calculo diferencial en varias variables

en varias variables

Rubén Becerril FonsecaDaniel R. Jardón Arcos

J. Guadalupe Reyes Victoria

Casa abierta al tiempo

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA-IZTAPALAPADivisión de Ciencias Biológicas y de la Salud

DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA-Iztapalapa

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División de Ciencias Biológicas y de la Salud

DirectorDr. Gerardo Saucedo CastañedaSecretario AcadémicoMtro. Arturo Preciado López

División de Ciencias Básicas e Ingeniería

DirectorDr. Tomás Viveros GarcíaSecretarioDr. José Antonio de los Reyes Heredia

ISBN 970-31-0096-1

Primera Edición: 2002Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad IztapalapaAv. San Rafael Atlixco 186, Col. VicentinaMéxico, D.F. 09340

Impreso y hecho en México



CÁLCULODIFERENCIALEN VARIAS VARIABLES

Rubén Becerril FonsecaDaniel Jardón Arcos

J. Guadalupe Reyes Victoria

Departamento de MatemáticasUAM-IZTAPALAPA

2002 © UAM-I



Prefacio

Uno de los principales problemas que tiene un lector estudioso de las cien-cias básicas (física, química, matemáticas) o de la ingeniería, es el .de-en-contrar aislados en la abundante literatura muchos temas de su interés.Por un lado, los textos clásicos orientados hacia, las partes aplicadas de laciencia que tienen relevancia, no son del todo accesibles al joven lector, ypara su lectura imponen una cantidad considerable de prerrequisitos. Porotra parte, la literatura teórica en muchas ocasiones causa tedio en losaspirantes al ejercicio práctico de la ciencia.

La presente obra trata de equilibrar las dos cuestiones: la parte teórica,de una forma simple, y su uso en las partes aplicadas de la ciencia, pensandoen la formación del futuro científico, ingeniero, técnico, etcétera. Para sulectura se presuponen conocimientos elementales de cálculo diferencial deuna variable. Los demás conceptos el lector no matemático puede irlosaprendiendo durante el camino.

En el primer capítulo hacemos un bosquejo de los elementos necesariospara leer el trabajo, como son los sistemas de ecuaciones, las matrices ydeterminantes. De esta manera se hace una reseña de los elementos básicosdel Algebra Lineal.

El capítulo 2 trata de los aspectos básicos de los objetos geométricoselementales en el espacio Euclidiano: las rectas, los planos. Para suconstrucción necesitarnos los conceptos de vector, ángulo y distancia.Aquí se estudia también el problema de vectores y valores propios de unamatriz cuadrada real.

En el capítulo 3 se estudian los elementos básicos de las curvas planasy espaciales, sus propiedades diferenciables: su velocidad y aceleración.

El capítulo 4 muestra el estudio de los campos escalares diferenciablesRrl —» IR , y los elementos para realizarlo: las derivadas parciales, elgradiente, el polinomio de Taylor, etcétera.



En el capítulo 5 se hace una muestra somera de la teoría básica delos campos vectoriales diferenciables del tipo K" —• Rm (n,m < 3) y losconceptos asociados más importantes se enuncian y ejemplifican: la diver-gencia, el rotor y el gradiente.

En los apéndices se incluyen tópicos clásicos de los cursos de cálculo envarias variables como: elementos básicos de superficies en R3, orientacióny longitud de una curva en M3, límites y continuidad de campos es-calares, planos tangentes, valores extremos de un campo escalar y lasfunciones implícitas.

Este libro es producto de varios cursos de Matemáticas IV para los es-tudiantes de Ciencias Biológicas y de la Salud (CBS) en la UniversidadAutónoma Metropolitana Iztapalapa, durante los años 1992 - 1999. Lapresentación es diferente de la de los cursos clásicos debido a que las necesi-dades de las propias licenciaturas (ingenieros bioquímicos, bioteenólogos yen alimentos) así lo requieren.

Deseamos manifestar nuestro agradecimiento al Dr. Gerardo Saucedo,Director de la División de CBS, al M. en C. Arturo Preciado, SecretarioAcadémico de la División de CBS, a la Dra. María José Arroyo, ex-Directora de la División de CBI y al Dr. Ernesto Pérez, Jefe del Departa-mento de Matemáticas por todo el apoyo y entusiasmo que nos brindaron.También queremos resaltar la contribución de los profesores y alumnos queusaron versiones preliminares y cuyos valiosos comentarios nos ayudaron amejorar el texto. La presentación final se logró gracias a la colaboración deDaniel Espinosa (Flash).

Por último, quisiéramos agradecer a nuestras respectivas familias portoda la paciencia infatigable a lo largo de este proyecto.

R.B.F., D.R.J.A., J.G.R.V.IZTAPALAPA 2002



Contenido

Capítulo 1. Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes 71.1 Sisteméis de ecuaciones 71.2 Matrices . , U1.3 Operaciones básicas de matrices 121.4 Determinantes de orden tres 201.5 Inversa de una matriz 311.6 La regla de Cramer , . . 331.7 Sistemas lineales homogéneos 391.8 El método de Gauss-Jordan . . . 15

Capítulo 2. Vectores en R2 y R3 652.1 Sistemáis de coordenadas en R2 y R3 652.2 El producto escalar y la norma en R3 722.3 El producto vectorial , . 822.4 El triple producto escalar y bases de R3 862.5 Vectores y valores propios de una matriz . . - . - . . 962.6 Rectas y Planos en R3 110

Capítulo 3. Curvas en R2 y en R3 1273.1 Curvas suaves 1273.2 La segunda derivada. Aceleración 146

Capítulo 4. Campos escalares en R3 1494.1 Regiones en R2 y R3 . , 1494.2 Campos escalares en R3 . . . 1554.3 Superficies y curvas de nivel 1584.4 Derivadas parciales y el gradiente : . . 1654.5 La regla de la cadena 1704.6 Derivada direccional . 1764.7 El Teorema de Taylor 1794.8 Diferencial total de un campo escalar 195



CONTENIDO

Capítulo 5. Campos vectoriales en R3 2055.1 Funciones del tipo R" -> R7" 2055.2 La matriz jaeobiana . . : . . . . . . . . 2195.3 La regla de la cadena 2235.1 Cambios de coordenadas 2285.5 Campos vectoriales en R2 y R3 2485.6 Divergencia, gradiente y rotor 259

Capítulo 6. Elementos Básicos de Superficies en R3 277G.l Superñcies de revolución 2786.2 Superficies cilindricas 2826.3 Superficies cónicas 2836.1 Elipsoides, Hiperboloides y Paraboloides 287

Capítulo 7. Orientación de curvas y poligonales 3017.1 Orientación 3017.2 Longitud de arco y ángulo entre curvas 3057.3 Ejercicios 310

Capítulo 8. Límites y puntos singulares 3118.1 Puntos de acumulación y límites 3118.2 Puntos singulares 3148.3 Continuidad 317

Capítulo 9. Valores extremos de funciones R2 —» R 3219.1 Plano tangente 3219.2 Puntos regulares y críticos 3249.3 Formas cuadráticas básicas . 3279.4 Puntos críticos no degenerados 3339.5 Multiplicadores de Lagrange 347

Capítulo 10. Funciones implícitas 361



Capítulo 1

Sistemas de ecuaciones,matrices y determinantes

1.1 Sistemas de ecuaciones

Iniciamos con el problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales de2 x 2 con coeficientes reales de la forma

aux + a12y =

donde on , ai2, 021, 022? &i y 2 son constantes reales y x,y son incógnitas.

< Despejamos a la variable x de la primera ecuación y la sustituimosen la segunda.

De la relaciónaux + ai2y = bx

se obtiene queaux = 61 - ai2y

lo que implica que, si an / 0, entonces

—

Al sustituir en la segunda ecuación del sistema se tiene



8 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes

que nos permite resolver para la variable y de la siguiente forma.De la ecuación

d2\{b\ - a\2y)b2 =

au

se obtieneanb2 - a2\bi - a2iüi2y + ana22y

de donde,aub2 - a2ibi = y(aua22 -

De esta manera, sia\\a22 — a2\a\2 ^ 0

entonces podemos despejar a y, quedando

= y

d\\a22 — a2\a\2

Es decir,y =

Al sustituir esta igualdad en la ecuación (*) se obtiene la indeterminada xde la siguiente cadena de igualdades

b\ -_

X —

Q11Q22-Q21012

61(011022-021012) -Q

Q11Q22-Q21Q12

De donde,b\a22 — a\2b2

x = >

Concluimos la discusión con el siguiente lema.

LEMA 1.1 Para el sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

\ a2xx -f a22y = by

con an, a\2, a2\, a22, b\, b2 números reales, se tiene la solución dada porla pareja

b\a22 -x =



1.1 Sistemas de ecuaciones

yaub2 -

sabiendo que a\ia22 ~ «2i«i2 7 0

NOTACIÓN. Para una expresión real ad — be definimos el arreglo

a bc d

mediante la igualdad

EJEMPLO. Paranemos

a bc d

— ad — be

ai2, «12, ,«22> ^í* b2 números reales arbitrarios te-

«11 «12«21 «22

b\ «12b2 a22

b2aub2 -

En esta notación, las soluciones del sistema dado en el Lema 1.1 seescriben

x =

b\ aX2

b2 a22

« i i

«11 «12«21 «22

«11 «12«21 «22

Para tal sistema de ecuaciones se introduce el siguiente arreglo formadopor los coeficientes que intervienen en el sistema

« n «12 b\«21 «22 b2

y le llamamos la matriz principal del sistema.

Se obtienen de esta las submatrices cuadradas (2 x 2),

«11 «12«21 «22

b\ «12b2 a22

«n

y a cada arreglo se le asocia un número distinguido propio

D = «11 «12«21 «22

«11 «12«21 «22




hb2

«n«21

«12 \

«22 /

b2 )

bx«2

«n«21

«12

«22

hb2

Dx =

llamados sus determinantes correspondientes.Con esta última notación se tiene el siguiente resultado.

COROLARIO 1.1 Las soluciones x, y del sistema inicial se calculan por

sabiendo que D / 0.

EJEMPLO. Resolver el sistema

2x-3y = l

3x + 2y = 2

La matriz principal del sistema es

2 - 3 13 2 2

Las submatrices asociadas son2 - 3 \ / 1 - 3

3 2 j ' \2 2

y los determinantes correspondientes se calculan

2 - 33 2

2 13 2

D = 2 - 33 2

( 1Uf 2

3

\Jl-32

12

12

23

- 32

12

4 + 9 = 13^0

= 2 + 6 = 8

- 4 - 3 = 1

Esto nos lleva a que las soluciones del sistema de ecuaciones son

_ Dx _ 8X ~ ~D ~ 13

En la discusión mostrada al resolver un sistema lineal de dos ecuacionescon dos incógnitas nos encontramos con los conceptos auxiliares de soluciónque son, las matrices y los determinantes. Estudiamos estos objetosmatemáticos y sus propiedades en las próximas secciones. Más adelantevolveremos al problema de resolver sistemas de ecuaciones lineales.



1.2 Matrices 11

1.Un

2 Matricesarreglo de la forma

/ «11

«21

«12

«22

«13

«23

' ' '«ln

'*'«2n

\

\ «mi «m2 «m3 ' ' ' arnn

donde cada a-vj es un número real, se llamará una matriz real de dimen-siones m x n. Esto es, el arreglo consta de m — renglones y n — columnas

El i-ésimo renglón de la matriz sería

• ' ' ain

y se llamaría el i-ésimo vector renglón.Al arreglo

aiJ \

\ «mj

se le denomina el j-ésimo vector columna.Una entrada a¿j de la matriz estaría en el i-ésimo renglón y la j-ésima

columna (i define los renglones y j define las columnas).

EJEMPLO. La matriz real

7 - 2

es de (3 x 5).

<3 Mencionamos algunos elementos de la matriz

«34 = 7, <2i5 = 8, «23 = 1, «32 = 3

El segundo vector renglón es

(2 3 1 - 1 0 )

mientras que el tercer vector columna es




Una matriz con dimensiones m = n tal se llamará matriz cuadrada.

EJEMPLO. Las matrices

1 24 - 2

1 O O0 - 2 3

2x2 V 0 1 03x3

son cuadradas.

A una matriz con entradas idénticamente nulas se llamará matriz nulay se denota por

/ O 0 -.-O- \0 0 ---O

O =

0 0 • • • 0

1.3 Operaciones básicas de matrices

En adelante identificaremos a las matrices reales por letras mayúsculas:

A, B, C, • • • M, • • •

y sus entradas reales por minúsculas

Dos matrices se pueden sumar si tienen las mismas dimensiones, esdecir, si

A = Arnxni & = £>mxn

entonces A + B tiene sentido. De hecho, si las matrices tienen entradas

entonces su suma se define por la suma de entradas correspondientes, estoes,

EJEMPLO. Sean las matrices reales

1 ' 0 - 3A= I 0 1 1

- 1 4 2



1.3 Operaciones básicas de matrices 13

2 3 4

< No tienen sentido la suma matricial A -f- B por ser de diferentesdimensiones. O

EJEMPLO. Sean las matrices reales

0 1 0 11 4 x z / 2 x 4

O Su suma tiene sentido y se calcula

- 1 4 3 2 \ / 0 1 0 1 \ / - 1 5 3 3- 2 1 8 2 ) + \ - 1 4 - 1 2 ) ~ \ - 3 5 7 4

Una cantidad escalar es un número real arbitrario y lo identificamospor las letras griegas

A, //, r, • • •

Dada la matriz A — (a¿j)mxm se define la nueva matriz XA d e m x nobtenida al multiplicar por el escalar A, como aquella que se obtiene demultiplicar por A cada una de sus entradas, esto es,

EJEMPLOS.

i. Si tomamos

A - 3 , A =

entonces




OBSERVACIONES.1. La matriz O = (0) (nula) es el elemento matricial que al sumarse acualquier matriz no la altera:

2. Dada A una matriz arbitraria y A = - 1 , se define -A = {-l)A comola matriz inversa aditiva de A, tal que

EJEMPLO. Sean las matrices

M B(2 2 ) ' *~ \ 0 - 3

Calcular: A 4- B, 3,4, A + 2B, yl - B.

< Mediante cálculos directos, obtenemos,

3i4 = 3 ( 2 2 ) = { 6 6

2 2 \ / - 1 1O - 6 y ^ 2 - 4

Sea .4 = (a-ij) una matriz arbitraria de m x n, se define la matriz trans-puesta de A como la matriz d e n x m que se obtiene de a¿j intercambiandorenglones por columnas. Identificada por At, sus entradas la definen por

A1 = (aJZ)

EJEMPLOS.

i. Dada la matriz ( 2 x 3 )

A = \* 2x3




se tiene que su transpuesta es la matriz (3 x 2)

/i -iA1 = 0 1

V 1 2 , 3x2

ii. Para la matriz renglón

A = (l - 1 4 )

se obtiene la matriz transpuesta dada por el vector columna,

Al=\ - 14

12

1- 1

- 11

21

iii. Para la matriz cuadrada de 2 x 2

su transpuesta es

Sean AmXn,BnXs dos matrices reales. Se define su producto como lamatriz Cmxs obtenida de la siguiente forma:

ln \

\

«22

\ «mi «m2

Cll C12C21 C22

Cm2

«271

bu \

c l s

/

donde la entrada c^ de C se obtiene de multiplicar los elementos del i-éisimo renglón de A con los de la j-ésima columna de B, y realizar la sumade estos productos.




Esto es,

din )

z-ésimo renglón

b2j

\ anj

j-ésima columna

n

= anbij + ai2b2j -f a¿363j H ainbnj — a^b^

siendo que el producto del i-ésimo renglón de A con la j-ésima columna deB se define por la suma anterior.

Si tenemosA\ \A2

A =

\ An

dondeAi = ( a{1 ai2 ain )

B= ( B1 B2 "• Bs

siendo el vector columna

Bj =bl

entonces los elementos del producto se calculan, mediante

Cij = AtBJ =

k=i

con el producto estipulado por la suma anterior.

En otras palabras, para poder multiplicar dos matrices A — AmXn yB = es necesario que el número n de columnas de A coincida conel número n de renglones de £?, y el resultado (producto) es una matrizC = Cmxs de dimensiones m x s





A = { - 1 01 0 1 - 1 4

V - l 2 3 - 1 0 / 2 x 3

Calcular BA y AB.

<3 a. BA = 52x5 ^3x2, como 5 ^ 3 no tiene sentido el producto.

b . AB = A¡X2 B2X5, en este caso tiene sentido el producto y se realiza

A continuación mostramos el cálculo de algunos elementos C{j del pro-ducto de las matrices dadas

- 1 ) - 3 - 2 - 1

C12 = (3 2)(0 2 ) - 0 + 4 - 4

ci3 = (3 2)(1 3 ) - 3 + 6 = 9

ci4 = (3 2 ) ( - l - l ) - - 3 - 2 -

ci5 = (3 2)(4 0 ) - 1 2 + 0 - 1 2

c23 = (-l 0)(0 2 ) - 0 + 2 - 2

c35 = (0 1)(4 0 ) = 0

La matriz obtenida es de ( 3 x 5 ) O


3x2

Calcular: AB y BA.

< a. AB — A2x3^3x2 = ^2x2 es una matriz cuadrada de (2 x 2)

" = ' ? ; $




los cálculos se muestran a continuación:

d i = 6 - 1 + 10 = 15 c2i = 3 - 3 + 4 = 4ci2 = 8 + 2 4- 5 = 15 c22 = 4 + 6 + 2 = 12

b. £? 4 = ^3x2^2x3 = C*3x3 es una matriz cuadrada de ( 3 x 3 ) .

Dejamos al lector la verificación de los cálculos. >

El ejemplo precedente muestra que en general el producto de matricesno es conmutativo, es decir, en general AB ^ BA

TEOREMA 1.1 Sean las matrices A = ^4mXn, B — BmXn, C = Cexm

a. Se tiene la siguiente regla de distribución del producto con la suma dematrices

C(A + B)

b. Si X es un número real (escalar,) entonces

C{\B) = (XC)B

< Damos a la matriz (A + B) = (A7 + BJ) en forma de columnas.

Por otro lado, si escribimos a la matriz C = (C¿) en renglones entonces

C(A + B) = (d) (AJ + Bj) = (dAj) + (d Bj)

TEOREMA 1.2 5z A = ^ m x n , B = 5 n X s , C - Q X m son matricesreales7 entonces el producto es asociativo, esto es,

C(AB) = (CA)B

<3 Es un cálculo directo y se omite o

EJEMPLO. Sean las matrices.

( 2 x 2 )K J \ ~ v / 3x2

a. Verificamos que se cumple la relación

B) = {CA




<\ Primeramente realizamos la suma, de matrices A -f B y lue^o calcu-lamos C(A + B)

Por otro lado,

CA + CB =

lo que prueba la validez de la relación. \>

b. Ahora comprobamos la asociatividad

C(AB) = (CA)B

<\ Por un lado,

Por otro lado,

(CA)B =




lo que prueba la igualdad. O

La matriz cuadrada

/ 1 0 0 — 0 \0 1 0 • • • 00 0 1 • • • 0

V 0 0 0 - - - 1 /\ / TI. X II

con l'.s en la diagonal y los otros elementos nulos, es tal que si A = Amxn

es una matriz arbitraria, entonces

AI = A

I se llamará matriz identidad de n x m.

EJEMPLO. Sea la matriz

3x2

y sea / = L)X2 la matriz identidad, se tiene que

3 2< AI = AI2x2 = | 2 1

1 0

1 00 1

3 2= I 2 1 I =A >

1 0

1.4 Determinantes de orden tres

En esta parte definimos para las matrices cuadradas de dimensiones 2 x 2y 3 x 3 , un número característico: su determinante. Este concepto, asícomo sus propiedades, pueden ser generalizadas para matrices cuadradasde dimensiones mayores.

Para una matriz cuadrada de 2 x 2 real

A = «11 «12

«21 «22

se define el número característico | 4| llamado su determinante, por laigualdad

\A\ = «11 «12

«21 «22= «11 «22 — «21 «12-



1.4 Determinantes de orden tres 21

Cambiando un poco la notación, lo anterior nos dice que para la mntriz

A = ( a* fl

su determinante se calcula por la igualdad

ai

a-2= (lib-2 — a.ob\ —

a i do

Esto nos dice que los determinantes de una matriz A de orden 2 x 2 yla de su transpuesta A 1 son iguales.

EJEMPLO. El determinante de la matriz

2 1A =

1 1

2 1= 2 - 1 = 1 >

se calcula

< \A\= 1 1

Para una matriz real de 3 x 3

ai bi c\

= | a2 b2 o¿

«3 h <'\i

definimos de igual forma su determinante \A\ como

\A\ =axa2 C2 =

(l2 ('2+ c (¡2 bo

b¿ c-¿

donde los determinantes 2 x 2 en el desarrollo se calculan ordinariamente.

EJEMPLO. Calculamos el determinante de la matriz

1 2 32 3 43 4 5

123

234

345

= 13

4

4

5- 2

2

3

4

5 + 32

3

3

4

= 1(15 - 16) - 2(10 - 12) + 3(8 - 9) - - 1 + 4 - 3 = 0 o




Dado el determinante

los números a,,!),.(•,. (i = 1,2,3) se llaman los e l e m e n t o s del de termi -nante .

Si SÍ1 considera un elemento del determinante, se dice que el determi-nante de la matriz 2 x 2 que so obtiene al quitar el renglón y la columnadonde se localiza tal elemento es su menor correspondiente.

EJEMPLO. En el determinante

1 2 32 3 13 1 5

para el número 3 en el centro, su menor correspondiente es

1 33 5

E J E M P L O . En el determinante

0 1 61 -11 11

TT/2 v/2 1

para TT/2. SU menor es1

-11611

Definimos la paridad de un elemento de un determinante como la sumadel número, el renglón v del número de la columna donde se encuentra.

EJEMPLO. En el determinante

1 2 32 3 43 o4 5

el elemento indicado 4 tiene paridad^Es el mismo determinante,

1 o2 32 3 43 4 5




el elemento 2 tiene paridad=

Igualmente, en1 2 o32 3

3 4

el elemento 3 tiene la paridad= 1 + 3 = 4

Definimos para un elemento aLJ de un determinante de 3 x 3 su cofactorA-ij como el número (que lleva signos)

donde i es el número de renglón, j el número de columna y MLJ es su menorcorrespondiente.

EJEMPLO. Consideremos nuevamente el determinante del ejemplo ante-rior, entonces,

i. El elemento 4 indicado,

tiene cofactor ( —1)3+2 1 32 4

1 2 32 3 43 o4 5

1 32 4

= - ( 4 - 6 ) = 2

ii. Análogamente, el elemento 1 indicado,

ol 2 32 3 43 4 5

tiene cofactor ( -3 44 5

3 44 5 = 1 5 - 16 = - 1

iii. De igual manera, en el mismo determinante,

1 o2 32 3 43 4 5

2 tiene cofactor A = ( — 1)2 + 1 2 34 5

2 34 5

= - ( 1 0 - 12) = 2

Observemos que inicialmente un determinante se desarrolló

aiC2

C3= °l

í>2 C2b¿ c¿ 1

a2 c2

«3 C3

a2 62

^ 3 >3




Si se definen

Ai = cofactor (ax) = ( -1 ) 1 + 1

£?i = cofactor (61) = (—1)1+

c2

a2 c2

« 3

« 3d = cofactor (Cl) = ( -1 ) 1 + 3

en esta notación, el determinante se puede desarrollar mediante

a i 61 Ci

a2 62 C2

Un resulado más general sobre el desarrollo de un determinante vienedado por el siguiente teorema, cuya prueba omitimos.

TEOREMA 1.3 (del desarrollo) Cualquier determinante 3 x 3 se cal-cula como la suma de los términos de un renglón (o una columna) por suscofactores.

En particular, al desarrollar por la tercer columna,

= C\C\ 4- C2C2 -

ai 61 cia2 ^2 C2

donde el cofactor de c\ es

el cofactor de C2 es

C3

C\ — &2 t>2

d3 b3

ai bi

«3 ¿>3

ai bi

Q2 62

es cofactor de C3. >

EJEMPLO. Calcular el determinante

1 0 - 14 0 - 10 2 4




desarrollando por la segunda columna.

<3 Utilizando las paridades y el teorema del desarrollo 1.3 se tiene que

140

002

- 1- 14

= - 040

i

4 + 010

- 14 - 2

14

- 1

EJEMPLO. Calculamos el conocido determinante

1 2 32 3 43 4 5

desarrollando por el segundo renglón.

1 2 32 3 43 4 5

= -2(10 - 12) + 3(5 - 9) - 4(4 - 6) = 4 - 12 + 8 = 0. >

LEMA 1.2 5¿ un determinante cambia los renglones por columnas, no sealtera tal. Esto es, el determinante de una matriz y el determinante de sutranspuesta coinciden.

2 34 5 + 3 1 3

3 5 - 41 23 4

< Por el teorema del desarrollo tenemos

CL2

«3

C2 4-ai a2 a3

b\ 62 63c\ c2 c3

LEMA 1.3 5z en un determinante se intercambian dos renglones (o doscolumnas) el signo del determinante se cambia.

< Por el teorema del desarrollo se tiene

-biBi+cid

— c2b3) — bi(a2cs — a^c2) -f 01(0262' — #3^2)

a2

«3




Por otro lado, al calcular el determinante después de intercambiar losdos primeros renglones, obtenemos

a2 b2 c2

a\ b\ c\ = CL2(b\C3 — C\b3) — b2(aic3 — a3c\) + c2(a\b3—ci3 b3 c3

= -a1(b2c3 - c2b3) + bi(a2c3 - c2a3) - ci(a2b3 - a3b2)

ax b1 cia2 b2 c2

ci3 b3 c3

O

EJEMPLO. Ya hemos calculado el determinante

1 0 - 14 0 - 10 2 4

= - 6

< Si intercambiamos las columnas primera y segunda, obtenemos, aldesarrollar por la nueva primer columna

0 1 - 10 4 - 12 0 4

= 2 1 - 14 - 1

= 2 ( - l + 4 ) =

Del Lema 1.3, para el determinante con dos renglones iguales, al inter-cambiarlos, obtenemos

ai

ai

«3

bi

hb3

C\

C\

c3

= -a1ai

«3

bi

b\b3

C\

C\

c3

lo que implica que tal determinante es nulo debido a que 0 es el úniconúmero real que es igual a su negativo. Esto es,

COROLARIO 1.2 Si en un determinante se repiten dos renglones o doscolumnas el determinante vale cero.

EJEMPLO. Por un cálculo directo, se tiene que el determinante siguientecon dos renglones iguales

- 3 ( 4 - 1 ) - 3 ( 4 - 1 ) = 0

cuando se desarrolla por la segunda columna.

Tenemos además el siguiente importante resultado sobre desarrollos.

1

11

0

33

1

44

-3 114

11

14




COROLARIO 1.3 La suma de los productos pares de los elementos deuna fila o renglón por los complementos algebraicos correspondientes escero.

Es decir, para cualquier determinante se cumplen las igualdades

- o61 ¿ i + b2A2 + b3A3 = 0C\A\ + C2A2 + C3.A3 = O

<] Consideremos un determinante arbitrario

ai &i c\a2 b2 c2

entonces

bi

b3 c3

, B2 =ai

a3 c3C2 = -

di 61

0,3 63Ao = -

Por el colorario 1.2 el siguiente determinante se anula

0 =a i ¿>i

ai bi

al desarrollar tal determinante por el segundo reglón se tiene

0 =«1 h«1 ha3 b3

Q

&3 C 3

ai Cia3 c3

i42 4-^1^2 + C1C2

ai bia3 63

lo que prueba la primer igualdad.

Las otras se prueban de forma análoga. >

OBSERVACIÓN. Para cualquier escalar A £ R se tiene que

Aai ^ 1 ^ c itt2 b2 C2

a3 b3 c3

= A

li + A61S1 + Aci = A(aii4i + biBi + cid)

ai 61 cia2 b2 c2

a3 b3 c3

Esto se resume en el siguiente resultado.




LEMA 1.4 Se puede sacar fuera del determinante un factor común de loselementos de un renglón (o una columna).

OBSERVACIÓN. Utilizando el Lema 1.4 con A = 0, obtenemos,

0a2

« 3

0b2

bs

0c2

C3

=

0&iC 3

« 3

a i

C2

«3 63 C3

= 0 O

lo que nos conduce al siguiente corolario.

COROLARIO 1.4 5z en un determinante un renglón (o una columna)tiene todos sus elementos cero, entonces su valor es cero.

OBSERVACIÓN. Sea A un número real tal que a\ — Aa2, ¿>i = A62, C\ —AC2, entonces de acuerdo al Lema 1.4 y al corolario 1.4,

al

a2

^3

hb2 c2

C3

== Ü9

C3

= X

a2a2

C3

= 0 >

Esto implica el siguiente corolario.

COROLARIO 1.5 Si en un determinante un renglón (o una columna)es proporcional a otro renglón (o a otra columna) entonces tal vale cero.

EJEMPLO. Al calcular el determinante

114

0312

1416

=11

4(1)

03

4(3)

14

4(4)- 4

111

033

144

- 4(0) = 0

en virtud que el último determinante tiene dos renglones repetidos y seanula.

OBSERVACIÓN. Sean Ai,/?i,7i números reales arbitrarios, entonces

-h Ai &i + /?i ci + 7i

a2 ¿>2 C 2

«3 ¿>3 C3

-6iBi • 4- (Ai^i +.

«i bi c\ Ai /3i 7i

tt9 L?2 C2 4~ Ü2 t?2 ^2tt3 ^3 C3 fl3 ^3 C3

Resumimos la discusión previa en el siguiente:

71 Cx




COROLARIO 1.6 Si en un determinante un renglón (o una columna)los elementos son sumas, entonces tal determinante puede ser descompuestocomo la suma de los determinantes de los sumandos correspondientes (res-petando factores).


4 5 61 0 1

- 1 1 0

< Claramente se puede descomponer en la siguiente cadena.

411

501

610

=2 + 2 2 + 3 3 + 3

1 O 1- 1 1 O

-u 0 11 O

2 31 O

21

- 1

+ -3

201

310

+2 3 31 O 11 1 O

1 1- 1 0

= (2(-l) + 3 - 2) + (3 - (2 - 3)) - (-1) +4 = 3

donde los determinantes en la última suma se han calculado, el primerodesarrollando por la primer columna, y el segundo por su segunda columna.

COROLARIO 1.7 El valor del determinante no cambia cuando a unrenglón (o una columna) se le agregan proporcionales de otro renglón (co-lumna) paralelo.

< Sea A e R un escalar arbitrario, entonces, ya que un determinantecon un renglón repetido es cero, tenemos que

0-2 ^2

a-3 b3

a2

C3

±X62 C2

&2 C2

0.2

as

=

b\ C\

62 C2

¿>3 c 3

ai ± AÍQ>2

+ Q>2

«3

O2 C2C3

± A62 Ci ± AC262 C2í>3 C3




Todas los resultados enunciados se llaman transformaciones elementa-les de los determinantes.


1 2 32 1 23 2 1

O Con arreglo al Colorario 1.7 esto se puede calcular por la cadena deigualdades

1 2 32-2(1) 1-2(2) 2-2(3)3-3(1) 2-3(2) 1-3(3)

123

100

212

2- 3- 4

321

3- 4- 8

-3 - 4-4 - 8 = 24 - 16 = 8 O

Estos resultados sobre transformaciones elementales de los determi-nantes se pueden generalizar para órdenes (dimensiones) más grandes.Aquí hemos detallado la teoría apenas para órdenes 2 y 3.

Tenemos el siguiente resultado para el cálculo del del determinante deun producto de matrices cuadradas.

TEOREMA 1.4 (determinante de un producto) Sean A = A-¿x-¿,B = #3x3 dos matrices cuadradas de 3 x 3, entonces

\AB\ = \A\\B\

Esto es, el determinante de un producto es el producto de los determinantes

< Es un cálculo directo y omitimos su demostración O


A — B =

verificar la igualdad \AB\ = \A\\B\.< En el anterior ejemplo se calcularon los determinantes

1 2 32 3 13 1 2

\B\ =1 2 30 3 10 1 2



1.5 Inversa de una matriz 31

de donde \A\\B\ = ( —18)(5) = -90Por otro lado,

AB =

cuyo determinante se calcula

12

3

231

3 \12 /

/ 1o

1 0

231

312

AB\ =1 11 112 14 113 11 14

1 11 112 14 113 11 14

1 11 112 - 2 ( 1 ) 14-2(11) 11-2(11)3 - 3 ( 1 ) 11-3(11) 14-3(11)

1 11 110 - 8 -110 -22 -19

- 8 -11-22 -19

= 8(19) - 11(22) = 152 - 242 = -90

que prueba la igualdad mencionada. \>

1.5 Inversa de una matriz

Damos una forma de calcular la inversa de una matriz cuadrada de 2 x 2,así como una condición necesaria y suficiente de su existencia.

Una matriz cuadrada

A = A2X2 =

es invertible si existe una matriz

B — £?2x2 =

tal que / = AB = BA, donde

a bc d

x yz w

T 1 00 1

es la matriz identidad de 2 x 2.

Se identifica B — A~~l y se llama matriz inversa de A.

T E O R E M A 1.5 Si A = A2X2 es tal que \A\ / 0, entonces A es invertible.




<] Buscamos una matriz de 2 x 2

x yz w

tal que / = BA, es decir, buscamos números reales x, y, z, w tales que

1 00 1

x yz w

a bc d

ax + cy bx + dyaz + cw bz -f dit;

lo que nos lleva al sistema de ecuaciones lineales

ax + cy — 16x + dy = 0az + cw — 0bz-\-dw = I

Primeramente resolvemos , mediante el Lema 1.1, el sistema de 2 x 2

J ax -\- cy — \\ bx + dy = 0

donde tenemos por hipótesis que P = ad - be ^ 0.

Al calcular los otros determinantes se obtiene

= d10

a

cd

10

= -b

lo que implica que

- 6

ad — be' D ad — be

En forma análoga, se obtienen las otras variables

—c —a-, w =be — ad ad — be' be — ad ad — be

De esta manera, yl"1 la matriz inversa de A tiene coeficientes,

d ~


2 11 1



1.6 La regla de Cramer 33

<] Calculamos el determinante de A, obteniendo

\A\ = 2 11 1

y por el teorema 1.5, A es invertible, y su inversa, A !se calcula

^ _ _ •

1

Veriftcamos esta afirmación realizando el producto de las matrices

AA~l =2 11 1

1 - 1- 1 2

1 00 1

= / >

1.6 La regla de Cramer

En esta parte generalizamos el resultado sobre la solución de un sistema deecuaciones lineales obtenido en el Lema 1.1, para sistemas lineales de tresecuaciones con tres incógnitas.

Consideremos ahora el sistema de tres ecuaciones lineales con coefi-cientes reales con tres incógnitas x,y,z

a,\x + b\y + c.\z = d[

Ü2X + b<).y + C'2Z — d'2

a-¿x 4- b:iy 4- c:iz = d:i

<3 I n t r o d u c i m o s , d e i g u a l f o r m a q u e p a r a l o s s i s t e m a s l i n e a l e s d e 2 x 2l o s d e t e r m i n a n t e s

D =

D,=

aia2

di b\ c\d-2 ^2 C 2d-s 63 c 3

= di-Ai +f/2^2 +d;^4;3

D 2 -

ai di cia2 d2 c2

ai 61 dia2 62 < 2a¿ b¿ d¿



34 Sistemas de ecuaciones, matr ices y de terminantes

Si multiplicamos el primer renglón del sistema por 4i? el segundorenglón del sistema por A>>, el tercer renglón del sistema por A-¿, obte-nemos que

<iiA[X + b\Aiy + c.\Aiz = diAi

(l-yAoX + 1)2 A2V + C2A2Z = í/2^2

a:Ji4:{;r + 6:{Í43;Í/ + c-¿A-¿z = d¿A3

Así, ni sumar los miembros derechos e izquierdos respectivos se obtiene

(a,.4i + a2A2 + Í / . ^ ; 0 ^ + (^1^1 + b'iM + b-¿A3)y -f ( c ^ ! -f

El colorado 1.3 implica que la anterior igualdad se escribe como

Dx + 0;«/ + 0¿ = Dx

De donde, si D ^ 0, entonces, al despejar x, se consigue el valor

De igual furnia, podemos obtener y, z mediante un procedimiento simi-lar (suponiendo que D / 0).

Resumimos la anterior discusión en el siguiente resultado.

TEOREMA 1.6 (Regla de Cramer) Para el sistema lineal de tresecuaciones con tres incógnitas dado, se tiene una tripleta de solucionesdadas por las igualdades

X~ D' V~~ D1 "~ D

suponiendo que D ^ 0.

EJEMPLO. Resolver, utilizando La regla de Cramer, el sistema de ecua-ciones

x + 2y + 3z = 12x + 3y + z = 03x -h y + 2y = 0




< Calculamos los determinantes respectivos.

D =123

231

312

=1 2 3

2-2(1) 3-2(2) 1-2(3)3-3(1) 1-3(2) 2-3(3)

1 2 30 - 1 -50 - 5 - 7

- 1 - 50 í

1 2 3O 3 1O 1 2

1 1 32 O 13 0 2

= 7-25 = -18/0

= 13 11 2 =6-1=5

Dz =1 2 12 3 03 1 0

= - 1

i

2 13 2

2 33 1 = -7

Por La regla de Cramer se obtiene finalmente que

Dx 5 Dv - 1 1 Dz - 7x = -18 2/= T T =D -18 18 D

718

A continuación, iniciamos el estudio de aquellos sistemas de ecuacionesde 3 x 3 (tres ecuaciones por tres incógnitas ) donde el determinante delsistema se anula, pero se obtienen soluciones imponiendo una condiciónadicional.

Consideremos el mismo sistema inicial

a\x + b\y -h c\z = d\a2x -f b2y + c2z = d2

a3x -f b3y + c3z = d3

pero, supóngase que en este caso el determinante principal se anula, estoes,

D = a2 b2 c2 = 0

Supóngase, además, que el determinante tiene el menor de 2 x 2

ai bia2 b2




Consideremos entonces el sistema de 2 x 3 dado por las dos ecuacionesprimeras del sistema

(R): a\x + + c\z =a2x -f b2y 4- c2z — d2

Tomamos a la variable z como un parámetro ¿, es decir, hacemos z — tv resolvemos el sistema de 2 x 2

-f ¿i?/ = di — ci¿a2x -f 22/ — d2 — c2t

mediante El método de Cramer, en virtud que el determinante principaldel sistema D — aib2 — a2bi no se anula, por hipótesis.

Calculemos los otros determinantes,

n —Uy —

di

d2

bi

b2

ax

d2

—.Clt-c2t

c,

c2

J1

d i -

d2

b2

+

di

-d2

Clt

c2t

di

d2

hb2

ai

a2

b2

= A3t +

di

d2

- c 2

di

d2

ai

0-2

bi

b2

bi

b2

-Ci

- c 2t-

« i í - fai dia2 d2

= B3t +ai di

de donde, por El método de Cramer, las soluciones de tal sistema (R)vienen dadas por

A3t+

D

di

d2D

bi

b2

a2

A3t+

di

d2

di

d2 b2

y J.

Afirmamos que estas soluciones resuelven la tercera ecuación tambiéncuando el determinante

ai b\ dia 2 b2 d2

a3 63 ds= 0.




En efecto, al sustituir los valores de x, y y z, se tiene,

-\-c3z = a3

* A3t +

\

di hd2 2

c3

\

I

+ hf B3t +

\

ai dia2 d2

C3•c3í

03^43* + b3B

c3

a3di hd2 b2

3Í+C3C3Í , a 3

+ 63ai di

di 61d2 b2

+ 63

c3

-d3

al 1

a! <¿1

tí tí

61> 02

O!

a2

a3

b2

b3

di

d2

d3 d3Q3^3

c3 c3 c.

61 dia2 b2

63 d3

= d3.

ai

a2

« 3

bi

b2

b3

c2

C3

ya i

«2

« 3

bi

b2

63

d i

d2

d3

El hecho de que ambos determinantes

D =

se anulan, se entiende, según el cálculo anterior, de que el sistema inicial de3 x 3 es compatible. Para este caso, las soluciones de tal sistema vienendadas por la tripleta mencionada.

EJEMPLO. Resolver el sistema de ecuaciones

< Calculamos primeramente el determinante principal

112

1- 10

134

— 2 1 13 4-4

11

1- 1D =

luego verificamos que tiene el menor

1 1

= 2(4)+4(-2) =

D =1 -1

= -1.-1 = -2^0.




Posteriormente, para verificar la compatibilidad del sistema calculamos(si se va a utilizar z — t como parámetro) el determinante

112

1- 10

1- 2 = 2 1 1

- 1 - 21 11 - 1

Según el método sugerido, consideramos el primer par de ecuaciones(donde D / 0) y hacemos z — t, obteniendo el sistema

x + y =l-tx - y = -2 - 3t

que resolvemos por El método de Cramer.

1 1 _ t 1- 2 - 1 ~~ 3t - 1

A, =

1 -- 2 -

11

t3t

1- 2

1- 1

-t-3t

= l-(-t-3t) = 1+4*

= - 2 - 3* - (1 - t) = - 2 - 3¿ - 1 + 1 = - 3 - 2í

De donde, las soluciones al sistema inicial son

x ~ D ~^ _

y - D -"_

-2 ~ 2-3-2t _ 3

- 2 - ¿

donde í € M es un número real arbitrario. >

Lo anterior se puede resumir en el siguiente resultado.

LEMA 1.5 Para el sistema de ecuaciones lineales

a\x + biy + c\z — dia2x + b2y + c2z = d2

+ 63j/ + c3z = d3

que satisface las condiciones,

a. El determinante principal se anula:

D =ai

«3c2C 3



1.7 Sistemas lineales homogéneos 39

b. El menor ( 2 x 2 ) de D,

c. El determinante de compatibilidad se anula.

«1 Oí

a 2 62b:i d-¿

= 0

se tiene un sistema parametrizado de soluciones

x = A:itd'2

Cli

a 2

C;

b\b'i

(hb2

z = t

donde t G M es un número real arbitrario.

Observamos que el método para resolver este tipo de ecuaciones de3 x 3 consiste en ignorar la tercer ecuación y resolver paramétricamente elsistema inicial de 2 x 3 . La tercer ecuación se resuelve automáticamentecon las soluciones del sistema de 2 x 3 , sabiendo que el determinante decompatibilidad se anula.

1.7 Sistemas lineales homogéneos

En esta sección iniciarnos el estudio de los sistemas de ecuaciones linealesque no tienen términos independientes. A tales sistemas les llamaremoshomogéneos.

El procedimiento de solución de estos sistemas sigue el patrón de solu-ción de los sistemas lineales en el Lema 1.5.

Considérese el problema por resolver del sistema homogéneo de 2 x 2

3x + 2y = 012x + Sy = 0

Es claro que cuando x = 0, y — 0 se tiene una solución del sistema,llamada la solución trivial.




Al tratar de utilizar La regla de Cramer (Lema 1.1) no tiene sentido talregla, pues

D =3 212 8

= 24 - 24 = 0

Procedemos entonces a ignorar una de las ecuaciones y nos quedamos,con la primera, por ejemplo,

3;r + 2.(y = 0

Al despejar //, obtenemos

y = —¿

Sea. / € R arbitrario y pongamos x — /, entonces y = ^ t .

Afirmamos eme estos valores de x y y (en términos de t ) tambiénresiné ven la otra ecuación.

< En efecto, por una simple sustitución se tiene

12.r -f 8y = 12/ + 8 ( — / I =• 12/ - 12/ = O >

El método utilizado en este ejemplo se puede generalizar para cualquiersistema (2 x 2)

ax -f by — 0ex + dy = 0

donde ad — be = 0.

Consideremos ahora el sistema homogéneo de dos ecuaciones linealescon tres incógnitas

• b2y + c2z = 0

Una simple sustitución prueba que x = y = z = 0 es una solución de talsistema (solución trivial). Nos interesa encontrar soluciones no trivialesdel sistema.

Para ello, supongamos sin pérdida de generalidad que z = 0. Entonces,del sistema

f ciix -tbiy + ciz = 0( Ü2X + b?y + coz = 0

se obtienef a.\x -h 612/ = -c\z1 anx + b\y = —c2z




o equivalentemente,

o bien,

a i x + b i

(12X-Í-62= - c i= - C 2

Poniendo 1; = j , u> = ^ se obtiene

CL\V -\- b\ W = —C\

CloV ~\- 62 W = — C2

que se resuelve por determinantes si D = a 162 — a^bi ^¿0.

<l Primeramente encontramos

ci\ b\ —c\Q'2 6 2 — C2

la matriz principal del sistema. Después, calculamos los determinantesasociados

Dw =

Ya que v = %-,w = %

- c 2 6;

ai - c

• = — C 1 6 2

tenemos entonces que

- - Ri y. — £21z ~ D ' 2 ~ D

Por lo tanto, para que x, ?/, 2 sean soluciones del sistema, se deberácumplir la cadena de igualdades

t = x

= z

= VDv D Dw

para t € R. OSe obtiene el siguiente resultado.

LEMA 1.6 Todas las soluciones del sistema lineal homogéneo se obtienenpor

do77de í E R, 2/

D =a2 &2

i -7 0, D v =

£>«;* = B3t= Dt = C3t

—C\ b\

—C2 Ó2




EJEMPLO. Resolver el sistema lineal homogéneo

í x -2y +3z = 0\ Ax +5y -6z = 0

<I Formamos la matriz del sistema

1 - 2 - 34 5 6

y calculamos a que los determinantes asociados,

= 5 4 - 8 - 1 3

= -15 + 12 = - 3Dv

D

=

1

4

- 36

- 2

5

- 25

1 - 34 6

De esta manera, la solución se escribe

12 = 18

Para ilustrar, si t = 1, entonces x = —3, y = 18, z = 13 es solución delsistema de ecuaciones.

Si t — y/2, se tendría en este caso que la tripleta x = —3>/2, y =18\/2, z = 13v2 resuelve tal sistema. O

Consideremos ahora el sistema homogéneo de 3 x 3

b\y + c\z = 0b2y + c2z = 0

a3x -f 63?/ -f c32 = 0

donde claramente x = y = z = 0es una solución trivial del sistema.

Nos interesa el caso cuando tal sistema tiene soluciones no triviales.Procedemos a buscar tales soluciones no triviales mediante el método uti-lizado para resolver, sistemas lineales en el Lema 1.5.

< Habíamos obtenido las ecuaciones

Dx = Dx, Dy = Dy Dz = Dz

en la discusión del Método de Cramer (Teorema 1.6).




Para este caso

Dx =

lo que implica que

0 6i ci0 b2 c2

0 b3 c3

Dx = 0,

= 0, Dv = 0, = 0

De aquí que, si al menos una de las variables x, y ó z es diferente de cerotendríamos necesariamente que D — 0.

Recíprocamente si D = 0 entonces alguna de las variables x,y ó zpueden ser diferentes de cero. >

Se obtiene entonces el siguiente resultado.

T E O R E M A 1.7 Para que un sistema lineal homogéneo de 3 x 3 tengasoluciones no triviales es necesario y suficiente que D = 0.

Ahora supongamos que D = 0 y que hay un menor 2 x 2 de D diferentede cero. Esto es, podemos suponer que

= D =ai

c3

a2 b2

sin pérdida de generalidad.Por el Lema 1.5 el sistema homogéneo tiene solución debido a que el

determinante de compatibilidad se anula, pues di = d2 = ds — 0

Por otro lado, del Lema 1.6, se tiene que el sistema homogéneo dadopor el par de ecuaciones

axx -f bxy -f C\z = 0a2x 4- b2y + c2z — 0

tiene solución

x = b2 c2t = A3t,

y = -

z =

ai

«2

zd

02

hb2

= C3t

Afirmamos que x, y, z soluciones de este sistema resuelven la terceraecuación.




En efecto, al sustituir los valores de x, y, z se cumplea3x + b3y + c3z = a3(A3t) + b3(B3t) + c3(C3t) =

= (a3A3 + 63B3 + c3C3)t = Dt = 0debido a que D = 0 por hipótesis.Por lo tanto,

x = A3t y = B3t z = C3t

para t G E. arbitrario resuelven el sistema lineal homogéneo de 3 x 3. D>

EJEMPLO. Consideremos el sistema

x + 2y - 3z = 02x - y + * = 0

3x + y - 2z = 0

< Ya que el tercer renglón de la matriz asociada es la suma de los dosprimeros tenemos que

12 -3

=

2-11

121

- 31

_2

2- 12

12

1-h

- 31

- 3+

2

122

2- 1

2 - 1

2- 1- 1

- 31

- 3 + 1

- 311

= 0

pues en cada determinante se repiten renglones.

Por otro lado, el menor

1 22 - 1 = -1-4= -5/0,

lo que nos dice que para encontrar la solución, podemos considerar el parde ecuaciones

x + 2y - 3z = 02x - y + z = 0

Utilizando el Lema 1.4 se tiene que

z —

2- 1

12

- 31

- 31

12

í =

2- 1

= (2 — 3)t = —í

í = - ( l + 6) = - 7 t

= - 5 í



1.8 El método de Gauss-Jordán 45

es decir, la solución del sistema viene dado por la tripleta

donde t E R es un número arbitrario. \>

1.8 El método de Gauss-Jordán

En esta parte damos , otra metodología para resolver sistemas de ecuacioneslineales, utilizando propiedades aritméticas de las matrices con entradasreales. Como se observará, este método no apela en ningún momento alos determinantes menores del sistema, ni al orden mismo del sistema, esdecir, el número de ecuaciones puede ser arbitrario, así como el número deincógnitas que intervienen en el sistema.

EJEMPLO. Resolver el sistema de ecuaciones

3x + 2y + z = 5x + y - z = 0

4x - y + 5¿ = 3< Primeramente cambiamos el orden del sistema intercambiando las

primeras ecuacionesx + y — z — 0

3x + 2y + z = 54x — y -f 5z = 3

Multiplicamos por tres la primera y la restamos de la segunda

3x + 2y + z = 53x + 3t/ - 3¿ = 0

-y + 4y = 5

obteniendo el par de ecuaciones

x + y-z = 0-y + 4z - 5

Después, multiplicamos por la cuatro la primera del sistema inicial y larestamos de la tercera del mismo

4x - y + 5z = 34x + 4y - 4z = 0

-5y + 9z = 3




obteniendo así el sistema

x -f y — z — 0-by -f 9z = 3

D e e s t a m a n e r a , h e m o s o b t e n i d o e l s i s t e m a n u e v o 3 x 3

en la cual la variable x no aparece en las ecuaciones segunda y tercera.

De éste, omitimos la primera y resolvemos el sistema 2 x 2

-y + Az = 5-by + 9z = 3

que tiene sólo a las variables x, y.

Si multiplicamos por cinco la primer ecuación de este sistema y la resta-mos de la segunda obtenemos

-by 4- 9z = 3-5y + 20z = 25

0 - l l z = -22

De esta forma, nos queda entonces el sistema escalonado

cuyo número de variables va disminuyendo en cada ecuación.

Resolviendo la tercera ecuación final para 2,

-llz = -22

se obtiene que22

z 2-11

Al sustituir en la segunda ecuación escalonada el valor de 2, se tieneque

5 = -y + 42 = -y + 4(2) = y + 8

de donde,y = 8 - 5 = 3




Finalmente, se sustituyen los valores y — 3, z = 2 en la ecuación primeradel sistema escalonado y se obtiene,

lo que nos lleva a que x = — 1Es decir, x — — 1, y = 3, 2 = 2 resuelven el sistema inicial. >

OBSERVACIÓN. Si del sistema inicial se crea la matriz principal

314

21

- 1

1- 15

503

donde la última columna está formada por los elementos independientesdel sistema, tal proceso se logra también escalonando tal matriz medianteoperaciones elementales (como en los determinantes)

i t \ —* -*i25 -* 2 —* -*¿1

1 1 - 1 03 2 1 5 | (3ñi - i?2)4 - 1 5 3

(5ñ2 - R3)

314

21

- 1

1- 15

503

Donde las expresiones R\ —> R2, R2 —> R\ definen la operación elemen-tal de intercambiar los renglones primero y segundo en la primera equiva-lencia de matrices. La operación de multiplicar por tres el primer renglóny restarle el segundo para asignarlo al segundo rengón en la segunda equi-valencia de matrices, se define por (3R\ — R2) —> R2- Análogamente, laexpresión (4/?i — R¿) —» R3 para la segunda equivalencia de matrices definela operación de multiplicar por cuatro el reglón primero, restarle el tercero,y asignar el resultado a la nueva matriz equivalente como un tercer renglón.Las otras expresiones designan operaciones semejantes.

De la matriz escalonada se tiene el nuevo sistema




que se resuelve hacia atrás como en el ejemplo anterior. O

E J E M P L O . Resolver el sistema lineal ( 5 x 3 ) ,

x + 2y + 3z = 143x + 2y + z = 10

2x + 3y + z = 5

< Vamos a utilizar el mismo método que en el ejemplo anterior, y paraello formamos la matriz del sistema.

/ 1 2 3 14 \3 2 1 101 1 1 62 3 11 1 0

53 /

/ 1 2 3 14 \1 1 1 61 1 0 32 3 1 53 2 1 10

(R2-R1)

/ 1 2 3 14 \0 - 1 -2 -80 - 1 - 3 -11

1 5 234 8 32

0 (4ñ2

/ 1 2 3 14 \0 - 1 -2 - 80 0 1 30 15

0

/ 1 2i i

0 0

o

3-2100

14 \-8310 /

Como se obtiene la ecuación (inconsistente) del cuarto renglón ñnal

0 = Ox 4- 0y + Oz = 1




el sistema no es compatible y, por lo tanto, el sistema inicial do 5 x 3 notiene solución. D>

EJEMPLO. Resolver el sistema de ecuaciones lineales (5 x 3)

x + 2y + Sz = 143x + 2y 4- 2 = 10

.r + ?y + 2 = 62;r + 3y - z = 5

x* -f y = 3

que se obtiene del sistema del ejemplo anterior al cambiar apenas el signode z en la cuarta ecuación.

< Formamos la matriz del sistema y utilizamos el método anterior puraescalonar la matriz, como se muestra

/ 1ooo

\ °

/ 13121

/ 1112

\ 3

3327

21132

14 \118233 2 /

22131

14 \36

311

- 10

14 \1065

R-2

1 10

i?,,

- R-d) {R2 - R4)

/ 10

/ 1000

0 00 00 0

2100

331

\ 0 0 0

14113

-1212

14113

-120




/ 1 2 3 M \0 1 3 110 0 1 30 0 0 0

\ 0 0 0 0 /

que nos lleva, al sistema escalonado de 3 x 3 ,

y el cual de inmediato nos da el valor de z.Al sustituir el valor de z en la segunda ecuación, se tiene

y/+ 3(3) = 11

de donde, y = 2.Finalmente, si se sustituyen estos valores en la primer ecuación de éste

sistema último se tiene

14 = .r + 2(2) + 3(3) = x + 13

con lo que .v = 1.

Por lo tanto, la solución del sistema inicial de 5 x 3 viene dado por

x= 1, y = 2, z = 3 O

Al método mostrado en los ejemplos precedentes se le llama El métodode Gauss-Jordán para la solución de un sistema de ecuaciones de (ra x/j).Tal método consiste en escalonar mediante operaciones elementales auna matriz para obtener una matriz equivalente que defina un sistema deecuaciones lo más simple posible.

EJEMPLO. Resolver mediante El método de Gauss-Jordán el sistema deecuaciones

x + 5y + 4z + 3w = 12x -y + 2z -w = 05x + 3y + Sz + w = 1

<3 La matriz del sistema se escalona mediante el siguiente proceso:

- R2) - R3) - Rs




(2R2 - R3)

Esta última matriz define al nuevo sistema de 2 x 4

+ 5y + 4z -f 3w = 1 '-lly + 6z + 7w = 2

Resolvemos tal sistema por El método de Cramer, al efectuar el despejede términos en las variables x, y.

+ 5y = 1- (4z + 3w)lly = 2 - (62 + Iw)

Primeramente, calculamos los determinantes

D = 511 = 11

Dr =1 - (4z 4- 3w) 5

2 - (62 + Iw) 11

- {Az + 3w)] - 5[2 - (62 -f 7IÜ)]

= 1 - 142 + 2w

Por lo tanto,

x=^

y D

10

=

12

1 -

2 -

- ( 4 2- (62

142 H11

- 6 2 -11

+ 3w)+ 7^)

[-2w

7w

=

1

21

2-62

14

6

i r

211 11

7

Para dar una solución parametrica al sistema, utilizamos dos varia-bles auxiliares poniendo: w = t¿, 2 = v, lo que nos lleva a que la soluciónbiparamétrica se escriba

w = uZ = V

x- ±-^vy v




El método de Gauss-Jordan involucra el concepto de matrices seme-jantes.

DEFINICIÓN. Sea A = (a^) una matriz real de (n x m), por una ope-ración elemental en A entendemos la suma en alguno de sus renglones(columnas) de un múltiplo de un renglón paralelo (o columna paralela),un intercambio de renglones (o de columnas), o suponiendo que ningúnrenglón (o columna) se multiplicó por un escalar el producto de un renglón(o columna por un escalar).

EJEMPLO. En la matriz

se multiplica el primer renglón por dos y se resta al segundo renglón asig-nando el resultado al segundo renglón definido por (2R\ — R2) —> #2? paraobtener la matriz

/ 1 5. 4 3 1 \0 9 6 5 2

\ 5 3 8 1 1 /

como en el ejemplo precedente.

Los ejemplos anteriores que muestran El método de Gauss-Jordan ilus-tran un buen número de operaciones elementales en las matrices.

DEFINICIÓN. Dos matrices del mismo orden (m x n) se dicen ser se-mejantes si una se obtiene de la otra por un número finito de operacioneselementales.

Cuando una matriz cuadrada A = Anxn es semejante a otra matrizB — BnXn, suponiendo que ningún renglón (o columna) se multiplicó porun escalar, él corolario 1.7 implica el siguiente resultado.

LEMA 1.7 Si A es semejante (como se mencionó) a B, entonces susdeterminantes difieren apenas por un signo.

<3 Esto se sigue de que pudo haber intercambio de renglones. D>

De aquí se obtiene el siguiente resultado.

COROLARIO 1.8 Si A es semejante (como se mencionó) a B y en lasoperaciones elementales no hay intercambio de renglones, entonces, susdeterminantes coinciden, esto es,

\A\ = \B\



1.8 El método de Gauss-Jordan 53

EJEMPLO. Consideremos la matriz

A =

< Después de las operaciones elementales siguientes, se tiene

/ l 2 3 \A = I 2 1 2 I (2fíi - ü2) -+ i?2, (3ñi -> fl3) -

Con lo que

123

212

321

=1 2 30 3 40 4 8

4 83 2 = 24 - 16 =

Esto ya se ha calculado en ejemplo posterior al corolario 1.7 mediantela cadena de igualdades

123

212

321

—1 2 3

2-2(1) 1-2(2) 2-2(3)3-3(1) 2-3(2) 1-3(3)

1 2 30 - 3 -40 -4 - 8

-3 - 4-4 - 8

3 44 8 = 24 - 16 =

Estas igualdades involucran (salvo signos) a las matrices semejantes,donde no se ha alterado por factor alguno a los renglones, ni se han per-mutado. D>

Utilizando El método de Gauss-Jordan para escalonar una matriz, pro-cedemos a encontrar un método del cálculo de inversa multiplicativa de unamatriz cuadrada, cuando es posible.

Consideremos un sistema de ecuaciones de (3 x 3)

a\X + b\y + c\z = á\a2x + b2y + c2z = d2

a3x -f &3y + C3Z = ^3




Debido a la regla de multiplicación de matrices, tal sistema se puedeescribir matricialmente como

ai bi

^ 3 ^3 C3

Esto es, si definimos por

( h \

a2 b2 c2 , X =«3 h c3 J

lo anterior se escribiría simplemente por la ecuación matricialAX = d

Así, el sistema de ecuaciones inicial se transforma en la ecuación matri-cial mencionada.

EJEMPLO. Considere el sistema de ecuaciones lineales

2x + 3y- z = - 16x - Iz + 2z = 0

\x-Vy - 11 z = -2

Este sistema se puede escribir como la ecuación matricial

Consideremos entonces un sistema matricial

AX = d

asociado a un sistema de ecuaciones, donde A es una matriz cuadrada de3 x 3 .

Si existiera una matriz inversa B de A, esto es, una matriz B tal que

entonces del sistema matricial se obtiene, al multiplicar por B la izquierdade cada miembro, la relación

BAX = Bd



1.8 El método de Gauss-Jordán

Esto nos lleva, en virtud que DA — / , a que se -cumpla la, igualdad

IX = Bd.

Por otro lado, la matriz identidad / satisface que

/ 1 o o \ / , \ / ,• \IX = 0 1 0 \ \ y = [y = A"

V 0 0 1 ) \ z j \z I

lo que nos lleva finalmente a la ecuación matricial

X = Dd

que indica los valores de x,y,z que resuelven el sistema lineal dado. Estopues, si la matriz D se escribe por

( «i ft\ 7ia2 íh 72«3 #3 73

entonces la ecuación matricial X = Dd que resuelve? el sistema se escribecomo

x \ / «! /?! 7 l \ / d{

2/ = ^2 íh 72 I d2 = ^2^1 + foh

o equivalentemente,

x = a\d\ 4-y = a2di + ft2d2

Esta metodología de solución de un sistema de (3 x 3) nos conduceal problema de calcular la matriz inversa D de la matriz principal delsistema .4, en caso de que tal matriz inversa exista. Una condición deexistencia de la matriz D se obtiene a través de la generalización naturaldel teorema 1.6 para el caso de matrices 3 x 3 .

T E O R E M A 1.8 Si A = i43 x 3 es tal que su determinante no se anula:\A\ ^0, entonces A es invertible. Esto es, existe una matriz D = £3x3 talque AD — I — BA, donde I es la matriz identidad de 3 x 3 .




EJEMPLO. Considere la matriz

A =1 2 3

1 0 8

<\ Un cálculo directo nos muestra que

i2

1

25

0

13

8=

25

33

+ 8 12

25

lo que nos dice que .4 es una matriz invertible >

EJEMPLO. Considere la matriz

12

- 1

642

1- 15

< Al calcular su determinante mediante operaciones elementales se tiene

1 6 12 1 - 1

- 1 2 5

1 40 8 9 = 00 8 9

lo que hace que A no sea una matriz invertible. >

Analicemos por un momento el sistema matricial asociado al sistema deecuaciones

AX = d

y la ecuación matricial de soluciones

X = Bd

Estas podrían escribirse por la pareja

AX = IdIX = Bd

donde / es la matriz identidad de 3 x 3.Un procedimiento general del Método de Gauss-Jordan para resolver el

sistema nos llevaría a considerar la matriz siguiente de 3 x 6

ai &i ci 1 0 0M = \ a2 b2 c2 0 1 0

c3 0 0 1



1.8 El método de Gauss-Jordan 57

y mediante operaciones elementales llevarla (según la segunda ecuaciónmatricial) a la matriz de 3 x 6:

/ 1 0 0 a i (3i 7i

N = I 0 I 0 a2 02 72\ 0 0 1 a3 03 73

que resolvería el sistema de ecuaciones dado.

En otras palabras, dada una matriz ^3x3 que se pueda invertir, el pro-ceso de llevar a la matriz M en la matriz N mediante operaciones elemen-tales nos permite calcular la matriz inversa B de A, cuando se considera lasubmatriz 3 x 3 de JV que se conforma desde la cuarta columna:

Este método nos permite entonces calcular la inversa de una matrizcuadrada si es invertible. En el caso de que no sea invertible la matrizinicial, el método mismo nos lleva a un absurdo durante los cálculos de lasoperaciones elementales. Esto se ilustra en los siguientes ejemplos.

EJEMPLO. Calcular la inversa de la matriz

A =

< Ya hemos calculado |J4| = —1, lo que indica que A es invertible.

Construimos la matriz de Gauss-Jordan y procedemos a realizar opera-ciones elementales.

1 2 3 1 0 02 5 3 0 1 0 I (2fii - R2) -> fi2,1 0 8 0 0 1

(~R2) — R2

1 2 3 1 0 00 1 - 3 - 2 1 0 ) (2R2-R3)-+R3

0 2 - 5 1 0 - 1




1 2 3 1 0 0 \0 1 - 3 - 2 1 0 (-fl3) -> R3

0 0 - 1 - 5 2 1 /

1 2 3 1 0 0 \0 1 - 3 - 2 1 0 I (3R3 + fí2) -> -R2, (3#3 - ñ i ) - • ñ i0 0 1 5 - 2 - 1 /

1 - 2 0 14 - 6 - 30 1 0 13 - 5 - 3 | (2#24- fíi) -> i?!0 0 1 5 - 2 - 1

- 1 0 0 40 -16 - 90 1 0 13 - 5 - 3 | (-/?!) -^ i?!0 0 1 5 - 2 - 1

1 0 0 -40 16 90 1 0 13 - 5 - 30 0 1 5 - 2 - 1

Esto implica que la matriz inversa A~l de matriz dada A es

-40 16 9A'1 = ( 13 - 5 - 3

5 - 2 - 1

Dejamos al lector verificar que a~lA = / D>

Este procedimiento sirve también para calcular inversas de matrices de2 x 2 , como lo ilustra el siguiente ejemplo.

EJEMPLO. Sea A la matriz de 2 x 2 dada por

1 1

O Ya hemos calculado su determinante, obteniendo | 4| = 1, lo que lehace una matriz invertible.

Construimos la matriz de Gauss-Jordán y le aplicamos operaciones ele-mentales para calcular A~l\

1 1 0 1 J ñ l ~ R2

2 1 5




1 1 0 1 \0 1 - 1 2 ; (^2-rtlJ-iíl

- 1 0 - 1 10 1 - 1 2

/ 1 0 1 -1~ v o 1 - 1 2

Esto nos dice que la matriz inversa de A es

- 1


A =

<\ Ya hemos calculado \A\ = 0 , lo que nos dice que A no es una matrizinvertible.

Usemos El método de Gauss-Jordán para tratar de conseguir una in-versa de A.

1 6 4 1 0 02 4 - 1 0 1 0 ) (2ñi - R2) -> R2,(Ri +R3) -» #3

- 1 2 5 0 0 1

1 6 4 1 0 00 8 9 2 - 1 0 ) (R2- R3) -> R 3

0 8 9 1 0 1

1 6 4 1 0 00 8 9 1 0 00 0 0 1 - 1 - 1

Ya que el renglón tercero de esta última matriz tiene ceros en sus tresprimeros lugares, no es posible conseguir en adelante una matriz de forma

que nos permita continuar el proceso.

De aquí que el mismo Método de Gauss-Jordán pone obstrucciones porsí mismo para calcular una inversa de A, si es que A no es invertible. D>




Ejercicios.1. Dadas las matrices

- 1 0 1 3 \ / 4 5 3 2 1A= I - 2 1 0 - 1 , 5 = 1 3 4 0 - 1

0 1 - 1 23x4

- 2 0 3 1 03x4

Realizar las operaciones matriciales A - B, B - A, 2A, —6B, 2A - 3B, (A +B)\Al - 2B\ Bl - 2A\Al 4- \B*.

2. Dadas las matrices

3x3

a. Calcular C2, C3, DC, CDl,DE, ED, {DE)2, (ED)2.b. Si A y B son como el ejercicio 1, calcular CA,AlC,DCA,DCB.

3. Calcular, usando el teorema 1.5, la inversa de la matriz indicada.

3 - 1 \ „ / 4 2

3x2

A =1 0 0 3

4. Calcular los siguientes determinantes

a. Mediante la segunda columna,

b. Mediante el tercer renglón.

c. Mediante la primera columna.

2 1 10 3 14 - 1 1

3 - 1 01 2 - 10 4 3

0 - 1 14 3 21 6 3

d. Mediante la primera columna.1 0 00 eos tp - sin (p0 sin ip eos (p




donde <¿> es un ángulo arbitrario.

e.2 3 42 a + 3 b+A2 c+3 d+4

f.1 x x1 2/ 2/2

1 z z2

Ai O OO A2 OO O A3

h.Ai 1 OO A2 1O O A2

5. Un número real A se llamará un valor propio de la matriz cuadrada^3x3(0 ^2x2) si satisface la ecuación característica

det(A - XI) = 0

donde / es la matriz identidad. Calcular los valores propios de las siguientesmatrices

a.2 11 1

b.-1

6. Calcular los determinantes de las matrices dadas.

7. Resolver mediante El método de Cramer los sistemas,

a.5x — y — z = 0

r -f- 2y + 3z = 14r _i_ ?/ 4-22 — 16

b.

c.

x + 3y - 6z = 12z + 2y + bz = -102x + 5y + 2z = 6




d.x 4- y 4- z — O

3x 4- 6y 4- 5z = O

x 4- 4y 4- 3z = O

8. Resolver mediante El método Gauss-Jordan los sistemas

a.

3xi 4- 2x2 = 4

X\ — 4x2 — —1

7xi 4- 10x2 = 12

b.

c.

d.

e.

f.

g.

3xi — 16x2 = —5

xi 4- 5x2 4- 4x3 = 1

2xi 4- 10x2 4- 8x3 = 3

3xi 4- 15x2 4- 12x3 = 5

X\ — 3x2 4- 2x3 = — 1

x\ 4- 9x2 4- 6x3 = 3

x\ + 3x2 4- 4x3 = 1

2xi + x 2 - x3 = 5

xi -2x 2 4-3x3 = -3lx\ 4- x2 — X3 = 10

2x\ — x2 4- 3x3 4- 2x5 = 1xi 4- X2 — X3 4- X4 = 4

Xi — X3 4- 2x4 = 6

3xi — X2 4- X3 — X4 = 0

3xi - x2 4- x3 4- 2x5 = 18

2xi - 5x2 4- x4 4- x5 = -7

Xi — X4 4- 2x5 = 6

2x2 4- x3 4- x4 - x5 = 10

xi 4- x2 - 3x3 4- x4 = 1

4xi 4- 2x2 + 3x3 = -2

2xi 4- 8x2 - x3 = 8

9xi 4- x2 4- 8x3 = 0




9. Mediante El método de Gauss-Jordán, calcular las matrices inversas (silas hay) de

/ 1 0 0 0 \1 1 0 01 1 2 0

\ 1 1 2 4 /

h.

/ 1 0 0 0 \0 2 0 00 0 3 0

\ 0 0 0 4 )

10. Una matriz A se llamará ortogonal si satisface que A1 A — I. ¿Cuálesde las siguientes matrices son ortogonales?

a.0 - 11 0

b .2 1

- 1 0

d.- 1 22 1

c.

f.

21

_ 2

01

—;21 \

)

0- 10

10



Capítulo 2

Vectores en M2 y TD)3

2.1 Sistemas de coordenadas en M2 y M3

Comenzamos ahora el estudio de la geometría de los espacios IR2 y R3

proviéndolos de un sistema de coordenadas cartesiano.A cada punto, p en un espacio real se le asocia una n-ada de números

de una manera binívoca

p < • (x i ,x 2 , - - - , x n )

El número entero n se llamará la dimensión del espacio.La asociación se llamará un sistema de coordenadas cartesiano del

n-espacio, denominado Rr\

El número n de coordenadas dependerá de la situación de los puntos deun espacio determinado. Esto es, para asignarle una colección de númerosa un punto p, debemos identificar primeramente la situación del punto y elespacio donde está contenido. Tal asociación debe ser dada de manera quea cada punto en un espacio determinado le corresponde una única colecciónde números #i, • • • , xn, y viceversa. Esto es, dada una n-nada de números,existe un punto único p en tal espacio con el cual está asociado.

EJEMPLO.

Para un espacio unidimensional n = 1, se necesita apenas una coorde-nada,

R1 : p < > xi

Para un espacio bidimensional n — 2, se necesitan dos coordenadas,

R 2 : p^>(Xx)



66 Vectores en R2 y

Para un espacio tridimensional n — 3, son necesarias tres coordenadas,

R3 : p< >(xux2,x3)

Para el espacio cuatridimensional n — 4, se necesitan cuatro coordena-das,

: pLa figura 2.1 ilustra este ejemplo para n = 1, 2, 3.

(-1.2)

-1

Figura 2.1: Coordenadas en Rn para un entero positivo n pequeño.

La localización de un punto p con sus coordenadas asociadas #i, • • • ,xn

en un espacio real Rn se hace mediante un sistema rectangular de ejesque tienen coincidencia en el punto común 0, y que están graduados porunidades escogidas previamente.

EJEMPLO.

a. El punto ( — 1,2) describe de manera única a un punto en el plano R2.La manera de localizarlo se muestra en la figura 2.1.

b. El punto (1,-1,2) describe una posición en el espacio R3. La figura 2.1muestra la forma de localizarlo en el espacio.

c. El punto (0,-1,1,4,-3) describe de forma única una posición en elespacio real de dimensión 5 (R°).

EJEMPLO. Al estudiar un gas ideal se toman las variables principalesP — Presión, V = Volumen, T — Temperatura.

< De esta manera, cada estado del gas se representa por una tripleta

{P,V,T)



2.1 Sistemas de coordenadas en R2 y R;i 67

que corresponde a un punto en R'1. \>

EJEMPLO. Para estudiar un sistema de cuerpos puntuales que se muevenen el espacio R'\ es necesario determinar la posición de los cuerpos medianteun sistema de coordenadas. Así, si tenemos los cuerpos m\, ///•_>, • • • • ttin. acada uno le corresponde una posición en Rf dada, por

respectivamente, en cada instante del movimiento. La figura 2.2 ilustraesta situación.

rx2

Figura 2.2: Cuerpos moviéndose (in el es])acio tridimensional.

A continución, le damos una estructura algebraica a R" definiendodos operaciones: la suma de puntos, y el producto de un número real(escalar) por un punto de Rn .

Dados dos puntos p = (xi, x2, • • • i xn), q = (vi, Vi, • • * •» Vn)i (>li v\ espa-cio Rn, se define el punto p 4- q como aquél punto con coordenadas

p 4- q = (xi 4- 2/i, x2 4- y2, • • • , « 4- ?/„.)

EJEMPLO. En el plano R2, si p = (-1,2) . q = (3,7) entonces el puntop 4- E R2 es aquél que se obtiene mediante

p + ry = ( -1 , 2) 4- (3, 7) = ( -1 4- 3, 2 4-7) = (2, 9)

EJEMPLO. En el espacio R3, si p = (-1,4,2) y q = (TT. \[2, i ) , se tieneque

A . . <Si _

Dados, el punto p = (x¡, 2:2, • • • , xn) en Rr', y el escalar A. se define elnuevo punto Xp como aquél en Rn con las coordenadas



68 Vectores en R2 y R3

EJEMPLO.

a. Sean p = (-1,2, \,í) en R4 y A = 3, entonces

Xp = 3 ( - l , 2 , - , i) = (-3,6,1,12)o

h. Sran p = (1,-1,6, yrS) en R5 y A = - 5 entonces,

Ap = ( -5 ,5 , -30 , -1 , -40 )

Las operaciones definidas de esta manera tienen propiedades heredadasde las propiedades de los números reales. Esto se observa en el siguiente,

L E M A 2.1 Si p[,P'2*(ji,(i2 £ R" y A,/¿ £ R se cumplen las igualdades

a.

(pi + P'i) + (¡i = P\ + {P2 + Qi)

b.

P\ +(1\ = q\ 4-Pi

c.

d.(A +

e. 5/ O = (0, • • • , 0) es el punto en R" con coordenadas nulas, entonces,para todo punto p G R" .se cumple que

p-hO-p

f. 5/ se toma A = — 1, entonces al definir por ( — l)p = —p, se cumple

< Son cálculos directos realizados mediante las coordenadas.

Por ejemplo, para demostrar la propiedad b., si p\ = (x\,X2, • • • ,#„),

v 9i = (2/i»2/2. • • • . 2/u), entonces

, 2/2 ' " "



2.1 S istemas de coordenadas en R2 y R:* 69

La propiedad c. se demuestra mediante la, cadena de igualdades:

</I) = <M(:ri,.x2,- • • ,xn) + (;(/i,;(/2>- • • ,;</»)]

= X(xi + ?/i, x-2 + ?/2, • • • , :/:„ + ;</„)

= (A(;r! + y{), A(:/:2 + ;</2), • • • , A(.rM + ;//„.))

= (\x\ + Ayyi, Xx'2 + A?y2, • • • , A./;n -f A/y,,)

= (A.x*i, Ax'2, • • • , Xxn) -h (A;/yi, Avy2 • • • , Av/,#)

= X(xi ,x>2r- , £n) 4- A(/yi, ;/y2, • • • , ;/yn) = Xp{ + Ar/i

Las otras pruebas son análogas y se omiten. O

Vamos ahora a dar una interpretación geométrica en R2 de las opera-ciones mencionadas.

Dados los puntos p = (x\,yi), q = ( '2? /72) estos se pueden localizar enel plano IR2 de la forma que se mencionó anteriormente.

La suma p + q se comporta como la suma de vectores ordinarios (Leydel paralelogramo).

Un vector es un objeto que tiene una magnitud, dirección y sentido. Seles suele describir gráficamente por flechas que tienen extremos en puntossituados en un espacio determinado.

Para sumar dos vectores según la regla del paralelogramo, se fijan en unextremo común y se desliza paralelamente uno a través del otro hasta el otroextremo, creando al realizar el deslizamiento del otro vector paralelamente,un paralelogramo.

La suma de los mencionados vectores es el vector diagonal del parale-logramo que nace en el extremo común inicial (véase la figura 2.3).

Figura 2.3: Geometría de las operaciones en R".

A cada punto p y q se les asocia un vector de posición (nace enel origen de coordenadas (0,0)) y a la suma p + q se le asocia el vector



70 Vectores en R2 y R

resultante de suma de vectores mediante la regla del paralelogramo (véasefigura 2.3).

De igual forma, un vector en R" puede ser deformado sobre su direccióncuando se multiplica por un escalar. Esto hace que varíen, su sentido o sumagnitud, pero conservando su dirección.

La geometría de la operaciones mencionadas se puede generalizar a Rn.Esto es. si /; = (x {, .r2, • • • , ./•„) q = (y{, y2,... , yn) entonces el punto

p f q = (./'!. ;r2. • • • , xn) + (;#/!, ;</2, • • • , */„) = (#i + 2/1. 2 + 2/2, • • • , *u + 2/TO

puede ser visto como el vector resultante de la suma por la regla delparalelogramo.

Por otro lado, si se considera el vector de posición en el punto

P= (:ri,;r2,--- ,:rn)

entonces v

Xp = X(.V{, x>>, • • • , xn) — {Xx\, A.r2, • • • , Xxn)

tiene un vector de posición que está en la misma dirección que p, satisfa-ciendo

i. si 0 < A < 1, entonces Xp es un encogimiento de p, pero tiene el mismo

sentido.

ii. si 1 < A, entonces Xp es un estiramiento de p en el mismo sentido.

iii. si A < 0, es Xp un vector en sentido inverso de p.

Por lo anterior, a los puntos asociados con vectores de posición les lla-mamos también vectores.

Así, al conjunto

provisto de la suma de puntos p 4- q y el producto de un punto por unescalar Xp le llamaremos el espacio vectorial real de dimensión n. Con-secuentemente, a los puntos de Rn les llamaremos también vectores.

NOTACIÓN. En adelante se definen a los puntos de un espacio real es-

pecífico por las letras

P o s -

poniendo subíndices en sus coordenadas.

Para ejemplos

p= (pi ,p2, '" ,Pn)



2.1 Sistemas de coordenadas en R2 y R3 71

Por otro lado, cuando se trate de especificar un punto como un vectoradoptaremos la notación por letras del tipo

poniendo superíndices en sus coordenadas.Para ejemplos

C = (C\CV--,Cn)

La ventaja de reconocer a un punto de un vector mediante la notaciónse observa en las aplicaciones. Por ejemplo, al momento de estudiar a unvector que actúa en un punto se hace tal distinción. Esto se concreta acontinuación.

Dado un punto p € R2 arbitrario y otro q (móvil), se define un vectorlocalizado £, o de posición, como el vector que nace en el punto p y tieneextremo final en el punto q.

Figura 2.4: Vector localizado en un punto.

< Por la regla del paralelogramo se tiene de la figura 2.4, que

Z+P = q

de donde(, = q-p

que nos indica que, el vector localizado £ está definido por la diferenciaQ-P >

Este concepto de vector localizado se puede generalizar parap, q, £ £ Rn,sin ninguna dificultad.




EJEMPLO. Dados p = (1,2, -1 ) y q = (-3,5,0) en el espacio tridimen-sional, el vector localizado f que comienza en p y tiene extremo en q secalcula por

Por otro lado, dados un punto p G Rn y £ un vector localizado, conun extremo inicial en p, se puede conseguir siempre un punto q tal que

f = Q - í -

Observamos que dos vectores de posición £, //, G Rn son paralelos sison proporcionales (están en la misma dirección), es decir, si son múltiplospor un escalar A, es decir, £ = Xr].

Por lo tanto, se tiene que dos vectores localizados son paralelos si sonproporcionales entre sí.

2.2 El producto escalar y la norma en R3

Ahora damos un repaso a los elementos necesarios para poder definir a losobjetos geométricos o físicos que pueden ser descritos por subconjuntos delplano o del espacio. Estos elementos son ya conocidos seguramente por ellector en los cursos básicos de geometría analítica, pero se repasan para noolvidarlos.

De los cursos básicos de geometría analítica, se sabe de la posibilidadde hacer mediciones de distancias entre dos puntos que están contenidos enR , provisto de un sistema coordenado cartesiano.

Dados los puntos p = (xi, y\, z\) y q — (x2, y2, z2), si definimos por i ladistancia entre ellos, ésta se calcula por la fórmula

í2 = (Xl - x2f + (j/x - y2)2 + (z, - z2f.

Al espacio R3 con la longitud entre dos puntos definida de esta forma,le llamaremos el espacio Euclidiano R3.

Observamos que en el caso q = (0,0,0) se tiene que

que es la distancia al cuadrado de p al origen.

De esta manera, si p = (xo,yo,zo) es un punto arbitrario de R3, en-tonces su distancia del origen, también llamada su norma, se calcula porla expresión



2.2 El producto escalar y la norma en R3 73

Una manera de inducir una longitud (norma) en R3 es a través de ladefinición de un producto escalar.

Esto está motivado de la relación para p = (x, y, z),

\\p\\2 = (x)2 + (y)2 + (z)2 = (x)(x) + (y)(y) + (z)(z)

que puede definirse por

(x){x) + (y)(y) + {z)(z) =< (x,y,z), (x,y,z) > = <p,p>

donde < p,p > se define por la primer expresión en la cadena de igualdades.

Aquí hacemos la primer distinción entre los puntos y los vectores. Másque definir la operación < , > para puntos, es más conveniente definirlapara vectores, con motivo de las aplicaciones.

DEFINICIÓN. Dados los vectores £ = (£\£2,£3), rj = ( r?\VW) en elespacio cartesiano R3, se define el producto escalar de ellos, definido por< £,77 >, como el número real (escalar)

Observemos que el producto escalar es una operación ejercida sobre unapareja de vectores y su valor es un número real.

EJEMPLO. Si 6 = (-1,0,3) y £2 = (£,>/2,4) en R3, se tiene que suproducto escalar es

=< (-1,0,3), (j¿,y/2,4) >= (-1) Q

EJEMPLO. Dados los vectores £1 = (4, -1) y £2 = (1,4) se tiene que suproducto escalar en el plano, está dado por

< 6 , 6 >=< (4, -1), (1,4) >= (4)(1) + (-1)(4) - 4 - 4 = 0

El producto escalar definirá una norma en virtud del siguiente Lema.

1En algunos textos clásicos la notación utilizada para el producto escalar es medianteun punto •, corno se indica

< {,,1 > = ^••nque hace que también se le llame producto punto. Nosotros utilizaremos en estetrabajo la notación < , > para efectuar las operaciones que lo requieran.




LEMA 2.2 Dados los vectores £,77, £1,^2 en el espacio Cartesiano R3, ylos números reales Ai, A2 son justas las fórmulas

a. < f, 77 > = < 77, £ >

b. < ATfi + A2f2> r; > = Ai < £1, 77 > +A2 < £2,77 >

c. < £ , £ > > 0 para ¿ocio £. De hecho, < £, £ > = 0 si y sólo si, £ = 0.

<] a. Ya que £ = ( £ \ f 2 , f 3 ) , T? = (r/1, ?72, //3), entonces

b. Si 6 = (£U!,£33U2 = féUf-í3), entonces

= Ai < (Cí,£?,£?), foV,»/3) > +A2 < (^,í22,^3),('?1,r,2,r?

3) >

= Ai < ^i,r/ > +A2 < £2,f7 >

c. Por un cálculo directo,

< Í¿ >=< (t\e,e), (e,e,ñ >= (e1)2 + (ñ2 + (ñ2 > oDe hecho, Oí1)2 + (e2)2 + (£3)2 = 0 <=» í 1 = í2 = í 3 = 0. O

Sea £ € R3, y considérese el conjunto de vectores en R3,

ei =(1 ,0 ,0)

e2 = (0,1,0)

e3 = (0,0,1)

O Si ^ = (^,^2,^3) es un vector arbitrario, al calcular el productoescalar de £ con cada uno de estos vectores se tiene que




es decir, obtenemos las coordenadas de £. [>

En general, si £ = (£*,£2, • • • £n) es un vector en Rn, y lo definimos por

et = (0,0,«-• ,1,0,0)

al vector con 1 en la z-ésima coordenada y con las demás coordenadas nulas,se obtiene que

lo que nos da la z-ésima coordenada de £.

De esta forma £ en R3 se puede escribir como

£ = (i,o,o) + £2(o,i,o) + 3(o, 0,1) = ( e 1 , ^ 3 )

es decir,

donde los vectores eL son como se definieron.

EJEMPLOS.

a. El vector £i = ( — 1,4, —2) se puede escribir en términos de los vectoresei, e-2, e3 como,

d = ( -1 ,4 , -2 ) = (-1,0,0) 4- (0,4,0) + (0,0,-2)

= -1(1,0,0)+4(0,1,0) -2(0,0,1) = - l e í + 4e2 - 2e3

b. El vector £2 = (2,0,3) se escribe como

£2 = 2ex + 0e2 + 3e3 = 2ex + 3e3 >

Los vectores ei ,e2 ,e3 definidos de esta forma son llamados vectorescanónicos y satisfacen:

a. En producto escalar de un vector canónico consigo mismo es la unidad,

< ei,ei > = 1, < e2,e2 >= 1, < e3,e3 > = 1

b. El producto escalar entre dos de ellos diferentes es cero,

< ei,e2 > = < (1,0,0), (0,1,0) > = 0, < e i , e 3 > = 0 , < e 2 , e 3 > = 0




El conjunto de vectores {ei, e2, 63} se dice ser la base canónica de R3.

Dos vectores £, 7/ tales que < £, 77 >= 0 se llamarán ortogonales. Másadelante explicaremos el por qué de esta definición.

EJEMPLO.

a. Los vectores £ = ( - 1 , 1 , 2) y 77 = (2, 2, 0) son ortogonales debido a que

< £,77 > = < (-1,1,2), (2,2,0) > = - 2 + 2 + 0 - 0 .

b . Los vectores £ = (1,-1,3) y r\ = (1,-1,1) no son ortogonales debido aque

< f,77> = < (1,-1,3) , (1,-1,1) > = 1 + 1 + 3 = 5 ^ 0

c. Si £ = (£x,f2) es un vector plano (en R~), es fácil construir un vectorortogonal a £, si se cambia el orden de las coordenadas y el signo de unade ellas: •/? = ( - í 2 ^ 1 ) -

< < £,7? >=< (eu2), (-í2^1) >= -^c 2 + É V = 0.

Para muestra, si £ = (1, 2), entonces r¡ = ( — 2,1) es ortogonal a £. >

En virtud del Lema 2.3 se pueden definir los conceptos de distanciaentre dos puntos, norma del vector, y ángulo entre dos vectores.

DEFINICIÓN. Definimos la norma del vector f = (f\£2,£3), conocidapor ||£||, como

EJEMPLO. Dados los vectores £x = (-1,0,3) y £> = ( ^ , ^ , 4 ) , se cal-culan sus normas por

73 v/73

No es difícil comprobar que se cumplen las siguientes propiedades de la.norma.



2.2 El producto escalar y la norma en 77

LEMA 2.3 Para los vectores £,77 G R 3 1/ los escalares /i, A G R se cumpleque

a- ||Ae|| = |A|||e||b. Sz < £,77 > = 0 entonces ||£ -f /?|| = ||£ — T/||- ^ tal caso, los vectores £y i) se llamarán ortogonales o perpendiculares.

c. Si £ y rj son perpendiculares, entonces es justo El teorema de Pitá-goras (véase la figura 2.5 a.)

d. Se cumple la igualdad de Schwarz

e. Se cumple la desigualdad triangular

y la igualdad es válida si £ yrj son múltiplos por escalares (véase la figura2.5 b.).

a.

Figura 2.5: a. Teorema de Pitágoras b. Desigualdad del Triángulo.

Demostramos algunos incisos de este Lema.

a.

b .

=< * + n-* + n >= +2v, v



78 Vectores en R2 y R¿

=< £, £ > + < r/, r] >=< f, £ > - 2 < f, 77 > + < 77, 77 >

c. Ya se comprobó en b . con las primeras tres igualdades, bajo el supuestoque < £,77 > = 0.

d. Se deja como ejercicio.

e. Por el inciso d., aplicado en la segunda desigualdad siguiente

| | í + r,\\2 = < £ , £ > + 2 < Z,ri > + < V , v > = \\Z\\2 + 2 < S , v > 2

< m\2 +2\<S,r,>\ + |M| 2 < Híll2 + 2| |e | | |M| + INI2

se cumple que

lo que implica nuestra afirmación. >

EJEMPLO. Sean los vectores £ = (-1,1,0), r¡ = (2,2,1). Entonces sonperpendiculares pues < £, r] >= 0 y se verifica que

es decir, se cumple el inciso a. del Lema 2.4,

Por otro lado, ||£||2 = 2, \\rj\\2 = 9, lo que verifica que se cumple Elteorema de Pitágoras,

EJEMPLO. Sean los vectores £ = (-1,1,1) y r¡ = (2, -2 ,1) , entonces

lo que indica que se cumple la desigualdad del triángulo para estos vectores,




Un vector £ £ IR tal que ||£|| = 1 se llamará vector unitario.

Así pues, dado el vector 77 6 E3 que no sea nulo, se garantiza la con-strucción del vector unitario

> I I „! I

lo cual se verifica directamente,

" " - " -" = 1 >

EJEMPLO. Para el vector rj = (1,4, -3) se tiene que ||r/|| = >/26, con loque se construye el vector unitario

, = (1,4,-3) = / 1 4_ - 3 \

v/26 V V ^ ' \/26' '

Ahora pasamos a definir la distancia entre los puntos arbitrarios delespacio, como la norma del vector localizado entre ellos.

Sean d a d o s dos p u n t o s p = (£1,2/1,21) , q = (£2? 2/21^2) en el e spac io

cartesiano, se define la distancia i entre los puntos mencionados, como lanorma del vector £ = p — q, es decir,

= < (xi - x2, V\ - 2/2, ¿1 ~ 22), {xi - :r2, 2/1 - 2/2, *i - 22) >

= {xi - x2)2 + (y! - 2/2)

2 + (^i - z2)2

EJEMPLO. Sean los puntos p = (1,2,3) y q = ( -2 , -1 ,0) entonces ladistancia entre los puntos p y q se calcula por la norma del vector £ =P-<Z = (3,3,3).

de donde,¿ = \/27

Sean ahora dos vectores, £ vector unitario y 77 un vector arbitrario. Bus-camos un vector £ en la dirección de £ tal que sea la proyección ortogonalde r¡ en £, es decir, el vector r/ - ( sea ortogonal al vector £ como lo muestrala figura 2.6.

< Ya que r¡ - ( se busca ortogonal a £, se deberá satisfacer que <




Por otro lado, si £ está en la dirección de £, entonces es suficiente conencontrar un escalar A tal que £ = A£.

Al sustituir en la ecuación de ortogonalidad se tiene que

0 = < V ~ C,£ > = < V ~ A£,£ > = < r/ ,e > - A < £ ,£ >

en virtud de que £ es unitario y por lo tanto ||£|j = 1.

Esto implica que A = < 77, £ > = < £, 77 >, y que entonces

C = < f , 7 7 > f >

Así, dados los vectores £ unitario y 77 arbitrario, podemos definir laproyección ortogonal del vector 77 en el vector unitario £ como el vector

C = < £ , » ? > £que es un vector que está en la misma dirección que £ (véase la figura 2.6).

Figura 2.6: Proyección de un vector.

EJEMPLO. Realizamos la proyección del vector 77 = ( —1,1,1) en el vector£ - ( 2 , - 1 , 5 ) .

<] Ya que £ no es unitario, lo normalizamos mediante la división por sunorma

£ (2, -1 ,5) / 2 - 1 5/30' v/30' \/30

De esta manera, el vector buscado es

= ¿ < (2,-1,5), (-1,1.1) > (2,-1,5) = ¿(2,-1,5)= ( 1 ,

El cálculo en este ejemplo prueba el siguiente corolario.




COROLARIO 2.1 La proyección del vector r¡ arbitrario en el vector nonulo £, llamado £, se calcula por la fórmula

En muchas ocasiones, cuando no haya confusión, entenderemos no alvector £ obtenido, sino al escalar (factor de £)

< g, V >

como la proyección mencionada.

De la figura 2.6 se tiene que si £, r\ son vectores arbitrarios y £ es laproyección de rj en £ entonces al considerar el ángulo 9 entre los vectores £y n se tiene que

\

cos9 - LlM

Si se sustituye el valor de C = "ff¿n f £ se tiene entonces que

IHIII4II2 ll?ll

cuando consideremos a ^ G [O,TT]. Esto demuestra el siguiente Lema.

LEMA 2.4 Si £ = ( f 1 ,^2 ,^3) , V = (771, r72, /73) son dos vectores en R3,formando un ángulo 9 entre ellos, se define éste ángulo por la igualdad

, 3 =

donde 0 < 9 < n.

En otras palabras el producto escalar de los vectores £ y r\ se puedeescribir como

EJEMPLO. Si los vectores £ y 77 cumplen que < £, 77 > = 0, sabiendo queambos son no nulos, entonces

lo que implica que cos# — 0, y consecuentemente 9 — TT/2. Esto justificasu nombre de vectores ortogonales.



82 Vectores en IR2 y R:

EJEMPLO. Sean los vectores £ = (2, -1 ,1) y r\ = (3, - 4 , - 4 ) , entonces

< £,T) >= 6 + 4 - 4 = 6

y las normas son ||£|| = \/6 y \\r¡\\ = \/41

<3 Por lo tanto, el ángulo formado por £ y 77 es

/ £ , y 6 [= are eos x, ( ,,,,, ,, ,, ) = arceos = are COSA/—. O

Vov41 V 41

Como última observación de esta sección tenemos que de las relaciones

podemos decir que

< 1IKIIIMI

lo que nos lleva a verificar la desigualdad de Schwarz

< IKIenunciada en el inciso d. del Lema 2.3.

2.3 El producto vectorial

Definimos ahora el producto vectorial en el espacio R3.

DEFINICIÓN. Sean £ = ( É 1 , ^ 3 ) , rj = faW,^3) dos vectores en R3.Se define el producto vectorial de £ con 77 definido por [£,77], como elvector en R3 con coordenadas

en la base canónica ordenada {ei ,e2 ,e3}.2

Una forma de recordar las coordenadas del vector [£,77] e s a través dela siguiente cadena convencional de igualdades

2En algunos textos utilizan otra notación para asegurar la operación del productovectorial, por ejemplo: x y A. Para ejemplificar

[£,??] = É x r) = £ A rj

Nosotros utilizaremos la notación [, ] donde se requiera efectuar la operación del pro-ducto vectorial.



2.3 El producto vectorial 83

- l]2t; 3 ) < - i - (O/el c*

7/1 y/'

'2 + (íel

- £ 2 "

en1

<-:Í

donde el determinante último se calcula mediante la expresión penúltima.

EJEMPLO. Dados los vectores £ = (1, -1,1) y // = (-2, 3,1) se tiene que

e\ C'i e-¿

1 - 1 1 = e\- 13

11

1- 2

i

+ t".\1 - 1

- 2 3-2 3 1

= ei(-4) -e2(3) + ^ ( l ) = (-1,-3,1)

= (1,1,3),// = (2,2,6) obtenemos <EJEMPLO. Para los vectoresvector

1 1 32 2 6

ti12

36 — (i 2

12

36 + f*

11

11

-ft:*(0) = (0,0,0)

En este último ejemplo no es extraño tener el resultado vector (0,0.0).debido a que los vectores £ y // dados son paralelos, es decir, £ es unmúltiplo escalar de //, de hecho, f = \q.

De manera general, dados dos vectores paralelos £ y //, su productovectorial es nulo.

<d Si ^ = A77 para algún A G R, entonces,

= A ¡1 rf1 o

= A(0,0,0) - (0,0,0). >

La recíproca de esta afirmación, que toda pareja de vectores cuyo pro-ducto vectorial se anula es una pareja de vectores paralelos, es tambiéncierta y es consecuencia del inciso f. del Lema 2.5.

Observamos que el producto vectorial [, ] está definido en parejas devectores en R3 y su valor es otro vector en R1*.

Mostramos ahora las propiedades del producto vectorial [, ] de dos vec-tores espaciales.



84 Vectores en R2 y2 „ TCP 3

L E M A 2.5 Dados los vectores £,//, C en W y los escalares X, // e R setiene

a.

h .

[£, //] es ortogonal a £ y i) : < [£, //], £ > = 0 y < [£,//],// > = 0

[£,//] = —['/,£], (anticonmutatividad)

A^,//] = [í* A//] = A[ , //] (conmutatwidad respecto a escalar).

d.

e.

, A// -f //(,"] = A[í, //] (distribuüvidad)

f.

— I li l i ^ donde 0 es el ángulo entre £, y

[£« ['/- C]] + [C [C //]] + [ /, [C, i]] = 0 (Igualdad de Jacobi)

<\ Hacemos las pruebas apenas de algunos incisos de este Lema,

a. Si £ = (S1 ,^2 ,S :*), // = {tj\rf<>ñ entonces

Si escogemos, por ejemplo a £, obtenemos

b. Por la propiedad de cambiar el signo a un determinante, si se permutandos renglones se tiene

e>2e e e 1

eeo

2

e nee ^ ? =-T)1 if I?

d. El corolario 1.7 prueba la distribución mediante la cadena de igualdades:

eo

+ /iC2 A//3 +



2.3 El producto vectorial 85

~ Ac\

i ¡2 rf

('i ('.•> (•:<,

e e ec e c!

Los demás incisos se comprueban de manera similar. D>

De la propiedad f. del Lema 2.5, se tiene que si dos vectores no nulos£, r¡ satisfacen que su producto vectorial es el vector cero, entonces

0 = 11(0,0,0)11 = ||fc,7/]|| = IKHIM|s<.n0,

lo que implicaría que el ángulo 0 formado por ellos satisface que sen# — 0o bien 0 = ir. Esto es, los vectores son paralelos. Por esto es que podemosdefinir a un par de vectores como paralelos, si su producto vectorial seanula.

EJEMPLO. Sean los vectores £ = (1, -1 ,2) y /; = (0, 1,3), entonces, porel inciso a. del Lema 2.5 el vector [£,//] es ortogonal tanto a £ como a, //.Esto es,

< C =e\ e<2 e-¿

0 - 1 20 1 3

= (-3 -

es ortogonal a £ y a q. D>

Si se consideran dos vectores arbitrarios £, // en R'\ estos generan unparalelogramo R como lo muestra la figura 2.7

Figura 2.7: Área de un paralelogramo.

Tal paralelogramo R tiene una base ||£|| y altura ||//|| sen#, donde 0 es elángulo entre £ y q. De esta manera, el área del paralelogramo es calculadopor

Área (R) = (base x altura) = ||£|| ||/;|| sen9

con lo que tal área se calcula según el inciso f. del Lema 2.5 mediante lasigualdades

Área (R) = ||£|| ||r/|| s en#= ||[£, r/]||



86 Vectores en R2 y

EJEMPLO. Calcular el área del paralelogramo generado por los vectores£ = (7.8.9) y,, = (-3,5,2) .

<\ Primeramente calculamos el vector [£,//],

;•'/] =('I C'2 <'\\

7 8 9- 3 5 2

85

92 **

7ó

92

7 85

= r^-29) - c2(il) + (59) - (-29,-41,59).

y después el área del paralelogramo

Área = ||[£, /,]|| = v/(-29)2 + (-11)2 + (59)2 = V6003 >

Figura 2.8: Momento de acción de £ en //

Por otro lado, el producto vectorial puede ser considerado mecánica-mente como el momento de acción del vector £ en el punto p que tieneasociado el vector de posición i] (véase la figura 2.8).

2.4 El triple producto escalar y bases de R3

Ahora, definimos el producto mixto o triple producto escalar de tresvectores ordenados.

DEFINICIÓN. Dados los vectores £, //, C en E3 se define el productomixto o triple producto escalar de ellos al número real definido por(£, *7, 0 Y e n e s e orden, como

&•'/, 0 =<[£•»/]. C>

Obtenemos el siguiente resultado, útil para problemas prácticos.



2.4 El triple producto escalar y bases de 87

LEMA 2.6 Dados los vectores espaciales £ = (£ \£ 2 , £ 3 ) , r\ — (771,77a, 77a)VC=(C\C2X3) se tiene

a. El producto mixto de £,rj y £ en coordenadas se calcula por

e e ee e c3

b . £/ producto mixto no cambia si se hacen las permutaciones circulares,es decir,

c. El producto mixto es anticonmutativo al transponer dos vectores, porejemplo,

(É.'j.C) = -(»?,£, 0 -

d- (£, 7, C) — 0 si y sólo sí, los tres vectores están contenidos en un mismoplano.

e. El volumen V del paralelepípedo tendido sobre £,rj y £ se calcula por

O Ya que (£,//, C) = < [£,??], C >, entonces,

e2 e3

v2 - e 2

e

e

- c 2

e + e3

f3

V2

nl

AC,

n2

c1 c2 c3

41 í2 £3

1 2 37] rj r¡

e e eí/1 7/2 77á

c1 c2 c3

lo que demuestra el punto a.

Los puntos b. y e . tienen pruebas análogas utilizando las propiedadesde los determinantes.



88 Vectores en R2 y

Figura 2.9: Volumen del paralelepípedo.

Para demostrar el punto d., de la figura 2.9 se tiene que el paralelepípedotiene una base con área ||[f, rj\|| y altura igual a la proyección de ( en [f, 77]cuya longitud es el valor absoluto

,»?], C >

Por lo tanto, el volumen del paralelepípedo será

Volumen=área de la base x altura =

que prueba la afirmación.

El inciso e. se sigue inmediatamente del inciso d. t>

EJEMPLO. Sean los vectores £ = (1,1,0), rj = (0 , -2 ,3) , C = (1,1,1)-Entonces, el triple producto escalar de ellos se calcula

£,*?, 0 =101

1- 21

031

= 1- 21

31 - 1

01

31 + 0

01

- 21

= - 2

EJEMPLO. Dados los vectores £ = (1,0,0),77 = (0,2,0), C = (4,2,0)obtenemos

1 0 00 2 0 = 14 2 0

2 02 0

= 0




lo que era de esperarse pues £, 77 y £ son coplanares. De hecho se observadirectamente que £ = 4£ -f 2r/.

EJEMPLO. El volumen del paralelepípedo generado por los vectores £ =(2,-1,1), 77 = (1,2,3) y C = (1,1,-2) es

= 1( ,01 =2 - 1 11 2 31 1 -2

= I — 30| = 30

Consideremos ahora los vectores £1,^2, 3 en M3 satisfaciendo que sutriple producto escalar no se anula

(6,6,6) # o

Entonces, por el Lema 2.6 se tiene que no son coplanares, es decir, ningunode ellos depende de los otros. Esto se observa del hecho de que si algunode ellos fuera combinación lineal de los otros, por ejemplo

entonces su triple producto escalar sería, mediante determinantes

(6,6,6) =

66^6

+66

ti166

2

=

=

A

A?

666

66

+ M

6

666

= 0

lo que no puede ser.

DEFINICIÓN. El conjunto de vectores { 6 , 6 , 6 } C K3 se dice ser li-nealmente independiente si su triple producto escalar no se anula, esdecir,

EJEMPLO. Sean los vectores canónicos {ei,e2,e3} C R3.

< Es claro que

(ei,e2,e3) =

lo que los hace linealmente independientes. >

1 0 00 1 00 0 1

= 1



90 Vectores en

EJEMPLO. Sea el conjunto de vectores

6 = (1,1,0),

<3 Su triple producto escalar se calcula por

6 1

01

1

11

0

11

—11

11

01

11

lo que nos dice que son linealmente independientes. O

EJEMPLO. Sea ahora el conjunto de vectores

6 = ( i , i , o ) ,

6 = (2,5', 3)'

<3 El triple producto escalar entre ellos es

1 i o0 1 12 5 3

1 15 3

0 12 5

— I

& = A£i + nfr = A(l, 1,0)+

(2,5,3) = (A, A, 0) + (0, /i, //) = (A, A + /i, /i)

lo que hace de ellos un conjunto linealmente dependiente.

Esto es, existen escalares /i, A tal que, por ejemplo,

es decir,

o bien,

lo que implica que A = 2. /¿ = 3.

Por lo tanto, una dependencia lineal entre ellos se da mediante laigualdad




EJEMPLO. Sea el conjunto {^(1,2),^2 = (1/2,1)} C R2, entonces

1 21/2 1 = 1 - 1 = 0

lo que hace de estos vectores un conjunto linealmente dependiente en elplano R2. De hecho ^ = 2£2.

EJEMPLO. El conjunto de vectores {^ = (1,2), f2 = (-2,1)} es lineal-mente independiente en R2 pues

£21 2

-2 1= 5/0.

En general, un conjunto de n-vectores en Rn

{Éi ,É2, • • • & . }

se llamará linealmente independiente si el determinante de la matrizformada por tales vectores no se anula, es decir,

É»

Sea 1111 conjunto {^1,^2^3} de vectores linealmente independientes enR3. Ya que no todos pertenecen a un mismo plano, al considerar cualquiervector espacial ;/, las proyecciones paralelas de 77 en cualquiera de los vec-tores nos provee de escalares \\,\2,^?> £ R tales que el vector rj es unacombinación lineal de ^1,^2^2 mediante la igualdad

como lo muestra la figura 2.10.

Esto es. el conjunto de vectores {£1 £2, 3} genera al espacio R3 me-diante combinaciones lineales.

DEFINICIÓN. El conjunto de vectores {£1^2,£3} C R3 se llamará unabase para R3, si todos los vectores son linealmente independientes y gene-ran al espacio R3 mediante combinaciones lineales.

Resumimos la discusión anterior en el siguiente resultado.




Figura 2.10: Proyección paralela de 77.

T E O R E M A 2.1 Un conjunto de vectores {£ 1? £2, • • • 6 j C Rn es una basede vectores para Rn, si y sólo si, k = n y el determinante

E J E M P L O . Los vectores canónicos espaciales

{ei - (1 ,0 ,0) , e2 = (0 ,1 ,0) , e3 = (0 ,0 ,1)}

son una base de IR3, llamada la base canónica .Cualquier vector 77 = (/71,772,773) G IR3 se escribe

V = V\Z\ +me2 + 77363-

E J E M P L O . El conjunto de vectores

{ 6 = (1,1 ,0) , 6 = (0,1 ,1) , 6 = (1,1,1)}

es una base de vectores para R3

<\ De hecho, si r¡ G M3, se tiene que existen escalares Ai, A2, A3 tales que

es decir, si 77 = (r/1,^2, /7a), entonces

( ^ , r?2, r/3) = Ai (1 ,1 , 0) + A2(0,1,1) + A3(l , 1,1)




A3, Ai + A2 + A3, A2 + A3

o equivalentemente, los escalares Ai, A2, A3 resuelven el sistema de ecuacio-nes

Ai + A3 = T)1

Ai -f A2 + A3 = rfA2 + A3 - T]3

Tal sistema de ecuaciones tiene determinante

t

D =1 0 11 1 10 1 1

66

6= (6,6,6)^0

lo que implica que ese sistema tiene solución para las incógnitas Ai, A2, A3.

De hecho, por El método de Cramer

T

011

111

0 1 11 1 1 7,6,6)

D D

A9 =

110

r/1

T

ns

iii

i

i

i9

T1

0o

V1

D D(6, ?, 6)(6,6,6)

Esto se puede generalizar en el siguiente Lema, enunciado apenas parael caso tridimensional.

LEMA 2.7 Si el conjunto {£1^2, £3} C M3 es una base de vectores paraRs y q G M3 es tal que i] = Ai6 + A2Í2 + ^3^3, entonces los coeficientesA1.A2.A3 están dados por las igualdades

1 ~ Tes i •6-6) ' 3 ~~ (6,6,6)

EJEMPLO. Sea /; = (-1,3, - 1 ) É R 3 y sea la base de R3 dada por

{^ = (1,1.0), 2 = (0,1,1), 6 = (1,1,D}



94 Vectores en R2 y

Al calcular los determinantes, tenemos,

66

i i o0 i i1 i i

i

(n

(6

6,

,6

6,

,6) =

6) =

»/) =C

7

66

1

1

=

—

- 1

01

1- 1

1

1

0

- 1

3

11

1

3

1

11

3

- 1

11

0- 1

1

01

- 1

—

_ 31

13

1 11 1

- 11

1- 1

131

- 11

- 0- 1

^1

- 11

1- 1

A

= - 5

de donde, por el Lema 2.7 se tiene que

4— — = 4

A , =

(6,6,6)(6,6,7?) -5

= 1 = 4

(6,6,6) ihacen que

Ai6 + A26 + A3f3 - 4(1,1,0) + 4(0,1,1) - 5(1,1, 1)

= (4,4, 0) + (0, 4, 4) + ( -5 , - 5 , -5 ) = (4, 8, 4) + ( -5 , - 5 , -5)

= ( -1 ,3 , -1 ) =r]. >

E J E M P L O . Sean los vectores básicos {^ = (1,2), £2 = (-2,1)} de R2.Entonces dado 77 = (-1,3) se tiene que

V = A1C1 + A2 2

para los valores de Ai y A2 dados por

V- 2

1_ 2

31

21




A2 =

1- 1

1- 2

23

21

Esto se comprueba directamente de la igualdad

Ai6 + A2£2 = 1(1, 2) + l ( - 2 , -1 ) = (1,2) 4- (-2,1) = (-1,3) D>

Consideremos ahora una base {^1,^2,^3} de R3 y la ordenamos segúnel signo del determinante dado por el triple producto escalar

Í3

DEFINICIÓN. Decimos que la base dada {£1,6,£3} de R3 tiene unaorientación positiva a la derecha (regla de la mano derecha) si alconsiderar en el orden £i,¿;2,£3, el triple producto escalar

es positivo.

EJEMPLO. Los vectores básicos

{ex = (1,0,0), e2 = (0,0,0), e3 - (0,0,1)}

dados en ese orden le dan una orientación a la derecha al espacio R , envirtud de que

(e i ,e2,63) = 62

1 0 00 1 0o 1 o

= 1

EJEMPLO. En cambio, si se toma el orden de los vectores básicos canó-nicos dado por

{ex = (1,0,0), e3 = (0,0,1), e2 = (0,1,0)}

entonces tal orden le da una orientación negativa a la derecha a R3 envirtud de que

1 0 00 0 10 1 0



96 Vectores en

EJEMPLO. El conjunto de vectores básicos

{ 6 = ( 1 , 1 , 0 ) , 6 = ( 0 , 1 , 1 ) , 6 = ( 1 , 1 , 1 ) }

ordenados así, le dan una orientación a R3 positiva a la derecha en virtudde la igualdad

66

i i o0 i i1 i i

i

EJEMPLO. Los vectores básicos {fi = (1,2), f = (-2,1)} de R2 le danuna orientación positiva a la derecha al plano en virtud de que el siguientedeterminante es positivo

61 2

-2 1

Se observa que al tomar dos vectores no nulos arbitrarios £,77, sí [£,77]0, entonces los vectores unitarios

conforman una base que está orientada positiva a la derecha (regla de lamano derecha) por la elección del producto [£,77].

Todos los conceptos mencionados forman parte de los conocimientosbásicos de los cursos de Geometría analítica del plano y del espacio.

2.5 Vectores y valores propios de una matriz

En algunos problemas de aparición cotidiana en las ciencias naturales y laingeniería es necesario resolver una igualdad matricial del tipo

donde A es una matriz cuadrada (n x n), ( es un vector columna (n x 1) yA es un escalar.

En otras palabras, dada un matriz cuadrada A, el problema es encontrarun vector £ y un escalar A que hagan válida la mencionada ecuación.

Discutiremos el caso de dimensión 3 y mencionaremos los resultadosque se pueden extender para dimensiones arbitrarias.



2.5 Vectores y valores propios de una matriz 97

Sea A una matriz de 3 x 3,

A =« n «12 «13

«21 «22 «23

«31 «32 «33

y definimos el vector incógnita £ por el vector columna,

Entonces la ecuación matricial se escribe

A =

o bien,

«11 «12 «13

«21 «22 «23

«31 «32 «33 J \ £3

«11 «12 «13

«21 «22 «23

«31 «32 «33

= A

«11 «12 «13

«21 «22 «23

«31 «32 «33

- A

que matricialmente se escribe

0 =

y que induce el sistema de ecuaciones lineales

«11 -

«21

«31

A «12

«22 - A

«32

«13

«23

«33 ~

es decir, el sistema homogéneo en



98 Vec tores e n E 2 y R3

Tal sistema lineal homogéneo tiene asociada a la matriz (A — A/), y porel teorema 1.7, el sistema lineal homogéneo obtenido tiene soluciones notriviales (£ ^ (0,0,0)), si y sólo sí, det (A - XI) = 0, donde det define laoperación determinante de una matriz.

Caracterizamos a los escalares A y a los vectores £ que cumplen lacondición matricial dada inicialmente, para la matriz A.

DEFINICIÓN. Si A es una matriz cuadrada real, entonces el escalar Ase dirá un valor propio de A si satisface la ecuación

det (XI - A) = 0

llamada la ecuación característica de la matriz A.

Observamos que, de la relación 0 = det(A/ — A) = det (A — XI) paracalcular los valores propios de una matriz, ocuparemos cualquiera de estasecuaciones.

EJEMPLO. Calcule los valores propios de la matriz real de 2 x 2

A-( 3 2

A-{-i o<3 Al realizar las operaciones matriciales

1 0 \ _ / 3 2 \ _ / A - 3 - 20 1 ) I - i 0 i - I 1 A

se obtiene,

det(A/ -A) = á e t ( X1

3 * ) = X2 - 3A + 2

lo que implica que la ecuación característica de A es

A2 - 3A + 2 = 0

Las raíces de esta ecuación son A = l y A = 2, y son los valores propiosde A. \>

EJEMPLO. Calcule los valores propios de la matriz

9 1¿d -L

5 2

<3 Procediendo como en el ejemplo anterior se obtiene

det(A7 - A) = det \ x ) = A2 -\




Con lo cual, los valores propios de A deben satisfacer la ecuación cua-drática A2 + 1 = 0.

Dado que las únicas soluciones de esta ecuación son los números ima-ginarios A = 2 y A = — ¿, se sigue A no tiene valores propios reales. O

EJEMPLO. Encuentre los valores propios de

Corno en los ejemplos anteriores, se obtiene

det(A7 -A) = det [ - 3 A - 2 0 = A:* - 8A2 4- 17A - 1

Por lo tanto, los valores propios de A deben satisfacer la, ecuación detercer grado

A"3 - 8A2 + 17A - 4 = 0

Por inspección A = 4 es una raíz, es decir,

(A-4)(A2 - 4A + 1) = 0

consiguientemente, las raíces restantes de tal cúbica satisfacen la ecuación

A2 - 4A + 1 = 0

la cual se puede resolver mediante la fórmula cuadrática.Por tanto, los valores propios de A son

A = 4 A = 2 - >/3 y A = 2 - v/5 >

DEFINICIÓN. Sean, A una matriz cuadrada, y A un valor propio de A.El vector f se dirá un vector propio de A asociado a A si satisface laecuación matricial

(A - A/)£ = 0

EJEMPLO. Sea la matriz cuadrada de 3 x 3 dada por



100 Vectores en E2 y2 ,r 1D>3

O Calculamos sus valores propios resolviendo la ecuación

0 - dvt{A - XI)

es decir.

0 =2 - A - 1 0

- 1 2 - A 00 0 4 - A

= (-1-A)(A2 - 1A + 3 )

cuyas raíces son A = 1,3, 1.

Para calcular los vectores propios asociados a cada valor propio, consi-deramos la ecuación ínatricial

(.4 - A/K = 0

para cada valor de A, es decir, el sistema homogéneo,

(i - x)e = o.

Para A = 1 se tiene el sistema

Notamos que la primer ecuación es la misma que la segunda, y quenecesariamente £'* = 0. Si ponemos x = f, entonces la solución general deesto sistema es

lo que indica que un vector propio asociado a A = 1 es

1

0

Para A = 3 se obtiene el sistema homogéneo

£3 = 0

cuya solución general es del tipo




lo cual implica que un vector propio asociado a A = 3 es

1

- io

Análogamente, para A = 4 se tiene el sistema, lineal

- 2 Í 1 - £ 2 = 0-£* - 2£2 = 0

Oí3 = 0

La tercer ecuación nos dice que £'* es arbitraria, mientras que el sistemade 2 x 2 formado por las dos primeras ecuaciones tiene sólo la solucióntrivial para £ \ £ 2 , debido a que

- 2 - 1- 1 - 2

3 j¿ O

Por lo tanto, la solución general de este último sistema homogéneo es

lo que implica que un vector propio asociado a A = 4 es

De esta manera, el conjunto

es un conjunto de vectores propios de A.

Observamos que este conjunto es una base de R3 debido a que

1 1 01 - 1 00 0 1

= - 2


A =1 2 - 42 - 2 - 2

- 4 - 2 1



102 Vectores en R2 y

Calculamos sus vectores y valores propios.

<\ Calculamos primeramente el determinante

0 =1 - A

1

2 - 4- 2 - A - 2

- 2 1 - A= A3 - 27A - 54

La ecuación cúbica obtenida tiene raíces enteras Ai = 6, Xo = — 3, A3 =3. donde una de ellas es doble.

El sistema lineal homogéneo para un valor propio A es

Para el valor propio doble A = — 3 se tiene el sistema lineal homogéneoen las incógnitas £ l , £~\ £'*,

Al resolver por El método de Gauss-Jordán, se tiene,

/?! - 2/?2) -> i?2, (/?i - R-¿)1 2 - 1 02 1 - 2 0

- 1 - 2 1 0

4 2 - 4 00 0 0 00 0 0 0

que induce la única ecuación con tres incógnitas

l^1 + 2£2 - 4£3 = 0 4= > 2 ^ + í 2 - 0

Al poner ^ — i, £2 = s, la solución general tiene la forma,

O s - -2'

- s \ =(t,0,i

u.i




E s t o e s , l o s v e c t o r e s o b t e n i d o s a l t o m a r ¿ = 1 , s = 0 y í = 0 , s = 2 ,

6 = [ o ) , & = 2

son vectores propios asociados a A = —3.

Para el valor propio A = 6 se tiene el sistema homogéneo

— 2£2 — 5£3 = 0

que se resuelve mediante El método de Gauss-Jordán de la siguiente forma.

- 5 2 - 4 0 \

2 - 8 - 2 0 (2RX +bR2) -> R2, (4R1 - bR3)-> R3

- 4 - 2 - 5 0 /

- 5 2 - 4 00 -36 -18 00 18 9 0

- 5 2 - 4 00 -36 -18 00 0 0 0

- 5 2 - 4 00 2 1 00 0 0 0

Es decir, se tiene el sistema,

1 + 2£2 - 4£3 = 0

2£2 - e3 = o

en el cual, si se pone £2 = t se tiene una solución general,

De esta forma, tomando t — 5, se tiene el vector




que es un vector propio asociado a A = 6.

Notamos que el sistema de vectores propios

{6 = (1,0,1), ^ - (0,2,1), 6 = (5,6,10)}

es una base de vectores para R , debido a que

1 0 50 2 61 1 10


A =

= -24 ± 0 O

y procedamos a calcular sus vectores y valores propios.

< Un cálculo directo nos muestra que

0 =1-A

10

02 - A

1

00

2 - A= ( 1 - A ) ( 2 - A ) 2

lo que nos indica inmediatamente que los valores propios son Ai = 1, A2 = 2y A3 = 2.

El sistema de ecuaciones lineales homogéneas que nos ayuda a calcularlos vectores propios es

(2= o= 0

De esta forma, para el valor propio A = 1 se tiene el sistema lineal,

O^1 = 0

lo que nos indica que £J es arbitrario y que £2 = —£x, £3 = f1. En otraspalabras, la solución general es




y por lo tanto,

es un vector propio asociado a A = 1.

Para el caso A = 2 se tiene el sistema lineal

í1 + 0£2 = 0 <=^ \ 0£2 = 0f + 0£3 = 0 { £2 4- 0£3 = 0

lo que nos indica, de la primera ecuación que £x = 0, de la tercera que£2 = 0 y que £3 es arbitrario, es decir, la solución del sistema es del tipogeneral

(£\£2>£3) = (0,0, t) = ¿(0,0,1)

De esta manera, el vector

& =

es el único vector propio asociado a A = 2. D>

De la discusión inicial se tiene el siguiente resultado.

TEOREMA 2.2 Las siguientes proposiciones son equivalentes para unamatriz cuadrada (n x n) dada.

a. A tiene un valor propio A.

b. det{A - XI) = 0.

c. Existe un vector propio £ para A asociado al valor propio X.

Una matriz cuadrada se dice diagonal si sus entradas que no estánsobre su diagonal son todas idénticamente nulas.

EJEMPLO. La matriz cuadrada

es una matriz diagonal.

DEFINICIÓN. Una matriz cuadrada real (n x n) A se dice diagonali-zable si existe una matriz invertible B tal que el producto B~lAB es unamatriz diagonal. En este caso se dice que B diagonaliza a la matriz A.

Tenemos el siguiente resultado para el proceso de diagonalización deuna matriz cuadrada.




TEOREMA 2.3 Para una matriz cuadrada A de (nxn) son equivalenteslas siguientes proposiciones.

a. A es diagonalizable

b. Los vectores propios A conforman una base de Rn y la matriz B formadapor los vectores propios de A (como vectores columna) diagonaliza A.

< Daremos la prueba apenas para las matrices de 3 x 3, indicando quepara dimensiones mayores la prueba es análoga.

Suponemos que A = Asx3 es diagonalizable. Entonces existe una matriz

( bu bi2 &13621 b22 ^23

tal que B~l AB es una matriz diagonal D — B~XAB que tiene forma,

Esto implica necesariamente que BD = AB.

Por un lado, se tiene

n 612 bi^ \ í Ai 0 0 \ / A1611 A26i2 A3613BD= \ b21 622 623 I I 0 A2 0 = Ai621 A2622 A3623

31 ^32 b33 j \ 0 0 A3 / \ Ai631 A2632 A3633

donde hemos escrito a la última matriz mediante sus columnas.

Por otro lado, si escribimos a la matriz B mediante sus columnas, de lamultiplicación de matrices se tiene

AB = A(bi b2 63) = {Abx Ab2 Ab2)

De esta manera, al igualar columnas en la igualdad AB = BD se ob-tienen las igualdades

Abi = A1&1, Ab2 = \2B2, Ab3 = A363

es decir, {61, 62, 63} es un conjunto de vectores propios de A asociados a IOGvalores propios correspondientes Al7 A2,A3.




Por otro lado, debido a que B es invertible, se cumple la relación

(61,62,63) =

hi 612 613

621 622 623

hi 632 633

que hace de {61, 62, 63} una base de vectores propios para E3. Esto demues-tra que a. implica b .

Para probar la recíproca, sean {£1, £2, £3} los vectores propios de Aasociados a los valores propios Ai, A2 y A3 respectivamente, y sea

( í\ £ tiB = (6 6 6) = ti Ú Ú

\ f1 P2 P3

\ S3 S3 S3

Entonces B es invertible pues los vectores son linealmente independien-tes.

Por las consideraciones anteriores se tiene que

f i 0 062 6 ) 0 A2 0 = BD

0 0 A3

donde D es la matriz diagonal, cuyas entradas diagonales son los valorespropios de A, es decir,

De esta manera, B diagonaliza a A pues se cumple la igualdad matricialAB = BD, o equivalentemente, B~l AB — D. Esto termina la prueba delteorema. D>

Otro resultado útil para el proceso se diagonalización es el siguiente,cuya prueba omitimos por ser más técnica.

LEMA 2.8 Si los valores propios de una matriz cuadrada A son todosdiferentes entre sí, entonces los vectores propios de A conforman una basede vectores propios.

Este resultado, junto con el teorema 2.3, implica el siguiente que es degran utilidad.



1 0 8 V e c t o r e s en R2y

TEOREMA 2.4 Si la matriz cuadrada A de n x n tiene diferentes entresí a todos sus valores propios, entonces es diagonalizable.

Esto implica necesariamente que BD = AB. <] Por el Lerna 2.8, si losvalores propios de A son diferentes entre sí, entonces los vectores propiosde A conforman una base de R'\ Por el teorema 2.3, A es necesariamentediagonalizable \>

EJEMPLO. Para la matriz cuadrada

A =

se ob tuv ie ron los vectores propios

{fi = ( 1 , 1 , 0 ) , £2 = ( 1 , - 1 , 0 ) , £2 = ( 0 , 0 , 1 ) }

asociados a los valores propios A = l ,A3 = 3 y A = 4 respec t ivamente , yque conforman u n a base de IR3.

Sea B la ma t r i z

B =

que cambia la base canónica {e 1,62,63} por la base de vectores propios

Por el teorema 1.5 se tiene que

/ 1/2 1/2B~l = 1/2 -1 /2

\ 0 0

y un cálculo directo prueba que

/ 1/2 1/2B~lAB= 1/2 -1 /2

\ 0 0

/ 1/2 1/2 0- 3/2 -3 /2 0

\ 0 0 4

es una matriz diagonal, con los valores propios como elementos diagonales.

Consecuentemente A es diagonalizable por la matriz B. >




El siguiente ejemplo nos muestra que una matriz A puede ser diagonal-izable, aún sin tener todos sus valores propios distintos.

EJEMPLO. Para la matriz cuadrada

A =

se obtuvo una base de vectores propios

{Ci = (1, 0,1), & = (0, 2,1), £3 = (5, 6,10), }

asociados a los vectores propios Ai = \2 = —3 y \-3 = 6 respectivamente.

Sea la matriz B dada por

que cambia la base canónica {ei,e2,e3} por la base de vectores propiosobtenida.

Mediante El método de Gauss- Jordán de la sección 1.8 se puede obtenerque

/ 7/2 5/4 - 5 / 2B'1 = 3/2 5/4 - 3 / 2

V - 1 / 2 - 1 / 4 1/2

y un cálculo directo demuestra que

7/2 5/4 - 5 / 2B~lAB = ( 3/2 5/4 - 3 / 2

- 1 / 2 - 1 / 4 1/2

En otras palabras, la matriz B diagonaliza a la matriz A. t>

EJEMPLO. Al considerar la matriz

A =



110 Vectores en

se obtuvieron los valores propios Ai = 1 y A2 = 2, y apenas dos vectorespropios correspondientes a tales valores propios

{£1 =(1,-1,-1), fc = (0,0,1)}

< Como este conjunto es linealmente independiente, pero no conformauna base de R , se sigue que la matriz A no es diagonalizable. D>

Sobre métodos más generales de diagonalización el lector interesadopuede referirse al trabajo de Antón (1981), donde encontrará más datos.

2.6 Rectas y Planos en E3

En esta parte introducimos los conceptos de recta y plano como objetoscontenidos en un espacio tridimensional, caracterizándolos mediante loselementos que les definen.

Rectas en el espacio

Dados, un punto p E Mn y un vector f, los puntos q de la recta L Cpasa por p y es paralela a £ satisfacen la ecuación

que

para algún número real (véase la figura 2.11).

q

o 5

Figura 2.11: La recta en Rn.

DEFINICIÓN. Decimos que la ecuación

q = p + t£: t e R

es la ecuación de la recta contenida Rn por el punto p con el vectordirector £. Se llama también ecuación paramétrica de L pues dependedel parámetro t.



2.6 Rectas y Planos en R3 111

EJEMPLO. Hallar la ecuación paramétrica de la recta L en el plano quepasa por los puntos p\ — (3, 2) y p2 = (4,1).

<\ La recta pasa por p = (4,1) y la dirige el vector de posición

É = P 2 - P i = (4 ,1 ) - (3 ,2 ) = (1 , -1)

De esta manera, si q = (x, y) está sobre la recta, entonces satisface larelación

En otras palabras, el par de ecuaciones

y = i ~t

definen a la recta L.

Si en las relaciones anteriores despejamos t,t = x—4, t = I—y, entonces,al igualar tales ecuaciones se obtiene

x — 4 = 1 — y

que implica la igualdady = - x + 5

que también define a la recta L, pero sin parámetro (véase la figura 2.12)

EJEMPLO. Hallar la ecuación de la recta L en IR4 que pasa por los puntos

Pi = (2,3,4,2), p2 - (6,4,-5,1)

<3 Tal recta pasa por p = (2, 4, 3, 2) y tiene vector director

É = Pi - P2 = (2,4,3,2) - (6,4, -5 ,1) = (-4,0,8,1)

Por lo tanto, en las coordenadas (x,y,z,w) se tiene que todo puntoq = (x, y, z, w) e L, cumple las igualdades

(x,y,z,w) = (2,4,3,2) + ¿ ( - 4 , 0 , 8,1) = (2,4, 3, 2) + (-4í ,0, 8t,t)

= ( 2 - 4 t , 4 , 3 + 8t,2 + í)

Esto es, la recta L se define por el sistema paramétrico

x = 2 - 4í

y = AteR

z = 3 -f 8t




,2)

Figura 2.12: Recta y = —x + 5

Para ilustrar, evaluamos en estas igualdades algunos argumentos tem-porales t e R.

Si se toma t = 0 entonces el punto (x = 2, y = 4, z = 3, w = 2) está enla recta L.

Si t — — 1, entonces también el punto con coordenadas x — 6, y = 4, z =— 5, IÍ; = 1 pertenece a L. [>

En particular, aquí estamos interesados en las rectas contenidas enR3, tal que si pasan por un punto p = (a,b,c) con vector director £ =(£1,£2,£3), se tenga su definición mediante un sistema que tenga la forma,

Planos en el espacio

Dados, un punto p £ R3 y un vector n G R3, se define la ecuación delplano P pasando por el punto p con el vector normal (ortogonal) n, comoel conjunto de puntos q (variables) € R3, tales que satisfacen la ecuación.

< n,q - p >= 0

o bien, la ecuación equivalente,

< n,q > = < n,p >

La figura 2.13 ilustra la definición para el plano 2-dimensional en R3.

Notamos que para el caso de Rn, se pueden hacer definiciones análogaspara un (n - l)-plano.



2.6 Rectas y Planos en R3113

n

* 0

Figura 2.13: El plano en R3.

EJEMPLO. Sea el punto p = (-3,1,2) en R3 y sea n = (-4,5,3) unvector en R3. La ecuación del plano por el punto p y normal n es, encoordenadas q = (x, y, z), viene dado por la igualdad

< < (-4,5,3), (x,y,z) >=< (-4,5,3), (-3,1,-2) >

o equivalentemente,

-Ax + 5y + 3z = 12 + 5 - 6 - 11

lo cual implica que la ecuación buscada del plano en R3 es

-4z + by + 3z = 11 >

En general, para la ecuación

< n,q >=< n,p >

del plano P pasando por p = (pi,P2?P3) c o n vector normal n = (a, 6, c) setiene que en las coordenadas (x, y, z) los puntos q = (x, y, 2) de P satisfacenla ecuación

< {a,b,c), (x,y,z) >=< (a,b,c), (p i ,p 2 ,P3) >

o equivalentemente, satisfacen la ecuación

ax + by + cz = api H- &P2 -f cp3 = d

De esta forma, una ecuación del tipo

ax + by + c¿ = d

representa la ecuación de un plano en R3 conteniendo un vector normaln — (a, 6, c).




EJEMPLO. La ecuación

2x + 3y -f 6z =

representa a un plano en R3 con un vector normal n = (2,3,6)<] Si hacemos y — 0, z — 0 sobre el plano R2

2 entonces, de la ecuacióndada se tiene 2x = 1, lo que implica que # = ^.

Por otro lado, si hacemos y — 0, x — 0 sobre el plano R2 y entonces se

obtendría que en este caso z ~ ¿

Finalmente, si tomamos x — 0, 2 = 0 sobre el plano R2 2, entonces, a

partir de la ecuación del plano se tiene que y = ^.Lo anterior nos da los cortes del plano sobre los ejes, y la extensión del

triángulo mostrado en la figura 2.14 nos realiza totalmente el plano. t>

Figura 2.14: Parte del plano 2x + 3y + 6z = 1 en el primer octante.

OBSERVACIÓN. Dos planos P\, P2 en el espacio son paralelos si susrespectivos vectores normales son paralelos.

EJEMPLO. Sean los planos en R3, dados por las ecuaciones

-x + 2y-4z = 2, 3x - 6y + 12z = 7

< Sus normales respectivos son

m = (-1,2,-4), y n2 = (3,-6,12)

Al calcular el producto vectorial de estos normales,

e\ e2 es- 1 2 - 43 - 6 12

- 6 ) = (0,0,0)



2.6 Rectas y Planos en 115

se concluye que rt\ y ri2 son paralelos, lo que implica que los planos sonparalelos. i>

Generalizamos la idea de ángulo formado entre dos planos.

DEFINICIÓN. Sean dos planos P\,P2 contenidos en R3 y sean n i , n 2

sus normales respectivos. Se define el ángulo 0 formado por los planos P\y P2 como el ángulo 9 formado por sus normales n\ y n<i- La figura 2.15ilustra esta definición.

EJEMPLO. Dados los planos en R3

x + 2y + 3z = 1, x - 2y + z = 3

verificar si son paralelos. De no serlo, calcular su intersección y el ánguloentre ellos.

Figura 2.15: Ángulo formado por dos planos en R3.

< Los vectores normales respectivos son

m = (1,2,3) y n2 = (1,-2,1)

con lo que tenemos,

i e2 e3

[n i , 712] = 1 2 31 -2 1

= (2+ 6 , - ( 1 - 3 ) , - 2 - 2 )

= (8,2,-4) #(0,0,0)

Por lo tanto, los normales n\ y n2 no son paralelos y consecuentementelos planos se intersectan. Los puntos (x, y, z) contenidos en la interseccióndeberán satisfacer ambas ecuaciones.




T a l e s p u n t o s s e d e t e r m i n a n a l r e s o l v e r e l s i s t e m a l i n e a l 2 x 3 ,

x + 2y + 3z = 1x - 2y + z = 3

el cual, al hacer z — t induce el sistema,

x-2y = 3-t

Utilizamos La regla de Cramer para resolver este sistema. Calculandolos determinantes, obtenemos,

1 21 -2

= - 4

D,=

y de esta manera,

l-3t 23-t - 2

1 1-3*1 3-t

= 8t-8

= (3 - t) - (1 - 3t) =

Dx 8t -

y =DyD

- 4

- 4

= -2t 4- 2

2 2

Por lo tanto, la solución del sistema (intersección de los planos) es larecta parametrizada

x = -2t + 2

donde ¿ € K es un parámetro temporal.En particular, si ¿ = 0 se tiene la solución particular # = 2, y = — ?¿,z =

0, es decir, el punto (2, , 0) está en ambos planos, lo que se verifica direc-tamente al sustituir en las ecuaciones de los planos,

• í 2 + 2 ( - i )+3 (0 ) = 1\ ( ^ )

Para calcular el ángulo entre los planos se calcula el ángulo 6 entre susvectores normales

/ < n i , n 2 > \ (I - 4 + 3(9 = arceos - — T T ^ — - = arceos

\/Í4\/6




es decir,

0 = arccos(O) = —

lo que nos dice que los planos son ortogonales. O

Es fácil probar el siguiente Lema utilizando las ideas del ejemplo ante-

rior.

LEMA 2.9 Si la pareja de planos

•hy \z — d\

no es paralela, entonces se intersectan en una recta parametrizada. Másaún, forman el ángulo 0 dado por,

ni,n2 >\0 = arceos

donde ri\ — ( a i , 6 i , c i ) , 712 = (02,^2,02) son los normales respectivos.

<\ Es un cálculo directo al resolver el sistema de ecuaciones lineales dadopor los planos. \>

EJEMPLO. Calcular la intersección de los planos en R3,

x — y -f 3z = 93x - by + z = - 4\x - ly + z = 5

< Resolvemos el sistema de ecuaciones de 3 x 3 usando La regla deCramer.

D =1

34

- 1

- 5- 7

3

11

- 5- 7

11

34

11 4-3

34

- 5- 7

9- 45

- 1- 5- 7

311

- 3- 4 - 55 - 7

9 - 15 - 7

9 - 1- 4 - 5

= 168

134

9- 45

311

= 334

- 45

14

95 +

13

9- 4 - 9 3



118 Vectores en

134

J- 7

9- 45

- 5

- 7

1

534

- 45

+ 934

- 5- 7

= - 7

Por lo tanto, las soluciones al sistema son

Dx 168D ^2

93D -2

De esta manera, el punto donde se intersectan los planos tiene coorde-nadas

(> 2

De igual forma, para dimensiones mayores (n > 3) podemos definir laecuación de un plano en Rn (hiperplano) mediante los mismos elementos,n vector normal, p punto por donde pasa y q el vector variable, utilizandola ecuación

< n,p > = < n,q >

Por ejemplo, la ecuación

6x - 3y + z - 2w + 3v = 8

define un plano de dimensión 4 en el espacio M5 en el sistema de coordenadas(x, y, z, v, w) con un vector normal n = (6, —3,1, —3, —2).

EJEMPLO. Calcular la intersección en R4 de los hiperplanos de di-mensión 3, definidos por,

2x + ly + 3z + £ = 5x + 3y + 5z - 2¿ = 3z 4- 5y - 9z + 82 = 1

42 + 5¿ = 12

< Para calcular la intersección es necesario resolver el sistema, y lorealizamos mediante El método de Gauss-Jordan.

2 7 3 1 51 3 5 - 2 31 5 - 9 8 15 18 4 5 12

1 3 5 - 2 3 \2 7 3 1 51 5 - 9 8 15 18 4 5 12

(Ri - R2)

- R2)




/

V/ 1

00

De esta

1000

3_ 1

11

(

3- 1- 2- 3

57

- 7- 7

manera,

571421

- 2- 555

R.i) -_ 2_ 5

- 1 0- 1 5

31

- 1

- 1

/ I0

o

nos queda

3 \12

3 /

\

y3

- 100

, (5ñi - ,

/\

{R-¿

5700

+ R:

_ 2

- 500

\) ~

2)

3100

el sistema lineal

\

/

de 2 x 4 dado por

x + 3y 4- 52 - 2t = 3- y -f Iz - 5í = 1

Tal sistema lo resolvemos por La regla de Cramer en virtud de que

D =1 30 - 1 = - 1

lo que nos asegura que el sistema

í x + 3y = 3 - bz + 2í\ - y = 1 - 72 + 5t

tiene solución en dos variables libres z,t.La segunda ecuación indica la solución para la variable y, y es suficiente

con calcular sólo el siguiente determinante,

3 - 5z + 2tl - 7 z + 5t

3- 1 = - 6 + 262 17*

De esta manera,

- 6 + 26z - 17*D - 1

y por lo tanto, las soluciones se escriben



120 Vectores en

para argumentos reales arbitrarios de z y t.Este último sistema define a un plano de dimensión 2 contenido en R4,

esto es, la intersección de los hiperplanos dados de dimensión 3 es un planode dimensión 2. >

Distancia de un punto a un plano

Dados, un plano P y un punto p G E3, la distancia de p al plano P es ladistancia ortogonal de p a los puntos q del plano P.

• -P

Figura 2.16: Distancia de un punto a un plano.

Para calcular la distancia mencionada, se procede de la siguiente ma-lera.

< Si el plano P se define por la ecuación

ax + by -f cz — d

entonces n — (a, b, c) es un vector normal p.Por otro lado, cuando el punto q E P nos da la distancia ortogonal

buscada, entonces el vector p — q es múltiplo de n, es decir,

p — q — tn

para algún escalar t (ya que son paralelos), lo que implica que

Por otro lado, al buscar g G ? , este punto está en la recta con un vectorn que se une a p con q, escrita de la forma




donde p = (pi,p2,P3) y n = ( a5 ^ c ) es el vector director de la recta.

Buscamos entonces un escalar t tal que la recta contenga un punto q € Pq satisfaciendo el sitema que define a la recta, pero además q esté tambiéncontenido en P. Para esto, q — (x, y,z) (E L debe también satisfacer laecuación del plano, es decir,

d = a(#a + pi) + 6(t6 + p2) + c(tc + p3) = t(a2 -f 62 -fe2) + api + 6p2 4- cp3

= (api 4- 6p2 + cp3) 4- t(a2 4- b2 + c2)

lo que indica, al despejar t,

_ d - (api H-6p2 + cp3) _ d - (api + 6p2 + cp3)( a 2 + 6 2 + c2) " ||n||2

Por otro lado, el punto q G P debe satisfacer además la relación

llg-p|| = l*INIsiendo \\q — p\\ la distancia buscada de q a p.

Si entendemos por ¿ a tal distancia, se tiene

£ - \t\ INI - l d - ( a P i + f c P 2« - I « l l l » l | - ||||2

lo que implica_ \d- (api 4-6p2 4-cp3)[

INI

Se resume la anterior discusión en el siguiente lema.

LEMA 2.10 La distancia í del punto p — (pi,p2,P3) al plano P definidopor la ecuación

ax 4- by 4- cz — d

se calcula por la fórmula

f _ \d- (api 4-frp2 4-cp3) |

INI

donde n = (a,b,c) es el normal a PSi p = (pi,p2,p3) está en el plano, entonces satisface la ecuación del

plano, es decir,0 = d - (api 4- bp2 + cp3)

y. por lo tanto, su distancia al plano P es cero.




EJEMPLO. Sea el plano P dado por la ecuación

3x + 2y - z = - 1

y tomemos el punto p — (2, 5, 6).

< La distancia í del punto p al plano P es calculada mediante la cadenade igualdades,

•6]| | - l - 1 0 | 11

y/9 + 4 + 1 yf\A y/U

Ejercicios

1. Calcular < £,77 > para cada pareja de vectores dada.

a. £ = (-1,2), 77= (3,1)b. £ = (-1,0,1), 77 = (1,2,3)c. £ = (-1,2,3), i; = (1,2,-4)d. £ = (1,1,0,-1), 77 = (-1,0,1,2)e. £ = (4, - 2 , 3, -1) , r; = ( - 1 , - 2 , 3, -4)

¿Cuáles de las parejas de vectores dados son ortogonales?

2. Calcular ||£|| y |[7711 en cada uno de los incisos del ejercicio 1.

3. Calcular el coseno del ángulo formado por cada pareja de vectores £ y77 del ejercicio 1.

4. Calcular los ángulos del triángulo formado por los puntosa. (-1,1,1), (1,-2,3), (3,-1,1)b. (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)

5. a. Calcular la proyección de £ y 77 de todos los vectores del ejercicio 1.b. Calcular la proyección de 77 en £ de todos los vectores del ejercicio 1.

6. Demostrar que para dos vectores £, 77 con ángulo 0 entre ellos se cumplela fórmula

7. Calcular el producto vectorial [£, 77] de los vectoresa. £ = (2,3,-1) 77 = (6, 2, 3)b. £ = (-6,0,5) 77 = (3,0,3)c. £ = (1,0,-1) 77 = (-1,0,2)d. £ = (1,2,3) 77 = (2,4,6)

¿Cuáles de las parejas de vectores dados son paralelos?

8. Calcular el área del paralelogramo formado por los vectores £ y 77 encada inciso del ejercicio 7.




9. Calcule el volumen del paralelepípedo formado por las siguientes ternasde vectores. Calcule primero su triple producto escalar.a. £ = (2,0,1), v = (1,3,2), C= (4,-1,1)b. £ = (-2,1,1), r/= (-4,3,2), C = (0,0,1)c. £ = (0,-1,-1) , 77 = (0,0,-1), C = (-1,2,3)d. ¿Cuáles son una base de vectores en R3 ?e. Escriba el vector (—3,-4,1) como combinación lineal de cada baseencontrada.

10. ¿Cuáles de las siguientes matrices son diagonalizables?

e. A =

g. A =

i. A =

Para el caso afirmativo, calcule la matriz B, que cambia la base canónicapor la base de vectores propios, tal que B~1AB sea diagonal. Compruebe,realizando el cálculo, que B~lAB es diagonal, y que los vectores propiosque conforman B son una base.

11. Encontrar la ecuación paramétrica de la recta que pasa por los puntosindicados

a. (1,1,-1) Y (4,3,2)

b. (0,1,-6) y (-4,0,2)

c. (1,-2) y (2,1)

d. (1,1,-1,1) y (4,4,-4,4)

12. Calcular la ecuación paramétrica de la recta por p con dirección £ paracada pareja dada.

a. p = (1,1,-1), £ = (-2,3,-1)

b. p = ( - 2 , l ) , £ - (4 ,2 )

c. p = (2,3,0), £ = (-1,2,3)




d. p = (0,1,1,2), ^ = (-1,3,4,2)

13. Dar la ecuación de la recta que tiene un vector director £ que esortogonal a los vectores ( = (1,1,1) y rj = (-1,0,1) , y que pasa por elpunto (-3,1,2).

14. Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto dado p y tienevector normal n para cada pareja dada.

a. n = (-1,1,2), p = (2,3,-1)b. n = (4,-2,3), p = (-1,4,1)c. n = (-1,5,3), p= (4,1,6)

15. Calcular la ecuación del plano que pasa por los tres puntos dadosa. (1,1,1), (2,1,-1), (3,0,1)b. (3,-2,-1), (1,2,3), (2,-3,1)c. (4,0,2), (2,-1,0), (0,2,3)

16. Calcular el ángulo con el que se intersectan los planosa. definidos por a. y b. en el ejercicio 14.b. definidos por a. y b. en el ejercicio 15.c. definidos por c. del ejercicio 14 y c. del ejercicio 15.

í x+y+x=1\ -x+y-z=0

e.

17. Calcular la intersección de las parejas de planos dadas en todos losincisos del ejercicio 16.

18. Calcular la ecuación de la recta que pasa por el punto p y cuyo vectordirector £ es el normal al plano P cuando:a. p = (1,1,1) y P pasa por los puntos (1,1, -1), (-2, 3,1), (6, 2,0)b. p — (1,0,3) y P es ortogonal a los planos

x-y-Y z = 2—x + y — z — \

c. p = (2,3,1) y F es paralelo al plano qua pasa por los puntos(4,2,-1), (0,1,-3),(1,0,2)

19. Calcular la intersección de la recta L con el plano P, sia. L y P son la recta y el plano de a. en el ejercicio 18.b. L y P son la recta y el plano de c. en el ejercicio 18.c. L es la recta por p = (1,3,4) con vector director £ = (2,1,0), y P es elplano con ecuación 2x — y -f z = 4




20. Calcular la distancia del punto p al plano P si

a. p = (1,0,3), P : 6x - Sy + z = 6.

b . p= (-2,1,3), P : x + y + z = 2.

c. p= (4,3,2), P pasa por los puntos. (1,1,1), (0,0,0), ( - 1 , 1 , - 1 )



Capítulo 3

Curvas en R2 y en TD)3

3.1 Curvas suaves

En este capítulo estudiamos aquellos objetos geométricos en R3 conocidoscomo curvas. Lo hacemos de dos maneras, como la imagen de una funciónvectorial de variable real, y como objetos para los cuales localmente seven como una imagen de cierta función vectorial de variable real (curvasparametrizadas). Iniciamos la discusión con un ejemplo.

EJEMPLO. Una recta en R3 es un objeto que se describe por un puntodonde pasa p — (pi,P2,P3) y un vector director f = (£1,£2,£3).

< Su ecuación se describe como una relación de tipo

7 : R -> R3

donde a cada punto t G R se asocia un vector formado por coordenadasque son funciones reales de variable real

7(í) = (x(t), y(t), z(t)),

siendo las funciones coordenadas definidas por el argumento escalar men-cionado,

x = x(t) = £H + pi

y = y{t) = í2t + ?2

z = z(t) = £3t + p3 >

DEFINICIÓN. Una función vectorial de argumento escalar es unarelación

7: (0,6) - *R 3



128 Curvas en R2 y en

Figura 3.1: Función vectorial de variable real.

tal que a cada t G (a, b) se le asocia un vector j(t) en R3.

En coordenadas x, y, 2 de M3, tal asociación se escribe

), z(t))

donde x, t/, z : (a, 6) —• R son funciones reales (definidas sobre R) de varia-ble real t. Esto es, las funciones coordenadas se escriben

X = X(t)y = y(t) , t€(a,b)z = z(t)

En otra notación, utilizando la base canónica {ei,e2,e3J de R3, pode-mos escribir tal asociación mediante la igualdad

= x(t)e1 + y(t)e2 4- z(t)e3

A lo largo de este trabajo, utilizaremos preferentemente la notación— (x(t),y(t),z(t)) que no involucra a los vectores canónicos.

EJEMPLO. Sea la función 7 : R -> R2 dada por la relación

7(¿) = (eos t, sen t)

< Es una función vectorial (a R2) con argumento escalar dado por lavariable t e R.

Hacemos una asignación de argumentos y calculamos sus valores, comolo muestra la siguiente tabla.



3.1 Curvas suaves 129

t0

TT/4

TT/2

4

IX

(5/4)*(3/2)7T

(7/4)TT

(9/4)TT

7(í)(1,0)

V 2 ' 2 ;

(0,1)

\ 2 ' 2 ;

(-1,0)

V 2 ' 2 ;(0,-1)

(V2 _V2\V 2 ' 2 ;

(1,0)

V 2 ' 2 J

A continuación mostramos cómo se consiguieron algunos elementos dela tabla.

7(0) = (eos 0, sen 0) = (1,0)

7(TT/4) = (cos7r/4,sen7r/4) = — , — I

7(?r/2) = (cos7r/2,sen7r/2) = (0,1)

'3TT\ _ /

7((3/2)7r) = (0,- l)

Observamos que todos los valores de 7 obtenidos de esta manera estáncontenidos en el círculo unitario del plano Rly como se muestra en la figura3.2.

Afirmamos que la imagen de R bajo 7 es completamente el círculo uni-tario

Sl = {(x,y)\x2+y2 = l}

Para demostrar esto, sea ^(t) un punto en la imagen, entonces,

||7(t)||2 = 11 (eos í, sen t) \ |2 - eos2 t 4- sen2t = 1




7(3)

Y(0)=Y(27Ü)

(eos tfsen t)

Figura 3.2: Círculo unitario de S1

por lo tanto, ya que ||7(¿)|| = 1 entonces, para cualquier ¿GK, 7 ( Í ) £ S1

Ahora sea (x, y) E 5 1 y sea t el ángulo que forma el vector (x, y) con eleje x. Si sobre el círculo se localizan las coordenadas (x, y) de un punto. Envirtud de que el radio de S1 es 1, se tienen las igualdades trigonométricas

x = eos ty = sen t

de donde (x,y) € S1 está en la imagen 7.

De esta manera, la imagen de 7 es un círculo unitario.

Como las funciones sení, cosí son 2TT- periódicas, entonces 7 enrrollaal círculo S1 en contra de las manecillas del reloj un número infinito (nu-merable) de veces. >

EJEMPLO. Consideremos la función vectorial 7 : ( — 00,00) —> E2 dadapor la regla de correspondencia

7(¿) = (i?cos¿, R sen*)

donde R es un número real positivo.

O Tendremos en este caso que, al escribir tal relación como

7(¿) = (i?cosí, i? sen¿) - i?(cos¿, sen¿)

ésta es una deformación del círculo unitario a un círculo de radio R > 0con centro en el origen de coordenadas (véase la figura 3.3). O

EJEMPLO. Sea ahora la función 7 : (-00, 00) —>

7(¿) = (4cosí, 4sení, 2t)

dada por la relación




< 7 es la función que a cada t le asocia un punto en IR3, mediante lasrelaciones

\x(t) = 4 cosíy(t) = 4sen¿

Al olvidar momentáneamente la variable z, se tiene que los puntos concoordenadas (x, y) en la imagen de 7 se mueven en un círculo de radio 4,según el ejemplo anterior. La variable z sólo se mueve con su dirección,dirigiéndose positivamente.

Esto nos dice que la imagen 7(2) está contenida en la superficie dadapor x2 + y2 = 16 que es un cilindro circular de radio 4 con directriz del ejez.

Al evaluar 7 en los extremos del intervalo [0, 2TT] se obtienen los puntos

(Reos t,Rsen t)

Figura 3.3: Círculo de radio R.

7(0) = (4,0,0)

que quedan verticalmente situados en dirección del eje z, y a una distancia(vertical) igual al 4TT, lo que nos dice que la imagen de 7 es una hélice deradio 4 y con paso de altura 47r (que se repite a intervalos de t iguales a2TT) como lo muestra la figura 3.4. >

Iniciamos ahora la discusión de la diferenciabilidad de una curva es-pacial, utilizando para ello los conceptos y resultados clásicos del cálculodiferencial en una variable (véase Reyes, 1996).



132 Curvas en R2 y en K3

Figura 3.4: Hélice de radio 4 con paso de altura 4TT.

Sea 7 : (a, b) —» R3 una función vectorial de variable real definida en elintervalo (a, 6) C R.

Sean /0, í £ (a, 6) con el argumento temporal variable t próximo deltiempo prefijado to-

Calculamos la diferencia entre sus vectores imágenes 7(¿) — 7(¿o) y luegola comparamos vía un cociente con la diferencia de argumentos (lo cual esposible pues podemos dividir vectores entre escalares).

7(t) — 7(¿o) ( diferencia de imágenest-tn diferencia temporal

Si pensamos en las imágenes como posiciones de un cuerpo puntual quese mueve en el espacio, tal cociente representaría un vector velocidadpromedio en el intervalo [to, t], y el proceso de límite nos daría un vectorvelocidad instantánea (en caso de existir) al tiempo to-

Definimos tal proceso de límite en el espacio, mediante los límites de lasfunciones coordenadas que son ya de conocimiento del cálculo diferencialde funciones reales de variable real.

DEFINICIÓN. Se dice que la función 7 : (a, b)en el punto to £ (a,&), si existe el límite vectorial

i3 es diferenciable

hmt — t0

= limí—ín

= lim(x{t),y(t),z(t)) - (x(to),y(to),z(to))

t - to

x(t)-x(t0) y(t)-y{t0) z(t)-z(t0)t-t0 t-t0 t-to




En tal caso, tal vector se definirá por

—-(¿o) — ^ m

dt ¿-¿o t -10

y se llamará la derivada de 7 en el punto t-o.

Si en cada punto del intervalo la función 7 es diferenciable, se dirásimplemente que es una función diferenciable.

Ya que el límite que define a 7 -(¿o) depende de la existencia de cada unode los límites por coordenadas (según la última igualdad en la definición),entonces tenemos,

LEMA 3.1 La función 7 es diferenciable en to, si y sólo sí, cada funcióncoordenada es diferenciable en ¿0. Esto es, si cada límite

dx , . x(t) - x(t{))

%0) = Km V{t) - V{to)

dt y>" í™tn t - t•o

existe. De aquí que 7 es diferenciable, si y sólo sí, cada una de sus funcionescoordenadas es diferenciable.

De esta manera, el problema de diferenciabilidad de una curva se hareducido a la diferenciabilidad de las funciones coordenadas. Por eso pode-mos iniciar una discución de una propiedad más fuerte de las funcionesvectoriales de variable real, es decir, de las curvas diferenciables. 1

Por una función vectorial suave de clase Cr entenderemos a unafunción vectorial cuyas funciones coordenadas son diferenciables de claseCr con r > 1.

De esta manera, 7 es una función suave, si cada una de sus funcionescoordenadas es una función real de variable real suave en el intervalo J =(a.b).

Por El teorema de Whitney (Teorema 4.9 de Reyes, 1996), cadauna de las funciones coordenadas de una función vectorial de variable realcuando es continua, puede aproximarse por una función de clase Cr. Así,en las aplicaciones, cuando se piensa en una función vectorial de variable

XE1 lector no familiarizado con la clase de diferenciabilidad de una función real puedeconsultar el capítulo 3 de Reyes, 1996.



134 Curvas en R2 y en R3

real, ésta se supone de una clase de diferenciabilidad lo suficientementealta, de acuerdo a las necesidades del problema que se esté solucionando.Esto es, en las aplicaciones, las curvas espaciales genéricamente se piensansuaves.

Si la curva 7 es suave, definimos a su derivada en el punto arbitrariot G J = (a,b) usando una notación clásica:

^ = 7(í) = (i(í), y(t), ¿(t))

donde el punto sobre la variable define a la derivada respecto al tiempo t.El vector derivada i(t) es un vector que además de ser tangente a la curva7 en el punto 7(t), es un vector localizado posicionado en el punto 7(í).

DEFINICIÓN. Una función vectorial 7 : (a, 6) —• R3 se llamará unacurva regular, si para todo t € (a, b) su derivada i(t) no se anula.

EJEMPLO. Sea la función vectorial

7(¿) = (cosí, senM),

entonces la curva de imagen 7 en el intervalo (a, b) = (—00, 00) es una hélicede paso de altura 2?r, contenida en el cilindro x2 4- y2 = 1 del espacio R3.

Claramentej(t) — (—sení, cosí, 1)

es un vector que nunca se anula y, por ello, es que la curva es regular,(véase la figura 3.5 a.).

Figura 3.5: Curvas imágenes de funciones vectoriales




EJEMPLO. Sea la función vectorial 7 : (-00, 00) dada por

Entonces su imagen es un círculo de radio R > 0 con centro en el origendel plano R2.

Su derivada i(t) = ( — Rsent, Rcost) es un vector que no se anula y, porlo tanto, se entenderá también como una curva regular (véase la figura3.5 b.).

EJEMPLO. Considérese la curva 7 : J dada por

= (¿3 - M 2 -

< Es claro que el dominio de la curva 7 es todo el eje real J = ( — oo, 00).

Inicialmente, para hacer el dibujo de la imagen de esta curva, asignamosalgunos argumentos a la función y calculamos sus valores

t

7(0- 3

(-24,8)- 2

(-6,3) (0,0)0

(0,-1)1

(0,0)2

(6,3)3

(24,8)

Teniendo estos valores vectoriales en el plano, utilizamos ahora unmétodo analítico para dibujar más precisamente la imagen de 7.

Procedemos a analizar los vectores imágenes de la curva plana según losargumentos en el dominio, utilizando para ello las funciones coordenadas.

A fin de resolver la desigualdad i3 — t > 0 para la primer función coor-denada, calculamos las raíces de i3 — t = 0 que son t — 0,1, — 1.

Estos números nos dividen el intervalo ( — 00, oo) en tres partes que nospermiten resolver tal desigualdad, sabiendo que

e[ - i ,o ] ó t e [1,00].

Consecuentemente, para la primer función coordenada se tiene

t3 -t > 0

t3 - t < 0

> t G [-1,0] U [l,oo)

t e (-00, -1) U (0,1)

Análogamente para la segunda función coordenada, la ecuación t2 — 1 =0, tiene las raíces t = ±1, lo que implica,

t2 - 1 > 0 (-oo,-l] U[l,




o (-1,1)

Evaluamos a 7 en los puntos importantes t — 0, —1,1 obtenidos alresolver las desigualdades anteriores:

7(0) = ((O)3 - (0) , O2 - 1 ) = (0,-1)

y al dividir al dominio J en los subintervalos

(-oo, - l ) , (-1,0), (0,1),(l,oo)

se obtiene la tabla

x(t)y(t)

( — 00,

-

+

-1 )+-

0) (0, -1 )--

(1 -oc)

++

que indica la posición de la imagen de un argumento sobre la curva 7 enlos cuadrantes del plano (véase figura 3.6), según las signaturas de suscoordenadas.

N

7(0).

\

y

As, Y(-D

\ Y(-D

)

X

Y(0)

Figura 3.6: Posición de la imagen de la curva ^(t) = (t3 -t,t2- 1)

Ahora realizamos un análisis cualitativo de 7, usando su derivada

- (3¿ 2 - l , 2¿ )




mediante un método similar al usado para la signatura de 7 en el plano.Para la primer coordenada x(t) de j(t) se tiene

x{t) = 3¿2 - 1 > 0 <=> 3t2 - 1 > 0 <<=> 3¿2 > 1

de donde

Por lo tanto,

x(t) - 3¿ - 1< 0 4=> ¿ E ^ —, — J

Análogamente, para la segunda coordenada de 7(t),

y(t) = 2t> 0<=> x e (0,oc)

y(t) = 2t < 0 4-» x e (-oc, 0)

De las dos desigualdades anteriores se consiguen los puntos importantes0 Y 3 \ /3

' 3 ' 3

Ahora calculamos la imágenes bajo 7 y 7 de estos puntos importantes:

7(0) = (0,-1)

7(0) = (-1,0)

La figura 3.6 ilustra a tales puntos y a sus vectores velocidad (tangentes)correspondientes.




Con los intervalos

- o o , - -73N

:-$•: ' 0 0

obtenidos mediante este segundo análisis se forma la siguiente tabla quedescribe la signatura de las coordenadas de j(t) — (x),y(t)).

x(t)y(t)7(0

+-\

--/

-+\

++

La flecha del renglón correspondiente a j(t) en cada subintervalo des-cribe cualitativamente la posición del vector velocidad tangente a j(t)(véase la figura 3.6).

Además, observamos que la imagen de 7 tiene una autointersección en'y(l) = 7( —1) lo que le hace ser una función que no es inyectiva. En elpunto 7(1) = 7( —1) = (0,0) se tienen dos vectores derivadas

7(l) = (3 í 2 - l , 20 | 1 = (2,2)

7(- l ) = (3¿2-1,201-1 = (2,-2)

De esta forma un trazo de la curva en una región acotada alrededor de(0, 0) estaría dado por la figura 3.6.

Hacemos el análisis a los extremos del dominio J = ( — 00, 00).Si t —» —00, entonces,

limt—<• — 0 0

= lim (¿ 3 -M 2 - l ) = ( lim (t—> — 00 t—* — oc

3~¿), lim (t2-!)) -> (-00,00)t—> — 00

por El teorema de alto orden (véase Teorema 2.23 de Reyes, 1996).

Análogamente, si torden, se tiene

+00, entonces, por el mismo teorema de alto

lim 7(í) = ( lim ¿3, lim ¿2)^(oo,oo)

lo que se puede observar en la figura 3.6. \>

A los vectores derivadas *y(t) se les entenderá también como vectoresvelocidad de 7 en el punto 7(í). A la longitud de 7(t), es decir a ||7(¿)||se le llamará la rapidez de 7 en el punto 7(¿).




EJEMPLO. (La cúspide) Sea la función vectorial dada por

< Es claro que el dominio de la curva 7 es J — (—00, 00).

Asignamos primeramente algunos argumentos a la función 7 calculandosus valores, y obteniendo la siguiente tabla.

t

7(0- 3

(-27,9)- 2

(-8,4)- 1

(-1,1)0

(0,0)1

(1.1)2

(8,4)3

(27,9)

Procedemos de forma análoga al ejemplo anterior, estudiando la signa-turas de la función y su derivada.

Para la primer función coordenada, resolvemos la desigualdad x(t) —t3 > 0 que simplemente es equivalente a t > 0 .

Por lo tanto,x(t) = t3 > o <=> t e [o, oo]

y consecuentemente,

x(t) = t3 < 0 <=^ t € [-oo, 0)

Análogamente para la segunda coordenada, obtenemos,

y(t) = t2 > 0 ^=> t e (-oo, ex))

Evaluamos los puntos importantes encontrados, que es apenas t = 0,

7(0) = (0,0)

y con los subintervalos obtenidos se tiene la tabla de signatura de

x(t)y(t)

(-00,0)

-

+

(0,00)

++

Analizamos la signatura de la derivada de la curva,

resolviendo primeramente la desigualdad,

x(t) = 3t2 > 0 <=> t e (-oo, 0) U (0, oo)




Por otro lado,

y = 2t > 0<=>t <E (0,oo)

y(t) = 2t < 0 4=^t G (-oo,0)

y se tiene en este caso, nuevamente el punto importante t = 0.

Calculemos las imágenes bajo 7 y 7 de este punto importante

7(0) = (0,0)

7(0) = (0,0)

que hace de *y(t) una curva irregular.

Ahora con los intervalos ( — 00, 0), (0, 00) se forma la siguiente tabla designaturas de las componentes de los vectores velocidad,

x(t)y(t)7(*)

(-03,0)

+-\

(O.oo)++

Finalmente, hacemos el análisis a los tiempos extremos del dominioJ = ( — 00,00), calculamos los límites,

lim 7(t) = lim (¿3,¿2) = ( lim t3, lim t2) -> (-00,00)t—+ — oc t—> — oc t—> — oc í—> —oc

lim 7(¿) - lim (t3, t2) = ( lim ¿3, lim t2) - • (00, 00)

La figura 3.7 ilustra el trazo de la curva imagen de esta función llamadacúspide. D>

Damos ahora unas propiedades aritméticas de la derivada de funcionesvectoriales con argumento escalar.

LEMA 3.2 Sean 71,72 : (a, b) —» M3 dos funciones vectoriales suaves devariable real.

a. Para los escalares A, ¡1 G M, se verifica fácilmente que

i ^ ( í ) = A7i(í)

b. Para una función real de variable real suave X — X(t) definida en elintervalo (a, b) C R es justa la relación

^ (*) = Á(í)7(0 + A(í)7(í)




y

(0,0) X

Figura 3.7: Curva imagen de la cúspide.

<] Son cálculos directos y omitimos su prueba O.

Sean ahora dos funciones vectoriales suaves 71,72 • (&,6) —> R. en todoel intervalo, y consideremos para cada t € (a,b) los vectores velocidad7i (0< 72(0- Se tiene el siguiente resultado acerca del cálculo de la derivadaen productos escalar y vectorial.

LEMA 3.3 5?; 71, 72 : (a, b)fórmulas de Leibniz:

son funciones suaves, son justas las

a.

b.

c.

(í).72(*),-¿jr(*)J =(71,72,73) + (7i,72,73) + (7i,72,73)

donde (, , ) es el triple producto escalar.

< Son igualmente cálculos directos y se omiten. O

EJEMPLO. Sean las curvas espaciales suaves

7i(í) = (cosí,senÍ,2TT(Í)) y 72(í) = (4í2,2í, -t)




< Ya que 71 (t) = (—sent, cosí, TT) y 72(t) = (8¿,2, —1) se tiene que

a. d-r, < 72 >=< 71,72 > + < 7i,72 >

= < (-sen¿,cos¿,27r),(4¿2,2¿,-¿) > + < (cos¿,sen¿,27r¿), (8¿,2,-1)

= -4¿2sen t + 2í eos ¿ - 2TTÍ -f 8í eos í + 2sen¿ - 2nt

= (2 - 4t2)sen ¿ + lOí eos t - 4nt

b. De igual forma,

^[71,72] = [71,72] + [71,72]

- s e n í cosí 2TT4t2 2t -t

e\ e2 e3

eos t sen t 2irt8t 2 - 1

= (—t eos £ — 4?r¿, —¿sen ¿ — 8TT¿2, — 2¿sen t — 4t2 eos i)

-(-(—sent — 4TT,COS£ + 8TT¿2,2COS¿ — 8£sen¿)

= (—t eos £ — sen t — 8TT¿, eos ¿ — ¿sen ¿, —4¿2 eos t — lOtsen ¿4-2 eos t) >

Introducimos ahora el concepto de curva regular parametrizada, que esde gran utilidad en las aplicaciones a la mecánica, física e ingeniería. Esteconcepto, aunque en apariencia tiene definición abstracta, en realidad esestablecida acorde a la experiencia cotidiana. 2

DEFINICIÓN. Una curva regular parametrizada T es un subcon-junto de R3 (ó de R2) tal que para cualquier punto p G T existe unafunción vectorial de variable real suave

7 : J -> R3

satisfaciendo que, si J — (—e, e) para un número e > 0 , entonces

a. La imagen de 0 bajo 7 es el punto p, es decir,

7(0) = p

b. La velocidad de 7 no se anula en todo el intervalo, esto es,

i 0 para todo t £ J

2Por ejemplo, cuando se estudia una trayectoria espacial de un cuerpo, es difícilestudiarla en su totalidad, así que se procede a estudiarla por fragmento, es decir, porpartes que se pueden parametrizar con una variable temporal adecuada, en un intervalotemporal adecuado.




c. La imagen de J bajo 7 está contenida en F, en otras palabras,

7(¿) 6 T para todo t G J

Si la imagen de J bajo 7 cubre a F, diremos que la pareja (7, J) es unaparametrización de F. En caso contrario, diremos que la pareja (7, J) essólo una parametrización de F alrededor del punto p G F.

- £

Figura 3.8: Curva regular parametrizada.

En coordenadas (x, y, z) del espacio cartesiano, la curva 7(¿) está defi-nida por el vector

7(í) = (*(*), y(í), z(t)) t G J,

donde las coordenadas x(t), y(t), z(t) son funciones reales suaves definidasen el intervalo J — (—e, e) que contiene a t — 0 (véase la figura 3.8).

En adelante, cada vez que hagamos referencia al dominio de parame-trización de una curva F alrededor de un punto p lo definiremos por [a, b]en lugar de (-e,e), tomando en este caso, el dominio más amplio paraparametrizar tal curva F.

Esto es, cada vez que demos una curva F, la entenderemos, sin pérdidade generalidad, como la imagen de una función

donde [a, b] C R, siendo 7 una función suave con coordenadas suaves.

Para 7 : [a, 6] —• F curva regular parametrizada, en cada punto 7(t) € Fse define un vector tangente a F en tal punto, como el vector derivadade 7 en í, esto es,

' dx dy dzs

La notación 7 = j(t) es muy conveniente, como ya hemos mencionado,a la hora de hacer cálculos, sobre todo en problemas de aplicación.




A continuación damos ejemplos de parametrizaciones de curvas F c R 3

(o l 2 ) .

EJEMPLO. Considere la elipse en el plano con semieje mayor a > 0 ysemieje menor 6, definida por la ecuación

x2 y2

r • — + — = i

a2 + b2

< Una deformación del círculo unitario

parametrizado por t —> (cos¿, sení), por un escalar a en la primera coorde-nada, y por el escalar b en la segunda coordenada, nos da la parametrizaciónrequerida.

Esto es,

r : ( * = « « » * í e R[ y = 6sen¿,

parametriza suavemente a la elipse F. Si escribimos 7(2) = (a cosí, frsení),entonces el vector tangente a 7 en el punto 7(2) 6 F se calcula por

v(t) — 7(t) = (—asent, 6cosí)

Como v(t) ^ 0, entonces F resulta ser una curva regular. >

EJEMPLO. Sea F C R3 una hélice contenida en un cilindro de radio 4 ycon paso de altura h = 4TT.

<\ Para poder parametrizar a F, partimos de que una hélice contenidaen un cilindro de radio R y paso de altura h = 2/CTT tiene la parametrizacióngeneral

í = v(t) =t-+ (Rcost, Rsent,kt), t e R

SijR = 4 y / i = 4?r = 2(2TT), entonces k — 2, lo que lleva a que laparametrización de F está bien definida por

Si se define por ^(t) = (4cos¿, 4sen¿, 2¿), t € R, a tal curva, entonces elvector tangente en el punto 7(2) G F está descrito por

v(t) = 7(í) = (-4sen¿, 4cosí, 2),

vector que no se anula. Esto hace que la hélice F sea una curva regular. >




EJEMPLO. Sea F el círculo de radio R > 0 con centro en el origen decoordenadas dado por

< Al considerar la función vectorial 7 : ( — 00, DO) —> R2 dada por

7(¿) = (Rcost,Rsent)

entonces su imagen F es el círculo dado. Su derivada

= (-Rsent,Rcost)

es un vector que no se anula y, por lo tanto, se entenderá también comouna curva regular.

Anotamos que la función vectorial y(t) = (fícos2£, Rs'm2t) tiene comoimagen también al mismo círculo, pero su vector derivada es más grandede norma que la de 7(¿). De hecho,

= (-2físen2í,2fícos2t).

lo que implica que

||7(í)|| - ||(-2ñsen2t, 2ñcos2í)|| = 2ñ

= 2||(-JRsent, fíeost)|| = 2||7(t)||

lo que nos dice que la norma de *y(t) es el doble de la norma de 7(í). (Lafigura 3.9 ilustra esta situación). Decimos simplemente que la parametri-zación 7(t) "va más rápida" que la de j(t). >

Figura 3.9: Parametrizaciones del círculo de radio R > 0.




3.2 La segunda derivada. Aceleración

Ya se ha mencionado sobre la clase de diferenciabilidad de una funciónvectorial de variable real (curva suave)

7 : J -> R3

relegando las definiciones a las propiedades de las funciones coordenadas

x — x(t)y = y(t) , te Jz = z(t)

Particularmente, una curva de clase C2 es una función vectorial devariable real cuyas componentes son funciones de clase C2.

Entendemos por ^(t) la segunda derivada de la curva 7 en el punto 7(2),y en coordenadas le escribimos

7(¿) = (x(t),y(t),z{t)) = x(t)ei+y(t)e2 + '¿(t)e3

donde los puntos indican derivación respecto a la variable temporal t € J.

DEFINICIÓN. Al vector espacial j(t) se le llamará el vector aceleraciónde la curva 7 en el punto j(t).

EJEMPLO. Sea el círculo de radio i?, con centro en el origen, parametri-zado por,

7(¿) = (i?cosí, Rsent), t e R

<\ Un cálculo simple nos muestra que

7(¿) = (-Rsent, Rcost)

7(¿) - (-Reost,-Rsent) = -fl(cos¿, sent)

lo que nos dice que j(t) — —i(t). Esto es, el vector de posición j(t) y suaceleración j(t) son paralelos con sentidos opuestos. D>

EJEMPLO. Dada la curva suave

= (e2t,sen4t,cost)

calcular i(t) y 7(t).O Directamente, obtenemos los vectores velocidad y aceleración,

= (2e2í,4cos4t,-sent)



3.2 La segunda derivada. Aceleración 147

7(0 = (4f;2¿, -16senát, - eos/) >

EJEMPLO. Dada la curva suave

calcular < 7(0, 7(0 > y [7(0,7(01-< Al calcular directamente los vectores velocidad y aceleración de 7 ni

7(0, obtenemos7(0 = (2¿,3¿2,4¿:i)

de donde( 0 ( 0 >= 4* -f 18¿:l 4-

[7(0,7(01 =e3

3t2

2 6¿ 12í

+e3(12¿2 -6¿2) =

Consideremos ahora cualquier curva 7 = 7(¿) tal que tenga una normaconstante (por ejemplo 7(0 = (R eos t, Raen t) el círculo de radio /?), estoes, para todo t € J, tenemos que

117(011 = *

donde A: es una constante no negativa.

O Ya que k — 117(011» entonces

de donde, al derivar cada miembro respecto al tiempo t obtenemos

0 - - < 7(0,7(0 >=< 7,7(0 > + < 7(0,7(0 >

= 2<7(0,7(0>es decir,

< 7(0,7(0 > = 0

lo que nos dice que 7(0 y 7 son ortogonales.Así, utilizando este razonamiento para aquellas curvas con vectores ve-

locidad con norma constante ||7(0ll — k s e tiene,



148 Curvas en E2 y en R3

Las curvas suaves que tienen rapidez constante son tales que sus vectoresvelocidad y aceleración son ortogonales.

EJEMPLO. Sea la curva circular espacial

7(0 = (lcosMsen/,6)

<\ El vector velocidad se calcula

->(/) = (—lswiMcosM))

cuya norma es ||7(0ll = •!•

Por lo tanto, el vector velocidad ^(t) es ortogonal al vector aceleración

- (-lcosr,-4sen/,0)

debido a la discusión anterior, y como se puede apreciar mediante el cálculodirecto,

>= lGcosfsenf- 16 eos ¿sen* = 0 D>

Ejercicios

1. Dibujar la granea en R2 o RA según corresponda, de las funciones

a. ->,(0 = (3

d. 74(0 = (r'eosf,r'sen/)

e. lr)(t) = (jcosf, fscnOf. ~/(i(/) = ( i ^ c o s / , -^sen/ ) , / > 1

g. 7 7 ( 0 - ( e o s / , senf, t)

h. l»{t) = (-leosf, lsen/, ef)

2. a. Calcule la derivada de las funciones del ejercicio 1.

b. Calcular el vector tangente a cada curva en los puntos t = 1, t —7T/2, t = 7T.

3. Calcular, para las curvas del ejercicio 1,

a. i<li{t),l2(t)>

b. ÜrM), 74(0]c #(71(0, 75(0,->«(*))•

4. Calcular 7(¿) para cada curva en 1. y el vector aceleración en los puntos



Capítulo 4

Campos escalares en

En este capítulo hacemos el análisis cualitativo de una función de varias va-riables reales, generalizando algunos conceptos conocidos ya para funcionesreales de una variable real.

4.1 Regiones en R2 y R3

Iniciamos esta sección describiendo los objetos geométricos en R" que vana ser utilizados a lo largo del capítulo. Estos objetos gozan de carac-terísticas que son usadas para estudiar las propiedades de funciones queestán definidas en subconjuntos del espacio euclidiano R".

En general, en la teoría diferenciable de funciones reales de variable real,los dominios se presumen de la forma

D = (a, b)

es decir, intervalos abiertos.Al intervalo (a, b) se le llama abierto pues no contiene las orillas a.b.

Generalizamos este concepto de conjunto abierto en R"1.

Si p € Rn y e > 0 es un número real positivo, se define la bola de radioe y centro en p, como el conjunto sólido

DEFINICIÓN. Dado un conjunto Q C R", se dice que es un conjuntoabierto en Rn, si para cada p E Q existe un número c > ü tal que la bolade radio e y centro en p está contenida totalmente en {}. esto es.



150 Campos escalares en

Figura 1.1: Conjunto abierto en R".

Véase» la figura. 1.1.

EJEMPLO. Todo intervalo abierto (a, b) C R es un intervalo abierto.

< Esto ya se demostró anteriormente, notando que en el caso unidimen-sional una bola corresponde a un intervalo.

D((p) = {qeR\\\q-p\\ <e} = {qeR\ \q - p\ < e}

= {(11 - c < q - p < c} = {q\ p - e < q < p + e}

Los siguientes ejemplos omiten las demostraciones de las afirmacionesmostrando apenas una ilustración de los subconj untos que intervienen. Engeneral hacemos hincapié que un conjunto abierto í} de Rn es un conjunto"gonlito" que no tiene orilla (frontera).

EJEMPLO. Una bola de radio e con centro en cualquier p € Rn es unconjunto abierto.

<3 En este caso Í2 es una bola B€(p) >

EJEMPLO. Sea ü c R2 la parte del plano definido por

<\ El conjunto Q es abierto en R2 (véase la figura 4.2). D>

EJEMPLO. Sea íí C R2 el subconj unto dado por



4.1 Regiones en R2 y 151

y=x

..<\\

Figura 4.2: Semiplano inferior x > y.

< Claramente íl es un subconjunto abierto en R2. >

EJEMPLO. Sea el conjunto

Ü = {(x,y,z)\x2+y2 <Z2}CR3

que define el interior de un cono. Se afirma que es un conjunto abierto en

< Al considerar la igualdad

tal ecuación describe a un cono y íl define el interior del cono como lomuestra la figura 4.3. >

EJEMPLO. Sea el conjunto íí = {(x, y, z) \ x2 + y2 > 1} C M3.

< Entonces Q es un conjunto abierto en R3 y es el exterior del cilindrounitario (véase la figura 4.4). >

DEFINICIÓN. Definimos al conjunto C c R n como un conjunto ce-rrado en Mn, si su complemento en Rn es abierto.

Para ejemplos de conjuntos cerrados tenemos a los complementos de losconjuntos abiertos dados en los ejemplos anteriores.

EJEMPLO.a. El conjunto

C = (-oo, a] U [6,oc)




y

Figura 4.3: Interior del cono z2 — x2 + y

Figura 4.4: Exterior del cilindro unitario.

es cerrado en la recta real R.

b . El conjuntoC={(x,y)\x<y}

es cerrado en el plano R2.

c. El conjunto

es cerrado en IR2.

d. El exterior del cono, incluyéndolo

C = {(x,y,z)\x2+y2<z2}



4.1 Regiones en R2 y R¿ 153

es un conjunto cerrado en R3.

e. El interior del cilindro unitario, incluyendo al cilindro

C = {(x,y,z)\x2+y2<l}

es un conjunto cerrado de R3.

Es claro que existen subconj untos de Rn que no son ni abiertos ni cerra-dos. Por ejemplo D = ( —1, 2] es un intervalo que no es abierto ni cerradoen R.

Sea íí C IR.3 un subconjunto. Se dice que el punto q e R3 es puntofrontera de íí si toda bola con centro en p intersecta a íí y al complementode íí.

Al conjunto contenido en Rn definido por

<9íí = {p £ Rn\ p es frontera de íí}

se llamará frontera de íí en Rn.

Damos algunos ejemplos de fronteras de conjuntos.

EJEMPLO.

a. La frontera de íí — (a, b) es el conjunto formado por la pareja de puntos,

d{a,b) = {a, b}

b. La frontera del conjunto cerrado C — {(x, y)\ x < y} es la misma que lade su complemento, el abierto Q = {(x, y)\ x > y} y es la recta

Tal conjunto está contenido en el cerrado C y no pertenece al subcon-junto abierto íí.

c. La frontera del abierto íí = {(#, y)| x2 4- y2 < 4} es la misma que la delcerrado C — {(#, y)\ x2 + y2 < 4} y la constituye el conjunto cilindrico

dü = dC = {(x,y)\x2 +y2 =4}

que está contenido en el cerrado C.

d. Dados los conjuntos íí = (x,y,z)\x2 + y2 < z2} abierto, y C ={(x, y, z)\x2 +y2 > z2} cerrado, tenemos

OC = OÜ = {(x, y, z) | x2 + y2 = z2}




es la frontera tanto de C como de Í1.

Entre las características geométricas de un subconjunto de Rn está aque-lla que nos asegura que tal subconjunto no está dividido en pedazos ajenosentre sí.

DEFINICIÓN. Decimos que el conjunto Q C Mn es conexo si dados dospuntos p, q, G í¿, existe una curva F que los une, totalmente contenida en

n.Si Í1 no es un conjunto conexo se llamará disconexo, (véase la figura

4.5).

EJEMPLO. Sea el conjunto del plano

íí = {(x,y)\x2 + y2 < 1 ó x2 + y2 > 4}

Se afirma que Q es disconexo.

Figura 4.5: Conjuntos conexo y disconexo.

< Dados p y q con ||p|| < 1 con \\q\\ > 2 se tiene cualquier curva quelos une se sale del conjunto íl. \>

EJEMPLO. El conjunto anular

A= {{x,y) GR2| 1 <x2 +y2 < 4}

encerrado entre los círculos de radios 1 y 2 respectivamente, con centros enel origen, es un conjunto conexo.

En general un conjunto conexo es aquél que está formado por una solapieza. Esto es, un conjunto conexo en Rn se entiende intuitivamente comoun conjunto que no se divida en varias piezas.

DEFINICIÓN. Por una región en Rn entenderemos un conjunto íl C Rn

que es abierto y conexo.



4.2 Campos escalares en R3 155

4.2 Campos escalares en R3

Pasamos ahora a definir a una función real con argumento vectorial, uti-lizando los conceptos dados de abierto y conexo.

Por un campo escalar definido en la región Q C Rn

entendemos a la función real de variable vectorial, es decir, una asociacióntal que cada punto p G 0, se le asocia el número real f(p).

Figura 4.6: Función vectorial / : Q C Rn -> R.

En coordenadas x, y, 2 del espacio R3 esta asociación se escribe, para elpunto p = (x, y, z),

f(p) = f{x,y,z)

Esto es, si (x, y, z) G fi, bajo la función / se le asociaría el número real

(x,y,z) -> f(x,y,z)

En adelante, usaremos indistintamente los nombres de función real devariable vectorial y campo escalar.

DEFINICIÓN. La gráfica de una función / : íl —• R es un subconjuntoGraf(/) de R4 definido por

{(( ( ( y ^ ) G Q, ( }

Análogamente, para una función definida en la región plana Q C R2,/ : Q —> R se tiene su gráfica como el subconjunto

Graf (/) = {(x, y, z) | (x, y) G fi, 2 = / (x , y)}



156 Campos escalares en R3

Figura 4.7: Gráfica de f(x, y) = x2 + y2

contenido en R3, constituyendo una superficie en tal espacio tridimensional.

Damos algunos ejemplos donde la regla de correspondencia es dada deantemano.

E J E M P L O . Sea el campo escalar cuya regla está dada por

f(x,y) = x2 + y2

< Claramente, el dominio de / es Q — R2 y su gráfica es la superficiedefinida por el conjunto contenido en R3

que resulta ser un paraboloide circular (véase la figura 4.7). D>

E J E M P L O . Sea la función / : Í7 —> R dada por la regla de corresponden-cia

f(x,y) = >/4 - x2 - y2

< Para calcular el dominio Q imponemos la condición 4 — x2 — y2 > 0o equivalentemente,

4 >x2

Esto es, para (x,y) € Q se debe cumplir que ||(x,y)|| < 2 lo que nosdice que el dominio fi deberá ser un disco cerrado de radio 2 con centro enel origen de coordenadas.



4.2 Campos escalares en 157

X

Figura 4.8: Gráfica de f(x,y) = yjA — x2 — y2.

La gráfica de / es el conjunto cerrado

Graf (/) = {(*, y, sjl-x2- y2) | x2 + y2 < 4}

Si ponemos z = \/4 - x2 — y2 entonces, al elevar cuadrados obtenemos2 2 = 4 _ X2 _ y2

de donde,x2 -h y2 + z2 = 4

que es una esfera de radio 2 con centro (0,0,0).De esta manera, la gráfica de / es la parte superior de tal esfera como

lo muestra la figura 4.8. >

R

(x,y)

Figura 4.9: Parte del plano x = lenél primer octante.

EJEMPLO. Sea la función / : fi -> R dada por la regla

f{x,y,z) = ln(l - x -y - z)




<] La función está definida en una región de R3 determinada por larelación

1-x-y-z> 0

es decir,

En la igualdad x + y + z — 1 tenemos un plano con cortes con los ejesx = 1, y = 1 y z = 1.

Al tomar el punto p = (0,0,0) se tiene que sus coordenadas satisfacen

0 + 0 + 0 = 0 < 1

es decir, p satisface la relación x-\-y-\-z<ly está por abajo del planomencionado. Es natural pensar que todos los puntos (x, y, z) satisfaciendola relación x + y + z < 1 están situados por debajo de tal plano.

De esta manera el dominio de / es la región Í2 de R3 formada por lospuntos debajo del plano x + y + z = 1 (véase la figura 4.9).

4.3 Superficies y curvas de nivel

En esta parte estudiaremos un método para trazar aproximadamente lagráfica de una función de dos variables mediante los conjuntos de nivel detal función (imágenes inversas) contenidos en el dominio.

DEFINICIÓN. Para un campo escalar / : íí C M3 -> R y un valor c G Rdados, se define el conjunto de nivel de / al valor c, definido por f~l(c),como la imagen inversa de c bajo / , esto es,

f~l{¿) = {(x,y,z)\f(x,y,z) = c}

En otras palabras, es el conjunto de puntos {x, y, z) £ Ü que bajo / alcanzanel mismo valor / (x , y, z) — c.

EJEMPLO. Sea la función

Calcular los conjuntos de nivel para los valores c = 1,0,1.

<] Para el caso c = — 1, se tiene que por definición

f-'i-l) = {(x,y,z)\x2 +y2 + z2 = -1}

Esto es, los puntos (x, y, z) en tal conjunto deberán satisfacer la relaciónx2 + y2 + z2 = — 1, lo cual es imposible.



4.3 Superficies y curvas de nivel 159

Consecuentemente, el conjunto de nivel obtenido / 1( —1) = 0 es elconjunto vacío.

Consideremos ahora el valor c = 0. Entonces en este caso,

r\0) = {(*, y, z)\x2+ y2 + z2=0}

es decir, los puntos contenidos en tal conjunto deberán satisfacer la relaciónx2 + y2 + z2 = 0, y tal relación es apenas resuelta cuando x = y = z — 0.

Por lo tanto, el conjunto de nivel para c — 0 es apenas el punto

r1(o) = {(o.o.o)}

Finalmente, consideramos el valor c — 1, y entonces en este caso,

Es decir, los puntos en tal conjunto deberán satisfacer la relación x2 -hy2 + z2 = 1, la cual corresponde a la ecuación de la esfera S2 C IR3, esto es,

De esta última discusión, se observa que para un valor c arbitrariolos puntos (x,y,z) en el conjunto de nivel f~l(c) deberán de satisfacer laecuación

x2 + y2 + z2 = c

la cual tiene sentido apenas (puede ser resuelta) para c > 0, es decir, /~1(c)es vacío si c < 0. Si c = 0 hemos ya notado que / - 1 (0) s e reduce al punto(0,0,0). Por otro lado, si c > 0 entonces / - 1 ( c ) e s u n a esfera con centroen el origen y de radio i? = y/c como lo muestra la figura 4.10.

eje z

Plano (x,y)--0

Figura 4.10: Conjuntos de nivel de x2 -f y 4- z — c




Notamos además que para c\ / c2 se tienen dos esferas diferentesf~l(c\) ¥" f~lic2) en virtud de que los radios de cada una es diferente.

Por lo tanto, los conjuntos de nivel folian (dividen) al dominio de lafunción f(x, y, z) — x2 + y2 + z2 mediante esferas (hojas) que no se inter-sectan entre sí. D>

La afirmación última es válida en general para cualquier campo escalar

f - . n c 1. Esto es,

LEMA 4.1 Los conjuntos de nivel de un campo escalar f folian (dividen)al dominio mediante conjuntos (hojas) f~l(c) que no se intersectan entresi.

< Si para los valores c\ / c2 € R, los conjuntos de nivel respectivos/~1(ci) y f~l{c2) se intersectan, f~l(c\) D f~l(c2) / 0 , entonces seap e f~l(c\) n /~ 1 (c 2 ) . Ya que p e f~l{c\) y p G /~1(c2) , entoncesf(p) = c\ y f(p) — C2, lo que no puede ser pues / es una función y a cadapunto del dominio le asocia un valor y sólo uno. >

La discusión que hemos realizado se puede llevar a cualquier funciónde varias variables, particularmente para funciones del tipo f(x,y), dondelos conjuntos de nivel f~~l(c) son curvas planas que folian el dominio de /(véase la figura 4.11).

c>0

I'-- c<0

Figura 4.11: Curvas de nivel y gráfica de la función f{x,y) = x2 - y'

EJEMPLO. Dada la función en dos variables,

describir a los conjuntos de nivel para c — —1, 0,1.

< Para el valor c = — 1, se tiene la relación




que corresponde a una hipérbola con sus componentes verticales y pasandopor los vértices (0,1) y (0,-1) respectivamente.

Para el valor c = 0 se deberá de cumplir la relación

x-2 - y2 = 0 <=> (x, +y)(x - y) = 0 <=> y = ±x

que corresponde a un par de rectas por el origen de coordenadas.Tales rectas son las asíntotas de la hipérbola encontrada cuando se

estudio el nivel c = —1.

Finalmente para el caso c = 1, se cumplirá la relación

que corresponde a una hipérbola con sus componentes horizontales quepasan por los vértices (1,0) y ( — 1,0) respectivamente, teniendo como rectasasíntotas a y = ±x.

Un análisis semejante al realizado nos permite concluir que si c £ R esun valor arbitrario se cumple que

a. Para c < 0, el conjunto f~l{c) es una hipérbola vertical con vértices enlos puntos (0, /c), (0, — >/c), y con rectas asíntotas y — ±x.

b. Para c — 0, f~l(c) es la pareja de rectas por el origen y = ±x.

c. Para c > 0, el conjunto f~l{c) es una hipérbola horizontal con vérticesen los puntos (^/c, 0), ( —>/c, 0), y con rectas asíntotas y = ±x.

La figura 4.11 ilustra las curvas de nivel en este ejemplo. í>

Observemos detenidamente el proceso de foliar el dominio íl de lafunción / mediante conjuntos de nivel. Damos hiicialmente un valor de/ a la "altura" c 6 R y buscamos el conjunto f~1(c) que es la imageninversa de c bajo / . En otras palabras, f~l(c) es la forma del conjunto quetiene la gráfica de la función / cuando se observa sólo a la altura c de losposibles valores.

Más correctamente, cada subconjunto de nivel f~l(c) es la parte de lagráfica de la función / suspendida dentro de la gráfica a un nivel del valorigual a c, lo que nos dice que se puede construir la gráfica de la función/ : í} .—> R con el simple hecho de foliar {} con los conjuntos de nivel, ydespués colocar cada conjunto de nivel a su altura correspondiente. Esteproceso nos recuerda a la descripción de las zonas geográficas mediantemapas topográficos que detallan la configuración de ellas utilizando curvasde nivel. Cada curva de nivel corresponde a una altura determinada y elconjunto total de curvas nos ayuda a describir la topografía de la zonaestudiada (véase figura 4.12).




Figura 4.12: Curvas de nivel en topografía.

EJEMPLO. Consideremos nuevamente el campo escalar,

f(x,y) = x2-y2

< Ya hemos estudiado cuáles son las curvas de nivel de esta función,por lo que se tienen los siguientes resultados.

a. Para un valor c < 0 , el corte de la gráfica

con el plano horizontal (a la altura) z — c corresponde a una hipérbolaen el plano E^ y en dirección del eje y, con vértices en (0, y/c), (0, —y/c) yasíntotas y = ±x.

b. Para el valor c — 0, el corte de la gráfica Graf (/) con el plano horizontalz = 0 corresponde al par de rectas y — ±x en el plano R^i2/.

c. Para el valor c > 0, el corte de la gráfica Graf (/) con el plano horizontal2 = 0 corresponde a una hipérbola en el plano Rx y en dirección del eje x,con vértices en (y^, 0), ( — y/c, 0), y con asíntotas y = ±x.

La figura 4.11 describe la gráfica de esta función que es un paraboloidehiperbólico (silla de montar). \>

Los siguientes ejemplos nos indican que en general, hacer el trazo dela gráfica de una función de dos variables no es simple cuando se usa lametodología de las curvas de nivel, y que hay que encontrar argumentosmás sotisficados para el trazo, debido a que la estructura de las curvas denivel es complicado, o demasiado simple para la elaboración de tal trazo.

EJEMPLO. Considérese la función definida en íí - R2 - {(0,0)} por laregla de correspondencia

x2 + y2




<3 Calculamos sus curvas de nivel para un valor arbitrario r G R. Lospuntos (x,y) G f~l{c) deberán satisfacía- la relación

xy

x1 + y2

o equivalentemente (omitiendo el origen de coordenadas).

xy = c(x2 + y2) <==> ex2 — xy + cy2 = 0

Si se resuelve la última ecuación para y en términos de x, se tiene? que

y =x±

2c

que corresponde a ecuaciones de rectas por el origen cuya pendiente de-pende del valor de c.

Tales valores de c están condicionados a que 1 — Ir:2 > 0 , es decir, a que~^ < c < ^- Las curvas de nivel, que realmente no pasan por ((),()), estántrazadas en la figura 4.13 para ciertos valores de c. Claramente es difícilrealizar el dibujo de la gráfica con estos elementos en virtud de que el hazde líneas obtenidas al ser levantados a sus valores respectivos dificultan supegado continuo, además de la aparición del punto singular /; =•((),()).La traza de la gráfica de / realizada por el programa de Mathematicase muestra en la figura 4.13 que describe su complejidad cerca del puntosingular. >

c<0 c > 0

; - - _ c<o

c>0

Figura 4.13: Curvas de nivel y gráficas de f(x,y) =

EJEMPLO. Consideremos el campo escalar cuartico

/(x , y) = x4 - y4 - Axy




< Para el valor c £ R, los puntos (x,y) e f~l(c) deberán satisfacer laecuación

x4 -f y4 — 4xy = c.

Tal ecuación no es a primera vista reconocida y, de hecho, la forma de lascurvas de nivel varían según el valor c. En el capítulo 9 (de los apéndices)buscaremos tales curvas de nivel utilizando un análisis cualitativo de lafunción alrededor de los llamados puntos críticos, que determinan local-mente (alrededor de ellos) la estructura de las curvas de nivel. De hechomostraremos las siguientes propiedades de la función / .

a. Si c < — 2 entonces f~l{c) es vacío, es decir, sólo cuando c > —2 elconjunto de nivel f~l{c) es no vacío.

b. Cuando c — - 2 la curva de nivel es la pareja de puntos críticosaislados

c. Cuando — 2 < c < 0r la curva de nivel f~x(c) está compuesta por unapareja de curvas cerradas que encierran a los puntos críticos mencionadosen b.

d. Cuando c — 0 la curva de nivel / - 1 (0) es una curva que se autointersectaen (0, 0) en forma de "ocho" y que en cada uno de sus pétalos encierra lasparejas de curvas mencionados en c.

e. Cuando c > 0 la curva de nivel f~l{c) es un circuito cerrado que encierraa la figura de "ocho" dada por f~1(0).

Cabe resaltar que una prueba contundente de todos los resultados men-cionados en este ejemplo serían provistos por la teoría básica de la rama delas matemáticas conocida como Geometría Algebraica.

La figura 4.14 ilustra las curvas de nivel de la función y su gráficatrazada por el programa de Mathematica. o

La moraleja de los últimos ejemplos es que, en general, no es simple nisiquiera construir las curvas de nivel de una función .

Más aún, ya teniendo las curvas de nivel de una función (vértebras dela gráfica), en muchas ocasiones no es fácil construir su gráfica (columnavertebral).

Lo recomendable, entonces, durante el análisis de un campo escalar dedos variables, es el uso de un programa de graficación ejecutado por unordenador.

Para el caso de una función de tres variables, la construcción de sugráfica es imposible debido a que está sumergida en un espacio real dedimensión cuatro, objeto que no es simple dibujar.



4.4 Derivadas parciales y el gradiente 165

Figura 4.14: Curvas de nivel y gráfica de f(x, y) — x + y4 — \xy.

4.4 Derivadas parciales y el gradiente

A continuación iniciamos el estudio de la propiedad de diferenciabilidad deun campo escalar definido en una región del espacio R3 (ó R2).

Sean, / : Q —» R una función real de variable vectorial definida en laregión Í2 C R3, y p = (xo,yo,zo) £ SI un punto arbitrario. Si dejamos fijaslas coordenadas yo, zo y variamos la variable XQ en el intervalo [xo,podemos formar el cociente (parcial)

f(x0 + h, yo, zo) - /(x0, yo, ¿o)

+ h]

y tomar el límite cuando h —> 0 (véase la figura 4.15).

DEFINICIÓN. Si tal límite existe, se llamará la derivada parcial de /respecto a x en el punto p — (xo, yo, ¿o) Y se entenderá por

df, x i- f(xo + h,yo,zo)-f{xo,yo,zo)— (xo,yo,2O) = lim

ax h-+o h

Tal cantidad define la variación de la función / en el punto p =(#O,2/OÍ

z°) e n ^a dirección del eje x.Análogamente, se construyen la derivada parcial de / respecto a y en

P= {xo,Vo,zo) comodf ( \ y fixo,yo + k,zo) — f{xo,yo,zo)dy x°'y°'Z° k-+o h

y la derivada parcial de / respecto a z en el punto (xo,yo, ZQ) mediantela igualdad

r\ £ £/ 1 /J\ £/ \




si tales límites existen.

z=f(x,y)

Figura 1.15: Derivada parcial de una función respecto a x.

Como (.ro, /yo, z{)) es arbitrario, el cálculo de tales parciales se obtienederivando ordinariamente la función dada respecto a la variable indicadadejando fijas las otras variables.

E J E M P L O . Sea el campo escalar

<1 Calculamos sus derivadas parciales derivando ordinariamente res-pecto a la variable indicada, fijando las otras variables, obteniendo encualquier punto arbitrario (x,y,z) del plano,

E J E M P L O . Sea la función en tres variables

Por un cálculo directo se tiene, en cualquier punto (a,\ y, z) del do-

minio,

E J E M P L O . Dado el campo escalar

f{x,y) = sen (ar




calcular las derivadas parciales de / en el punto p = (1,TT).

< Calculamos directamente en cada punto (x, y) del dominio,

— (x,y) =ycos(xy)

— (x,y) = xcos{xy)

y al evaluar enp = (1,7r) se tiene,

— - ( l , 7 r ) = 7TCOS7T = —7T

ox

—— ( l , 7 r ) = ÍCOSTT = — 1 D>

dyEn ocasiones, para fines de cálculo, es conveniente omitir el argumento

donde se toman las derivadas parciales, esto es,

9f( , df

se sobreentiende que identifican a la misma cantidad.

Para el campo escalar / : ü c R3 —> IR se define en el punto p GÍ7 el vector formado por las derivadas parciales en tal punto, llamado elgradiente del campo / en el punto p, y definido por

EJEMPLO. Si / (x , y) = sen(xy) y p = (1, n) entonces el vector gradientede / en p es el vector,

EJEMPLO. Sean / (x , y) = x2y3 y p = (3, 2).

< Para cualquier punto P se tiene

y, por lo tanto, el gradiente de / en el punto p = (3, 2) es el vector

V/(3,2) = (2xy\3xy2){3,2) = (48, 108) >

Tenemos el siguiente resultado acerca de las propiedades aritméticas delgradiente de un campo escalar.




TEOREMA 4.1 Sean f,g : Í2 C R3 - R dos campos escalares tales quesus derivadas parciales existan en cada punto, entonces

a. El gradiente de la suma de funciones satisface la regla,

V(/ + g)p = V/p + Vgp

b. El (¡radíente es lineal respecto a escalares, es decir,

V(\f)p = AV/,,

donde A € R es un escalar.

c. Se cumple La fórmula de Leibniz

= gVf +

<\ Damos a])enas la demostración de a.

EJEMPLO. Sea la función continua en tres variables dada por,

f(x,y,z) = senxy + exyz

< Entonces, para cada punto p = (x,y,z) en e\ espacio,

= (y eos ;n/, x eos xy, 0)p 4- (yzexyz, xzedyz, xyexyz)p

= (y eos xy + 2/zexí/', x eos xy -f xzexyz, xyea?/2)p

Particularmente, en el punto p = (1, TT, 0) se tiene

V/(il7r,o) = (ycosxy + yzexyz, x eos xy + xzexyz, xyexyz)(i,n,0)

= (n eos TT) -h 7r(0)e (1 ) (7 r ) (0 ) , 1 COS(TT) 4- ( l ) (0)e° , 7re°)

= (-7T, - l , 7r ) . O




Damos ahora la definición de diferenciabilidad de un campo escalar.

DEFINICIÓN. Sean, una función / : ii C R3 -> R y p <E íí un punto concoordenadas (x,y,z). Se dice que / es diferenciable en p, si existe unafunción real de variable vectorial g(h) tal que

\g(h)+<h,Vfp>g(h) = 0

suponiendo que el vector gradiente del campo / ,

existe en el punto p.

Si la función / : Q —> R es diferenciable en cada punto de íl, simple-mente diremos que / es diferenciable en Q.

A continuación damos una condición necesaria para que un campo es-calar tenga la propiedad de diferenciabilidad. Su prueba se omite, pero ellector puede referirse a Lima (1992).

TEOREMA 4.2 (de diferenciabilidad). Sea f : íí C R3 -> R ysupóngase que en el punto p G íí las funciones determinadas por las deri-vadas parciales

ox oy az

existen y son continuas (véase el capítulo 8 en los apéndices) en el puntop. entonces f es diferenciable en p.

Un corolario inmediato a este teorema es el siguiente.

COROLARIO 4.1 Toda función f : Q —> R que involucre a las funcionesclásicas en las variables independientes x, y, z, es una función diferenciable.

E J E M P L O S . Las siguientes funciones son diferenciables en su dominionatural.

a. Cualquier polinomio P(x,y,z) en las variables x,y,z, por ejemplo,

P(x, y, z) = 6xyz3 + 2x2yz xy2z2 + 3

c. f(x, y, z) — sen \/l — eTy —




d. f{x,y) = l

e. f(x, y, z) = aictan(y/x -f z)

f- fixi Vi z) — xV

Un resultado inmediato cuya prueba tampoco realizaremos es el si-guiente, referente, a la aritmética de las funciones diferenciables.

LEMA 4.2 La suma (y diferencia), el producto y el cociente de funcionesreales de variable vectorial que son diferenciables, es una función diferen-ciable

EJEMPLO. Las siguientes funciones son diferenciables en todo su dominionatural.

a. f(x,y,z)=6xyz2 + J-y,++%z

b. f(x, y, z) = sen y/1 + exy — z -f ln (1 — /xy + -% )v y j

c. / (# , y, z) = arctan (^) -f xyz + ln(z + x)

4.5 La regla de la cadena

En muchas ocasiones algunos problemas que involucran funciones de varia-ble vectorial pueden reducirse a problemas de funciones reales de variablereal que son más simples de estudiar, mediante la composición con cur-vas contenidas en las regiones donde están definidas tales funciones. Acontinuación damos el procedimiento.

Sean, / : Q —> R una función diferenciable en todo punto de la regióníl C R3, y 7 : (a, 6) —• Í7 una curva diferenciable. Entonces la composición

es una función real de variable real definida por,

EJEMPLO. Sean, el campo escalar,

f(x,y,z) = xeyz +yezx

y la curva diferenciable

= (4cosí,4sení, 2t).



4.5 La regla de la cadena 171

Figura 4.16: Gradiente de una función.

Entonces

= /(4cosí , 4senf, 2í)

= 4cosfe(4sel l t ) (2 í ) +4seníe ( 2 t ) ( 4 c o s í ) = 4e8tsen< cosí + 4e8tcos ísení

es decir,

(/ ° 7)(¿) = 4e8ísení cos¿ + Ae8tcostsent

resulta ser una función real de variable real, diferenciable.

E J E M P L O . Sean la función

f{x,y) = ln(xy)

y la curva diferenciable ^(t) = (¿, p-) con t > 0.

<] Calculamos el dominio de / ,

{ x > 0 y y > 0ó

x < 0 y y < 0

lo que nos dice que la unión de cuadrantes positivo (estricto) y negativo(estricto)

Q = {{x, y) j (.r > 0, y > 0), {x < 0, y < 0)}

es el dominio de / , y que la curva

está contenida en Q.




f(y(t))

Figura 4.17: Regla de la cadena.

Entonces, la composición ( /o7)(t) , que resulta ser una función diferen-ciable, se calcula por

(/ ° 7)(«) = /(7(í)) = f(t, l/t2) = ln(í 1/í2) = ln(l/í) = - lní >

Damos una fórmula para calcular la derivada de una composición defunciones como la que se ha mencionado (véase la figura 4.17).

TEOREMA 4.3 (Regla de la cadena) Para una curva suave ^(t) yuna función diferenciable f(x, y, z) se cumple la fórmula

•(*)=< V/7 ( t ) ,7(*)>dt

que es la derivada de la composición f o 7 en el tiempo t.

Esto es, en coordenadas x, y, z del espacio se tiene

df dx df dy df dzdx dt dy dt dx dt

Sea t £ (a, b) un punto arbitrario y considérese el incremento vectorial

Es claro que h -> (0,0,0) si s -> 0.




En virtud de que / es diferenciable, particularmente en el punto vecto-rial 7(¿), se cumple que

h) - =< ), h > +\\h\\g(h)

donde lini/l_+(O,o,o) 9(h) — 0, siendo h cualquier incremento vectorial.

Si se toma h — y(t -f s) — 7(t), entonces se tiene

= < V / 7 ( t ) , 7 ( í + s)- 7 ( í )

que al dividir entre el incremento s nos da

a) - -y(t)\\g(h)

s \ ' <v"' s

Si tomamos el límite cuando s —> 0 se tiene que

7) ,<, 1:_ / (7( í + «)) - / (7 (0 ) = / v / t Hrdt

limg(ft) = <V/7(t),7(í)> + 117(011 Hm

=< V/ 7 ( t ) ,7 (0>

•S —* U

debido a que lim;,^(0 0 0) (/i) = 0 . O

EJEMPLO. Sea la función diferenciable

f(x, y) = x2 + 2xy

y sean x — r eos (p, y — r sen <¿? con ip € [0, 2TT] .

<3 Al formar la función g(r,y>) — f(r cos(/9,r sen ip) se tiene, al derivarla función g respecto a su variable verdadera r,

— Ir eos2 (

T dr

2rsen<^ eos + 2r eos sen^ = 2r eos2 y? + 4 sen</? eos (/?

Si <p es variable también, entonces, al derivar la función g respecto a suvariable explícita <¿?, se tiene que

dg df dx df dydip dx d(f dy dip

= (2x + 2y)(-rsen(p) 4- (2x)(rcos(f)



Campos escalares en

= (2rcos</? -f 2r sen ip)(-r sen(p) -f 2r eos ip r eos (p

= -2r2sen (pcosip — 2r2sen2(p + 2r2 eos2 <p o

EJEMPLO. Considere el campo escalar de tres variables

w = /(#, y, z) — exy eos z

y las funcionesx = tu

y = sen(tu)z = u2

O Al calcular la variación de w respecto a t se tiene,

dw__d¿dx_ dj_dy_ d¿ dz_dt ~ dx dt + dy dt + dz dt

= (2/eX2/ eos z)u -f (xeX2/ eos z)u eos(tu) - (eX2/sen z)(0)

= uexy eos z[y + x cos(tu)] = uetu sen íu) eos u2 [sen íi¿ + íi¿ cos(tu)]

EJEMPLO. Dada la función

u = /(x2 - y, #2/)

calcular las derivadas parciales,

du dudx' dy

< Construimos variables explícitas para la función / , dadas por

r = x2 -yí r = x2

Tenemos entonces que al derivar la función u respecto a su variableexplícita x,

du_d¿dr dLdq_d¿ d¿ &¿ d¿9x 3r 3x 9g 9x dr dq dr dq

Por otro lado, cuando se deriva u respecto a su variable explícita y seobtiene

du_dJ_d_L d¿dq = d¿ dj_ d¿_d¿8y ~ 8r dy dq dy dr [ ' dq l ' dq dr





Calcular las derivadas parciales

dg_ dg_ dg_dt' dx: dy

< Entendemos por u — t2x, v = ty a las coordenadas explícitas de / .Entonces,

dg dfdu dfdv (df\ (df\. .— — 1 ;— = — (2tx) — (y)dt du dt dv dt \ du) \dv J

df df

Por otro lado,

dg_ = d¿du + d£dv_ = d¿ 2 + d¿ =t2^¿dx du dx dv dx du dv du

Un cálculo análogo prueba que,

dg _ df du df dv _ dfdy du dy dv dy dv

EJEMPLO. Supóngase que en una habitación Q C R3 está definida unafunción / : Q —-> R tal que en cada punto p de Q nos da una temperatura.

<\ Si un insecto recorre una trayectoria en í! tal que en cada punto dela trayectoria la temperatura / es constante c, al conocer tal trayectoriapor 7(í) con t £ [a, 6], se tiene que

f(l(t)) = c

Al derivar ambos lados esta ecuación se tiene,

pero, por la regla de la cadena esto implica que

(V/ 7 ( t ) , 7 ( í ) )=0

Lo anterior nos dice que los vectores gradiente V/7(¿) y velocidad j(t) sonortogonales para todo punto ^(t) de la trayectoria (véase la figura 4.18).

Se dice en este caso, que el insecto realizó una trayectoria con la mismatemperatura (isotermal). D>




Figura 4.18: Trayectoria isotermal.

4.6 Derivada direccional

Introducimos ahora un concepto fundamental a la hora de hacer el análisisde un campo escalar (función real de variable vectorial) definido en unaregión Q C R3.

Sea / : SI C R3 —> M. una función diferenciable y, sean, el punto p G S2y £ un vector unitario.

La línea recta que pasa por p y con dirección £ tiene una ecuaciónparamétrica dada por

7 ( * ) = P + *£ con 7(0) = p , 7(0) = £

Para los puntos sobre el segmento de recta, contenido en SI, se tiene unvalor real bajo la función / dado por

Si calculamos la variación de / a lo largo de tal línea obtenemos, porla regla de la cadena,

d(/Q7)dt = (V/7 ( t ) ,7(í)>

Particularmente, en t = O se tiene

df{p + Udt

DEFINICIÓN. Tal variación de / se llamará la derivada direccionalde / en el punto p G SI en la dirección de £.



4.6 Derivada direccional 177

En coordenadas x,y, z se tiene la igualdad

Observamos que para cuando se toma un vector localizado arbitrario// T¿ 0 con extremo inicial en p, también se puedo hablar de la derivadadireccional de la función / en dirección // con el simple hecho do calcularla derivada de / en la dirección del normalizado £ = JAT, en virtud de que£ y r] tienen la misma dirección y sentido (véase la figura 1.19).

Figura 4.19: Derivada direccional de / en p en la dirección £.

Una notación apropiada para conocer a la derivada direccional de lafunción / en el punto p, en la dirección del vector £ es,

dtr " "

EJEMPLO. Sea el campo escalar

f{x,y) = x2 + y2

Calcular la derivada direccional de / en el punto p = ( — 1,3) en la dirección

< Como el vector rj no es unitario pues ||r/|| = y/E, hemos de hacerlounitario mediante la cadena de igualdades,

, n (1,2) / i 2

y/E VV^ ' y/E

De esta manera,




OBSERVACIÓN. Si en particular se toman el vector canónico £ = e\(1,0,0) se tiene que

que es la derivada parcial ordinaria respecto a la primer coordenada.Análogamente,

OBSERVACIÓN. De la cadena de igualdades

donde 9 es el ángulo formado por V/p y el vector unitario £, se tiene unafunción en la variable 0 definida por,

h{0) = | |V/|| eos6

Sabiendo que la relación de £ con 9 está determinada de manera biuní-voca, tenemos que

a. h tiene un valor máximo en 9 = 0, es decir, cuando £ está en el mismosentido y dirección que V/p.b. h tiene un valor mínimo en 9 — n, y se obtiene es decir, cuando £ estáen dirección de V/p pero con sentido contrario.

De esta manera, la función f crece más rápidamente alrededor del puntop en dirección del vector gradiente V/p^ y decrece más rápidamente endirección del vector — V/p .


f(x,y) = x2 +xy + y2

< De la anterior discusión, en el punto p = ( — 1,1) la función crece másrápidamente en dirección del vector

r? = V/p - (2x + y, 2y + *)(_i,i) = (-1,1)



4.7 El Teorema de Taylor 179

Al normalizar // obtenemos el vector unitario

que nos permite calcular la derivada direccional en dirección de A/, mediante

!%/,-< V/,,( > - ((-1,1). ( ^ ) ) = ^ + ^ - - L . Si

Por otro lado, la función / decrece más rápidamente cu p en la direccióndel vector —r/ = —Vfp = (1, — 1). La derivada direccional de la función /en el punto p, en tal dirección es, en este caso,

-,/„ =< v/,, -5 >= (<-i, i,, (-L, 1)) = --L - -L = - ^

4.7 El Teorema de Taylor

En esta parte generalizamos El teorema de Taylor, para funciones realescon variable vectorial que están definidas en regiones del espacio euclidiano.Lo hacemos apenas para funciones suaves de dos variables, suponiendo unaextensión natural para el caso de más variables.

La idea básica del teorema consiste en aproximar una función de ciertaclase de diferenciabilidad por un polinomio en el número de variables inde-pendientes, de la misma forma que para el caso de una sola variable (véaseReyes, 1996).

Comenzamos la sección con el concepto de derivada parcial de ordensuperior.

EJEMPLO. Sea el campo escalar diferenciable

< Al calcular sus derivadas parciales se obtienen las nuevas funciones

^ L 2 + y 2 =9l(x,y)

+y2 =g2(x,y)




Claramente g\ y #2 también son funciones diferenciables y se puedecalcular sus derivadas parciales

^(x, y) = 2ex2+»2 + 2x 2xex2+«2 = (2 + 4x2)ex2+y2

ax

Jr(x,y)óy

^•(x,y) = 2x2yex2+y2 =

^•(x,y) = 2ex*+y2 +2y2yex2+y2 = (2 + 4y2)ex2+y2

que resultan ser nuevamente funciones diferenciables.

Al omitir (por notación) las funciones g\,g<i de las ecuaciones anteriores,éstas se pueden escribir,

'd_ldy \dx

De ahora y en adelante, adoptaremos la siguiente notación para lasllamadas segundas derivadas parciales de la función / ,

df\ d2f 02fdx \dx) dxdx dx2

d (df\ d2fdy \dxJ dydx

d (df\ d2fdx \dy J dxdy

df\ d2f d2fdy \dyj dydy dy2




Con esta notación, las segundas derivadas parciales de la función dada/ se escriben,

f

dydxd2f

dxdy

Observamos que para este caso se cumple la igualdad de las relacionesobtenidas para las segundas derivadas parciales mixtas:

dydx dxdy

DEFINICIÓN. Si la función / : ft C E2 -> R es tal que sus derivadasparciales existen

dx

dy 'y como funciones definidas en fí son continuas, se dice que la función es declase C1. Si además las funciones ^£, -^- son diferenciables y sus derivadasparciales (segundas derivadas parciales de la función /)

dydxd2f

son continuas, entonces / se dirá una función de clase C2.Las derivadas parciales segundas

02f d2fdydx' dxdy




se llaman las segundas derivadas parciales mixtas.En el ejemplo anterior se indicó una propiedad de igualdad de tales

parciales mixtas. Una condición suficiente para la igualdad en general setiene el teorema siguiente, cuya prueba es muy técnica y la omitimos (véaseLima, 1992).

TEOREMA 4.4 (Conmutatividad de las segundas parciales mix-tas). Sea / : Í2 —> R campo escalar de clase C2, esto es? las funcionesobtenidas para las segundas derivadas parciales son continuas (véase elcapítulo 8), entonces se cumple la igualdad de conmutatividad,

dydx dxdx


mostramos la validez del teorema 4.4 para este campo escalar.

<3 Al calcular la derivada parcial de la función respecto a x se tiene

| £ = 2xyi + 3y

y consecuentemente, al derivar esta última función respecto a y obtenemos

d2fdydx

Por otro lado,

dy

lo que implica

= 6xy" + 3

—— = 6xy + 3 =üxay = 6xy + 3 >üxay üxóy

Inductivamente, podemos definir a una función f(x, y) de clase Cr (conr > 1), si para cualquier partición del entero r en los enteros s y m, laderivada parcial r—ésima de / dada por

dymdxs

existe y es una función continua. Aquí, 0 < s < r, 0 < m < r y r = m + s.




En la expresiónQrf

dymdxs

se entiende que se calcula m—derivadas parciales de / respecto a la variabley y s—derivadas parciales respecto a x, realizando en total un cálculo dem -f s — r derivadas parciales.

La extensión de la definición de clase de diferenciabilidad para un campoescalar de más variables es una analogía a la dada para apenas dos variables.

El Teorema 4.4 se puede extender para una función que depende demás variables. Esto es, si f(x,y,z) es una función que satisface las condi-ciones dadas de diferenciabilidad, el teorema de conmutatividad se cumpletambién.

De hecho, por ejemplo,

d2f d2fdxdz dzdx

82f = d2fdxdy dydx

d2f = d2fdzdy dydz

Si la misma función /(x, y, z) es de clase C3, entonces la conmutatividadse extiende de manera natural.

EJEMPLO. Consideremos a f(x,y,z) un campo escalar función de claseC3 definido en alguna región del espacio.

< Se tiene la siguiente cadena de igualdades,

d3f = j^_ fd¡\ = JP_ /a/\ = d_ id2}dydx2 dydx \dxJ dxdy \dxJ dx \dydx

= d í d2f\= a3 /

dx \dxdy) dx2dy

También se cumplen las igualdades,

a3/dzdydx dzdxdy dxdydz dxdzdy

así como la igualdad,

a3/dydz2 dz2dy




Si f(.i\y,z) es una función de clase C4, también se cumple el teoremade coinnutatividad de las derivadas parciales. Por ejemplo, son justas lasigualdades

04f = 04f = d4fOzOyOx2 0x20zdy dydx2dz

04f _ 04f _ d4fOxOz3 ~~ Oz'¿Ox ~~ Ozdxdz2

04f d4f d4fOy2dx'2 Dx20y2 dydxdydx

Generalizando lo anterior, si f(x, y, z) es una función de clase Cr con(/• > 1), d teorema de coinnutatividad también se extiende. Por ejemplo,

0rf O'f d'f0zfüym0xn 0ym0xndze dxndz*dym-

donde f 4- m + n = r. Aquí se entiende que la función / se va a derivarparcialmente r veces en total: í veces respecto a la variable z, m vecesrespecto a la variable y y m veces respecto a la variable x.

EJEMPLO. Calcular las derivadas parciales

<93/dxdydz' dzdydx

para la funciónnx,y,z) = e*»*

< En la notación dada, tenemos que

2yzevyz = (x + x2yz)exyz

dydz

de donde,

= xe**z + x2yzé**z = (x 4- s V ) e

/)3f^ •/ / I i O \^dUZ , / _ , ^.2 X. XJ/2

dxdydz2xyz)exvz + (x + x1yz)yzex

Por otro lado,




d2f+- = zexyz + yz2xexyz = {z + yxz2)exyz

= (1 + 2xyz)exyz + {z + yxz2)xyexyz

dydx

d'sfdzdydx

lo que veriñca las igualdades de las parciales mixtas. O

Ahora construimos el polinomio de Taylor de una función suave con dosvariables.

Recordamos que para funciones reales de variable real se tenía que si lafunción / : (a,6) —> R es de clase C r , entonces, por El teorema de Taylor,alrededor del punto pG (a, 6) la función / se escribe localmente

+ ( p r + ( ( p ) )

donde o((x — p) r + 1) significa un error en el monomio x — p de orden r(véase Reyes, 1996).

Aquí, la expresión polinomial de grado r en el monomio x — p

i x p ) + { x p f + ^ p f + + { x p r

se llama El polinomio de Taylor de grado r de la función / en el puntoP-

Generalizamos la idea de aproximar una función en dos variables f(x,y)mediante un polinomio de grado r en dos variables x, 7/, para cuando lafunción dada es de clase Cr.

Un polinomio lineal en las variables x, y es del tipo

P\{x,y) = coo + cio(x -a) + c O i (y - b)

donde, los coeficientes c^ son constantes reales, al igual que a y b.

Un polinomio cuadrático en las variables x, y es del tipo:

P2(x,y) = c00 + cio(x-a) + cOi(y - b)

+c20(x - a)2 + cu{x - a){y - b) + cO2(y - b)2

donde, nuevamente, los coeficientes c%3 son constantes reales.




Un polinomio cúbico tiene la forma

P¿{x,y) = coo + CIQ(X- a) + col(y - 6)

parte lineal

2 x - a ) ( i / - 6) 2

parte cuadrática

+ c30(x - a)3 + c2i(x - Q) 2 (^ - b) + c12(x - Q)(T/ - fr)2 + CO3(T/ - 6)*

parte cúbica

Observamos que, en general, un polinomio de grado r en las variablesx, y se escribe,

k=l \k=i+j

Iniciamos un proceso de aproximación de cualquier función de dos va-riables que sea suave, por un polinomio en dos variables.

Sea / (x, y) una función arbitraria de clase CT definida en una región íl,en el punto p — (a, b) G £1 y sea (x, y) G U cualquier punto cercano a p.

Primeramente intentamos aproximar a / linealmente en una cercaníadel punto p, mediante el polinomio

f(x, V) = Í(P) + cipjx - a) + CQI(X - b\ +o((z - a)2, (y - b)2)

parte lineal

donde la expresión o((x — a)2, (x — b)2) define un error en los monomiosx — a y y — b de orden dos.

<1 Calculamos los coeficientes ctJ apropiados, calculando primeramente

lo que nos dice que, al calcular en p = (a, 6), esto es, en x = a, y = 6,

— (a, b) = cío + o((x - a), (y - b))\x=a,y=b = cio

lo que nos da el primer coeficiente.




Igualmente, de la relación

se obtiene, al evaluar en p = (a, 6),

Por lo tanto, la aproximación lineal de / alrededor de p sería mediantela expresión

f(x,y) = f(a,b) + (a,b)(x-a) + (a,b)(y-b) + o((x-a)\(y-b)2) O

Aproximamos ahora a la función f(x,y) hasta el orden dos, medianteel polinomio cuadrático

f(x,y) = /(a,b) + |£(a,&)(:r - a) + ^ ( a , 6 ) ( j / - 6)

-hc2o(x - a)2 + cn(x -a)(y - b) + cQ2fa - 6)2;+o((x - a)3 , (y - 6)3)

parte cuadrática

donde la expresión o((x — a)3 , (y — b)3) define un error de orden cúbico enlos monomios indicados.

< Procedemos a calcular las constantes C20, Cu, C02 apropiadas del poli-nomio.

donde la expresión o((x — a)2, (y — b)3) define un error de orden dos en elmonomio x — a junto con un error de orden tres en el monomio y — b.

Por lo tanto,

lo que al evaluar en el punto (a, b) nos dice que

es decir,




Además, se tiene

o2/= cu+o((x-a)2,(y-b)2)

dydx

lo que nos indica, al elvaluar en el punto (a,b),

d2f

dydx(a, b) = cu

Por otro lado, al derivar parcialmente respecto a y la función inicial /se tiene

?£ = ?f(a, b) + cn(x -a) + 2cm(y - b) + o((x - a)3, {y ~ b)2)ay oy

con lo que,

Al evaluar en el punto p — (a, b) esta expresión se obtiene,

a 2 / _ 2c¿)y2

y por lo tanto,_ 1 d2f

2 dy2

De esta forma, hasta el orden dos la aproximación de la función / es,

f(x,y) = f(p) 4- —(p)(x - a) + —(p)(y - b)

+o((x-a)3,(y-b)3) >

Un intento de aproximación a orden tres para / sería dada por el poli-nomio,

f(x,y) = f(a,b) + | £ (a,b) (x - a) + {a,




+c3o(x - a)3 + c2i(x - a)2{y - b) + cl2(x - a)(y - b)2 + cO3(?/ - 6)3

+ o ( ( x - a ) 4 , ( y -6 ) 4 )

donde o((x — a)4, (y — b)4) es un error de orden cuatro en los monomiosdados.

Calculamos los coeficientes C30, C21, C12, C03 de tal expresión utilizandoel mismo procedimiento.

<\ Derivando parcialmente la igualdad respecto a la variable x, tenemos

+3c 3 ü (x - a ) 2 + 2c2 1(x - a)(y - b) + c12(y - b)2 + o{{x - a ) 3 , {y - fe)4)

de donde,

y entonces,

lo que nos indica, al evaluar el punto (a, b)

Así, podemos calcular c-¿o por

C30 =3!

Por otro lado,

- ^ = 2c21+o((x-a)2,(2/-6)3)dydx2

de donde,

lo que implica

C21 =



190 Campos escalares en E3

Además, de podemos obtener

d2f Pfa, b) + 2c2i (x - a) + 2c12(y - 6) + o((x - a)3, (y - bf)

dydx dydx

y de esto,

= 2c12+o((x-af,(y-b)2)dy2dx

Por lo tanto,d3f

dy2dxcon lo que se obtiene el coeficiente

[a,b) = 2c12

2

Otro cálculo análogo prueba que,

— (a b)~dy3

es decir,

3!

Por lo tanto, el desarrollo a orden tres nos quedaría, al sustituir talescoeficientes,

/(*, y) = /(a, b) + y-(a, b)(x - a) + y-(a, /

-{x - af + dydx2^ ' (x - a)2(y - b) + dy2()x^ ? (x _ a)(^ - 6)2

— (y-bf + o((x-a)\(y-b4)) >3!

Observamos que la relación anterior se puede escribir, al tomar p =(a, 6), también como




2!0! v

(x-a) + OH» ( x ~ a ) ( 2 /~ 6 ) + uní \x~a)(y-•

Procediendo inductivamente, es fácil ver que la parte cuártica del poli-nomio buscado es,

(* - a ) 4 + ^ r <* -añy ~b)

d4f /P - W + - j ^ - (y - b

Podemos escribir la generalización de toda la discusión anterior en elsiguiente resultado.

TEOREMA 4.5 (de Taylor) Si / (x , y) es un campo escalar de claseCr, entonces alrededor del punto p — (a, 6) G Q se tiene que la función seescribe como el polinomio de grado r en dos variables

¿ ( Ek-\

donde la cantidad o((x — a ) r + 1 , (y — 6) r+1) es un error de orden r + 1 enlos monomios x — a y y — b.

DEFINICIÓN. A la expresión (sin error) del lado derecho de la ecuaciónen El teorema de Taylor se le llamará El polinomio de Taylor de grador de la función / en el punto p, en las variables independientes.


f(x,y) = sen(a:y)

Desarrollar El polinomio de Taylor alrededor de p = (0,0) hasta orden dos.

O Aquí, a = 0, b — 0, y al calcular las parciales (hasta las segundas) setiene

— = ycos(xy), —— = cos(xy) - xysen(xy)ax ayox




— = -y2sen(xy), — = xcos(xy), — = -x2sen(x?/)

Por lo tanto, los coeficientes se calculan evaluando en el punto (a, b) =(0,0),

^-(0,0) = 0, ^ ( 0 , 0 ) = 0, -|^-(0,0) = 1, ^-(0,0) = 0, & 0 , 0 ) = 0<9.r ox2 dyax ay dy2

y por la fórmula de Taylor del teorema 5.2 se tiene que,

d'2f (Q o) ^4(0 0)^ ! 1 ; (x - 0)(2, - 0) + ^ - ( ^ - 0)2 + o((x - 0)\ (y - Of

Esto es, hasta orden dos la función dada se escribe

sen(xy) = xy + o(x3, y3)

Otra forma de realizar el desarrollo anterior, es observando que parauna variable z real el desarrollo de la función seno alrededor de ZQ — 0 es

Z¿ 2 5 "yT

s e n 2 = z _ _ + _ _ ± - + 0 ( 8 )

Ahora, defínase 2 = xy, y considérese p = (0,0). Entonces, 2(0,0) —0 = z0, y sustituyendo la variable 2, hasta el orden dos, se obtiene

sen(xy) = (xy) - ^ - + o(7) = xy + o(3)

que es la misma expresión obtenida. \>

La forma de desarrollar las funciones en varias variables utilizando losdesarrollos conocidos de Taylor para una variable, ayudan en general paraomitir una buena cantidad de cálculos. No obstante hay que tener prácticapara reconocer las sustituciones apropiadas y los puntos alrededor de loscuales se está desarrollando. Esto se ha mostrado en el ejemplo anterior yse muestra nuevamente en el siguiente.

EJEMPLO. Desarrollar la función

f{x,y) = ln{l+xy)




en polinomio de Taylor hasta orden tres alrededor del punto p = (0, 0).< Calculamos las derivadas parciales hasta orden tres,

df y

d3fdydx2

De esta manera,

d2fdydx

d3fdy2dx

-2j/(l

dx

df

1

dy 1

(1 + x y ) -

d2fdx2

d2fdy2

dx3

dy3

+ xy)2

( 1 -

xy)

(1

(1

(1

(1

+ xy

+ xy

yx 1

-y2

+ xy)2

9— X"

+ xy)2

2y3

+ xy)3

2x3

+ xy)3

' Xy> * (l + xy)3

+ y22(l+yx)x -2yhxy)4 (l + xy)3

|(0,0) = 0,|(0,0) =

(o,o). 0.^.(0.0) = i.dx2 dydx dy

( 0 , 0 ) = O

d2f d3f d3f d3f-4(0 ,0) = O, ^~-(0,0) = O, «-¿-(0,0) - O, ^4(0,0) = Odx3 dydx dydx dy3

Por lo tanto, alrededor de p — (0,0) se tiene que la función f(x,y)ln(l + xy) se escribe

xy) = ln(l + 0) + |^(O,O)(ar - 0) + |^(0,0)(y - 0)ox oy

( i 0 ) +




^í(o,o), (y - O)3 + o((x - O)4, (y - O)4) = xy + o(x\ y4)

Por otro lado, el desarrollo alrededor de ZQ = 0 de la función ln(l 4- z)está dado por la igualdad

ln(l + *) = z - y + o(3)

Por eso, si ponemos z — xy entonces el punto (a, b) = (0,0) correspondeal punto ZQ = 0 y entonces

( \2 2 2ln(l + xy) =xy- &%- + o(3) = xy - ^ ~ + o(5)

z z

= xy + o(3)

igualdad que se ha obtenido ya, utilizando el teorema 4.5. O

Damos ahora un ejemplo del desarrollo de un polinomio alrededor deun punto.

E J E M P L O . Dar el polinomio de Taylor alrededor del punto p= (1,2) dela función polinominal

< Calculamos todas las posibles derivadas parciales, obteniendo,

-£¿-3 £Íoyox oyz

0, df o / / 12' d2d ' 9 36, 0,

' dydx2 ' dy2dxDe esta forma, al evaluar cada derivada obtenida en el punto p se tiene

§£(1,2) = -3, §£(1,2) = -21dx dy

d2 f d2f d2f^4(1,2) = 6, ^ - ( 1 , 2 ) = -3, ^4(^2) = "24d2 dydx dy2



4.8 Diferencial total de un campo escalar 195

(1,2) = 6, ^(1.21=0. ¡ S ( . . 2 ) - 0 . a . . 2 , , . > 2üxó üyüxr üy-üx Oír

Por lo tanto, por el teorema 4.5, alrededor de (1,2) la función / se escribe

( x - l ) 2 3(:/:- l)(?y- 2) 21(/y - 2)'1

2!0! 1!1!

2),

3!0! 2!1! 1!2! ()!3!

= - 9 - 3(x - 1) - 2l(y - 2) + 3(.T - I ) 2 - 3(J: - l)(yy - 2) - V2(y - 2)"

+ ( * - l) : í - 2 ( ? / - 2);í

debido a que las derivadas parciales d(j onkíii cuatro en adelante se anulantodas. \>

4.8 Diferencial total de un campo escalar

Para el campo escalar / : D C R2 —> R y el punto arbitrario /; = (x,y) G D.se tiene el incremento total de / en p dado por

donde h = Ax y k — Ay son incrementos arbitrarios en las variables dadas.

De la definición de diferenciabilidad de / en />, dada en la sección 1.1. setiene que / es diferenciable en p si el incremento total A / puede escribirseen la forma

A/ - ?f(p)Ax + ?f(p)Ay + o(\\(Ax. A.(/)||2)

üx üy

cuando ||(Ax, Ay)\\ —•»- 0. Podemos escribir lo anterior mediante la notaciónconvencional

en virtud de que o(||(Ax, A.y)||2) -> 0.

DEFINICIÓN. Para la función diferenciable / : D C R2 -> IR se definela diferencial total de / por la igualdad

df = —dx 4- —dyüx üy



196 Campos escalares en E3

EJEMPLO. Dada la función f(x,y) — \\\{x2 -f y2) definida en la regiónplana D = R2 - {((),())}, calcule su diferencial total.

<] En virtud de que

Of 2x Of 2yüx ' x2 + y2' üy ' ' .r2 -h ;<y2

se tiene

/' . 2:r . 2//(ir = -r(i-i'

Oy x2 + ;¿y2 .r2 + ?y2

De esta nicUHTa, ])ara calcular aproximadamente ln(0.0912 + 0.992) to-mamos ./• = 0 y y = 1 obteniendo que Ax = 0.091, Ay = —0.01, lo que nosindica que

y coiiseciieiití'iiiente,

ln(().O912 + 0.992) « /(0,1) 4- df = ln(02 -f l2) - 0.02

es decir,ln(().O912 + Ü.992) % -0.02 o

Dv manera análoga, para una función diferenciable de tres variables, setiene1 una diferencial total,

ax oy óz

EJEMPLO. Dada la función T — ed'yz, calcular su diferencial total.

O Primero calculamos las derivadas parciales

f = yze.^=xze,^üx oy oz

luego construimos la diferencial total

ijm 'ÍT"" '-ÍT"1

dT = —dx + —dy -f —dz = yzedyzdx + x¿ ea"ysrf2/ -h xy exyzdzüx oy oz

Para una función de clase C2 se define la diferencial total de segundoorden por d2f y se calcula mediante

dy2




Si escribimos la expresión anterior en notación operacional se tiene.

-(I +donde la aplicación del operador se realiza mediante la convención

0 ( 0\ O2 O2 Oíd

Ox \¿)y) üyüx üxüy Oy \0x

EJEMPLO. Sea u = cosx1 cos;/y. Calcular <í2u.

< Calculamos las derivadas parciales, obteniendo,

0(i da-— = — s e n x c o s ? / , —— = — COS:/:S(ÍII vyux ' uy

ü2u 02u 'ó2 u— - = — cosx cos/y, = sen./: sen /y. — - — —eos./' eos vy,üx2 ' Oyóx ' Oy1

lo que indica eme

du" = — eos x eos ydx" -\- 2 sen x sen ydxdy — eos x eos ydy í>

De manera inductiva, se tiene para un campo escalar / de clase CM latercera diferencial total d;* f = d(d¿f), y vieiKí dada j>or

d* f = -—-dx'^ + 3 -—-—-dx"dy -+- 3-———dxdy~ -f -—-dy^r-i r)i,,)x~ ' OyOx ' Oír

que en notación convencional operacional'podemos escribir

En forma general, en notación convencional, se tiene la k—ésima di-ferencial total del campo escalar de clase Ck dada por




í[\\v sv desarrolla de acuerdo a la fórmula del binomio de Newton.

EJEMPLO. Para e-1 campo escalar u = y\nx calcular d4u.

<\ De acuerdo al Triángulo de Pascal, los coeficientes del binomio deNewton do grado 1 son 1, 1,6, 1,1, lo cual nos indica que

Oy2Ox2 ""

O4 ti , , . 04u ., 04u , ? , • > t 04u—l(lx

4 -h .i——dx*dy + 6 ., odx~dy- + 4—dxdi/ +

el/-4 Oyóx* Oy¿üx¿ oyóox ay4

Dv c\sta. manera., al calcular las derivadas parciales

Ou y da

ü~u y O" ii 1 ü"u

Ux1 = " Í2 ' 'Oydx = x' W1 =

03u

\^/ ( l ^rt *-r ».*/ ^ s K+J -t+S \.%/ ^ ^

Ox4 x4' Oydx3 x¿ ' dy2dx2 0y3dx dy4

y sustituirlas se obtiene

2 \ rfi.3d = _6yd j ,4 + 8 d a ; 3 d >

Si consideramos el elemento vectorial diferencial en IR3, en la basecanónica {e\,e2,e¿} dado por el vector simbólico

dr = (dx, dy,dz)

entonces la diferencial total de un campo escalar / está dada por

=< grad/, df>




Ejercicios

1. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos son abiertos? ¿Cuáles son cerra-dos? ¿Cuáles son conexos? Haga un dibujo para cada conjunto dado.

a. íl = {(x,y)\ \x\>l}b . Q = { ( x , y ) \ x + y < l }

c . Q = {{x,y)\ \x\ + \y\>l}

d. n = {(x,y)\\Senx\>4}e. ü = {(x, y, z)\ x + y + 2z < 2}f. Ü = {(x,y,z)\x2-y2-z2<l}g. n = {(x,y,z)\ \\(x,y,z)\\ < 1 ó 4 < ||(s,y,z)||}

h . Ü = {(x,y,z)\ x2+y2 <z< ^4-x2- y2}

2. Calcular los dominios de los siguientes campos escalares y dar su carac-terística topológica (abierto, cerrado, conexo).

a. fi{x,y) = \]x2 + y2 - 4

b- Í2(x,y)=

c. /3(x, y) = arccos(2x - y)

d. Í4(x,y) = ln(y2 - x)

e- /5(^2/) =2/ + \fxf. gi(x,y,z) =

g. g2(x,y,z) = arcsen

h. g3(x,y,z) = l n ( 9 x

i. g4{x,y,z) = >Jx + 2y- Zz

3. Dibujar las curvas de nivel de las siguientes funciones definidas en do-minios del plano. Hallar tales dominios.

a. fi(x,y) = Ax-yb. f2{x,y) = ^

c. /3(xiJ/) = l

4. Hallar las superficies de nivel de las siguientes funciones definidas endominios de R3.

a. fi (x, y, z) = 6x - 3y 4- 2z




b.

c. f3(x, y, z) = sjx2 + y2 + z2

d. f4(x,y,z) = x2-y2-z2

5. Calcular las derivadas parciales T^, £-, -^ de cada una de las funcionesindicadas.

a. /i (x, y, z) = x3y4 + xyz2 - 3z3y3

b. fo (x, y, 2) = sen(xy2) -f xsen y + ysen 2

c. /3(x, y, 2) = x sen(y — 2) 4- 2arctan(xy)

d. /4(x, y, 2) = y/x2+y2eyz + \/x2 4- 22 ln(xy)

e.

6. a. Mostrar que la función 2 = yy/xsen (^) satisface la ecuación

292 92x •— +xy—- = y2

9x 9y

b. Probar que la función ^ = | - + f + ^ — r satisface la ecuación

9 92 9 92 X3

™¿ _i_ ^ .-

9x dy y

7. Para los incisos del ejercicio 5. correspondientes, calcular el gradientede la función correspondiente en el punto dado.

a. V/i(x,y,2) en p= (1,1,1)

b. V/2(x,y,2) en p= (l, f, f)

c. V/s(x,y, 2) en p= (0, | , j )

d. Vf4(x,y,z) en p = (-1,0,1)

8. a. Sean= t + 2s= 52 - í

y la función u = x2 + 2xy + y2 -f z2. Calcular §7 y f mediante la reglade la cadena.

b. Dadosx = sen(í + 5), y — cos(í -h 5)

la función i¿ = ^qr^, calcular ^ , | ^ mediante la regla de la cadena.




c. Dado u = (x2 + y2 + z2)3/2, calcular

du du dudx' dy' dz

d. Sea la función u = f(r — s, s -t, t — r), demostrar que

du du du^r + TT + ^7 = 0os or ot

e. Sea u = f í .s+y¿ ), demostrar que

du dux— +y— = 0

dx dy

f. Dada la función g(x, y) — f(x + y, x — y), demostrar la igualdad

dgdg fdf\2 2

dx dy \duj \ dv

donde u = x + y, v = x - y.

g. Dado el ángulo constante <¿> y las relaciones

x = u eos (f — v sen ipy — u sen tp -\- v eos (p

demostrar que la función compuesta f(x,y) = g(u,v) satisface la relación

h. Calcular el gradiente V/p para las siguientes funciones, si

r = \Jx2 + y2 4- z2 y f{x, y, z) = h(r)

donde,

i) h(r) = r2

ii) h(r) = lnriii) h(r) — e~r

9. Calcular la derivada direccional D^fp para las funciones, puntos y vec-tores dados.




b. / ( x , y) — a r c t a n (xy), p = ( — 1 , 1 ) , £ = ( 1 , — 2 )

c . f(x,y) = e-(x2+y2\ p= (0,0), £ = (1,1)

d. /(x, y,z)=y arctan(xz), p = (1,1,1), f = (-1,0, 2)

e. f(x,y,z) =xy + yz + zx, p= ( -1,1,-1) , f = (1,-1,2)

10. a. Dada la función /(x, ?/, z) = x2 -h XT/ + z2 dar la dirección £ en laque crece más rápidamente / en el punto p = ( — 1,1,1). Calcular D^ fp

para estos elementos.

b. Sea la función

f(x,y) =x2 + y2

En qué dirección crece más rápidamente / en el punto p = (1,0)?

11. a. Calcular -^£ y £ ^ para f(x,y) = lntan(2/ + x)

b. Calcular ^ y £ ^ para f(x,y) = arctan

c. Calcular f^, f^r y §¿fó para /(x, 7/) = y sen xy + x eos xy

d. Calcular ¿ ^ , ^ y ^ para w = sen(2x + y2)

e. Dada la función u — x3y2 demostrar la validez de la igualdad

d5u d5u

f. Sea la función u = A=e i?1. Probar que satisface la ecuación

du d2u

12. Sea /(x, y) = g(r, <p) donde

J x = r eos (p\ y = rsentp

demostrar que se cumple la igualdad

7h5 + -~fr: + -¿2-QQ2~-dx2 ' Qy2




13. Sea f(x, y) una función tal que para cualquier número real t se cumpleque en todo el dominio de / es justa la igualdad f(tx,ty) = tnf(x,y),donde n es un número entero.

a. Demostrar que se cumple la igualdad

b. Mostrar además que también se cumple que

14. Demostrar que la función u — e3x+4y cos(5z) satisface La ecuacióndiferencial de Laplace,

d2u d2u d2u

15. Desarrollar hasta orden tres en fórmula de Taylor las funciones indi-cadas en los puntos indicados.

a. f(x,y) = e2xsen2y en el punto p — (1,TT/2).b. /(#, y) — cos(x2 — y) en el punto p — (0, — TT).c. f(x, y) = ln(l + x 4- y) en el punto p = (1,1).d. f(x, y) — x2 4- xy -+- y3 en el punto p = (0,0)e. f(x, y) — x2 + xy -f y2 en el punto p = ( — 1,1)

16. Dado el polinomio

¿Cuál es el término de orden cuatro de su expresión de Taylor en el puntop=(0,0)?

17. Calcular df, df2 y c/3/ para las funciones a.-e. del ejercicio 15.



Capítulo 5

Campos vectoriales en

5.1 Funciones del tipo rm

En este capítulo hacemos un estudio de los aspectos básicos de las funcionesvectoriales con argumento vectorial del tipo Rn —» Rm, llamadas tambiéncampos vectoriales deñnidos en Rn con valores vectoriales en Rm. Dehecho, los dominios de tales funciones en general serán regiones contenidasen el espacio de dimensión n.

Dada la región (conjunto abierto conexo) Q C Rn, una función de tipo

/ : fi - • Rm

a cada punto p € Q le asocia el punto q — f(p) en Rm.

En los correspondientes sistemas de coordenadas, si p — (xi, • • • , xn) ,q = (y¡, • • • , y,n) entonces tal función se escribirá

(2/1,2/2,* •• ,2An)

Como las coordenadas y^s dependen de p, entonces cada una de ellases una función real dependiente de p,

2/i = fi(p) = f\{x\, • • • ,xn)

siendo cada una de las /¿, funciones reales de variable vectorial definidasen {}, para i = 1, 2, • • • , m.

/ ¡ : n -* R



206 Campos vectoriales en

R"

Figura 5.1: Función de Rn -> Rm.

y son llamadas las funciones coordenadas de la función / (véase la figura5.1).

Esto es, la función / se escribe en coordenadas, como

-- , x n ) = ( f i ( x i , - - , x n ) , / 2 ( x i , - - - , x n ) , - - ' , / m ( x i , - - - , x n ) )

EJEMPLO. Sea la función / cuya regla de correspondencia está dada por

/ yf(x,y) = [xy, \nxy2,——-

Entonces / está definida en una región Q de R2 y toma valores en R3.< Procedamos a calcular el dominio de la función, analizando cada

función coordenada.Ciertamente la coordenada primera xy y la tercera J^TI no ofrecen

alguna restricción. La segunda función coordenada impone la condición deque el argumento xy2 deberá ser positivo.

Como xy2 > 0, necesariamente cuando x > 0, y ^ 0, el dominio esentonces

Cl = {(x,y)\x> 0 , ^ 0 }

y la función / está bien definida en fi. Las funciones coordenadas se es-criben explícitamente,

fi(x,y) = xy, f2(x,y) = , h(x,y) = yt>

La figura 5.2 ilustra el dominio de la función. \>

EJEMPLO. Sea la función vectorial de argumento real

-f(t) = (£2 + 1,\/1 -t, senf)



5.1 Funciones del tipo Rn 207

Q

x

Figura 5.2: Dominio de (:r, y) —> íxy

Claramente, es una función real con valores en M3, esto es, tiene laforma Q C R -> IR3.

<] Se condiciona la variable t a que 1 — t > 0, lo que nos dice que 1 > ¿,de donde el dominio de 7 es entonces,

n = {t e R I t < 1} = (-oo,l]

(1111111111 i 111]

Figura 5.3: Curva espacial.

Las funciones coordenadas de 7 vienen dadas por

/i (/) =•• t1 4- 1. /2(¿) = \ / l - í, / 3 (0

[.;; íigura 5.-> ilustra la imagen de 7 en el espacio de dimensión tres. O

E J E M P L O . Sea la función dada por




Esta función está definida en una región espacial y toma valores en M2,esto es, / es de la forma

\l C_ K —> K .

< Para calcular su dominio imponemos la condición xz > 0, lo queequivale a

' x > 0 y z > 0ó

x < 0 y z < 0

lo que implica que el dominio es la región espacial

ü = {(x,y,z) | x > 0 y z > 0, ó x < 0 y z < 0, y e R }

La figura 5.4 ilustra el dominio de la función, que es la unión de cuatrooctantes en R3.

y

I

N

V

s

! Xv

\

S

s s

zN

S N\

S

s

N

N

x

X

Figura 5.4: Dominio del campo (x2 + y2, \nxz + y).

Las funciones coordenadas del campo vectorial / son, en este caso

fi(x,y,z) = x2 -hy2, f2(x,y,z) = lnxz + y >

dado por la regla de correspon-EJEMPLO. El campo escalar / : R3 -dencia

está definido en R3 (n = 3,m = 1), y tiene sólo una función coordenada.

Le damos una estructura aritmética al conjunto de funciones del tipofí C Rn —> Rni mediante las propiedades vectoriales del codominio Rm.



5.1 Funciones del tipo Rn - • R1" 209

Si / , g : Í2 —» Rm son dos funciones definidas en el mismo dominio enRn, se puede definir la suma de ellas

/ 4- ry : Í2 -> R"1

como la función que en coordenadas del dominio y codominio se» calculapor

(/ ) ( • • , *n) = f{-i'i, • • • *„) 4- (ry(:/'i, • • • , ./"„ )

Si A es un escalar, se define la función nueva

A/ : Í2 — Rm

como aquella que en coordenadas se escribe

También definimos una categoría de las funciones vectoriales mediante lacomposición ordinaria de funciones.

Sean las funciones / : í ! c R" -> R"\ y : f/ C R1" -> Rk de tal formaque la imagen de U bajo / esté contenida en f/, es decir, /(Í2) C í/. Sedefine la composición de la función / con g

g o / : U -> Rfc

a través de la igualdad,

véase la figura 5.5.

A continuación damos ejemplos de la composición de funciones vecto-riales de argumento vectorial.

EJEMPLO. Sean las funciones vectoriales dadas por

f{x,y,z) = (X2,T/2 + z2)




R

gCf(p))

Figura 5.5: Composición de funciones.

Í/(//, r) = (ln(u + v),elu\uv)

<\ a. Calculemos y o f cniin punto arbitrario (x,y,z) del dominio deesta composición.

(,, o /)(,-. u.z) = .<•/(/(.,-, y. z)) = í/(.r-, y2 + z2)

= (ln(.r- + i)2 + z% (-'"(tf">+-""')..r2(.V- + z2))

áv donde, la coinj)osición es del tipo

(jof: íl{ C E 3 - > E 3

b. C'alculanios f o y en un punto arbitrario (w, w) del dominio correspon-diente.

composición que tiene el tipo

foy: íl2 C R 2 - > R 2 >

EJEMPLO. Dadas la*s funciones vectoriales

y

y(u, v, w) = (uv — w, u + v -f

Calcular ^ o / , / o #.



5.1 Funciones del tipo Rn -> R m 2 1 1

<\ a. Ciertamente g o / no tiene sentido pues la imagen de / es unsubconjunto del plano R2, mientras que el dominio de g es la región espacial

3

b. Para el punto (i¿, v1 w) se cumple que

(/ ° 9){u, v, w) = f(g(u, v, w)) = f(uv -w,u-

u 4- v + w1 4- (uv — w)2 , (uv — w)(u -\-v-\-w) + (u + v-\- w)'

Para optimizar la discusión sobre la continuidad de las funciones vec-toriales de argumento vectorial, apelamos a la siguiente definición quegarantiza la continuidad de los campos vectoriales en los subsecuentes ejem-plos.

DEFINICIÓN. Una función / : íí -> Rn -> E m es continua en ü, si ysólo sí, cada una de sus funciones coordenadas f¿ : Q —•> R es continua.

Transformaciones Lineales

De entre todas las funciones Rn —> Rm se destacan las llamadas tranfor-maciones lineales. Estas ayudarán a definir la diferenciabilidad de unafunción vectorial de variable vectorial.

Iniciamos el tratado básico con las transformaciones lineales más simplesR3 —> R3, obteniendo la mayor información para este tipo de transforma-ciones y argumentamos inductivamente la generalización de estos resultadospara transformaciones lineales más generales del tipo Rn —> Rm.

Sea la función L : R3 -+ R3 dada por

L(x, y, z) = (aux -f auy + aviz, a2\x -f a22 + ^23^, a^x -h a32y + a33z)

donde cada a¿j es un número real.

< Es claro que si u,v,w son las coordenadas, en el codominio de L,entonces cada función se escribirá,

u = aux + ai2y + a13z

v = a2\x + a22y -f a23z

w — a3\x + a32y + 0332

que matricialmente se escribe,

«22 «23

«31 «32 «33




En otras palabras, si definimos a los vectores variable dependiente eindependiente como los vectores columna,

(\P= \ V I , A = {aij), q =

la relación anterior se escribe mediante la igualdad

q = Ap = L(p)

En adelante, abusando de la notación, cada vez que en una transfor-mación lineal apliquemos a un vector, para el cálculo tomaremos a tal vec-tor como un vector columna, escribiendo finalmente el resultado del cálculocomo un vector renglón elemento del codominio.

Con esta asociación y con la conversón de notación se tiene,

a. Si Pi,P2 £ R (considerados como vectores), entonces

L(Pi +P2) = A(pi +p2) = Api Hh Ap2 = L(pi) + L(p2)

es decir, se cumple que

+P2) = L(Pl) + L(p2)

b. Si A G p entonces L{Xp) — A(Xp) = X(Ap) = AL(p), es decir, se satisfacela igualdad,

L(Xp) = XL(p)

DEFINICIÓN. La función L se dice que es una transformación linealpor satisfacer las propiedades a. y b .

Hemos observado que una matriz A = Asx¿ tiene asociada una trans-formación iineal L : R3 —•> R3 que satisface las propiedades a. y b . de ladefinición.

Recíprocamente, sea dada la transformación L : R3 —> R3 tal que satis-face a. y b . (es decir, es lineal), y sean los vectores {e\,e2,ez} básicos enR3 tal que todo punto (#, y, z) se escriba

(x, y, z) = xe1 4- ye2 -f ze3

Definamos a los vectores columna (escritos convencionalmente de estamanera),



5.1 Funciones del tipo Rn -» Rm 213

Afirmamos que la matriz construida por los vectores columna así obte-nidos

( «11 «12 «13

«21 «22 «23

«31 «32 «33

está asociada a la tranformación lineal L y la define cuando se evalúan lospuntos del dominio

<\ En efecto, al tomar un punto (x,y,z) se tiene

L(x, y, z) = L(xei + ye2 4- ze<3) = L(xe{) 4- L(ye2) + L(ze3)

«11 «12 «13

«21 «22 «23

«31 «32 «33

Podemos generalizar esto para dimensiones arbitrarias m, n haciendouna reconstrucción similar a la utilizada para este caso especial. Una tran-formación lineal L : Rn —» Rm es aquel campo vectorial que satisface lascondiciones a. y b . de la definición dada. De esta manera se tendrá elsiguiente teorema general.

T E O R E M A 5.1 Sea L : IRn -> Rm una transformación lineal, entoncesexiste una única matriz real de m x n, A = («¿j) asociada a L tal quepara todo x — (xi,--- ,xn) se tiene que (utilizando la convención para elcálculo),

( «11 • • ' «l

« m i 0>rn

La matriz A es tal que si {e\,62, • • • en} es la base en Rn, entonces, Laplicado al vector e} es el vector columna,

L(e3) =

\

*'¿j

\ «mj

esto es, el j — ésimo vector columna de la matriz asociada A.



214 Campos vectoriales en R3

< La unicidad del teorema se deja como un ejercicio para el lector. D>

Hasta aquí, el lector ya habrá observado que una transformación linealen general, tendrá sólo en sus funciones coordenadas a expresiones linealesen las variables, sin términos independientes.

En los siguientes ejemplos el lector deberá aprender a reconocer porsimple inspección una transformación lineal, y a calcular su matriz aso-ciada.

EJEMPLO. Sea la transformación L : R3 -+ R3 dada por,

L(x, y,z) = (y + z, x + z, x + y)

< Al considerar la matriz A dada por

A =

y a (x,y,z) un vector en R3, se tiene,

A

y, por lo tanto, A está asociada a L, lo que dice que L es una transformaciónlineal.

Más aún, si se toma la base canónica

{ei = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,0)}

entonces, al aplicar A en cada uno de ellos se obtiene

A(ei) =

lo que nos da los vectores columnas de la matriz A. O



se tiene que

A(\

f \ 1

1 =

, y ) \

( 23

i 240

5.1 Funciones del tipo IR" -* R'" 215

EJEMPLO. Sea la transformación L : R2 -> E:i (Infinida ]>or

L(;r , ; í / ) - (2;r- /y, 3.r+ 1/y, 2.r)

O Al considerar la matriz de 3 x 2 dada por

- i= 3 1

2 0

= I 3,

lo que indica c ue A está asociada a L.

Si se toman los vectores básicos c,\ = (1,0), (•> = (0.1), ciitonccstendremos los vectores columna de la matriz A mediante los cálculos.

« • • ' • ( • • ) ( ! ) • ( !

« • ( • : ) < ; > • ( :

EJEMPLO. Sea la transformación lineal

L(x, y, z) —' (—x — y + z, áz — 2x + 2y)

< Al considerar la matriz real

2 2 4

es fácil ver que A es la matriz asociada a l t>

EJEMPLO. Sea la transformación lineal L : R'* —* R dada por

L(x, y, z) — (yx — '¿y + (lz

< Si se considera el vector renglón,

¿ = ( 6 " 3 2 ) i x : f




para el vector (.r,//.¿), se obtiene,

,1 // = (ü - 3 2),x : , 2/ =6x-3y-

lo que dice que .4 es la matriz asociada a la transformación lineal L. D>

Damos ahora una interpretación geométrica de una transformación li-neal para el caso L : R2 -> R3.

Figura 5.6: Geometría de una transformación lineal.

Si consideramos un vector en el plano R~, este se puede escribir comouna combinación lineal de los vectores básicos.

De esta manera, su imagen bajo L se escribiría como

£2e2) = $1L(e1)

lo que nos dice que la imagen de ^ es una combinación lineal de los vectoresimágenes de los básicos, en R3 (véase la figura 5.6).

De esta manera, la imagen del cuadrado en el plano IR2 generado por losvectores e\,e.2 bajo la transformación L es el paralelogramo en R3 tendidosobre los vectores L(e\) y L(eo)^ como lo muestra la figura 5.6.

En general, si L : Rn —> Rm es una transformación lineal y f G R" esun vector posicionado en el origen, entonces L(£) es también un vector enRm posicionado en el origen.

Obtenemos ahora una matriz asociada a la composición de transforma-ciones lineales, en términos de las matrices asociadas a cada una de las



5.1 Funciones del tipo Rn -> Rm 217

transformaciones que intervienen en la composición. Lo hacemos apenaspara el caso especial de las transformaciones lineales del tipo R2 —> R2,generalizando el resultado de manera natural.

Consideremos dos transformaciones lineales del plano en el plano, dadaspor

L\ (x, y) — (ax 4- by, ex 4- dy)

L2(u1 v) = (au 4- /3v, yu 4- Sv)

donde a, 6, c, d, a, /?, 7, ó son números reales.

< Al realizar su composición tenemos para un vector (x, y) £ R2,

(L2 oLi)(x,y) = L2(L1(x,y)) = L2(ax + by,cx + dy)

— (a(ax 4- by) 4- /?(cx 4- dy),/y(ax + 6?/) + ¿(ex 4- oh/))

= (aax 4- a6?/ 4- (3ex 4- /3<iy, 7a^ 4- by 4- ¿ex 4- Sdy)

= {{ota 4- /?c)x 4- {ab 4- d)y, (7a 4- ¿c)x 4- (76 + ód)y)

Como se cumple la igualdad matricial

aa + (3c ab + (3d \ / x \ _ / (aa 4- /?c)x 4- (a& 4-7 a 4 - á c ib + ó d ) \ y ) ~ ~ \ ({ja + óc)x + {jb + 5d)y

entonces la matriz asociada a la composición L2 o L\ es

a 4- Pe ab 4- /3c?C =

1 7a 4- <$c 76 4-

Por otro lado, las matrices asociadas a L ¡ y L2 son

c d y \ 7 s

respectivamente, y un cálculo prueba que el producto

B A = ( a í 3 ) ( a b \ ^ ( a a + f3c a b + 0 d \ c

lo que nos dice que la composición L2 o L\ tiene asociada al producto delas matrices correspondientes en el mismo orden. t>

Generalizamos la anterior discusión en el siguiente resultado.




TEOREMA 5.2 Para una pareja de transformaciones lineales

1 : K. —> K , .L2 • 1& —^ 1K.

cuyas matrices asociadas son respectivamente

A = Arnxn (para L\) y B = Bkxm (para L2)

La composición L2 o L\ tiene asociada a la matriz producto

EJEMPLO. Sean dadas las transformaciones lineales

Li(x, y) = (2x - y, y + x,4y)

L2{x,y,z) = ( - Z — 2 / - 2, 2 + 3x)

<] Las matrices asociadas respectivas son

2 - 1 \= ( 1 1 (para Lx)

0 4 /

) (para L2)ó u l J

y por el teorema 5.3, la matriz de la composición L2 o Li es entonces,

Por lo tanto, al aplicar convencionalmente en un vector se tiene,

- 3 -4 \ / x \ _ ( -3x - Ay(L2 oLi)(x,y) =

lo cual se puede escribir en forma transpuesta como

(L2 o Li)(x, y) = ( -3z - 4y, 6x + y) O



5.2 La matriz jacobiana 219

5.2 La matriz jacobiana

Comenzamos en esta sección, a discutir la propiedad de diferenciabilidad deuna función vectorial de variable vectorial, generalizando lo que se obtuvopara caso de funciones reales de variable vectorial, donde intervenía fuerte-mente la continuidad de las derivadas parciales que conforman el gradiente.El objeto matemático necesario para generalizar el gradiente viene dado poruna matriz cuyas entradas en cada punto son las derivadas parciales de lasfunciones coordenadas, respecto a todas las variables independientes. Estamatriz lleva el nombre de Matriz Jacobiana.

una función tal que en coordenadas del codominio• • ,/m(p)), para peücR71.

Sea / : ü C Rrl —>se escriba f(p) = (/i(

Cada función coordenada es real de variable vectorial

Si cada función ft :1 = 1,2, ••• ,ra

/i : fi -* R

tiene un gradiente en el punto p para toda

entonces podemos formar la siguiente matriz m x n,

\

\

llamada La matriz Jacobiana de la función / en el punto p.

Damos ahora algunos ejemplos en dimensiones bajas, esto es, paracuando n, m < 3.

EJEMPLO. Sea la función / : Rdencia.

f(x,y) =

R dada por la regla de correspon-

< Debido a que las funciones coordenadas son




La matriz Jacobiana en cualquier p G M es

De esta manera, en el punto particular del dominio p = (1,2), se tienela matriz Jacobiana de 2 x 2,

/ (1 '2) = [ 2xv x2 I ~ [ 4 1v ¿xy x / (12) \ ^ l

E J E M P L O . Sea la función / : R2 -> IR3 dada por la regla,

g(x, y) = (xy, senx, x2 + y2)

< Ya que las funciones coordenadas son

gi{x,y) = xy, g2{x,y) = sena;, gz{x,y) = x2 + y2

entonces en cualquier punto p cjel codominio se tiene una Matriz Jacobianade 3 x 2,

D9P= H % = I coL 0\ ^ 3 ^ 3 / \ 2.7! 2?/ /

P

Por ejemplo, si p = (TT, TT/2) entonces, al evaluar se obtiene la matriz

En este momento damos pauta para iniciar el estudio de la propiedadde diferenciabilidad de una función vectorial de argumento vectorial exten-diendo la definición de diferenciabilidad de un campo escalar.

DEFINICIÓN. Sean / : ü C Rn -> Rm , una función vectorial de argu-mento vectorial y un punto p € Q. Se dice que / es diferenciable en p si ex-isten, una función g : Rn -> Rm y una transformación lineal Lp : Rn -> Rm

tales que

y

A continuación se propone una condición suficiente y necesaria para ladiferenciabilidad de un campo vectorial.



5.2 La matriz jacobiana 221

TEOREMA 5.3 (de diferenciabilidad) Una función f : Q -> Rm esdiferenciable en el punto p, si y sólo sí, La matriz Jacobiana de f en pexiste y las entradas

,¿ = 1,2,..- ,m ¿ = 1, ,n

son continuas,

Esto es, cada función ^ - es continua en p. En este caso, la transfor-

mación lineal Lp : E n —> Rm tiene como asociada a La matriz Jacobiana.

DEFINICIÓN. A la transformación lineal

Lp : Rn -* Rrn

se le llama la diferencial de la función / en el punto p. A su matrizasociada en la base canónica (Jacobiana)

se le llamará la derivada de la función / en el punto p.

f

• f(p).m

Figura 5.7: Aplicación de un vector £ bajo la diferencial dfp.

Observemos en realidad que la diferencial Lp

T . Fpn TTpmLip . K —> K.

se aplica en los vectores de posición £ con extremo en p,

bajo La matriz Jacobiana Dfp.



222 Campos vectoriales en M3

Entenderemos por Lp = dfp a la transformación lineal asociada a Dfpi

ajp . K —» K

que define una transformación lineal entre los espacios Rn y Rm. Esto es,si £ es un vector de Rn entonces dfp(£) es un vector de Rm (véase la figura5.7).

A una función que es diferenciable en cada punto de su dominio se lellamará diferenciable.

EJEMPLO. Sean, la función diferenciable

f{x,y) — (xcosx, sen x)

el punto p = (~, TT) , y el vector f = ( — 1,2). Calcular df.^).

<\ Calculamos La matriz Jacobiana de la función en el punto p,

~X S6n yDf. = (p V xcosz sen x

y la evaluamos en el punto p = ( f ,TT), obteniendo,

COSTT - T T / 2 sen TT \ / - 1 0

sen TT/2 J V 0 I

Por lo tanto, para £ = ( — 1,2) se tiene, al aplicar convencionalmente,que

- 1 0 \ / - l \ í 1

EJEMPLO. Sean, la función diferenciable,

J(x, y) = (\nxy,x2 + y2, y/xy),

el punto p = (4,3), y el vector £ = (2,1). Calcular dfp(£).

< Calculamos La matriz Jacobiana de la función en el punto arbitrario

¿ i

Dfp = I 21* 2y




de donde, al evaluar en p = (4, 3) se tiene que

I II 1 / 44 2 V 3

Por lo tanto, al aplicar en el vector f = (2,1) de manera convencional,se obtiene,

#(4.3) (O =

5.3 La regla de la cadena

En el capítulo 4 hemos dado una versión más general del teorema de dife-renciabilidad, para la composición de funciones, para cuando eran del tipoR —> R3 —> R. En esta sección damos un resultado más general acerca dela diferenciabilidad de la composición de funciones diferenciables del tipoR" —» R7n — R^ (k,n,m enteros arbitrarios), llamada también Regla dela cadena (véase la figura 5.8).

Figura 5.8: Regla de la cadena.

EJEMPLO. Sea la pareja de funciones vectoriales

g(u, v, w) — (uv — w, u + v + w)

< Las matrices Jacobianas respectivas están dadas por,

Df =

-2x\

y 2y




DgP =V U — 1

1 1 1p

Observamos que sólo tiene sentido la composición dada por

J o g . ¡K —> K. —• ¡K.

la cual ya ha sido calculada y está definida por la regla

/ r w x ( U + V +W / x/

( / ° g)(u, v,w)= —— rr, (it 4- v + ^ ) ( w + u H-

\ 1 + (ÍXV - w)¿

y cuya matriz Jacobiana se calcula en un punto p G t 3 por

D(fog)p

( + (uv-w)2)2 {l-\-{uv-w)2)2

v2 + 2u -f 2i; -f 2nv + w 4- it; i¿2 4- 2uv + 2u + 2v + uw

(l-\-{uv-w2)2

uv 4- u 4- v

cuyo cálculo resulta ser muy complicado.

Por ejemplo, si se toma el punto p — (1,1,1) entonces,

. 1) 9

Por otro lado, sabiendo que g(p) = g(l, 1,1) = (0, 3) = q se tendrá

Dfq = .D/(o,3) =

n n í 1 1 ~l\DgP - Dgihhl) = ^ l l 1 j

Pero al realizar el producto de matrices se tiene que

0 l \ / l 1 - 1 \ _ / 1 1 13 6 J V 1 1 l J " V 9 9 3

lo que nos indica que




Ya, que el punto q = //(/>), entonces lo anterior se escribe de manera másexplícita y en términos de /; como

La fórmula que se ha obtenido al final del ejemplo será propuesta comoLa regla de la cadena. El enunciado será dado en términos de diferen-ciales, lo cual no nos causa problema alguno, ya que la, prueba involucrarásus matrices Jacobianas asociadas.

TEOREMA 5.4 (Regla de la cadena). Sean dos funciones diferenda-bles

f:ílc R" — R'"

(j : U C R ?" -> Rk

de tal forma que la irnayen de íl bajo la función f este contenida en U CRm .

Si p G íl es un punto arbitrario, entonces la función compuesta

fjof:íl-+U ^Rk

es diferenciable en el punto p y la diferencial de tal composición en el puntop cumple la iyualdad

O Como las matrices asociadas a las diferenciales son las Jacobianas.será suficiente con demostrar la igualdad

Ya que / es diferenciable en p G íh existe una función o : R" —' R'" talque

Análogamente, como g es diferenciable en el punto q G [/, existe unafunción i¡) : R'1' -* Re tal que

lim||/l.,|_(,^(fc) = 0

Sea ahora, q = f(p) y considérese el incremento A: = / ( / ; -f h) — f{p).entonces

k = f(l> + h) - f(p) = Df,,(h) + \\h\\o(h)



226 Campos vectoriales en M

y además

.'/(/(/' + /')) = .'/(/(/') + *•) = u(f(p)) + D{,J(P) ((Dfp(h) + | | / Í | | ¿ ( /0 )

+ \\Df,Ah) + WhMWWtiDUih) + WhMh))

Por lo tanto, de la linealidad de Dgj^ se tiene que

.</(/(/' + M) - U(f(p)) = D!iI{l>)Dfp(l¡) + VJ(/«)

donde

y-(/») = ||/»||Dí//(/))(o(//)) + \\Df,,{h) + \\h\\d>{h)\\t{Dfp(h) + \\hMh))

C\)ino liiii||/,||_o ó(//) = 0 y k —* 0 <=> /¿ —• 0, se tiene que

lim <p(h) = 0

ll/'li-o

sal)iendo (jue ^ : R" -* Rf.

D(» esta manera, se cuniplo la pareja de igualdades

.'/(/O' + /')) " 9{Í(P)) = Dgfu>)Dfp(h) + ^(h)l i n i | | / , j | .o ^p(h) = O

o eímivalentenu^nte,

(.</ o /)(/ ' + h) - (g o f)(p) = DgfUl)Dfp(h) + *(

lo (iue demuestra el teorema. O

EJEMPLO. Dada la pareja de funciones,

calcular D(f o g)p% donde p = (1,1).<3 Las matrices Jacobianas están dadas por

i iu-\-v n-\-v

Dgp = \ veuu ueuv

v a

2y 2 z ) q




Ya que g(p) = g(l, 1) = (ln 2, e, 1) = q se tiene que

± -2 2

(i o o\

Por La regla de la cadena, tenemos finalmente,

( I I2 2e e

1/2 1/22e2 + 2 2e2 + 2

EJEMPLO. Sean 7(¿) = {x{t),y{t),z{t)) una curva diferenciablef(x,y,z) una función arbitraria real de variable vectorial.

Si 7(í) C ü, siendo £2 el dominio de / en R3 entonces,

es una función real de variable real diferenciable, w o 7 : R —> R.

< Si p = 7(í) es un punto sobre la curva, por La regla de la cadena setiene

dt

= (9¿d¿d¿\ I d¿\ = d¿dx d¿dy d¿±\dx Oy dz)l{t) \ ñ i dxdt Oydy dz dt

\ dt / t

=<V/ 7 ( ( ) ,7 ( Í )>

Notamos que esta igualdad es la que se obtiene en el capítulo 4 comoun caso especial del teorema de La regla de la cadena establecido en estecapítulo. >




5.4 Cambios de coordenadas

En esta sección mostramos uno de los resultados más importantes delanálisis matemático moderno, el teorema de la Función Inversa. Aunquese omite su demostración, se ilustra su alcance con ejemplos y se dan refe-rencias para los lectores interesados en la parte teórica.

EJEMPLO. Consideremos el siguiente sistema lineal de ecuaciones de3 x 3 ,

x + 2y + 3z = 12x + 5y 4- 3z = 2

x + 82 = 3

< Si se consiera la matriz del sistema,

A =

se tiene que detA — — 1, de donde A es invertible con inversa,

-40 16 91 = [ 13 - 5 - 3

5 -2 - 1

que puede ser calculada mediante El método de Gauss-Jordan.Ya que el sistema dado se puede escribir matricialmente

entonces el vector columna con las incógnitas puede despejarse mediantela multiplicación de A~l, esto es,

= A~l

V 3 ) \ z )lo que nos indica que

y, por lo tanto, que el punto con coordenadas (x,y,z) = (3, - 6 - 2) es lasolución a tal sistema.



5.4 Cambios de coordenadas 229

Veamos el problema inicial desde otro ángulo.

Si consideremos a LA : M2 —• R3 la transformación lineal asociada a lamatriz A, entonces el sistema de ecuaciones inicial puede ser visto mediantela ecuación funcional (con notación convencional),

es decir, el problema consiste en encontrar un punto (x, y, z) del dominiode LA tal que bajo la aplicación de la transformación tenga imagen en elpunto dado (1,2,3),

LA(x,y,z) = (1,2,3)

Por el proceso mostrado, se tiene que si detA ^ 0, y LA-i es la trans-formación lineal asociada a la matriz A~l, entonces el punto buscado es

Si se analiza un sistema de ecuaciones más general,

« 1 1 ^ ~r «122/ i" «13^ ~ ^

0>2\X ~\~ «222/ ~~ «23^ = ^

a3ix 4- a32y 4- «33^ = w

con la matriz asociada al sistema dada por

«11 «12 «13

A = [ «21 «22 «23«31 «32 «33

entonces, una condición para que el sistema tenga solución para las incóg-nitas (ar, y, z) en términos de los números (n, 1?, K;) es que de¿^4 7 0. Si éstees el caso y se define por

A~ = I 021 022 °23

032 ^33

entonces la solución al sistema de ecuaciones viene dado por la ecuaciónmatricial

X \ í bu 612 013 \ / U= I &21 ^22 b23 I ( V

w




En términos funcionales, si LA '• R3 —> R3 es la transformación linealasociada a la matriz A y LA-\ : R3 —> R3 es la transformación linealasociada a la matriz A~l, el sistema de ecuaciones en las incógnitas (x, y, z)y su solución en términos de (u,v,w) vienen dados por la equivalenciafuncional

LA(x\ y, z) = (u, v, w) <=> (x, y, z) = LA~i (u, v, w)

Esta equivalencia señala explícitamente las propiedades de invertibili-dad de cada transformación lineal mencionada.

De hecho, de la igualdad AA~l = A~lA = / , donde / es la matrizidentidad se tiene que

LA o LA-i = LAA-i = L¡ = I

LA-\ oLA = LA-iA = L¡ = /

lo que nos dice que LA y LA-\ son mutuamente inversas y que

Este problema de invertibilidad se puede formular en términos más ge-nerales, cuando se tiene una función vectorial de variable vectorial.

Como se entiende del ejemplo anterior, las funciones inversas sirvencomo operaciones de cancelamiento o despeje (véase Capítulo I de Reyes,1996).

DEFINICIÓN. Sea / : ü C Rn -* Rn una función vectorial de variablevectorial. La función g : f(Cl) C Rn —> íl se dice ser una función inversade la función si se cumple que

es tal que fog = l

g o f : Ü -> / ( f i ) - • Í7, es tal que gof = l

siendo / la función identidad (véase la figura 5.9).

E J E M P L O . Sea la función / : R2 —> R2 dada por la regla de correspon-dencia

f(x,y) = (ex cosy, exseny)

< Si se escriben las coordenadas de la imagen,

u = ex eos yv = exseny




Figura 5.9: Invertibilidad de una función.

entonces, al dividir la segunda ecuación por la primera se obtiene

v ( u \— — tan y => y — arctan —u V v /

Si se elevan al cuadrado las igualdades en ambos miembros y se sumanlos lados respectivos se tendría que

u" + v" = (j- 'l eos" y -f c"'s(m2tj = c2

lo que implica cjue

x = ln Ju1 -f v1

De esta manera, con base en un cálculo realizado mediante despejes, seobtiene una función

(x, y) = g{u, v) = í ln \Jvr + r2, arctan í — j j

la cual tiene un dominio de definición

Dx = R2 - {(u, v)\ u / 0} - R2 - {eje v}

En otras ¡)alabras, bajo esta regla g obtenida, no torio punto (//. v) £ R2

acepta solución para la equivalencia

/(:r, y) = (?¿, v) <=> {x, y) = g(u. v).

Por eso es que llamamos a g una función inversa, porque está definidano en toda la imagen de / .

Otro cálculo simple nos muestra que la función,

h(it, v) = í ln y/u2 + t'2. arecot ( — J J




es UIIÍV función obtenida, mediante el método similar, y que es inversa para/ definida en el conjunto

D-2 = R2 - {ejeu}

Lo que es claro, es que un cálculo directo nos mostraría que en el con-junto

Dx D D2 = D = R2 - {ejes u, v}

las funciones // y g coinciden en sus valores. p>

EJEMPLO. S<»n. / : D c R - > R una función diferenciable real de variablereal y sea p € D un punto regular de / , es decir la derivada f'(p) no seanula.

< Por el t(u)reina de la función inversa (Capítulo 3 Reyes, 1996) se tieneque existen intervalos ./;, alrededor de p y J(¡ alrededor de q = f(p) de talforma que la restricción de la función / a esos intervalos

/ : ./„ - J,

( s inv(Ttiblo y su inversa es diferenciable. Más aún, si g : J(¡ —> Jp es lafunción inversa local de / alrededor de q = f(p)< entonces la ecuación

(gof)(x) = x

iiii})lica. ])or La regla de la cadena

l = (!jof)'(.v)=g'(f(.v))f'(x)

Al evaluar en .v = p se tiene que la derivada de la función inversa g enel punto q = f(p) se calcula,

g'ü) = (f'())-1

Decimos en este caso que la función / es una invertible local puestiene una inversa local g que también es diferenciable. O

El siguiente resultado generaliza el ejemplo anterior y nos provee de unagran cantidad de funciones localmente invertibles de clase Cr. La prueba seomite, pero el lector interesado puede referirse al trabajo de Lima (1992).

Para una función de clase Cr, f : Rn —> Rm entenderemos a una funcióncuyas funciones coordenadas f¡ : Rn —> Wrn son de clase C1.




TEOREMA 5.5 (de la función inversa local) Sean, f : Q C Rn ->IR" una función de clase Cr(r > 1) y p £ íl un punto tal que La matrizJacobiana

i

tenga un determinante no nulo: detA / 0. Entonces f es una funciónlocalmente invertible en p. Esto es, en una vecindad de p y en otra vecindadde q — f(p), la función tiene una inversa local g que es de clase Cr.

Más aún, si q — f(p) es la imagen se tiene que La matriz Jacobiana deg en q se calcula invirtiendo la matriz Dfp, es decir,

Dgq = {Dfprl

EJEMPLO. Considerar nuevamente la función / : R2 —> R2

f(x,y) = (ex cosy, exseny)

de la cual no se puede obtener una función inversa global explícita.

< Sea p = (x, y) G IR2 un punto arbitrario del dominio. Su matrizJacobiana viene dada por

/ excosy -exsenyL) tD = ,r ,ry \ e sen y e cosy

lo que nos dice que

det(Dfp)= elC°Sy "fSeny

v Jy> exseny ex cosy = ex

Por lo tanto, la función / es invertible localmente en cada punto y de-pendiendo de éste, tendrá una función inversa local como alguna de las dosdiferentes halladas anteriormente, según la forma de despejar las variables.D>

DEFINICIÓN. Dada La matriz Jacobiana en un punto p de una función/ : Rn -+ Rn de clase C r , definida por Dfp, a su determinante det{Dfp)se le llama el Jacobiano de la función / en el punto p y lo calculamos porJfp, es decir

Jfp - det(Dfp)

Así. repasamos el teorema de la función inversa diciendo que una funciónRn —> Rn de clase Cr cuyos Jacobianos no se anulan en todo el dominio eslocalmente invertible de clase Cr.




Para optimizar cálculos utilizaremos la notación clásica que utiliza sub-índices variables para definir la derivación parcial. Por ejemplo,

Ju~ du' h"~ dx' Uz'dzr"definirá la derivación parcial respecto a la variable indicada.

Por otro lado, si una función E n —> Rn es definida por

(2/i ••• ,2/n) = f(xi ••• ,xn)

el jacobiano de / en el punto p se definirá por

EJEMPLO. En la función suave R2 -* R2 dada por

(u, v) = f(x,y) = (ex eos y, exsen y)

se tiene

du dux = — = e cosy, uy = — = -e seny

ax ay

dv dv= — = exseny, vy = — = ex eos y

ex cosy —exsenyexseny exeos yJP D(x,y)

Particularmente, en el punto p = (1,1) se tiene que

Jf(i.i) = e l = e

de donde / es invertible alrededor del punto (1,1) con una inversa local

g(u,v) = í ln \u2 + v2, arctan í — J J

definida alrededor del punto /(1,1) = (ecos 1, esen 1). O


f(x,y,z) = (xz,xy,yz)

verificar su invertibilidad alrededor del punto p = ( — 1,1, — 1).




Si calculamos por (u,v,w) = f(x,y,z) — (xz,xy,yz), es decir,

entonces

J fp =D(u, v, w)

1

ux

Vx

wx

u =V =

w =

Uy

Vy

Wy

xzxyyz

uz

Vz

wz

—z 0 xy x 0

y0 z

= 2xyz

De esta manera, el Jacobiano se anula sólo en los planos coordenadosx = y = z = 0.

Por lo tanto, J / ( i , u ) = 2 ^ 0, lo que nos dice que / es invertible enuna localidad del punto (1,1,1), y procedemos a calcular en este caso unafunción inversa local de / .

De las ecuaciones u — xz, v = xy se obtiene que uv = x2zy. Al utilizarahora w = yz en uv = x2zy se tiene que uv = x2w lo que nos dice que

X :=: uvw

uvx = ±\l —

w

Análogamente, se obtienen,

Ya que q = ( 1 , - 1 , - 1 ) = / ( —1,1,—1) está en el dominio para cualquierelección de signos, se tiene, al elegir los apropiados, que la inversa local gtiene la forma,

/ ívv Ivw luw^ v ; \ \l w ]/ u \ v

en virtud de los signos del punto p = ( — 1,1,-1). >

En muchas ocasiones, el sistema cartesiano de coordenadas no es buenopara describir objetos geométricos o mecánicos que están incluidos en elespacio vectorial R3. Por eso, es preciso utilizar otro tipo de coordenadasque describen con fórmulas más simples tales objetos. De esta forma, si seconocen las coordenadas que se van a utilizar en lugar de las cartesianas,




K

b.

Figura 5.10: Regiones en R3 y R2.

justo es que se establezca una relación biunívoca entre las colecciones co-rrespondientes a tales sistemas de coordenadas.

Cabe mencionar que en muchas ocasiones, tal relación biunívoca entretales sistemas puede establecerse entre regiones.


F(r 11 z) — r 2 4- ?/2 -I- z2

Ya que F es una función suave (por lo tanto, continua) se tiene que

es una región abierta de R3 Esto, es la bola de radio 1 con centro en (0,0, 0)de R3 es una región abierta (véase figura 5.10 a).

EJEMPLO. Considere el semiplano superior

J7+ = {(x,y) e R2| y > 0}

Este conjunto es una región abierta en R2, pues la función F(x, y) — y escontinua y H+ — F'1^, oo) (véase figura 5.10 b). Claramente la cerraduradel semiplano superior

H+ = {(x,y)eR2\ y>0}

es una región con frontera en el plano R2.

En algunas ocasiones, una región está definida por varias desigualdades.Esto es, cada punto de la región satisface un número finito de desigualdadesdel tipo

Fi(x,y,z) < aiF2(x,y,z) < a2

Fn(x,y,z) < an




donde las funciones F\, • • • , Fn son continuas en el espacio R3, y ai , • • • , an

son números reales.

EJEMPLO. Consideremos la región en el plano R2 acotada por la elipse

O De la figura 5.11 se puede observar que la variable x está necesaria-mente en el intervalo [—2,2] y que la variable y está encerrada desde lacurva y = ^A\/4 — x2 hasta la curva y — -4»\/4 — x2.

La definición de y se obtiene al despejar a y de la ecuación inicial,

Figura 5.11: Región elíptica en K2.

De esta forma, la región ü se puede describir totalmente por las desi-gualdades

Estas desigualdades son equivalentes al sistema de desigualdades

Fi{x,y) = -x<2F2(x,y)=x<2

F3{x,y) = - {y + ¿±jf) <0

que provienen del par de desigualdades obtenido. \>




En general, entender un sistema de desigualdades como el que se obtuvoen la parte final del ejemplo anterior es difícil, y es más cómodo describir auna región por desigualdades como las que se obtuvieron directamente enel ejemplo anterior, las cuales señalan los conjuntos donde era permisibletomar cada una de las variables.

EJEMPLO. Considérese la región Q en el plano definida por desigualdades

y > x2, y < 4 - x2

< La figura 5.12 nos muestra que la primer desigualdad se refiere a laregión por encima de la parábola y = x2, mientras que la segunda desigual-dad se refiere a la región por debajo de la parábola y — 4 — x2. Por lotanto, la región Í7 es aquella acotada inferiormente por y = x2 y acotadasuperiormente por y = 4 — x2.

Figura 5.12: Región Q del plano R2.

Los puntos de intersección entre las parábolas satisfacen las ecuaciones

y = x2

y — 4 - x2

que al igualar: x2 — 4 — x2, nos da los puntos x = ±y/2.Esto hace que x esté en el intervalo [—A/2, A/2], mientras que la variable

y es permisible entre las curvas y — x2 hasta y — 4 — x2.

Por lo tanto, la región SI está completamente descrita por las desigual-dades

- \ / 2 < x < \ / 2 , x2<y<4-x2. t>

EJEMPLO. Sea V C R3 la región espacial acotada por los planos




<3 Una inspección a la ecuación del plano x + y + z = 1, nos muestra quelos puntos de intersección con los ejes coordenados son (1,0,0), (0,1,0) y(0,0,1), como se muestra en la ñgura 5.13, quedando tal porción del planoen el primer octante: x > 0, y > 0, z > 0

Si en la ecuación x + y + z = 1, ponemos y = 0 y z = 0, entonces x = 1,lo que determina para x el intervalo [0,1].

y=l-x

z=0

Figura 5.13: Región espacial acotada por planos.

Para determinar el dominio de y, hacemos z — 0 en la ecuación x 4- y 4-z = 1, obteniendo x + y = \oy = l — x, lo que según se muestra en lamisma ñgura, e indica que

0 < y< 1 -x

Finalmente, al despejar z de la ecuación x+y+z — 1, se obtiene z — l—x—y,lo que dice que la variable z debe satisfacer la desigualdad

0 < z< 1 - x - y

Por lo tanto, la región espacial V se describe por el conjunto

V = {(x,y,z)\0 <x<l,0<y<l-x,0<z<l-x-y}. >

EJEMPLO. Consideremos la región espacial acotada por la parte superiorde la esfera

x~ + y 2 i

z = 4 .

<\ Al proceder por analogía al ejemplo anterior haciendo y — 0, z = 0en la ecuación dada, se obtiene que x2 = 4 o x = ±2. Al observar la figura5.14, tenemos que el intervalo numérico para x es [—2,2].




Por otra parte, si se anula z en la ecuación, se tiene que x2 4- y2 = 4 loque al despejar a y en términos de x nos da y = ±\/4 — x2, que según lafigura 5.17, nos indica el dominio para la variable ?/,

— v 4 — x2 < y < v 4 — x2

Finalmente, si en la ecuación inicial se despeja a z, se obtiene quez = ±y4—- x2 — y2, lo que según la misma figura 5.17, la variable z deberásatisfacer la desigualdad

0 < z < \/A - x2 ~ y2

pues se considera la parte superior de la esfera.

Figura 5.14: Semiesfera superior R3.

De esta manera, la región V C R3 acotada de esta forma, está total-mente descrita por las desigualdades

-2 < x < 2, - \/A-x2 < y < A / 4 - X 2 , 0 < z < V'A - X2 -y2} O

Como se mencionó antes, situaremos un cambio de sistemas coordenadosen regiones contenidas en R3 (ó en R2).

DEFINICIÓN. Sean x, y, z y u, v, w dos sistemas de coordenadas en R3.Por un cambio de sistemas de coordenadas en una región {} se entiendeuna función diferenciable e invertible íí —> fi, que en coordenadas se escribe

x = x(u, v, w)y = y(u.v,w)z = z(u, i\ w)




con una función inversa diferenciadle definida en {} por

u = u(x,y,z)v = v(x,y,z)w — w(x, y, z)

Para (¡o — (UQ, UO, ivo) C 12 un punto definido en las coordenadas. •//., r, ir.considérese el correspondiente en íl en las coordenadas x,y,z, definido j)orPo = (£0,2/0, z0).

DEFINICIÓN. El punto p0 e íl se llama un valor regular para elcambio de coordenadas, sí la matriz

(¡)x ():r

ün üu<)n üv()z ózes no singular, es decir, det A / 0. El punto r/o se llamará punto regular.

En otras palabras, po es un valor regular para el sistema do coordenadas(u,v,w) si la parte lineal A es una matriz invertible.

El siguiente resultado nos habla de la invertibilidad local alrededor deun punto regular de un cambio de coordenadas. Este se sigue del Teoremade la función inversa.

T E O R E M A 5.6 Sipo es un panto regular para el cambio de coordenadas,entonces en una vecindad de po en íl se puede definir una transformacióninversa.

En otras palabras, la parte lineal del cambio de coordenadas en qo de-fine su invertibilidad localmente. Esto es, define localmente un cambio decoordenadas.

A continuación damos ejemplos de cambios de coordenadas en el planoR2 y en el espacio R3. Se hará uso del Teorema 5.6 en cada uno de ellos.

Coordenadas polares

Considérese en el plano IR2 el sistema de coordenadas cartesianas (x,y).Introducimos ahora en el mismo plano otro sistema de coordenadas (r, ¡p)<donde r > 0 y tp G (0,2TT). La relación entre los sistemas de coordenadases

x = r eos ipy —




<] Dado un punto (/o, yo) = (/o, procedemos a verificar la condición deinvertibilidad local, y para ello necesitamos calcular la matriz Jacobiana en

A - eos ¡p() - r ó

sen <p{) •/•(, eos

De esta forma, el determinante de la parte lineal A se calcula

- / ' o sei

/'o eos <p{)

= /'o,

con lo (nu\ d( tA T¿ •() en R+ x ((), 2TT).

Una función que da un caml)io inverso de coordenadas está dado por

í '•=\ sf = a re tan (y/.v)

que no está definido cuando ./• = 0. De esta manera, ya que la imagencorrespondo al ojo // (donde y? = -, n), se tiene una correspondencia decoordenadas (./•, //) y (/', y?) en ai)ena.s los cuadrantes (sin los ejes) del plano.La figura 5.15 ilustra esto. Al sistema de coordenadas (r,ip) se le llama decoordenadas polares. D>

Figura 5.15: Coordenadas Polares en R".

EJEMPLO. Consideremos la curva en el plano definida por la ecuaciónen coordenadas cartesianas

25a:2 + lOxy + y2 - 1 = 0

<1 Al realizar el cambio de coordenadas cartesianas por polares, tenemosque la ecuación anterior se transforma en

0 = 25xJ + \Qxy + y - 1 = 25(r eos ip)~ + 10r eos <p r sen <p




+ (r sen (p)2 — 1 = 25r2 eos2 tp + 10r2 eos <¿? sen <¿> -f r2sen2<¿? - 1

= r2[25 eos2 (p + 10 eos ip 4- sen V ] - 1

= r2[5 eos <¿> -f sencp]2 - 1

o bien, en la relación bivalente

± 1r = - D>

5 eos (p + semp

EJEMPLO. Consideremos la relación en coordenadas polares dada por

r — 1 — eos (p

<\ Para pasar tal relación a coordenadas cartesianas, procedemos comosigue, r = 1 — eos (p <=> 1 — r = eos <p

Al multiplicar por r de cada miembro, se tiene

r — r2 — r eos <p — x

o bien,

Consecuentemente (al elevar al cuadrado a cada lado), obtenemos la rela-ción en coordenadas cartesianas

x4 4- y4 4- 2x3 + 2xy2 + 2:r V - y2 = 0 t>

EJEMPLO. Consideremos la función real definida por

F(x,y) = V*2 + y2 - 1

en la región Q = {(x,y)\x2 -f y2 > 1}.

<1 Al realizar la transformación de coordenadas cartesianas a polares(r, (p) se tiene una nueva función

F(r, ip) — F(r eos <p, r sen (p) = \/(rcos(/?)2 + ( rsen^) 2 - 1 = v r2 - 1

definida en la misma región, en coordenadas polares,

Ü = {(r, p)\r2 >l,ipe [0, 2TT]} O

EJEMPLO. Sea fí la región con frontera en el plano, definida por lascoordenadas cartesianas



244 Campos vectoriales en E3

Este conjunto corresponde a una región anular con centro en (0, 0) de radiointerior 1 y radio exterior 2.

<\ Al describir a íl con coordenadas polares, tenemos

íí = {(r,v?) | 1 < r < 2 , ipe [0,2TT]}

pues la relación dada por

1 < x2 + y2 < 4

es equivalente en polares a 1 < r2 < 4, ó bien a 1 < r < 2. [>

Coordenadas cilindricas

Considérese en R el sistema de coordenadas cartesianas (x, y, z) e in-trodúzcase el sistema nuevo dado por la tripleta (r, tp, z) donde r, <p sonlas coordenadas del ejemplo anterior, y z es la tercera coordenada carte-siana, esto es,

x = r cos(/?,y = rsen<¿?,

z — z

Al buscar una condición de invertibilidad para este cambio, se tiene quepara cualquier (r, </?, z) G R3 la matriz Jacobiana del cambio de coordenadases

eos ip —rsentp 0A — ( semp r eos ip 0

0 0 1

De igual forma que en el ejemplo anterior, el determinante de A secalcula

D{x,y,z)= detA =

COSip

sei\(p0

—rsempr eos íp

0

001

— eos cpsemp

r sen ipr cos<¿>

= r

y este es diferente de cero, si r > 0. Este conjunto corresponde a todo elespacio con excepción del eje z. Una función inversa es calculada por

r =p = aicta.n(y/x)

definida cuando x ^ 0. Como tp G (0, 2TT), entonces se tiene un cambiode coordenadas (x,y,z) por (r,tp,z), y viceversa, sólo cuando el punto estomado fuera de los planos x — 0, y = 0 en R .




^o (r,ip,z)

y

Figura 5.16: Coordenadas cilindricas.

Este sistema se conoce como coordenadas cilindricas. La figura 5.16ilustra este

EJEMPLO. Considérese la relación dada en coordenadas cartesianas por

x2 + y2 - 2z2 = 0

<3 En coordenadas cilindricas (r, cp, z) esta relación se escribe

0 = (x2+y2)-2z2=r2-2z2,

es decir, r2 = 2z2 o bien, r = ±y/2z O

EJEMPLO. Consideremos la función definida por

F(x,y,z) = \Jz - x2 - y2

en la región íí = {(x, y, z)\ z > x2 + y2} C IR3.

<] En coordenadas cilindricas la función se escribe de forma más simple

F(r, (p, z) — F(r eos ip, r sen ip, z) — \/z - (reosep)2 - (rsen^)2 = \Jz - r2

definida en la región íí que en coordenadas cilindricas es escrita como

íí = {(r, ip, z) | z > r2, cp G [0, 2TT]}. O

EJEMPLO. La región espacial anular-cilindrica dada por

íí = {(X,Í / ,2) |1 < x2 +y2 < 4, 0 < z < 1}

en coordenadas cilindricas se escribe

í í = {{r,ip,z)\l <r<2,0<z<l,ipe [ 0 , 2 T T ] } .




Coordenadas esféricas

Como último ejemplo, sean las coordenadas cartesianas (x,y,z) en R3

considere nuevas coordenadas (r, ip, 0) en R3 dadas por las ecuaciones

x — r eos (psen0,y = r sen <p sen 0

z — r eos 6

donde r > 0, 0 < 0 < TT, 0 < ^ < 2 T T (véase la figura 5.17.)

La matriz Jacobiana para cada punto (r, </?, 0) C M3 es calculada por

eos tpsenO r eos íp eos 0 —r sen <¿> senA = ( sen <¿? sen 0 r sen </? eos 9 r eos <¿? sen 0

eos 0 — r s e n # 0

y su Jacobiano esD(x,y,z)

= detA = r2sen<9.

De esta manera, detA = 0, si y sólo sí , r = 0 ó 0 = 0, TT, lo cualdefine otra vez una transformación del espacio excepto el eje z en estascoordenadas.

Un cálculo directo nos demuestra que una transformación inversa en laregión de invertibilidad, está dada por

r = y/x2 +y2

(p = arctan

7 = arceos

Este sistema se conoce como coordenadas co-geográficas esféricas,y se ilustra en la figura 5.17.

E J E M P L O . Consideremos la ecuación espacial en coordenadas carte-sianas dada por

x2 + y2 + z2 - 4 = 0

< En coordenadas esféricas (r, <¿?, 0), tal ecuación se escribe

0 = (rcos<p sen 0)2 + (r senip sen0)2 + ( r cos0 ) 2 — 4

= r2 eos2 (p sen20 + r2 sen2<¿? sen20 -f r 2 eos 0 - 4

= r 2 sen20(cos2 p + s e n V ) -f r 2 eos2 0 - 4 = r 2 sen20 -f r 2 eos2 0 - 4

= r 2 ( sen20•+ eos2 0) - 4 = r2 - 4




Figura 5.17: Coordenadas co-geográh'cas esféricas.

lo que dice cpie la relación inicial se lleva, bajo la transformación de coor-denadas en la relación simple

r = 2 D>

E J E M P L O . Considérese la función

definida en la región íl = {(J:, /y, z)\{) < ./:'" + y2 + z2 < 1}

< En coordenadas esféricas, esta transformación se reduce a

F(r,ip*0) = F(r eos ^sen 0. rsen^senfl, reos 0)

1 1ln(l - (rcos^sen^)2 - (rsen^sen^)2 - (r(eosfl)-) ln(i - r2)

definida en la misma región que en coordenadas esféricas se escribe

Í2 = { ( r , ^ , » ) | 0 < r < 1.0 < ^ < 2TT. 0 < # < TT}. D>

E J E M P L O . Consideremos la región

íl = {(;i\ /y, 2)| 0 < x2 + y2 + 22 < /?2}

correspondiente a una bola sólida de radio /? en el espacio R'\

<3 En coordenadas esféricas (r\^,9) tal región se puede escribir

Í2 = {(r, ?, fl)| 0 < r < /?. 0 < ? < 2TT. 0 < 0 < n} >




5.5 Campos vectoriales en

Considérese una región íl C R' , do tal forma que a cada punto p £ Q sele asocia un vector espacial X(p) 6 R3. Entonces diremos que en íl estádefinido un campo de vectores

A : íl -+ R3

o que en íl actúa el campo vectorial X.

EJEMPLO. Sea íl C R3 una región que ocupa el flujo de un líquidoestacionario.

< Es claro que a cada punto p G íl lo podamos asociar su vector develocidad A"(/;). Do esta forma, so construye el campo de vectores velocidaddel flujo (campo de velocidades), como una función A : Í2 —*• R3 que acada p e íl lo asocia el vector velocidad X(p). La figura 5.18 a. ilustra elcampo vectorial de esto ejemplo. O

O

a.

Figura 5.18: a. Campo de velocidades b . Campo gravitacional.

EJEMPLO. Consideremos la fuerza de atracción en R3 ejercida por uncuerpo puntual de masa m que está situado en el origen de coordenadas.

<3 Si íl C R3 es una región del espacio no conteniendo el origen, entoncespara cada objeto situado en el punto P e Í2, se le asocia el vector (fuerzagravitacional) ejercido por su atracción hacia el cuerpo puntual de masam.

Si se define el vector por X(p), entonces se está construyendo un campovectorial (fuerzas gravitacionales) en Q, definido por la función X : fi —> IR3

tal que a cada punto p G Í2 le asocia el vector gravitacional X(p) (véase lafigura 5.18 b . O



5.5 Campos vectoriales en R2 y R3 249

Si la asociación p —> X(p) en los ejemplos anteriores es suave, como unafunción vectorial de argumento vectorial, diremos que los campos vectoria-les son suaves.

DEFINICIÓN. Sea Í2 una región del espacio R3. Por un campo vecto-rial suave X actuando en tt entenderemos una función

A . i I —> M.

que asocia a cada punto p £ Q el vector espacial X(p), de tal forma que laasociación es suave como una función vectorial de argumento vectorial.

El la práctica, para visualizar un campo de vectores definido en unaregión íí, se dibujan los vectores asociados X(p) a los puntos p G íi, te-niendo a p como punto donde nace el vector X{p). La figura 5.18 ilustra estaforma de visualizar los campos vectoriales de velocidades y gravitacional.

EJEMPLO. Sea un campo escalar suave arbitrario definido en una regiónespacial Í7,

F :Q^R

<\ Podemos asociar a cada punto p € Í7 el vector gradiente gradF(p),construyendo así un campo vectorial X definido por

donde X(p) — gradF(p).Se puede comprobar fácilmente que si gradF(p) ^ (0,0,0), entonces es

un vector ortogonal al conjunto de nivel F~1(h) conteniendo a p.El campo X = grad F se llama el campo gradiente obtenido del

campo escalar F. >

Si se considera el sistema de coordenadas x, y, z para íí, entonces uncampo de vectores X tiene la forma

X(x,y,z) = (P(x,y,z), Q{x,y,z), R(x,y,z)),

donde P, Q y R son campos escalares,

P,Q,R: ü ->R

Por ejemplo, el campo gradiente del escalar F se escribe en las coorde-nadas cartesianas x, y, z,

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siendo en este caso

P _ dF n_dF

R^dFr — ~7\ i V — ~r\ i fi — ~T:ax üy üz

EJEMPLO. Sea el campo escalar F en el plano definido por

F(x,y) = x2 + y2

< Entonces el campo gradiente asociado al campo escalar F es

(dF dF \\0x ' dy ) ' p

Para ilustrar cómo actúa este campo vectorial en el plano, calculamos enalgunos puntos sus vectores correspondientes.

X(0,0) = (0,0)

X(l,0) = (2,0)

Sabemos que para / i G l u n valor es positivo, los conjuntos de nivel delcampo escalar F tienen una ecuación,

x2 + y2 = h

y corresponden a círculos concéntricos en el origen. Los vectores gradientesson ortogonales a ellos. La figura 5.19 ilustra este ejemplo.. \>

EJEMPLO. Determinemos el campo vectorial definido por la fuerza deatracción gravitacional de un cuerpo A de masa m sobre un cuerpo B demasa 1.

< Supongamos que el cuerpo de masa m está localizado en R3. De Laley de gravitación universal se sigue que la fuerza X con la cual atraeel cuerpo A al cuerpo B es X(p) = T^¥ donde p = (x,y, z) es la posicióndel cuerpo A.

Recordemos que |p| = \/x2 Jry2jrz

2) y por lo tanto

ye2 + ze-¿)_,y,Z — r

(x¿ + y¿

o equivalentemenie

krnze:ikmxei,2)3/2)3/2 (j.2 + y2 + ,2)3/2



5.5 Campos vectoriales en R2 y 251

En este caso las funciones escalares que definen al campo vectorial son

„ , x kmx

Q(x,y,z) =

R{x,y,z) =

kmy

(x2 + y2 + x2)3/2

kmz(x2 +y2 + :r2)3/2

Figura 5.19: Campo gradiente de F = x2 + y2.

Mostramos que un campo vectorial crea una "dinámica" dentro de laregión Q contenida en R3 donde actúa.

EJEMPLO. Consideremos nuevamente el campo de velocidades X dellíquido estacionario dentro de la región Q C R3. Bajo la influencia de talcampo, cualquier punto se "moverá" por la acción de la velocidad X(p) dellíquido, creando una trayectoria. En los puntos de tal trayectoria tambiénse ejercen tangencialm mte velocidades que son vectores del campo queactúa en fi.

Si se conoce por jp(t) la trayectoria (curva) que se realiza desde elpunto p (tomado como tiempo incial t = 0), para tiempos t > 0, se tieneque la velocidad 7P(¿) de la curva en el punto 7P(¿), pertenece al campo X.Esto es, el punto jp(t) de la trayectoria tiene asociado al vector velocidadX(~)P(t)) que también es la velocidad %(t), es decir,

%{t) = x(rp(t))

Diremos en este caso que la curva t —• 7p(í)> e s u n a curva integral del

campo vectorial X, condicionada a pasar por 7p(0) = p.




En otras palabras, una curva integral del campo X de velocidades esuna curva cuyos vectores tangentes pertenecen además al campo X (véasefigura 5.20).

DEFINICIÓN. Sea X un campo vectorial suave en í] C R3, y sea

7 : ( - e , e ) ->í í , e > 0

una curva suave definida en el intervalo ( — e,e) a Vi. Decimos que 7 esuna curva integral del campo X, si para todo t G (—e,e) se satisface laigualdad

Esto es, 7 es una curva integral de X si sus vectores tangentes j(t) formanparte del campo (véase la figura 5.20).

Figura 5.20: Curvas integrales de un campo vectorial

Sean x, y, z las coordenadas de íl donde el campo X se escribe

X(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))

entonces la curva ^(t) — (x(t), ?/(£), z(t)) será una curva integral del campoX si para t G (—e, e) se cumple la cadena de igualdades

(x(t),y(t),i(t))=í(t) = X(-r(t)) = X(x(t),y(t),z(t))

= (P(x(t),y(t), z(t)), Q(x(t),y(t), z(t)),R(x(t), y(t),z(t)))

Esto es equivalente a que, suprimiendo la variable t (sabiendo que las co-ordenadas dependen de tal variable), se cumpla el siguiente sistema deecuaciones diferenciales




x = P(x,y,z)y = Q(x,y,z) , (x,y,z)eíl.z = R(x,y,z)

Consecuentemente, para que una curva 7(2) sea una curva integral delcampo vectorial X = (P,Q,R), sus coordenadas x(t),y(t), z(t) deben sa-tisfacer el sistema de ecuaciones diferenciales mencionado.

Surge el problema de la existencia de curvas integrales de un campovectorial suave X definido en una región íl C IR3.

El conjunto de tales curvas integrales conformarían el flujo asociado alcampo de vectores en el cual un objeto se podría mover libremente bajo laacción de tal campo.

El siguiente teorema, el cual no demostraremos, nos garantiza la existen-cia de una curva integral del campo, la cual pasa por un punto condicionadoy que está determinada de manera única.

TEOREMA 5.7 Sea Q una región de R3 y sea X un campo de vectoressuave definido en Q. Entonces, para el punto p G Q

a. Existe una curva integral suave

7 : (a,6) ->íí

del campo integral X, definida en un intervalo máximo (a,b) C R quecontiene a 0 y tal que 7(0) = p.

b. La curva 7 es única en el sentido de que cualquier otra curva integralsuave del campo

7 : (a ' , 6 ' ) - í í

pasando por p, coincide con 7 en (a, 6) n (a'',&'), suponiendo de inicio que

La prueba de este teorema es objeto de La Teoría de las EcuacionesDiferenciales y sale del alcance de este libro.

Otra forma de determinar las curvas del flujo del campo vectorial

X = F(x, y, z)ex + Q(x, y, z)e2 + R(x, y, z)e3

es resolver las ecuaciones diferenciales equivalentes,

dx dy dz

P(x,y,z) ~ Q{x,y,z) ~ R(x,y,z)




pero en este caso, las soluciones están determinadas sin el parámetro tem-poral t.

A continuación, damos ejemplos de curvas integrales para campos vec-toriales en el plano. La búsqueda de tales curvas integrales obedece engeneral a la solución del sistema de ecuaciones diferenciales mencionado.Se hace mención al lector que en general no es simple resolver un sistemade este tipo para encontrar las curvas integrales del campo que actúa en laregión £7, además de que los métodos de solución que se conocen merecenun trabajo aparte.

EJEMPLO. Consideremos en Q = R2 el campo de vectores constante

esto es, P(x, y) = 1 y Q(x, y) = 0.< Entonces sus curvas integrales deberán de satisfacer el sistema de

ecuaciones diferenciales

cuyas soluciones para cualquier punto (xo,yo) € ü tienen la forma

x(t) = t + XQ7 ( í ) : \ y(t)=yo

Esta curva integral

t -> 7(í) = (x(¿), y(t)) = (t + x0, yo)

corresponde a una recta paralela al eje x, que en el tiempo t = 0 pasa porel punto (#o,2A)) ^ ^*

La figura 5.21 ilustra el campo vectorial de este ejemplo, junto con suscurvas integrales (flujo del campo). O

EJEMPLO. Sea en Q = R2 el campo vectorial dado por

X(x,y) = {-y,x)

es decir, P(x,y) = -y, Q(x,y) = x.< El sistema de ecuaciones diferenciales asociado al campo es

í x = P{x,y) = -y\ y = Q(x,y) = x

Mediante métodos del Álgebra lineal se puede comprobar que la curvaintegral al tiempo t = 0 pasando por el punto (#o, Uo) fí, tiene la forma

^ = x ° c o s í ~y° s e n l t^M



5.5 Campos vectoriales en R2 y 255

X=(1,O)

o >—o >—o

Figura 5.21: Campo constante X = (1,0).

Por ejemplo, para el punto (x0, yo) = (1,1) se tiene que la curva integralpasando por él está definida por

-y(¿) = (cosí — sení, sení 4- cosí)

Ya quelh(í) | | 2 = (cos í - sen í ) 2 4- (sení + cosí)2 = 2

se tiene que tal curva integral por (1,1) es una circunferencia de radio y/2con centro en el origen. De manera análoga, la curva integral de X quepasa por el punto arbitrario (xo,yo) satisface que

Ib(0112 = (xo eos Í - T / 0 sení)2 + (x0 sent + y0 cosí)2 = ^o + Vo

lo que nos indica que también es una circunferencia con centro en el origen

La figura 5.22 nos ilustra este campo vectorial junto con sus curvasintegrales, que conforman una familia de círculos concéntricos, sobre loscuales se mueve el campo en dirección contraria a las manecillas del reloj.

X(x,y)

Figura 5.22: Curvas integrales del campo X(x,y) = (—y,x).



256 Campos vectoriales en R¿

Una forma más simple de obtener las curvas integrales sin la expresiónexplícita del parámetro t para el campo del ejemplo anterior, se muestra acontinuación

EJEMPLO. Determine las líneas de flujo del campo vectorial plano delejemplo anterior,

X — — ye\ + xe<i

< Para encontrar las líneas de flujo del campo vectorial plano

X = P(x,y)ex +Q{x,y)e2

debemos resolver la ecuación diferencial

dx _ dyP(x,y) " Q{x,y)

es decir,dy_ _ Q(x,y)dx - P(x,y)

En nuestro ejemplo P(x,y) — —y, Q(x,y) = x, y, por lo tanto, obtene-mos

dy x

dx -y

o equivalentemente_ 2 2

dz 4 = > (- C\ = (- Co

2 2Reacomodando los términos, concluimos que las líneas de flujo son de

la formax2 + y2 = c

es decir, son circunferencias con centro en el origen. t>

EJEMPLO. Encuentre las líneas de flujo del campo vectorial

X = e1 + x ( y - l ) e 2

<1 Las líneas de flujo se obtienen resolviendo la ecuación diferencial

dx dyT = x(y-1)

es decir xdx — —^-r.




Integrando en ambos lados obtenemos

2/- 1

es decir, siendo c una constante de integración, la solución se escribe im-plícitamente,

x2

EJEMPLO. (Campo gradiente). Considere un campo escalar F, y elcampo gradiente asociado en la región Q de R3 en las coordenadas x, y, z.

X(s, 1/, 2) = grad F(s,„, *) = {—, —, —

< Entonces las ecuaciones diferenciales para este campo gradiente vie-nen dadas por

Como es sabido, el vector tangente de una curva integral

-r(t) = (x{t),y(t),z(t))

es el vector=gradF(z(t), y(t),z(t))

y éste es ortogonal al conjunto de nivel donde se encuentra el puntoYa que el campo gradiente es ortogonal a los conjuntos de nivel de F,

entonces el flujo (conjunto de curvas integrales) de X = gradF es ortogonala los conjuntos de nivel de F.

Particularmente si F — T es el campo de temperaturas, entonces unobjeto situado sobre un conjunto de nivel T~1(To) tenderá a moverse demanera natural hacia la dirección del gradiente X = gradT para ganarcalor, llevado por la acción misma del campo gradiente. D>

DEFINICIÓN. El campo vectorial X es conservativo si existe unafunción escalar F tal que X = VF. En tal caso, llamamos a F una funciónpotencial para X.

EJEMPLO. Muestre que el campo vectorial gravitacional es conservativo.< El campo vectorial está dado por,

_ km{xel + ye2 + ze3)(x2 +y2 + z2)6'2




es decir,

kmxc\ ktnyc'2 kinze-¿A (•''<.'/' ~) =(.r* + !? + Z*)V* (J:-> + j,2 + ,2)3/2 (X2 + y2 + 22)3/2

Definiendo a la función

y calculando el gradiente obtenemos,

C/J' ¿/(/ 6*2

h in.ve \ kmyi'2 kmze¿

con lo cual concluimos que el campo X es conservativo O

E J E M P L O . Determine el campo gradiente definido por el campo escalar

<3 Ya que el campo gradiente es de la forma

, OR OR ORV/?(.r, í/, C) = —-f! + -TT-C'2 + "^-^3

a.r ay Ozcalculemos primero las derivadas parciales

Oy - d "€

Oz

De esta manera, el campo gradiente de R(x\ y, z) es

V7?(.r, y, z) = (^e^-^ -f 2jr2y2e"r2j/)c1 + x'¿ + x 32e x^e

E J E M P L O . Si el campo escalar

23T ( )

(\ + x2 + y2 +Az2)



5.6 Divergencia, gradiente y rotor 259

da la temperatura en el punto (x,?/,z), determine el campo gradiente VTy la dirección en la cual aumenta más rápido la temperatura en el punto(1,1,0).

< Calculemos primero las derivadas parciales de T(x,y,z)

dT_~dx~ ~ (1 + x2

dTdy ~ (I + x2 + y2 + 4z2)2

dT _ -184z

~dz = ( l + x 2 - f y2

El campo gradiente de T es

dT dT dTV r = — e i + — e 2 + —-e3ax ay c;z

es decir,

184ze3~T(1 + x2 + y2 + Az2)2 (1 + x2 + y2 + Az2)2 (1 + x2 + y2 + Az2)2

Calculemos ahora el campo gradiente en el punto (1,1,0)

46 46

De este último se sigue que la temperatura aumenta más rápido en ladirección f = ( - f , - f ,0) >

El teorema 5.7 muestra que cuando en una región Q actúa un campode vectores, la acción de éste en cualquier punto conlleva a movimientosnaturales vía las curvas integrales del campo. Cualquier otra trayectoriaque no sea dentro de una curva integral deberá requerir de un "trabajo".

5.6 Divergencia, gradiente y rotor

En esta sección damos algunas fórmulas que son importantes para la teoríadel análisis vectorial, y se hace con el espíritu de desarrollar un cálculo ope-racional en los campos escalares y vectoriales mediante el vector simbólicode Hamilton.




El vector de Hamilton definido por

dx' dy dz

actúa en los campos vectoriales X por las ecuaciones convencionales si-guientes.

Para un campo vectorial X = (P, Q, R) se define su divergencia, defi-nida por div X, como el campo escalar definido por

áwX =< V,X >

donde el producto escalar se calcula convencionalmente,

dx dydy dzj

Este campo escalar divA" mide, cuando se evalúa en el punto p, losposibles desagües o manantiales del campo X en tal punto, como se muestraen la figura 5.23. Un análisis más profundo de este concepto se realizamediante los métodos del análisis vectorial.

Figura 5.23: Divergencia de un campo vectorial.

Para el campo vectorial X = (P, Q, R) se define su campo de rotacióno rotor, definido por rotJT, como el campo vectorial

rotX = [V,X]

donde el producto vectorial indicado se calcula convencionalmente

d/dx d/dy d/dzP Q R




dR 0Q DR dP OQ OP

(dR 0Q\ (OP 0R\ (OQ OP= I ~ñ o~ ) e i + I ~o T" e2 + U T"

\ c / c/¿ / \0z Ox) \0x Oy_ (dR OQ OP dR OQ OP

\0y Oz' Oz Ox' Ox Oy

El campo vectorial rot X mide, cuando se evalúa en el punto p, lasposibles rotaciones que tiene el campo durante su acción en tal punto. Lafigura 5.24 ilustra esta idea, que puede ser estudiada más profundamentecon la teoría del análisis vectorial.

Figura 5.24: Rotor de un campo vectorial.

Si F es un campo escalar suave, podemos efectuar la operación de V enF defíniendo el campo vectorial gradiente

grad F =

donde el vector simbólico de Hamilton V actúa en F mediante la igualdad

_ ( 0 0 0\ __ (OF OF 0F\grao r v x i ~ , ~ , ~ i .r i ~~ , ~ , ~~ i

\0x Oy Oz) \ Ox Oy Oz )

EJEMPLO. Calcular la divergencia y el rotor del campo

X = {x2,xy, z2y) = x2ex -f xye2 4- z2ye3

<\ Por cálculos directos se obtiene

Ox2 d(xy) , O(z2y)= < > = Ox Oy Oz




= 2x + x + 2zy = 3x

= fd(z2y) d(xy)\ fd(z2y) dx2\ f d(xy) dx2

= (z2 - 0)ei - (0 - 0)e2 + (y - 0)e3 = (^2, 0, y) >

EJEMPLO. Calcular grad(divX) y div(rotX) para el campo

<\ Mediante cálculos directos se tiene

dx

= (x,y,z) = [V,X] =

dy dz

d/dy d/dzz2x x2 — y2 y2 + 22

+22) d(z2x)dx dz

2-y2) d(z2x)\c

dx dy )

= (2y - O)ei - (O - 22x)e2 4- (2x - O)e3 = (2y, 2zx, 2x)

Consecuentemente,

grad (div X) = V(22 - 2y + 22)

2z) d(z2 - 2y + 2z) d{z2 - 2y-\-2z)dy dz

div (rot X) =< V, (2y, >=

= (0,-2,22

Del ejemplo anterior, para el campo dado X se obtuvo la igualdaddiv (rot X) = 0. La siguiente proposición nos indica que esta igualdadse cumple en general para cualquier campo vectorial. Se obtienen másrelaciones entre los operadores grad, div y rot.




LEMA 5.1 Para los campos vectoriales X y Y, y los campos escalaressuaves F y G actuando en una región V C R'* se. cumplen las identidadesbásicas del cálculo operacional vectorial

a. rot (grad F) = 0

b. div (TOÍX) = 0

c. dW(FX) =< VF,X > +F < V,X >

d. grad (FG) = Fgrad G -f G grad F

e. rot {FX) = F rot X + [VF, X]

f. div [X, y] =< r, rot X > - < X, rot F >

g-div (grad F) = AF

donde se define el operador Laplaciano

A - — — —" üx1 + Oy* + Oz2

actuando en el campo escalar F mediante la igualdad,

02F 02F

<\ Damos la demostración de algunas de las afirmaciones, dejando elresto para el lector. Como ya se mencionó, el espíritu de la, prueba espuramente operacional.

a. La siguiente relación es válida,

rot (grad F) = [V, VF] = 0

pues los vectores V y VF son paralelos.

b. Por un cálculo directo,

div (rot X) =< V, [V, X] >= (V, V, X) = 0

donde (, , ) es el triple producto escalar, y en la expresión dada se repiteel vector V.

c. De la relación de divergencia, se tiene,

div(FX) =< V,FX >= -{FP) + £- ^ai oy üz

,.0P OQ BR n0F ñF n0F= F— + F-f- + F— + P— + Q— + R—

üx ay üz üx üy üz




= F < V,X > + <X,VF>

f. De la definición del triple producto escalar, se tiene,

div[X,Y} = (V,X,Y) =d/dx d/dy d/dz

P Q RPf Qf R'

donde X = (P,Q,R), Y = (P',Q',R'). Pero un cálculo directo en losdeterminantes (Identidad de Jacobi) muestra que

d/dx d/dy d/dzP Q RP Q' R'

P Q' R'd/dx d/dy d/dz

P Q R

P Q Rd/dx d/dy d/dz

P Q' R'

o bien

(V, X, Y) = (X, V, Y) - (y, V, X)

lo que prueba la afirmación f.

Los incisos d., e. y g. se dejan al lector como ejercicio. >Consideremos un cambio de coordenadas en la región ü C M3, dado por

el sistemax — x(u, v,w)y = y(u,v,w)z = z(u,v,w),

entonces, en cada punto p € Í2, la base canónica {ei, e^ 63} se transforma,bajo La matriz Jacobiana

A =

dx dx dx

dv dw

en el conjunto de vectores básicos {Aei,Ae2,Aes}, es decir, en la base{fuJvJw} dada por

f _(dx dy_ dz\ _Ju ~ \du du du) l

dx dy dz




/ dx dy dzjw — I ^ i o •> T ;\ ow ow ow

Al normalizar cada uno de esos vectores se tiene una base de vectores{eu,ev,ew}, donde,

e,, =

(dx &£ dz\Y du ' du' duJ Ju

)x_ dj¿ dz_ \Jdv' dv' dv) fv

C-i, —

(dx)2

dv) ^ \dv)

ein =dw' dwi dw J Jw

~2 l l / w l l

Calculemos las normas de los vectores imágenes iniciales, por

d2L)2 4. (ÉJL\ (±dw) ^ \dw) ^ \dw)

K = WfvW

h w = \\fw\\

esto es,

Supongamos que el conjunto de vectores {eu,ev,ew} es ortogonal, esdecir, ortogonal entre sí por pares.

El elemento de desplazamiento infinitesimal vectorial df, en las coorde-nadas (x, y, z) está dado por

dr — (dx, dy, dz) = dxt\ -f dye2 + dze%

Al cambiar el sistema coordenado, el desplazamiento infinitesimalvectorial dr*en las coordenadas (u,v,w) está dado en la base {fu, fv, fw}por

dr = fudu + fvdv + fwdw

esto es, en la base unitaria {en, ev, ew} las coordenadas de dr son ,

dr = hueudu -f /ivev dv 4- /i^e^ dw = /indi¿ eu -f hvdv ev -f hwdw ew




= (hudu, hvdv, hwdw)

En otras palabras, bajo el cambio de coordenadas, los elementos in-finitesimales son, hudu para la primer coordenada, hvdv para la segunda,y hwdw para la tercera.

Sea F un campo escalar tal que su gradiente en coordenadas (x, y,z) seescribe

J ^ dF dF dFgrad F = — ex + —- e2 4- -77- 3

c/x a?/ azentonces, para las coordenadas (u, v, w) se tiene la relación

dF = —du + -^-dv 4- — ch¿;c/n av ow

í 1 dF\ u 1 ( l dF\ , ^ f I dF\hu du J \hv dv J V ^ ^

lo que indica que las coordenadas del gradiente en la base {eUl ev, ew} sonnecesariamente,

\ hu du ' hv dv ' /iu, dw

Cálculos más complicados nos demuestran que para un campo vectorialX = (P, Q, R), el cambio de coordenadas nos lleva la divergencia de X enlas coordenadas x,y,z,

_dP dQ dRd i v A — — I - I -

ox oy dz

en la expresión

4- {RKK)[ ( p f t v / l i i ; ) + ^ (Qhuhw) + ¡huhvhw [du ov ow

en las coordenadas (i¿, v, w).

Por otro lado, el rotor del campo X en las coordenadas x, Í/, 2 dado por

/ d ñ 9Q\ /(9P dR\ (dQ dP\V dy dz J \dz dx) \dx dy J

se transforma en

1 fd(Rhw) d(Qhv)\rot X = —— — euhvhw \ ov ow )íd(Phu) _ d(Rhw)\ e + j _ íd(Qhv) _ d(Phu)

)hwhu \ dw du ) huhv \ dx dz




en las coordenadas (u,v,w).

EJEMPLO. Sean las coordenadas esféricas co-geográficas

x = r eos (f sen 0y = r sen (¿> sen 0,

z = r eos 6

<3 Ya se ha demostrado que

( eos (/?sen0 — r señasen 0 reos ip cos0sen (f sen 0 r eos (psen0 rsemp cos0

eos 0 0 — r sen0

lo cual implica, haciendo u = r, v = tp, w = 0,

fr — (eos (psen^, sen <p sen fl, cos^)

/^ = (—rseñasen0, r eos (¿>sen#, 0)

fe = (r eos (/? eos #, rsen(p eos 0, — rsen#)

Al calcular las normas se tiene

hy> - H/VPII = rsen6»

he = \\fe\\=r

De esta manera, los vectores básicos en las coordenadas (r, </?, 0) son

fer = — = (eos (psen0, sen ip sen 0, eos 0)

hr

ev = T~ = (-sen (p, eos cp, 0)rir

ee = (eos 0, semp eos 0, —sen0)

y un cálculo directo prueba que {er,e<¿>, e^} es ortogonal.De esta forma, para un campo escalar F, en las coordenadas (r, (/?, 0) se

tiene que/ 1 dF 1 dF 1 5F

F 1 dF idFdr ' r sen 0 9cp ' r




Mientras que para un campo vectorial X = (P,Q,R) se cumplen lasfórmulas

d[yX = 1 \djPhyho) d(Qhrhe)O[ Or Oip 06

d{r2sen0P) d{rQ) d(rsen0R)7T l

r2sen<9 [ Or d<p 06

1 f n0(r2P) OQ 0(sen6R)]'sen<9— + r—+r- "

r2sen0 |_ dr ' ' dip 06 J

1 d(r2P) 1 dQ 1 d(sen6R)Q0 dr2 dr rsen 0 d(p r sen 6 86

[ 1 fO(Phr) d(Rhe)\ | 1 ÍO{QK) O(Phr

0(rsen6Q)\err 2 s e n < 9 V O^p 06

v , t 'd{rsenOQ) <9P\r \Ó6 Or J r sen # \ ar a^

1 / 9ñ 0{sen6R)\1 r- r — - err2sen6 \ d<p 06 J

OP O(rR)\ 1 / ñO(rQ) 0P\

6/ or J r sen 6/ \ ar ac/9 /

Dejamos como ejercicio al lector verificar que en las coordenadas (u,v,w)se cumple la siguiente igualdad para el Laplaciano de un campo escalar F.

A F = div grad F

_ 1 ¡0_ íhvhw0F\ 0_ íhuhw0F\ _O_ íhuhv0FY\huhvhw [Ou \ hu Ou J Ov \ hv Ov) Ow \ hw Ow J\

Consecuentemente, para las coordenadas esféricas se tiene, para uncampo escalar F,

AF =r2sen9

_ r s e n0_j + _ ^ ^ j + (sene—jj_ r s e n0_j + _ ^ ^ j + (sene—jj

a / 2 a F \ i 82F i a ( dF) + +2

a ( dF_dr ) + r2sen2edif2 + r2sen0 00 \ 00




La ecuación del calor

Consideremos un cuerpo físico Í7 C R3, y designemos su temperatura en elpunto (x,y, z) en el instante t por el campo escalar

u = u(x,y,z,t)

Afirmamos que el campo u satisface la ecuación diferencial parcial linealde segundo orden

du 2 í d2u d2u d2u~dt^a [~d^ + ^2+'d~2

donde (x, y, z) G ü y a 6 R.Al utilizar el operador de Laplace,

dx2 + dy2 + dz2

lo anterior equivale a que la función u debe satisfacer la ecuación

—- = azAudt

llamada la ecuación de conducción de calor.< Al tomar un cubo infinitesimal a del cuerpo íl (véase la figura 5.25),

la cantidad de calor que atraviesa la cara izquierda de a de derecha aizquierda durante el tiempo (t,t + At) es, hasta, un infinitésimo

donde a es el coeficiente de conductibilidad térmica del cuerpo que se con-sidera constante en cualquiera de sus puntos.

AxAy

Figura 5.25: Calor atravesando el cubo infinitesimal en Í7.



270 Campos vectoriales en M3

Lo anterior se debe a que la cantidad indicada de calor es proporcionalal número a, al área Ay Az de la cara que se examina, al incremento detiempo At y a la velocidad de variación de la temperatura en la direccióndel eje x que es igual a la derivada parcial ^ . La derivada parcial varíadentro de los límites de la cara, pero, despreciando infinitésimos de ordensuperior, se puede suponer que en toda la cara es igual a | ^ en el punto

La cantidad de calor que pasa por la cara derecha de a de derecha aizquierda es, análogamente, igual a

Oua — ( x + Ax, y, z, t)Ay Az At

ox

De esta forma, la cantidad de calor que entra en el cubo a por sus carasizquierda y derecha durante el lapso de indicado es igual a

Ou Oua —(x + Ax, y, z, t)Ay Az At - a—-(x, y, z)Ay Az At

ox Ox

pero, por el teorema del valor medio para u en la variable x, se tiene que

Ou Oua —-(x + Ax, 2/, z, t)Ay Az At - a — (x, y, z)Ay Az At

ox ox

02u= a — (x, 2/, z, t) Ax Ay Az At.

En virtud de que en las otras caras del cubo ocurre igual, entonces lacantidad total de calor que entra en a en el lapso (t, t + At) es, la suma delas cantidades de calor que entra durante este tiempo por todas las carasde a.

ÍO^u (Pu <?M Aa \0x2 0y2 0z2) X V

Por las mismas consideraciones, hasta un infitésimo del volumen Ax Ay Azde a, este número (cantidad de calor ) es igual también a

OuP—AxAyAzAt

donde (3 es el calor específico del cuerpo que suponemos constante en todossus puntos.

Igualando, obtenemos, después de las simplificaciones, la ecuación dife-rencial parcial lineal de segundo orden mencionada, donde




Se ha mostrado que la temperatura del cuerpo Q es la función u =Í¿(X, y, z, t) que satisface la ecuación de conducción del calor, donde a2

es una constante positiva. Nos hemos limitado al caso cuando el cuerpotiene en todos sus puntos un calor específico constante y un coeficiente deconductibilidad que no varía.

La ecuación diferencial obtenida tiene un conjunto infinito de soluciones,y para encontrar entre ellas una solución determinada es necesario imponersobre la función u condiciones adicionales, llamadas condiciones inicialesy de frontera. Este problema sale del alcance de este trabajo.

La distribución del calor en un cuerpo se llama estacionaria si la tem-peratura u del cuerpo depende de la posición del punto (x,y,z) y no de-pende del tiempo t. Es decir, si u = u(x,y,z), entonces

lo que implica que el campo escalar u satisface la ecuación diferencial parciallineal de segundo orden

DEFINICIÓN. La función i¿(#, y, z) se llama armónica sobre la región Qsi tiene derivadas parciales continuas de segundo orden sobre íl y satisfacesobre Q la ecuación

Au = 0.

llamada la ecuación de Laplace.

LEMA 5.2 Suponga que la región acotada Q tiene como frontera suave ala superficie S sobre la cual se dá la función continua f(x,y,z). Entoncesen la cerradura Q existe una única función continua u(x,y,z), armónicasobre la región íí, tal que

u\s = f(x,y,z)

Este resultado tiene una interpretación física sencilla. Si sobre la fron-tera superficial 5 del cuerpo Q se mantiene una temperatura i¿, tal queu\s = f(x,y,z) es la función continua dada sobre 5, entonces dentro delcuerpo se establece una única temperatura bien determinada, armónicau(x,y,z).

Desde el punto de vista físico, esta afirmación es obvia, aunque puede serdemostrada matemáticamente. Este problema, llamado el problema deDirichlet, está parcialmente investigado y se conocen diferentes métodosnuméricos de solución.




Ejercicios.

1. Sean las transformaciones lineales

L\ (x, y, z) = (x -f 2y + 3¿,4x -f 5?/ + 62)

L2(i¿, v, w) = (u + 3v + 5w, 6u + 7v + 9w)

Calcular L\ oL2 y L2oL\, usando sus matrices asociadas en la base canónica.

2. Hacer lo mismo que el ejercicio 1. para las transformaciones lineales

Ls(x, y, z) = (x + y, y -h z, 2 + x)

L4(i¿, v,w) = (v + w, u + u>, u + v)

es decir, calcular L30L4 y L40L3.

3. Sean las transformaciones lineales,

*Í \ **^« ( i I — I wu«iy (y • «X/ ~j KJ LJm %JL J

L 6 (x , y,z) = (x + y + z,x -y - z)

y considérense las transformaciones Li,L2lLz y L4 en los ejercicios 1. y2.. Calcular las transformaciones lineales

a. L4 o L5

b. L5 o L6

c. L2 o L5

Calcular la aplicación de cada transformación lineal dada en el vectorindicado.

d. L5(£), si £ = (-1,1)

e. L6(£), si £ = (1,0,1)

f. L3(£), si £ = (-1,2,3)

g. L4oL5(0, si £ = (1,2)

h. L 5 o¿ 6 (£) , si £ = (3 , -2 ,1)

4. Dar los dominios de definición (regiones) de los siguientes campos vec-toriales.

a- fi(x,y) = {x2 + y2, xy-x2)

b. h{x,y) = [yjx2-y2,xy3 ln(xy)

c. f3{x,y,z) =



5.6 Divergencia, gradiente y r >tor 273

d. /4(x, y, z) = (arcsen (x + y + 2), zy, x2 + Í/2 + ¿2)

5. Utilizando las funciones del ejercicio 4. calcular las composicionesindicadas.

a. / 3 o / 2

b. /i o / 3

C /3 O / 4

d- /4 ° h

e. / 4 o /2

6. Calcular la matriz Jacobiana de cada uno de los incisos del ejercicio 4.

7. Calcular la matriz Jacobiana de la función dada en el punto p indicado.

a. f(x,y,z) = (x2 + y2,xcosyz) en p = ( l , 0 , TT/2)b. f(x,y) = (exsenx, ey cosx) en p=(0 ,0)

c. / ( X , 2 / , 2 ) ( ^ , 3 X + 22,T/2Z) en p= (1,1,1)

d. f(x, y) = (ln xy, sen xy, x2 + y) en p= (2,1)

8. a. Hallar los puntos del dominio de la función 7. b. donde el Jacobianose anula.

b. Hallar los puntos del dominio de la función 8. c. donde el Jacobianose anula.

9. Calcular, utilizando La regla de la cadena, las matrices Jacobianas delas composiciones de todos los incisos del ejercicio 5.

10. ¿Cuáles de las siguientes funciones se pueden considerar un cambio decoordenadas local, en el punto que se indica?

a. f{x,y) = (x2y + l,x2 -i-y2) en p = (1,1)b. f(x,y) = (x2 + y2,y/y + y/x) en p = (4,16)c. f{x,y) = (exy,\nx) en p=( l , l n2 )d. f(x,y,z) = {xz,xy,yz) en p = ( l , 4 )f. f(x,y,z) = (ycosx,ysenx,z) en p = (?r/4,4,3)

11. Dibuje e integre, sin usar el parámetro temporal, los siguientes camposvectoriales.

a. X(x,y) = (x,y)

b. X(x,y) = {-x,y)

c. X{x,y) = {x,-y)

d. X(x,2/) = (-x,-2/)

e. X(x,y) = (x2,7y)




f. XU.!j) = (.r2,-u)g. A' = grad/<\ donde F(x,y) — x2 — y2

12. a. Calcule la divergencia y el rotor de todos los campos vectoriales delejercicio 11.

h. Calcule la divergencia y el rotor de los campos vectoriales siguientes.

i. Xi (.i\ /y. z) = (y - x, x + /y, yz)

ii. XL>(./\/y.c) = (x2c^\ y2c~d'z, z2c~xy)

iii. X.<(./\ /y, z) = (z'2y - .r, x'2z + ;(/, y2x - z)

iv. A"4(.r, y, z) = (.r'sen zy, cycosxz, ezacnyx)

13. Vt'riñíiiu1 las igualdades siguientes para los campos vectoriales delejercicio 12.

a. div (rot X) = 0, X = X{, X2, A"3, X4

b. div [A'i, A"2] = < X2 ,rot A^ > - < X l T ro tX 2 >c. iliv [Ar

:{, A"4] = < A4,rotXj > - < X 3 , ro tX 4 >

14. Si F(x.y, z) — x + ?/2 H- 22, verifique las igualdades siguientes, usandolos campos vectoriales del ejercicio 12.

a. rot (FX) = Frot X + [VF, X], X = Xu X2

b. rot(gradF) = 0c. div (gradF) = AF

15. Demostrar que en las coordenadas (u,v,w) se cumple la igualdadsiguiente para el Laplaciano de un campo escalar F arbitrario.

huhvhw [du \ hu du) dv \ hu dv ) dw \ hw dw

16. Calcule la divergencia y el rotor de cualquier campo vectorial X, y elgradiente de un campo escalar, en los siguientes sistemas de coordenadas.

a. En coordenadas cilindricas.

b . En las coordenadas (u, v, w) donde

x = uevw

y = veuw

z = weuv

c. En las coordenadas pseudoesféricas (r,\,ip) donde

x — r cosh xy — r senh \ eos ipz — r senh

donde r > 0, \ > 0, 0 < 9 < 2TT.



Apéndices



Capítulo 6

Elementos Básicos deSuperficies en TD)3

En este capítulo introducimos el concepto básico de superficie en el es-pacio euclidiano R . Damos ejemplos ele las superficies más comúnmenteconocidas y un tratamiento general de su estudio.

Utilizamos una notación para definir a los planos coordenados de lasiguiente manera.

Rj. y definirá al plano (x,y) contenido en R'\ R. ~, definirá al plano(x, z) contenido en R'\ mientras que RjJ z definirá al plano (y/, z) contenidoen R3.

DEFINICIÓN. A los puntos {x,y,z) e R:* (iue satisfagan una relaciónreal del tipo

R(x,y,z) = 0

se les dirá que conforman una superficie ordinaria en R'\

EJEMPLO. (El plano). Un conjunto de puntos en el espacio que satis-facen una ecuación del tipo

ax + by 4- cz — d

se dice c ue forman un plano con vector normal a — (a,h,c).

< Tales puntos también satisfacen la relación

j?(x, y, z) - ax -f by -f (z - d = U

lo que asegura que un plano es una superficie1 (plana) en R'5. í>



278 Elementos Básicos de Superficies en

yX

Figura 6.1: Superficie esférica en J>3

EJEMPLO. (La esfera de radio r) Sea r > 0 un número real dado.

<3 Los puntos (x, y, z) G R3 tales que distan r del origen conforman unasuperficie esférica satisfaciendo la ecuación

y/x2 + y2 + z2 =r

o equivalentemente,x2 + y2 + z2 = r2

En otras palabras, los puntos sobre tal esfera, deberán satisfacer larelación:

R(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - r2 = 0

lo que hace que la esfera con radio r y centro en el origen sea una superficieen IR3. Esto se ilustra en la figura 6.1.

Para muestra, la ecuación

x2 4- y2 + z2 = 16

describe a una superficie esférica de radio 4 con centro en (0, 0, 0). t>

6.1 Superficies de revolución

Consideremos en el plano x, z una curva 7 que es la gráfica de una funciónz — / (x) , tal que no corta al eje z.

Al hacer girar 7 en torno al eje z se obtiene una superficie de revo-lución S contenida en R3.

Afirmamos que S es una superficie ordinaria según nuestra definición.

< Sea el punto (xo,2/o> 2o) ^ &. Afirmamos que satisface una relacióndel tipo

R(xo,yo,zo) = 0



6.1 Superficies de revolución 279

Cierto es que (:Í;(), ;(/(J, z{)) está en el círculo obtenido al hacer girar elpunto (:ro,2o) de la curva 7. Pero entonces,

y todos los puntos del círculo de radio x{) están a la niisnia altura c() ycontenidos en el plano R2

y en un círculo de radio x{). Es decir, tienen unaecuación en el plano z — ¿{) dada por x2 + y2 = x2

} como se muestra, en lafigura 6.2.

X

Figura 6.2: Superficie de revolución.

Esto implica que sobre tal círculo se cumple la igualdad

Ya que (x0, ?y(), z0) es arbitrario, entonces cada punto (.i\y,z) € S debesatisfacer la ecuación

es decir, los puntos (x, y, z) G S satisfacen además la relación

R(x,y,z) = z - f(y/x2 + y'2) = 0

lo que hace de 5 una superficie. O

De igual forma, si z = f(y) y se hace girar 7 alrededor del eje z, seobtiene la misma relación. Esto es, si z = f(x) ó z = f(y) para obtener laecuación de la superficie 5 obtenida al girar la gráfica 7 de / alrededor deleje z es necesario reemplazar, en un caso,




o bien, en el otro caso,

y —> yx2 + y2

EJEMPLO. Consideremos la curva

z = x2

que es la ecuación de la parábola en el plano x, z con x > 0.

Figura 6.3: Paraboloide circular z = x -f y .

La ecuación de la superficie de la revolución S (paraboloide circular)obtenida al hacer girar tal parábola alrededor del eje z es

z = (\/x2 -i-y2)2 = x2 + y2

o equivalentemente, la relación

x2 + i/2 - 2 = 0

Véase la figura 6.3 que describe a esta superficie.

EJEMPLO. Sea1

z = —y

la hipérbola canónica en el plano y, z con y > 0. La ecuación de la superficiede revolución S obtenida al hacer girar alrededor del eje z es

que se logra al sustituir y —> y'x2 -f y2.



6.1 Superficies de revolución 281

Figura 6.4: Hiperboloide circular.

Tal superficie se llama un hiperboloide circular y se ilustra en lafigura 6.5.

EJEMPLO. Sea el semicírculo en el plano R^ y dado por la ecuación

donde la variable x < 0.

Al hacer girar en torno al eje y (intercambiando) reemplazando en estecaso la variable

+ x2

se obtiene la superficie de revolución

o bien,X2 + y2 + Z2 = R2

que es la ya conocida esfera de radio R con centro en (0, 0,0). l>

Figura 6.5: Superficie cilindrica.




6,2 Superficies cilindricas

Sea 7 una curva contenida en un plano coordenado y sea i el eje perpen-dicular a tal plano.

Si por cada punto (xo, 2/o^o) £ 7 pasamos una recta paralela a i obte-nemos una superficie cilindrica 5. La curva 7 se llama generatriz de5 y í se llama la directriz.

Se afirma que 5 es superficie en nuestro contexto.< Sin pérdida de generalidad, supóngase que 7 está en el plano M .j2/. Por

ser curva en R^ y las coordenadas x, y satisfacen una ecuación R(x, y) = 0

Sea (x, y,z) G 5 entonces (x, y) £ 7 lo que implica que i?(x, £/) = 0.

Claramente el punto (x, y, 2), omitiendo a la variable 2, también lasatisface, es decir, si se define (abusando de la notación) a la relación

entonces S es una superficie (véase la figura 6.5).

EJEMPLO. Sea la curva plana

un círculo de radio 4 con centro en el origen. Esta genera en el espacio lasuperficie cilindrica 5 definida por la misma ecuación, quedando libre lavariable z.

2 2x+y=16

Figura 6.6: Cilindro circular recto.

Se llama cilindro circular recto de radio 2 con centro en el origen ycon directriz al eje z (véase figura 6.6).



6.3 Superficies cónicas 283

EJEMPLO. Sea la curva sinusoidal

y = sena:,

x £ [—7T, TT]. Tal curva genera la superficie cilindrica en la misma ecuación,siendo z libre. Se llama cilindro sinusoidal con directriz al eje z. Lafigura 6.7 ilustra a esta superficie.

Figura 6.7: Cilindro sinusoidal.

EJEMPLO. Sea 7 la gráfica de la función z = ey en el plano R~ y. Estacurva genera la superficie cilindrica

z - ey = 0

con la variable x libre.Se llama cilindro exponencial con directriz el eje x (véase la figura

6.8).

6.3 Superficies cónicas

Dada una curva 7 en el espacio R3 y un punto v, se define una superficieS al tomar el haz de rectas por v que intersectan también a 7.

Se llama una superficie cónica con vértice v y base 7. La figura 6.9ilustra a este tipo de superficies.




Figura 6.8: Cilindro exponencial.

Y

Figura 6.9: Superficie cónica.

Una relación R{x,y,z) en las variables x,y,z, se dice homogénea degrado 5, si para cualquier t G R y cualquier punto (x, y, z) se cumple laigualdad

R(tx,ty,tz) =tsR(x,y,z)

Para muestra, la relación

- z2

es homogénea de grado 2. En efecto,

<3 R(tx, ty, tz) = (tx)2 + (ty)2 - (tz)2 = t2x2 + t2y2 - t2z2

= t2(x2 +y2 - z2) =t2R(x,y,z) >



6.3 Superficies cónicas 285

Otro ejemplo, es la relación

R(x, y, z) = xy2 + x2y + yS - z2y

la cual es una relación homogénea de grado 3, como se muestra en el si-guiente cálculo.

< R{tx, ty, tz) = tx(ty)2 + (tx)2(ty) + (ty)3 - {tz)2(ty)

= t*(xy2 + x2y -f ys - y2y) = í3#(:r, y, z) >

Una relación 7?(x, y, z) homogénea, define una superficie como se mues-tra en el siguiente Lema.

LEMA 6.1 La relación R(x,y,z) = 0, donde R(x,y,z) es homogénea degrado s define una superficie cónica.

<1 Sea R(x,y,z) — 0 tal que R es homogénea de grado s, y supóngaseque v = (0,0,0). Sea p0 = (xo,yo,zo) tal que R(yo,xo, z0) = 0.

Se afirma que toda la recta por po y v satisface la relación. Tal rectatiene, en las variables x, y, la ecuación

De esta manera, si el punto (x, y, z) está sobre la recta, entonces

R{x, y, z) = R(tx0, *yo, **o) = t*R(x0, y0, ¿o) = ts{0) = 0

lo que demuestra que (x, y, z) € S. >

EJEMPLO. La relación

R(x,y,z) = x2 +y2 - z1

es homogénea de grado 2 y por lo tanto, la relación

X2 + y2 _ Z2 = 0

define una superficie cónica.

<3 Claramente i?(0,0,0) = O2 + O2 - 02 = 0, lo que nos dice que el punto(0,0,0) está en la superficie y es su vértice.

De la relación x2 -f y2 — z2 = 0, si despejamos a 22, obtenemos

9 9 9

x~ +y = z".




z = 1, x2 + y2 = 1

^ J

Figura 6.10: Cono circular.

Si tomamos 2 = 1, entonces x2 -f y2 = 1 es un círculo de radio 1, lo quenos dice que la curva 7, base de la superficie es un círculo.

La superficie cónica S es un cono circular con vértice en (0,0,0). Lafigura 6.10 muestra esta superficie. t>

EJEMPLO. Sea la relación

22

homogénea de grado 2, entonces por el Lema 6.1, define una superficiecónica.

<\ Al hacer R(x, y, 2) = 0 se obtiene la ecuación

x2 y2 z2

a2 o2 c¿

o bien, despejando los términos en z se tiene la relación equivalente

x2 y2 _ z2

Si se hace z = c obtenemos una curva 7 base de la superficie, dada por

9 9

_ +*L = 19 '^ j 9

que es la ecuación de una elipse con parámetros a, 6, a una altura z — c.Le llamaremos a tal superficie un cono elíptico con vértice en el punto

v — (0,0,0), y se ilustra en la figura 6.11. t>



6.4 Elipsoides, Hiperboloides y Paraboloides 287

Figura 6.11: Cono elíptico.

6.4 Elipsoides, Hiperboloides y Paraboloides

En esta parte definimos nuevas superficies a partir de las ya conocidas,utilizando cambios afines de coordenadas, como la deformación de losejes cor denados y las traslaciones.

< Dada la esfera unitaria en R3,

x2 + y2 + z2 = 1,

en las coordenadas cartesianas x,y, z, la podemos deformar en un elipsoideenR3,

9 9 9

U V W

~^ + ¥ + Tí5"en las nuevas coordenadas u,v,w, mediante la deformación de los ejes co-ordenados

donde los parámetros a, b, c > 0, o bien, mediante las relaciones inversas,

u = axv = byw — cz

lo cual se comprueba con la simple sustitución

9 9 9 2 2 2/ ? / \ / TJ \ / ID \ U 1) U)\Q / V O / V e / a O C

La figura 6.12 ilustra al elipsoide. >




Mediante procesos análogos de deformación de los ejes y usando otrascordenadas1, es posible obtener superficies nuevas a partir de superficies yaconocidas. A continuación damos ejemplos.

EJEMPLO. (Elipsoide circular). Sea 7 la elipse centrada en (0,0) delplano IR^2, definida por la ecuación

x2 z2

- 7 + - r = 1, a , c > 0a¿ c¿

< Si se hace girar 7 alrededor del eje 2, al reemplazar x —> \/x2 + y2

se obtiene la superficie de revolución elipsoidal dada por la ecuación

llamada elipsoide circular (véase la figura 6.12).

x

Figura 6.12: Elipsoide circular.

Al hacer una deformación del eje y mediante el reemplazo de la variabley P o r

ay

v al sustituir en la última ecuación se tiene

z2 x2 y2 z2

-i = \- -—i

c2 a2 b2 c2

es decir,2 2 2x y z

a¿ b2 c2




Figura 6.13: Elipsoide.

que es la ecuación de un elipsoide con parámetros a,b,c (véase la figura6.13). >

EJEMPLO. (Hiperboloide de una hoja). Consideremos la hipérbolaen el plano R2, z dada por la ecuación,

donde los parámetros a, b > 0.

<a Al hacerla girar tal curva alrededor del eje z, reemplazando x —*\Jx2 + y2 se obtiene una superficie denominada hiperboloide circularde una hoja dado por la relación,

1 -

es decir,

Como cada punto de la hipérbola genera un círculo al girarla. Esto seilustra en la figura 6.14.

Si se deforma el eje y con el reemplazo

ay

se obtiene

1

la nueva

X2

1a1

relación/ ay \ oV 6 /

a2 c2

y->

X2

a2 +

6

«ya2 :2 a2 b2 c2

2En la sección 5.4 damos un tratamiento más completo a éste proceso de cambiarcoordenadas en el espacio R .




Figura 6.11: Hiperboloide circular de una hoja.

o equivalentemente.y 9 9

que corresponde a una hiperboloide elíptico de una hoja (véase lafigura G.15).

Para muestra, la relación

define un hiperboloide elíptico de una hoja O

EJEMPLO. (Hiperboloide de dos hojas). Si la misma hipérbola delejemplo precedente en el plano IR" >c con la ecuación

se hace girar alrededor del eje a:, al reemplazar z —> >/y2 + 22 se obtiene lasuperficie de revolución con ecuación

X2

c-




Figura 6.15: Hiperboloide elíptico de una hoja.

es decir,

y tal superficie se llamará hiperboloide circular de dos hojas.Al hacer la deformación del eje y mediante el cambio coordenado

cy

se obtiene la nueva ecuación2?

- _ _ ¿L _ _" 2 b2 2

2

a2 b2

que corresponde a un hiperboloide elíptico de dos hojas (véase la figura6.16).

Para muestra, la ecuación

es un hiperboloide elíptico de dos hojas, D>

EJEMPLO. (Paraboloide elíptico). Sea la parábola cuadrática en elplano R^2 dada por la ecuación

az = x




Figura G.16: Hiperboloide elíptico de dos hojas.

<3 Si se hace girar alrededor del eje z haciendo el reemplazo canónicox —> y/x'2 + y'2 en la última relación, se obtiene un paraboloide conecuación

o equivalentemente.

o bien,

9 , 9

" + y

a allamado paraboloide circular.

Si se deforma el eje y por el cambio coordenado ynueva la ecuación

a2

^ se obtiene

a a a b

es decir,




Figura 6.17: Paraboloide elíptico.

con los parámetros a, 6, con el mismo signo, que representa un paraboloideelíptico (véase la figura 6.17). >

NOTA. Si en la ecuación obtenida en el ejemplo anterior

a ¡ b

se tienen signos diferentes para a y b, la superficie se llamará paraboloidehiperbólico, y su gráfica se muestra en la figura 6.18. A esta superficie sele conoce también como silla de montar.

— -

Figura 6.18: Paraboloide hiperbólico.

Observamos que hasta este punto todas nuestras superficies obtenidasmediante la deformación de los ejes han estado centradas en el origen de




coordenadas y todas tienen una descripción dada por una fórmula cuadrá-tica. En realidad, si se tiene una expresión cuadrática del tipo

Ax2 + By2 + Cz2 = 0

donde no hay términos cruzados en las variables, 2 siempre es posible iden-tificarla como una de las superficies de la lista que hemos mencionado. Elproceso para la identificación involucra una translación de ejes coorde-nados del origen en R3 a otro punto del espacio.

Si p = (h,k,l) es un punto del espacio R3, entonces al utilizar lascoordenadas (u,v,w) en R3 ligadas a las coordendas cartesianas mediantelas fórmulas

x = u + h } ( u — x — h

z = w + 1 j y w — z — i

conseguimos una translación del punto origen (0,0, 0) al punto p = (/i, k, 1)como lo muestra un cálculo simple (de hecho una sustitución).

Si x = h, y = k, z = I, entonces u — 0, v = 0, w = 0, y reciprocamentesi u = 0, v — 0, w — 0, entonces x = h, y = k, z = I, y como lo muestra lafigura 6.19.

y

k

y

V

V

(x>y)

u

u

h x x

Figura 6.19: Translación de ejes coordenados.

2Si hay términos cruzados el proceso de identificación se complica y para ello esnecesario utilizar métodos del Algebra Lineal.



6.4 Elipsoides, Hiperboloides y Paraboloides 2{)5

EJEMPLO. Hacer una translación de ejes del origen de coordenadas alpunto p = ( - 1 , 3 , - 2 ) .

<] Al utilizar fórmulas so tiene que las nuevas variables //, r. //' en estesistema nuevo son dadas por,

u = x - ( -1) =x 4- 1 ] ( x = a - 1v = y - 3 = y - 3 \ <=> I y = v 4 3 } D>

w = 2 - ( -2) = 2 4- 2 J [ z = w-2

EJEMPLO. Id(?ntificar a, la superficies (\s])acial dada por la ecuaci('>n

x2 4- y" 4 2" — x 4 y = 0

<] Hacemos un completamiento do términos para tener trinomios cua-drados perfectos, asociando los semejantes,

0 = x2 4- y2 4- 22 - x + y = {x2 - x) 4 (;/y2 4 y) 4- 22

de donde,

x — —

Al hacer la translación de ejes con nuevas coordenadas //. v\ tr dadas j)or

u = x - 1/2 = x - 1/2v = yy 4- 1/2 = y - ( -1 /2)

2 = 2 - 0 = 2 - 0

tenemos el nuevo origen en el punto (1/2. —1/2.0) y la ecuación en estasnuevas coordenadas dada por

2 9 9 1?¿2 4- i>~ -\- z" = 7

na esfera de radio y é = ^que es una esfera de radio y é

De esta manera, la ecuación inicial describe a una esfera de radio R =•^ con centro en el punto c = (^. ^ , 0 ) . t>

EJEMPLO. Identificar a la superficie en R3 dada por la ecuación

4x2 4- 422 - y2 - Sx 4- 82 + Ay + 4 = 0



296 Elementos Básicos de Superficies en M3

< Al agrupar términos obtenemos que

0 = (4x2 - Sx) - (y2 - 4y) 4- {4z2 4- 82) 4- 4

- 4(x2 - 2x) - {y2 - 4y) + 4(¿2 + 2*) 4- 4

= 4(x2 - 2x 4- 1) - (y2 - 42/ + 4) + 4(¿2 4- 2^ + 1) 4- 4 - 4

o bien,4(x - I)2 - (2/ + 2)2 + 4(z -fl)2 = 0

Al hacer la translación de ejes al punto (1,-2,-1) mediante las ecuaciones

obtenemos la nueva ecuación en el sistema de coordenadas u,v,w dado por

4t¿2 — v2 4- 4it;2 = 0

Ya que la relación es homogénea de grado 2, se tiene una superficiecónica, y al despejar la variable con signo negativo, se tiene

v2 = 4t¿2 4- 4w2

De esta forma, si v = c es una constante arbitraria se obtiene la ecuaciónde la base del cono

,2c2 = Au2 4- 4u>2 «=> í - j = u2 4- w

que es un círculo de radio R = c/2.

De esta manera, la ecuación

< 4x2 4- 4¿2 - y2 + Sx 4- 82 + 4y 4- 4 = 0

define a un cono circular en dirección del eje y con vértice en el punto(1,-2,-1). O

EJEMPLO. Identificar la superficie dada por la ecuación

x2 - z2 - 4x 4- Sz - 2y = 0

<3 Al completar cuadrados obtenemos

0 - {x2 - 4x) - {z2 - Sz) -2y = (x2 - 4x 4- 4) - (z2 - 82 4-16) - 2y + 12




= (x-2)2-(z+4)2-2(y-6)

de donde,2(y-6) = (x-2)2-(¿ + 4)2

o bien,

Al realizar la translación de ejes al punto (2, 6, —4) usando las ecuaciones

u — x — 2 ( x = u + 2v = y — 6 <=> < y = v + 6w = z + 4 I z = tu — 4

se obtiene la ecuaciónu w

V — 12 - 2

que corresponde a un paraboloide hiperbólico.

De esta manera, la ecuación inicial describe a un paraboloide hiperbólicocentrado en el punto (2,6, -4 ) . o

EJEMPLO. Analizar la ecuación cuadrática

9x2 4- 4y2 - 36z2 - 18x - Sy - 72z 4-13 = 0

e identificar a la superficie que define.

< De la completación de cuadrados en tal ecuación se obtiene

0 = (9x2 - 18x) + (Ay2 4- Sy) - (36¿2 + 12z) 4-13

= 9(x2 - 2x) 4- 4(?/2 4- 2y) - 36(z2 4- 2z) 4-13

= 9(x2 - 2x 4-1) 4- 4(?/2 4- 2y 4-1) - 36(z2 + 2z + 1) 4-13 - 9 - 4 + 36

es decir,-36 = 9{x - I)2 + 4(y + I)2 - 36(z 4-1)2

o bien,

lo que equivale a



298 Elementos Básicos de Superficies en R3

al efectuar la translación de ejes al punto (1 , -1 — 1) mediante al cambiode coordenadas

u — x ~ 1 ( x = u + 1v = y + 1 <=> ¡ y = v - 1w = z + 1 [ 2 = it; — 1

obtenemos una nueva ecuación

2

4 9

que corresponde a un hiperboloide elíptico de dos hojas.

De esta manera, la ecuación inicial define a un hiperboloide elíptico dedos hojas concentrado en el punto (3 , -1 , -1 ) . D>

Ejercicios.

1. Dar las coordendas del centro y dar el radio de la esfera definida por laecuación

a. x2 + y2 + z2 - y -f 2z + 1 = 0b. x2 + y2 + z2 = 4¿ - 3c. 2x2 + 2y2 + 2z2 = 3z-4y-2

2. Dado el punto p = (0, —1, 2) decir si está dentro, fuera o sobre cada unade las esferas dadas en los incisos del ejercicio 1.

3. Decir qué superficies espaciales definen las siguientes ecuaciones

a. y2 = 2xb. z2 = xzc. 2/3 - 4a;2

d. x2 + 2/2 = 4e. x2 — y2 = 1f. x2 - z2 - 0

4. Dar la ecuación del cono cuyo vértice es el punto (0,0, -1) y cuya basees la curva

a. elíptica ¿ + \ = 1b. circular 4x2 + Ay2 = 1

5. Calcular la ecuación de la superficie 5 obtenida al hacer girar

a. La recta x + y = 1 en el plano Rj y alrededor del eje x.

b. La parábola y = z2 en el plano Rjj>2 alrededor del eje y.c. La hipérbola X2 = 1 en el plano Rj 2 alrededor del eje 2.




6. a. Dar las ecuaciones de las líneas de intersección de la superficie dadapor z = y2 — x2 con los planos z = I, x = 1, y = 1, respectivamente.b . Dar la ecuación de la línea de intersección de las superficies

f z = l-x2-y2

\ z = x2+y2

7. Identificar a las siguientes superficies mediante una translación de ejes.

a. x2 4 z2 - Ax - Az 4- 4 = 0b. x2 4 y2 - z2 - 2y + 2z = 0c. x2 4- 2y2 4- 2z2 - Ay 4- Az + 4 = 0d. Ax2 + y2 - z2 - 2Ax - Ay + 2z -f 35 = 0e. x2 4 y2 - z2 - 2x - 2y 4- 2a; 4 2 = 0f. x2 4 y2 - 6x 4 6y - Az 4 18 - 0g. 9x - z2 - 18x - 182/ - 6z = 0



Capítulo 7

Orientación de curvas ypoligonales

7.1 Orientación.

En este capítulo introducimos los conceptos de orientación de una curvasuave y el de curva poligonal (curva suave por pedazos), que resulta degran utilidad para las aplicaciones en las ciencias naturales.

Dada una curva F c R 3 parametrizada por la función

7 : [a, b] ->R3

de tal forma que ||7(í)|| / 0, diremos que la orientación de F es del punto7(a) e F al punto 7(6) E F, y que está inducida por la orientación delintervalo orientado [a,6]+ (véase la figura 7.1).

Distinguimos a la curva orientada de esta forma por F"1". Naturalmente,esto hace que F+ esté orientada por el vector tangente 7(í).

Supongamos que el parámetro t es una función de un nuevo parámetror € [c, d], esto es t — t(r), y que es una biyección diferenciable

t:[c,d]->[a,&]

Entonces diremos que F se puede reparametrizar por el parámetro r en elintervalo [c, d] por la composición

7(r) = 7( Í (T))

Dicho de otra forma, F está parametrizada por la función 7 : [c, d] —• R3.La función 7 se dice ser una reparametrización de F.



302 Orientación de curvas y poligonales

Figura 7.1: Hélice unitaria de paso 2TT

EJEMPLO. Sea F la primera espira de la hélice unitaria de paso 2TT, conla parametrización

'y(t) = (cosí, sen¿,i)

en el intervalo [0,2TT]. Esto orienta a F + del punto (1,0,0) al punto(1,0, 2TT).

< Sea ahora la reparametrización de F inducida por el cambio deparámetro

t = 2TT - r

definida para r G [0, 2TT],

7(r) = (COS£(2TT-T), sen (2TT - r ) , 2TT - r)

En este caso 7 invierte la orientación de F pues 7(0) = (1,0, 2TT) y7(2TT) - (1,0,0).

Notamos que la función biyectiva que cambia los parámetros

t : [0,2TT] - • [0,2TT], t = 2TT - T

es tal que j ^ = — 1 < 0. La figura 7.1 ilustra esta situación. >

La última observación en el ejemplo anterior no es extraña. De hecho, elsiguiente resultado nos impone condiciones sobre la derivada de una funciónque cambia los parámetros, para que en la reparametrización se conservela orientación.

LEMA 7.1 Sea 7 : [a, 6] —•> R • una parametrización de la curva F queinduce una orientación F + . Si t € [a, b] es el parámetro de 7 y existe un



7.1 Orientación. 303

cambio de parámetro t = t(r) definido en el intervalo [c,d], entonces lareparametrización dada por

7(T) =

es tal que,

a. conserva la orientación de T, si j ^ > 0 en todo el intervalo [c,d].

b . cambia la orientación de T, si jj¿ < 0 en ¿odo eZ intervalo [c, d].

< Pjr la regla de la cadena, se tiene que

lo que nos indica que los vectores ^ 7 y 7 son paralelos. La cantidad ^indica el sentido de cada uno y, por lo tanto, la orientación . >

A una curva F que es la unión (+) de las curvas suaves Fi, F2, • • • , F^ sele llamará una curva poligonal orientada, o curva suave por pedazosorientada (véase la figura 7.2 a.)

La definimos por simplicidad por

F+ = F+ + F+ + • • • + F+

imponiendo la condición de que la curva F ~ inicia donde termina Ft_1.

EJEMPLO. Sea F la unión (+) de los segmentos de las parábolas y\ =x2, y2 = 2 — x2 comprendidos entre sus intersecciones en los puntos (1,1)y (-1,1).

O Si Fi es el segmento de la parábola y = x2 en el intervalo [-1,1] yF2 es el segmento de la parábola y = 2 — x2 en el intervalo [—1,1], entoncesF + = F^-f F j es tal que la orientación inicia en el punto ( — 1,1), recorre porT~t hasta (1,1) y luego recorre por F j hasta ( — 1,1) siguiendo la orientacióninvertida del intervalo [—1,1] que definimos por [—1,1]". La curva F + esen total una curva cerrada iniciándose en el punto (—1,1) y cerrando sucircuito en el mismo punto (véase la figura 7.2 b.)

Damos una parametrización de F + = Tf -f- T\ como sigue.

Fi es la curva definida por y = x2 si x G [—1,1]+, de donde, poniendox — t y y = t2 se obtiene la curva 71 (t) = {t,t2) con t G [—1,1]+ que daorientación a Fj".

Para parametrizar a F2 con la orientación que define a la poligonal F + ,siendo el segmento inmediato de Ff, consideramos su definición. F2 es lacurva y = 2 — x2 con x € [—1,1], lo que indica que F j está orientada porel intervalo [—1,1]". Usemos el cambio lineal de intervalos

x: [1,2]+ - [ - 1 , 1 ] - = [1,-1] +




que lleva 1 —• 1, 2 —> —1 definido por,

x = x(t) = -2(¿ - 1) + 1 = 3 - 2í.

Ya que los puntos sobre la curva F2 son de la forma (x, 2 - x2), entonces72(¿) = (3 - 2¿, 2 - (3 - 2¿)2) con t e [1,2] parametriza a F j . Por lo tanto,la curva 7 = *y(t) que parametriza a todo el circuito con la orientaciónseguida de F+ = F+ + F+ es

7 ( í ) f (M 2 ) - 1 < * < 11K) \ ( 3 - 2 t , 2 - ( 3 - 2 ¿ ) 2 ) \<t<2

donde 7 : [—1,2] —+ M2 es regular por pedazos O

a.

(-1,1)

b.

Figura 7.2: a. Poligonal b. Curva V cerrada orientada.

El ejemplo anterior nos da una manera de orientar a una región planaQ que tiene como frontera a una curva cerrada poligonal F. Para orientara tal región, parametrizamos a F de tal forma que recorra el circuito ensentido contrario a las manecillas del reloj (regla de la mano derecha)

Esto es equivalente a considerar el marco dado por la pareja ordenadade vectores {n(¿),7(¿)}, donde n(t) es un vector normal a 7(2) y j(t) esel vector tangente, satisfaciendo la relación de orientación

0 < detn(t)7(0

= -detn(t)

No es difícil ver que esto se logra al orientar la curva cerrada F+ en con-tra de las manecillas del reloj y tomar sus vectores normales n(t) apuntandohacia afuera de f¿ (véase la figura 7.3). Esta es una manera de orientar auna región Q provista con una frontera conformada por una poligonal ce-rrada. La definiremos por Í7+.



7.2 Longitud de arco y ángulo entre curvas 305

n

Figura 7.3: Orientación de una región plana Í7+.

7.2 Longitud de arco y ángulo entre curvas

Ahora se exponen los conceptos de longitud de arco de curva suave y elde ángulo entre dos curvas regulares.

Dada una curva regular F c R 3 , parametrizada por

si se toma p G F, hasta un infinitésimo de longitud ||<¿7|| en tal punto de lacurva, éste se descompone infinitesimalmente como

\\dy\\2=dx2+dy2+dz2

Figura 7.4: Longitud de arco de una curva.

donde dx,dy,dz son las componentes infinitesimales del infinitésimo delarco (vectorial) dj (véase la figura 7.4).




Dv allí que

||rf->|| - y/dx'2 + dy2 + dz2

Dv esta forma,, si ('(V) define la longitud de F entonces, esta se calculapor

Í(F) = i \Vh\\ = / y/dx2 + ífy2

Jv Jv/r JvPor lo tanto, si en cordenadas cartesianas 7 = 7(f) parametriza a F en elintervalo [a, b],

7(0 = (x(t), t/(f), ¿(¿)),

entonces

iy = y(t) di t £ [a, 6]

y de esta manera, la longitud de F se calcula por

((V) = i y/dx2 + dy2 + dz2 = / y/x{t)2dt2 4- ¿f(*)2d*2 + ¿(<)2d¿2

./r ^[íi.fc]

La igualdad

hace que la siguiente definición sea natural.

DEFINICIÓN. La longitud de la curva regular parametrizada F C R3

se define por

C(T) = [' y/<v{t),v(t)>dt = / " ||t.(t)Hdí,

donde v(t) = ^(t) es el vector velocidad tangente a la curva F en el punto

El siguiente ejemplo ilustra esta definición que se ha heredado directa-mente de los resultados básicos del cálculo.

EJEMPLO. Sea el subconjunto del plano

identificado como el círculo de radio i? y centro en (0,0).




< Una parametrización que hace de SR una curva regular, está dadapor el sistema

/|X ( x = Rcost ^ rt ,I y = rC sent

De la definición, la longitud de 5 ¿ se calcula por

/•27T

£ = £(SlR)= \/R2 sen2t -f i?2 eos2 t dt

Jo

= i y/R2(sen2t +eos2 t)dt = í Rdt = 2TTR. >Jo Jo

EJEMPLO. Sea F C M3 la hélice contenida en el cilindro de radio 4 ypaso de altura h — 4TT.

<\ Ya se vio en el Capítulo 3, que las ecuaciones que definen paramétri-camente a F son

x — 4 eos ty = 4 sen t

z = 2tV

lo que implica que,

debido a que v(t) = (—4sent, 4cosí, 2).

Por lo tanto, en el intervalo [0, 2TT], la longitud de esta hélice, hasta elprimer paso es

P2TT r2n

= \\v(t)\\dt=^0 Jo

= 2V207T t>

El siguiente resultado nos asegura la independencia de la longitud deuna curva respecto a una parametrización. Esto es, la definición de longitudestá bien definida, pues no depende de la parametrización escogida de lacurva.

LEMA 7.2 Sea F una curva regular parametrizada por

donde 7 = y(t), t e [a, b]. Si 7 : [c,d] —» F, con 7 = 7(7-) es otraparametrización tal que el parámetro temporal t = t(r) es una funcióndel parámetro r £ [c, d],

t:[c,d\->[a,b],




con jj-p > 0. entonces las longitudes del arco en las panunetrizaciones res-pectivas son las mismas, esto es,

e= í'\\i(t)\\dt= f WIJa Je

<\ Defínase

5 ( T ) = (rl(t.(T)),

y svn c\ vector velocidad

= i

) , x3(t(r)) = (yl(r), y2(r),

, x (dyl dy2 dy¿\1 = W(T) = - y - , - j í - , - f - ) , C<T<d.

\(IT dr d.r )

Entóneos, por definición,

£= j f \\w(T)\\dT.

Por otro lado, por La regla de la cadena,

\W(T)\\ =

dt

\

E i dxL dt

d?

De esta forma, como dt/dr > 0, por el teorema de cambio de variablese tiene que

1= J'' \\w(T)\\dT = J \\v(t{T))\\^-dT = J \\v{t)\\ dt = i

lo que concluye la demostración. >

Finalizamos con el concepto de ángulo entre dos curvas.

Consideremos ahora dos curvas regulares suaves Fi y 1^ tal que estánparametrizadas por

72 : [a, b)




respectivamente. Supóngase además que en las imágenes del punto /o seintersectan las curvas Fi y 1^, esto es,

*o) =72(^0)

Si tales curvas están definidas en coordenadas ;r, y, z por

f 7iW = (*i(*),2/2(*),2i(*))1 72(0 = (*2(0, 2/2(0, -2(0)

y son tales que sus vectores tangentes en el punto común 71 (¿()) = 72(^0)son

dx\ dyi dz

entonces es natural definir el ángulo formado por esas curvas en 71(^0) —72(¿o) como el ángulo formado por sus vectores tangentes. Esto es, si talángulo es 0, entonces

< t V >c o s * =

La figura 7.5 ilustra esta discusión.

7i

Figura 7.5: Ángulo entre dos curvas.

EJEMPLO. Sean las curvas Ti y T2 definidas por

r1:ll(t) = (t,t2) con í € [ 0 , 4 ]

r 2 : 72(0 = ( M 3 ) con ÍG[O,4]




< Es claro que 7i(l) = 72(1) = (1,1) es el punto de intersección de lascurvas Fi y IV Si nombramos a los vectores tangentes respectivos por

n = 72(1) = (1,3)

entonces el ángulo formado en (1,1) por las curvas Fi y F2 es

' = a r c c o s « R = arccos

7= arceos I , I = arceos

1 0

7.3 Ejercicios

1. Dé una orientación a las curvas definidas en los incisos a, b , c y g en elejercicio 1. del capítulo 4.

2. a. Calcule la longitud de arco de 0 a TT en las curvas de los incisos delejercicio 1.

b . Calcular el ángulo entre las curvas dadas en los puntos donde se inter-sectan.

71 (t) - (2cosí, 2sen¿), l2(t) = (¿, t2)

= (e¿cosí, e 'sení), 72(t) = (t,t)

Indicación: calcule primero los puntos de intersección.



Capítulo 8

Límites y puntossingulares

En este capítulo discutimos someramente el concepto de límite; de unafunción real de variable vectorial en un punto de acumulación del do-minio. Los temas son tratados de igual forma eme en el capítulo 2 de Reyes(1996).

8.1 Puntos de acumulación y límitesSea Í2 C Rn una región del espacio euclidiano, de dimensión n, dondeconsideramos apenas n — 2,3.

DEFINICIÓN. El punto p G R'* se dirá que es un punto de acumu-lación para la región Í2, sí toda bola Bt(p) intersecta no vacíamente a íl.Esto es, para cada bola de radio e > 0 con centro en p se encuentra unpunto q G Í2 contenido en tal bola.

Si p no es de acumulación para Í2, se dirá un punto aislado (véase lafigura 8.1).

En términos menos precisos, un punto de acumulación p de la regiónQ es aquél que está tan próximo de íl como se desee. El punto p nonecesariamente está contenido en Q, pero se puede aproximar a él porpuntos contenidos en U.

EJEMPLO. Sea Í2 = (a, b) C R1, es claro que p = a es un punto deacumulación de £2. Todo punto q G (a, b) es de acumulación.

EJEMPLO. Sea Í2 = R2 - {(0,0)}, entonces p(0,0) es un punto de acu-mulación de Í2. También todo punto q / (0,0) contenido en Í2 es de



312 Límites y puntos singulares

acumulación para Q.

EJEMPLO. Sea la región espacial

fi = {(x,y,z)\x + y + z < 1}

<! Es claro que el punto frontera p — (0,0,1) es un punto de acumulaciónde fi. Por otro lado, el punto q — (1,1,1) no pertenece a SI y además es unpunto aislado de íl. >

acumulación

aislado

Figura 8.1: Puntos de acumulación y aislados.

Definamos ahora el concepto de límite de una función real de variablevectorial en un punto de acumulación de su dominio, en términos de loslímites de funciones reales de variable real.

Sea / : íl —• R una función real de variable vectorial, y sea p € R3 unpunto de acumulación de íl. Entendamos por q = (x, y, z) el vector variabley entendemos que el punto q £ Q se aproxima al punto p por la notaciónlimg_>p.

Además, si p — {p\,P2,Pz) son las coordenadas, el número real \\q - p\\se entiende como

Il9 - P\\ = \ A * - P I ) 2 + (y - P2)2 + (* - Í> 3 ) 2 .

DEFINICIÓN. Se dice que la función /(x, y, z) tiene límite L en el puntode acumulación p de Í7, definido por

limf(x,y,z) = Lq-*p

si y sólo sí, se cumple que existe el límite real, de variable real

lim (f(x,y,z)-L) = 0lk-p||-o

Ya que conocemos del cálculo diferencial básico, el cálculo de los límitesde variable real, así como su existencia, se tiene la siguiente lista de resul-tados para los límites en variables vectoriales.



8.1 Puntos de acumulación y límites 313

LEMA 8.1 El limite de la función real de variable vectorial,

\imf(x,y,z) = L

cuando existe es único.

TEOREMA 8.1 (Aritmética de límites) Sean f,g : fi -> R dos fun-ciones reales de variable vectorial y p G E3 un punto de acumulación de laregión Q tales que,

lim f(x, y, z) = Li, lim g(x, y, z) = L2

q-*p q—*p

entonces

a. limq_p(/ ± g)(x, y, z) = limq_p f(x, y, z) ± limq_^p g(x, y, z) = Li ± L2

b. limq_>p(/^)(x, y, z) = limq^p /(x, y, z) limg_p g(x, y, 2) = LXL2

c. Cuando L2 / 0 5e ¿iene además que

,y,z) L2

Estos resultados nos garantizan el cálculo de límites de funciones enpuntos de acumulación que están contenidos en el dominio. A continuacióndamos un par de ejemplos, donde se aplica apenas una simple sustitución.


/(x, y, z) = ln(l - x - y - z) + x2 + y2 + z2 + 1

< Es claro que el punto p = (0, 0, 0) está contenido en el dominio £2 de/ y es un punto de acumulación de Q. Por el teorema anterior se tiene que

lim f(x,y,z)= lim [ln(l - x - y - z) -Yx2 +y2z2 + 1] = 1

que se obtiene de una sustitución simple. >

EJEMPLO. Calcular el límite,

lim ex+y

(x,2/)-»(l,l)

< Una sustitución directa nos lleva a que

lim ex+y = e1+1 = e2 >(x,3/)-(l,l)

El problema del cálculo de límites de variable vectorial se complicacuando el punto de acumulación p no está en el dominio natural de lafunción.




8.2 Puntos singulares

Un caso interesante de un punto de acumulación es aquél cuando no estácontenido en el dominio de una función por generar una indeterminación almomento de tratar de evaluarlo. Si en el intento de evaluación genera uncociente por cero se dice que tal punto es una singularidad algebraicade la función (véase el capítulo 2 de Reyes, 1996).

EJEMPLO. Consideremos nuevamente nuestra vieja conocida función

f(x y) -

analizada en el capítulo 4 y mostrada en la figura 4.13.

< Su dominio es la región Q = R2 — {(0,0)}, siendo el punto p = (0, 0)de acumulación de íl.

a. Tomemos una aproximación en Q a p a través el eje x, es decir mediantelos puntos de la forma (x, 0), y en este caso se tiene

,/ XV 0lim j(x,y) — lim —7——~ = lim — = lim 0 = 0

(x,y)->p (z,0)-»(0,0) X¿ -+- y x~*0 X¿ x-^0

b. Consideremos ahora una aproximación en í} a p a través del eje y, esdecir, mediante los puntos de la forma (0,?/), y en este caso se tiene

lim / (x , y) = lim — = lim — = lim 0 = 0(x,y)->(0,0) (0,y)-(0,0) X2 + y2 Í/-0 í/2 y -0

c. Si hacemos la aproximación en íl al punto /? por la recta identidad y — xse obtiene

2 2 1

lim f(x,y) = lim -5 r = lim — = lim -—- = -(x,y)->(0,0) (x,x)-»(0,0) X¿ + ?/Z x —0 X2 + X¿ x-^0 2x 2 2

De esta manera, hemos encontrado que existen trayectorias que seaproximan al punto p = (0, 0) y sus límites correspondientes no son iguales.Ya que el límite tiene que ser único por cualquier forma de aproximación,se concluye que el límite

lim(x,y)->(0,0) X- + y2

no existe. \>

Una forma más general de estudiar un límite como el del ejemplo ante-rior es usar un cambio de coordenadas . Esto es, utilizar otras variables



8.2 Puntos singulares 315

que identifiquen una posible dependencia del límite en una dirección o deuna curva.

EJEMPLO. Sea nuevamente el límite

xylim

x2 + y2

Usemos el siguiente cambio de coordenadas polares

x = r eos 9y — rsenO

Entonces el cociente dado se expresa

xy r2 eos 9 sen 9— = = eos 0 sen 0x2 -f y2 r2

De donde, en virtud de que (x, y) —•> (0,0) <€=> r —-> 0, se tiene que

xylim — = lim eos 0 sen 0 — eos 0 sen 0

(avy) —(0,0) XZ -f ?T r-+0

que depende del ángulo 9 con el cual se aproximen las variables (x, y) alorigen.

Por ejemplo, sobre la recta y — 0 (eje x) el ángulo es 0 — 0 lo queimplica que sen 0 = 0 y, por lo tanto, el límite buscado sobre esa recta escero.

Análogamente, sobre la recta x = 0 (eje y) el ángulo es 0 — \ , lo queimplica que cos# = 0 y, por lo tanto, el límite buscado sobre tal recta esigualmente cero.

En el caso de calcular sobre la recta y — x, el ángulo es 0 — TT/4 y, porlo tanto, COSTT/4 sen TT/4 — - ^ . - ^ — \ — 1/2 que es el límite calculadoanteriormente, o

EJEMPLO. Calcular el límite

hm

<1 Al usar el cambio de coordenadas (polares)

x — r eos 0y — r sen 0




se tiene que x2 + y2 = r2, de donde

Ya que (x, y) —> (0, 0) <=> r —> 0 se tiene que,

2 . 2x + y

lim — — = limo , 2 2

xz + y¿ ,. rz

r2 (\/r2 + 1 + 1) / / \= lim —^ '- = lim ( V r2 + 1 + 1 =2

Por lo tanto,

lim ^ = 2 D>(x,y)-*(0,0) ^ /x 2 + ?/2 + 1 - 1

EJEMPLO. Calcular el límite

hm —r -(*,S/)-(0,0) X2 + ?/2

< Nuevamente, usando el cambio de coordenadas anterior,

x = r eos 9, y — sen 9

se tiene que

(x + y)2 _ (reos9 + rsen<9)2 _ r 2 (cos0 + sen6>)2 _ 2r —- — - — - — cos (/ ~f~ sen oj

x2 + y2 r2 r2

que depende de la variable 9.Si se toma por ejemplo 9 = 0 (eje x) se tiene que,

l im \ + V \ = lim(cos<9 + sen<9)2 = (cosO + senO)2 = 1(x,j/) —(0,0) X2 + ? / 2 r^0

Por otro lado, si se toma 9 — TT/4 (la recta y = x) se tiene que,

lim i l ± 4 = lim(cos7r/4+sen7r/4) = f + ) = (^)2 = 2,(x,y)-(o,o) x2 + y1 r—o y 2 2 J

lo que nos dice que tal límite no existe. D>



8.3 Continuidad 317

8.3 ContinuidadAhora extendemos el concepto de continuidad que conocemos para fun-ciones reales de variable real, para funciones reales de variable vectorial.

DEFINICIÓN. Sea / : íí C R3 -> R una función y sea p <E V un puntoarbitrario del dominio. Decimos que la función / es continua en el punto

p si

a. p es un punto aislado de íí.

b. cuando p es punto de acumulación de Í2, entonces

lim f(x,y,z) = f(p)(x,y,z)-»p

Si la función / es continua en cada uno de los puntos de su dominio sedirá simplemente que / es continua.

Del teorema sobre la aritmética de limites se tiene que la suma (y difer-encia), el producto y el cociente de funciones continuas es una funcióncontinua.

Más aún, en todas las funciones vectoriales donde intervengan las fun-ciones clásicas: polinomios, exponenciales, trigonométricos, etc, con variasvariables independientes, se tendrán funciones continuas.

EJEMPLO. A continuación todas las funciones que se mencionan soncontinuas (redundante decir que en sus dominios naturales).

a. f{x,y) = 7¿p

b. f(x, y) = arcsen (x2 + y2)

d. f(x,y,z

e f(x v)

Como es de dominio general, un problema interesante es aquél cuandouna función con una singularidad p precisa de ser extendida continuamenteen tal punto. Un resultado sobre la extensión continua es el siguiente.

TEOREMA 8.2 Si f es una función continua en la región ü, C R3 y pes una singularidad de f, para que f tenga una extensión continua F en eldominio D = Q U {p} es necesario y suficiente que

lim f(x,y,z) = L(x,y,z)-*p

exista.




< En este caso, la extensión continua de / en p está dada por la función

F(x,y,z) =L si (x,y,z)=p

A continuación ilustramos el teorema 8.2 con un ejemplo.

EJEMPLO. Considérese la función

f(z,y) = f V o

¿Se puede extender continuamente la función en el punto singular p —(0,0)?

<3 Ciertamente el dominio de la función / es Í7 = R2 — {(0, 0)}, siendop — (0,0) un punto singular de / .

De manera análoga al caso de una sola variable, calculamos el límite

3 2

\imJ(xy) !im xy(x,j/)-.(O,O) ' (x,2/)->(0,0) X2 + l/2

Usando el cambio de variables mencionado anteriormente,

se tiene que

De esta

o 9

x3y2

x2 -\-y2

manera,

1 x =\y =

r3 eos3 9 r2

r2

reos 9rsen9

sen29r2 eos3 sen2

X 3 2lim / (# , y) = lim —r = lim r eos3 9 sen29 = 0) ( 0 0 ) ( ) ( 0 0 ) X 2 + ?/2 r - 0

Por lo tanto, la extensión continua de la función / en el punto está dadapor la nueva función,

(*,V) #(0,0) ^

Un resultado importante de la continuidad de una función que es deinterés en las aplicaciones en el siguiente



8.3 Continuidad 319

TEOREMA 8.3 (del valor intermedio). Si f : ü —> R es una funcióncontinua definida en una región (conexa) y para los puntos p, q € Q C Rse tiene que f(p) < f(q), entonces para todo valor c £ [/(p), /(<?)] existe unpunto r € tt, tal que f(r) = c.

< Sea 7 : [0,1] —» Í2 una curva continua tal que una a los puntos p yg € fi, es decir, tal que 7(0) = p y 7(1) = </.

Consideremos ahora la composición real de variable real,

g = f o 7 : [0,1] -> Í2 -> R

dada por

Entonces, es fácil ver que g es una función real de variable real continua,tal que g(0) = f(p),g(l) = f(q). Por el teorema del valor intermedio parafunciones continuas reales de variable real, para c G [/(p),/(<?)] existe unargumento tQ € [0,1] tal que g(t0) = c. Defínase r = 7(^0), entonces setiene que f(r) = /(7(¿o)) — 9{to) — c, lo que termina la prueba. >

Ejercicios

1. Calcular los siguientes límites.

a. lim(a.,y)^(1,2)(4x + 6?/2)

b . l im ( x , y ) _ ( _ M ) -j£^

n i;T« _ are sen (y/x)

c. lim(a.íy)_>(1.o) - —YTx^—d. lim (avy)_ (2,2)

e.

2. Analizar las siguientes funciones en el punto singular situado en el origen.¿En cuáles singularidades se puede extender continuamente la función?

a-




g. f7(x,y) = (x + y)sen±h. f8{x,y) = (x + y)sen-¿-



Capítulo 9

Valores extremos defunciones 2

En este capítulo hacemos el análisis local de una función de clase Cr alrede-dor de un punto p, para el caso en que la función está definida en una región{} del plano R . Los resultados aquí obtenidos se generalizan para más va-riables y damos ejemplos de estas generalizaciones.

9.1 Plano tangente

En esta sección introducimos el concepto de espacio tangente en un puntode un conjunto de nivel de una función real de variable vectorial, medianteel uso del vector gradiente.

Consideremos el caso Rn = R3, y sean, / : ü C R3 -> R una funciónsuave, c un valor arbitrario en R y la superficie de nivel c de / ,

Si 7 : (a, b) —> íí es una curva tal que j(t) £ 5, entonces para todot G (a, b) se cumple /(7(t)) = c.

<3 Al derivar cada lado de la igualdad respecto a t se tiene

y por La regla de la cadena, en todo el intervalo (a, 6), se cumple la igualdad



322 Valores extremos de funciones

Tomemos un punto arbitrario q G S y una curva 7 tal que 7(0) = q.Kntoiices 7(0) es un vector tangente a 7 en q.

De esto, se tiene que

Concluimos entonces que el vector gradiente Vf(¡ es ortogonal al vectortangente 7(0).

Resumiendo, dado un punto q G 5 y una curva 7(¿) G 5 tal que 7(0) = qse tiene que el gradiente de / en q es ortogonal al vector tangente 7(0) = v.Como la curva ^(t) pasando por el punto q es arbitraria, entonces se puederealizar la siguiente definición.

Figura 9.1: Plano tangente a una superficie de nivel.

DEFINICIÓN. Definimos el plano tangente TqS a la superficie de nivel5 en el punto q, como el plano pasando por q ortogonal al vector V/í/? y lodefinimos por TqS (véase la figura 9.1).

Hemos supuesto, en la definición dada, que necesariamente V/íy ^(0,0,0).

EJEMPLO. Calcular el plano tangente a la esfera x2 -f y2 + z2 = 3 en elpunto q — (1,1,1).

< La relación9 i 2 , 2 o

x +y + z = óimplica que

x2 + y2 + 23 - 3 = 0

Sea / : la función definida por



9.1 Plano tangente 323

entonces la esfera dada se escribe como la superficie de nivel

f-l(0) = {(*, y, *)!/(*, V, z) = 0} = {(z, y, z)\x2 + y2 + z2 - 3 = 0}

El punto (1,1,1) pertenece al conjunto de nivel /~1(0) , pues I2 -f-12 -h I2 —3 = 0

Después, calculamos el vector gradiente V/(i 11),

.M) = (2,2,2)

Por lo tanto, la ecuación del plano tangente a S = /~1(0) en (1,1,1) secalcula

< (2,2,2),(x,y,z) > = < (2, 2,2), (1,1,1) >

es decir, la ecuación buscada es,

2x + 2y + 2z = 6 \>

Mencionamos que la metodología utilizada para calcular planos tan-gentes a superficies se aplica también para calcular en general, los espaciostangentes de conjuntos de nivel de funciones suaves. Particularmente, elmétodo se usa para calcular rectas tangentes de curvas planas, como lomuestra el siguiente ejemplo.

EJEMPLO. Calcular la recta tangente a la curva

C : x2y + y3 = 10

en el punto (1,2).

< Consideremos la función f{x,y) = x2y + y3. Entonces, la curva dadaC está definida como la curva de nivel,

= {(x,y)\ f{x,y) = 10} = {(x,y)\ x2y + y3 = 10} = C.

Verificamos primeramente que el punto (1,2) € / - 1 ( 10 ) , pues

l2(2) + ( 2 ) 3 - 2 + 8 = 10

y después calculamos el gradiente

V/(i,2) = (2xy, x2 + 3y2)(1>2) = (4,13)

Por lo tanto, la ecuación del tangente (que es una recta) T(2,2)C es?

o equivalentemente,4x + 13y = 30 >




9.2 Puntos regulares y críticos

Sean, / : íl C R~ —•> IR una función de clase C y p = (a, 6) un punto enÍ2. Entonces, el desarrollo de Taylor de / alrededor de p hasta orden 2 estadado por

/(•'••//) = f(p) + § ; ^

si el punto variable (;r, /y) está próximo del punto p en Í2.

DEFINICIÓN. Si el punto p es tal que V/p 7 (0,0), entonces se dirá unpunto regular de / , y f(p) se dirá un valor regular.

< En este caso, podemos suponer que (p) 0, y por El teorema deTaylor , la función se escribe localmente como la aproximación

- - f(p) + ( ^

es decir, si A = f(p), B = '^(p), C = §¿(p), entonces

z = A + B(x - a) + C(y - b)

es la ecuación del plano tangente de la gráfica de la función / en el punto(p,f(p)) = {a,b,f(a,b)).

En otras palabras, alrededor de un punto regular la función / está a-proximada por la ecuación del plano tangente en una vecindad del puntop. La figura 9.2 ilustra esta aproximación. D>

Esta discusión generaliza el concepto de la recta tangente a la gráfica deuna función real de variable real de los cursos de cálculo básico, al del planotangente a la gráfica (superficie) de una función de dos variables con valoresreales. Dicho en otras palabras, la ecuación del plano tangente aproxima ala función alrededor del punto en cuestión.

EJEMPLO. Calcular aproximadamente / ( l . l , 1.1) si

<3 Aproximamos / alrededor del punto p — (1,1), calculando

d£=y d¿ = xdx x' dy y



9.2 Puntos regulares y críticos 325

lo que nos dice

üx ? ' üy

Por lo tanto, la ecuación del plano tangente de la granea de / en elpunto (1,1,0) es

z = /(1,1) + B(x - 1) + C(y - 1) - (./: - 1) + (y - 1).

que aproxima a f(x,y) — \\\{xy) alrededor del punto (1,1).De esto, la aproximación buscada se calcula por

Esto es,

2(1.1,1.1) = (1.1 - 1) + (1.1 - 1) = 0.1 + 0.1 = 0.2

ln(l . l)( l . l) «0 .2 O

• : = /(. '•.. ' /)

(T) P

Figura 9.2: Aproximación lineal de / en p.

Cuando el punto p no es regular, el problema de aproximación de unafunción / se complica. Hacemos un análisis para el caso más simple decuando no se tiene un punto regular.

DEFINICIÓN. Si V/ p = (0,0), es decir, las derivadas parciales de lafunción / se anulan en el punto p,

^(P)=O=^(P)ax üy

entonces p se dirá un punto crítico de / . Al valor f(p) se le llamará unvalor crítico.



326 Valores extremos de funciones E2

Por El teorema de Taylor, alrededor del punto p la función / está apro-ximada por el polinomio cuadrático

1 cP- f

{p){y h ?a)(y - b) 4- -—^(p)(y - b)

f)2f

lo cual puede escribirse matricialmente como

< Comprobamos que la multiplicación de las matrices señaladas enla última igualdad conducen a la expresión de la parte cuadrática de laaproximación. Al realizar el producto de las dos matrices finales, se obtienela expresión

(x-a y -b)

a?/2

lo que sigue debido a la conmutatividad de las derivadas parciales mixtasde / en p. >

La matriz cuadrada obtenida de esta manera tiene un nombre y carac-terísticas especiales.

DEFINICIÓN. La matriz de 2 x 2 dada por

se llamará matriz Hessiana de la función / en el punto crítico p.



9.3 Formas cuadráticas básicas 327

Es claro que La matriz Hcssiana ///,, es de la forma

M LA~ ' L N

y, por lo tanto, es una matriz simétrica, es decir, coincide con su trans-puesta,

At _ ( M L \

Tales matrices simétricas están estrechamente relacionadas con las lla-madas formas cuadráticas que definen superficies cuadráticas.

Repasamos , entonces, un aspecto básico de las formas cuadráticasmás simples en dos variables, eme ya hemos estudiado en el capítulo (>.

Antes de iniciar la discusión de las formas cuadráticas, definimos losconceptos de valores máximo y mínimo local de una función de argumentovectorial.

DEFINICIÓN. Sean, / : íí C R2 -> R una función arbitraria y p e íl unpunto en el dominio de / . Decimos eme la función / tiene en f(p) un

a. Valor mínimo local, si existe un número r > 0 tal que para cualquierpunto (x,?y) contenido en la bola de radio c > 0 y centro en p (Df(p)). setiene que f(p) < f{x,y)

b. Valor máximo local, si existe un número r > 0 tal que para cualquier(x,y) e Bf(p) se cumple que f{x,y) < f(p)

La figura 9.3 ilustra la definición.

Si para cualquier (x,y) G íl se cumple que / (J? , y) > /(/>) entonces f(p)se dirá un mínimo global de la función / en íl. Análogamente se defineun máximo global de la función / en íl.

9.3 Formas cuadráticas básicas

D E F I N I C I Ó N . P o r u n a f o r m a c u a d r á t i c a d e 2 x 2 e n t e n d e m o s a u n amatriz simétrica, real, de la forma

A ( NI L \ At A

tal que a una pareja de vectores £ = ( í 1 , ^ 2 ) , // = (z/1. //2) los aplica en unnúmero real q(£, q) mediante la regla matricial



328 Valores extremos de funciones E2 —» R

que definimos simplemente por rf At;, siendo £ un vector columna y jf unvector renglón.

Así, una forma cuadrática aplicará en un sólo vector £ = (£1,£2) me-diante la fórmula

generando una función q : R2 —> E que está caracterizada por la matrizdada A.

EJEMPLO. Sea la función cuadrática en las variables i¿, v dada por laexpresión

qi(u,v) = u2 + v2

O Entonces, escribiendo al vector £ = (i¿, v), podemos escribir matri-cialmente tal expresión como

qi(u,v) = u2 + 2(0)uv + v2 = (u v) ( ^ J J ( ^

de donde #i tiene asociada la matriz simétrica (forma cuadrática)

1 0

Por otro lado, en p — (0, 0) la función tiene un valor mínimo local engi(0,0) = 0

Esto se puede apreciar observando que la cuadrática z — u2 + v2 co-rresponde a un paraboloide circular que se abre verticalmente en direcciónpositiva del eje z. Si consideramos valores c G E próximos de 0, entonceslas imágenes inversas bajo / (curvas de nivel) f~l(c) corresponden a curvascerradas que de hecho son círculos con ecuaciones u2 + v2 = c.

La figura 9.4 a. ilustra a la gráfica de esta forma cuadrática en unaproximidad del origen de coordendas. O

EJEMPLO. Ahora, consideremos la forma cuadrática dada por,

^2(^7 v) — ^u — v

< Esta tiene un valor máximo local en /(O, 0) = 0 y tiene asociadala matriz simétrica

- 1 00 - 1




máximo local

mmimolocal

p p

Figura 9.3: Valores máximos y mínimos locales.

De igual forma que para el caso anterior, se observa que la gráfica deq2(u, v) es un paraboloide circular que se abre verticalmente en direcciónnegativa del eje z. También, si consideramos valores negativos c € Rpróximos del valor máximo /(O) = 0, las curvas de nivel correspondien-tes u2 -f v2 = —c son curvas cerradas, que además son círculos.

La figura 9.4 b . ilustra la gráfica de q2(u,v) es una proximidad delorigen. D>

U

Q± u* +vz b. -(u2

Figura 9.4: Formas cuadráticas ±(u2

EJEMPLO. Consideremos la función cuadrática en las variables i¿, v dadapor

qs(u,v) = u2 -v2




que tiene asociada la matriz simétrica

1 00 - 1

debido a que, si ponemos el vector £ = (i¿, v) como un vector columna,matricialmente podríamos escribir

qs(u, v) = u2 — v2 — (u v

Por otro lado, la cuadrática q2{u, v) = u2 — v2 corresponde a la gráfica dela superficie paraboloide hiperbólico. Por esto, al tomar cualquier valorc £ R próximo del valor /(O, 0) = 0, la curva de nivel asociada u2 — v2 — ccorresponde a una hipérbola, mientras que la curva de nivel /~1(0) estaformado por la pareja de rectas y = ±x que se intersecan en el origen decoordenadas.

Por lo tanto, e n p = (0,0) se tiene un punto silla /(0, 0) = 0 para lafunción q<¿ (ni valor máximo, ni valor mínimo).

La figura 9.5 ilustra esta forma cuadrática. D>

EJEMPLO. Análogamente, la forma cuadrática

tiene asociada la matriz simétrica

= -u2 +v2

- 1 00 1

y en el punto silla p = (0,0) tiene asociado un valor /(0,0) = 0 llamadotambién silla.

Zoológico de formas cuadráticas básicas

Extendemos ahora el tratado general de una forma cuadrática, bosquejandoa todas las formas cuadráticas básicas.

Dada la forma cuadrática

q(u, v) = au2 + bv2,

con a, b constantes diferentes de cero, esta función tiene asociada la matrizsimétrica

a 00




Figura 9.5: Forma cuadrática u2 — v2.

cuya gráfica tiene un comportamiento alrededor del punto (p, f(p)) —(0, 0, 0) tiene alguna de las formas mostradas en la figura 9.6.

Observamos que las formas cuadráticas básicas no tienen términoscruzados en xy. Para cuando hay tales términos, estos se pueden omitirmediante el uso del siguiente resultado del Algebra Lineal y cuya pruebapuede verse en Antón (1981).

LEMA 9.1 (de Sylvester de diagonalización) Sea la matriz simétrica

R - ( M LB - \ L N

Entonces, bajo un cambio lineal de coordenadas en el plano puede serllevada a una matriz diagonal de la forma

A =Ai 00 A2

donde X\ A2 son los valores propios de A, que satisfacen el polinomiocaracterístico,

- í!Más aún se tiene que,

detML

LN

= detAi 00 A2

— A1A2




a,b > 0 a,b < 0

a, b diferentes signos

Figura 9.6: Zoológico de formas cuadráticas básicas.

Para ilustrar el alcance del Lema de Sylvester damos el siguiente ejem-plo.

EJEMPLO. Sea la matriz simétrica

D 1 22 1

con determinante det(B) = —3.

<\ Procedemos a diagonalizar a la matriz B, calculando sus valorespropios al resolver el polinomio cuadrático,

= A2 - 2A - 3.

cuyas raíces son Ai = 1, A2 = — 3.

De esta manera, la matriz diagonalizada es

1 0A = 0 - 3



9.4 Puntos críticos no degenerados 333

cuyo determinante es det(A) = —3.

Por otro lado, la matriz A tiene asociada la forma cuadrática

q(u,v) = u2 - 3v2

que corresponde a un paraboloide hiperbólico (silla de montar) con unpunto silla en el origen (0,0,0).

Por lo tanto, la forma cuadrática asociada a la matriz B está dada enlos vectores £ = (x, y) y matricialmente por,

y

corresponde cualitativamente a un paraboloide hiperbólico con un puntosilla en el origen (0,0,0). P>

El ejemplo anterior nos muestra que para analizar y caracterizar a unpunto crítico p de una función f(x,y) es suficiente con calcular su matrizHessiana B — Hfp que es una matriz simétrica, y después diagonalizarlautilizando el Lema de Sylvester. Al obtener sus valores propios, confor-mamos la matriz diagonal

que caracteriza a una forma cuadrática básica de las mencionadas, para elcaso en que los valores propios sean ambos diferentes de cero.

9.4 Puntos críticos no degenerados

DEFINICIÓN. Sea / : tt -> R una función de clase C2 tal que en elpunto crítico p £ Q se tenga que el determinante de La matriz Hessiana

det(Hfp) = det ( | ¿ ( P ) # ( P ) ) # 0

entonces llamamos al punto p un punto crítico no degenerado.

Observamos que si la matriz diagonalizada de Hfp es la matriz

\i 00 A9



334 Valores extremos de funciones R2 —> R

entonces será suficiente que ambos valores propios Ai y A2 sean diferentesde cero para que p sea un punto crítico no degenerado, en virtud de quepor el Lema de Sylvester, det(A) = det(Hfp) = A1A2.

EJEMPLO. Sea la función cuadrática en dos variables

f(x,y) = 3x2 -\xy-Yy2

Analizar el comportamiento en sus puntos críticos mediante las matricesHessianas correspondientes.

< El conjunto Q — Dom(f) — R2 es un dominio abierto y conexo.Realizaremos el análisis de los puntos críticos. Hallamos primeramente elgradiente, calculando las primeras derivadas parciales.

?f = _4x +12dy

Es claro que

V/p = (0,0) si y sólo si,

es decir, los puntos críticos se obtienen al resolver el sistema lineal

6x - 4y = 0-4x + 2y = 0

Como el determinante principal del sistema

6 -4D = _ 4 2 = 12 - 16 = -4 / O,

entonces, x = 0, y — 0 es la única solución de tal sistema. Esto es, p — (0,0)es el único punto crítico, con valor cítico

/(0,0) = 3(0)2 - 4(0)(0) + O2 = 0

Ahora calculamos las derivadas parciales segundas,

= 6 ^ = 4 i ^dx2 ' dydx ' dy2




y obtenemos en el punto crítico p(0,0),

Por lo tanto la matriz Hessiana de / en el punto crítico p(0,0) se calcula

_ 4 2

Después, encontramos los valores propios Ai,A2 para diagonalizar lamatriz:

0 = = d e t [ l - 4 2 J " H o 1 J J = d e t ( - 4 2 - A

= ( 6 - A ) ( 2 - A ) - 1 6 = A 2 -

con lo que,

de donde,

lo que implica que en el punto (0,0,/(0,0)) sobre la gráfica de / se tieneun punto silla, y además que el punto crítico p — (0,0) es no degenerado.

Analizamos algunas curvas de nivel de / utilizando los resultados dela descripción de una forma cuadrática alrededor del origen de cordenadas.

a. Si se toma el valor z = 1 entonces

1 = 3x2 - Axy + y2

es la ecuación de una hipérbola en el plano R2

b. Al tomar el valor — 1 = z entonces se tiene,

- 1 = Sx2 -4xy + y2

que es la ecuación de otra hipérbola en R2.c. Si se considera z — 0 entonces se tiene la ecuación

0 = Zx2 - 4xy + y2




y para resolver en términos de la variable x nos da,

± y/16^2 - 12y2 iy ± 2y

1 " ~^~ " I \yes decir, la pareja de rectas

y = xy = 3x

que son las asíntotas de las hipérbolas dadas por la familia de ecuaciones

3x2 — 4xy + y2 = c

donde c £ R es valor arbitrario de la función / .La figura 9.7 describe la complejidad de la gráfica de la función / , así

como sus curvas de nivel. O

Utilizamos el ejemplo anterior para hacer la siguiente observación.

< La función cuadrática inicial tenía la ecuación

/(x, y) = 3x2 — 4xy + y2

que matricialmente se puede escribir

3 -2 \ í xv)

siendo la matriz simétrica asociada (forma cuadrática)

3 -2A~x -2 1

Por otro lado, encontramos que la matriz Hessiana en el punto críticoera la forma cuadrática

Esto ocurre debido a que en la construcción de la matriz Hessiana du-rante la discusión general se factorizó el escalar \ dando paso a la Hessianacomo se definió. D>

Utilizamos ahora toda la herramienta que se ha desarrollado, paraanalizar puntos críticos de funciones suaves de dos variables.




curvas de nivel >' gráfica

Figura 9.7: Curvas de nivel y gráfica de f(x, y) = 3x2 — Axy + y2.

EJEMPLO. Sea la función polinomial de grado 4 en dos variables dadapor la igualdad,

f(x,y) = x4 + y4 -Axy

y cuyo dominio es Í2 = R~.

<\ Calculamos sus puntos críticos, igualando las coordenadas del gra-diente a cero,

í ^=4x 3 -4 t / = 0

o equivalentemente, resolviendo el sistema de ecuaciones

x3 - y = 0y3 - x = 0

Al despejar la variable y de la primera ecuación se tendrá

= x3

y si se sustituye x3 en la segunda ecuación se tendría (x3)3 — x — 0, lo queimplicaría que x9 — x — 0. Por lo tanto, es necesario resolver la ecuaciónde grado 9,

x(xs - 1) = 0

Al factorizar el lado izquierdo de esta ecuación se tiene que

x(x4 - l)(x4 + 1) = 0 «=> x{x2 + l)(x2 - 1) = 0

lo que nos da las raíces x — 0, 1, - 1 .



338 Valores extremos de funciones R2

Al sustituir tales mices en la ecuación y = tfx nos daría que y

0, 1,-1.

Por lo tanto, los puntos críticos son p\ — (0,0), P2 = (1,1), Ps(—I, — 1) y sus valores críticos correspondientes serán,

Al calcular las derivadas parciales segundas de la función / se tiene

O2 f ., O2 f d2 f o- 4 = 12.r2, —f- = -4, - 4 = Uy2

ux- üyüx üy¿

lo que da la matriz Hessiana en cada punto crítico p,

\2x2 -4Hip " \ - 4 12</2

Procedemos a analizar cada uno de los puntos críticos obtenidos, me-diante la diagonalización de su correspondiente matriz Hessiana

a. Para el punto crítico (0,0), su matriz Hessiana es,

HfQ

Para calcular los valores propios de esta matriz resolvemos la ecuacióncuadrática característica.

-A - 4- 4 -A

- X2 - 16

lo que implica que A = ±4.

De esta forma, la matriz diagonal es la forma cuadrática

4 00 - 4

lo que nos dice que en el punto (0,0, /(0,0)) = (0,0, 0) hay un punto silla.Además en una localidad del punto crítico (0,0) las curvas de nivel

son hipérbolas cuyas separatrices son dos curvas que se intersectan en elpunto (0,0), que es no degenerado.

b. En el punto crítico (1,1), se tiene la matriz Hessiana

12 - 4




Para calcular los valores propios resolvemos la ecuación cuadrática

0 =1 2 - A - 4

- 4 1 2 - A

esto es, Ai = 16, A2 = 8.

= (12 - A)2 - 16 = A2 - 24A + 128

Lo anterior implica que /(1,1) = —2 es un mínimo local pues la matrizdiagonalizada es, en este caso,

16 00 8

En virtud de que /(1,1) = —2 es un mínimo local, se tiene que las curvas denivel de valores c próximos de —2 (de hecho mayores) son curvas cerradasque encierran al punto crítico no degenerado (1,1)

c. Análogamente al inciso anterior, en virtud de que en el punto crítico( — 1,1) la matriz Hessiana es,

12 - 4- 4 12

la función tiene un mínimo local en / ( — I, —1) = —2.

Una inspeccción simple de la gráfica de la función mediante los puntoscríticos y sus valores críticos nos asegura la forma de las curvas de nivel dela función, las cuales vienen dadas por la familia de ecuaciones

x4 -f y4 — Axy = c

siendo c 6 R un valor que está condicionado a ser > — 2 que es el valormínimo de la función.

Cuando c = — 2 las curvas de nivel se reducen a la pareja de puntoscríticos

Si — 2 < c < 0 entonces la ecuación x4-{-y4 — Axy = c describe una parejade curvas disconexas que son cerradas y encierran a los puntos críticos p\

y P2-

Si c = 0, la ecuación x4 + y4 — Axy = 0 describe una curva que es launión de otras dos que se intersectan en el punto (0,0) y conforman unafigura en forma de "ocho".

Cuando c > 0 la curva de nivel asociada se vuelve un circuito queencierra a la figura de "ocho"



340 Valores ext remos de funciones

Ya anteriormente Imbuimos mostrado este ejemplo, y ahora con el uso dela Teoría diforonciable se ha, podido hacer un análisis más preciso, pero queaún no está totalmente completado. La figura. 9.8 ilustra cualitativamenteel mapa topográfico do las curvas de nivel de la gráfica de la función. \>

mínimolocal

mínimolocal

Figura 9.8: Mapa topográfico de /(.r, y) = aA + y4 —

De hecho, aún para funciones polinomiales de dos variables, el análisisde una curva de nivel es complicado y requiere de metodología matemáticamoderna provista por áreas como la Geometría Algebraica. Hablandocon la verdad, estas herramientas están muy fuera de nuestro alcance yapelamos a las construcciones de las gráficas de funciones de dos variablesmediante las computadoras. Este análisis, aunque es cuantitativo y pocoanalítico, es de gran ayuda en los problemas prácticos.

Estos ejemplos muestran cuan complejos pueden ser las curvas de nivelasociadas a una función de dos variables.

Es claro que el problema se complica para dimensiones mayores. Así queen los subsecuentes ejemplos analizaremos apenas la forma de los puntoscríticos, teniendo en cuenta la forma local de la gráfica en una vecindad decada uno de ellos, cuando estos son no degenerados.

EJEMPLO. Analizar los puntos críticos de la función

f(x,y) =x2 + x2y + y2 + 4

< Como es sabido, los puntos críticos se calculan al resolver la ecuación




es decir, al resolver el sistema de ecuaciones

{ jf. = 2.r 4- 2.ry = 0

lo que equivale a que

2(x + xy) = 0 / : r ( l -yy )=O í "r = " ° . "2?y + :r2 - 0 ^ ^ < . ^ <=> < \

de donde

í :/; = 0 y y = —£ í r = 0, vy --= 0

1 y = - 1 y ?y = ^ ^ " ^ I y = - 1 , - = ¿v/2

lo que implica (jue los jMintos críticos buscados son

Calculamos sus valores críticos correspondientes,

La matriz Hessiana de / en cualquier punto crítico p es

2 + 2yy 2:r2./: 2

y pasamos ahora a analizar cada punto crítico obtenido.

a. En el punto crítico p\ = (0,0), tenemos la matriz Hessiana

2x \ (2 02 7((,o) V« 2

que de hecho ya es una matriz diagonal.

No obstante, para afirmar que su diagonalización es la misma, procede-mos a realizar tal diagonalización.

Para calcular los valores propios de la matriz Hj\{)()) se tiene que re-solver la ecuación

n -0 -




lo que implica que Ai = 2 = A2 > O, y por lo tanto, /(0,0) = 4 es un valormínimo local.

b . Para el punto crítico p2 = ( —\/2, —1). la matriz Hessiana es, en estecaso,

o -2V2-2>/2 22(-v/2)

Calculamos los valores propios,

0 - A -2^Q = -2>/2 2 - A

A -2\[2-2\/2 2 - A

= A2 - 2A - 8

de donde, Ai = 4 A2 = —2. Esto es, la diagonal asociada es

4 00 - 2

lo que nos dice que f(->y/2, — 1) = 5 corresponde a un valor crítico silla.

c. El punto crítico p¿ = (\/2, —1) tiene como matriz Hessiana a

Para calcular sus valores propios, es preciso resolver la ecuación

0 =0 -2 \ /

A2

2\/22 - A

A2\/2

2\/22 - A

= A2 - 2A - ,

y obtenemos nuevamente, Ai = 4, A2 = —2. Por lo tanto, / ( \ / 2 , — 1) = 5corresponde también a un valor silla.

Observamos que todos los puntos críticos de esta función son no dege-nerados, ya que todos los valores propios obtenidos no se anulan. \>


f(x, y) = xy(l - x - y) = xy - x2y - xy2

analizar sus puntos críticos mediante el método mostrado.

< El gradiente de la función es

V / P = {y- 2xy -y2, x - x2 - 2xy)p

y se anula, si y sólo si, se satisface el sistema

y - 2xy - y2 = 0x — x2 — 2xy — 0




o equivalentemente,

esto es,

lo que implica que,

y(l-2x -y) = 0x(l-x-2y) = 0

y = 0 ó 1 - 2x - y = 0y

x = 0 ó 1 - x - 2y = 0

?y = 0 y y = 0J? = 0 y 1 - 2x - y = 0?/ = 0 y 1 — :/; — 2 ;/y = 0

1 - 2x - ? / = () y 1 - :r - 2;/y = 0

de donde se obtienen los puntos críticos,

Pi - (0,0), P2 = (0,1), p-¿ =

con los valores críticos correspondientes

3,1/3) = 1/27

Procedemos a analizar los puntos críticos sabiendo que la matriz Hes-siana en cada uno de ellos viene dada por

- 2x - 2y2x

a. Para el punto crítico p\ = (0,0), la matriz Hessiana está dada por.

QH f{OÁ)) —

y sus valores propios se calculan resolviendo la ecuación

0 =-A 11 -A

de donde A = ±1 . Esto dice que /(0,0) = 0 corresponde a un valor silla.

b . En el punto p9 = (0,1), la matriz Hessiana correspondiente es,

- 2 - 1- 1 0




y sus valores propios se calculan al resolver la ecuación,

0 = - 2 - A - 1- 1 -A

Encontramos los valores propios Ai,A2 donde,

- 2 - V 8Ai = > 0, A2 = < 0

2 7 * 2

y por lo tanto /(0,1) = 0 es un valor crítico silla.

c. El punto crítico p¿ = (1,0) tiene asociada la matriz Hessiana

0 - 1

y sus valores propios se calculan mediante la ecuación

-A - 10 =

- 1 - 2 - A 2A -

que tiene soluciones

A, > 0 , x , < B

lo qua hace también de /(l,0) = 0 un valor crítico silla.

d. Finalmente, el punto crítico p¿ = (1/3,1/3) tiene la matriz Hessiana

#7(1/3,1/3) - ( __ ( - 2 / 3 - 1 / 3

1/3 - 2 / 3

y los valores propios se calculan al resolver la ecuación

- 2 / 3 - A - 1 / 3- 1 / 3

cuyas soluciones son\x = - 1 / 3 , A2 = - 1

que hace de / (^, | ) = 1/27 un valor crítico mínimo.

Nuevamente, en este ejemplo nos hemos encontrado con puros puntoscríticos no degenerados, pues todos los valores propios calculados son dis-tintos de cero. O





/(x , y) = yyfx - y2 - x -f 6y

<3 Calculamos sus puntos críticos resolviendo el sistema,

que equivale a (si x ^ 0),

= 2y - 6

Al igualar las ecuaciones obtenemos ^ = 2y — 6, y resolviendo nos day = 4.

Por lo tanto, obtenemos para x,

lo que nos dice que x — 4.

De esta forma el único punto crítico de la función es p — (4,4), y suvalor crítico es /(4,4) = 12.

La matriz Hessiana viene dada por,

HfP=\ *±

y de esta manera, la matriz Hessiana en el único punto crítico es

64 41 e

4 ~'

cuyos valores propios se calculan mediante la solución de la ecuación

107 Q0 = 64 " 4

\ -2-A

que al resolver nos da los valores de A,

_ -127 +V17665X ~ 128 > '

- 1 2 7 - V17665128

< 0



346 Valores ext remos de funciones R2 —> R

lo que hace de /(4, 4) = 12 un valor silla. Además, se tiene que el puntocrítico es no degenerado. t>

Hacemos hincapié de que el análisis de la granea de una función suavealrededor de un punto crítico no degenerado es simple y está totalmentedescrito por la zoología de las formas cuadráticas básicas y el Lema deSylvester. No obstante, cuando la matriz Hessiana en el punto crítico tieneun valor propio A = 0, el análisis se complica y su estudio sale de nuestrasposibilidades. La Teoría de singularidades y Catástrofes establecidapor R. Thom, provee de la herramienta moderna necesaria para analizarel caso mencionado. A los puntos críticos tales que su matriz Hessiana tieneun valor propio nulo, se les llama puntos críticos degenerados.

Cabe mencionar que la Teoría expuesta aquí se extiende a varias varia-bles como lo muestra el siguiente ejemplo.


f(x, y, z) = x2 + xy + y2 + yz + z2

<\ Claramente el dominio de la función / es toda la región espacial

Por otro lado, el gradiente de / está dado por

de donde Vfp — (0,0,0), si y sólo sí, se cumple

2x + y = 0x + 2y + z = 0

y + 2z - 0

El determinante de tal sistema lineal es

2 1 01 2 10 1 2

= 4 ^ 0

lo que nos dice que tal sistema sólo tiene la solución trivial p — (0,0,0),que es entonces el único punto crítico.

La matriz Hessiana es, para este caso, la matriz simétrica de 3 x 3

f)-r¿

B =

dx'óz OyOz



9.5 Multiplicadores de Lagrange 347

Procedamos a calcular los valores propios de la matriz resolviendo laecuación cúbica

0 = det

= (2 - A)

- A

2 - A1

12 - A

2 - A 1 01 2 - A 10 1 2 - A

- (2-A)(A2 -4A + 2)

Las raíces de tal ecuación cúbica son los números positivos

Ai = 2 , A2 = 2 - \ / 2 , A 3 - 2 + \/2

como se puede comprobar fácilmente.

De esta manera, la matriz diagonalizada obtenida es

/ 2 0 0A = 0 2 - y/2 0

\ 0 0 2 + V2

con la diagonal en números positivos.

Esto haría que el valor crítico /(O, 0,0) = 0 sea un valor mínimo localy que el punto crítico p — (0, 0, 0) sea no degenerado, o

9.5 Multiplicadores de Lagrange

Damos inicio ahora al estudio de los valores extremos de una función queestán sujetos a un dominio restringido dentro de su dominio natural. Paraello iniciaremos la discusión pensando que el dominio restringido men-cionado tiene una característica adecuada en su forma: es un subconjuntodel espacio, que es cerrado, y que está acotado (limitado) en el sentidoque la norma de cada uno de sus puntos está superada por un número fijoapropiado.

DEFINICIÓN. Un conjunto K C Rn que es cerrado y acotado se llamarácompacto.

Hacemos una extensión del Teorema de Weierstrass (Reyes (1996)) parael caso de una función en varias variables, con un dominio compacto.

TEOREMA 9.1 (Weierstrass) Toda función f : K -> R continua (conK compacto) alcanza sus valores máximo y su mínimo dentro de K.




Jrnin

Figura 9.9: El Teorema de Weierstrass.

< Consideremos el caso en que la función / no sólo es continua, sinoademás es suave de clase Cr (r > 1).

Si los puntos pi,P2> • * * ,Pk son críticos para la función / en el interiorde K, calculamos sus valores críticos

Después, se buscan los extremos de / en los puntosfrontera, y en tales puntos obtenemos los valores

en la

De entre el conjunto de todos los valores obtenidos

se escogen el máximo y el mínimo (véase la figura 9.9). >

Por el Teorema de Weierstrass, para calcular los valores extremos de unafunción real de argumento vectorial deñnida en un conjunto compacto K,es necesario buscar en su interior los puntos críticos y evaluarlos, además debuscar en la frontera a aquellos puntos que pudieran dar valores extremos(véase la figura 9.9).

Procedamos a dar un método para localizar a tales puntos distinguidosen la frontera de K, suponiendo que tal frontera está definida como unasuperficie de nivel. A este método se le conoce como el de multiplicadoresde Lagrange.

Sea 5 una superficie definida por una ecuación

g(x,y,z) = 0




donde g es una función suave en una región Í2 que contiene a S y tal que

tf,*)# (0,0,0)

Dada / : Í2 —> R donde U es la región conteniendo a 5, se dice que /tiene un extremo restringido a S en el punto p G 5, sí en una vecindadde p G 5 se cumple que en una vecindad de p € 5 se cumple que

f(p)>f{x,y,z)

en cuyo caso se dirá que f(p) es un máximo local de / en S. Pero si ental vecindad ocurre que

f(p)<f(x,y,z)

en este caso se dirá que f(p) es un mínimo local de / en 5.

El siguiente resultado debido a Lagrange J.L., nos indica la forma delocalizar a los puntos de S donde se encuentran los posibles extremos.

TEOREMA 9.2 (Lagrange) Si f es un extremo en el punto p G Sentonces existe un escalar A (llamado el multiplicador de Lagrange,) talque en el punto p se satisface la ecuación,

<\ Sea 7 : J —> S una curva diferenciable pasando por 7(0) = p ytomemos la composición

/ o 7 : J -> R

dada por ( / o

Entonces, por la regla de la cadena, la composición es diferenciable y

Al evaluar en el tiempo t = 0, se obtiene que

d~dt-( /o7)(0)=<V/p ,7(0)>

Ya que f(p) es extremo en S (es decir, un máximo o mínimo local sobreS) se tiene

0=^( / ° 7 ) (0 )=<V/ p ,7 (0 )>



350 Valores extremos de funciones E2

debido a que para una función real de variable real, cuando alcanza unextremo (local o global) se tiene un punto crítico en t = 0.

Como 7(0) es un vector tangente en p y la curva 7 es arbitraria, entoncesesto nos dice que el vector V / p es ortogonal al plano tangente TPS.

Ya que también \/gpl.TpS1 tendremos entonces que el vector V / p esparalelo a \7gp.

Por lo tanto , existe un número real A diferente de cero tal que V / p =AVgp (véase la figura 9.10). D>

R

• o

Figura 9.10: Multiplicador de Lagrange.

EJEMPLO. Hallar el máximo y el mínimo de la función

f(x,y) = x + y

sujetos a la restricción x2 + y2 = 1. En otras palabras, encontrar los valoresmáximo y mínimo de / sobre el círculo unitario S.

<\ Por el Teorema de Lagrange, es necesario resolver la ecuación

con g(x, y) — x2 -f y2 — 1 definiendo a S como el conjunto de nivel

Al calcular los gradientes se tiene

V/ ( l i V ) = (1,1), y Vg{x,y) = (2x,2y)

y entonces, buscamos los valores de x, y y A tal que satisfagan la ecuación

(1,1) = \(2x,2y)




sabiendo además que x2 -\- y2 — 1 — 0.

Al resolver el sistema

usando que A /

Por lo tanto,

de donde

es decir,

0, se tiene que

iV2A,

A =

II:1

1x2 + i

) ' • (

2

2Xx2Xy

= X

= y

:¿)= i

= i

1

2

= 1

V22

De esta forma, obtenemos las soluciones de x, y en el círculo dadas por,

1 ,V2 ^V2

que implica que hay 4 puntos candidatos sobre el círculo x2 -\-y2 = 1, y queestos sean,

I ) I j I ) J\ 2 ' 2 y ' ^ 2 ' 2 y ' ^ 2 ' 2 y ' \ 2 ' 2

Si evaluamos cada uno de ellos se tiene que,




P,n-y/2 -V2

2 ' 2

Figura 9.11: Extremos de x + y en el círculo unitario.

Por lo tanto, los valores máximo y minimo de / sobre el círculo unitario

son

fmax = \/2, alcanzado con el punto

frnin — — V¿, alcanzado con el punto pin =

\/2 -x/2,

2 ' 2 /La figura 9.11 ilustra este ejemplo, o

E J E M P L O . Sea la función en dos variables,

f{x,y) = x + y2

Calcular sus máximos y minimos sujetos a la restricción 2x2 + y2 — 1.

<] El gradiente de la función / se calcula,

y definimos la función auxiliar g(x, y) = 2x2 + y2 — 1 para la restricción.Entonces, la curva plana 2x2 + y2 — 1 que es una elipse, se puede escribir

como la imagen inversa de 0 bajo g, es decir g'1^) y además, sobre cadapunto (x, y) de tal curva,

Ahora buscamos A 7 0 tal que V / p = AVgp para algunos puntos (x, y)sobre la curva, esto es, tal que




o equivalentemente,1 = 4Ax2y = 2\y

sujetas a la condición de restricción 2x2 -f y2 — 1.

De la segunda ecuación, si y / 0 entonces A = 1, y de la primer ecuaciónse tendría necesariamente que 1 = 4x, lo que implicaría que x — \

Al usar la condición con x — 1/4, obtenemos,

que al resolver para y nos da,

, -

Por esto, los puntos candidatos obtenidos mediante este análisis son,

Consideremos ahora el caso cuando y — 0. Entonces, de la primerecuación (A ^ 0 ) se tiene que

1

Como que al sustituir en la ecuación de condición nos da (con y = 0),

2

í-V-i2

Tal ecuación nos provee de la solución para A,

y por lo tanto,

x = —: =- = ±—- =




De aquí, que los puntos candidatos sean en este caso,

Usando ahora el Teorema de Weierstrass, evaluamos todos los puntosobtenidos en ambos casos,

1 7 _ 94 + 8 ~ 8

y concluimos (pie, sobre la elipse 2x2 + y2 — 1, la función / tiene losextremos

/• - 2 f -^ ,J rrnix ^ i Jiiitn ^ 1^

Damos ahora un ejemplo en tres variables donde se conjugan el Teoremade Weirestrass y el método de los multiplicadores de Lagrange.


/(¿r, y, z) = x2 -f xy 4- y2 + yz + z2

Hallar sus valores máximo y mínimo dentro de la bola de radio 1 con centroen el origen de coordenadas.

< Ya que la bola de radio 1 con centro en el origen es un cerrado yacotado, (compacto) utilizamos el Teorema de Weirestrass.

Este nos indica que hay que buscar los extremos en el interior x2 4- y2 +z2 < 1 a través de los puntos críticos , y en la frontera x2 + y2 + z2 = 1mediante el método de multiplicadores de Lagrange.

1. Los puntos críticos de la función

f(x, y, z) = x2 + xy + y2 + yz + z2




se han localizado ya en un ejemplo previo (de hecho en todo R3), obte-niendo apenas el punto crítico no degenerado q = (0, 0,0) con valor crítico/(0,0,0) = 0. Esto termina la búsqueda en el interior de la bola.

2. Procedamos entonces a buscar los extremos en la frontera x2 -j- y2 + z2 =1, es decir, los extremos de / sujetos a esta última restricción.

La frontera de la bola, que es una esfera de radio 1, está definida por laecuación

x2 + y2 + z2 = 1

Al calcular el vector gradiente de / se tiene entonces,

V/ p = (2x + Í/, x + 2y + z, y + 2z)

Ahora sea la función auxiliar g(x,y, z) = x2 + y2 + z2 — 1, entonces laesfera está definida como el conjunto g~l{0), y en cada punto,

Buscamos entonces un escalar A tal que V / p = AVgp, es decir tal que

(2x + y, x + 2y + z, y + 2¿) = A(2x, 2y, 2z)

o equivalentemente que satisfaga las ecuaciones del sistema,

2x + y = 2Xx\ + 2y + z = 2\y

y + 2z = 2\z

En otras palabras, buscamos una condición para A tal que el sistema

2 ( 1 - \)x + y = 0+ 2(l - \)y + z = 02/ + 2 ( l - A ) * = O

tenga soluciones no triviales. Pero, el determinante de este sistema ho-mogéneo se anula cuando

D =2(1 -A) 1 0

1 2 (1 -A) 10 1 2 (1 -A)

lo que nos dice que hay soluciones no triviales para el sistema sólo paravalores del multiplicador A dados por

A = 1, A2i3 = 1 ± ^




Buscamos, consecuentemente:, las soluciones no triviales considerandoel sistema lineal dado por la pareja,

í 2(]2{l-\)x + y = 0-X)y + z = 0

2 ( 1 - A ) 11 2 ( 1 - A )

y para, valores que este sistema tenga soluciones no triviales se necesita que

Pero tal determinante se anula, sí y sólo sí.

1(1 - A)2 - 1 = 0

es decir. A = ^, 2/3.

Por lo tanto si A ^, entonces

D = 2 ( 1 - A ) 11 2 ( 1 - A )

y el sistema lineal inicial tiene soluciones no triviales, que a continuciónconseguimos.

Si hacemos z = t, entonces para el sistema con parámetro t,

í 2(1-X)r + y = O\ x + 2(1-\)y=-t

se tienen los determinantes

0 1-t 2 (1 -A) = t.

2 ( 1 - A ) O1 i = - 2 / ( 1 - A)

y }>or lo tanto la solución en general es la recta,

y ~^ J.

que depende de los valores encontrados de A.

Ya que tenemos las soluciones del sistema, utilizamos las condiciones delos multiplicadores obtenidos A = 1,A2,A3.

a. Multiplicador A = 1.




Se obtiene en este caso la ecuación de la recta

•x = - t

y además x¿ + y1 + z¿ = 1, de donde4 i2 + i2 — 1, lo (pie implica, (pie.

2 * 2

Por lo tanto sustituyendo el valor de / en la ecuación de la recta se tienenlos puntos,

b . Multiplicador A = 1 - ^f.

Se obtiene en este caso la ecuación de la recta dada por.

x = t— — v 2tz — t

condicionada a x2 + y2 + ¿r = 1, de donde.

2 2 2 _ 2 _ [

lo que implica (pie ¿ = ±^.

De esta manera, se tienen entonc(ís los puntos

c. Multiplicador A = 1 -f ^r

Se tiene, en este caso, el sistema solución

x = iy = \/27

z = t

y además x2 + y2 -f z2 — 1, de donde ¿2 -f 2/:2 -f f — 1, lo (pie implica que



358 Valores extremos de funciones R2 —• E

Los puntos obtenidos son, en este caso,

_ íl y/2 l \ _ í 1 -y/2 l\Vb ~ \ 2 ' ~ 2 ~ ' 2J ' P6~ y~2' 2 ' ~ 2 y

Se han obtenido mediante todo el proceso los puntos candidatos del Teo-rema de Weierstrass,

\^^T) ' [Y^^) [2, Y'2) '

(A ñ. A\ (i }H i\ (_l _ñ A\y 2 ' 2 ' 2 ) ' ^ 2 ' 2 ' 2 J ' y 2 ' 2 * 2 J

Al evaluar tales puntos obtenemos sus valores correspondientes

_ \/2 l \2 ' 2 ' 2 J

1 \/2 l

De esta manera, sobre la frontera (esfera) se tienen los valores máximoy mínimo dados por

t - 1 ^ f - 1 + ^

Consecuentemente, ya que el interior se tenía que /(0,0,0) = 0, en-tonces los valores máximo y mínimo de / en toda la bola cerrada son,

\/2fmin=0 y /max = l + -y-- >




Ejercicios1. Calcular los valores extremos locales de aula función dada, utilizandopara ello el Lema de Sylvester. Clasificarlos como máximos, mínimos osillas.

a. f{x,y) = xy'2(l - x - y)

b. f(x, y) = x2 + 4y2 - 4:r

c. /(x,2/) = (x2+y2 ) ( l -eí-J -2 +«2 ) )d. f{x,y) = e*smy

e. f{x, y) = x¿ 4- y:i - ITyxy

2. a. Dar los valores extremos de la función de dos variables /(.r. y) = x2 4y2 — xy — Ay en la región limitada por las rectas x = 0, ;¿y = 0, ./• 4- y — 1 — 0

b. Dar los valores máximo y mínimo de la función /(;/:, y) — x2 f Wy1 +x — yen el triángulo limitado por las rectas x — 1, y = 1, r + y = 1

3. Dar los valores extremos de la función dada, con la restricción que seindica.

a. f(x, ?y, z) = 2x2 + 2Í/2 - Z2, X - y + - = 0

b. /(x, í/, 2) = zexy, x2 + y2 = z

4. a. Calcular los valores máximo y mínimo de la función f(x, y) — x 4- y2

en el círculo unitario.

b. Calcular el valor máximo y el valor mínimo de la función f(x.y) =x 4- y 4- z sobre la esfera x2 -\- y2 + z2 = 1.

5. a. Calcular los valores extremos de la función f{x,y, z) — x 4- 2y — 2zen la bola unitaria x2 -\- y2 -{- z2 < 1.

b. Calcular el valor máximo y el valor mínimo de la función f(x.z) =x — y — z dentro de la bola x2 4- y2 4- z2 < 1.

6. Sea un círculo de radio R. Dar las dimensiones del triángulo eme sepuede inscribir dentro del círculo, y que tenga área máxima.

7. Hallar las dimensiones de un paralelepípedo de volumen máximo quetenga fija una área dada A.

8. De entre los rectángulos con área dada A, hallar las dimensiones deaquél que tiene perimetro con valor mínimo.

9. Dar la distancia más corta de la elipse j 4 y2 = 1 hasta la recta



Capítulo 10

Funciones implícitas

Sea íl C R" una región con frontera y sea / : S! —> f(Q) un difeomorfismoglobal , esto es, una función diferenciable, invertible con una inversa di-ferenciable g : f(Q) —» Í2. El siguiente resultado cuya prueba se omite (puesrequiere de las herramientas de la teoría de la Topología Algebraica) nosindica que los puntos interiores de Q bajo la aplicación de / son llevados alinterior de / ( í l ) , y los puntos de la frontera de íl son llevados en la fronterade f(íl). (Véase la figura 10.1).

TEOREMA 10.1 (de la invarianza del dominio) Sean fi C Rn unaregión con frontera d£l y sea f : íl -+ f(íl) C Rn un difeomorfismo global.Entonces f(Q) es una región con frontera en Rn. Los puntos interiores deü son llevados bajo f en puntos interiores de f(tt) y los puntos fronteraen dil son llevados bajo f en la frontera df(Q).

EJEMPLO. Sea la función R2 -> R2 dada por

/(#, y) = (ax, by) = (i¿, v), con a, b > 0.

<l Si se considera la región circular con frontera conformada por el discounitario de radio 1,

se tienen que bajo la función / la región f] es mapeado en la región elipsoidalcon frontera

De las ecuaciones,u = axv = by



362 Funciones implícitas

se obtienen las coordenadas inversas,

x = -a

I" dada por,que dan una función inversa '.

Claramente la función / : íl —• f(íl) es difeomorfismo que lleva elinterior del disco Q en el interior del elipsoidal / ( í í ) , llevando la fronteradel disco x2 -f y2 — 1 en la elipse ^r + p- = 1, cumpliéndose el Teorema dela invarianza del dominio, (véase la figura 10.1).

f(dü)

Figura 10.1: Teorema de invarianza del dominio.

EJEMPLO. Consideremos la transformación E2 —> R2 dada por

f(r,ip) = (rcos<¿?, rsen<¿?)

donde un punto p = (r, tp) toma unidades en números positivos para laprimer coordenada y en radianes para la segunda.

< Sea Vi la región con frontera en el plano E2 dada por el cuadrado

íí = {(r, tp)\ 0 < r < 1, 0 < if < TT/4}

entonces, de la definición d de la función / es claro que en coordenadas x, ydel codominio, las relaciones se escriben

x = r eos <¿?, y = r sen <p

que es el cambio de coordenadas cartesiano por coordenadas polares.Una simple inspección nos muestra que la región f(íl) es la cuarta

parte del círculo unitario en el primer cuadrante, con la frontera incluida.Aquí nuevamente los puntos interiores del cuadrado í} son llevados en losinteriores de f(VL) bajo la función / , y la frontera de ü en la frontera de



363

, cumpliéndose totalmente el Teorema de invarianza de dominio.

Ahora damos paso a la demostración de un resultado que es equivalenteal Teorema de la función inversa, y que en virtud de que ya se conoce éste,se presenta como una de sus consecuencias: El Teorema de la funciónimplícita. Iniciamos la discusión con un ejemplo.

EJEMPLO. Sea la función en dos variables

f(x,y)=x2 + y2

< Si c G M+ U {0} es un valor arbitrario, se tiene que la curva de nivelf~l(c) está dada por la ecuación x2 -\-y2 — c. Sea (x, y) £ / - 1 ( c ) , entoncesal despejar la variable y se tiene que y — ±\/c — x2.

Si y es una coordenada positiva, entonces necesariamente y = y/c — x2.

De esta manera la variable y se puede escribir localmente como unafunción y = h(x) en los puntos (x,y) G f~l(c), es decir para tales puntos,

la función y — h(x) se llama una función implícita para la función / .

Observamos que la derivada implícita y' se calcula mediante la deriva-ción de la igualdad x2 -\- y2 — c, es decir,

2x + 2yy' = 0

o equivalentemente,

, —2x _ x _ -x _ -xV ~~2y~ ~ y ~ h(x) ~~ 7 ^ ~ P

la cual tiene sentido para —y/c < x < y/c.

Por ejemplo si x — 0, entonces y = y/c de donde en el punto (0, y/c) setendría una pendiente ^'(O) = 0. O

Enunciamos y demostramos el Teorema de la función implicita parados variables. La generalización se muestra apenas en los ejemplos subse-cuentes.

TEOREMA 10.2 (de la Función Implícita). Sea f : íí C R2 -> Runa función de clase Cr y sea p = (a,b) £ íl tal que f(a,b) = c y tal quejff-(a,b) / 0. Entonces existe una función y = h(x) de clase Cr definidaen una vecindad del punto x — a enR, tal que h(a) = b y todos los puntos




de la gráfica de h están contenidos en el conjunto de nivel f~1(c)J es decir,sí el punto (x,y) = (x, h(x)) está en la gráfica de h en el plano, entonces,

c = f{x,y)=f(x,h(x))

<1 Sea la función definida por 0(x, y) — (x, f(x,y)). Se tiene

1 0

fx fy

donde fd. es la derivada parcial de / en la variable x, y fy la derivada parcialde / respecto a la variable y. De esto, el Jacobiano es

y por el Teorema de la función inversa, existen, una vecindad de /; en íl yuna vecindad de q = f(p) donde está definida para la función dada 0, unafunción inversa local ip de clase Cr.

Sean las coordenadas (x, z) en el codominio de ó y póngase

i¡){x,z) = (x,g(x,z))

Si además se denotan z — f{x,y) y y — g(x,z), entonces

(x, y) = ip o 0(x, y) = v((p{x, y)) = ^ ( x , / ( x , y))

(x, z) = Ó o i/;(x, z) = ó{i>{x, z)) = (P(x, g(x, z))

Definamos entonces para c = /(a, 6), la función suave de clase C'\ enla variable x en una vecindad de x = a, dada por

h(x) = g(x,c)

se tiene entonces

0(x, h(x)) = O(x, g{x, c)) = 4>(w(x. c)) = (x. c)

y por otro lado, para x en la vecindad de x = a,

0(x,/i(x)) = (x./(x./i(x)))

de donde necesariamente f(x,h(x)) — c.

Ya que c — /(a, b) y /(a, /i(a)) = c, se tiene que h(a) = b lo que terminala prueba del Teorema (véase el la figura 10.2). D>



365

bllx,h(x))

f -C

Figura 10.2: Teorema de la función implícita.

Observemos que para este caso, sí sobre la curva de nivel f(x, y) = cla variable y se puede escribir implícitamente por la función y — h(x) enla vecindad del punto (x = a,y = 6), entonces al derivar parcialmente laecuación de la curva de nivel / (# , y) = c respecto a la variable x se obtienela derivada implícita ordinaria y' = hf(x) respecto a x.

< Si f(x,y) = c, entonces, por la regla de la cadena,

dx dx dy dx

o equivalentemente, sabiendo que y = h(x)

que se puede escribir fx + fyyf = 0.

De esta manera,, = - / *

V fy

sabiendo que fy = -gf- ^ 0. D>

E J E M P L O . Sea la función en dos variables dada por,

f(x,y) = xcosxy

< Al calcular la derivada parcial respecto a la variable y se tiene

fy(x,y) = -x2senxy




y particularmente en el punto p = (1,TT/2), obtenemos

7,(1,77/2) = 1 / 0

De aquí, por el Teorema de la función implícita, existe una funcióny — h(x) en la cercanía de x = 1, tal que h(l) = TT/2 y tal que la derivadade tal función en x = 1 se calcula

, -fx cosxy - xysenxy TTy (i) - - f - l (W2) - l =

Procedamos a calcular en este caso la función implícita resolviendo elcaso general para las curvas de nivel. Si c E IR, entonces,

f(x,y) — xcosxy — c

implica que, para x ^ 0, se tiene

ceos xy = —

x

o equivalentemente, al despejar la variable y obtenemos

s I —\X /

y — — arceosx \x J

Así, en x = 1, y — TT/2 se cumple c = /(1,TT/2) = 0, de donde, laconstante c = 0 y la función particular buscada es

y = h(x) = - arceos (0) =x x

cuya derivada es,

y' = h'{x) = ^

De esta manera, y = h(l) = TT/2 y y' = ti(l) = —TT/2 lo que compruebanuestros cálculos obtenidos. D>

El Teorema de la función implícita para el caso de funciones detres variables se establece de la siguiente manera, y omitimos su pruebaque procede de igual forma que para el caso de dos variables.

TEOREMA 10.3 (Función implícita). Sea f : íí C E3 -> IR unafunción de clase Cr y sea p — (a, 6, c) un punto arbitrario de Q tal quef(a,b,c) = d y -gL(a,b,c) y¿: 0. Entonces en una vecindad del punto (a, b)en el plano, existe una función z — h(x, y) de clase Cr tal que la gráfica



367

está contenida en la stiperficie de nivel / (# , y, z) = d, esto es, para puntos(.r, y) cercanos del punto (a, b) se tiene que

f{(x,y), h(x,y)) = d y h(a,b) = c.

Más aún se cumplen las igualdades para las parciales,

El siguiente ejemplo muestra que en general no se puede calcular explí-citamente la función /i, sino que apenas se demuestra su existencia.

E J E M P L O . Sea la función

f(x, y,z) = zs - z - xy sen z

Mostrar que en una vecindad del punto (0, 0, 0) la variable z se puedeponer en función de las otras dos variables sobre la superficie de nivel

/ (a; ,2/ ,* )=/(0,0,0)=0

<\ Calculamos la derivada parcial de / respecto a z en el punto (0, 0, 0),obteniendo

^-(0,0,0) =3z2-l- *2/eos *|(o,o,o) = - 1 ^ 0

y por el Teorema de la función implícita 10.3, existe en una vecindad delpunto (0,0) en el plano, y una función z = h(x,y) de clase Cr tal que,

/i(0,0) = 0 y /(x,2/,/í(x,t/))

Por otro lado, las derivadas parciales de h en el punto (0, 0) se calculan

^ ( 0 , 0 ) = ^ ( 0 , 0 . 0 ) = q 9 ~ y S e n * (0,0,0) = 0dx fz 3z2 - 1 - xy eos z

í£(0,0) = ^ (0 ,0 ,0 ) = —r^^ (0,0,0) = 0ay fz 3z2 - 1 - xy eos z

Al tratar de proceder a buscar la función z = h(x,y) a partir de lasuperficie de nivel z¿ - z - xy sen z — 0, podemos observar que no es simpledespejar a z en términos de las otras variables (x,y), lo que nos dice que,en general, la función h mencionada en el Teorema 10.3 no es fácil deencontrar. D>




Ejercicios.

1. Mostrar que /(x, y) — c define una función implícita y — h(x) alrededordel punto dado p — (a, b). Calcular y' = h'(a).

a. f(x,y)=ycosxy en p = (TT/2, 1)b. f{x,y) = xey -y+ 4 en p = ( - 2 , l )c. / ( x , y ) = xy + y4 + x4 en p = ( l , - l )d. /0r,2/) = a;2 + 2a;2/ + 2/2 en p = (1,1)

2. Mostrar que la función f(x,y,z) — c define una función implícita z =h(x,y) en una vecindad del punto dado p = (a,b,c). Calcular ~^(a, 6) y

a. / ( T , y, 2) = 2 — 23 -f xy sen 2 en p = (0, 0, TT/2)

b . / (x , y, 2) = x2 + y2 -f z2 + 2xyz en p = (1,1,1)c. f(x, y, z) = x -y + 2z - exyz en p = (0,1,1)



índice

Algebra Lineal, 3, 331ángulo, 3Antón, 110

bola, 149

campo (s)conservativo, 257de rotación, 260escalar, 155, 176gradiente, 249vectorial, 205, 208, 249vectorial gradiente, 261

cilindrocircular recto, 282exponencial, 283sinusoidal, 283

círculo, 306unitario, 130

combinación lineal, 216compacto, 347conexo, 154conjunto abierto, 149cono

circular, 286elíptico, 286

coordenadaspolares, 315, 362pseudoesféricas, 274

curva (s), 3ángulo entre, 305, 308, 309de nivel, 335diferenciable, 133

integral, 251longitud de, 306longitud de arco de, 305orientación de, 301parametrización do, 113poligonal, 301poligonal orientada, 303regular, 134, 135, 115regular parametrizada, 112reparametrización de, 301suave por pedazos, 303

cúspide, 140

derivada, 221cociente parcial, 165conmutatividad de las segun-

das parciales mixtas. 182direcional, 176parcial, 165parcial de orden superior. 179parciales mixtas. 181, 182. 185segundas derivadas parciales.

180desigualdad del triángulo, 77desplazamiento infinitesimal. 265determinante (s), 10. 20

cofactor de un, 23elementos del, 22menor de un, 22ordenes, 30paridad de, 22Teorema del desarrollo de, 24

difeomorfismo



370 ÍNDICE

global, 361diferencial, 221

total, 195total de segundo orden, 196

dimensión, 65disconexo, 154distancia, 3, 76, 79, 121divergencia, 260

ecuaciónde Laplace, 271del calor, 269del plano, 112diferencial de Laplace, 203paramétrica, 110

elipsoide, 287, 289circular, 288

error, 186, 187escalar, 13, 18, 67esfera, 278espacio

Euclidiano, 72tangente, 321vectorial real, 70

estacionaria, 271estructura algebraica, 67

flujo, 253formas cuadráticas, 327, 328, 331frontera, 153función

clase de una, 181continua, 317continua en el punto, 317coordenada, 206diferenciare, 132, 133, 169,

221, 222implícita, 363inversa, 228, 230inversa local, 233potencial, 257vectorial, 127vectorial suave. 133

Geometría Algebraica, 164, 340gradiente, 167gráfica, 155

hélice, 131hiperboloide

circular, 281circular de dos hojas, 291circular de una hoja, 289, 290de dos hojas, 290de una hoja, 289elíptico, 291

hiperplano, 118

intervalo abierto, 149

k—ésima diferencial total, 197

Lagrange J. L., 349Lema de Sylvester de diagonali-

zación, 331ley de gravitación universal, 250ley del paralelogramo, 69límite (s), 312

aritmética de, 313cambio de coordenadas en, 314

marco, 304Mathematica, 163, 164matriz (es), 10

cuadrada, 12diagonal, 105, 331diagonalizable, 105dimensiones de una. 11ecuación característica de una,

61entrada de una, 11Hessiana, 326identidad. 20inversa, 31, 54, 55invertible, 31, 56Jacobiana. 219. 221Jacobiano de una. 233



ÍNDICE 371

nula, 12, 14operaciones elementales de, 47,

50, 52ortogonal, 63principal, 9real, 11semejante, 52simétrica, 327submatrices, 9transpuesta, 14valor propio de una, 61, 98vector propio de una, 99

método de Gauss-Jordán, 50multiplicadores de Lagrange, 348,

349

números imaginarios, 99

paraboloide, 292circular, 280, 292, 329elíptico, 293hiperbólico, 293, 330

plano (s), 3, 277tangente, 322

polinomiocuadrático, 185cúbico, 186de Taylor, 185, 191lineal, 185

problema de Dirichlet, 271punto

aislado, 311crítico, 164, 325crítico degenerado, 346crítico no degenerado, 333de acumulación, 311frontera, 153regular, 324silla, 330, 338singular, 163

recta (s), 3región, 154

regla de la cadena, 172, 223, 225regla de la mano derecha, 304Reyes J.G, 311

separatrices, 338silla de montar, 162, 293singularidad algebraica, 314sistema

compatible, 37, 49de coordenadas cartesiano, 65escalonado, 46homogéneo, 39, 42inconsistente, 48parametrizado, 39

soluciónbiparamétrica, 51paramétrica, 51trivial, 39, 40, 42

superficiebase de una, 283cilindrica, 282cónica, 283de revolución, 278directriz de una, 282generatriz de una, 282ordinaria, 277

Teorema de diferenciabilidad, 169,221

Teorema de invarianza de dominio,361, 363

Teorema de la función implícita,363, 366

Teorema de La regla de Cramer,34

Teorema de Lagrange, 349Teorema de Pitágoras, 77Teorema de Taylor, 191, 324Teorema de Weierstrass, 347Teorema del determinante de un

producto, 30Teoría de singularidades y Catástrofes,

346



372 Í N D I C E

Topología Algebraica, 361 proyección ortogonal de un,tranformación (es) 79, 80

lineal, 212 rapidez, 138transformación (es) regla de la mano derecha, 95,

elementales, 30 96lineal, 211, 213 renglón, 11

traslación de ejes coordenados, 294 resultante, 70tangente, 143

valor (es) unitario, 79crítico, 325 velocidad, 132, 138extremo restringido, 349 velocidad promedio, 132máximo global, 327 vértice, 283máximo local, 327, 328, 349mínimo global, 327mínimo local, 327, 328, 349propio, 331regular, 324

variación, 165. 176vector (es), 3, 70

aceleración, 146ángulo entre, 76, 115base canónica de, 76, 92base de, 91, 96canónico, 75columna, 11combinación lineal de, 89de Hamilton, 260de posición, 69, 71dependencia lineal de, 90director, 110linealmente independientes, 91norma del, 72, 73, 76normal, 112, 304orientación negativa, 95orientación positiva a la derecha,

95ortogonales, 77, 81paralelos, 72, 83, 85producto escalar de, 73, 86producto mixto de, 86producto punto de, 73producto vectorial de, 82proyección de un, 81



Bibliografía

Anton, H., Introducción al Álgebra Lineal, ed. Limusa, México, 1981.

Lima, E.L., Curso de Análise, Projeto Euclídes, IMPA, Rio de Janeiro,Brasil, 1992.

Reyes, J. G., Cálculo Diferencial para las Ciencias Naturales, Trillas, 1996.



CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES,se terminó de imprimir en el mes de diciembre de 2002en la Sección de Talleres Gráficos del Departamento dePublicaciones de Rectoría General de la UniversidadAutónoma Metropolitana. Se tiraron 1000 ejemplaressobre papel gráfico bond de 44.5 kgs. en tipos Times de10 y 11 pts. y Times bold de 14 pts. Diseño de portadaa cargo de D.C.G. Ma. de Lourdes Pérez Granadosde la Sección de Textos y Formación del mismoDepartamento..



ISBN: 970-31-0096-1

789703 1009659



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