Cálculo difrencial versión2

Instituto Tecnológico de Saltillo

Curso Intensivo de Cálculo Diferencial para docentes del ITS

Instructor:M.C. Ignacio Dávila Ríos

Colaboración especial:Lic. Benjamín Arellano

Periodo Agosto - Diciembre 2013

Ing. Ignacio Dávila Ríos 2

Introducción:

1. Objetivo del Curso.2. Alcance del Curso.3. Limitaciones.

Test para evaluar sus posibilidades de cometer asesinatos matemáticos

Solamente conteste con una “V” si considera verdadera la cuestión o “F” si la considera Falsa.

Cuestiones. V o F1. Si una ganancia se ha duplicado es que se ha aumentado un 200% _____2. El precio de la factura de la electricidad es directamente proporcional al consumo realizado _____3. Un terreno de mide _____4. El siglo XX acabó el 31 de diciembre de 1999 _____5. A 32° de temperatura hace calor _____6. El número mayor usando sólo dos nueves es 99 _____7. El premio mayor con el número 12,345 tiene masprobabilidades de salir que el 22,222 _____

Test para evaluar sus posibilidades de cometer asesinatos matemáticos

Solamente conteste con una “V” si considera verdadera la cuestión o “F” si la considera Falsa.

Cuestiones. V o F8. Si al comprar dos cosas iguales del segundo le cobran la mitad resulta un 50% de descuento _____9. Al comprar un producto por cada $100 de comprase te descuenta la mitad, resulta en un 50% de descuento _____10. El cuadrado de 5 euros es 25 euros al cuadrado. _____


Temario:

Unidad I. Las Funciones y sus Gráficas. Unidad II. Límites y Continuidad.

Unidad III. Derivadas.

Unidad IV. Aplicaciones de la Derivada.


Unidad I.

Las Funciones y sus Gráficas.El concepto de función es importante no solo para las matemáticas, sino también en las aplicaciones prácticas. Decimos que es una función de , cuando los valores de dependen de los valores que toma , esto lo escribimos , nombramos variable independiente a , mientras que llamamos variable dependiente a .

A menudo se definen las funciones por medio de expresiones algebraicas, esto es, por medio de fórmulas que indican la relación funcional de las variables, por ejemplo:

; ; ; ; etc.


Las leyes de la física son proposiciones respecto a la forma en que dependen ciertas cantidades de otras, cuando algunas de estas varían, por ejemplo la presión atmosférica depende de la altitud, la energía de una bala, de su masa y velocidad, el tono de la nota emitida por una cuerda vibrante depende de su longitud, de su peso y de la tensión a que está sometida; la distancia recorrida por un cuerpo en movimiento depende del tiempo, etc.

La tarea del físico consiste en determinar la naturaleza exacta o aproximada de esa dependencia funcional, esto es, en encontrar la fórmula general que indique la relación funcional entre las cantidades involucradas en el fenómeno que estudia.


Tal actitud no solo se adopta con los físicos, sino también en otras áreas como por ejemplo, en la ingeniería, economía, biología, y muchas otras. El procedimiento que se sigue para obtener dichas fórmulas es más o menos el siguiente: Observando un fenómeno llega a identificar las variables que intervienen en él. Como segundo paso, obtiene en forma experimental, valores de la variable dependiente para ciertos valores de la independiente, formando así una tabla de datos. En el tercer paso, usando un sistema de coordenadas (usualmente rectangulares, aunque también se utilizan de otro tipo) grafica estos datos; obteniendo una serie de puntos en el plano (o en el espacio). El siguiente paso, es buscar la gráfica de una función que se “parezca” más a la gráfica obtenida al unir los puntos .Tal función es considerada como la que describe en forma más aproximada el fenómeno estudiado.


Para realizar el último paso, es necesario tener un conocimiento de la representación gráfica de las funciones.En matemáticas obtenemos la gráfica de una función por medio de la fórmula de la función, dando valores a la variable independiente obtenemos valores de la variable dependiente, representando una cantidad de estos valores en un sistema de coordenadas obtenemos tal gráfica; otra forma es por medio del cálculo. El objetivo de esta unidad es el de proporcionar algunas ideas para dibujar bosquejos de las gráficas de varios tipos de funciones, partiendo del análisis de las gráficas de funciones sencillas.


DEFINICION:

Una función es una relación entre dos conjuntos de valores llamados y , para lo cual, a CADA valor del conjunto le corresponde únicamente un valor del conjunto . Esto hace que el conjunto de valores de dependan del conjunto de los valores de .

Y123412

X-2-1 0 1 2 3


Dominio Rango

Entrada x Salida yFunción f


Existen diferentes formas de representar una función.1. Podemos representar una función por medio de una tabla de valores. Si todos los valores de X son diferentes es una función.

X Y

-3 0

-2 1

-1 2

0 3

1 4

2 5

3 6

X Y

-3 0

-2 1

-1 2

0 3

1 4

-2 5

-3 6

SI e

s una

Fun

ción

NO

es u

na F

unci

ón


Existen diferentes formas de representar una función.

2. Podemos representar una función por medio de un diagrama de flechas, o diagrama sagital. Si sale una sola flecha del conjunto de valores de , es una función.

Y1234

X-2-1 0 1 2 3



2. Podemos representar una función por medio de un diagrama de flechas, o diagrama sagital. Si sale más de una flecha del conjunto de valores de NO ES una función.

Y123456

X-2-1 0 1 2 3



3. Podemos representar una función por medio de un conjunto de pares ordenados. Si todos los valores de la componente en del conjunto es diferente, si es una función.

( 𝑋 ,𝑌 )={(−𝟑 ,0 ) ; (−𝟐 ,1 ); (−𝟑 ,2 ) ; (𝟎 ,3 ) ; (𝟏 ,4 ) ; (−𝟐 ,5 ) ;(𝟑 ,0)}

( 𝑋 ,𝑌 )={(−𝟑 ,0 ) ; (−𝟐 ,1 ); (−𝟏 ,2 ) ; (𝟎 ,3 ) ; (𝟏 ,4 ) ; (𝟐 ,5 ); (𝟑 ,0)}

No es una función

Si es una función



4. Podemos representar una función por medio de una gráfica. Si se cumple la prueba de la recta vertical, si es una función.


Prueba de la Línea Vertical.

Una gráfica representa una función si al trazar a lo largo de toda la gráfica una línea vertical y toca solamente un solo punto entre esta y la gráfica.

No es una función Si es una función



5. Podemos representar una función por medio de una ecuación, para poder determinar si una ecuación es una función no es tan sencillo, se tienen que tener conocimiento de la misma.

𝑓 (𝑥 )=𝑥2+4 𝑥+4=25No es una función Si es una función


Características de una función

Son varías las características con las que cuenta una función, entre las principales se pueden exponer las siguientes:

1. Su Dominio.2. Su Rango*.3. Su simetría con alguno de los ejes .4. Si es par, impar o ninguna de las dos.5. Si es uno a uno ó biunívoca.

*También llamado Contradominio, Imagen, Ámbito, Codominio.


Dominio y Rango de una Función

El Dominio de una función se denota por todos los posibles valores que puede tomar la función a lo largo del eje de las “”.

El Rango de una función se denota por todos los posibles valores que puede tomar la función a lo largo del eje de las “”.


Dominio y Rango de una Función

¿Cuál es la forma más sencilla de encontrar el dominio y rango de una función?

La forma más fácil de encontrar el dominio y rango de una función es a través de la tabla de valores, el diagrama sagital, el conjunto de pares ordenados y también desde su gráfica, que es la más común en cálculo diferencial.


Dominio y Rango de una Función en una tabla de valores

X Y

-3 0

-2 1

-1 2

0 3

1 4

2 5

3 6

X Y

0 -3

1 -2

2 -1

3 0

4 1

5 2

6 3

X Y

-2 1

-1 2

0 3

1 4

2 5

D ominio : [−3,3 ]Rango

DominioRango

DominioRango


Dominio y Rango de una Función en una gráfica

Dominio: Rango

DominioRango

𝑓 (𝑥 )=𝑥+1



Dominio:

DominioRango

Ran

𝑓 (𝑥 )=√𝑥



Dominio:]

DominioRango

Ran



DomDominio

Rango Rango:


Tipos de Funciones más comunes.Existe una gran cantidad de funciones y de las cuales muchas son representaciones de fenómenos físicos, biológicos, químicos, de economía, astronomía, etc. A continuación se muestran las más usuales:1. Función Constante.2. Función Lineal.3. Función Cuadrática.4. Función Cúbica.5. Funciones Polinomiales.6. Función Valor Absoluto.7. Función Raíz Cuadrada.8. Función Máximo Entero.9. Función racional.10. Funciones Inversas.11. Función Compuesta y operación con funciones.12. Funciones logarítmicas y exponenciales.13. Funciones Trigonométricas, etc.


1. Función Constante.La función constante es considerada la función más sencilla, y esto es porque para cualquier valor de “” la variable “” no cambia, es decir, permanece constante. Tiene la forma:Por ejemplo,

𝑓 (𝑥 )=𝑐

5


1. Función Constante.Características: El Dominio siempre es y su Rango el valor de la constante “C”, su gráfica siempre es una línea horizontal en “”, por lo que su pendiente es cero.

5

𝑚=0

𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 :(−∞ ,∞)

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 :5


2. Función Lineal.La Función Lineal como su nombre lo dice, nos representa una línea recta, sus principales características es que posee una pendiente y siempre corta al eje de las “y” en un punto. Además que su dominio y rango siempre es La función lineal en su forma fundamental es:


2. Función Lineal.Alas formas más comunes que podemos encontrar en una función lineal son:

1. 2. , forma canónica.

donde “” es la pendiente (positiva o negativa) y “” es el valor donde intersecta la grafica con el eje “”.


2. Función Lineal.Ejemplo:

Esta es la ecuación lineal en su forma fundamental. y , por lo que la gráfica es una línea recta que esta a y que pasa por el origen.

𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 :(−∞ ,∞)𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 :(−∞ ,∞)

𝑓 (𝑥 )=𝑥



Esta es la ecuación lineal en su forma 5 y , por lo que la gráfica es una línea recta que esta por arriba de los y que pasa por el origen.


𝑓 (𝑥 )=5𝑥𝑓 (𝑥 )=𝑥



Esta es la ecuación lineal en su forma y , por lo que la gráfica es una línea recta que esta por debajo de los y que pasa por el origen.


𝑓 (𝑥 )=13 𝑥

𝑓 (𝑥 )=𝑥



Esta es la ecuación lineal en su forma negativa. y , por lo que la gráfica es una línea recta que esta a pero ahora en forma descendente y que pasa por el origen.

𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜(−∞ ,∞)𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(−∞ ,∞)

𝑓 (𝑥 )=−𝑥


2. Función Lineal.

La función lineal cuya forma es , nos muestra que la gráfica se traslada sobre el eje “”, “” unidades hacía arriba si esta sumando y “” unidades hacía abajo si esta restando.

Esto nos permite realizar trazos de funciones que denominaremos “graficación por simple inspección”, esta técnica nos evita realizar una tabla de valores y tener que evaluar la función; además nos ahorra muchos cálculos y minimiza el tiempo de graficación.


Graficación de Funciones por “Simple Inspección”.

Para realizar la graficación por “simple inspección”, se requiere conocer algunos movimientos estratégicos de las funciones, siempre se parte de la función fundamental, y los movimientos más comunes sobre la función son los siguientes:

1. Traslaciones horizontales.2. Traslaciones verticales.3. Compresión y Alargamiento Verticales.4. Reflexión.



1. Traslación horizontal de gráficas.Una traslación horizontal de una gráfica se presenta sobre el eje de las “” tal como se muestra a continuación:

Sea .

i. La gráfica de es la de desplazada unidades hacía la derecha.

ii. La gráfica de es la de desplazada unidades hacía la izquierda.



2. Traslación vertical de gráficas.Una traslación vertical de una gráfica se presenta sobre el eje de las “” tal como se muestra a continuación:

Sea .

i. La gráfica de es la de desplazada unidades hacía arriba.ii. La gráfica de es la de desplazada unidades hacía abajo.



3. Compresión y Alargamiento Verticales de Gráficas.Para cualquier constante , la forma básica de la gráfica de es igual que la de , pero con un cambio en la escala vertical. Los dominios de y son iguales, y las gráficas tienen las mismas abscisas al origen.

Para .La gráfica de es un alargamiento vertical.

Para .La gráfica de es una compresión vertical.



4. Reflexión de Gráficas.Para cualquier constante , la forma básica de la gráfica de es igual que la de , pero con un cambio en la escala vertical. Los dominios de y son iguales, y las gráficas tienen las mismas abscisas al origen.

La gráfica de es una reflexión respecto del eje x de la de


Graficación de la Función Lineal por simple inspección.

La función lineal cuya forma es , nos muestra que la gráfica se traslada sobre el eje “”, “” unidades hacía arriba si esta sumando y “” unidades hacía abajo si esta restando, como en el siguiente ejemplo:

𝑓 (𝑥 )=𝑥+3

En este ejemplo tenemos que observar primero que se trata de una función lineal, por lo que tenemos que partir de la función fundamental , (siempre se parte de esta función), luego como la pendiente es decimos que esta a por lo que la función únicamente muestra una traslación vertical hacía arriba “” unidades.


2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección.

𝑓 (𝑥 )=𝑥+3 𝑓 (𝑥 )=𝑥

𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑜 :(−∞ ,∞)𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 :(−∞ ,∞)


2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección.𝑓 (𝑥 )=𝑥−2


𝑓 (𝑥 )=𝑥

𝑓 (𝑥 )=𝑥−2


2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección.𝑓 (𝑥 )=3 𝑥−2


𝑓 (𝑥 )=𝑥𝑓 (𝑥 )=3 𝑥−2

Como la línea se inclina un poco más hacía el eje de las “”.



𝑓 (𝑥 )=13 𝑥−2


𝑓 (𝑥 )=𝑥

Como la línea se inclina un poco más hacía el eje de las “”.

𝑓 (𝑥 )=13 𝑥−2



La función lineal cuya forma es , nos muestra que la gráfica se traslada “” unidades sobre el eje “” y “” unidades sobre el eje “”, como en el siguiente ejemplo:

𝑓 (𝑥 )=(𝑥−2 )+1

En este ejemplo tenemos que observar primero que se trata de una función lineal, por lo que tenemos que partir de la función fundamental , luego que existe una traslación de 2 unidades a la derecha y 1 unidad hacía arriba.


2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección.𝑓 (𝑥 )=(𝑥−2 )+1


𝑓 (𝑥 )=𝑥

El punto pivote se recorre primero 2 unidades a la derecha y 1 hacía arriba a .

𝑓 (𝑥 )=(𝑥−2 )+1

Punto pivote


2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección.La función lineal cuya forma es , nos muestra que la función no esta despejada para la variable “”, por lo que se despeja y se pone en la forma canónica. Como por ejemplo:

−4 𝑥+2 𝑦=−8Despejando la variable “” tenemos,

2 𝑦=4 𝑥−8𝑦=2 𝑥−4

Para graficar tenemos que observar que como , su pendiente es positiva y se aproxima al eje “” en forma ascendente. Y como tiene la forma , tiene una traslación sobre el eje de las “” negativas 4 unidades.


2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección.En resumen:

es la función fundamental, con pendiente , y , de esta se debe de partir para graficar cualquier otra.

nos muestra la inclinación de la línea, esta en forma ascendente si y descendente si .

Si la gráfica se proyecta hacía el eje de las “”. Si la gráfica se proyecta hacía el eje de las “” negativa. Si , la gráfica presenta una traslación sobre el eje de las “”,

unidades. Si , la función tiene una traslación sobre el eje “” , y sobre el eje “” Una recta con pendiente , es horizontal.


2. Función Lineal.

Ejercicio 1.1 En los ejercicios 1 a 10, determine el dominio, rango y gráfica de cada una de las funciones:


2. Función Lineal.

Ejercicio 1.2 En los ejercicios 1 a 5, Conteste lo que se pide:

1. ¿Qué valor debe tomar “”, si se tiene una función lineal a?:a) , b) , c) con respecto del eje “”.

2. ¿Hacía donde y cuanto se traslada la gráfica de ?.3. De la siguiente función ¿hacía donde se inclina la gráfica de la función: ?.4. ¿En que función se convierte una ecuación lineal cuya pendiente es ?.5. ¿Que valor debe tomar la pendiente “” de una función cuya inclinación esta en forma descendente?.


3. Función Cuadrática.Una función definida por una ecuación de la forma:

, donde

Es una función cuadrática, y su gráfica es una parábola.La parábola más sencilla corresponde a elevar al cuadrado una función, definida por ; esto es, la ecuación cuadrática donde , y .

𝑦=𝑥2

54

3. Función Cuadrática.

La función cuadrática, en su forma fundamental es , y nos representa gráficamente una parábola. Sus principales características son que la parábola puede abrir hacía arriba o hacía abajo. El dominio de esta función siempre es en todos los casos y el rango va desde el punto pivote hasta o . Además de que la parábola puede abrirse o cerrarse dependiendo del valor de “”.

𝑦=𝑥2

𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 :(−∞ ,∞)R𝑎𝑛𝑔𝑜 :¿

Punto pivote o Vértice

(𝟎 ,𝟎)



Alas formas más comunes que podemos encontrar en una función cuadrática son:

1. 2. , forma canónica.



La función cuadrática, en su forma , nos representa gráficamente una parábola que de acuerdo a su valor de “” se cumple lo siguiente:

i. La gráfica abre hacía arriba cuando , y abre hacía abajo cuando .

ii. Cuanto mayor es la magnitud de “”, la gráfica tiene mayor pendiente y es más cerrada que la fundamental .

iii. Para valores de , la parábola es más abierta.



La función cuadrática, en su forma , para: a) y b)

𝑦=𝑥2


𝐹𝑖𝑔 .1𝑎¿𝑝𝑎𝑟𝑎𝑎=1 𝐹𝑖𝑔 .1𝑏¿𝑝𝑎𝑟𝑎𝑎=−1

𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 :(−∞ ,∞)](𝟎 ,𝟎)

(𝟎 ,𝟎)



La función cuadrática, en su forma , para

𝒚=𝒙𝟐


𝑦=2 𝑥2

𝑦=3 𝑥2

𝒚=𝟒 𝒙𝟐

(𝟎 ,𝟎)




𝒚=𝒙𝟐


𝑦=12 𝑥

2

𝑦=13 𝑥

2

𝒚=𝟏𝟒 𝒙𝟐

(𝟎 ,𝟎)




𝒚=−𝒙𝟐

𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 :(−∞ ,∞)]

𝑦=−2𝑥2𝑦=−3𝑥2

𝒚=−𝟒 𝒙𝟐

(𝟎 ,𝟎)



La función cuadrática, en su forma , para 0

𝒚=−𝒙𝟐


𝑦=− 12 𝑥

2𝑦=− 1

3 𝑥2

𝒚=−𝟏/𝟒 𝒙𝟐

(𝟎 ,𝟎)



La función cuadrática, en su forma

𝑦=(𝑥−1)2


(𝟏 ,𝟎)

3. Función Cuadrática.La función cuadrática, en su forma ,

Ejemplo: ,

Solución: Para solucionar esta función es necesario transformar la función a su forma canónica que es: .

Primero, si el trinomio no es al cuadrado perfecto, hay que forzarlo:

Ahora se suma y se resta el término dentro de los paréntesis:


Ejemplo: ,

Solución: Primero se completa el cuadrado de esta ecuación cuadrática sumando y restando el termino

Para obtener:

Esta ecuación está en su forma canónica, y de acuerdo a lo aprendido anteriormente podemos aplicar la traslación de funciones, para este ejemplo la parábola esta recorrida 1 unidad hacía la derecha y 2 unidades hacía arriba.


Ejemplo: , que en su forma canónica es:


(𝟏 ,𝟐)


Ejemplo: ,

Sol. Primero se completa la ecuación para llegar al término cuadrático, luego con la traslación de funciones se llega a la gráfica.Factorizar el 2 de los primero dos términos y sacar el tercero.Calcular el tercer término del paréntesis mediante y sumar y restar a la ecuación. , , .


Ejemplo: ,

Sol. Completar el trinomio al cuadrado perfecto.Simplificar para llegar a la forma canónica

.Para graficar, hay que realizar una traslación de 3 unidades hacía la izquierda, seguida por 1 lugar hacía abajo y sufre una compresión de la parábola con un factor de 2.


Ejemplo: ,

Sol. .𝒇 (𝒙 )=(𝒙+𝟑 )𝟐 𝑓 (𝑥 )=𝑥2


Ejemplo: ,

Sol. .𝒇 (𝒙 )=(𝒙+𝟑 )𝟐−𝟏 𝑓 (𝑥 )=𝑥2


Ejemplo: ,

Sol. .𝒇 (𝒙 )=(𝒙+𝟑 )𝟐−𝟏

𝑓 (𝑥 )=𝑥2

𝒇 (𝒙 )=𝟐 (𝒙+𝟑 )𝟐−𝟏


(−𝟑 ,−𝟏)


Si la función se torna un poco más compleja, como en el ejemplo siguiente, se puede hacer uso de las siguientes ecuaciones para facilitar calcular la forma canónica y encontrar su vértice.

Ejemplo: ,

Identifica los valores de y y sustitúyelos en las siguientes ecuaciones:

Vértice en: .


Ejemplo: ,

Si y y sustituyendo en las siguientes ecuaciones tenemos:

, forma canónica


Ejemplo: ,

Si y y sustituyendo en las siguientes ecuaciones tenemos:Vértice en: .

La parábola abre hacía abajo y se expande con factor de .

3. Función Cuadrática.Ejemplo: ,

, forma canónica

(𝟑 ,𝟔)

𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 :(−∞ ,∞)]


3. Función Cuadrática.Ejercicio 2.1 Grafique cada una de las siguientes funciones y determine el dominio y rango de la misma.

1. 4


4. Función Cúbica.Una función definida por una ecuación de la forma:

, donde Es una función cúbica, y su gráfica se muestra en la sig. figura.La función cúbica más sencilla corresponde a elevar al cubo una función, definida por ; esto es, la ecuación cúbica donde , , y .

𝑦=𝑥3

77

𝑦=𝑥3

4. Función Cúbica.

La función cúbica, en su forma fundamental es . Sus principales características son que el dominio y rango de esta función siempre es en todos los casos. Además de que la gráfica puede abrirse o cerrarse dependiendo del valor de “”.

𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 :(−∞ ,∞)R𝑎𝑛𝑔𝑜 :(−∞ ,∞ )

Punto pivote

(𝟎 ,𝟎)



La función cúbica, en su forma , para: a) y b)

𝑦=𝑥3

𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 :(−∞ ,∞)R𝑎𝑛𝑔𝑜 : (−∞,∞ )

𝐹𝑖𝑔 .1𝑎¿𝑝𝑎𝑟𝑎𝑎=1 𝐹𝑖𝑔 .1𝑏¿𝑝𝑎𝑟𝑎𝑎=−1

𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 :(−∞ ,∞)R𝑎𝑛𝑔𝑜 : (−∞,∞ )

(𝟎 ,𝟎) (𝟎 ,𝟎)

𝑦=−𝑥3



La función cúbica, en su forma , para

𝒚=𝒙𝟑


𝑦=2 𝑥3

𝑦=3 𝑥3

𝒚=𝟒 𝒙𝟑

(𝟎 ,𝟎)



La función cúbica, en su forma , para -1

𝒚=−𝒙𝟑


𝑦=−2𝑥3

𝑦=−3𝑥3

𝒚=−𝟒 𝒙𝟑

(𝟎 ,𝟎)




𝒚=𝒙𝟑


𝑦=12 𝑥

3

𝑦=13 𝑥

3

𝒚=𝟏𝟒 𝒙𝟑

(𝟎 ,𝟎)




𝒚=−𝒙𝟑


𝑦=− 12 𝑥

3

𝑦=− 13 𝑥3

𝒚=−𝟏𝟒 𝒙𝟑

(𝟎 ,𝟎)

83


La función cúbica, en su forma canónica es . Para trazar estas gráficas es necesario utilizar la técnica de “Graficación por Simple Inspección”, es decir, las traslaciones horizontales y verticales, la reflexión y la compresión o alargamiento de la función.

Ejemplo: Trace la gráfica de la siguiente función:

1

Solución: Es una función cúbica que se comprime un factor de 3, seguida por una traslación hacía la derecha de 2 unidades y finalmente 1 unidades hacía arriba.

84

4. Función Cúbica.Ejemplo: Trace la gráfica de la siguiente función y determine el dominio y rango:

1

𝒚=𝒙𝟑𝒚=𝟑 𝒙𝟑

1

𝑦=3 (𝑥−2 )3

𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 :(−∞ ,∞)R𝑎𝑛𝑔𝑜 :(−∞ ,∞ )

85


La función cúbica en su forma:

,

No es tan sencillo de graficar, aquí se requiere determinar los ceros del polinomio o mejor conocido como las raíces del polinomio, por lo que se deja abierto el tema al alumno para su posterior aprendizaje.


5. Función Valor Absoluto.Una función definida por una ecuación de la forma:

𝑦= 𝑓 (𝑥 )=|𝑥|Es una función valor absoluto, y matemáticamente se define como:

El valor absoluto , es la distancia de al origen. Cuando , la gráfica coincide con la de la recta ; cuando , coincide con la recta . Por lo tanto.

cuando .


5. Función Valor Absoluto.

La gráfica función valor absoluto, en su forma fundamental esta denotada por la ecuación:

𝑦=|𝑥|



La gráfica función valor absoluto, en la forma: representa la reflexión de la de .

𝑦=−|𝑥|



Use la gráfica de para trazar por simple inspección la de:.

𝑦=|𝑥|

(𝟏 ,−𝟐)


Realizado por: Ing. Ignacio Dávila Ríos

e-mail: [email protected]/davila

Lic. Benjamín Arellano Orozcoe-mail: [email protected]

mailto:[email protected]

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