CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRALConcepto de diferencial : La forma en que hemos abordado el concepto de derivada, aunque existen varios conceptos, fue el encontrar la relacin de la pendiente de la lnea recta y=f (x) que era tangente a la funcin. Para un punto en particular podemos llegar a la definicin de la derivada f '(x) y vimos que f '(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1. Analizando el sistema funcin y lnea recta tangente a dicha funcin entonces podemos analizar que existen dos puntos importantes a analizar, los de la funcin y los de la recta tangente: (1) Para referirnos alcambio que ocurre en el valor de fdesignaremos la notacindx.(2) Para referirnos alcambio que ocurre en el valor de y para la recta tangenteutilizaremos la notacin dy. Sea y = f(x) la funcin dada y su diferencial (derivada) f(x) , que se identifica como el valor de la derivada en P; si el incremento de la variable independientex = dx =PB, con base en la definicin de diferencial resulta: y= f(x), dy = f

(x) dx. Recordando que el valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la tangente a la curva en dicho punto, tenemos:dy = f

(x) dx; = tg = PBY=f(x)Tg.y dx=pPBCDe acuerdo a la grafica tenemos que: BC dy ) ( dy PBPBBCPBBCtg que representa el incremento de la ordenada de la tg. Correspondiente a dx; si dx representa un incremento cualquiera de la variable independiente x para un punto P (x, y) de la curvay= f(x), tiene por derivada tg x fdxdy ) (.Si el incremento dx = PB es muy pequeo, dy = BC = y = BPEs decir que dy y y son aproximadamente iguales.Ms precisa se encuentra la siguiente definicin: Definicin de diferencial (informal) Sea y=f(x) una funcin derivable en un intervalo abierto que contiene al nmero x.Se define a la diferencial de x como dx, cualquier nmero real diferente de cero.Se definea la diferencial de y como dy, dado pordy=f '(x) dx. C a l c u l a r u n v a l o r a p r o x i m a d o p a r a 27 2 . 5 275.2 0.2 5 27 5 25 x y Si0.2102 25 22dy2dy ; x y si 2 xdx25 x x y + xdxseaRealmente la27 =5.196152, el valor determinado es mayor que el real por 0.003848 unidades. C a l c u l a r u n v a l o r a p r o x i m a d o d e t g 4 70.S e a y = t g x ; x = 4 50d x = x = 20 = 0.034906 radianes.S i Y = t g x e n t o n c e s d y = s e c2x d x d e d o n d e d y = ( s e c 4 50)2( 0 . 0 3 4 9 0 6 )D y = 0 . 0 6 9 8 1 2 .S i y = t g 4 50= 1 . T e n e m o s :T g 4 70= y + d y = 1 + 0 . 0 6 9 8 1 2 = 1 . 0 6 9 8 1 2 r a d i a n e s .R e a l m e n t e t g 4 70= 1 . 0 7 2 2 3 6 8 r a d i a n e s , e l v a l o r d e t e r m i n a d o e s m e n o r q u e e l r e a l e n0 . 0 0 2 5 5 6 r a d i a n e s . D e t e r m i n a r e l v o l u m e n a p r o x i m a d o d e u n a c o n c h a e s f r i c a c u y o r a d i o i n t e r i o re s d e 1 0 c m y c u y o g r o s o r e s d e 0 . 1 5 6 2 6 c m .( ) ( ) 62.5 dv0.15625 10 4 dv dr; r 4 dv34V Siv dvesferica concha la de grosorcm 0.15625 rdr esferica. concha la de interiorradio 10 34V2 2 33 rcm rr SeaE l v o l u m e n a p r o x i m a d o d e l a c o n c h a e s f r i c a e s d e 6 2 . 5 c m2. E l r a d i o d e u n g l o b o e s f r i c o m i d e 3 0 c m y e l e r r o r m x i m o e n l a m e d i c i n e s d e0 . 1 5 c m e s t i m a r c a l c u l a r e l e r r o r m x i m o q u e s e c o m e t e a l c a l c u l a r e l v o l u m e n .S i X e s e l v a l o r m e d i o d e l r a d i o y x dx = al error mximo en X:x x exacto radio x - x + ( )( ) ( ) ( )2 22 21696 540 15 . 0 30 4 dV0.15 dv v y30xpara r 4 v DxV dv v si y34Vcmdx r Sit t t E l e r r o r m x i m o p o s i b l e e n e l v o l u m e n d e b i d o a l e r r o r d e m e d i c i n d e l r a d i o e s21696 cm t . La medida efectuada a un lado de un cubo es de 30 cm con un error posible decm 02 . 0 t Cul es el error mximo posible aproximado en el volumen del cubo

( )00066 . 015001300.02relativo o medio errorEl54 02 . 0 30 3 dV 3 x V3 2 2 3t t t t cm dx x V Si D e t e r m i n a r e l i n c r e m e n t o d e l r e a d e u n c u a d r a d o d e 6 p u l g a d a s p o r l a d o , a la u m e n t a r e l l a d o321de pulgada.375 . 083dA ;3212(6) dA dx 2xdA ; x A SiA dA lg321x dx ypulgadas 6 x; x A22 ,_

ada pu SeaEl incremento del rea de cuadrado es de 0.375 pulgadas cuadradas. Seay = x3y x un incremento de xDeterminar:a)y b) dyc)y - dyd) El valor de y - dy para X = 1 y x = 0.02( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( ) ( )( ) 001 . 0 02 . 0 )(0.02) 1 3( dy- y). 3 x 3x 3 3 dy - yc)x. 3x dx 3x dy)3 3 3 3 ) ( x x y)3 23 2 2 3 2 22 23 2 2 3 2 2 3 3 + + + + + + + + + + dx x x x x x x xbx x x x x x x x x x x x f aSe concluye que si dy se usa para estimar y cuando x cambia de 1 a 1.02 el error que se comete es de 0.001El error medio o relativo = x / x= 0.02/1= 0.02.Use diferenciales para estima el cambio de f(x) cuando x varia de a a b.f(x) y w7 2 3 z f(z)c)3.96 b 4; a para7 8 -3x f(x))1.03 b 1; a para5 3 6 4x f(x))2 332 4 5 + + + z z x bx x a Encuentre dw y estime elde w cuando z vara de 4 a 3.95 - EJERCICIOS: Aplicando diferenciales, hallar aproximadamente los valores para las siguientes expresiones.36.4 ln- 10.631. 546 tg - 9. 84. 459 sec - 8. 501 - 3.61 sen- 7.37. 28117 - 6. 65. 130 40043EJERCICIOS:Calcular la diferencial de las siguientes funciones para el valor dado de la variable independiente y su incremento0.0083 dx y5x cuando lnx y - 7.0.045 dx y3x cuando 2x senarc y- 6.0.03528 dx y 5 4x cuando x tg y- 5.0.001 dx y 75 . 0x cuando 1 y- 4.0.1 dx y 2x cuando ,1y - 3.0.02 dx y4 x cuando,x1x y - 2.0.02139 - dx y0 3x cuandox cos y - 8.0.0083 dx y5x cuando lnx y - 7.0.045 dx y 3x cuando2x senarc y- 6.radianes 0.03528 dx y 5 4x cuando x tg y- 5.0.001 dx y75 . 0x cuando1 y- 4.0.1 dx y2x cuando ,1y - 3.0.02 dx y4 x cuando ,x1x y - 2.0.1 dx y1x cuando5, 8x - 3x y. 12023020232 + + + x xxx xx( )( )( )( ) ( )1 25dx- dy ;1 25 55dxdy

x - 12x- dy ;125x csc arc y1 ln x sec 2ax dy ) 2 ( secdxdy xdx- dy ;22ax tgx y 3x cos 6 dy ; 3x cos 6dxdy3 dy ; 33x seny 2 22 222 2 2 22 2 22 2 2 22 2 22 2 2 22 3 + + x x xxxdxdyx ydx atgxa tgx x x axx a x axdxdyx a ydx x x dx bx a bx adxdybx ax yEJERCICIOS: Halle las diferenciales:( )mx22 223 22 3 45 y2xsenarc y10 x csc xy1 144y4 32x 2cos y 2 42x senlny223x) - ln(4 y 2 5 22 + + + xxe yyx x yx tgx x yx yxxyx x x x yCLCULO INTEGRAL APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA INTRODUCCIN.Uno de los primeros logros del clculo, fue predecir la posicin futura de un objeto, a partir de una ubicacin conocida y la funcin que representa su velocidad. Adems hemos podido, en muchas ocasiones encontrado una funcin a partir de valores conocidos y una frmula para su razn de cambio. En nuestros das, calcular la rapidez que necesita un cohete en cierto punto para poder salir del campo gravitacional de la Tierra o predecir el tiempo de vida til de un objeto a partir de su nivel de actividad y su razn de decrecimiento, son procesos rutinarios, gracias al clculo, mediante el uso de las derivadas. De aqu, podemos concluir que el problema de esta es, que si conocemos el recorrido de un punto mvil, podemos calcular su velocidad y adicionalmente si tenemos una curva podemos hallar la pendiente de la recta tangente en cada uno de sus puntos.Esto, es lo que hemos estudiado en la parte del clculo infinitesimal que denominan como Clculo Diferencial. Ahora nos centraremos en otra parte de este, que denominan Clculo Integral.Encontrar una funcin f a partir de su derivada, involucra el hecho de encontrar toda una familia de funciones cuya derivada puede ser f; estas funciones reciben el nombre de antiderivadas, puesto que para encontrarlas es necesario llevar el proceso contrario al de la derivacin y este proceso se llama integracin. En forma anloga podemos concluir que el problema de esta es, que si tenemos la velocidad de un punto mvil, podemos hallar su trayectoria o si tenemos la pendiente de una curva, en cada uno se sus puntos, podemos calcular dicha curva. Esto es a groso modo la una pequea definicin de integracin, pero esta es indefinida, es decir, que mediante este proceso, podemos encontrar toda la familia de funciones cuya derivada es nuestra funcin dada; ahora, veremos de que se trata la integracin definida y sus aplicaciones, que es el motivo real de este trabajo.LA INTEGRAL DEFINIDAComo se ver ms adelante, para definir el rea de una regin en el plano cartesiano, acotada por una curva, el eje x y las rectas x = ayx = b, se requiere hallar la suma de muchos trminos; para simplificar estas sumas se utiliza el concepto de sumatoria. Sumatoria:Propiedades de la sumatoria:( ) ( )67 3 104) - K(5k 2 265 15 102) 1 (461) 1)(2n n(n54 5 4 5 4k) - (5k4) - K(5k).2 3 n1 k22 31 121 12n1 k2n1 kn n nn nn n n n nk k k kanknknknk + + +1]1

+1]1

+ + + [ ]151502) 1 100 ( 100 32) 1 (3 j 33).1001 j1001+1]1

+n nj bj1 2 2 22 2).n 0 n11 nii ic La integral definidaParticin de un intervalo cerrado:Suma de Riemann: La integral definida:Teorema:Por lo anterior:Si en cualquier figura delimitada por rectas y por una curva; se inscriben y circunscriben rectngulos en nmero arbitrario, y si la anchura de tales rectngulos se va disminuyendo a la par que se aumenta su nmero hasta el infinito, afirmo que las razones entre las figuras inscrita y circunscrita y la figura curvilnea acabarn siendo razones de igualdadIsaac Newton.El rea, es un concepto familiar para todos nosotros, por el estudio de figuras geomtricas sencillas como el tringulo, el cuadrado, el crculo y el rectngulo. La idea o el concepto que manejamos de rea, es la magnitud que mide de algn modo el tamao de una regin acotada, es decir, cuanto mide una superficie. Ciertamente, para hallar el rea de las figuras geomtricas sencillas que ya conocemos, disponemos de formulas matemticas que facilitan este clculo.Ahora, nuestro problema consiste en encontrar un mtodo, que nos permita calcular el rea de cualquier regin, sin importar la forma que esta tenga. Para lograr esto, es necesario primero introducir el smbolo o la notacin de Sumatoria. Para representar esto, se una la letra griega mayscula _ sigma, para abreviar la sumatoria, y se usa de este modo: y sus partes son:a: Representa los trminos de la sumatoriaak: Representa el termino ksimo de la sumatoriaan: Representa el termino nsimo y ltimo de la sumatoriak: Es el ndice de la sumatoria1: Es el lmite inferior de la sumatorian: Es el lmite superior de la sumatoriaGrfica 1.Como habamos mencionado anteriormente, nuestra preocupacin ahora, es encontrar el rea de cualquier superficie sin importar su forma. Supongamos que queremos hallar el rea de la regin comprendida entre el eje x, la recta x=a, la recta x=b y la grfica de la funcin f(x) (Grfica 1).Grfica 2. Ahora, supongamos que tomamos la regin y la dividimos en una serie de rectngulos de base _x (Grfica 2.). Si logrramos calcular el rea de cada uno de esos rectngulos, y las sumramos todas, obtendramos una aproximacin del rea total de la regin que deseamos.Pero como ya vimos que esa sumatoria se puede reducir a una sola expresin, podramos hacerlo de modo que, tomemos un valor xi, dentro del intervalo [a,b], tal que exista _xi y un f(xi), de tal manera que se cumpla que: de esta manera se puede calcular el rea de ese rectngulo as:Puesto que el rea de un rectngulo, como todos sabemos, es base por altura. Debido a que este rectngulo puede ser cualquier rectngulo dentro de la regin, puesto que xi puede ser cualquier valor, ya podemos sumar sus reas para lograr la aproximacin: Donde esta sumatoria nos representa el rea aproximada de la regin que deseamos. Como ya habamos visto que _xi, representa cada una de las particiones de nuestra regin, ahora definamos a P como la particin msgrande de todas, es decir la base de rectngulo ms grande de dotas las de la regin y n el nmero de particiones. As, si hacemos que P se haga tan pequeo como pueda o que el nmero de particiones n, se haga lo ms grande que pueda, hallamos una mejor aproximacin del rea que buscamos (Grfica 3).Grfica 3.De aqu podemos deducir que si hallamos el Lmite cuando el nmero de rectngulos sea muy grande o cuando las longitudes de las bases de esos rectngulos sean muy pequeas, lograremos la mejor y ms exacta aproximacin del rea que tanto hemos buscado. Y esto se representa as: que es equivalente a, con esto ya encontramos la mejor aproximacin del rea. Ahora si, podemos definir la integral definida ya que,Por lo tanto podemos deducir que la integral definida es una suma y as la hemos definido. Y de esta manera, tambin hemos mostrado la primera aplicacin de la integracin definida, hallar el rea bajo una curva.Ya que definimos la integral definida, identifiquemos cual es su notacin y las partes que la componen.Toda la expresin se lee, integradle f(x), desde a hasta b; a y b, son los lmites de integracin, donde a es el lmite inferior y b es el lmite superior. El smbolo", es una s mayscula alargada, que significa suma y se llama smbolo de integracin. La funcin f(x), es el integrando y el dx, se llama diferencial y es el que lleva la variable de integracin que en este caso es x.PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

FUNCIN PRIMITIVAEn el clculo diferencial se determin la derivada f (x) o la diferencial f (x) dx de una funcin dada f (x); en el calculo integral se realiza la operacin inversa, es decir, se encuentra una funcin f (x) cuya derivada o diferencial es conocida.+ + cx Sea22 x dx2xdx 2xdyo 2dxdy 9 x f(x)De la expresin + c2 x dx2x , no sabemos cul es el valor de C (constante de integracin); es un valor indefinido, por lo cual se denomina a este operacin INTEGRAL INDEFINIDA.En caso inverso y para efectos de verificar el calculo:+ C a Sea3 2y dy3ay ALGUNAS FORMULAS PARA INTEGRALES INMEDIATAS( )lnC) (C ln ln ln lnvdv . 51u . 4C w - u v dw du dw - du dv . 3a adv . 2 . 11n + + ++ + + + + + + +Cv C v C vCnududvC av dvC v dvn( )( )( ) ( )( )( )ct tC ttc t CtCtdt tdt t dt tC my Cym dy y m dy my+ ++ +1]1

+11]1

+ ++ ++++ 33 2393 23922 3331 33133dvdt ; 3dt dv 3t; v 3 3 . 2351 25 5 5 . 132 31211211212131 22 2 ( )c x xxdx dx x dx x dx dxxxc x cxCxdx xxdx+ + + + +

,_

+ + + + ++ + 5 14565x

5 7 3 x 573 x . 4331132. 3255212342343311323232 ( )( ) ( )( )( ) ( )c x xxdxdx dx dxxdxxxcabcbadx ax dv b xdx b dx bcxx aaxdx x dx x a dx x adx x ax ax dx x ax a dx acxxc xxdx x dx x dx x x dx x x+ + +

,_

+ ++ +11]1

+ + + ,_

+ + +

,_

+ ,_

ln 3 43x3 4 x34 x3 4 x . 83ax23ax212 axv Siax ax x . 752322 2 2 x x x - 6.1522523 3 3 . 532 232322322212 22522323212321 223232521232123

TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CLCULOPrimer teorema fundamental del clculo:Segundo teorema fundamental del clculo:CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS 22.- ( ) ( )5326 . 0 34) 1 ( 3 082cos 322 3 2 sen x 3 2x2202 202020 1]1

xxdx x sen dx x dx23.-( ) ( )79 . 2 4142 . 1 85505 . 1 3561 . 2 04cos 24343cos 2 3 3cos 2 3 3 2 6 3 sen x 2 6 3240240240404040 + 11]1

,_

+ + + + + + + + x x xx x x dx x sen xdx dx dx x24.-353232132 ) 1 (32) 1 (32322 223223223223211232211 121+ + + + + 1]1

+ 1]1

+ + +

,_

+ x x x xx x t t dt t dt t dt t txx x x

INTEGRALES IMPROPIAS: Las denominadas integrales impropias son una clase especial de integrales definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de integracin o la funcin en el integrando o ambos presentan ciertas particularidades.si los lmites existen.Cuando los lmites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que la integral es convergente, en caso contrario, se dice que la integral es divergente. 3 6.CONVERGE 1 1 0 11lim1 1lim1lim lim1lim111 1212122 + 1]1

+1]1

,_

1]1

1]1

t t txdx x dxxdxxdxxyt tt tt ttt 1t7.

] [ [ ][ [ ] + +

,_

+ + + + 222 2 2 20 lim lim 0 0 lim 0 limlim lim1lim1lim11 1 1 1 1 101 10202 2b tg a tg tg b tg a tg tgx tg x tgxdxxdxxdxb a b abb abbaaa8.-

[ ] [ ]divergee b xxdxxdxebbbbb ln log ln 1 ln ln lim ln lim lim011 1 19.-

[ ] [ ]convergee e e dx e dx e dx ebbbxbbxbx1 1 0 1 lim lim lim000 0 + + + 110.- dxx+0211[ ] [ ]converge 20 0 0 lim lim11lim111 1 11 1010202 ++ tg tg tgtg b tg x tg dxxdxxbbbbb vale2cuando ytg tg 0 ysensiy cosy sen ytg como1 - 1 y y tg y tg11.-( )( )e ee eebperoebe ebexcexc e xe e dx ee vdx e xbbb bbxxx x x xxx1 1001 1lim lim : tiene se derivando lim1lim lim dx-e x) - (1-e x) - (1e dv -dx dux; - 1 u 1bbb b1 1bx -x -x -1 1]1

1]1

+ + + 11.1.-diverge8101812181lim21lim20220203 + + 1]1

+ 1]1

+ + b x xdxbbb12.- converge 2120 - 12e - 12e 2lim lim- 2 0020202 1]1

1]1

+ + + MMxMMxMxe edx e dx e0 M13.-1 0 111 lim1lim lim1 1212

,_

1]1

+ + ++ M x xdxxdxMMMMM1 M14.-[ ] ( ) ( ) + + + ++ 2 ln 2 ln ln lim ln lim lim12 2M xxdxxdxMMMMM 2M15.-( ) ( ) + + + ++ 3 ) ( 2 9 2 lim lim9 9MxdxxdxMMM16.-( )( ) ( ) ( )( )01 1lim ) (derivando1lim, 0 ) 1 ( lim el). 1 ( lim 1 1 ( 1 lim 1 - x e lim1 - x e e - xe v es e e dv si dx; dux; usilim0xx x x x x0 00 NNNNnNnNnNNNxNxNxxe eNN e peroN e N edx dx xedx xe dx xedx xeNa17: fig = al 16( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 021cos ( e 121lim) cos ( e21) 0 cos 0 ( e21lim cos e21limcos e21cos e cos e e e cos ee e e dv y -sen x duxcos u : como cos e ee v es e e dv si dx; xcos dusen x; usi sen xedx sen xe lim x NN 00xx x x x x xx x x x xx x x x0Nx0 + + nNN N NNxe porque N N senN N sen sen x senxx senx x x senx dx senx x senxdx v dx x senxdx dxdx sen e18.-se denomina oscilante[ ]unidad. la es cos el porque 3 cos cos limcos lim dx sen xlim dx sen x 33 3 NxNNNNN19.-( ) ( )converge 432 4N tg arc - 1 tg arc lim x tg arc lim1lim111212

,_

++ NNNNNxdxxdx20.-( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) + +

,_

+ + + + + + + + + + + + + + + +++ ++ ++ + ++ ++ + + + + + + 222 2 4 2 2 44lim ) 1 ( lim ) 1 ( lim4lim1 lim ) 1 ( lim ) 1 ( lim 1 lim) 1 0 ( ) 1 ( lim ) 1 ( ) 1 0 ( lim) 1 ( lim ) 1 ( lim1 1lim1 1lim1 1 1 1 2 2 21 11 1 1 1010102022 2 2b b a ab b a ab abbaabbaab atg b a tgtg b tg a tg tgx tg x tgxdxxdxx dxx xdxx xdxSEGUNDA UNIDADINTEGRALES INDEFINIDAS y MTODOS DE INTEGRACIN.INTEGRACIN DIRECTADe cada regla de derivacin se puede deducir una regla correspondiente de integracin. La integracin directa es aplicable cuando identificamos la funcin primitiva de forma inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivacin que al aplicarla nos permite hallar el integrando a partir de la funcin primitiva.Ejemplo: Propiedades fundamentales de la antidiferenciacin Esta propiedad indica que podemos sacar un factor constante de la integral. INTEGRACION DIRECTA1. 2.3.4.5.- 6.7. 11.-Podemos transformar el integrando como sigue:El primero de los sumandos nos da:El segundo de los sumandos nos da:Por lo que, finalmente:12.-Sabemos que sec x = 1/cos x; por lo tanto, podemos poner:13.-( ) + + + + c x x dx x 3273dx dx 7x 3 7214.- ( )( )c x5cos sen x 2 x cos - 5 - sen x 2 dx 5 dx cos 25 cos 2+ + + cx sen x dx x sen x15.- c2x5- 3x - x89

25329)25329(25 6 942 3 2 322 5+ + + + dx x dx dx x dx x x dxxx xINTEGRACIN POR SUSTITUCINEn muchas ocasiones, cuando la integracin directa no es tan obvia, es posible resolver la integral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado; este procedimiento se conoce como integracin por sustitucin.Soluciones1. 2.3.4.5.6.7. 8. 9. 10. 11. 12.13.14.15.16.17. 18.19.21.- 23.- 24. COMPLETAR CUADRADO:c e tgearctg cauarctga u a duedx edx e e u e ae dxeedxe edxxxxxx x xxxxx x+ 1]1

1]1

+ ++ +++ 2 122 2 422 2 4 2 24222 2211 1121 1211) 2 () 2 ( du , ; u : 1 ; 1 a 11c x x x x x u udx du x u x u axdxx x x x xx xdx+ + +

,_

+ + +

,_

,_

,_

+ + + + 2 525ln4172525ln a ln;25;25; ;417;417a 417254172524254255 2 52 5222 222 2222 22cxsen cauar csenxd xxx xd x+ + 5441411 6 2 5

4 d x du 4 xu ; ) 4 ( u ; 5 a ; 5 a) 4 ( (5 )d x1 6 2 5122 2 22 2 2cxcauax xdxx xdx+ + 5sec51sec1

5 a : dx du x; u ) 5 ( ) ( 51 12 2 2( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) c x sen x xxcxsen x xxcausenau audx x x xdx du xx x x x x x x+ + ++ +

,_

+ + + 3 2812 343 2 21232212 3223 2 2223212 3;23u4123492493 2 3 - 2 31 2122122 222222 2 2INTEGRACIN POR PARTES La frmula para la "integracin por partes" vdu uv udvILATE 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. POTENCIAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMTRICASEn este apartado aprenderemos a integrar funciones que presentan potencias trigonomtricas, es decir, funciones con alguna de las siguientes formas:Para tal efecto es conveniente tener frescas en la memoria las siguientes identidades trigonomtricas:Identidades trigonomtricas Por lo regular, se concluye con las transformaciones trigonomtricas adecuadas, el integrando queda expedito para aplicar la integracin por sustitucin. En otros casos debemos recurrir a la integracin por partes.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 16.-( ) ( )( ) ( ) cxcu uu du u u dusen x+ + + + + 5sen3 x 2sensen x5 322 1 u - 1 dx xcos du sen x; u Sidx xcos x 1 dx xcos cos dx xcos5 3 5 34 222222 5117.-( )c xxc uuen oss x en sen+ + cos3cos3

dx xs du x; c u Sidx en xs dx x 3 32 3SUSTITUCIN TRIGONOMTRICAA menudo es posible hallar la antiderivada de una funcin cuando el integrando presenta expresiones de la forma:Se elimina el radical haciendo la sustitucin trigonomtrica pertinente; el resultado es un integrando que contiene funciones trigonomtricas cuya integracin nos es familiar. En la siguiente tabla se muestra cul debe ser la sustitucin:Expresin en el integrandoSustitucin trigonomtrica Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene: (Fig.1)Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene: 8.-( )( )c u uuduc tgtg c v dv vvdvd tgtg dtgtgdtgtg dtg u tguuuperoududx e du dxeedxeexxxxx+ + + ++ + + + + + + ++ +++ + + ++ ++ 22122222 2222x2 21 ln1sec ln d secsec ln lnsec sec dv sec v Si;secsec secsecsec secsecsecsecsec du1u sec 1;cos1111cos1; e usi 1 1 12 dxeexx+=x xe e + +21 ln+ c9.-

( )[ ] [ ] [ ]( ) [ ] ( ) [ ]( ). cos cos1 1 1dz. z cos dx z; sen1 - xz ec ;z g ;z ; :1 1 1 1 - x1 1 2 x 2 x x - 2x1 1 222 22 2 22 2 22 2 22 22 2 22222z zz sen xsbau a u btbau u b asenbau u b a Peroxx xdxxxdxx xx + + 121 u +u( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )c x xx xsen arcarc z c zsz Perox x b x x bx b x x b x c acz sen zck k z sen zdz z Perodz dzxxxdxxxdxx xxzz+ + + + + + + ++ + + + + + + + + +22 2 2 22 2 23 2 1 222 2 2coscos 1 z sen 222 222222 222 1 - x1 - x231 - x sen 23cos 242z en 23:2 ; 1 1 21 1 2 ; 1 , 1 1 x z senSicos 24223

kz cos 24222 cos 121dz z sen :z z 2cos dz z sendz dz z sen2 dz z sen 1 z sen2 z sen 1 z sen 1 11 z sen1 z senx z; sen1 - x1 1 22

sen z= x-1; arc sen (x-1) =zsen 2z=2sen z cos z; Si sen z = x-1 entonces cos z = b/2= x x 2 /1

( )c x xx x x sen+ 222 -2 z 2cos ;22 142z1 x-122 x x FUNCIONES RACIONALES, FRACCIONES PARCIALES, CUANDO EL DENOMINADOR SLO TIENE FACTORES LINEALES 1.1.-

( )( )( ) ( )( ) ( ) 1 ln 2 2 ln 31223273 A -2 b 6; 3B7 212 2 1 71 2 1 272722 + ++ + + + + + + + ++ + + x xx x x x xB AB AB A Bx Ax x B x A xxBx Adxx xxdxx x x1.2.-

( )( )( ) ( ) ( ) ++++ ++ + + + + + + + + + + + + + +++++ +++ ++ 1 2 ;13143164 54 5316315 ; ;31- b -1 3B 4 44 45 -(-1) 54 4 4 1 4 51 4 1 44 54 54 52 2 2 422 2 2 2 2 22 2 2 222 42a a x u Six x x xxA B A B AB A B AB A x B A B Bx A Ax x B x A xx Bx Ax xxdxx xxc arc arc arc arc + x tg312x tg381x tg11312x tg213161.3.-( )( ) ( ) ( )( )( ) 0 B - C (1) 0 A - B C21C B 0 121C 1 de1; A 0 x Para1 1 1 A 1

1 1 1323 2 3 2 2 2 2 22 2 2 + + + + + + + + +++ xxCx Cx Bx Bx Ax A x Cx x Bx xxCxBxAx xdx ( )( ) ( )cxxxc x xxdxxdxxdxx xCxBxAx xdx+++ + + + + +++ +++ 11ln3

1 ln211 ln21 3-1211211 1 1 1332 2 2 21.4.- FUNCIONES RACIONALES, POR FRACCIONES PARCIALES, CUANDO EL DENOMINADOR CONTIENE FACTORES CUADRTICOS 5.-- Integrales en las que aparecen expresiones cuadrticasDe la descomposicin de fracciones parciales a veces resultan integrandos con expresiones cuadrticas ireductibles. De la integracin de este tipo de funciones nos ocuparemos en los siguientes ejercicios resueltos. Integrales que producen funciones trigonomtricas inversasComo ya se ha dicho antes, de cada frmula de derivacin se deduce una frmula correspondiente de integracin. De las frmulas para las derivadas de las funciones trigonomtricas inversas, obtenemos el siguiente teorema que da algunas frmulas de integrales indefinidas: 6.-Esta integral puede resolverse haciendo el cambio : con lo que nos queda :7.-Esta integral puede resolverse haciendo el cambio :y a partir de ah :3.4.5.6.7.8. MISCELNEA DE EJERCICIOS9.1 Tarea : EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRALES ;

=Igualamos los coeficientes de los dos miembros.La primera integral es de tipo logartmico y la segunda la tenemos que descomponer en dos, que sern de tipo logartmico y tipo arcotangente.Multiplicamos por 2 en la segunda integral para ir preparndola.El 2 del numerador de segunda integral lo transformamos en 1 + 1.Descomponemos la segunda integral en otras dos.Las dos primeras integrales son de tipo logartmico.La integral que nos queda es de tipo arcotangente.Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la frmula de la integral del arcotangente.Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.Multiplicamos numerador y denominador por 4/3, para obtener uno en el denominador.Dentro del binomio al cuadrado multiplicaremos por la raz cuadrada de 4/3.Sumamos y restamos 3 en el numerador, descomponemos en dos fracciones y en la primera sacamos factor comn 3.Multiplicamos y dividimos en la primera fraccin por 2.Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la frmula de la integral del arcotangente.Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.Realizamos un cambio de variable.

INTEGRA NDO POR PARTES . Se realiza la integral racional.

Aplicamos las propiedades de los logaritmos.

;

Para calcular A, B y C, sustituimos x por 3:Derivamos y volvemos a sustituir por 3:

Volvemos a derivar: Tambin podemos hallar los coeficientes realizando las operaciones e igualando coeficientes:

TERCERA UNIDADREA BAJO UNA CURVA:Los antiguos griegos dieron una regla para calcular la medida del rea de un rectngulo (producto de la base por la altura), de aqu se deduce que el rea de un tringulo rectngulo es igual a "un medio del producto de los catetos". La trigonometra facilita una frmula para hallar la medida de cualquier clase de tringulo: "el rea de un tringulo cualquiera es igual a un medio del producto de dos de sus lados por el seno del ngulo que forman dichos lados". Debido a que un polgono se puede descomponer en tringulos, la obtencin de su rea se consigue mediante la suma de las reas de los tringulos en que se ha dividido. Este procedimiento de medir reas slo es aplicable a figuras planas limitadas por segmentos de rectas. Para medir el rea de una figura limitada por curvas se debe recurrir a otro mtodo, que es el que vamos a estudiar a continuacin.(fig.1)(fig.2)(fig.3)Definicin:Ejercicios resueltos8 a 11 evale el rea de la regin dada; emplee rectngulos inscritos o circunscritos segn se indique. Para cada ejercicio trace una figura que muestre la regin y el i-simo rectngulo. 8.Solucin: f(x) = x2 9.Solucin: f(x) = 2x10.Solucin: f(x) = 4-x2REA ENTRE CURVASComo ya hemos definido la integral definida como una suma y adems hemos visto como se halla el rea de una regin comprendida entre una curva y un eje, ahora veremos como se hace este mismo clculo para hallar el rea de una regin que este comprendida entre dos curvas, es decir, entre las grficas de dos funciones.El concepto para calcular el rea entre dos curvas, es el mismo que ya habamos estudiado. La regin a trabajar, se divide en rectngulos, y se determinan los mismos parmetros para calcular el rea de este, es decir su base y su altura. La diferencia en esta aplicacin es que la altura del rectngulo se define de unamanera algo distinta, debido a que hay dos funciones involucradas.Grfica 4.Como podemos ver en la Grfica 4, el intervalo de la regin esta definido por los puntos de corte de las dos funciones, esto es en el caso de las los tengan dichos puntos, por otro lado, si las funciones no se cortan, para hallar el rea entre ellas, es necesario definir un intervalo mediante tapas, que son rectas constantes en funcin de y, de igual manera que definimos el intervalo en la aplicacin anterior.Ahora que ya sabemos todo el proceso para hallar el rea, slo resta, mostrar como es que cambia el asunto de la altura del rectngulo. Y eso lo podemos representar as: Donde f(x)g(x), representa la altura del rectngulo diferencial. Con esto ya hemos mostrado y definido otra aplicacin de la integral definida.En los ejercicios 1 a 7, encuentre el rea de la regin limitada por las curvas dadas. En cada problema haga lo siguiente: (a) trace una figura que muestre la regin, as como un elemento rectangular de rea; (b) exprese el rea de la regin como el lmite de una suma de Riemann; (c) determine el lmite de la parte (b) evaluando una integral definida por el segundo teorema fundamental del clculo F(x) = -x2 321) ( x x f 8.- Grafique y seale la regin acotada de -2 a 1 endonde a = 6.75( )75 . 63261223) ( ) (32610384 ) 2 (1223253141) 1 (253 45 ) (122 3 4 122 3 + + + + a f b Fffx x xdx x x x x f Sea:

[ ]2558 . 8 12 7441 . 3 ) 3 ( 4 ) 3 (5345343543433 2, -43353235323532 -3232323232

,_

x xxxdx dxxdxx xy Y = x3-3 x2 x +3[ ]( )( )4210 6211416 2 8 4 32 33413 3 3 32 1, - 3 32123 4212121212 3212 32 3+

,_

+ + 1]1

+ + + + xxx xdx xdx dx x dx x dx x x xx x x y (TAREA) Y = x4;y=2x-x2:( )( ) 1 X 0 2 x y0,x2 xx 0; 2x x ; x - 2x ones Intersecci )33 2 4 4 2 + + + xx x x aTarea: Encuentre en cada caso el rea de la regin comprendida entre las curvas: a) y = x2 -1 , y - 2x +1 = 0. b) y = 5 x2 , y = x - 1 b) x = y2 , x - 3y - 4 = 0. x = y2 , 4y2 = x + 2. c) y2 = 5-x , y2 = x + 6 x = y2 , x + 2y - 3 = 0 d) x = y2-9 , x - y - 3 = 0. C L C U L O D E V O L M E N E SA l i n t r o d u c i r l a i n t e g r a c i n , v i m o s q u e e l r e a e s s o l a m e n t e u n a d e l a s m u c h a s a p l i c a c i o n e sd e l a i n t e g r a l d e f i n i d a . O t r a a p l i c a c i n i m p o r t a n t e l a t e n e m o s e n s u u s o p a r a c a l c u l a r e lv o l u m e n d e u n s l i d o t r i d i m e n s i o n a l .S i u n a r e g i n d e u n p l a n o s e g i r a a l r e d e d o r d e u n e j e E d e e s e m i s m o p l a n o , s e o b t i e n e u n ar e g i n t r i d i m e n s i o n a l l l a m a d a s l i d o d e r e v o l u c i n g e n e r a d o p o r l a r e g i n p l a n a a l r e d e d o rd e l o q u e s e c o n o c e c o m o e j e d e r e v o l u c i n . E s t e t i p o d e s l i d o s s u e l e a p a r e c e rf r e c u e n t e m e n t e e n i n g e n i e r a y e n p r o c e s o s d e p r o d u c c i n . S o n e j e m p l o s d e s l i d o s d er e v o l u c i n : e j e s , e m b u d o s , p i l a r e s , b o t e l l a s y m b o l o s .E x i s t e n d i s t i n t a s f r m u l a s p a r a e l v o l u m e n d e r e v o l u c i n , s e g n s e t o m e u n e j e d e g i r op a r a l e l o a l e j e O X o a l e j e O Y . I n c l u s o a v e c e s , e s p o s i b l e h a l l a r e l v o l u m e n d e c u e r p o s q u en o s o n d e r e v o l u c i n .1 . V o l m e n e s d e r e v o l u c i n : E l M t o d o d e l o s d i s c o sS i g i r a m o s u n a r e g i n d e l p l a n o a l r e d e d o r d e u n e j e o b t e n e m o s u n s l i d o d e r e v o l u c i n . E lm s s i m p l e d e e l l o s e s e l c i l i n d r o c i r c u l a r r e c t o o d i s c o, q u e s e f o r m a a l g i r a r u n r e c t n g u l oa l r e d e d o r d e u n e j e a d y a c e n t e a u n o d e l o s l a d o s d e l r e c t n g u l o . E l v o l u m e n d e e s t e d i s c o d er a d i o Ry d e a n c h u r a e s :V o l u m e n d e l d i s c o =P a r a v e r c m o u s a r e l v o l u m e n d e l d i s c o p a r a c a l c u l a r e l v o l u m e n d e u n s l i d o d e r e v o l u c i ng e n e r a l , c o n s i d e r e m o s u n a f u n c i n c o n t i n u a f( x ) d e f i n i d a e n e l i n t e r v a l o [ a , b ] , c u y a g r f i c ad e t e r m i n a c o n l a s r e c t a s x = a , x = b , y= 0 , e l r e c i n t o R . S i g i r a m o s e s t e r e c i n t o a l r e d e d o rd e l e j e O X , o b t e n e m o s u n s l i d o d e r e v o l u c i n .S e t r a t a d e h a l l a r e l v o l u m e n d e e s t e c u e r p o e n g e n d r a d o p o r R . P a r a e l l o h a y q u e s e g u i r u np r o c e s o s i m i l a r a l r e a l i z a d o e n l a d e f i n i c i n d e i n t e g r a l d e f i n i d a .E l e g i m o s u n a p a r t i c i n r e g u l a r d e [ a , b ] :E s t a s d i v i s i o n e s d e t e r m i n a n e n e l s l i d o n d i s c o s c u y a s u m a s e a p r o x i m a a l v o l u m e n d e lm i s m o . T e n i e n d o e n c u e n t a q u e e l v o l u m e n d e u n d i s c o e s , l a s u m a d e R i e m a n n a s o c i a d a al a p a r t i c i n , y q u e d a u n v o l u m e n a p r o x i m a d o d e l s l i d o e s : s i e n d o : , l a a l t u r a ( a n c h u r a ) d e l o s c i l i n d r o s p a r c i a l e s e l r a d i o d e l o s c i l i n d r o s p a r c i a l e sS i e l n m e r o d e c i l i n d r o s p a r c i a l e s a u m e n t a , s u s u m a s e a p r o x i m a c a d a v e z m s a l v o l u m e nd e l s l i d o ; e s d e c i r :P o r t a n t o , r e c o r d a n d o l a d e f i n i c i n d e i n t e g r a l d e f i n i d a d e R i e m a n n s e o b t i e n e q u e :A d e m s , s i s e t o m a e l e j e d e r e v o l u c i n v e r t i c a l m e n t e , s e o b t i e n e u n a f r m u l a s i m i l a r :2 . V o l m e n e s d e r e v o l u c i n : E l M t o d o d e l a s a r a n d e l a sE l m t o d o d e l o s d i s c o s p u e d e e x t e n d e r s e f c i l m e n t e p a r a i n c l u i r s l i d o s d e r e v o l u c i n c o nu n a g u j e r o , r e e m p l a z a n d o e l d i s c o r e p r e s e n t a t i v o p o r u n a a r a n d e l a r e p r e s e n t a t i v a . L aa r a n d e l a s e o b t i e n e g i r a n d o u n r e c t n g u l o a l r e d e d o r d e u n e j e . S i Ryrs o n l o s r a d i o se x t e r n o s e i n t e r n o s d e l a a r a n d e l a , y e s l a a n c h u r a d e l a a r a n d e l a , e n t o n c e s e l v o l u m e nv i e n e d a d o p o r :V o l u m e n d e l a a r a n d e l a =E n t o n c e s , g e n e r a l i z a n d o d e f o r m a a n l o g a c o m o s e h i z o e n e l m t o d o d e l o s d i s c o s , s it e n e m o s d o s f u n c i o n e s c o n t i n u a s f ( x )yg ( x )d e f i n i d a s e n u n i n t e r v a l o c e r r a d o [ a , b ] c o n 0 "g ( x )"f ( x ) , y l a s r e c t a s x = a ,yx = b, e l v o l u m e n e n g e n d r a d o s e c a l c u l a r e s t a n d o l o s s l i d o sd e r e v o l u c i n e n g e n d r a d o s p o r l o s r e c i n t o s d e a m b a s f u n c i o n e s , e s d e c i r :S i l a s f u n c i o n e s s e c o r t a n , h a b r q u e c a l c u l a r l o s v o l m e n e s d e l o s s l i d o s e n g e n d r a d o s e nc a d a u n o d e l o s s u b i n t e r v a l o s d o n d e s e p u e d e a p l i c a r e l m t o d o a n t e r i o r .3 . M t o d o d e s e c c i o n e s c o n o c i d a sE n e s t e a p a r t a d o v e r e m o s c m o s e c a l c u l a e l v o l u m e n d e a l g u n o s c u e r p o s g e o m t r i c o sc u a n d o c o n o c e m o s e l r e a d e l a s b a s e s d e l o s c i l i n d r o s p a r c i a l e s e n q u e h e m o s d i v i d i d o e ls l i d o . C o n e l m t o d o d e d i s c o s , p o d e m o s h a l l a r e l v o l u m e n d e u n s l i d o q u e t e n g a u n as e c c i n c i r c u l a r c u y a r e a s e a A = R 2 . P o d e m o s g e n e r a l i z a r e s t e m t o d o a s l i d o s d ec u a l q u i e r f o r m a s i e m p r e y c u a n d o s e p a m o s l a f r m u l a d e l r e a d e u n a s e c c i n a r b i t r a r i a ,c o m o c u a d r a d o s , r e c t n g u l o s , t r i n g u l o s , s e m i c r c u l o s y t r a p e c i o s .C o n s i d e r e m o s u n s l i d o q u e t i e n e l a p r o p i e d a d d e q u e l a s e c c i n t r a n s v e r s a l a u n a r e c t ad a d a t i e n e r e a c o n o c i d a . E s t o e q u i v a l e a d e c i r i n t u i t i v a m e n t e q u e e n c a d a c o r t e q u eh a c e m o s , c o n o c e m o s e l r e a d e l a s e c c i n c o r r e s p o n d i e n t e .E n p a r t i c u l a r , s u p o n g a m o s q u e l a r e c t a e s e l e j e O X y q u e e l r e a d e l a s e c c i n t r a n s v e r s a le s t d a d a p o r l a f u n c i n A( x ) , d e f i n i d a y c o n t i n u a e n [ a , b ] . L a s e c c i n A( x ) e s t p r o d u c i d a p o re l p l a n o a p e r p e n d i c u l a r a O X .S i g u i e n d o u n p r o c e s o s i m i l a r a l r e a l i z a d o e n l a d e f i n i c i n d e l a i n t e g r a l d e R i e m a n n :E l e g i m o s u n a p a r t i c i n r e g u l a r d e [ a , b ] :E s t a s d i v i s i o n e s d e t e r m i n a n e n e l s l i d o n s e c c i o n e s o r o d a j a s c u y a s u m a s e a p r o x i m a a lv o l u m e n d e l m i s m o . T e n i e n d o e n c u e n t a q u e e l v o l u m e n d e u n c i l i n d r o e s R 2 , l a s u m a d eR i e m a n n a s o c i a d a a l a p a r t i c i n , y q u e d a u n v o l u m e n a p r o x i m a d o d e l s l i d o e s : s i e n d o : S i e n d o c iu n p u n t o i n t e r m e d i o d e l i n t e r v a l o [ x i - 1 , x i ] = x i - x i - 1 , l a a l t u r a d e l o s c i l i n d r o s p a r c i a l e s R 2 = A ( c i ) e l r e a d e l a b a s e d e l o s c i l i n d r o s p a r c i a l e sS i e l n m e r o d e c i l i n d r o s p a r c i a l e s a u m e n t a , s u s u m a s e a p r o x i m a c a d a v e z m s a l v o l u m e nd e l s l i d o ; e s d e c i r :P o r t a n t o , r e c o r d a n d o l a d e f i n i c i n d e i n t e g r a l d e f i n i d a d e R i e m a n n s e o b t i e n e q u e :P a r a h a l l a r e l v o l u m e n d e u n s l i d o p o r e l m t o d o d e l a s s e c c i o n e s , s e p r o c e d e c o m o s ei n d i c a a c o n t i n u a c i n :1 . E s b o z a r l a f i g u r a , i n c l u y e n d o u n e j e p e r p e n d i c u l a r a l a s s e c c i o n e s d e r e a c o n o c i d a ( e sd e c i r , u n e j e O X )2 . E s c o g e r u n a s e c c i n p e r p e n d i c u l a r a l e j e O X.3 . E x p r e s a r e l r e a A( x ) d e l a b a s e d e l a s e c c i n e n t r m i n o s d e s u p o s i c i n xs o b r e e l e j eO X .4 . I n t e g r a r e n t r e l o s l m i t e s a p r o p i a d o s .4 . V o l m e n e s d e r e v o l u c i n : M t o d o d e c a p a sE n e s t a s e c c i n e s t u d i a m o s u n m t o d o a l t e r n a t i v o p a r a e l c l c u l o d e u n v o l u m e n d e u n s l i d od e r e v o l u c i n ,u n m t o d o q u e e m p l e a c a p a s c i l n d r i c a s .P a r a i n t r o d u c i r e l m t o d o d e c a p a s , c o n s i d e r a m o s u n r e c t n g u l o r e p r e s e n t a t i v o , d o n d e : = a n c h u r a d e l r e c t n g u l o ( e s p e s o r ) . h= a l t u r a d e l r e c t n g u l o . p= d i s t a n c i a d e l c e n t r o d e l r e c t n g u l o a l e j e d e l g i r o ( r a d i o m e d i o ) .C u a n d o e s t e r e c t n g u l o g i r a e n t o r n o a l e j e d e r e v o l u c i n , e n g e n d r a u n a c a p a c i l n d r i c a ( ot u b o ) d e a n c h u r a . P a r a c a l c u l a r e l v o l u m e n d e e s t a c a p a c o n s i d e r a m o s d o s c i l i n d r o s . E lr a d i o d e l m a y o r c o r r e s p o n d e a l r a d i o e x t e r n o d e l a c a p a , y e l r a d i o d e l m e n o r a l r a d i o i n t e r n od e l a c a p a . P u e s t o q u e pe s e l r a d i o m e d i o d e l a c a p a , s a b e m o s q u e e l r a d i o e x t e r n o e s p+ ( / 2 ) , y e l r a d i o i n t e r n o e s p -( / 2 ) . P o r t a n t o , e l v o l u m e n d el a c a p a , v i e n e d a d o p o r l a d i f e r e n c i a :V o l u m e n d e l a c a p a = v o l u m e n d e l c i l i n d r o - v o l u m e n d e l a g u j e r o == 2 p h = 2 ( r a d i o m e d i o ) ( a l t u r a ) ( e s p e s o r )U s a m o s e s t a f r m u l a p a r a c a l c u l a r e l v o l u m e n d e u n s l i d o d e r e v o l u c i n c o m o s i g u e .S u p o n e m o s q u e l a r e g i n p l a n a g i r a s o b r e u n a r e c t a y e n g e n d r a a s d i c h o s l i d o . S ic o l o c a m o s u n r e c t n g u l o d e a n c h u r a yp a r a l e l a m e n t e a l e j e d e r e v o l u c i n , e n t o n c e s a l h a c e rg i r a r l a r e g i n p l a n a e n t o r n o a l e j e d e r e v o l u c i n , e l r e c t n g u l o g e n e r a u n a c a p a d ev o l u m e n :V = 2 [ p ( y ) h ( y ) ] yS i a p r o x i m a m o s e l v o l u m e n d e l s l i d o p o r nd e t a l e s c a p a s d e a n c h u r a y, a l t u r a h ( y i ) , y r a d i om e d i o p ( y i ) , t e n e m o s :v o l u m e n d e l s l i d o =T o m a n d o e l l m i t e c u a n d o n ! ", t e n e m o s q u e :V o l u m e n d e l s l i d o =P o r t a n t o , p o d e m o s e n u n c i a r e l m t o d o d e c a p a s d e l a s i g u i e n t e f o r m a :P a r a c a l c u l a r e l v o l u m e n d e u n s l i d o d e r e v o l u c i n c o n e l m t o d o d e c a p a s , s e u s a u n a d el a s d o s s i g u i e n t e s o p c i o n e s :E j e h o r i z o n t a l d e r e v o l u c i n :E j e v e r t i c a l d e r e v o l u c i n :P a r a h a l l a r e l v o l u m e n d e u n s l i d o p o r e l m t o d o d e c a p a s , s e p r o c e d e c o m o s e i n d i c a ac o n t i n u a c i n .1 . E s b o z a r l a r e g i n p l a n a q u e v a a s e r g i r a d a , h a l l a n d o l o s p u n t o s d e i n t e r s e c c i n d e l a sc u r v a s q u e l a l i m i t a n .2 . S o b r e e l d i b u j o h a l l a r u n r e c t n g u l o p a r a l e l o a l e j e d e r e v o l u c i n .3 . T e n i e n d o c o m o b a s e e l b o c e t o , e s c r i b i r e l v o l u m e n d e l a c a p a .4 . I n t e g r a r e n t r e l o s l m i t e s a p r o p i a d o s .O b s e r v a c i n : L o s m t o d o d e d i s c o s y d e c a p a s s e d i s t i n g u e n p o r q u e e n e l d e d i s c o s e lr e c t n g u l o r e p r e s e n t a t i v o e s s i e m p r e p e r p e n d i c u l a r a l e j e d e g i r o , m i e n t r a s q u e e n e l d ec a p a s e s p a r a l e l o .C o n f r e c u e n c i a u n o d e l o s d o s m t o d o s e s p r e f e r i b l e a l o t r o .C l c u l o d e l o n g i t u d e s :l o n g i t u d d e r e v o l u c i n =l o n g i t u d d e r e v o l u c i n e n t r e f u n c i o n e s =SLIDOS DE REVOLUCINYa est visto que la integral definida es aplicable, cuando se trata de hallar reas, pero ser aplicable para hallar volmenes formados por rotacin de una funcin?, la respuesta a esta pregunta es si, si es posible calcular estos volmenes, llamados volmenes de revolucin, mediante integracin definida. Ms adelante y en el transcurso de este tema, veremos que el clculo del volumen de un slido, es como una expansin del clculo del rea, a una tercera dimensin.Igual que para hallar el rea, tomemos una figura sencilla, para hallar su volumen, por ejemplo un cilindro.Dado que el cilindro es un prisma, igual que un paraleleppedo, su volumen puede ser calculado como tal, rea de su base por su altura. Mtodo de los discosGrfica 5.Como ya vimos, el volumen de un cilindro, ahora nos queda ms fcil comprender el concepto de volumen por el mtodo de los discos. Como sabemos las dimensiones del disco diferencial (Grfica 5.), son muy parecidas a las de un cilindro, de hecho el disco es prcticamente un cilindro cuya altura es mucho menor al radio de su base. De esto podemos deducir que si queremos hallar el volumen del slido de la grfica, es necesario sumar los volmenes de los discos que quepan dentro del slido y si llevamos esa cantidad, hacia el infinito, igual que con el rea, obtendremos la mejor aproximacin del volumen y para esto ya vimos como funciona la integral definida, es por eso que para este caso el clculo del volumen del slido, es una expansin del clculo del rea de una superficie plana. Calculemos el volumen del disco si, el radio es f(x) y su espesor es _x., de aqu, deducimos que, dado que el volumen esta entre a y b,De esta manera, podemos calcular el volumen de un slido, mediante el mtodo de los discos.MTODO de las arandelasEste mtodo, es sin duda una expansin del anterior, debido a que tambin se basa en discos, pero esta vez con un agujero, es por eso que se les llama arandelas. El hecho que se presente el agujero, se debe a que el volumen de revolucin lo forma la rotacin de dos funciones, a un mismo sentido y a un mismo ritmo, de donde generalmente se forma un slido hueco.Grfica 6.Ahora, si miramos la Grfica 6; nos damos cuenta que el proceso para hallar el volumen es muy similar al del mtodo anterior, pero aqu es necesario hacer una resta de volmenes para la arandela, si el radio mayor es f(x) y el radio menor es g(x), y Va es el volumen de la arandela, de aqu ya podemos hallar fcilmente el volumen del slido, desarrollando la integral definida en el intervalo [a,b].MTODO DE LOS CASQUILLOS CILNDRICOSCuando necesitamos hallar el volumen de un slido de revolucin, a veces los casquillos cilndricos nos pueden dar una solucin ms fcil, que el mtodo de las arandelas. En parte, la razn es que la formula a la que nos llevan no requiere que se eleve al cuadrado. Los mtodos de discos y arandelas usaban como elemento representativo de volumen un disco circular, generado al girar un rectngulo orientado perpendicularmente al eje de rotacin o revolucin. El mtodo de los casquillos usa como elemento representativo de volumen un cilindro que es generado al girar un rectngulo, orientado de forma paralela al eje de revolucin. En primer lugar es necesario que desarrollemos la formula para el volumen del cilindro diferencial.Anteriormente ya habamos calculado el volumen de un cilindro, as que aqu, miraremos una formulageomtrica que nos dice que el volumen de un casquillo barrido por un rectngulo es: V=2_(radio promedio del casquillo)(altura del casquillo)(grosor)en nuestro caso es: Supongamos que hacemos girar la regin sombreada de la Grfica 8, alrededor del eje y para generar un slido. Para hallar una aproximacin del volumen del slido, as:Como podemos ver en la rotacin resultan casquillos cilndricos diferenciales. Si hacemos la sumatoria de volmenes de los casquillos diferenciales, obtendremos el volumen del slido de revolucin.Anteriormente, habamos definido el volumen de uno de los casquillos diferenciales en trminos de la funcin, as que ya podemos afirmar que:Esto es el resultado de hacer la sumatoria de los volmenes de los casquillos diferenciales y es el mtodo de los casquillos para calcular volmenes de revolucin.VOLMENES POR REBANADASCuando analizamos el mtodo de los discos para hallar el volumen de un slido, llegamos a la formula: donde , era el rea de la seccin circular y _x el espesor del disco.Ahora podemos generalizar este mtodo, para calcular el volumen de slidos con forma arbitraria, si conocemos el rea de una de sus secciones. Por ejemplo si A(x), representa el rea de una seccin en x, perpendicular al eje x, entonces el volumen del slido se obtendr integrando A(x) con respecto a x.Por ejemplo, si encontramos un slido cuyas secciones transversales son tringulos, de manera que si calculamos el rea de uno de esos tringulos diferenciales y la integramos con respecto a x, encontramos el volumen total del slido, es decir: y de esta manera podemos encontrar, el volumen de cualquier slido, siempre que conozcamos un elemento diferencial y la formula para hallar su rea.SUPERFICIES DE REVOLUCINYa hemos usado la integral definida para hallar volmenes de revolucin, longitudes de arco y reas de regiones planas. Ahora vamos a aprovechar su utilidad para calcular reas pero esta vez no de regiones planas sino de superficies de revolucin, estas no son ms que la superficie exterior de cualquier slido de revolucin.Para poder calcular el rea de una superficie de este tipo, es necesario primero saber como calcular el rea superficial de un cono circular truncado o tronco de cono.Consideremos la figura de una Grfica, donde:L: es la longitud del segmentor: es la distancia de un extremo al eje de rotacinR: es la distancia del otro extremo al eje de rotacinCon los datos anteriores, podemos afirmar que el rea del tronco de cono es:Supongamos que la funcin f(x), , tiene derivada constante y gira alrededor del eje x. Seauna particin de [a,b] en subintervalos de anchuras _xi. Entonces el segmento rectilneo de longitud: genera un tronco de rea lateral, _Si y la podemos definir como: y por aplicacin del teorema del valor medio y del teorema del valor intermedio, podemos asegurar que se cumple que:por lo tanto concluimos que:Del mismo modo podramos demostrar que, si la grfica de f(x), gira alrededor del eje y, el rea S, viene dada por: y de esta manera, con cualquiera de las dos formulas, dependiendo el eje de rotacin podemos calcular el reade revolucin.UNIDAD IVSeries y sucesionesSucesin es una secuencia ordenada de nmeros u otras cantidades, y serie es la suma de todos los trminos dedicha secuencia.Una sucesin se representa como a1, a2 , an Las a son nmeros o cantidades, distintas entre s o no; a1 es elprimer trmino, a2el segundo, y as sucesivamente. Si el ltimo trmino aparece en la expresin, es unasucesin finita; si no aparece es infinita. Una sucesin es definida o establecida si y slo si existe una regladada que determina el trmino nsimo correspondiente a un n entero positivo; esta regla puede estar dada porla frmula del trmino nsimo. Por ejemplo, todos los nmeros enteros positivos, en su orden natural,forman una secuencia infinita definida por la frmula an=n. La frmula an = n2 define la sucesin 1, 4, 9, 16La regla de empezar con 0 y 1 y calcular cada trmino como la suma de los dos trminos anteriores define lasucesin 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ; que se conoce como sucesin de Fibonacci.Entre los tipos ms importantes de sucesiones se encuentran las sucesiones aritmticas (tambin conocidascomo progresiones aritmticas), en las que la diferencia entre dos trminos sucesivos es constante; y lassucesiones geomtricas (tambin conocidas como progresiones geomtricas), en las que la razn entre dostrminos sucesivos es constante. Un ejemplo de sucesiones se encuentra al intentar calcular los intereses de uncierto capital. Si el dinero se invierte al inters simple del 8%, entonces en n aos la cantidad de dinero inicialP se ha convertido en an = P + n (0,08)P. El mismo producto (0,08)P se aade cada ao, por lo que lascantidades an forman una progresin aritmtica. Si el inters es compuesto, las cantidades ahorradas formanuna progresin geomtrica, gn = P (0,08)n. En ambos casos, est claro que an y gn llegarn a ser mayoresque cualquier nmero entero imaginable.Sin embargo, los trminos de una sucesin no tienen por qu crecer siempre. Por ejemplo, a medida que ncrece, la sucesin an = 1/n se acerca a 0, que es su lmite; y bn = A + B/n tiende hacia A. En este tipo desucesiones, existe un nmero finito L tal que, dada una tolerancia e, los valores de la sucesin difieren de L enuna cantidad menor que e cuando n es lo suficientemente grande. Por ejemplo, en el caso de la sucesin 2 +(1)n/2n, el lmite es L = 2. Incluso si se toma una e tan pequea como 1/10.000, se puede comprobar quepara n mayores que 5.000 la diferencia entre an y L es menor que e. El nmero L se denomina lmite de lasucesin, y aunque algunos de los trminos de la sucesin son mayores y otros menores que L, los trminosfinalmente se agrupan alrededor de L cada vez ms cerca. Cuando una sucesin tiene un lmite L, se dice queconverge hacia L. Para la sucesin an, por ejemplo, esto se escribe como lim an = L,que se lee el lmite de ancuando n tiende hacia infinito es L.El trmino serie designa la siguiente suma, a1 + a2 + + an, o a1 + a2 + + an + , que es la suma de lostrminos de una sucesin. Una serie es finita o infinita dependiendo de si la correspondiente secuencia detrminos es finita o infinita.La sucesin s1 = a1, s2 = a1 + a2, s3 = a1 +a2 + a3, ,sn = a1 + a2 + + an, , se denomina sucesin de sumasparciales de la serie a1 + a2 + + an + La serie es convergente (divergente) si la sucesin de sumas parcialesconverge (diverge). Una serie de trminos constantes es aquella en la que los trminos son nmeros; una seriefuncional es aquella en la que los trminos son funciones de una o ms variables. Un caso especial es la seriede potencias, que es la serie a0 + a1(x c) + a2(x c)2 + + an(x c)n + , en la que la c y la a son constantes.Para la serie de potencias, el problema es encontrar los valores de x para los que la serie es convergente. Si laserie converge para una cierta x, entonces el conjunto de todas las x para las que la serie converge es un puntoo un intervalo. La teora bsica de la convergencia fue estudiada alrededor de 1820 por el matemtico francsAugustin Louis Cauchy.La teora y el uso de las series infinitas son importantes en prcticamente todas las ramas de las matemticas1tanto, puras como aplicadas.Progresin aritmticaSecuencia de nmeros que crecen o decrecen en una cantidad fija llamada razn, de manera que cualquiernmero de la sucesin es la media aritmtica o trmino medio del nmero anterior y el siguiente. Los nmerosnaturales 1, 2, 3, 4 forman una progresin aritmtica de razn 1. Los nmeros 22, 19, 16, 13, 10, 7 estn enprogresin aritmtica de razn 3. Para calcular la suma de los trminos de una progresin aritmtica, semultiplica la suma del primer y el ltimo trmino por la mitad del nmero de trminos. De este modo, la sumade los diez primeros nmeros naturales es (1 + 10) (10 : 2) = 55.Usando el lenguaje algebraico, una progresin aritmtica se escribe como a0, a0 + d, a0 + 2d, a0 + 3d, dondetanto el trmino a0conocido como el trmino cero como la razn d son nmeros arbitrarios. El trminoensimo de esta progresingeneralmente escrito como an est dado por la siguiente frmula: an = a0 + n d. Lasuma de los trminos de a0 a an es: 1 (n + 1) (a0 + an).Progresin geomtricaSucesin de nmeros tales que la proporcin entre cualquier trmino (que no sea el primero) y el trmino quele precede es una cantidad fija llamada razn. Por ejemplo, la secuencia de nmeros 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 esuna progresin geomtrica con razn 2; y 1, 1, 3, 7, 9, >, (1)i, es una progresin geomtrica con razn 1. Laprimera es una progresin geomtrica finita con siete trminos; la segunda es una progresin geomtricainfinita. En general, una progresin geomtrica se puede describir utilizando la siguiente notacin: a es elprimer trmino, la razn es r y, en una progresin finita, n es el nmero de trminos. Una progresingeomtrica finita se escribe formalmente comoy una progresin geomtrica infinita comoEn general, si el trmino ensimo de una progresin geomtrica es an, se deduce de la definicin queSi el smbolo Sn representa la suma de los n primeros trminos de una progresin geomtrica, se puedecomprobar queLos trminos de una progresin geomtrica entre ai, y aj, con i < j, se denominan medias geomtricas. Lamedia geomtrica de dos nmeros positivos x e y es la media proporcional de dichos nmeros . En cualquierprogresin geomtrica, an es la media geomtrica o proporcional de an1 y an+ 1.La suma formal de los trminos de una progresin geomtrica, escrita comose denomina serie geomtrica. Al estudiar esta serie, se comprueba que converge si y slo si el valor absolutode la razn es menor que 1; si esto no ocurre, la serie diverge. Si la serie converge, el lmite S es igual a2El smbolose lee como "lmite de Sn cuando n tiende hacia infinito".Las series y progresiones geomtricas tienen muchas aplicaciones en las ciencias fsicas, biolgicas y sociales,y tambin en clculos bancarios y financieros. Muchos problemas de inters compuesto y anualidades seresuelven utilizando estos conceptos.Cauchy, Augustin Louis (17891857), matemtico francs, considerado uno de los impulsores del anlisisen el siglo XIX. Naci en Pars y estudi en la Escuela Politcnica de esta ciudad. Fue profesorsimultneamente en el Colegio de Francia, en la Escuela Politcnica y en la Universidad de Pars. En 1848 fuenombrado profesor de astronoma matemtica de esa universidad.Cauchy verific la existencia de funciones elpticas recurrentes, dio el primer impulso a la teora general defunciones y sent las bases para el tratamiento moderno de la convergencia de series infinitas. Tambinperfeccion el mtodo de integracin de las ecuaciones diferenciales de primer grado. En el campo de la fsicase interes por la propagacin de la luz y la teora de la elasticidad.Gauss, Carl Friedrich (17771855), matemtico alemn conocido por sus muy diversas contribuciones alcampo de la fsica, especialmente por sus estudios del electromagnetismo.Naci en Braunschweig el 30 de abril de 1777 y estudi lenguas antiguas, pero a los 17 aos comenz ainteresarse por las matemticas e intent dar una solucin al problema clsico de la construccin de unheptgono regular, o figura de siete lados, con una regla y un comps. No solamente consigui probar queesto era imposible, sino que sigui aportando mtodos para construir figuras de 17, 257 y 65.537 lados.Durante estos estudios, prob que la construccin, con regla y comps, de un polgono regular con un nmerode lados impar slo era posible cuando el nmero de lados era un nmero primo de la serie 3, 5, 17, 257 y65.537 o un producto de dos o ms de estos nmeros. A raz de este descubrimiento abandon sus estudios delenguas y se dedic a las matemticas. Estudi en la Universidad de Gotinga desde 1795 hasta 1798; para sutesis doctoral present una prueba de que cada ecuacin algebraica tiene al menos una raz o solucin. Esteteorema, que ha sido un desafo para los matemticos durante siglos, se sigue denominando teoremafundamental de lgebra. Su tratado sobre la teora de nmeros, Disquisitiones arithmeticae (1801), es una obraclsica en el campo de las matemticas.Ms tarde, Gauss dirigi su atencin hacia la astronoma. El asteroide Ceres haba sido descubierto en 1801, ypuesto que los astrnomos pensaban que era un planeta, lo observaron con mucho inters hasta que loperdieron de vista. Desde sus primeras observaciones, Gauss calcul su posicin exacta, de forma que fuefcil su redescubrimiento. Tambin plane un nuevo mtodo para calcular las rbitas de los cuerpos celestes.En 1807 fue nombrado profesor de matemticas y director del observatorio de Gotinga, ocupando los doscargos hasta el 23 de febrero de 1855, fecha de su muerte.Aunque Gauss hizo valiosas contribuciones tanto a la astronoma terica como prctica, trabaj sobre todo enmatemticas y en fsica matemtica, abarcando prcticamente todas sus ramas. En la teora de nmerosdesarroll el importante teorema de los nmeros primos. Gauss fue el primero en desarrollar una geometra noeucldia, pero no public estos importantes descubrimientos ya que deseaba evitar todo tipo de publicidad. Enla teora de la probabilidad, desarroll el importante mtodo de los mnimos cuadrados y las leyesfundamentales de la distribucin de la probabilidad. El diagrama normal de la probabilidad se sigue llamandocurva de Gauss. Realiz estudios geodsicos y aplic las matemticas a la geodesiagt. Junto con el fsicoalemn Wilhelm Eduard Weber, Gauss realiz una intensa investigacin sobre el magnetismo. Entre sus msimportantes trabajos estn los de la aplicacin de las matemticas al magnetismo y a la electricidad; una3unidad de induccin magntica recibe su nombre. Tambin llev a cabo investigaciones en el campo de laptica, especialmente en los sistemas de lentes.4Sucesiones:En el campo de las matemticas una sucesin es definida como una funcin cuyo dominio es el conjunto deenteros positivos. Aunque esta sea una funcin ,usualmente es representada con una notacin de subindices envez de una notacin funcional.Por ejemplo:1, 2, 3, 4, 5, .....n, ...........a1, a2, a3, a4, a5, an, ...........1 se aplica en a1, 2 en a2, etc. Llamamos a an el nsimo trmino de la sucesin y esta s denotada por {an}.Dominio general de una Sucesin:Viene dado por el siguiente mtodo:1) Para la sucesin {an}= {3+(1)n}, los cuatro trminos primeros son:3 + (1)1, 3 + (1)2 , 3 + (1)3, 3 + (1)4, ....... R= 2, 4, 2, 4, ......2) Para la sucesin {bn}= {2n/(1 + n), los cuatro trminos primeros son:2*1 /(1 + 1), 2*2 /(1 + 2), 2.3/(1 + 3), 2*4 /(1 + 4),.....R= 2/2, 2/3, 6/4, 8/5,.....Definicin del Lmite de una Sucesin:Se define de la siguiente manera; Si para > 0 existe M >0 tal que [an L] < siempre que n > M ,entoncesdecimos que el lmite de la sucesin {an} es L y escribimos :Limn an= LLas sucesiones que tienen lmite (finito) se llaman covergentes y las dems divergentes.Lmite de una Sucesin:Sea f funcin de una variable real tal que :Lmxoo f (x) = LSi {an}es una sucesin tal que f (n) = an para todo entero positivo n, entonces :Lmnoo an = LPropiedades de los Lmites de las sucesiones:Si: Lmnoo an= L y Lmnoo bn = KLas siguientes propiedades son vlidas:1) Lmnoo(an+ bn) = L + K 2) Lm noo can = cL, c es cualquier nmero real.13) Lmnoo (an bn) = LK 4) Lmnoo an/bn = L/K, solo si bn es diferente de 0Determinando la Convergencia o Divergencia de una sucesin:Determinar la convergencia en las siguientes sucesiones:1) an = 3 + (1)n 2) bn = n / 12n1) an = 3 + (1)n solucin: como an = 3 + (1)n tiene trminos 2, 4, 2, 4,..... que oscilan entre 2 y 4 , no haylmite y la sucesin diverge.2) Para {bn}, podemos dividir por n numerador el denominador para obtener:Lmnoo n /(1 2n) = Lmnoo [1/(1/oo) 2] = 1/2 ,por lo tanto la sucesin converge a 1/2.Sucesiones Montonas:Una sucesin es montona si sus trminos son no decrecientes:1, 2, 3, 4, 5, 6, ........o si sus trminos son no crecientes:1, 4, 3, 8, 5, ...........Determinando si una sucesin es montona,se toman las siguientes sucesiones como ejemplos: {an}= {3+(1)n} Esta sucesin alterna entre 2, y 4 por lo tanto no es montona. Y {bn}= {2n/(1 + n) Montona , por que cada trmino es mayor que su predecesor. Sucesiones Acotadas:Una sucesin {an} es acotada si existe un nmero real positivo M tal que [an] sea menor o igual queM para todo n.Llamamos a M una cota superior de la sucesin por ejemplo las tres sucesiones siguientes son acotadasdebido a :[3+(1)n] es 1.n=1CRITERIO DE LA INTEGRALSea y(x) una funcin continua, positiva y decreciente en [1, +) y tal que (n)= an entonces:+ +(x)dx y an tienen el mismo carcter.1 n=1CRITERIO DE COMPARACINan ybn de trminos positivos.Si an bn si bn converge se tendr que an converge. Y si an diverge entonces bn diverge.COMPARACIN AL LMITE (para series de trminos positivos)Si lim an/bn = L (finito, positivo) an L*bnnEntonces si an converge bn converge y viceversa.Si lim an/bn = 0 si bn converge an converge.nSi lim an/bn = + si bn diverge an diverge.n SERIES ALTERNAS ((n+1 an (n an )n=1 n=1Criterio Para Series Alternas.Si lim an =0 y { an } es decreciente, entonces la serie es convergente.2nCONVERGENCIA ABSOLUTADada an de trminos de cualquier signo.|an|converge an es convergente y diremos que an converge absolutamente.Si |an|diverge y anconverge, diremos que an converge condicionalmente.CRITERIO DE LA RAZNSi lim |an+1|/|an|= L; L1 la serie diverge.CRITERIO DE LA RAZSi lim (|an|n=L; L1 la serie diverge.ESTIMACIN DEL RESTOCriterio de la Integral.Resto(Rn)=SSn=an+1 + an+2+ an+3+...+ +(x)dx Rn (x)dxn+1 nPara Series Alternas|Rn||an+1|