t³ -1___

t 1 t – 1

Por productos notables se tiene que

a³ - b² = (a – b) ( a² + ab + b²) (

lim __t³ - 1 = lim __(t + 1) (t² + t +1 ) = lim (t² +t +1)

t 1 t+1 t 1 (t + 1) t(1

Sustituyendo valores se tiene que

�

lim __√z- 5 = lim _ z - 25 = ___1____

z25 z – 25 z25 √z +5 10

lim (t² +t +1) = 3

t1



41

Ejercicio 5

�� lim __4 – x ² = lim _ (4 – x ² )_ ( 3 +√x² + 5) __= lim _ (4 – x ² )_( 3 +√x² + 5)

��x 2 3- √x² + 5 x→2 ( 3- √x² + 5) ( 3 +√x² + 5) x( 2 9 - x² - 5

� lim _ (4 – x ² )_ ( 3 +√x² + 5) dividiendo entre ( 4- x² )

x2 ( 4- x² )

�= lim (3 +√x² + 5) sustituyendo

x2

��= 3+ √ (2)² + 5 = 3 +√ 4 + 5 = 3+ √9 = 6

Ejercicio 6

lim _ 2x – x ² _

x ( x² - 4 )

En límites al infinito se dividen los términos entre el mayor exponente tomando en

cuenta que: A ÷ = 0

Ejercicio 7

y² 4 4

lim _ y ² + 4 _ = lim y ² + y ²_ = lim _ 1 + y ² __ = -1

y y - 4 y y - 4 y 1 - 4

y y y

Ejercicio para resolver (2c)

Calcular



42

1.- lim _ (3x – 1) ² _

x 1 ( x + 1)³

2.- lim _ x – 2 _

x 2 x² - 4

3.- lim _(x + h )³ – x ³_

h 0 h

4.- lim _ y ³ + 8 _

y-2 y - 2

5.- lim _ 8t³ – 27 _

t 2/3 √ ( 4t² - 9 )

�

6.-.- lim √_ y² –9 _

y ( -3 ) ( 2y² +7y+3

7.- lim _ x ² +3x + 2_

x ( -1 ) x² + 4x + 3

8.- = lim (y³ – 2y ² + 3y - 4)

x ( -1 )

9.- lim __x – 1 ___

x 1 √x² + 3 - 2

10.- lim __4x³ +2 x ² - 5

x 8x + x² +2

11.- x ² + 4_

x x + 4



43

12.- ( x ² + 1 -x )

x

13.- _3x - 3 -x _

x- 3x + 3-x

14.- lim x² + 5x + 6 _

x x + 1

15.- lim x² - 16

x - 4 x + 4

16.- lim x³ + 8

x-2 x + 2

3.3. Continuidad

Consideremos la función f definida por:

f (x) = _x² + x - 6 _

x + 3

La función esta definida para todos los valores excepto cuando x = -3, ya que al

aplicar este valor:

f (x) = _(-3)² + (3) - 6 _ = _6 __=

3 - 3 0 (no esta definido)

Si resolvemos la ecuación por factorización en el denominador tenemos que:

f (x) = _(x + 3) + (x-2) _ = x - 2

x - 3



44

4

3

2

1

0

-1

-2

3

4

La gráfica consiste en todos los puntos de la recta

Debe incluirse el valor x = -3 para localizar la discontinuidad, se sustituyen los valores

en la nueva forma de f(x).

En el punto P (-3, -5) se establece un salto geométrico, la función deja de ser

continua en dicho punto.

Se dice que la función es continua en a , si cumple con las siguientes condiciones.

i) f(a) existe

ii) lim f(x) existe

x a

iii) lim f( x) = f(a)

x a


Ejemplos

1. Especifique en que puntos la función es discontinua

X 0 1 2 -3

y -2 -1 0 -5

y

y

´

x

´ x

5 4 3 2 1 0 2 3 4 5



45

F (x) = x³ - 27_

x ² - 9

Tiene una discontinuidad evitable en x = 3 presenta también una discontinuidad infinita

en x = -3

Resolviendo por factorización algebraica tomando en cuenta que

a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²) y que a² - b ² =(a – b) (a+ b) tenemos que

f (x) = _(x - 3) + (x²+3x + 9) _ = x² +3x + 9

( x - 3) –(x + 3 ) x + 3

si f (x) =-3 f (x) =_( -3)² + (-3) + 9 _ = 9 =

3 - 3 0

2.- Diga si la siguiente función es discontinua

f (x) = x³ - 27_ ; x 3

x - 3

f (3) = 9 es discontinua en el punto

x = 3 porque:

i) f(3) = 9 existe

ii) lim f(x) = 27 existe

x3

iii) lim f(x) f(3)

x3

La discontinuidad se puede evitar asignando a la función

f (x) = x³ - 27_ el valor f(x) =27

x - 3

f (x) = _(x - 3) + (x²+3x + 9) _ = x² +3x + 9



46

( x - 3) –(x + 3 )

f (3)= (3)² +3 (3) + 9 =2

3. Sea f(x) definida por:

(2x + 3) + (x - 1) _ si x =1

f(x) = x - 1

2 si x =1

Al realizar operaciones para f(x) la función queda como:

2x + 3 si x 1

f(x) =

2 si x 1

Tabulando y realizando la gráfica tenemos:

Se verifica que hay un salto en la gráfica cuando x = 1 investigando las condiciones

para que f sea continua tenemos:

f(1) = 2 satisface la condición i (existe)

Lim f(x) = 2 (1) + 3 = 5; satisface la condición ii (existe)

x -1 0 1 2

y 1 3 5 7

X

y

P1 (1,2)

P2 (1,5) NO INCLUIDO

x´

y´

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

7

6

5

4

3

2

1

-1

-2



47

x 1

lim f(x) = 5 pero f(1) = 2 no satisface a la condición iii se concluye que f es

x 1

discontinua en 1.

Ejercicio 4

Sea la función f definida por

2x + 3 si x 3

f(x) =

2 si x 3

Tabulación

x 0 1 2 3 4 5 6

y 3 2 1 0 1 2 3

Nota: Para localizar el punto donde existe el salto siempre se debe tomar en cuenta

dicho valor, evitando por medio de operaciones algebraicas que nos quede de la forma

a/0 ya que no esta definido.

Condiciones

de continuidad:

f(3) = 2 existe

lim f(x) = 0

pero f (3) = 2

No cumple con la condición

iii, por lo tanto f es

discontinua en 3.

y

x´ x

P1 (0,3)

y´

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6

5

4

3

2

1

1

2

P2 (3,0)



48

2. Ejercicios a realizar

En los siguientes ejercicios trazar la gráfica de la función, establecer donde la función

es discontinua mostrar por que:

x² +6x - 16 _ si x ≠±1

1. f(x)= x ² - 4

1 si x ≠± 1

1 + x si x< - 2

2. f(x) =

2 – x si -2 ≤ x ≤2

2x – 1 si 2 < x

x² +x - 2 _ si x ≠ -2

3. f(x)= x +2

-3 si x =-2

27 – x ³ si x ≠ 3

4. f(x)= 3 - x

5 si x =3

x² +3x+ 2 _ si x ≠ 2

5. f(x)= x -2

2 si x =-2



49

2x + 5 si x -5/2

6. f(x) =

3 si x -5/2

x² +x - 6 _ si x ≠ -3

7. f(x)= x-2

1 si x =-3

x² - 4 _ si x ≠ 2

8. f(x)= x² -16

2 si x =-2

9. g (x) = | 2x + 5 |

_ 1___ si x ≠ -2

10.f(x)= x + 2

0 si x =-2

-2X + 3 si x< -1

11.- h(x) =

-2x3 si x > -1



50

IV.- Derivadas

4.1 Incrementos y Diferenciales

4.2 Definicion de derivada

4.3. Derivadas de funciones algebraicas simples.

4.4 Derivadas sucesivas.

4.5. Derivadas implicitas

4.6. Derivada de Funciones Trigonométricas

4.7. Derivadas de funciones inversas e implícitas

4.8. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.

4.9. Derivadas de funciones hiperbolicas

4.1. Incremento.

El incremento Δ x de una variable x es el aumento y disminución que experimenta

desde un valor x = x de su campo de variación. Así pues ∆ x = x1 - x o bien

x1 = x + ∆ x

Si se da un incremento ∆ x a la variable x, es decir x pasa de x = x

a x = x +∆ x la función del valor y = f (x) debera incrementada en

∆y = f (x + ∆x1) – f (x ) a partir del valor y = f (x ).

∆y = incremento de y

∆x = incremento de x

El cociente anterior es otra interpretación de derivada y se define por un límite.

lim ∆y = lim f (x + ∆x) – f (x )

∆y → 0 ∆x ∆x→0 ∆x

o bien

lim ∆y = lim f (x + ∆x) – f (x)

∆y → 0 ∆x ∆x→0 ∆x



51

Derivación de Incrementos

Para derivar por incrementos basta realizar una sustitución directa de la función en el

cociente respondiente.

Así por ejemplo:

Ejemplo 1.- Hallar la derivada de y = x² + 5x

Por medio de incrementos

Solución:

Si Δ y = lim __f(x +Δx) – f (x)

Δ x Δx → 0 Δ x

Sustituyendo según sea la función dada tenemos:

lim Δ y = lim __(x +Δx)² + 5 (x + ∆x) – ( x² + 5x )

Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δ x

lim Δ y = lim __x² +2xΔx + Δ x² + 5x + 5∆x – x² - 5x

Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δ x

lim Δ y = lim __2xΔx + Δ x² + 5∆x

Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δ x

Factorización tenemos:

lim Δ y = lim __Δx +(2x + 5 + Δ x)

Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δ x



52

lim Δ y = lim 2x + 5 + ∆x

Δx → 0 Δ x Δx→0

lim

Δx → 0

Ejemplo 2.-

Y=√ 5x + 2

lim Δ y = lim _√ 5_(x +Δx) + 2 - √5x + 2

Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δ x

lim Δ y = lim _√ 5x+5Δx + 2 - √5x + 2

Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δ x

Racionalizando el numerador tenemos:

lim Δ y = lim _(√ 5x + 5Δx+ 2 - √5x + 2) (√ 5x + 5Δx+ 2) +√5x + 2)

Δx →0 Δ x Δx → 0 Δ x (√ 5x + 5Δx+ 2) + ( √5x + 2)

lim Δ y = lim _(5x + 5Δx+ 2 ) – (5x + 2)___

Δ x Δx →0 Δ x (√ 5x + 5Δx+ 2) + (√5x + 2)

lim Δ y = lim _______________5_______________

Δx →0 Δ x Δx → 0 √ 5x + 5Δx+ 2 + √5x + 2

Si ∆ x →Φ, sustituyendo ∆ x = Φ tenemos:

lim Δ y = lim _______________5______

Δx →0 Δ x Δx → 0 √ 5x + 2 + √5x + 2

Δ y = lim 2x+ 5

Δ x

Δ y = lim ____5_____

Δ x 2 √ 5x + 2



53

Ejemplo 3.-

Dado f (x) = ³√ x² + 2x = (x² + 2x) ⅓

Encontrar la derivada por incremento:

lim Δ y = lim __[ (x +Δx )² + 2 (x + ∆x) ] – ( x² +2x)⅓

Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δ x

Δ y = lim _ (x² +2xΔx +Δ x ² + 2x +2 ∆x)⅓ -( x² +2x)⅓

Δ x Δx → 0 Δ x

Tomando en consideración que ( a-b) ( a² + ab + b² ) = a³ - b³ tenemos:

Δ y = lim _[(x² + 2xΔx+ Δ x ² +2x+2 Δ x)⅓ - (x² + 2x)⅓] [(x²+2xΔx+ Δx ²+2x+2∆x )⅔

+ (x² + 2x + 2 Δ x)⅓ ( x² + 2x )⅓ + (x² + 2x )⅓ + (x² + 2x )⅔]

Δ x [(x²+2xΔx+Δx²+2x +2 Δx)⅔ + ( x²+2x+2Δx)⅓ (x² + 2x)⅓+ (x² + 2x )⅔]

Δ y = lim x² + 2xΔx+ Δ x ² +2 Δ x +2x -x²-2x

Δ x [(x²+2xΔx+Δx²+2x +2 Δx)⅔ + ( x²+2x+2Δx)⅓ (x² + 2x)⅓+ (x² + 2x )⅔]

Δ y = lim ________Δx (2x + Δ x +2)______________________________________

Δ x 0 Δx [(x²+2xΔx +Δx² + 2x +2Δx )⅔ + ( x²+2x+2Δx)⅓ (x² + 2x)⅓+ (x² + 2x )⅔]

Haciendo Δ x = 0 tenemos:

= _______ 2x + 2_________

( x² + 2x) ⅔ + (x² + 2x) ⅓ ( x² + 2x) ⅓ +(x² + 2x )⅔

= _______ 2x + 2_________

( x² + 2x) ⅔ + (x² + 2x) ⅓ ( x² + 2x) ⅓ +(x² + 2x )⅔

= _______ 2x + 2_________

3 (x² + 2x) ⅔



54

Problemas para resolver

Encontrar la derivada por incrementos de las siguientes funciones:

1.- f (x ) = 5x² - 2x + 2

2.- g(x) = √ 8x + 1

3.- y = ³√ 5x² + 2x

4.- y = 2x -1

3x + 2

5.- y = (5x² - x ) (2x + 1)

6.- y= (9x + 1)²

7.- f (x) = (5x + 3)³

8.- y= (2x + 3) ⅓

9.- f (x) = (2x + 1 ) ½

10.- y = (8x² - 6) ½

x - 2

11.-y = (3x –1)²

12.-y = 5x + 3

Δ y = lim =____ 2x + 2___

Δ x Δ x0 3 ³√(x² + 2x)²



55

4x – 6

13.-y =(x + 2)²

(x – 2)²

14.-y =3(5x + 6)²

(3x + 2)³

15.-y =√7x + 6

16.-y = 3x – 1

8x²+7

17.-y = 1/2x²+ 1/3x

18.-y = ___6___

8x³- 3x²

4.2 Definicion de derivada

La deriva de una función f es aquella función denotada por f´ tal que su valor de

función en cualquier número x en el dominio de f esta dada por:

M (x1) = f´ (x) = lim f(x + x ) – f(x)

x→0 x

Otros símbolos usados en lugar de f´ (x) son:

f´ (x) = dy/dx = Dxy



56

La notación y´ se usa también para la derivada de y con respecto a una variable

independiente.

Denotemos la deferencia de las abscisas de Q y P por x tal que x= x2 – x1

X puede ser positivo o negativo. La teniente de la recta secante PQ esta definido por

M PQ = f(x2) – f(x1)

x

ya que x2 = x1 + x entonces

M PQ = f(x1 + Δ x ) – f(x1)

Δ x

Si la función es continua en x1 entonces la recta tangente a la gráfica de f en el punto

P[ x1, f (x1) ] es:

La recta a través de P que tiene pendiente M (x1) definida como

M (x1) = lim f(x1 + Δ x ) – f(x1) si el limite existe

Δ x 0 Δ x

y´

y

Δ x= f(x2) – f(x1)

Q = [x2, f(x2)]

x´ x

P[x1, f(x1)]

-5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

4

3

2

1

1

2

-2

-3

-4



57

4.3. Derivadas de Funciones Algebraicas Simples

La operación de encontrar derivada de una función se llama diferenciación. La cual

puede efectuarse aplicando la formula de pendiente. Sin embargo este proceso es

demasiado tedioso, se establecen teoremas que permitan encontrar la derivada en

ciertas funciones más fácilmente.

1.-Derivada de una constante

La derivada de una constante es cero

D x c = O

2.-Derivada de una variable con respecto a si misma

La derivada de una variable con respecto a ella misma, es 1

D x x =1

3.- Derivada de una potencia de x

Para obtener la derivada de una potencia de la variable independiente multiplíquese el

exponente por la base y como exponente póngase el que tenía pero disminuido en una

unidad.

i) Dx XM

= Mx M–1

ii) Dx X-M = -M x – M – 1

iii) Dx X R/S = _r x R/S –1

s

4.-Derivada de una suma de funciones



58

La derivada de una suma de funciones, es igual a la suma algebraica de las derivadas

de esas funciones.

Dx (u + v + z) = Dxu +Dxv +Dxz

5.- Derivada del producto de varias funciones

i) La derivada del producto de dos funciones es igual a la primera función por la

derivada e la segunda, más la segunda por la derivada de la primera.

ii) Para hallar la derivada del producto de varias funciones, multiplíquese la derivada

de cada función por las demás funciones, y súmese los productos.

Dx (uvz) = uvDxz + uzDxv + vzDxu

6.- Derivada de una función de función (Derivada en cadena)

La derivada de una función de función es = a la deriva de la función y con respecto a la

función intermediaria u multiplicada por la derivada de esta con respecto a la variable

independiente.

Dx y = (Duy) (Dxu)

Dx uⁿ= nuⁿ-¹ Dxu

7.- Derivada de un cociente

Para obtener la derivada de un cociente, multiplíquese al denominador por la derivada

del numerador, réstese del resultado el producto del numerador, por la derivada del

denominador, y divídase la diferencia entre el cuadrado del denominador.

Dx u = Udxv -vDxu

v v²



59

8.- Derivada de un radical

La derivada de un radical del segundo orden es = a la derivada del radicando, entre el

duplo del radical.

i) Dx √u = Dxu

2√u

ii) si el radical no es del Segundo orden tenemos.

i) Dx m√u = __Dxu___

M M√uM-1

Resumen de fórmulas de derivación de funciones algebraicas.

En las fórmulas u, v, w, son funciones derivables de x.

1.- Dx c = 0 siendo c una constante

2.- Dx x = 1

3.- Dx (u + v+ w) = Dxu + Dxv + Dxw

4.- Cu = Cdxu

5.-Dxuv= uDxv + vDxu

6.-Dx (uvw) = uvDxw + uwDxv + vwDxu

7.-Dx (u) = (1) C≠0

C C

8.-Dx (C) = C Dx (1) = -C * Dxu

U u u²



60

9.- Dx (u) = vDxu - uDxv

v v²

10.- Dx xM= m XM-¹

11.- Dx (UM)= m X M-1 Dxu

12.-Dx √u = Dxu

2√u

13.-Dx m√u = __Dxu___

M M√ u M-1


Derivar las siguientes funciones

1. y = 1 + 3 + 2

x x² x³

y = x –1 + 3x-2 + 3x-3

Ampliando fórmula

Dx cx M = MCX M-1 tenemos:

y´= -x –2 + 3(-2x-3) + 2( -3x –4)

y´= -x –2 -6-3 -6x –4

y´= - 1 - 6 - 6

x² x³ x4



61

2.- Y = 2x 1/2 + 6x1/3 – 2x 3/2

Aplicando la formula anterior tenemos:

y´= 2 (+ 1 x –1/2) + 6 (- 1 x –2/3) – 2 (3 x 1/2)

2 3 2

y ´= x –1/2 + 2x –2/3 – 3x 1/2

y´ = _1_ + _2_ - 3 x 1/2

x1/2 x 2/3

3.- f (x) = √x² + 6x + 3 empleando Dx √u = Dxu

2√u

f´(x) = Dx (x² + 6x + 3)

2 √x² + 6x + 3

= ___2x + 6 ___ = ___2(x+3)__

2√x² + 6x + 3 2√x² + 6x + 3

f´(x) = ___x + 3__

√x² + 6x + 3

4. f(x) = 5 x7 Dx (CxN) =C n x N-1

f´(x) = (5) (7) x 7-1 = 35x6

f´(x) = 35x6

5. Dada f(x) = 8x5 – 3x² + 76 encontrar Dxy



62

Dx (u + v + z) = Dxu + Dxv + Dxz

Dxy = (5) (8) x5-1 – (3) (2) x 2-1 + Dx (76)

Dxy = 40 x4- 6x

6. (3x-2) (x + 4)

u = 3x – 2

v =x + 4

Dxuv = uDxv + vDxu

Dx [(3x-2) (x+4)] = (3x-2) Dx(x+4) +(x+4) Dx (3x-2)

Dx [(3x-2) (x+4)] = (3x-2) (1) +(x+3) (3)

Dx [(3x-2) (x+4)] = 3x –2 +3x + 9

Dx (3x-2) (x+4) = 6x + 7

7. f(x) = 2x³ + 4

x² -4x+1

u = 2x³ + 4

v= x² - 4x + 1

Dx u = vDxu – u Dxv Aplicando fórmula tenemos

V v²

Dx 2x³ + 4 = (x² - 4x + 1) Dx (2x³ + 4) - (2x³ + 4) (x²- 4x + 1)

x² - 4x + 1 (x² - 4x + 1)²



63

Derivando

Dxy = 6x4 – 24x³ + 6x² - 4x4 + 8x³- 8x + 16

(x² - 4x + 1)²

Dxy = 2x4 – 16x³ + 6x²- 8x + 16

(x² - 4x + 1)²

8. Derivada de un radical

Obtener la derivada de:

a) 5√x²

b) 4√2x³

c) √a+x

√a-x

a) Dx 5√x²

Dx M√u = __Dxu___ Aplicando la fórmula tenemos

M M√u M-1

Dx 5√x² =_Dx x² = _2x = __2x___ = ___2__

55√(x²)4 55√x8 5x 5√x³ 55√x³

Dx 5√x² = _ 2__

55√x³

b) Dx 4√x³ = __Dx 2x³ =__6x²__ = __3__

44√(2x³)³ 44√8x9 24√8x

Dx 4√x³ = ___3__

24√8x



64

c) Dx a + x usando la fórmula de

√ a-x

Dx √u = Dxu tenemos

2√u

Dx a_+_x (a-x) Dx(a+x) - (a+ x) Dx (a-x)

Dx a + x = ______ a – x____ = ___ ________(a-x)²_________

√ a-x a + x a + x

2 √ a – x 2 √ a – x

_(a –x)_( a + x)____ = ___2a__ = ___a__ = a √ a – x

a + x a + x √ a + x √ a + x

2√ a – x 2√ a – x √ a – x

Ejercicios para resolver

Obténgase la derivada de las funciones siguientes:

1. y = x4

2. f(x) = 1 x4 – 1 x³ + 2x²

4 3

3. y = 3x9 – 2x6 + x³ - 1

4. y = x² (3x²- 49 (x + 1)

5. f(x) = √ x²- a²

6. y = (x –2) √x²+2x

7. y = x² + 4√ x – x³ + _2_

√x³



65

8. y = (x² - 2) √x² + 1

3

9. y = _ x – a_

√2ax – x²

10. y = 3 – 2x

3(2-x)²

11. f(x) =__5x – 2_

√25x²– 4

12. f(x) = (2x + 1 ) 4

3x - 1

13. g(t) = ( 2t² + 1)

3t² + 1

14. f(r) = (r² + 1)³ ( 2r + 5)²

15. y = √ x² + 1 + √x² - 1

√ x² +1 - √x² - 1

Racionalizar el denominador

16. f(t) = _2 + _6_

√ t ³√t

17. y = 3x ½ - x3/2 + 2x –1/2

18. f(x) = x -1

√ x + 1



66

19. s = t² + 2

3 – t²

20. Ø = 3r + 2

2r + 3

21. f(x) = x √3- 2x²

4.4 Derivadas sucesivas

Ejemplo 1.

Calcule la derivada indicada

a) 5x5 – 8x² + x – 2 ; f´´´(x)

Se calcula la primera derivada

dy = 15x 4 – 16x + 1

dx

Se calcula la segunda derivada

d²y = 60x³ - 16

dx²

Se calcula la tercera derivada

d³y =180 x²

dx³

b) f(x) = √2- 3x² , f´´(x)

Primer derivada

Si Dx √u = Dxu

²√u

Segunda derivada

f´(x) = __-3x__

√2 – 3x²



67

si Dx u = vDxu - uDxv

v v²

-3√2 – 3x² + (3x) (-6x) -3√2 – 3x² - 9x²

f´´(x) = √2 – 3x² Dx (-3x)-(-3x) Dx√2 – 3x² =________ _2√2 – 3x² =______ √2–3x²

(√2 – 3x²)² 2 – 3x² 2 – 3x²

Obteniendo común denominador tenemos

-6 + 9x² - 9x²

f´´(x) = __√2 – 3x²__ =______-6_______

2 – 3x² (2 – 3x²) ( √2–3x²)

f ´´ (x) = ______-6______

(2 – 3x²) 3/2

c) y = (x² + 2x)1/3 , y´´

Primer derivada

Por derivada en cadena tenemos:

Dx uM = M u M-1 Dxu

y´ = 1/3 (x² + 2x) –2/3 Dx (x² + 2x)

y´ = __2x + 2___

3(x² + 2x) 2/3



68

Segunda derivada

y´´ = 3(x² + 2x )2/3 Dx (2x + 2) - (2x + 2) Dx3(x²+ 2x )2/3

[3 (X² + 2x) 2/3]2

y´´ = 6(x² + 2x )2/3 - (2x + 2) (2) (x² + 2x) –1/3 (2x+ 2 )

9 (x² + 2x) 4/3

y´´ = 6(x² + 2x)2/3 - (4x + 4) (2x + 2)

(x² + 2x) 1/3____

9 (x² + 2x) 4/3

y´´ = 6x² + 12x –8x² - 16x - 8

(x² + 2x ) 1/3____ = _ __-2x² - +4x + 8______

9 (x² + 2x) 4/3 9(x² + 2x)1/3 (x² + 2x) 4/3

y´´ = -2 (x² + 2x + 4)

9(x² + 2x)5/3

4.5 Derivadas Implícitas

Si y es una función de x definida por la ecuación:

y = 6x² + 8x - 1

Entonces y esta definida explícitamente en términos de x y podemos escribir

y = f (x)

Donde f(x) = 6x² + 8x – 1

Sin embargo existen funciones que no están definidas explícitamente como por

ejemplo:

3x³ -x² = 2y5 - 4y4



69

En este tipo de función no la podemos resolver explícitamente para y como una

función de x, pero pueden existir una o mas funciones f tales que y = f (x) entonces

tenemos:

3x³ -x² = 2[f(x)]5 - 4[ f(x)]4

En este caso establecemos que y esta definida implícitamente como función de x.

Ejemplo 1.

Derivar 3x³ -x² = 2y5 - 4y4

Dx (3x³ - x²) = Dx (2y5 -4y4)

9x² -2x = 10y4 Dxy –16y³ Dxy

9x² - 2x = (10y4 - 16y³) Dxy

Despejando tenemos:

Ejemplo 2.

Dada (x + y )² - (x – y )² = x4 + y4 encontrar Dxy . Diferenciando implícitamente con

respecto a x tenemos:

Por derivada en cadena Dxu M = Mu M-1 Dxu tenemos:

2( x+ y) Dx (x+y) – 2 (x-y) Dx (x-y) = 4x³ + 4y³ Dxy

2( x+ y) (1+Dxy) – 2 (x-y) (1-Dxy) = 4x³ + 4y³ Dxy

(2 x+ 2y) (1+Dxy) – (2x-2y) (1-Dxy) = 4x³ + 4y³ Dxy

Dxy = 9x² - 2 x

10y4- 16 y³



70

2 x+ 2xDxy+ 2y+2yDxy-2x + 2xDxy +2y –2yDxy = 4x³ + 4y³ Dxy

4y+ 4xDxy = 4x³ + 4y³ Dxy

(4x- 4y³) Dxy = 4x³ + 4y

Dxy =4x³ - 4y

4x - 4y³

Ejemplo 3.

__y___ = 2 + x³

x -y

Derivando implícitamente tenemos:

__(x -y) Dxy – yDx (x- y)___ = 3 x²

(x –y)²

__(x -y) Dxy – y (1-Dxy)___ = 3 x²

(x –y)²

xDxy – y Dxy – Y +Dxy = 3x² * (x- y )²

Dxy (x – y + 1) = 3x² * ( x+ y )²

Dxy =x³ - y

x - y³

Dxy =3x³ (x –y)²

(x - y + 1)



71

Ejemplo 4.

y + xy = 3x³

Derivando implícitamente tenemos:

Dxy + 1 (xy) –1/2 [ xDxy + y] = 9 x²

2

Dxy + xDxy + y = 9x²

2 xy

2 xy * Dxuy + xDxy + y = 18x² xy

(2xy) Dxy = 18x²xy – y

Ejemplo 5.

x² y³ = x4- y4

Derivando tenemos:

x² Dx (y³) + y³Dx(x²) = Dx (x4) – Dx (y4)

3x²y²Dxy + 2y³x = 4x³ - 4y³ Dxy

(3x²y² + 4y³) Dxy = 4x³-2y³x

Dxy = 18x² xy – y

(2 xy + x)



72

Ejercicios para resolver:

Encontrar Dxy por diferenciación implícita:

1. dx +dy =12x²y

2. xy +2x =y

3. (2x + 3)dx =3ydy

4. yx - xy =9

5. 1 + 1 = 1

d x d y

6. x² + 4y² + 6x – 4y = 0

7. (2x + 3y)dx = 5y² + 1

8. dx - 4y = 10 xy

dy 9. 5x³ + 5y³ =xy

10. xy +y = 5xy

11. 5xy = x - 1

12. 3x² -3y = x - 3

13. 7xy + 6y = x²y

14. 12xy – 9y² = 5x

Dxy= 4x³ -2y³x

3x²y² + 4y³



73

15. –(5x + 8) = y – 3

16. 3x²y = 4y + 5x

17. (2x- 3y) y = -5

18. -xy = y² + 4

19. 3x- 2y = -x

20. 5y – 9x = 3xy

21. (2x) (9y + 3)= -7x

22. (3x) (4x – 6y) = y

23. Ln(x² - y ) = -y²

24. . Ln ( 2x + 3y) = -xy

25. . ( x3 + y2) = 4y

26. . Ln (8y – 4x) = 9xy

27. . – ( 10xy –y) = y2

28. .log( 9x2 + 3y2) = 25y



74

4.6 Derivada de Funciones Trigonométricas

Fórmulas más comunes de este tipo de derivadas:

1. Dx sen u = Cos u Dxu

2. Dx sen Mu= Msen M-1u Cos u Dxu

3. Dx cos u = -sen u Dxu

4. Dx cox Mu= -Mcos M-1 u sen u Dxu

5. Dx tan u = sec2u Dxu

6. Dx tan Mu = Mtan M-1 u sec2u Dxu

7. Dx cot u= - csc2u Dxu

8. Dx cotM u= -csc²u Dxu

9. Dx sec u = sec u tan u Dxu

10. Dx sec Mu= MsecMu tan u Dxu

11. Dx csc u = -csc u cot u Dxu

12. Dx cscMu = -McscMc cot u Dxu



75

Ejemplos:

1. y = x – 1 sen 4x

2 8

Dxy = 1 – 1 Dx (sen 4x) Dx 4x

2 8

Dxy = 1 – 1 cos 4x (4)

2 8

Por identidad trigonométrica podemos tener también como resultado:

Si sen²a = 1 – 1 cos 2 a entonces:

2 8

2. y = 2sen6x + 3cos 2x

Dxy =2Dx (sen6x) Dx (6x) Dx (6x) + 3Dx (cos2x) Dx (2x) = 2 cos6x (6)-3cos 2x (2)

3. y = csc 2x

y = (csc 2x)1/2

Dxy = 1 – 1 cos 4x

2 8

Dxy = sen² 2x

Dxy= 12cos 6x –6cos2x



76

Por derivada en cadena DxuM= MuM-1 Dxu

y´= 1 (csc 2x) –1/2 Dx (csc 2x)

2

y´= 1 (csc 2x) –1/2 (-csc 2x) (ctg 2x) Dx 2x

2

y´= -1 (csc 2x)1/2 (ctg 2x) (2)

2

Por fórmula tenemos:

Dx cscMu = -M csc Mu cot u Dxu

y = csc 2x = (csc 2x)1/2

y = -1csc1/2 2x cot 2x Dx (2x)

2

y = -1 (csc 2x )1/2cot 2x (2)

2

4. f(x) = cot (3- 5x²)

Dx cot u = -csc²u Dxu

f´(x) = -csc² (3-5x²) Dx(3 –5x²)

f´(x) =-csc² (3 –5x²) (-10x)

y´= -cot 2x csc 2x

y =- cot 2x csc 2x

f´(x) =10x csc² (3 –5x²)



77

5. y = sen4 x - 1

x

Dx senMu= M senM-1u cos u Dxu

Usando formula tenemos:

Dxy = 4sen³ x - 1 cos x - 1 Dx x - 1

x x x

Dxy = 4sen³ x - 1 cos x - 1 (1)

x x x²

6. y = 1 + sen x

1 –sen x

Multiplicando numerador y denominador por 1 – sen x tenemos:

y = (1 + sen x) (1- sen x)

(1 –sen x) (1- senx)

y = 1 + sen² x

(1 –sen x)²

y = 1 + sen² x

1 –sen x

Tomando en cuenta que:

cos² x =1 – sen ²x entonces:

y =_cos x__

1- sen x

Dxy = 4 sen³ x- 1 cos x-1

x² x x



78

Derivando tenemos:

y´= (1 - sen x) Dx cosx – cos x Dx (1- sen x)

(1 –sen x)²

y´= (1 - sen x) (-senx) – (cosx) –( cos x)

(1 –sen x)²

y´= - sen x + sen²x + cosx²

(1 –sen x)²

Tomando en cuenta que sen²x + cos²x = 1 tenemos:

y´= 1- sen x

(1 –sen x)

Hallar la derivada:

1. DxY = ______1_______

(sec 2x –1 )2/3

DxY = (sec 2x –1 )2/3

Por derivada en cadena Dxu M = Mu M-1 tenemos:

DxY = - 3 (sec 2x – 1) – 5/2 DxY (sec 2x – 1)

2

DxY =- 3 (sec 2x – 1) – 5/2 DxY (sec 2x tan 2x) (2)

2

y´= __1____

1 –sen x

Dx = _-3 sec 2x tan 2x_______

Dy (sec 2x –1 )5/2



79

2. y = 1 tan x sen x

2

Por derivada de un producto dxuv = vdxu + u dxv tenemos:

Dy = 1 tan x Dx sen x + sen x Dx 1 tan x

Dx 2 2

Dy = 1 tan x cos x + 1 sen x sec²x

Dx 2 2

Sí tan x = sec x y sec x = ___1__

cos x cos x

Sustituyendo las identidades en el resultado tenemos:

Dy = 1 sen x (cos x) + 1 (___1_____)²

Dx 2 cos x 2 cos x

3. y = 4 cos5 (a² - 2x²)

De la derivada

Dx cos M u = -M cos M-1 u sen u Dx u tenemos:

dy =- (4) 5 cos 5 (a²-2x²) sen (a²-2x²) (-4x)

dx

Dy = 1 sen x + __sen x

Dx 2 2cos²x

dy =80 cos5 (a²-2x²) sen (a²-2x²)

dx



80

4. y = 4 csc³ x

De la fórmula Dx cscMu= –M cscMu cot u Dxu

dy = -(4) (3)csc³ x4 cot x4 (5x4)

dx

5. y = sen x – x cos x + x² +4x +3

y´= cos x- x Dx cos x + cos x Dx (-x) + 2x +4

y´= cos x + x sen x – cos x + 2x + 4

dy = -60 x 4csc³ x4 cot

dx

y´= x sen x + 2x + 4



81


Encuentre las derivadas de las funciones dadas, reduzca si es posible por medio de

identidades trigonométricas.

Nota: Algunas derivadas trigonometricas son mas sencillas de resolver haciendo uso

de sus identidades, ya que en el caso por ejemplo de sen2 x + cos2 x = 1, al hacer uso

de la identidad seria la derivada de una constante lo cual nos daria como resultado

cero

1. y = 2 tan x³

2. r = sen t cos 2t + 5t² -8

3. r = 1 cos³ 5

3

4. y = 2 sec² 2x

3 sen 2x

5. y =sen ² (3x – 2)

6. y = (sen x) (cos x)

sec x

7. y = 1 cos ³ x – cos x

3 5 5

8. y = - csc 4x cot 4x

9. r =_2 tan t__

1 – cot t

10. r = 3 sec 2t tan 2t



82

11. y = [cos (3x –2) – sen (6x –9)]

12. y = sec² 2x

3 sen 2x

13. y= x² sen x + 2x cos x – 2 sen x

14. r = 1 cot ³ t – 1 sen t cos t

3 3

15. y= 2a cos ³ 3x – (cos 2x )1/2

4.7 Derivadas de funciones inversas e implícitas

1. Dx ang sen u = _Dxu = -Dx ang cos u

1 – u ²

2. Dx ang tan u = Dxu = -Dx ang cot u

1 – u ²

3. Dx ang sec u = __Dxu = -Dx ang csc u

u u ²-1

NOTA: Dx angsen u = Dx arc sen u

Dx angtan u = Dx arc tan u

Dx angsec u = Dx arc sec u

Ejemplos

Obténgase la derivada de las funciones siguientes:



83

1. y = ang sen a/x

Dxy = Dx (a/x) = - (a/x²) = -(a/x²) =

1-(a/x)² x² - a² x² - a²

x² x

2. y = ang tan x / c

Dxy= Dx (x / c) = 1 / c = 1 /c

1 + (x / c) 1 + x² c²+ x²

c² c²

3. y = ang sec x²/a²

Dxy =__ Dx (x² / a2)___ =__2x / a²__ = __2a2 x___

x² ( x² )² - 1 x² x2 – a2 a² x² x2-a2

a² a² a² a²

4. y = ang cos 1- x

1 + x

- D xy (1- x) ( 1 + x ) (-1) - (1 – x) (1)

Dxy = _____( 1+ x) = _______(1 + x )²_______

1 - (1 – x ) ² 1 - ( 1 – x)²

1 + x 1 + x

-____a_____

x x²- a²

Dxy= __c___

c² + x²

Dxy= __2a²___

x x2 – a2



84

_ _ + 2__

- 1 – x –1 + x - _____ - 2__________

Dxy = _____( 1+ x)²_ = _______(1 + x )²_______

(1 – x ) ²- (1- x)² 1 2x + x² - 1 + 2x - x²

(1 + x)² 1 + x

Dxy = __( 1+ x)²_ = __-2__(1 + x )²__ = _____+2______ =

4x 4x (1 + x)² 2x (1 + x)

1 + x


Obténgase La derivada de las funciones siguientes, posteriormente de un valor

opcional y resuelva con Math cad:

1. y = 6 ang sen b/2x

2. y = 3x² ang tan 5x

3. y = ang cos a - x²

a² + x²

4. y = ang sec x – 2

x + 2

5. y = 8x ang cot 9x – 6

6. y = 1 arc tan (b tan x)

ab a

7. y = y² sen x + y = arctan x encontrar dy

dx

8. y = x arc csc 1 + 1 + x²

Dxy = ___1____

(1 + x) x



85

x

9. y = arc tan 3x²

10. y = x²- 4 + 1 arc sec x

x² 2 2

4.8. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas y derivadas de

funciones hiperbólicas

El número e

e = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +...............+ 1 +...............= 2.71828

2! 3! 4! n!

Bases generales para exponenciales y logarítmicas y derivadas de funciones

hiperbólicas

1. In u N = n In u

2. In uM u N = In u M + In u N

3. In u M = In uM– In u N

u N

4. e LN U = u

5. Y = log 10 x = In x

6. Y = log e x = In x

Bases generales para funciones hiperbólicas y funciones hiperbólicas inversas.

1. sen h u = e U – e-U

2

2. cos h u = e U – e-U

2

3. tan h u = sen h u = e U – e-U



86

cos h u e U + e-U

4. cot h u = ___1___ = = e U +e-U ; u = 0

tan h u e U - e-U

5. sec h u = ____1_____ = ____2____

cos h u e U + e -U

6. csc h u = _____1_____ = ____2_____; u = 0

sen h u e U - e –U

7. sen h –1 u = In (u + 1 + u²)

8. cos h –1 u = In (u + u² - 1); u > = 1

9. tan h –1 u =1 In 1 + u ; u² < 1

2 1 – u

10. cot h –1 u = 1 In u + 1 ; u² > 1

2 u - 1

11. sec h –1 u = In 1 + 1 – u² 0 = < u < = 1

u

12. csc h –1 u= In (1 + 1 – u²) u = 0

u ￤ u ￤

Fórmulas de derivación

1. Dx log u = 1 log u Dx u

u

2. Dx In u= 1 Dx u

u

3. Dx au = a

u In a Dx u

4. Dx eu = e

u Dx u

5. Dx sen h u = cos h u Dx u

6. Dx cos h u = sen h u Dx u



87

7. Dx tan h u = sec h² u Dx u

8. Dx cot h u = -csc h²u Dx u

9. Dx sec h u = - sec h²u Dx u

10. Dx csc h u = -csc h² u Dx u

11. Dx sen h –1 u= ___1___ Dx u

1 + u²

12. Dx cos h –1 u= ___1___ Dx , u > 1

u² - 1

13. Dx tan h –1 u= ___1___ Dx u

1 + u²

14. Dx cot h –1 u= ___1___ Dx u

1 + u²

15. Dx sec h –1 u = ___-1___ Dx u

u 1 + u²

Ejemplos resueltos:

Encuentre la derivada de las funciones siguientes:

1. y = In ( 5x² + 6 x)³

De acuerdo a las propiedades de los logaritmos tenemos:



88

y =3 In ( 5x² + 6 x)

Usando la formula Dx In u = 1 Dxu tenemos:

u

dy = ____3___ Dx (5x² + 6x)

dx 5x² + 6x

dy = _3_(10 + 6)_

dx 5x² + 6x

2. y = In ³ (5x² + 6x)

Para derivar esta función se usa una derivada de cadena, la función en si es:

y = [In (5x² + 6x)]³

Empleando derivada en cadena y derivada logarítmica tenemos:

dy =3[ In (5x² + 6x)]² Dx In (5x² + 6x)

dx

dy =3[ In (5x² + 6x)]². ___1____ Dx (5x² + 6x)

dx 5x² + 6x

dy =3[ In (5x² + 6x)]²._10x + 6___

dx 5x² + 6x

dy = _30+18_

dx 5x² + 6x

dy =3 In² (5x² + 6x)._(10x + 6)___

dx 5x² + 6x



89

3. y =In (x² + 3 ) (x³ + 5 )

Empleando la propiedad del producto logarítmico de In (u) (v) = Inu + Inv tenemos:

y = In (x² + 3) (x³ + 5 ) = In (x² + 3 ) In (x³ + 5)

Derivando tenemos:

y´ = __1__ Dx (x² + 3) + __1___ Dx (x³ + 5)

x² + 3 x³ + 5

y´= __2x ___ + __3x²___

x² + 3 x³ + 5

Obteniendo común denominador tenemos:

y´= __2x (x³ + 5) +3x²_(x² + 3)__

(x² + 3) (x³ + 5)

y´= __2x4 + 10x + 3x4+ 9x²__

(x² + 3) (x³ + 5)

y´= __5x4 + 9x² + 10x__

(x² + 3) (x³ + 5)



90

4. y = In _ 5 x²__

(4x– 2)³

Por propiedad logarítmica de una división e que In u = Inu – Inv tenemos que:

v

y´ = In 5x² - In (4x – 2)³

y´= In 5x² - 3In (4x – 2)

Derivando tenemos:

y´= __1 ___ Dx 5x² - __3___ Dx (4x-2)

5x² 4x –2

y´= __10x ___ - __12___

5x² 4x – 2

y´= __(10x) (4x – 2) – (12) (5x²)__

(5x²) (4x -2)

y´= __40 x² – 20x - 60x²) __

(5x²) (4x -2)

y´= __-20 x² – 20x __

(5x²) (4x -2)

y´= __5x (– 4x-4) __

5x² (4x -2)

y´= - _4x+ 4 __

x (4x -2)



91

f ´(x)= -8tan 4x

5. f(x) = In (cos 4x)²

f(x) =2 In cos 4x

Derivando tenemos:

f´(x)= __2___ Dx cos 4x

cos 4x

f´(x)= __(2)(4) (-sen4x)__

cos 4x

f´(x)= - 8 _sen4x__

cos 4x

Por identidades trigonométricas donde sen = tan tenemos:

cos

6. f ´(x) = In (4x + x²-1 )

f´(x) =___1 ___ Dx (4x + x²-1 )

4x +x²-1

f´(x) =___1 ___ . (4x + 2 )

4x +x²-1 2x² - 1

4x² - 1 + 1

f´(x) =_x²-_1 ___

4x x²-1

f´(x) = __4x² - 1 +1____



92

4x( x²-1) ( x²-1)

f´(x) = __4x² - 1 +1____

4x( x²-1)


Resuelva por derivación y aplique leyes logaritmicas si es necesario.

Nota: de forma semejante al uso de identidades trigonometricas, el uso de leyes

logaritmicas facilita la derivación de un logaritmo

1. f(x) = In (sen5x)²

2. f(x) = In (6x + 5x² - 2x)

3. (x) = In (a + x)² - In (b + 2x)²

4. y = In (sec²6x) ½

5. y = In 32x² - 2x

6. y = In (sen 2x)

cos 2x

7. y = In 1 + cos x

1 - cos 2x

8. y = In ___sen__

1 + cos 2x

9. y = In [(5x² - 8)³ 2x – 1)]

f´(x) = __4 x² - 1 +1_

4x³ - 4x



93

10. y = In [ sen 2x + cos 3x]

11. y = In ³ 7x² - 8x

12. y = In (3x – 1 )1/2 (4x + 2) ¼

13. y = In 6 cos 3x cos 2x

14. y = In( 1 + x²)

( 1 - x²)

15. y = In cos 5x

sen 5x

4.9. Derivadas hiperbólicas

Las fórmulas de derivadas hiperbólicas son semejantes a las fórmulas elementales de

derivación de funciones trigonométricas.

Resolver por derivación:

1. y = sen²h (1 – x²)

Se puede indicar también como:

y = [senh (1 – x²)]²

Por derivación en cadena tenemos:



94

Dxy = 2[senh (1 – x²)] Dx senh (1-x²)

Dxy = 4x [ senh (1 – x²) cosh (1-x²)]

2. y = tanh (3 + x²)

Dxy = 2x sech² (3 + x²)

3. y = In senh x

Dxy = ___1_____ * cosh x

sen h x

Dxy = cosh x = cot h x

sen h x

4. y = 4 cos5 h (a² - 2x²)

Dxy = (4) (5) cos5h (a² - x²) Dx cosh (a² - x²)

Dxy = 20 cos5h (a² - x²) [-senh (a² - 2x²) (-4x)]

Dxy = 80 cos5h (a² - x²) senh (a² - 2x²)

5. y = sen4h x – 1

x

Dxy = 4 sen³h x – 1 cos x - 1

x x

6. y = sen h mx sen h M x

Dxy = M sen h M-1 x (sen h Mx cos h x + senh x sen h x cosh Mx)



95

Dxy = M sen h M-1 x sen h (Mx + x)

Dxy = M sen h M-1 x[ sen h (M + 1) x]

7. y = 1 – cosh x

Empleando Dx u = Dx u tenemos:

2u

8. y =__cos h x =

1 – senh x

Dxy = (1 - sen h x) Dx cos h x – cosh x Dx (1 – senh x)

(1 – senh x)²

Dxy = (1 - sen h x) )(-senh x) - cos h x (– cosh x)

(1 – senh x)²

Dxy = 1 - sen h x

(1– senh x)²

Dxy = ___sen h x___

21 – cosh x

Dxy = ____1 ____

1– senh x



96

Resuelva los siguientes ejercicios por medio de derivación hiperbólica

1. g(x) = ex sech x

2. g(x) = tanh x

3. y = 1 sec² h 2x – csch 4 2x

3

4. y = senh x 1 + cos ²h x

cos ³ h x

5. y = cos h (x-1)

6. y = 5 sen h 6x

7. y = __senh x_

2 + cosh x

8. y = tanh 2x

coth 2x

9. y = (1 - x² ) senh 6x

10. y = [sec h (9 – x²) ] 1/2

11. y = e –x senh x cosh x

12. y = 1 + 2 sen h (x – 3 )²

13. y = (sen²h x ) (cos²h x)



97

14. y =1 + x²

tan h 2x

15. y =__e 5x___

cos h 6x

16.- y = tan h 10x

17.- y = (cos²h x)

18.- y = tanh 4x

cosh 4x

19.- y = __senh3 x_

4 + cosh3 x

20.- ( cosh 3x)2 - ( senh 3x)2



98

V.- Aplicaciones de derivadas

5.1 ley de velocidad y aceleración

5.2 Concavidad

5.3 Problemas sobre máximos y mínimos criterio primera y segunda derivada

5.4 Aplicación de maximos y minimos

Problemas reueltos y problemas propuestos

5.1 Ley de velocidad y aceleración

Generalmente en esta ley se parte de una distancia dada para localizar su velocidad

comouna primera derivada y la aceleración de una particula lanzada verticalmente u

horizontalmente, como una aplicación a Fisica dependiendodelos datos del problema,

puede aplicarse esta ley para vectores, lanzamiento de proyectiles, los resultados

pueden ser comprobados por medio de calculadora cientifica o por medio de un

software matematico como lo es el Math Cad, con la ventaja de que por medio de un

software matematico podemos obtener no solo una solucion si no todo un desarrollo a

cierto problema dado ya que con la calculadora solo obtenemos la solucion grafica de

la curva mas no el desarrollo matematico del problema es recomendable usar

cualquiera de estos metodos para su comprobación.

Ejemplo:

Una partícula se mueve sobre una recta de acuerdo con la ecuación del movimiento.

S = 1 t² + _4t_

2 t +1

Donde S es la distancia dirigida de la partícula desde el origen en t segundos. Si v

m/seg. es la velocidad instantánea en t seg. y a m/seg² es la aceleración instantánea

en t seg. ; encontrar t, 5, y v, cuando a = 0.

Solución:



99

i) Cuando se deriva la distancia con respecto a t se tiene la velocidad.

v = ds

dt

ds = t + (t + 1) Dt (4t) – (4t) Dt ( t+1)

dt (t + 1)²

ds = t + (t + 1) (4) – 4t

dt (t + 1)²

ds = t + 4t+4 –4t

dt (t + 1)²

v = t +__4___

(t + 1)²

ii) Si se deriva la velocidad con respecto a t se obtiene la aceleración o sea:

a = d² s = dv

dt² dt

d² S = 1 + Dt 4(t + 1)-2

dt²

d² S = 1 – __8__

dt² (t + 1)³

a = 1- __8__



100

(t + 1)³

Haciendo a = 0 tenemos:

1 - __8__ = 0

(t +1)³

(t + 1)³ - 8 = 0

(t + 1 )³

(t + 1)³ - 8 = 0

(t + 1)³ = 0

t + 1 = ³√8

t = 1 seg.

Cuando t = 1 sustituimos en S y en v

S = 1 (1)² + (4) (1) = 2.5 mts.

2 1 + 1

S = 2.5 mts.

v = 1 + __4__ = 2

(1 + 1)²

v = 2 mts/seg



101


i) Encontrar la primera y segunda derivada de la función definida por la ecuación dada.

1.- f(x) = √x³ + 1

2.- f(x) = x3 + 3x2 -6x

3.- f(x) = (4x² -x) –3/4

4.- f(x) =x√1 –x²

5.-g(x)= √ 1 +1

x²

6.-S(t)=_ 4t³_

t² + 1

7.- h(x) = 3x + 1

√x

8.-G(t)= 3 –4 + 7

t t²

9.-S(t) = 3t²_

t + 1

10.-f(x) = 2- √x__

2 +√x

11.- G(x) = _1__

√3+2x²

12.- h(y)= ³√ 2y³+5

13.-S(t) = ³√3t+1



102

14.- G](z) = √2z + √ z/2

ii) Una partícula se mueve sobre una recta de acuerdo con la ecuación del

movimiento dada, donde S mts. Es la distancia dirigida de la partícula desde el

origen en t seg. Encontrar el tiempo cuando la aceleración instantánea es cero y

luego encontrar la distancia dirigida de la partícula desde el origen, así como su

velocidad.

a) S = ___125___ - 2 t² donde t ≥0

16t+32 5

b) S =-9t² + 2 √2t + 1

5.2. Concavidad (Derivadas de orden superior)

Teore

ma

Sea f una función diferenciable en algún intervalo abierto que contenga a c entonces:

i) Si f´ (c) >0 la grafica de f es cóncava hacia arriba en [c, f, (c )]

ii) Si f´´ ( c)<0 la grafica de f es cóncava hacia abajo en [c , f,(c)]

iii) La gráfica tiene un punto de inflexión si f´´ (c). Existe y f´´ (c) = 0

Ejemplo 1

[c, f(c )]

x

y

x

y

c

i

)

[c, f(c )]



103

Si f (x) =x³ -6x² + 9x +1

Se obtiene la primera y segunda derivada

f´(x) =3x² -12x + 9

f´´(x)= 6x-12

f´´(x) Existe para todos los valores de x el único punto de inflexión para el que

f´´(x) = 0 es cuando x =2

Se debe determinar cuando la función es cóncava hacia abajo y cuando es cóncava

hacia arriba tomando en cuenta que si f´´ (x) >0 es cóncava hacia arriba y si f´´ (x)<0

es cóncava hacia abajo.

Se establecen intervalos:

- < x < 2, f´´ (x) siempre es negativo, entonces es cóncava hacia abajo.

2<x < , f´´ (x) siempre es positivo, entonces es cóncava hacia arriba.

Si x= 2 f´´ (x) = 0 entonces la grafica tiene un punto de inflexión.

(cambia la concavidad)

Tabulación

Ejemplo 2

Si g(x) = x³ +3x²-3x-3

x 0 1 2 3 4

y 1 5 3 1 5

P (2,3) Punto de

inflexión

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

2

3

(2,3)

y

y´

x´ x



104

Encontrar su concavidad y los puntos de inflexión:

Solución:

Se obtiene la primera y segunda derivada, se busca el número para el cual g´´ (x) = 0

g´(x) = 3x² + 6x –3

g´´ (x) =6x + 6

Para que g´´ (x)= 0 x=-1

Para que g´´(x) = 0 x= -1

En x = -1 tenemos el punto de inflexión

Se establecen intervalos:

- < x < -1, f´´ (x) <0 siempre es negativo, entonces es cóncava hacia abajo.

-1<x < , f´´ (x) >0 siempre es positivo, entonces es cóncava hacia arriba.

x = -1 f´´ (x) = 0 entonces la grafica tiene un punto de inflexión.

(cambia la concavidad)

Tabulación

g(x) =x³+3x² - 3x -3

Ejercicios para resolver.

Determine si la gráfica de la función es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo y

x -3 -2 -1 0 1 2

y 6 7 2 -3 -3 11

P (-1,2) Punto de inflexión

x´

5 4 3 2 1 -1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

-2

-3

(2,3)

y

y´

x



105

de, su punto de inflexión, trace su gráfica.

1.- f(t) = t³ - 9t² + 6t –3

2.- g(x) = ___x___

x²-1

3.- f(x)= 16x⁴ +32x³+24x²-5x-20

4.-f(x)= (2x-x²)²

5.- f(x)= _x - 5__

x + 2

6.-f(x) =x² - 4

7.-f(x) = 3x³- 1

8.-f(x) = _2x_

x² + 2

9.- f(x) = 4x² - 1

10.-f(x)= x² + 4

x – 1

11.-f(x) = 4x – 1

12.-f(x) = x + 2

x – 6

13.-f(x) = ___x___

x³ - 3

14.-f(x) = (3x² -2)²

15.-f(x) = 5x + 3

16.-f(x) = __3x__

x² - 2

17.-f(x) = 5x³ + 3x²- x + 1



106

5.3. Máximos y mínimos criterio de la primera y segunda derivada.

Si se da una función f(x) y un arco AB de la cuerva representativa de esa función, si

para un valor determinado de a de la variable independiente x, el intervalo

comprendido entre los puntos de A y B, la ordenada correspondiente al punto de la

abscisa OC=a es mayor que cualquier otro punto de la abscisa x; o sea , si

f (a) > f (x)

Se dice que f(a) es el valor máximo de la función o punto máximo; sí

f (a) < f (x)

Se dice que f(a) es el valor mínimo de la función o punto mínimo

f(a) > f(x) f(a) < f(x)

Criterio de la primera derivada

Dada una función, para saber si tiene máximo o mínimo, se tienen los siguientes

pasos:

i) Se obtiene f´(x) a partir de la función dada;

ii) Obténgase la raíz o raíces reales de la ecuación dada;

iii) Analícese como varia, f´(x) en la proximidad de la raíz o raíces. Si a es la

raíz de f´(x) y f´(x) pasa de + a -, f(x) es mínimo y f(a) es ese valor máximo.

iv) Si f´(x) pasa de menos a mas en una vecindad de a, f(a) es mínimo

v) f(x) no tiene ni máximo ni mínimo en el punto f(a), si f´(x) no cambia de

y

A B

C

x

D

D

C

B

A

y



107

signo.

Criterio de la segunda derivada.

I) obtengase f´(x) y f´´ (x)

II) Calculese la raiz o raices de f´ (x) = 0

III) Sustituyase x por el valor de la raiz o de las raices en f´´ (x)

IV) Si a es una raiz y f´´ (a) < 0, hay maximo, si f´´ (a)> 0 hay minimo


1. Examínese si tiene máximo o mínimo las siguientes funciones:

a) y =x² - 4x + 1

Derivando tenemos: y´= 2x – 4

Resolviendo para y´= 0, tenemos:

2x – 4 = 0

x= 4/2

si x < 2 si x > 2

Punto crítico (1,-2)

Observaciones:

Si x < 2, y´ es negativa

Si x > 2, y´ es positiva

f´(x) pasa de – a +; por lo tanto, tiene un mínimo; sustituyendo el valor de x = +2

tenemos:

f(2) = (2)² - 4(2) + 1

f(2) = -3

El mínimo esta en el punto P (2, -3)

f(x) = 1/3x³ - 3/2 x² - 10x derivando tenemos:

f´ (x)= x² - 3x –10

x 3 4 5

y 2 4 6 x -1 0 1 2

y -6 -4 -2 0

x = 2



108

Resolviendo para f´ (x) = 0 tenemos:

x²- 3x –10= 0

(x +2) (x +5) =0

x1= -2 x2= 5

Si se dan valores para x < -2 y para x > -2, f´(x) pasa de positiva a negativa, luego

f(-2) es máxima ; sustituyendo en f(x) x =-2 tenemos:

f(-2) = 1/3 (-2)³ - 3/2 (-2)² - 10(-2)

f(-2) = 34/3

En el punto P(-2, 34/3) tenemos un máximo.

Si x< 5, f´(x)> 0; f´(x) pasa de negativa a positiva; luego f (5) es mínimo sustituyendo

x=5 en la función original, tenemos:

f (5) = 1/3 (5)³ - 3/2 (5)² - 10(5)

f (5) = -(275/6)

En el punto P2 (5, -275/6) tenemos un mínimo.

b) y = x4 -6x² +10

Derivando obtenemos:

y´ = 4x³ -12x

Resolviendo para y´ = 0 tenemos:

4x³ - 12x = 0 x1 = 0

x(4x² -12 x) = 0

4x² = 12 x² = 3



109

x= ± 3 x2 = -3 x3 = 3

Si x< -3, y´ es negativa si -3 <x < 0, y´ es positiva en x = -3 hay un mínimo,

sustituyendo en y tenemos:

y = (-3)⁴ - 6(-3)² + 10

= 1

P1 (-3, 1) tenemos un mínimo

Si 0< x< 3 y´ es negativa, en x = 0 hay un máximo entonces si sustituimos en y

tenemos:

y = (0)⁴ - 6(0)² + 10

= 10

En el punto P2 (0,10) tenemos un máximo finalmente si x >3, y´ es positiva en x >3,

existe un mínimo sustituyendo en y tenemos:

y = ( 3) ⁴ - 6 (3)² + 10

y = 1

P3 (3, 1) tenemos un mínimo

En esta función contamos con 2 mínimos y un máximo.

NOTA: Pueden existir más de un máximo y más de un mínimo dependiendo de la

función dada, así como también puede no existir máximo ni mínimo.

5.4 Aplicaciones de Máximos y Mínimos

1. De todos los rectángulos de perímetro constante. ¿Cuál es el área máxima?

y

x

x = base

y = altura

P =2x + 2y

1



110

x = p/4

x = y

p = perímetro

Se debe relacionar el perímetro con el área y ponerlos en relación una sola variable,

para obtener su derivada:

Si A = área del rectángulo

Despejando y de 1 tenemos:

A = x (p-2x)

2

Sustituyendo en 2 tenemos:

A = _p x-2x² (consideramos a p como constante)

2

Derivamos A

A´ = P – 4x Si A´ = 0 2

= P – 4x =0

2

4x = p

Sustituimos en y = p – 2x

2

y = _P – 2 (P/4) = P – P/2 _ = P/2 =P

2 2 2 4

Como x = y el rectángulo considerado es un cuadrado.

2 A = xy



111

2. ¿Para que el valor de x resulte mínima la distancia del punto p (x,0) a los puntos

A (8,8) y B (3, 2)

Por geometría analítica se obtiene que la distancia de punto a punto es:

P1 P2 = (X1 – X2)² + (Y1 – Y2)²

La distancia del punto P (x, 0) a cada uno de los puntos es

S = AP + PB

S = (X – 8)² + (8)² + (X- 3)² + (2)²

Derivando obtenemos:

Dx U = DxU

2 U

S´= ____2(x-8) + ____2(x – 3)__

2 (x – 8)² + 64 2(x – 3 )² + (2)²

S´= ___x-8 __ + ____x – 3__

(x – 8)² + 64 (x – 3 )² + 4

Sí S´ =0

S´= ___x-8 __ + ____x – 3__ = 0

(x – 8)² + 64 (x – 3 )² + 4



112

S´= (_x-8) ((x- 3)²+4) +(x – 3) ((x-8)²+64) = 0 despejando tenemos

((x – 8)² + 64 ) ((x – 3 )² + 4

S´= (x-8) ((x- 3)²+4) =(x – 3) ((x-8)²+64)

S´= (x²-1+6x +64) (x² - 6x +9+4) = (x² - 6x + 9 ) (x²-16x +64 + 64)

S´= (x⁴- 22x³ + 173 x²- 592x + 832 = x⁴- 22x³+ 233x² - 912 x+ 1152

Igualando a cero y reduciendo términos semejantes tenemos

(-60x² + 320x – 320 =0) (-1/20)

Por fórmula cuadrática general tenemos:

x1 = 16 + (16)² - 4 (3)(16) = 4

6

x1 = (16)² - 4 (3)(16) = 4/3

6

Sustituyendo en S tenemos:

S1 = (4-8)² + 64 + (4 + 3)² + 4

= 8.94 + 2.60

S2 = (4/3 –8)² + 64 + (4/3 –3)² + 4 = 10.41 + 2.60

Distancia mínima s1= 11.17 para que la distancia sea mínima x= 4

y el punto P (4, 0), graficando tenemos:

3x² - 16x + 16 =0

S1 = 11.17

S2 =13.01



113

3. Se quiere apuntalar la pared de un edificio por medio de una viga apoyada sobre

una pared paralela de 10 metros de altura, situada a una distancia de 8 metros de la

primera. Hallar la longitud L de la viga corta que se puede emplear al efecto.

L = longitud de la viga

x = distancia del pie de la viga al de la pared paralela.

y = distancia del suelo al extremo superior de la viga.

8

7

6

5

4

3

2

1 -8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 -1 2 3 4 5 6 7 8

-2

-3

-4

-5

A (8,8)

P (4,0)

y

y´

x´

x

B (3,2)

10

L

x+8

y

8

L



114

Planteo del problema

Por teorema de Pitágoras tenemos:

Se forman según la figura, 2 triángulos rectángulos y por semejanza de triángulos

rectángulos tenemos:

y = x+ 8

10 x

Sustituyendo 2 en 1 para transformar L con respecto a

una sola variable

L = (x + 8)²+ (10 (x + 8) )²

x

(x + 8)²+ 100 (x + 8) ² = x² (x+ 8)²+ 100 (x + 8) ²

x² x²

Factorización tenemos:

= 1 x² (x+ 8)²+ (x² +100)

x

L = x + 8 x ² +100

x

Derivando L tenemos:

L´ = x Dx [ (x+8) x²+100] – [ (x+8) x²+100 Dx X]

x²

1 L = (x+8)² + y²

y= 10 (x + 8)

x

2

3

x



115

L´ = x [2x (x+8) + x²+100] – [ (x+8) x²+100 ]

2 x² + 100 ___________________________

x²

Obteniendo común denominador y realizando operaciones tenemos:

L´ = 2x ³+8x²-x³-8x²-100x-800

x² x² +100

L´ = x ³-800

x² x² +100

Si L´= 0 tenemos:

L´ =__x ³-800 =0

x² x² +100

Despejando tenemos:

x³ - 800 = 0

x =³800


L= 9.28 + 8 (9.28)² + 100

9.28

Longitud de la viga

1. El área total e una caja de base cuadrada es de 12m².¿Que dimensiones debe

tener para que su volumen sea máximo?

i) Se presentara la caja dándole valores con literales a sus dimensiones

x = 9.28 m

L= 25.40 m



116

x = lado de la base cuadrada

y = altura de la caja

ii) Se indica o se forma la ecuación a partir de los datos:

Área total = suma de áreas que forman la caja

AT =2x² + 4xy

2x² +4xy = 12m²

Despejando y tenemos:

y = 12 – 2x²

4x

Fórmula 1

iii) Se pide encontrar volumen, se relaciona el área dada, despejando una de

sus variables y sustituyéndose en la ecuación del volumen según se haya

planteado:

Volumen = v = x² y

Fórmula 2

Sustituimos 1 en 2 , entonces tenemos:

y = 6- x²

2x

v = x² y

y

x



117

V = x² (6 – x²)

2x

V = 1 (6 x– x³)

2

iv) Se deriva el volumen, y se hace la derivación igual a cero se obtienen los

valores de una de las variables.

Dxv = 1 ( 6 – 3x²) Si Dxv = 0

2

1 (6 – 3x²) = 0

2

6 – 3x² = 0

x²=2

x= 2

La dimensión no puede ser negativa

La dimensión en 1 tenemos:

y = 6 – X² = 6 –(2²) = 6 – 2 = 4 = 2 M

2x 22 22 22 2

Racionalizando el denominador tenemos:

y = 22= 22 = 2 M

2 2 2

x = 2 M

y = 2 M



118

v) Conclusión: Todas las aristas son iguales por lo tanto la caja es de forma

cúbica.

2. El área total de la página de un libro es de 96 in². Los márgenes superiores e

inferior son de 1 ½ in y los laterales de 1 in. Que dimensiones debe tener la

página para que el área impresa sea máxima; y ¿cual será esta área máxima?

Se representa por medio de un dibujo la página tomando en cuenta los datos dados.

i) Se transforma al lenguaje algebraico según figura.

AT = 96

AT=xy

xy = 96

Área impresa

Se sustituye 1 en 2

y = 96

x

A = (x-2) (y –3)

1

2

y – 3

x –

x

y

x

1´´

1 1/2´´



119

x = 8

A = (x-2) (96 –3)

x

A = 102-3x -192

x

ii) Se deriva se hace la derivada igual a cero , se encuentra el valor de unas de

las variables.

Derivando tenemos:

A´ = -3 +192 = -3x² + 192 = 0

x² x²

3x² = 192

x² = 64

x = 64

x = -8 no tiene sentido, entonces:


y = 96

x

y = 96

8

x = 8



120

Las dimensiones de la página son:

xy = 96

(8) (12) = 96 in²

El área máxima impresa es:

A = (x-2) (y –3)

A = (6) (9)

3. Hállense las dimensiones de un triángulo isósceles inscrito dentro de una

circunferencia de radio r.

i) Área del triangulo

A = 1 (2x) (y)

2

ii) Por la figura aplicando el teorema de Pitágoras tenemos:

y = 12

A = 54 in²

A = xy 1

y-r r

x

y

x = semi -base

y = Altura



121

r² = x² + (y – r )²

r² = x² + y² – 2ry + r ²

-y² +2ry = x²

Sustituyendo 2 en 1 tenemos:

A = y 2ry – y²

Derivando, igualando a cero y resolviendo tenemos:

AC = y (2r – 2y) + 2ry – y²

2 2ry – y²

A´ = _y (r – y)__ + 2ry – y² = 0

2ry – y²

A´ = ry – y² ´+2ry – y² = 0

2ry – y²

3 ry – 2ry ² = 0

y (3r – 2y) =0

Sustituyendo 2 tenemos:

A = 2ry – y²

x = 2r (3 r) – (3 r)²

2 2

x = 2ry – y² 2

y = 3 r

2

c

?

A

x

y

B



122

x = 3r² – 9r²

4

x = 3r²

4

Semibase

Base = 2 (r /2) 3

Por teorema de Pitágoras tenemos:

AC =(AB)² + (BC)² = (r 3 )² + (3 r)² =3r² + 9r² = 12r² = 2r 3

2 2 4 4 4 2

Conclusión: Los lados del triángulo son iguales por lo tanto es un triángulo

equilátero.

4. El barco A se encuentra 60 millas al norte del barco B, a las 10 a.m. El barco A

navega en dirección este a 20 millas / hora, y el B en dirección norte a 16 millas

/ hora. Encontrar la distancia d(t) entre los 2 barcos, t horas después de las 10

a.m. Encontrar también la razón del cambio de la distancia entre ellos. ¿En que

momento será la distancia mínima?

x = (r/2) 3

Base = r 3

AC = r3

A

B

C

d(t)



123

Después de t horas AC = 20t

BA = 60 –16t por lo tanto:

d(t) = (20t) ²+ (60 – 16t)²

= 656t² -1920t + 3600

= 16 (41t² -120 + 225)

d(t) = 4 41t² -120t + 225

La razón de cambio d(t) es:

d´(t)= __164t + 240__

41t²-120t +225

si d´(t) = 0 Entonces:

d´(t)= __164t + 240__ = 0

41t²-120t +225

164t –240 =0

t = 240

164

t = 60

41



124

Valor critico

Si tabulamos encontramos que:

d´ (t) < 0 para t < 60 y

41

d´ (t) > 0 para t > 60 entonces

41

d (60/41) es un mínimo. En consecuencia los barcos estarán a distancia mínima

relativa a las 10:00 a.m. + 60/41 hr. =10+1.463 hr. o los barcos estarán a distancia

mínima relativa a las 11:28 a.m


Use el criterio de la primera y segunda derivada para deducir si tiene maximo

minimo compruebe con calculadora cientifica overifique con Math Cad

1. Un fabricante de cajas de estaño desea hacer uso de piezas de estaño de

dimensiones de 18 x 15 pulg. Cortando cuadrados iguales de las cuatro

esquinas y doblando los lados. Encontrar la longitud del lado del cuadrado que

será cortado, si se quiere obtener una caja abierta que tenga el mayor volumen

posible de cada pieza de estaño.

x

x

x

x

15

18

x

x

x

x



125

2. hallar las dimensiones del cono recto circular de volumen mínimo que se pueda

circunscribir a una esfera de 8cm. de diámetro.

3. Hallar 2 números positivos cuya suma sea 20 y:

a) su producto sea máximo.

b) La suma de sus cuadrados sea mínima

c) El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo de otro sea

máximo.

4. Hállese las dimensiones de la figura inscrita para que su área resulte máxima.

a) triangulo isósceles en una circunferencia de radio r = 5cms.

A

E

C

Y

D

8

B

r = 8

√y² - 64

A

F

y - r

y

x



126

A = xy

r = x² + (y – r)²

A= área del triangulo

r = radio de la circunferencia según figura

b) Cilindro en unas esfera de radio r

Volumen del cilindro (según figura)

V = 2x² y

r = x² +y²

5. Se intenta bardear un campo rectangular con 600m de material y después

subdividir el campo en 2 partes con una barda paralela a uno de los lados. De

todos los terrenos en los cuales se puede hacer esta operación, ¿Cuáles son

las dimensiones del que tiene área máxima?

x

y r

A = Área

A = x y y

x

x

x y



127

A

B C

D

E

A

y

x

r

6. U rectángulo de perímetro P se hace girar alrededor de uno de sus lados

generando un cilindro e todos los rectángulos que se sujetan a la condición del

perímetro dado.¿Cuál es el que genera un cilindro de volumen máximo?

P = perímetro

P = 2x + 2y

Volumen suponiendo que la rotación se hace alrededor del eje marcado x

V= y² x

7. De todos los cilindros circulares rectos, que se pueden inscribir en un cono

circular recto dado, mostrar que el máximo volumen, tiene una altura que es un

tercio de la del cono.

y

x

Por semejanza de

triángulos

AB = BC

CD = DE

Volumen del cilindro

V =x² y

x



128

8.- Un hombre de pie en una embarcadero tirando de una cuerda se propone

acercar su lancha al mismo. La cuerda esta atada a la embarcación al nivel del

agua, y el hombre la sostiene a 20ft. Por arriba del nivel de esta. Si la longitud de la

cuerda entre las del hombre y la lancha se reduce a razón de 60 ft/min. ¿con que

rapidez se acerca la lancha al embarcadero en el momento en que hay 30ft., de

cuerda en tensión?.

y

x

20´

dy = 60 ft

dt



129

VI Sucesiones y series

6.1. Desarrollo de una funcion en serie.

6.2. Diferencia entre sucesion y serie

6.3. Convergencia y divergencia.

6.4. Sucesion acotada

6.5. Series Aritmeticas.

6.6. series geometricas

6.7. Derivación de series de potencias

6.8. Serie de McLaurin

Se llama sucesion a una lista de numeros dados en cierto orden. En matematicas

las sucesiones obedecen a una regla generadle acuerdo con la cual se forman los

numeros sucesivos de la lista. Por ejemplo, en la sucesion:

1, 3, 7, 15,21,………

Cada número se obtiene doblando el anteriory sumando 1 al resultado

6.2. Diferencia entre sucesion y serie

Mientras que una sucesion es una simple lista, una serie, es la suma de los terminos

de una sucesion.

Una sucesion se definecomo un conjunto de terminos:

a1 , a2,a3,…………, an ……..

junto con una regla para obtener el termino n-esimo an llamado tambien termino

general. Por ejemplo, en la sucesion 2, 4, 6,8,…. El termino general an es igual a 2n.

Una sucesion de n terminos, donde n es un número positivo. Es una sucesion

finita. Una sucesion que prosigue indefinidamente en una sucesion infinita.

6.3 Convergencia y divergencia.

Si el termino n-esimo an de una sucesion infinita a1,a2,a3,………,antiende a un

numero M cuando n tiende a infinito, se dice que M es es el limite de la sucesion

infinita. Por ejemplo en la sucesion de fracciones 1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,……. Los

terminos se hacen cada vez más pequeños a medida que n aumenta o sea, que 1/n

tiende a cero.Por lo tanto, el límite de la sucesion cuando n→ es cero.



130

Más sin embargo el límite de una sucesion no necesariamente es igual a cero. La

sucesion 2,3/2,4/3,5/4,6/5,…., tienen como termino general 1 + (1/n) y su limite es 1,

las sucesiones como esta, que tienen limite se llaman convergentes.

Si los terminos de la sucesion se hacen cada vez mayores como:

3, 6, 9,12,……., no existe límite. Se dice que es una sucesion divergente.

6.4. Sucesion acotada. Es cuando la sucesion carece de límites, pero sus

terminos estan por valores maximos y minimos, se dice que es oscilante finita,

Por ejemplo, - ½, 2/3, -3/4, 4/5,……., donde an = (- 1n ) n/( n + 1).

6.5. Series Aritmeticas. Una sucesion aritmetica es una serie del tipo :

a1, a2, a3, ………, donde la diferencia entre terminos sucesivos es una constante d

llamada razon. Ello significa que ai - ai – 1, para todo i ≥ 2. si a es el primer

termino la sucesion de terminos viene dada por:

a, + a +d, a + 2d, a + 3d +…….

Por ejemplo si a = 3 y d = 2, la serie aritmetica es 3+5+7+9+…….el termino general

viene dado por an = a + ( n – 1)d.

6.6 Series geometricas. Una serie geometrica es aquella en que la razon entre

terminos sucesivos es constante, este numero llamado razonse representa por r.

En una serie geometrica, por lo tanto, a2 / a1 = r, a3 / a2 = r en general ai / a i – 1 = r

para todo i. Si a es el primer termino de la serie geometrica su sucesion viene

dada por: a, ar, ar2, ar3, ……Por ejemplo si a = 4 y r = 3, la srie geometrica es 4, +

12 + 36 + 108 + …….El termino n-esimo de una serie geometrica vienedado por

an = arn – 1

La suma de los n primeros terminos de una serie geometrica se representa por

Sn y viene dada por la expresión:

Sn = a + ar + ar2 + ar3 +....+ ar n – 1



131

6.7. Derivación de series de potencias

Dada una funcion y = f(x) es util, en algunos casos, especialmente para el cálculo de

valores numericos, expresarla en forma de serie de potencias ascendentes de la

variable x, es decir, en forma:

f(x) = A + Bx + Cx² + Dx³ + ………..

Serie que sera valida para valores apropiados de x. estas series pueden ser derivadas

o integradas termino a termino.

Ejemplo.- desarrollar sen x en serie de potencias.

Sen x = A + Bx + Cx² + Dx³ + ………..

En que los coeficientes A, B, C, etc., llamados coeficientes indeterminados, son

constantes por determinar.

Derivando sucesivamente se obtiene:

Cosx = B + 2Cx + 3Dx² + 4Ex³ +……….

-senx = 2ỊC + (3) (2) Dx + (4) (3) Ex² + (5) (4) Fx³ +……..,

-cosx = 3ỊD + (4) (3) (2) Ex + (5) (4) (3) Fx² +….,

senx = 4Ị E + (5) (4) (3) (2) Fx +………,

cosx = 5! F +….

Observamos que la funcion dada y todas sus derivadas Sucesivas, son continuas

para x = 0, igualando a cero y en cada una de las derivadas, se obtendra el valor de

cada uno de los diversos coeficientes coeficientes, resulta:

A = 0, B = 1, C = 0, D = - 1/ 3! , E = 0, F = 1/ 5!



132

Considerando de acuerdo a los principios trigonometricos que sen (0) = 0 y que

cos(0) = 1.

De acuerdo a este principio sustituyendo estos coeficientes podemos obtener en forma

general lo siguiente:

Senx = x - x³ / 3! +…….+ (-1) n + ¹ (x 2n + ¹)/ (2n – 1!)

De tal forma que si x = 1 entonces tenemos:

Sen (1) = 1 – 1/ 3! + 1/5! – 1/ 7! + 1/9! - ……

1 = 1.0000000

1/ 5! = .0083333 1/ 3! = .1666666

1/7! = .0001985 1/ 9! = .0000027 de donde tendriamos:

1 + 1/ 5! + 1/ 9! = 1.00833369 - 1/ 3! – 1/7! = - .1668651 o sea que:

sen1 = 1.0083360 - .168651 = .8414709

o sea, sen 57,2958º = sen 57º 17´44.80´´ = .8415709.

Todo este procedimiento puede ser comprobado por medio de una calculadora

cientifica o desarrollandolo por medio de un software matematico. El angulo

correspondiente se obtiene en la calculadora aplicando el inverso del angulo o arc sen

de .8415709, las sucesiones y series son importantes para comprender el desarrollo,

matematico en este caso de una funcion trigonometrica.

Procediendo de manera semejante se puede obtener la funcion coseno.

Cosx = 1 – x2 / 2! +x4/ 4! – x6/ 6! +……..+ (- 1)

n+1( x2n -1)/ (2n – 2)!

De acuerdo a las identidades trigonometricas se pueden obtener los valores de las



133

otras funciones trigonometricas como por ejemplo la tan x = senx / cosx, o sea:

Tanx = x + x3/ 3 + 2x5/15 +17x7/315 +……….

6.8. Serie de Maclaurin

Consiste en desarrollar f(x) en serie de potencias de x por medio de derivadas

sucesivas.

Si f(x) = A + Bx + Cx2 + Dx3 + E x4 + Fx5 +……….

f(x) ´ = B + 2Cx + 3Dx² + 4Ex³ + 5Fx4……….,

f(x) ´´ = 2ỊC + (3) (2) Dx + (4) (3) Ex² + (5) (4) Fx³ +……..,

f(x) ´´´ = 3ỊD + (4) (3) (2) Ex + (5) (4) (3) Fx² +….,

f(x) iv = 4Ị E + (5) (4) (3) (2) Fx +………,

f(x) v = 5! F +………..,

Igualando x = 0 en las derivadas sucesivas, luego sustituyanse los valores hallados

para los coeficientes indeterminados, se obtiene:

f(x) = f(0) + f´(0)x /1! + f´´(0)x2/2! + f´´´(0)x3 +……..+ f n(0) x

n / n!

Esta es la Serie de Maclaurin

Aplicaciones

Desarrollese en serie ln (1+x) y obtengase una formula para elcalculo de los

logaritmos naturales.

Derivando sucesivamente f(x) = ln (1+x) se obtiene:



134

f(x) ´ = 1 / ( 1+x)

f(x) ´´ = -1 /( 1+x)2

f(x) ´´´ = (1) (2) / ( 1+x)3

f(x) iv = - (1) (2) (3) / ( 1+x)4

f(x) v =(1) (2) (3) (4) / ( 1+x)5

f(0) = 0, f(0) ´ = 1. f(0) ´´ = -1, f(0) ´´´ = 2!, f(0) iv = -3!, f(0) v = 4!, etc.,

Valores que sustituidos enla Serie de Maclaurin dan:

Ln (1+x) = x – x2 /2 + x3 / 3 – x4 / 4 + x5 / 5 - x6 / 6 +………

Si x = 1 entonces tenemos:

Ln (2) = 1 – ½ + 1/3 -1/4 + 1/5 – 1/6 + 1/7 - …………

Como converge lentamente, conviene transformarla en otra, realizando un cambio

de signo para x y restando las dos funciones, de tal forma que tendriamos:

Ln ( 1+x) – ln (1 – x ) = ln( 1+x) ÷ ln (1 – x )

= 2( x + x3 / 3 + x5 / 5 + x7 / 7 + x9 / 9 + ........)

Hagase (1+x) ÷ (1 – x) = (1 + m) / m, despejando se obtiene x = 1 / (2m + 1), entonces

tendriamos:

Ln (1 + m) / m = ln (1 + m) – ln (m), (de acuerdo a leyes de logaritmos)

= 2[1 / (2m + 1) + 1 / 3 (2m + 1)3 + 1 / 5(2m + 1)5 +……..], de donde

si m = 1 entonces tenemos:

ln 2 = 2[ 1/3 + 1/ (9)3 + 1/ (15)5 + 1/ (21)7 + …….]



135

El denominador de cada uno de los sumandos que figuran en el parentesis es de

la forma de:

32m – 1(2m – 1)

6.9. Series de Taylor. Es posible demostrar por medio del calcul, que muchas

funciones pueden expresarse en forma de series. El Teorema de Taylor, establece

que, en ciertas condiciones, una funcion f(x) puede expresarse como suma de

derivadas:

f(x) = f(a) + f ´ (a) ( x – a) / 1! + f´´ (a) ( x – a)2 / 2! + .......+ f( n – 1)

(a) ( x – a) ( n – 1) / ( n –

1) + Rn , donde el termino Rn es el resto que puede escribirse como:

Rn = fn (ε) (x – a ) / n! Donde a< ε<x

En el caso de a = 0 la Serie de Taylor se llama Serie deMcLaurin

f(x) = f(0) + f´(0)x /1! + f´´(0)x2/2! + f´´´(0)x3 /3! +……..+ f n(0) x

n / n!

6.10. Aplicaciones

Problema 1

Desarrollar f(x) = 2x3 - 4x2 + 5x - 3

En series de potencias de x – 1

f(x) = 2x3 - 4x2 + 5x – 3 f(1) = 0

f´(x) = 6x2 -8x + 5 f´(1) = 3

f´´(x) = 12x – 8 f´´(1) = 4

f(x) ´´´ = 12 f(1) ´´´ = 12



136

Sustituyendo en la formula de la serie de taylor tenemos:

f(x) = f(a) + f´(a)(x – a) /1! + f´´(a)(x – a)2/2! + f´´´(a) (x – a)3 / 3! + f iv(a) (x – a)

4 /

4! +……..+ f n(a) (x – a)

n / n!

f(x) = 3(x – 1) + 2(x – 1)2 + 2(x – 1)3

Problema 2

Calcular sen 31º. El valor del sen x y del cos x para x = 30º, son conocidos, sen30º =

.500, cos 30º = .8660.

Haciendo a = 30º = π / 6, x – a = 1 º = π / 180 = .01745, sustituyendo en la formula de

la serie de Taylor tenemos:

sen31º = sen 31 π / 180

=sen π / 6 + π / 180 cos π / 6 – 1/2! (π / 180)2 sen π / 6 – 1/3! (π / 180)3 cos π / 6

= .5000000 + .0151117 - .0000761 - .0000008

= .51511117 - 0000769

= .5150348.

El resultado puede ser comprobado por medio de una calculadora cientifica, pero es

importante que por medio de la serie de Taylor nos demos cuenta de donde surge el

resultado obtenido por la calculadora, e inclusive el software matematico no realiza la

comprobacion ni desarrolla este tipo de serie.

Algunas identidades trigonometricas tienen su base en la serie de Taylor, como por

ejemplo cos (x + y) = cosx cosy – senx seny, dicha funcion es de la forma de f(x + a)

se sustituye x por x + a en la serie de Taylor, quedando de la siguiente forma:



137

f(x + a) = f(a) + f´(a)(x ) /1! + f´´(a)(x )2/2! + f´´´(a) (x )3 / 3! + f iv(a) (x )

4 / 4!

+……..+ f n(a) (x )

n / n!

f(x)= cos x

f´(x ) = - sen x

f(x) ´´ = -cos x

f(x) ´´´ = sen x

f(x) iv = cos x

f(x) v = - sen x. etc…….

Sustituyendo en f (x + a) tenemos:

cos (x + y) = cos x – senx y/1! – cos x y2 / 2! + sen x y3/ 3! + cos x y4 / 4! – senx y5 / 5!

+ …………

Factorizando tenemos:

Cos (x + y) = cos x ( 1 - y2 / 2! + y4 / 4! + y6 / 6! +…) – senx ( y – y3 / 3! + y5 / 5! - ….)

El primer parentesis es el valor del cos y y el segundo lo es del sen y por lotanto

tenemos que:

cos (x + y) = cosx cosy – senx seny.



138

Problemas para resolver.

Desarrollar en serie, según la formula de Taylor y comprobar por medio de

calculadora cientifica los que sean posibles, o use software de matematicas.

1.- f(x) = sen 46º

2.- f(x) = cos 31º

3.- f(x) = 2x3 – 5x 2 + 8x – 1 en funcionde de x – 2

4.- f(x + y) = sen (x + y)

5.- f(x) = 5x2 – 8x + 6 en funcion de x + 3

6.- f(x) = sen de 61º

7.- f(x) = 4x3 - 3x2 + 2x – 1



139

Bibliografía

1. Guía de estudios para calculo

Autor: Joseph Consoló

Autor: Joseph P. Mokansky

Editorial Continental

2. Calculo Diferencial e integral con geometría analitica

Autor: Louis Leithol

Editorial Harla

3. Calculo diferencial e integral

Autor: Agustín Anfossi

Editorial Progreso

4. Calculo diferencial e integral con geometría analítica

Autor: Earl W. Swokowski

Editorial Iberoamerica

5. Calculo diferencial integral

Autor: Frank Ayres

Serie Shaum

6. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes.

Autor: I. Bronshtein K. Semendiaev

Ediciones Quinto Sol.

7. Math Cad

Versión 2005

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