ECONOMÍA DEL DESARROLLO

Segundo Semestre

CÁLCULO DIFERENCIAL

TRABAJO GRUPAL:

APLICACIÓN DE LA PRIMERA DERIVADAS

(MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS)

PROFESOR: DR. CARRIÓN BYRON

INTEGRANTES: AVILEZ JOSE LUIS (Coordinador de Grupo)

MERA DANIELA

MILLINGALLI MARTHA

MORALES MARÍA BELÉN

AULA N°: “33” AÑO: 2012

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS CÁLCULO DIFERNCIAL SEGUNDO SEMESTRE

EJERCICIO 1

La función de ganancia de la compañía Acrosonic está dada por P(x) = −¿ 0.02 x2 +

300x −¿ 200000 dólares, donde x es el numero de sistemas de sonido del modelo F

producidas por Acrosonic. Determinar dónde es creciente la función P y dónde es

decreciente.

Solución:

P(x) = −¿ 0.02 x2 + 300x −¿ 200000

La razón de cambio de P’ de la función P es

P’(x)= −¿ 0.04x + 300

−¿0.04(x – 7500) = 0

x = 7500

Así, P’(x) = 0 cuando x = 7500. Además, P’(x) > 0 para x en el intervalo (0,7500) y P’(x) < 0 para x en el intervalo (7500,∞). Esto significa que la función de ganancia P aumenta en (0,7500) y disminuye en (7500,∞).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

Unidades de millar

Miles

de dó

lares

2 Grupo N° 8

y = P(x)

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS CÁLCULO DIFERNCIAL SEGUNDO SEMESTRE

EJERCICIO 2

FUNCIONES DE GANANCIA. La subsidiaria en México de la compañía Thermo-

Master fabrica un termómetro para interiores y exteriores. La gerencia estima que la

ganancia que puede lograr la compañía por la fabricación y venta de x unidades de

termómetros por semana es P(x) = −¿0.001x2 + 8x – 5000 dólares. Encuentre los

intervalos donde la función de ganancia P es creciente y los intervalos donde P es

decreciente.

Solución:

P(x) = −¿0.001x2 + 8x – 5000

La razón de cambio de P’ de la función P es

P’(x)= −¿ 0.002x + 8

−¿0.002(x – 4000) = 0

x = 4000

Así, P’(x) = 0 cuando x = 4000. Además, P’(x) > 0 para x en el intervalo (0,4000) y P’(x) < 0 para x en el intervalo (4000,∞). Esto significa que la función de ganancia P aumenta en (0,4000) y disminuye en (4000,∞).

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

Unidades de millar

Mile

s de d

ólare

s

3 Grupo N° 8

y = P(x)

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS CÁLCULO DIFERNCIAL SEGUNDO SEMESTRE

EJERCICIO 3

Ingreso para el producto de un fabricante, la función de ingreso está dada por

r = 240 q + 57 q2 −¿q3 ¿Determine la producción para obtener un ingreso máximo?

Solución:

FUNCIÓN DE INGRESO r=240 q+57 q2−q3

La razón de cambio de r’ de la función r es

r '=240+114 p−3q2

−3 (80+38q – q2 )=0

q2−38 q−80=0

(q−40 ) (q+2 )=0

q1=40 q2=−2

0 ,40 40 ,∞+¿+ −¿

Ingreso: r (40) = 36800 Ingreso Máximo r (0) = 0 Ingreso Mínimo

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 520

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

Producción

Ingr

esos

Para obtener el máximo ingreso se debe producir 40.

4 Grupo N° 8

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS CÁLCULO DIFERNCIAL SEGUNDO SEMESTRE

EJERCICIO 4

Una empresa vende todas las unidades que produce a $4 c/u el costo total de la empresa

por producir x unidades esta dado por C = 50 + 1.3x + 0.001 x2

Determinar la fórmula para la utilidad total.

Determinar el volumen de la producción x de modo que la utilidad sea máxima.

Solución:

Utilidad = Ingreso – Costos

U = 4x −¿ (50 + 1.3x + 0.001x2)

U (x) = 4x –50 −¿ 1.3x −¿ 0.001x2

U (x) = 2.7x −¿ 0.001x2−¿ 50

La razón de cambio de U’ de la función U es

U’ (x) = 2.7 −¿0.002x

−¿(2.7 – 0.002x = 0)

x = 2.7

0 .002

x = 1350 volumen de producción

U (1350) = 2.7 (1350) −¿0.001 (1350)2 −¿50

U (1350) = 1772.50 utilidad máxima.

100 500 1000 1350 15000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

Producción

Utilid

ad

Se necesita producir un volumen de 1350 unidades para que la Utilidad máxima sea de 1772.50.

5 Grupo N° 8