C´alculo en varias variables para Ciencias Qu´ımicas y Ambiental - … · 2018-12-12 ·...

Calculo en varias variables

para Ciencias Quımicas y Ambiental

Andres Duran Poblete

Concepcion, Enero de 2008

PROLOGO

Este texto es para ser usado como apoyo por los alumnos de CienciasQuımicas e Ingenierıa Ambiental, que cursan las asignaturas de Calculo oMatematica III que dicta el Departamento de Ingenierıa Matematica de laFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas de la Universidad de Concepcion.

Los diferentes contenidos involucrados en el curso al igual que los ejerciciosson desarrollados en un lenguaje simple y de una manera directa, lo que facilitala comprension a los alumnos.

Tambien, para cada capıtulo desarrollado en este libro, se incluye unaseccion donde se desarrollan algunos ejercicios computacionalmente, situacionque resultara muy interesante para el alumno, sobre todo con lo que tiene quever con la parte grafica; lo cual se da mucho en los capıtulos 2 y 3. El lenguajede computacion que se ha elegido para tales efectos es el lenguaje Maple, que esde un manejo relativamente facil; dado que dispone de librerias para distintostemas que facilitan mucho la programacion. Aparte de lo anterior, se incluyeun disco compacto con un software para varias materias desarrolladas en loscursos, en que cada programa puede ser usado en forma directa e interactivapor el alumno.

Deseo hacer notar que todo este trabajo es un Proyecto de Docencia quenacio de la idea en conjunto con el Profesor Francisco Cheuquepan (q.e.p.d.)y por lo tanto deseo dedicarle en parte a el dicho trabajo.

Deseo expresar tambien, mis agradecimientos a mis ex-alumnas, ahoraingenieros matematicos, Marcela Torrejon y Fabiola Lobos, por sus apoyos enel area computacional y aporte de ideas.

Andres Duran P.

Indice general

1. ALGEBRA LINEAL 11.1. ESPACIOS VECTORIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Definicion y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3. Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4. Bases y Dimension de un Espacio Vectorial . . . . . . . . 10

1.2. TRANSFORMACIONES LINEALES . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.1. Definiciones y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.2. Representacion Matricial de una Transformacion Lineal 29

1.3. VALORES Y VECTORES PROPIOS . . . . . . . . . . . . . . 361.4. APLICACION DE MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.5. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2. FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES 512.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2. LIMITES Y CONTINUIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3. DERIVADAS PARCIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4. GRADIENTE Y DIFERENCIAL TOTAL . . . . . . . . . . . . 652.5. ROTOR Y DIVERGENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.6. REGLA DE LA CADENA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.7. VALORES EXTREMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.8. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE . . . . . . . . . . . . . 882.9. APLICACION DE MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.10. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3. INTEGRALES MULTIPLES 1033.1. INTEGRALES DOBLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.2. INTEGRALES TRIPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.3. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MULTIPLES . 1203.4. APLICACION DE MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.5. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

4. SERIES INFINITAS 1354.1. SUCESIONES INFINITAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.2. SERIES INFINITAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1404.3. SERIES DE POTENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484.4. SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN . . . . . . . . . . . . . 152

i

ii INDICE GENERAL

4.5. APLICACION DE MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564.6. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Capıtulo 1

ALGEBRA LINEAL

1.1. ESPACIOS VECTORIALES

1.1.1. Introduccion

Los conjuntos IR2 de puntos en el plano y IR3 de puntos en el espaciopueden representar vectores en el plano y en el espacio, respectivamente. Ası,un punto (a, b) en IR2 representa a un vector v en el plano si es definido comov = (a, b) y geometricamente corresponde a un segmento de recta dirigidoque va desde el origen, el punto (0, 0), al punto (a, b). Analogamente, el punto(a, b, c) de IR3 representa un vector v en el espacio si es definido como v =(a, b, c) y geometricamente corresponde a un segmento de recta dirigido que vadesde el origen, el punto (0, 0, 0), al punto (a, b, c).

x

y

z

0

y

0x

b

a

a

b

c

vv

De acuerdo a lo anterior, los conjuntos IR2 y IR3 pueden ser definidoscomo el conjunto de vectores en el plano y el conjunto de vectores en el espacio,respectivamente. Dados estos conjuntos, se pueden definir algunas operaciones.

Definicion 1.1. Sean u = (a, b) y v = (c, d) dos vectores de IR2 y α un numeroreal, entonces se define la suma de u y v, denotada por u + v, como:

u + v = (a + c, b + d)

1

2 CAPITULO 1. ALGEBRA LINEAL

y la multplicacion por escalar de α y u, denotada por αu, como:

αu = (αa, αb)

Observacion 1.1. En forma totalmente analoga estas dos operaciones puedenser definidas para vectores en IR3.

Las operaciones de suma y multiplicacion por escalar para vectores de IR2

y IR3 tienen muchas propiedades interesantes. Por ejemplo, se puede verificarfacilmente que, con respecto a la suma, los vectores de IR2 cumplen las leyesconmutativa y asociativa.

Si u es un vector de IR2 entonces

u + θ = θ;

donde θ = (0, 0), llamado el vector nulo o vector cero. Tambien,

u + (−u) = θ;

donde −u es el llamado vector inverso del vector u. Ası, si u = (a, b),entonces −u = (−a,−b). Con respecto a la multiplicacion por escalar, sepueden obtener leyes distributivas.

Las propiedades para la suma y multiplcacion por escalar en IR2, tambienson cumplidas por los vectores en IR3.

Los conjuntos IR2 y IR3, con las operaciones de suma y multiplicacion porescalar definidas, constituyen lo que se llama un espacio vectorial.

1.1.2. Definicion y Propiedades

Antes de definir un espacio vectorial, se hacen algunos alcances:

i) En general, los espacios vectoriales estan definidos sobre conjuntos deelementos que deben cumplir ciertas propiedades para constituirse en loque se denomina un cuerpo. Los elementos de un cuerpo generalmentereciben el nombre de escalares. En este libro, los espacios vectorialesseran referidos sobre el cuerpo de los numeros reales IR y que por endeseran llamados espacios vectoriales reales.

ii) En la definicion de un espacio vectorial hay involucradas dos operaciones:suma y mutiplicacion por escalar, de tal manera que para dos elementosu y v de un espacio vectorial y α un escalar, entonces la suma de u yv se escribira como u + v y la multiplicacion por escalar de α y u seescribira como αu.

Definicion 1.2. Un espacio vectorial V es un conjunto no vacıo de elemen-tos, llamados vectores, que junto con las operaciones suma y multiplicacionpor escalar satisfacen las siguientes propiedades:

1.-) u y v ∈ V ⇒ u + v ∈ V .

1.1. ESPACIOS VECTORIALES 3

2.-) u y v ∈ V ⇒ u + v = v + u.

3.-) u, v y w ∈ V ⇒ (u + v) + w = u + (v + w).

4.-) En V existe un unico vector θ, llamado vector cero, tal que para todou en V , u + θ = u.

5.-) Si u esta en V existe un unico vector −u en V , llamado el inversoaditivo de u, tal que u + (−u) = θ.

6.-) Si u esta en V y α es un escalar, entonces el producto por escalar αuesta en V .

7.-) Si u y v estan en V y α es un escalar entonces α(u + v) = αu + αv.

8.-) Si u esta en V , α y β son escalares entonces (α + β)u = αu + βu.

9.-) Si u esta en V , α y β son escalares entonces α(βu) = (αβ)u.

10.-) Para todo vector u que esta en V , 1u = u.

Observacion 1.2.

1.- De la propiedad 4.-), el conjunto V no debe ser vacıo (V 6= φ).

2.- Para todo par de vectores u y v de un espacio vectorial V , u + (−v) seescribe como u− v y se denomina diferencia entre u y v.

Ejemplo 1.1. Sea V = IR3 el conjunto que representa los puntos (o vectores)en el espacio; es decir,

IR3 = {(x, y, z) : x ∈ IR, y ∈ IR, z ∈ IR}

Entonces, IR3 con las operaciones de suma y producto por escalar siguientes:

- Si u = (x1, y1, z1) y v = (x2, y2, z2) son dos elementos de IR3, entonces:

u + v = (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)

- Si α es un numero real y u = (x, y, z) es un elemento de IR3, entonces:

αu = α(x, y, z) = (αx, αy, αz)

es un espacio vectorial.Aquı, el vector cero es el elemento (0, 0, 0) y para cualquier elemento

u = (x, y, z) de IR3, el inverso aditivo de u es −u = (−x,−y,−z). Conestos elementos es facil verificar las propiedades 1.-) a 10.-) de los espaciosvectoriales.

�


Ejemplo 1.2. En general, el conjunto V = IRn, n ∈ IN , que denota el con-junto de las n-uplas de numeros reales;

IRn = {(x1, x2, ..., xn) : x1 ∈ IR, x2 ∈ IR, ..., xn ∈ IR},

IRn constituye un espacio vectorial con las operaciones de suma y producto porescalar siguientes:

- Si u = (x1, x2, ..., xn), v = (y1, y2, ..., yn) son dos elementos de IRn en-tonces:

u + v = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn)

- Si α es un numero real, u = (x1, x2, ..., xn) es un elemento de IRn enton-ces:

αu = (αx1, αx2, ..., αxn).

Las operaciones recien definidas sobre IRn son las llamadas operaciones usua-les.

�

De manera similar al ejemplo anterior, se tiene que el vector cero es θ =(0, 0, ..., 0) y para cualquier elemento u = (x1, x2, ....., xn) el inverso aditivo deu es −u = (−x1,−x2, ...,−xn). Dados estos elementos, es sencillo verificar laspropiedades de espacios vectoriales.

Ejemplo 1.3. Sea V = Pn, n ∈ IN , el conjunto de polinomios con coeficientesreales de grado menor o igual que n; es decir, si p ∈ Pn entonces:

p = anxn + an−1x

n−1 + ... + a1x + a0,

donde a1, a2, ..., an son numeros reales. Sobre el conjunto V se definen lassiguientes operaciones de suma y producto por escalar:

- Si p = anxn+an−1x

n−1+...+a1x+a0 y q = bnxn+bn−1xn−1+...+b1x+b0

son dos elementos de V , entonces:

p + q = (an + bn)xn + (an−1 + bn−1)xn−1 + ... + (a1 + b1)x + a0 + b0

- Si α es un numero real y p = anxn + an−1x

n−1 + ... + a1x + a0 es unelemento de V , entonces:

αp = (αan)xn + (αan−1)x

n−1 + ... + (αa1)x + αa0


El conjunto V con estas dos operaciones cumple las propiedades de la Defini-cion 1.2 y es un espacio vectorial. Notemos que tanto la suma de dos polino-mios de grado menor o igual que n como el producto por escalar de un numeroreal por un polinomio de grado menor o igual que n son tambien polinomiosde grado menor o igual que n. El vector cero corresponde al polinomio nuloθ = 0xn +0xn−1 + ....+0x+0. Ademas si p = anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x+ a0

es un elemento de V , entonces el inverso aditivo −p esta dado por −p =−anxn − an−1x

n−1 − ... − a1x − a0.

Las operaciones definidas son las llamadas operaciones usuales paralos polinomios de orden menor o igual que n

�

Ejemplo 1.4. Sea V = Mmxn(IR), m ∈ IN y n ∈ IN ; el conjunto de lasmatrices de orden m por n con elementos reales. Con las operaciones de sumay producto por escalar conocidas, V es un espacio vectorial para todo enteropositivo m y n.

En este caso, el vector cero es la matriz de orden m por n con todos suselementos iguales a cero. Si A = (aij), entonces el inverso aditivo de la matrizA es −A = (−aij).

�

En el siguiente resultado se enuncian, sin demostracion, algunas propie-dades basicas que cumplen los espacios vectoriales y que se utilizan regular-manete.

Teorema 1.1. Sea V un espacio vectorial, entonces:

1. Para todo escalar α y θ, el vector cero de V , se tiene que

αθ = θ

2.- Sea u un vector cualquiera de V , entonces

0u = θ.

3.- Sea α un escalar y u un elemento de V , se tiene que:

Si αu = θ, entonces α = 0 o u = θ.

4.- Sea α un escalar y u un vector de V , se tiene que

(−α)u = −(αu).

5.- Dados los vectores u, v y w de V ,entonces

u + v = u + w =⇒ v = w.


1.1.3. Subespacios

En muchas situaciones puede darse que un subconjunto de un espacio vec-torial tambien sea un espacio vectorial. Por ejemplo, de la subseccion anterior,se sabe que el conjunto M2x2(IR) es un espacio vectorial. Ahora, si se toma elconjunto D2×2(IR), que denota el conjunto de las matrices diagonales de 2x2con elementos reales; es decir,

D2×2(IR) =

{(

a 00 b

)

: a y b son numeros reales

}

;

D2×2(IR) es un subconjunto de M2×2(IR). Es claro tambien que sumar dos ma-trices diagonales de 2 por 2 da una matriz diagonal e igualmente al multiplicarun escalar por un matriz diagonal de 2 por 2. Tanto el vector cero (matriznula) como el vector inverso aditivo de cualquier elemento de S son obtenidosa partir del caso general del espacio vectorial M2×2(IR). Con estos alcances,se puede verificar que el conjunto D2×2(IR) cumple las diez propiedades deespacio vectorial.

De acuerdo a lo anterior, se tiene la siguiente definicion respecto de estossubconjuntos.

Definicion 1.3. Un subconjunto S, no vacıo, de un espacio vectorial V , sedice que es un subespacio vectorial o subespacio de V si, S es un espaciovectorial bajo las operaciones de suma y producto por escalar definidas en V.

De esta manera se puede decir entonces que que el conjunto de las matricesdiagonales de 2 por 2 es un subespacio vectorial de M2x2(IR)

Observacion 1.3. Para todo espacio vectorial V , el subconjunto S que con-tiene solo el vector cero de V ; es decir S = {θ}, y el mismo espacio vectorialV son subespacios vectoriales de V llamados subespacios triviales.

A continuacion se presenta un resultado, sin demostracion, que hace re-lativamente sencillo averiguar cuando un subconjunto de un espacio vectoriales un subespacio vectorial.

Teorema 1.2. Sea V un espacio vectorial. Un subconjunto S no vacıo de Ves un subespacio vectorial de V sı y solo si:

1.- Si u ∈ S, v ∈ S, entonces u + v ∈ S.

2.- Para cualquier escalar α y cualquier vector u en S, entonces αu ∈ S.

Observacion 1.4. Del resultado anterior se tiene que todo subespacio S deun espacio vectorial contiene al vector cero; ya que si u es un elemento de Sentonces por el punto 2, del Teorema 1.1, se tiene que 0u = θ y por el punto2, del Teorema 1.2, este debe ser un elemento de S. Es decir, para que unsubconjunto de un espacio vectorial sea un subespacio, este debe contener elvector cero.


Anteriormente, se dijo que el conjunto de las matrices diagonales de 2por 2 era un subespacio de M2x2(IR) y se mostro que la suma de dos matri-ces diagonales de 2 por 2 tambien era una matriz diagonal de 2 por 2 y lomismo sucede al multiplicar un escalar por una matriz de este tipo. Las dosafirmaciones anteriores tienen que ver con las condiciones 1 y 2 del Teorema1.2, respectivamente.

A continuacion se presentan otros ejemplos de subespacios.

Ejemplo 1.5. Sea S un subconjunto de IR3 definido por

S = {(a, b,−b) : a ∈ IR, b ∈ IR}Entonces, S es un subespacio vectorial con las operaciones de suma y productopor escalar usuales en IR3.

En efecto,

1.- Sean u = (a, b,−b) y v = (r, s,−s) dos elementos cualesquiera de S,entonces

u + v = (a, b,−b) + (r, s,−s) = (a + r, b + s,−b − s)

= (a + r, b + s,−(b + s))

Si se denota a′

= a + r y b′

= b + s, se tiene que:

u + v = (a′

, b′

,−b′

),

y ası u + v ∈ S.

2.- Sea α un numero real cualquiera y u = (a, b,−b) un elemento cualquierade S, entonces:

αu = α(a, b,−b) = (αa, αb,−αb)

Denotando a′

= αa y b′

= αb, se tiene que

αu = (a′

, b′

,−b′

)

y ası αu es un elemento de S.

De esta manera, el subconjunto S de IR3 satisface las dos condiciones delTeorema 1.2 y por lo tanto S es un subespacio vectorial de IR3.

�

Ejemplo 1.6. Consideremos el espacio vectorial P2, el conjunto de los polino-mios de grado menor o igual que 2 con coeficientes reales; es decir, si p ∈ P2

entonces p = ax2 + bx + c; donde a, b y c son numeros reales. Sea S el sub-conjunto de P2 definido como

S = {ax2 + bx + b − a : a y b ∈ IR}Entonces, S es un subespacio de P2 con las operaciones de suma y productopor escalar conocidas.


En efecto,

1.- Sean p y q dos elementos de S, entonces p = ax2 + bx + b − a y q =cx2 + dx + d − c; a, b, c y d numeros reales.

p + q = (ax2 + bx + b − a) + (cx2 + dx + d − c)

= (a + c)x2 + (b + d)x + (b − a) + (d − c)

= (a + c)x2 + (b + d)x + (b + d) − (a + c),

Denotando a′

= a + c, b′

= b + d, entonces a′

y b′ ∈ IR y se tiene que:

p + q = a′

x2 + b′

x + b′ − a

′

Luego, p + q ∈ S.

2.- Sea α un escalar y p un elemento de S; esto es, p = ax2 + b + b − a; a yb numeros rales, entonces:

αp = α(ax2 + bx + b − a)

= (αa)x2 + (αb)x + α(b − a)

= (αa)x2 + (αb)x + αb − αa,

Si se denota a′

= αa y b′

= αb, entonces a′

y b′

son numeros reales y

αp = a′

x2 + b′

x + b′ − a

′

y αp ∈ S.

Dado que S cumple las condiciones 1 y 2 del Teorema 1.2, S es un subespaciode P2.

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Ejemplo 1.7. El conjunto de puntos en el plano, representado por IR2, es unespacio vectorial. Si consideramos el conjunto de puntos de una recta en elplano que pasa por el origen, entonces dicho conjunto de puntos constituye unsubespacio vectorial de IR2. Este conjunto puede ser definido como:

S = {(x, y) ∈ IR2 : y = mx, m numero real fijo}Facilmente pueden ser verificadas las dos condiciones del Teorema 1.2 y ası con-cluir que el conjunto S es un subespacio de IR2.

�

Observacion 1.5. De acuerdo al ejemplo anterior, se puede analizar que pasacon el conjunto de puntos de una recta del plano que no pasa por el origen; esdecir, el subconjunto S de IR2 defnido como:

S = {(x, y) ∈ IR2 : y = mx + b, m y b numeros reales fijos, b 6= 0}.

Si la recta no pasa por el origen no va a contener al vector nulo y por lo tantono puede ser subespacio vectorial.


Dados dos subespacio de un espacio vectorial, serıa interesentante pre-guntarse que pasa con la union e interseccion de estos subespacios; ¿seransubespacio?. Para contestar a esta interrogante se considera el siguiente resul-tado y mas adelante una observacion.

Teorema 1.3. Sean S1 y S2 dos subespacios de un espacio vectorial V , en-tonces S1 ∩ S2 es un subespacio de V .

Demostracion En primer lugar se sabe que la interseccion de S1 y S2, es unsubconjunto de V , dado que cada uno de estos conjuntos esta incluido en V .Ahora veamos que se cumplen las dos propiedades de Teorema 1.2:

1.- Sean u y v dos elementos de S1∩S2, entonces u ∈ S1, u ∈ S2 y tambienv ∈ S1, v ∈ S2. Ahora, u ∈ S1 y v ∈ S1 entonces u + v ∈ S1, S1 esun subespacio. Tambien, u ∈ S2 y v ∈ S2 entonces u + v ∈ S2, S2 esun subespacio. De lo anterior, se concluye que u + v ∈ S1 ∩ S2.

2.- Si α es un escalar y u es un elemento de S1 ∩ S2 entonces u ∈ S1 yu ∈ S2. Ahora, como tanto S1 y S2 son subespacios entonces αu ∈ S1

y αu ∈ S2 lo que se concluye que αu ∈ S1 ∩ S2

De 1.- y 2.- S1 ∩ S2 es un subespacio vectorial de V .�

Ahora, con repecto a la union de dos subespacio de un espacio vectorialse tiene la siguiente observacion.

Observacion 1.6. Si S1 y S2 son dos subespacios de un espacio vectorial V ,no necesariamente S1 ∪S2 es un subespacio de V . En efecto, consideremos losconjuntos S1 y S2, ambos subconjuntos de IR2, definidos por,

S1 = {(x, y) : y = x}

S2 = {(x, y) : y = 2x}

Geometricamente, tanto S1 como S2 son rectas en el plano que pasan por elorigen y por lo tanto son subespacio de IR2, con las operaciones de suma yproducto por escalar usuales en IR2.

El punto (1, 1) es un elemento de S1 y por lo tanto (1, 1) es un elemento deS1 ∪S2. El punto (1, 2) es un elemento de S2 y por lo tanto es un elemento deS1 ∪ S2. Ahora,

(1, 1) + (1, 2) = (2, 3),

pero (2, 3) no es un punto ni de S1 ni de S2, con lo cual la suma entre loselementos (1, 1) y (1, 2) no esta en S1 ∪ S2 y este ultimo conjunto no estarıacumpliendo con la condicion 1.- del Teorema 1.2. Entonces S1 ∪ S2 no essubespacio de IR2.


1.1.4. Bases y Dimension de un Espacio Vectorial

En el espacio vectorial IR2, con las operaciones de suma y producto porescalar usuales, el elemento (−8, 5) puede ser escrito como:

(−8, 5) = 2(−1, 1) + (−3)(2,−1);

con lo que se dice que (−8, 5) es una combinacion lineal de (−1, 1) y (2,−1).Esta situacion origina la siguiente definicion.

Definicion 1.4. Sea V un espacio vectorial y sean v1, v2,..., vn elementos deV . Si α1, α2,..., αn son escalares, entonces un elemento de la forma

α1v1 + α2v2 + ... + αnvn

se llama una combinacion lineal de v1, v2,..., vn.

A continuacion se daran algunos ejemplos de combinaciones lineales.

Ejemplo 1.8. En el espacio vectorial M2x2(IR), el elemento

(

5 107 0

)

es

combinacion lineal de las matrices

(

1 24 −1

)

,

(

0 3−2 4

)

y

(

1 3−1 2

)

; ya

que:

(

5 107 0

)

= 2

(

1 24 −1

)

− 1

(

0 3−2 4

)

+ 3

(

1 3−1 2

)

�

Ejemplo 1.9. En el espacio vectorial P2; el conjunto de los polinomios degrado menor o igual que 2, el polinomio 5

2x2 − 2x + 1

2es combinacion lineal de

los polinomios x2 + 1 y −x2 + x; ya que:

5

2x2 − 2x +

1

2=

1

2(x2 + 1) − 2(−x2 + x)

�

Observacion 1.7. En cualquier espacio vectorial V , el vector cero θ es com-binacion lineal de cualquier conjunto de vectores. En efecto, si v1, v2,..., vn

son elementos de V , entonces

θ = 0v1 + 0v2 + ... + 0vn

En el siguiente ejemplo se muestra si un cierto vector puede ser una com-binacion lineal de un conjunto de vectores.

Ejemplo 1.10. Averiguar si en el espacio vectorial IR2 el vector (−7, 7) escombinacion lineal de los vectores (−1, 2) y (5,−3).


Si (−7, 7) es combinacion lineal de los vectores (−1, 2) y (5,−3), entoncesdeben existir escalares α1 y α2 tales que

(−7, 7) = α1(−1, 2) + α2(5,−3);

es decir,

(−7, 7) = (−α1, 2α1) + (5α2,−3α2)

o bien,

(−7, 7) = (−α1 + 5α2, 2α1 − 3α2)

de donde:

−α1 + 5α2 = −72α1 − 3α2 = 7

(1.1)

El sistema (1.1) es un sistema de ecuaciones lineales en las variables α1 y α2

cuya unica solucion es α1 = 2, α2 = −1. Con esto se verifica que el vector(−7, 7) es combinacion lineal de los vectores (−1, 2) y (5,−3).

�

Definicion 1.5. Un grupo de vectores v1, v2,...,vn de un espacio vectorialV se dice que generan a V si todo elemento de V puede ser escrito comocombinacion lineal de ellos; es decir, para v un elemento cualquiera de V ,existen escalares α1, α2,.....,αn tal que:

v = α1v1 + α2v2 + ..... + αnvn

Algunos ejemplos sencillos de conjuntos generadores de un espacio vecto-rial son.

Ejemplo 1.11. En el espacio vectorial IR3, los vectores (1,0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)generan IR3.

En efecto:Cualquiera sea el vector (a, b, c) en IR3, se tiene que

(a, b, c) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1).

Notemos que los escalares involucrados en la combinacion lineal correspondena las coordenadas del elemento dado.

�

Ejemplo 1.12. En el espacio vectorial P3, conjunto de los polinomios de gradomenor o igual que 3 con coeficientes reales, los elementos x3, x2, x, 1, sonpolinomios de grado menor o igual que 3 y generan P3; ya que para p = ax3 +bx2 + cx + d vector de P3, se tiene que


p = a(x3) + b(x2) + c(x) + d(1);

donde, los escalares son los coeficientes de las potencias del polinomio dado.�

Ejemplo 1.13. En el espacio vectorial D2×2(IR) se tiene que las matrices(

1 00 0

)

y

(

0 00 1

)

generan el mencionado espacio vectorial; ya que si

(

a 00 b

)

es una matriz

diagonal con elementos reales, entonces(

a 00 b

)

= a

(

1 00 0

)

+ b

(

0 00 1

)

�

A partir del concepto de combinacion lineal se pueden obtener subespaciosde un espacio vectorial V . Se da antes la siguiente definicion.

Definicion 1.6. Sean v1, v2,...,vr; r vectores de un espacio vectorial V . Enton-ces el espacio generado por estos vectores, denotado por gen{v1,v2, .....,vr},es el conjunto de todas las combinaciones lineales de v1, v2,.....,vr; es decir,

gen{v1, v2, ..., vr} = {v : v = α1v1 + α2v2 + ... + αrvr, α1, α2, ..., αr,

escalares arbitrarios};

En relacion a los espacios generados por un conjunto de vectores de un es-pacio vectorial se tiene el siguiente resultado, cuya demostracion quedara paraque sea realizada por el lector.

Teorema 1.4. Dados los vectores v1, v2,.....,vr de un espacio vectorial V ,gen{v1, v2, ....., vr} es un subespacio de V .

En seguida, se muestran algunos ejemplos de subespacios generados.

Ejemplo 1.14. En el Ejemplo 1.13 se verifico que las matrices(

1 00 0

)

y

(

0 00 1

)

generan las matrices diagonales de 2x2 con elementos reales. Pero se sabeque este conjunto es subespacio de M2x2(IR). Es decir, que las dos matricesmencionadas generan el subespacio de las matrices diagonales de dos por dosde M2x2(IR); esto es, si S es dicho subespacio, entonces:

S = gen

{(

1 00 0

)

,

(

0 00 1

)}


Ejemplo 1.15. Consideremos el espacio vectorial IR3 y los vectores v1 =(2, 0, 4) y v2 = (−1, 2, 0). La idea es buscar el subespacio generado por esosdos vectores.

Sea v = (a, b, c) un elemento que esta en el subespacio generado por loselementos v1 y v2, entonces existen escalares α1 y α2 tales que

(a, b, c) = α1v1 + α2v2

= α1(2, 0, 4) + α2(−1, 2, 0)

= (2α1 − α2, 2α2, 4α1)

con lo cual se llega al siguiente sistema de ecuaciones lineales

2α1 − α2 = a+ 2α2 = b

4α1 = c

De la segunda y tercera ecuacion del sistema se tiene que

α2 =b

2y α1 =

c

4,

respectivamente. Reemplazando estos valores en la primera ecuacion se llegaa:

c

2− b

2= a

o equivalentemente

2a + b − c = 0

con lo cual se tiene finalmente que

gen{(2, 0, 4), (−1, 2, 0)} = {(a, b, c) ∈ IR3 : 2a + b − c = 0}

Se nota que, geometricamente, el conjunto gen{v1,v2} representa un plano enel espacio que pasa por el origen.

�

Observacion 1.8. Referente a este ultimo ejemplo, se verifica que dos vectoresno paralelos, en el espacio vectorial IR3, generan un plano que pasa por elorigen.

Entre los conceptos mas importantes y usados dentro de los espacios vec-toriales, estan los conceptos de dependencias lineal e independencia lineal. Parair visualizando este tema veamos la siguiente situacion: si en el espacio vecto-rial IR3 se toman los vectores u1 = (1,−1, 1), u2 = (1, 0, 2) y u3 = (1,−3,−1)entonces se verifica que 3u1 − 2u2 = u3 o equivalentemente:

3u1 − 2u2 − u3 = θ;


lo que significa que el vector cero, θ, es escrito como una combinacion lineal delos vectores u1, u2 y u3 sin que necesariamente los escalares correspondientessean ceros.

Al respecto, se entrega la siguiente la definicion.

Definicion 1.7. Sea V un espacio vectorial y sean v1, v2,...,vn n vectores deV . Entonces se dice que estos vectores son linealmente dependientes siexisten n escalares α1, α2,.....,αn, no todos nulos, tales que

α1v1 + α2v2 + ... + αnvn = θ (1.2)

Si dichos vectores no son linealmente dependientes se dicen que son lineal-mente independientes.

Observacion 1.9. Una forma alternativa de decir que los vectores son lineal-mente independientes es que si se tiene la ecuacion (1.2), entonces

α1 = α2 = ... = αn = 0

Ejemplo 1.16. En el espacio vectorial IR3 los vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0) y(1, 0, 0) son linealmente independientes.

En efecto:Sean α1, α2 y α3 tales que

α1(1, 1, 1) + α2(1, 1, 0) + α3(1, 0, 0) = (0, 0, 0) (1.3)

entonces:

(α1 + α2 + α3, α1 + α2, α1) = (0, 0, 0).

Se recuerda que dos elementos de IR3 son iguales si son iguales componente acomponente; es decir, de la igualdad anterior, debe tenerse que:

α1 + α2 + α3 = 0α1 + α2 = 0α1 = 0

con lo que, resolviendo este sistema de ecuaciones lineales, se llega a la unicasolucion:

α1 = 0, α2 = 0, α3 = 0

Luego, la unica posibilidad en obtener la ecuacion (1.3) es que los escalares queintervienen sean todos iguales a cero; lo que verifica que los elementos (1, 1, 1),(1, 1, 0) y (1, 0, 0) son linealmente independientes.

�

Ejemplo 1.17. Consideremos el espacio vectorial P2 y el subconjunto {x2 −3x, 3x2 + 4, 11x2 − 6x + 12} de este espacio. Entonces dicho subconjunto cons-tituye un conjunto linealmente denpendiente de P2.


En efecto:Si α1, α2 y α3 son escalares tales que:

α1(x2 − 3x) + α2(3x

2 + 4) + α3(11x2 − 6x + 12) = 0t2 + 0t + 0 (1.4)

o sea:

(α1 + 3α2 + 11α3)x2 + (−3α1 − 6α3)x + 4α2 + 12α3 = 0t2 + 0t + 0

Ahora, utilizando el hecho de que dos polinomios son iguales si los coeficientesde las potencias correspondientes son iguales, se tiene el siguiente sistema deecuaciones lineales:

α1 + 3α2 + 11α3 = 0−3α1 − 6α3 = 0

4α2 + 12α3 = 0

De la segunda ecuacion del sistema se tiene que α1 = −2α3, con lo cual re-emplazando α1 en la primera ecuacion, el sistema de tres ecuaciones linealesanterior queda reducido al siguiente sistema de dos ecuaciones lineales:

3α2 + 9α3 = 04α2 + 12α3 = 0

Claramente, las dos ecuaciones son iguales y se tiene que α2 = −3α3. Entoncesel sistema original tiene infinitas soluciones dadas por:

α1 = −2α3, α2 = −3α3

Ası, por ejemplo, si α3 = 1 entonces α1 = −2 y α2 = −3, con lo cual paraque la ecuacion (1.4) se satisfaga no todos los escalares involucrados deben sernulos y por tanto el conjunto {x2 − 3x, 3x2 +4, 11x2 − 6x+12} es un conjuntolinealmente dependiente.

�

La nocion de independencia lineal tiene especial importancia en lo queconstituye una base de un espacio vectorial, que puede ser considerado comoel conjunto que representa a un espacio vectorial.

Por ejemplo, en el espacio IR3 cualquier vector (a, b, c) puede ser escritocomo

(a, b, c) = ai + bj + ck;

donde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1) son los llamados vectoresunitarios. Estos vectores generan IR3 y tambien se verifica, facilmente, que sonlinealmente independientes.

De la idea anterior surge la siguiente definicion de base de un espaciovectorial.


Definicion 1.8. Sea V un espacio vectorial. Un conjunto de vectores

{v1, v2, ..., vn},subconjunto de V , se dice base de V si:

i) {v1, v2, ..., vn} es un conjunto linealmente independiente.

ii) {v1, v2, ..., vn} genera a V .

Ejemplo 1.18. En un ejemplo anterior (Ejemplo 1.11) se vio que en el espaciovectorial IR3 el conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} genera dicho espacio.

Pues bien, si se tienen escalares α1, α2 y α3 tales que:

α1(1, 0, 0) + α2(0, 1, 0) + α3(0, 0, 1) = (0, 0, 0) (1.5)

lo que equivale a:

(α1, α2, α3) = (0, 0, 0)

obteniendose que:

α1 = 0, α2 = 0, α3 = 0

Es decir, la unica forma de que se cumpla la ecuacion (1.5) es que los escalaresinvolucrados sean todos nulos, lo que nos dice que el conjunto

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}es un conjunto linealmente independiente.

Dado que el conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} genera el espacio vecto-rial IR3 y ademas es un conjunto linealmente independiente, entonces resultaser una base de IR3.

�

Ejemplo 1.19. Con relacion al ejemplo anterior se tiene que, en general, sise define e1 = (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0), e3 = (0, 0, 1, 0, ..., 0),..., en =(0, 0, 0, ..., 1), elementos de IRn, entonces el conjunto {e1, e2, .., en} constituyeuna base para el espacio vectorial IRn. El conjunto {e1, e2, .., en} es la llamadabase canonica de IRn.

�

Ejemplo 1.20. En el espacio vectorial M2×2(IR), el conjunto:

{(

1 00 0

)

,

(

0 10 0

)

,

(

0 01 0

)

,

(

0 00 1

)}

es una base para dicho espacio vectorial. Se puede verificar de forma simpleque es un conjunto generador de M2x2(IR) y que es un conjunto linealmenteindependiente.


En efecto,Si se tienen los escalares α1, α2, α3 y α4 tales que:

α1

(

1 00 0

)

+ α2

(

0 10 0

)

+ α3

(

0 01 0

)

+ α4

(

0 00 1

)

=

(

0 00 0

)

o equivalentemente:

(

α1 α2

α3 α4

)

=

(

0 00 0

)

entonces, claramente α1 = α2 = α3 = α4 = 0; lo que indica que se trata de unconjunto linealmente independiente.Por otro lado, cualquier elemento de M2x2(IR):

(

a bc d

)

puede ser escrito como

(

a bc d

)

= a

(

1 00 0

)

+ b

(

0 10 0

)

+ c

(

0 01 0

)

+ d

(

0 00 1

)

lo que indica que el conjunto genera M2×2(IR). Dicha base recibe el nombrede base canonica de M2×2(IR).

�

Ejemplo 1.21. En el Ejemplo 1.12 se verifico que el conjunto {x3, x2, x, 1}es un conjunto generador de P3; el conjunto de polinomios de grado menor oigual a 3 con coeficientes reales. Tambien, en forma analoga se puede verificarque es un conjunto linealmente independiente. Por lo tanto, dicho conjuntoconstituye una base para P3.

En general se verifica que el conjunto {xn, xn−1, ....., x, 1} es un base paraPn; el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n con coeficientesreales, con n un numero natural. En forma analoga a los ejemplos anteriores,esta base recibe el nombre de base canonica de Pn.

�

A continuacion se presentan ejemplos en la cual se verifica que existenbases en los espacios vectoriales en la cual no son conjuntos canonicos.

Ejemplo 1.22. Si se consideran el espacio vectorial IR3 y el subconjunto deeste espacio vectorial A = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}. Entonces A es una basede IR3.

En efecto:

i) En el Ejemplo 1.16 se probo que los elementos de IR3 del conjunto Aeran linealmente independientes; es decir, el conjunto A es linealmenteindependiente.


ii) Sea (x, y, z) cualquier elemento de IR3 y supongamos que existen α1, α2

y α3 tales que:

α1(1, 1, 1) + α2(1, 1, 0) + α3(1, 0, 0) = (x, y, z);

o equivalentemente:

(α1 + α2 + α3, α1 + α2, α1) = (x, y, z);

con lo que se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales en lasincognitas α1, α2 y α3:

α1 + α2 + α3 = xα1 + α2 = yα1 = z

Resolviendo este sistema se tiene que:

α1 = z, α2 = y − z, α3 = x − y

Esto prueba que el conjunto A genera a IR3.

i) y ii) verifican que A es base para el espacio vectorial IR3

�

Ejemplo 1.23. En el espacio vectorial P3, el conjunto {1, t2 +1, t3 + t2, t3 + t}de elementos de P3, es una base para este espacio vectorial.

En efecto,

i) Sean α1, α2, α3 y α4, tales que:

α1(1) + α2(t2 + 1) + α3(t

3 + t2) + α4(t3 + t) = 0t3 + 0t2 + 0t + 0,

y operando en el primer miembro se tiene:

(α3 + α4)t3 + (α2 + α3)t

2 + α4t + α1 + α2 = 0t3 + 0t2 + 0t + 0

De la igualdad de polinomios, se llega al siguiente sistema de ecuacioneslineales:

α3 + α4 = 0α2 + α3 = 0

α4 = 0α1 + α2 = 0

De la tercera ecuacion se tiene que α4 = 0. Reemplazando este valor en laprimera ecuacion, α3 = 0. Si los dos valores anteriores son reemplazadosen la segunda y cuarta ecuacion se obtiene: α2 = 0 y α1 = 0. Lo anteriorindica que el conjunto en cuestion es linealmente independiente.


ii) Sea at3 + bt2 + ct+d cualquier elemento de P3. Supongamos que existemescalares α1, α2, α3 y α4 tales que:

α1(1) + α2(t2 + 1) + α3(t

3 + t2) + α4(t3 + t) = at3 + bt2 + ct + d,

y operando en el primer miembro se tiene:

(α3 + α4)t3 + (α2 + α3)t

2 + α4t + α1 + α2 = at3 + bt2 + bt + d

Nuevamente, de la igualdad de polinomios se llega al siguiente sistemade ecuaciones lineales:

α3 + α4 = aα2 + α3 = b

α4 = cα1 + α2 = d

Resolviendo este sistema se obtiene:

α1 = a − b − c + d, α2 = −a + b + c, α3 = a − c, α4 = c

Lo anterior indica que cualquier polinomio de grado menor o igual quetres puede ser escrito como una combinacion lineal de los elementos1, t2 + 1, t3 + t2 y t3 + t. Ası, dichos elementos generan P3

i) y ii) verifican que el conjunto {1, t2 + 1, t3 + t2, t3 + t} es una base para P3.�

Ejemplo 1.24. En el Ejemplo 1.15 se demostro que los vectores en IR3,(2, 0, 4) y (−1, 0, 3) generan el plano de ecuacion 2x + y − z = 0, que co-rresponde a un subespacio del espacio vectorial IR3. Estos vectores, aparte degenerar este plano, forman un conjunto linealmente independiente. Lo anteriornos lleva a concluir que el conjunto {(2, 0, 4), (−1, 0, 3)} constituye una basepara el plano de ecuacion 2x + y − z = 0.

�

A continuacion se entrega un resultado importante sobre bases de unespacio vectorial lo que dara origen al concepto de dimension de un espaciovectorial.

Teorema 1.5. Toda base de un espacio vectorial V tiene el mismo numero deelementos.

Definicion 1.9. El numero de elementos de cualquier base de un espacio vec-torial V recibe el nombre de dimension de V y se denota por dim(V).

De acuerdo a los ejemplos anteriores se tiene entonces que:


1.- dim(IR3) = 3. En general, para cualquier numero natural n,dim(IRn) = n

2.- dim(P3) = 4. En general para cualquier numero natural n,dim(Pn) = n + 1.

3.- dim(M2x2(IR)) = 4.

Con respecto de los conceptos de base y dimension se tiene el siguienteresultado importante.

Teorema 1.6. Sea V un espacio vectorial de dimension n. Si el conjunto deelementos de V , A = {v1, v2, ....., vn} es linealmente independiente, entoncesA es una base para V .

Ejemplo 1.25. En el espacio vectorial IR3, el conjunto

B = {(−1, 1,−1), (1, 0, 1), (0, 0, 1)}

es un conjunto linealmente independiente y por lo tanto una base de IR3.

En efecto,Sean los escalares α1, α2 y α3 tales que

α1(−1, 1,−1) + α2(1, 0, 1) + α3(0, 0, 1) = (0, 0, 0),

con lo cual se tiene que:

(−α1 + α2, α1,−α1 + α2 + α3) = (0, 0, 0);

obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

−α1 + α2 = 0α1 = 0−α1 + α2 + α3 = 0

De la segunda ecuacion se tiene que α1 = 0. Si se reemplaza este valor enla primera ecuacion y despues en la tercera se llega a que α2 = 0 y α3 = 0,respectivamente. Esto verifica que B es un conjunto linealmente independiente.Como se sabe que dim(IR3) = 3 y B es un conjunto linealmente independientecon tres elementos; constituyendo una base para IR3.

�

1.2. TRANSFORMACIONES LINEALES

Esta seccion se abocara a estudiar un tipo especial de funciones. Aparte detener que cumplir unas condiciones diferentes a las funciones reales valuadasconocidas, la particularidad que tendran dichas funciones es que van de unespacio vectorial en otro.

1.2. TRANSFORMACIONES LINEALES 21

1.2.1. Definiciones y Ejemplos

Definicion 1.10. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K.Una Transformacion Lineal (T.L.) T es una funcion que asigna a cada vectorv ∈ V un unico vector T (v) ∈ W y que satisface , para cada u, v en V ycada α ∈ K :

1. T (u + v) = T (u) + T (v)

2. T (αu) = αT (u)

Observacion 1.10. En lo que sigue V y W denotaran espacios vectorialessobre el cuerpo de los numeros reales IR.

Ejemplo 1.26. Sea T : IR2 → IR3 definida por T (x, y) = (x + y, x − y, 3y).Entonces T es una transformacion lineal.

En efecto:Sean (x1, y1) y (x2, y2) en IR2 y α en IR

i) T ((x1, y1) + (x2, y2)) = T (x1 + x2, y1 + y2)

=((x1+x2)+(y1+y2), (x1+x2)−(y1+y2), 3(y1+y2))

=((x1+y1)+(x2+y2), (x1−y1)+(x2−y2), 3y1+3y2)

=(x1 + y1, x1 − y1, 3y1) + (x2 + y2, x2 − y2, 3y2)

=T (x1, y1) + T (x2, y2)

Ası T ((x1, y1) + (x2, y2)) = T (x1, y1) + T (x2, y2)

ii) T (α(x1, y1)) = T (αx1, αy1)= (αx1 + αy1, αx1 − αy1, 3αy1)= (α(x1 + y1), α(x1 − y1), 3αy1)= α(x1 + y1, x1 − y1, 3y1)= αT (x1, y1)

Ası T (α(x1, y1)) = αT (x1, y1)

Por lo tanto, i) y ii) verifican que T es una transformacion lineal.�

Ejemplo 1.27. Sea I : V → V definida por I(v) = v, entonces I es unatransformacion lineal.

Para todo u y v en V y α en IR se tiene que:i) I(u + v) = u + v = I(u) + I(v)

ii) I(αu) = αu = αI(u)

Ası i) y ii) verifican que I es una transformacion lineal.�


Ejemplo 1.28. Sea T : M2x2(IR) −→ IR2; donde M2x2(IR) es el conjunto delas matrices cuadradas de orden 2, tal que:

T

(

a bc d

)

= (a + c, b + d)

Entonces T definida de esta manera es un transformacion lineal.

En efecto:

Sean

(

a bc d

)

y

(

e fg h

)

en M2x2(IR) y sea α en IR, luego:

i) T

((

a bc d

)

+

(

e fg h

))

= T

(

a + e b + fc + g d + h

)

= ((a + e) + (c + g), (b + f) + (d + h))

= ((a + c) + (e + g), (b + d) + (f + h))

= (a + c, b + d) + (e + g, f + h)

= T

(

a bc d

)

+ T

(

e fg h

)

ii) T

(

α

(

a bc d

))

= T

(

αa αbαc αd

)

= (αa + αc, αb + αd)= (α(a + c), α(b + d))= α(a + c, b + d)

= αT

(

a bc d

)

i) y ii) verifican que T es una transformacion lineal.�

A continuacion se daran algunas propiedades basicas de las transforma-ciones lineales:

Proposicion 1.1. Sean T y L dos transformaciones lineales de V en W ,entonces:

a) T (−v) = −T (v), para todo v en V .

b) T (θV ) = θW ; donde θV es el vector nulo del espacio vectorial V y θW esel vector nulo del espacio vectorial W .

c) T + L es una T.L..

d) αT es una transformacion lineal, para todo escalar α.

Demostraciona) De la definicion de transformacion lineal.b) Sea v en V , entonces:

T (θV ) = T (v + (−v))


= T (v) + T (−v), (por ser T T.L..)= T (v) + (−T (v)), (de la definicion de transformacion lineal.)= T (v) − T (v), (por propiedad de espacios vectoriales, (T (v) ∈ W ))= θW

c) Sean u, v vectores cualesquiera de V y λ un escalar, entonces:

i) (T + L)(u + v) = T (u + v) + L(u + v), (por definicion de suma de

funciones).

= (T (u) + T (v)) + (L(u) + L(v)), (T y L son T.L.).

= (T (u) + L(u)) + (T (v) + L(v)), (por conmutatividad y

asociatividad en un espacio vectorial).

= (T + L)(u) + (T + L)(v), (por definicion de suma de

funciones).

ii) (T + L)(λu) = T (λu) + L(λu), (por definicion de suma de funciones).

= λT (u) + λL(u), (T y L T.L.).

= λ(T (u) + L(u))

= λ(T + L)(u), (por definicion de suma de funciones).

De i) y ii) se tiene que T + L es una T.L. de V en W .d) Sean u, v vectores cualesquiera de V y λ un escalar, entonces:

i) (αT )(u + v) = αT (u + v), (por propiedades de funciones).

= α(T (u) + T (v)), (T es una T.L.).

= αT (u) + αT (v).

= (αT )(u) + (αT )(v), (por propiedad de funciones).

ii) (αT )(λu) = αT (λu).

= α(λT (u)), (T es T.L.).

= λ(αT (u)) = λ(αT )(u).

De i) y ii) se tiene que αT es una T.L..�

Proposicion 1.2. Si T : V −→ W y L : W −→ Z son transformacioneslineales, entonces:

L ◦ T : V −→ Z

es una transformacion lineal.

Demostracion. Cualesquiera sean u, v en V y cualquier escalar λ se tiene:


i) (L ◦T )(u + v) = L(T (u + v)), (por definicion de composicion de funciones).

= L(T (u) + T (v)), (T es una T.L.).

= L(T (u)) + L(T (v)), (L es una T.L.).

= (L ◦T )(u)+ (L ◦ T )(v), (por definicion de composicion de

funciones).

ii) (L ◦ T )(λu) = L(T (λu)), (por defincion de composicion de funciones).

= L(λT (u)), (T es una T.L.).

= λL(T (u)), (L es una T.L.).

= λ(L ◦ T )(u), (por definicion de composicion de funciones).

De i) y ii) se tiene que L ◦ T es una transformacion lineal.�

Proposicion 1.3. Sea T : V −→ W una transformacion lineal. Enton-ces para todos los vectores u, v, v1, v2, . . . . . . , vn en V y todos los escalaresα1, α2, . . . .., αn se tiene que:

a) T (u − v) = T (u) − T (v)

b) T (α1v1 + α2v2 + . . . .. + αnvn) = α1T (v1) + α2T (v2) + . . . .. + αnT (vn)

Observacion 1.11. Esta ultima proposicion puede ser verificada facilmente.La demostracion de parte a) se basa en la demostracion de la Proposicion 1.1parte a) y la parte b) se realiza por induccion.

Definicion 1.11. Sea T : V −→ W una transformacion lineal. Se llamaKernel o Nucleo de T al conjunto de todos los vectores v tales que su imagenes el vector nulo de W y se denota por Ker(T ); es decir,

Ker(T ) = {v ǫ V : T (v) = θW}

Definicion 1.12. Sea T : V −→ W una transformacion lineal. Se llamaImagen de T al conjunto de las imagenes de todos los vectores de V ; es decir,al recorrido de la funcion T y se denota por Im(T ). Ası:

Im(T ) = {y ǫ W : ∃ x ǫ V, T (x) = y}o tambien

Im(T ) = {T (x) : x ǫ V }

Para los conjuntos Ker(T ) e Im(T ) recien definidos, se tiene el siguienteresultado importante.

Teorema 1.7. Si T : V −→ W es una transformacion lineal, entonces


a) Ker(T ) es un subespacio de V .

b) Im(T ) es un subespacio de W .

Demostracion

a) i) Si u y v son elementos del Ker(T ), entonces T (u) = θW y T (v) =θW . Luego T (u + v) = T (u) + T (v) = θW + θW = θW , con lo cualu + v es un elemento del Ker(T ).

ii) Si λ es un escalar y u es un elemento del Ker(T ), entonces T (λu) =λT (u) = λθW = θW , y ası λu es un elemento del Ker(T ).

De i) y ii) Ker(T ) es un subespacio de V

b) i) Si w1 y w2 son elementos del Im(T ), entonces existen u y v en V talque T (u) = w1 y T (v) = w2. Luego w1+w2 = T (u)+T (v) = T (u+v)y como u+v es un elemento del V , w1+w2 es un elemento de Im(T ).

ii) Si λ es un escalar y w es un elemento del Im(T ), entonces existe uen V tal que T (u) = w, con lo cual T (λu) = λT (u) = λw y comoλu es un elemento de V , entonces λw es un elemento de Im(T ).

Ası de i) y ii) se verifica que Im(T ) es un subespacio de W .�

Ejemplo 1.29. Sea T : V −→ V , la transformacion lineal identidad; es decirT (v) = v, entonces Ker(T ) = {θV } e Im(T ) = V

Ejemplo 1.30. Sea T : IR3 −→ IR3 definida por T (x, y, z) = (x, y, 0). SiT (x, y, z) = (0, 0, 0) entonces, (x, y, 0) = (0, 0, 0), con lo cual x = 0 e y = 0 yası Ker(T ) = {(0, 0, z) : z ∈ IR}. Por la definicion de T , Im(T ) = {(x, y, 0) :x, y ∈ IR} = IR2.

�

Definicion 1.13. Si T es una transformacion lineal de V en W , entoncesse define Nulidad de T , denotado por ρ(T ), a la dimension de Ker(T ) yRango de T, denotado por ν(T ), a la dimension de Im(T ).

A modo de ilustracion, para la transformacion lineal del Ejemplo 1.30, setiene ρ(T ) = 1 y ν(T ) = 2.

La siguiente proposicion sirve para obtener de una manera facil un con-junto generador del subespacio Im(T ) .

Proposicion 1.4. Si {v1, v2, . . . , vn} es una base de un espacio vectorial V yT : V −→ W una transformacion lineal, entonces {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)}genera Im(T ).


Demostracion. Sea w un elemento de la Im(T ), entonces existe v en V tal queT (v) = w. Como v es un elemento de V existen escalares α1, α2, . . . .αn talesque

v = α1v1 + α2v2 + . . . . + αnvn;

de donde,

w = T (v) = T (α1v1 + α2v2 + . . . . + αnvn)

Por propiedad de transformacion lineal se tiene que:

w = α1T (v1) + α2T (v2) + . . . + αnT (vn)

con lo cual el vector w es una combinacion lineal de T (v1), T (v2), ..., T (vn). Co-mo w es un elemento arbitrario en el espacio Im(T ), {T (v1), T (v2), ..., T (vn)}genera Im(T ).

�

Ejemplo 1.31.1.-Sea T : IR2 −→ IR3 definida por T (x, y) = (x + y, x − y, 3y), una trans-formacion lineal. Tomemos la base canonica de IR2 ; es decir, el conjunto{(1, 0), (0, 1)}. Ahora, T (1, 0) = (1, 1, 0), T (0, 1) = (1,−1, 3). Por proposicionanterior, se tiene que Im(T ) es el conjunto generado por los elementos (1, 1, 0)y (1,−1, 3); siendo estos elementos linealmente independientes y por lo tantoforman una base para Im(T ).

2.- Sea T : IR3 −→ IR2 definida por T (x, y, z) = (x, y + z), una transfor-macion lineal. Consideremos la base canonica {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} deIR3. Al evaluar T en cada elemento de la base se tiene que T (1, 0, 0) = (1, 0),T (0, 1, 0) = (0, 1) y T (0, 0, 1) = (0, 1); es decir Im(T ) es generada por los ele-mentos (1, 0) y (0, 1), que conforman la base canonica de IR2. Ası Im(T ) = IR2.

�

La siguiente proposicion, establece que una transformacion inyectiva trans-forma una base de V en una base de Im(T ). La subsiguiente proposicion, daun criterio para determinar cuando una transformacion lineal es inyectiva.

Proposicion 1.5. Si {v1, v2, . . . , vn} es una base de un espacio vectorial V yT : V −→ W una transformacion lineal inyectiva, entonces {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)}es una base de Im(T ).

Demostracion.Sean k1, k2, . . . , kn n escalares tales que:

k1T (v1) + k2T (v2) + · · · + knT (vn) = θW .


De la linealidad de T y T (θV ) = θW , podemos reescribir la identidad anteriorcomo,

T (k1v1 + k2v2 + · · · knvn) = T (θV ).

Como T es inyectiva se tiene que

k1v1 + k2v2 + · · · knvn = θV .

Pero como{v1, v2, . . . , vn} es una base de V , se deduce que k1 = k2 = · · · = kn =0; con lo cual el conjunto {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)} es un conjunto linealmen-te independiente. De la Proposicion 1.4 el conjunto {T (v1), T (v2), . . . , T (vn)}genera Im(T ) y por lo tanto es una base de Im(T ).

�

Proposicion 1.6. Sea T : V −→ W una transformacion lineal. Entonces, Tes inyectiva sı y solo si Ker(T ) = {θV }.

Demostracion. La demostracion se realizara por doble implicacion

=⇒) Supongamos que T es una transformacion lineal inyectiva. Luegou ǫ Ker(T ) se tiene que

T (u) = θW o T (u) = T (θV ),

dado que T (θV ) = θW . De la inyectividad de T resulta u = θV , con locual Ker(T ) = {θV }.

⇐=) Supongamos ahora que Ker(T ) = {θV }. Sean u y v ∈ V tal queT (u) = T (v), luego:

T (u) − T (v) = θW

y como T es una transformacion lineal implica que

T (u − v) = θW

Esta ultima ecuacion dice que u − v ∈ Ker(T ) y como supusimos queKer(T ) = {θV } se tiene que u = v, lo que indica que T es inyectiva.

�

Observacion 1.12. La inyectividad de una transformacion lineal queda sujetaa si el Kernel va ser el conjunto que solo contiene al vector nulo. La sobreyecti-vidad va a depender si la Imagen es todo el co-dominmio de la transformacion.De lo anterior se puede decir que una transformacion lineal es biyectiva siel Kernel es el conjunto que solo contiene al vector nulo y la Imagen es elespacio vectorial de llegada de la transformacion.


Proposicion 1.7. Sea T : V −→ W una transformacion lineal biyectiva. En-tonces la transformacion inversa T−1 : W −→ V es tambien una trasformacionlineal.

La demostracion de la proposicion anterior se deja como ejercicio.A continuacion se enuncian dos resultados importantes de transformacio-

nes lineales y cuyas demostraciones no seran desarrolladas:

Teorema 1.8. (Teorema de las dimensiones). Si T : V −→ W es una trans-formacion lineal, entonces:

dim(V ) = dim(Ker(T )) + dim(Im(T ))

En referencia al teorema anterior, si se considera el Ejemplo 1.30 en elcual se tiene la transformacion lineal T : IR3 −→ IR3, definida por T (x, y, z) =(x, y, 0), se obtuvo que Ker(T ) = {(0, 0, z) : z ∈ IR} y Im(T ) = IR2; dedonde se tiene que:

dim(IR3) = dim(Kert(T )) + dim(Im(T ))

3 = 1 + 2

Teorema 1.9. (Teorema Fundamental del Algebra Lineal). Sean {v1, v2, . . . .vn},una base de V y {w1, w2, . . . ., wn} un conjunto arbitrario de vectores de W . En-tonces existe una unica transformacion lineal T : V −→ W , tal que T (vi) = wi,i = 1, 2, . . . ., n.

Ejemplo 1.32. Sea la transformacion lineal T : P2 −→ IR2 tal que T (t+1) =(1,−1), T (−t2 + 1) = (0,−1) y T (t2 − t) = (1, 0). Bajo estas condiciones sepuede obtener la ecuacion que define la transformacion.

En efecto:Se verifica que el conjunto {t + 1,−t2 + 1, t2 − t} es una base de P2 y de

hecho cualquier vector at2+bt+c de P2 se puede escribir como una combinacionlineal de los elementos de esta base de la siguiente manera:

at2 + bt + c =a + b + c

2(t + 1) − a + b − c

2(−t2 + 1) +

a − b + c

2(t2 − t)

Aplicando la transformacion T en ambos miembros:

T (at2 + bt + c) =a + b + c

2T (t + 1) − a + b − c

2T (−t2 + 1)

+a − b + c

2T (t2 − t)

=a + b + c

2(1,−1) − a + b − c

2(0,−1) +

a − b + c

2(1, 0)

= (a + c,−c)

�


1.2.2. Representacion Matricial de una Transformacion

Lineal

El operar con transformaciones lineales a veces puede resultar un pocodificultoso. En esta subseccion veremos que cualquier transformacion linealpuede ser representada por una matriz y, que de acuerdo a algunos resultados,el operar con transformaciones lineales es equivalente a operar con matricesasociadas, resultando esto ultimo mas sencillo.

Sean B1 = {v1, v2, . . . ., vn} y B2 = {w1, w2, . . . ., wm}, bases de V y W ,respectivamente. Consideremos una transformacion lineal T : V −→ W . En-tonces se tendrıa lo siguiente: si aij son escalares, i = 1, ..., m; j = 1, ..n,entonces

T (v1) = a11w1 + a21w2 + . . . . . . . + am1wm

T (v2) = a12w1 + a22w2 + . . . . . . . + am2wm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

T (vn) = a1nw1 + a2nw2 + . . . . . . . + amnwm

La matriz:

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

.... . .

...am1 am2 . . . amn

,

cuya j-esima columna esta formada por los escalares a1j , a2j , . . . , amj del trans-formado por T del j-esimo elemento de la base B1 con respecto de la base B2,se llama Matriz Asociada a T con respecto de las bases B1 y B2.

La matriz ası definida es denotada por M [T ]B1B2 o [T ]B1B2 . Se puedeobservar que el orden de dicha matriz es de m × n, donde m es la dimensionde W y n es la dimension de V .

Ejemplo 1.33. Sea T : IR3 −→ IR2 una transformacion lineal, tal que:T (x, y, z) = (x+y, z). Consideremos las bases B1 = {(3, 0, 0), (1, 2,−1), (0, 1, 5)}de IR3 y B2 = {(1,−1), (2,−3)} de IR2. Entonces:

T (3, 0, 0) = (3, 0) = 9(1,−1) − 3(2,−3)

T (1, 2,−1) = (3,−1) = 7(1,−1) − 2(2,−3)

T (0, 1, 5) = (1, 5) = 13(1,−1) − 6(2,−3)

Ası, la matriz asociada a la transformacion es:

[T ]B1B2 =

(

9 7 13−3 −2 −6

)


�

Ejemplo 1.34. Sea la transformacion lineal T : P3(t) −→ P2(t), definida porT (p(t)) = p′(t). Considerando las bases canonicas B1 = {1, t, t2, t3} en P3(t) yB2 = {1, t, t2} en P2(t), se tiene que:

T (1) = 0 = 0(1) + 0(t) + 0(t2)

T (t) = 1 = 1(1) + 0(t) + 0(t2)

T (t2) = 2t = 0(1) + 2(t) + 0(t2)

T (t3) = 3t2 = 0(1) + 0(t) + 3(t2)

con lo cual, la matriz asociada a la transformacion lineal es:

[T ]B1B2 =

0 1 0 00 0 2 00 0 0 3

�

Observacion 1.13. Notemos que si se cambia el orden en las bases, la matrizasociada a la transformacion tambien cambia.

En lo que resta enunciamos dos proposiciones, de una cierta importanciateorica y, que para efecto de este material, no se requiere de sus demostraciones.

Proposicion 1.8. Sean B1 = {v1, v2, . . . . . . , vn}, B2 = {w1, w2, . . . . . . , wm}bases de V y W , respectivamente, y A una matriz de orden m×n con elementosen IR. Entonces existe una unica transformacion lineal T de V en W tal que[T ]B1B2 = A.

Ejemplo 1.35. Consideremos la matriz con elementos reales:

A =

2 −1 34 −2 6−6 3 −9

¿Cual sera la transformacion lineal T de IR3 en IR3 y cuya matriz asociadasea A con respecto de la base canonica de IR3?.

De la definicion de matriz asociada a una transformacion lineal, la transfor-macion T debe ser tal que:

T (1, 0, 0) = 2(1, 0, 0) + 4(0, 1, 0) − 6(0, 0, 1) = (2, 4,−6)T (0, 1, 0) = −1(1, 0, 0) − 2(0, 1, 0) − 3(0, 0, 1) = (−1,−2, 3)T (0, 0, 1) = 3(1, 0, 0) + 6(0, 1, 0) − 9(0, 0, 1) = (3, 6,−9)

Por otra parte si (x, y, z) ∈ IR3, entonces:

(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)


con lo cual:

T (x, y, z) = T (x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1))

= xT (1, 0, 0) + yT (0, 1, 0) + zT (0, 0, 1)

por propiedad de transformaciones lineales. O sea se tiene que:

T (x, y, z) = x(2, 4,−6) + y(−1,−2, 3) + z(3, 6,−9)

= (2x − y + 3z, 4x − 2y + 6z,−6x + 3y − 9z)

que corresponde a la expresion de la transformacion lineal buscada.�

Ejemplo 1.36. Sea la matriz:

A =

1 0 02 1 40 0 33 2 0

Entonces se desea encontrar la transformacion lineal T : IR3 −→ P3(t); conrespecto de las base B1 = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} de IR3 y B2 = {1, t, t2, t3}de P3(t).

De partida se tiene que

T (1, 1, 1) = 1(1) + 2(t) + 0(t2) + 3(t3) = 1 + 2t + 3t3

T (1, 1, 0) = 0(1) + 1(t) + 0(t2) + 2(t3) = t + 2t3

T (1, 0, 0) = 0(1) + 4(t) + 3(t2) + 0(t3) = 4t + 3t2

Ahora, (x, y, z) ∈ IR3 implica que:

(x, y, z) = z(1, 1, 1) + (y − z)(1, 1, 0) + (x − y)(1, 0, 0)

y por lo tanto:

T (x, y, z) = T (z(1, 1, 1) + (y − z)(1, 1, 0) + (x − y)(1, 0, 0))

= zT (1, 1, 1) + (y − z)T (1, 1, 0) + (x − y)T (1, 0, 0)

= z(1 + 2t + 3t3) + (y − z)(t + 2t3) + (x − y)(4t + 3t2)

= z + (4x − 3y + z)t + 3(x − y)t2 + (z + 2y)t3

Y ası se ha obtenido la transformacion lineal.�

Observacion 1.14. El vector coordenado de un elemento v de V con res-pecto de una base B corresponde a un vector columna cuyos elementos son losescalares de la combinacion lineal de los elementos de la base B que da origena v y se denota por [v]B.

Por ejemplo, en el espacio vectorial IR3 si se tienen la base B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}y v = (2, 0,−1), un elemento de IR3, entonces:

v = (2, 0,−1) = −1(1, 1, 1) + 1(1, 1, 0) + 2(1, 0, 0),

con lo cual


[v]B =

−112

Proposicion 1.9. Sean B1 = {v1, v2, . . . . . . , vn}, B2 = {w1, w2, . . . . . . wm}bases de V y W , respectivamente. Si T : V −→ W es una transformacionlineal, entonces:

[T ]B1B2 [v]B1 = [T (v)]B2

Es decir, al multiplicar la matriz asociada a T , con respecto de las bases B1

y B2, por el vector coordenado de v, con respecto de la base B1 se obtiene elvector coordenado de la imagen de v por T respecto de la base B2.

Ejemplo 1.37. Consideremos la transformacion lineal T : IR3 −→ IR2 tal queT (x, y, z) = (x−y+z,−2x+2y−2z) y las bases B1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)},B2 = {(1,−1), (2, 3)} de IR3 y IR2, respectivamente. Entonces, veamos que laProposicion 1.9 se verifica

En efecto:T (1, 0, 0) = (1,−2) = 7

5(1,−1) − 1

5(2, 3)

T (0, 1, 0) = (−1, 2) = −75(1,−1) + 1

5(2, 3)

T (0, 0, 1) = (1,−2) = 75(1,−1) − 1

5(2, 3)

Luego la matriz asociada a la transformacion T es :

[T ]B1B2 =

75

−75

75

−15

15

−15

Por otro lado si (x, y, z) ∈ IR3, entonces:

(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1),

con lo cual

[(x, y, z)]B1 =

xyz

Tambien si (a, b) ∈ IR2, cualquiera, se tiene que:

(a, b) =3a − 2b

5(1,−1) +

a + b

5(2, 3)

y entonces


[(a, b)]B2 =

3a−2b5

a+b5

Ası,

[T ]B1B2 [(x, y, z)]B1 =

75

−75

75

−15

15

−15

xyz

=

75x − 7

5y + 7

5z

−15x + 1

5y − 1

5z

=

75(x − y + z)

15(−x + y − z)

Ahora,T (x, y, z) = (x − y + z,−2x + 2y − 2z)

= 75(x − y + z)(1,−1) + 1

5(−x + y − z)(2, 3)

por lo que:

[T (x, y, z)]B2 =

75(x − y + z)

15(−x + y − z)

y ası la igualdad mencionada en la proposicion anterior se cumple.�

A continuacion se enuncian algunas propiedades interesantes, sin demos-trar, y se muestran algunos ejemplos en la cual se puede visualizar la utilidadque puede prestar una matriz asociada a una transformacion lineal cuando sedesea operar con transformaciones lineales.

Proposicion 1.10. Sean L y T dos transformaciones lineales de V en W .Sean B1 y B2 base de V y W , respectivamente y λ un escalar. Entonces:

i) [L + T ]B1B2 = [L]B1B2 + [T ]B1B2

ii) [λL]B1B2 = λ[L]B1B2

Proposicion 1.11. Sean T : V −→ W y L : W −→ Z dos tranformacioneslineales. Sean B1, B2 y B3 bases de V , W y Z, respectivamente. Entonces:

[L ◦ T ]B1B3 = [L]B2B3 [T ]B1B2

Respecto del resultado anterior, se presenta el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.38. Sean las transformaciones lineales T : IR −→ IR2 yL : IR2 −→ IR3, definidas como:

T (x) = (x,−x), L(x, y) = (x, y, x − y)

Si se consideran las bases B1 = {1}, B2 = {(1, 2), (−1, 0)} y B3 = {(1, 0, 0),(0, 1, 0), (0, 0, 1)} de IR, IR2 y IR3, respectivamente, entonces se quiere encon-trar la matriz asociada a la transformacion lineal L ◦ T y a partir de ellaobtener la ecuacion que rige dicha transformacion.


Para obtener primero la matriz asociada a T se ve que

T (1) = (1,−1) = −1

2(1, 2) − 3

2(−1, 0),

de donde

[T ]B1B2 =

−12

−32

es la matriz asociada a la transformacion lineal T con respecto de las bases B1

y B2. Por otro lado se tiene que

L(1, 2) = (1, 2,−1) = 1(1, 0, 0) + 2(0, 1, 0) − 1(0, 0, 1)

L(−1, 0) = (−1, 0,−1) = −1(1, 0, 0) + 0(0, 1, 0) − 1(0, 0, 1)

con lo que

[L]B2B3 =

1 −12 0

−1 −1

por la Proposicion 1.11 se tiene que

[L ◦ T ]B1B3 = [L]B2B3 [T ]B1B2

=

1 −12 0

−1 −1

−12

−32

=

1−1

2

De la matriz asociada a la transformacion L ◦ T : IR −→ IR3, se tiene que

(L ◦ T )(1) = 1(1, 0, 0) − 1(0, 1, 0) + 2(0, 0, 1) = (1,−1, 2)

Luego para cualquier x en IR

(L ◦ T )(x) = (L ◦ T )(x · 1) = x(L ◦ T )(1) = x(1,−1, 2)

De esta manera la ecuacion de la transformacion lineal es

(L ◦ T )(x) = (x,−x, 2x)

�


Observacion 1.15. Para la transformacion lineal identidad I : V −→ V ;donde V es un espacio vectorial de dimension n, la matriz asociada a I conrespecto de una base B es la matriz identidad de orden n. Es decir,

[I]BB =

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1

Proposicion 1.12. Sea T : V −→ V una transformacion lineal biyectiva. SiB es una base de V entonces [T ]BB es una matriz invertible y

[T ]−1BB = [T−1]BB

Ejemplo 1.39. Sea T : IR2 −→ IR2 una transformacion lineal definida por

T (x, y) = (x, x + y)

Usando la propiedad [T ]−1BB = [T−1]BB; donde [T ]BB es la matriz asociada a T

con respecto de la base B = {(1, 0), (1, 2)}, la idea es encontrar la aplicacioninversa T−1.

En efecto:Evaluando T en los dos elementos de la base se tiene:

T (1, 0) = (1, 1), T (1, 2) = (1, 3)

Escribiendo estos elementos como combinacion lineal de los elementos de B setiene:

(1, 1) = 1/2(1, 0) + 1/2(1, 2)

(1, 3) = −1/2(1, 0) + 3/2(1, 2)

Con lo cual se tiene que:

[T ]BB =

12

−12

12

32

Calculando la matriz inversa de esta matriz, se obtiene que:

[T ]−1BB =

32

12

−12

12

De la Proposicion 1.12, se tiene que:

[T−1]BB =

32

12

−12

12


es la matriz asociada a la transformacion lineal de T−1. Luego, de la definicionde matriz asociada, se tiene que:

T−1(1, 0) =3

2(1, 0) − 1

2(1, 2) = (1,−1)

T−1(1, 2) = 1/2(1, 0) + 1/2(1, 2) = (1, 1)

Por otro lado se tiene que:

(x, y) = 2x−y2

(1, 0) + y2(1, 2)

=⇒ T−1(x, y) = T−1(

2x−y2

(1, 0) + y2(1, 2)

)

=⇒ T−1(x, y) = 2x−y2

T−1(1, 0) + y2T−1(1, 2)

= 2x−y2

(1,−1) + y2(1, 1)

= (x, y − x)

�

1.3. VALORES Y VECTORES PROPIOS

Definicion 1.14. Sea A una matriz cuadrada de orden n con elementos enun cuerpo K (conjunto de los numeros reales o conjunto de los numeros com-plejos). Un escalar λ se denomina un valor propio de A si existe un vectorno nulo x ∈ Kn tal que Ax = λx, y en tal caso x se llama vector propio deA asociado a λ.

Observacion 1.16. Para el objetivo a cumplir en este material se concide-rara solo el cuerpo de los numeros reales, IR; teniendo tambien especial cuidadoque las componentes de un vector propio sean numeros reales, dado el proce-dimento a seguir mas adelante en la obtencion de estos elementos. Ademas,para efecto de calculo, los vectores propios son puestos como vectores columnas,como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.40. Consideremos la matriz:

A =

(

1 42 3

)

Entonces λ = −1 es un valor propio de A y x = (−4, 2) su vector propioasociado.

En efecto:

Ax =

(

1 42 3

) (

−42

)

=

(

4−2

)

y

1.3. VALORES Y VECTORES PROPIOS 37

λx = (−1)

(

−42

)

=

(

4−2

)

de donde Ax = λx.�

Definicion 1.15. Sea λ un valor propio de una matriz A. Se llama espaciopropio asociado a λ al conjunto de todos los vectores propios asociados adicho valor propio (mas el vector nulo de IRn), es decir, si el espacio propio lodenotamos por Eλ, entonces

Eλ = {x ∈ IRn : Ax = λx}

Si λ es un valor propio de una matriz A, de orden n × n, entonces debeexistir un vector propio x asociado a λ; es decir, debe cumplirse la ecuacionAx = λx o equivalentemente (A − λI)x = θ, donde I es la matriz identidadde orden n. Como x debe ser distinto del vector nulo, entonces det(A − λI)debe ser distinto de cero; ya que de lo contrario, tendrıamos solo la soluciontrivial (vector nulo). Tambien si dicho determinante no es cero la solucion noes unica, lo cual, aparte de la solucion trivial, habrıan otras soluciones. De loanterior, se tiene la siguiente proposicion:

Proposicion 1.13. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Un escalar λ esvalor propio de A sı y solo si

det(A − λI) = 0,

donde I es la matriz identidad de orden n.

La expresion:

fA(λ) = det(A − λI)

es un polinomio de orden n en λ y recibe el nombre de polinomio carac-terıstico. Este polinomio se puede escribir entonces como:

fA(λ) = (−1)n(λn + an−1λn−1 + . . . a0)

Si λ1, λ2, . . . , λk son los ceros del polinomio carasterıstico, entonces fA(λ) pue-de ser factorizado de la siguiente manera:

fA(λ) = (−1)n(λ − λ1)β1(λ − λ2)

β2 . . . (λ − λk)βk

donde β1, β2, . . . , βk son numeros naturales tales que:

β1 + β2 + . . . + βk = n

El numero βi, i = 1, 2 . . . , k, corresponde al numero de veces que se repiteel factor (λ − λi) y se le llama multiplicidad algebraica de λi. Por otra


parte, la dimension del espacio propio asociado a un valor propio λ, recibe elnombre de multiplicidad geometrica y se denota por ρ(λ).

Existe un resultado del algebra lineal que dice que al valor propio λi lepueden corresponder a lo mas βi vectores propios linealmente independiente.Ahora, el numero maximo de vectores propios de una matriz A asociado a unvalor propio λi y que son linealmente independiente es igual a ρ(λi); dado queeste valor es la dimension del espacio propio asociado a ese valor propio. Enotras palabras se tiene que

ρ(λi) ≤ βi, ∀ i = 1, 2, . . . . . . , k;

lo que quiere decir que la multiplicidad geometrica de λi no excede a su mul-tiplicidad algebraica.

Ejemplo 1.41. Consideremos la matriz:

A =

1 2 31 2 31 5 6

Entonces se requiere obtener los valores propio de la matriz A.

En efecto:Por Proposicion 1.13, los valores propios de la matriz A son obtenidos dedet(A − λI) = 0. Ası

A − λI =

1 2 31 2 31 5 6

− λ

1 0 00 1 00 0 1

=

1 − λ 2 31 2 − λ 31 5 6 − λ

con lo cual det(A − λI) = 0 implica que:

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 − λ 2 31 2 − λ 31 5 6 − λ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

con lo que:

(1 − λ)[(2 − λ)(6 − λ) − 15] − 2[(6 − λ) − 3] + 3[5 − (2 − λ)] = 0

y haciendo el desarrollo en el primer miembro se llega a que:

−λ3 + 9λ2 = 0 o −λ2(λ − 9) = 0

con lo que las raıces son λ = 0 y λ = 9 y por lo tanto los valores propiosde la matriz A son 0, con multiplicidad algebraica 2, y 9, con multplicidadalgebraica 1.

1.4. APLICACION DE MAPLE 39

Obtengamos ahora los vectores propios, y por ende los espacios propios asocia-dos a los valores propios. Para ello, reemplazamos los valores correspondientesde λ en (A − λI)x = θ

Para λ = 0, el sistema (A − λI)x = θ queda como:

x1 + 2x2 + 3x3 = 0x1 + 2x2 + 3x3 = 0x1 + 5x2 + 6x3 = 0

con lo cual el sistema anterior solo se reduce a:

x1 + 2x2 + 3x3 = 0x1 + 5x2 + 6x3 = 0

De la primera ecuacion se tiene que x1 = −2x2 − 3x3, con lo que reem-plazando x1 en la segunda se llega a 3x2 + 3x3 = 0 o bien x2 = −x3.Ahora, si reemplazamos x2 en x1 = −2x2 −3x3 se obtiene que x1 = −x3.Ası los vectores propios para λ = 0 son de la forma (−x3,−x3, x3) ypor ende una base para el espacio propio asociado a este valor propio es{(−1,−1, 1)}.

Para λ = 9, el sistema (A − λI)x = θ es:

−8x1 + 2x2 + 3x3 = 0x1 − 7x2 + 3x3 = 0x1 + 5x2 − 3x3 = 0

De la segunda y tercera ecuacion se llega a 7x2 − 3x3 = −5x2 + 3x3,de donde x3 = 2x2. Reemplazando x3 en la primera ecuacion resultaque x1 = x2. Entonces los vectores propios para λ = 9 tienen la forma(x2, x2, 2x2) y ası una base para el espacio propio correspondiente es{(1, 1, 2)}.

1.4. APLICACION DE MAPLE

Espacios VectorialesEl lenguaje Maple tiene implementada la librerıa linalg, que es cargada en

memoria, previo a una seccion de algebra lineal, con el comando with(linalg);que contiene los comandos referente al algebra matricial y que es aplicablea la teorıa de Algebra Lineal (espacios vectoriales, transformaciones lineales,valores y vectores propios).

Comencemos por chequear, por ejemplo, que el vector (−7, 7, 7) es com-binacion lineal de los vectores (−1, 2, 4) y (5,−3, 1)

> with(linalg):

> v1:=vector([-1,2,4]);


v1 := [−1, 2, 4]

> v2:=vector([5,-3,1]);

v2 := [5,−3, 1]

> v:=vector([-7,7,7]):

v := [−7, 7, 7]

> A:=matrix([v1,v2]);

A :=

[

−1 2 45 −3 1

]

> At:=transpose(A); # transpuesta de la matriz A

At :=

−1 52 −34 1

> rank(At); # rango de la matriz At

2

> AA:=augment(At,v); # se agrega el vector columna v a la matriz At

AA :=

−1 5 −72 −3 74 1 7

> rank(AA);

2

Dado que el rango de At, la matriz de coeficientes del sistema de ecuacioneslineales que resuelve este problema, es igual al rango de su matriz ampliadaAA , entonces se verifica que este sistema tiene solucion y por lo tanto el vectorv es combinacion lineal de los vectores v1 y v2. Para encontrar los escalarescorrespondientes, la sentencia es:

> linsolve(At,v);

[2,−1]

Se puede encontrar una base para un espacio generado por un conjunto devectores usando el comando basis. Por ejemplo, para encontrar una base parael espacio generado en IR3 por los vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0) y (1, 0, 0) entoncesse escribe:


> with(linalg):

> v1:=vector([1,1,1]):

> v2:=vector([1,1,0]):

> v3:=vector([1,0,0]):

> basis({v1,v2,v3});

{v1, v2, v3}Lo anterior indica que los vectores son linealmente idependientes y por lo tantolos tres vectores costituyen una base para el espacio; en este caso IR3. Ahora,si se quiere saber el espacio generado por (1, 1, 1), (1, 0, 0) y (−1,−2,−2), sedigita:

> with(linalg):

> v1:=vector([1,1,1]):

> v2:=vector([1,0,0]):

> v3:=vector([-1,-2,-2]):

> basis({v1,v2,v3});

{v1, v3}Esto indica que (1, 0, 0) (v2) es combinacion lineal de (1, 1, 1) (v1) y (−1,−2,−2)(v3); siendo estos ultimos linealmente indepedientes y por tanto una base parael espacio generado por los tres vectores, que obviamente va ser un subespacio(no trivial) de IR3.

Transformaciones LinealesSea T la transformacion lineal de IR2 en IR3, definida por T (x, y) = (x, x+

y, x− y), entonces una rutina para obtener la matriz asociada con respecto delas bases canonicas es la siguiente:

> with(linalg):

> T:=(x,y)->[x,x+y,y-x]; # definicion de la transformacion lineal T

T := (x, y)− > [x, x + y, y − x]

> a:=(1,0); # primer vector de la base

a := 1, 0

> b:=(0,1); # segundo vector de la base

b := 0, 1

> v1:=T(a); # evaluacion de T en el primer vector de la base


v1 := [1, 1, 1]

> v2:=T(b); # evaluacion de T en el segundo vector de la base

v2 := [0, 1,−1]

> A:=matrix([v1,v2]):

> AT:=transpose(A);

AT :=

1 01 11 −1

Ası, la matriz AT resultante es la matriz asociada.Tambien a partir de la matriz asociada se puede obtener unn base para

el Kernel o Nucleo de T con el comando nullspace. En el ejemplo anterior, elKernel es el conjunto que solo contiene al vector nulo, con lo cual al ejecutarel comando no se va a obtener respuesta. Pero, para la transformacion linealL de IR3 en IR2, definida por L(x, y, z) = (x, y − z) y que tiene un Kerneldistinto al conjunto que contiene al vector nulo, la matriz asociada a L conrespecto de las bases canonica es:

[L] =

(

1 0 00 1 −1

)

Ahora, para obtener una base para Kernel de L, se ejecuta:

> with(linalg):

> AL:=matrix([[1,0,0],[0,1,-1]]); # ingreso de la matriz asociada de L

AL :=

[

1 0 00 1 −1

]

> nullspace(AL);

[0, 1, 1]

Por lo tanto el conjunto {(0, 1, 1)} constituye una base para el Kernel de L.Ahora, a partir de una matriz de orden m × n y de las bases canonicas

de IRm y IRn se puede obtener una transformacion lineal de IRn en IRm. Porejemplo, sea la matrix A de 3x3:

A =

1 1 12 −1 0

−1 0 1

Si se considera que A es la matriz asociada a una transformacion lineal conrespecto de las bases canonicas, entonces la transformacion puede obtenersecomo:


> with(linalg):

> A:=matrix([[1,1,1],[2,-1,0],[-1,0,1]]); # ingreso de la matriz asociada

A :=

1 1 12 −1 0

−1 0 1

> T:=x->multiply(A,x):

> T([x,y,z]);

[x + y + z, 2x − y,−x + z]

lo cual la transformacion lineal, de IR3 en IR3 correspondiente, esta dada porT (x, y, z) = (x + y + z, 2x − y,−x + z).

Valores y Vectores PropiosEl Maple puede entregar una variada informacion acerca de los valores y

vectores propios. Por ejemplo, puede entregar directamente los valores propiosde una matriz. Ası, dada la matriz

A =

3 −1 0−1 2 −1

0 −1 3

entonces los valores propios de A puueden obtenerse con:

> with(linalg):> A:=matrix([[3,-1,0],[-1,2,-1],[0,-1,3]]);

A :=

3 −1 0−1 2 −1

0 −1 3


> eigenvals(A); # entrega los valores propios de la matriz A

1, 3, 4

Lo anterior indica que los valores propios de la matriz A son los numeros 1, 3 y4. Otra cosa interesante puede ser conocer le polinomio carasterıstico asociadoa la matriz A, el cual se puede obtener con:

> charpoly(A,lambda);

λ3 − 8λ2 + 19λ − 12

La sentencia eigenvects entrega, para cada valor propio, una base para el es-pacio propio asociado:

> eigenvects(A); # entrega una base para el espacio propio de cada valor propio

[1, 1, {[1, 2, 1]}], [3, 1, {[−1, 0, 1]}], [4, 1, {[1,−1, 1]}]

El resultado que nos entrega la sentencia nos dice que el valor propio 1 tienemultiplicidad algebraica 1 y el espacio propio asociado a esta valor propio tienecomo base a {(1, 2, 1)}, el valor propio 3 tiene multiplicidad algebraica 1 y elespacio propio asociado tiene como base a {(−1, 0, 1)} y, finalmente, el valorpropio 4 tambien tiene multiplicidad algebraica 1 y su espacio propio tienecomo base a {(1,−1, 1)}.

�

1.5. EJERCICIOS PROPUESTOS 45

1.5. EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- En cada uno de los casos explicar porque el conjunto V dado no es unespacio vectorial, sobre el cuerpo de los numeros reales, con las operaciones desuma y producto por escalar indicadas.

a) V = IR2. Si (x, y) y (z, w) ∈ V , λ ∈ K entonces:

• (x, y) + (z, w) = (x + z, y + 1)

• λ(x, y) = (λx, λy)

b) V = IR3. Si (x1, x2, x3) y (y1, y2, y3) ∈ V , λ ∈ K entonces:

• (x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)

• λ(x1, x2, x3) = (λx1, λx2, 0)

c) V = M2×2(IR). Si A y B ∈ V , λ ∈ K entonces:

• A + B = BAt

• λA = (λaij)

2.- Verifique que los siguientes subconjuntos S de un espacio vectorial V sonsubespacios de V , con las operaciones de suma y producto por escalar usuales,para los dintintos espacios vectoriales mencionados:

a) V = IR2; S = {(x, y) ∈ V : y = −2x}

b) V = IR3; S = {(x, y, z) / y = x − 2z}

c) V = M2×2(IR), conjunto de matrices cuadradas de orden 2;

S =

{(

a bc d

)

/ d = 2a + b

}

.

d) V = P3, conjunto de los polinomios de grado menor o igual que 3 concoeficientes reales;

S = {at3 + bt2 + (a + b)t + (a − b) / a y b reales }.

e) V = IR4; S = {(a, 0, b, 0) / a y b ǫ IR}.

f) V = C(IR), el conjunto de las funciones continuas de IR en IR;

S = {f ∈ C(IR) / f(x) = f(−x), ∀ x ∈ IR}


3.- Analice por que los siguientes subconjuntos del espacio vectorial dado noconstituyen un subespacio, con las operaciones de suma y producto por escalarusuales para los ditintos espacios mencionados.

a) V = IR3; S = {(x, y, z) / x ≤ y ≤ z}.

b) V = M2×2(IR), conjunto de matrices cuadradas de orden 2;

S =

{(

a bc d

)

/ d = 1, b = c

}

.

c) V = P3(t); S = {at3 + bt2 + ct + d / a ≥ 0 y b ≥ 0}.

4.- Verifique que:

a) en el espacio vectorial IR3, (−74, 2, 10) es una combinacion lineal de (1

2, 2, 4)

y (−1, 12, 4).

b) en el espacio vectorial M2×2(IR), la matriz

(

0 0−7 2

)

es combinacion lineal de las matrices:

(

1 2−1 3

)

,

(

2 14 1

)

,

(

3 02 1

)

5.- Encuentre un conjunto de generadores para los siguientes subespacios:

a) S = {(x, y, z) ∈ IR3 / x − 2y + 3z = 0}

b) S = {p(t) ∈ P2 / p(t) = at2 + bt + c, a = −c}

c) S =

{(

a bc d

)

∈ M2×2(IR)/ a − 2b = 0, d = c

}

6.- Verifique que el conjunto del espacio vectorial mencionado es linealmenteindependientes.

a) {(1, 0, 0, 1), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1)} en IR4.

b) {32t2 + 3t + 1

2, t2 + 1

2t + 1

2, −1

3t2 − 1

2} en P2.


7.- Verifique que el conjunto de matrices de 2 × 2

{(

1 −20 1

)

,

(

2 0−1 2

)

,

(

3 2−2 3

)}

es un conjunto linealmente dependiente.

8.- En cada uno de los siguientes casos, verifique que el conjunto B dado esuna base del espacio V que se indica.

a) B = {(−1, 0, 1), (0, 1, 0)}, V = IR3.

b) B = {−3t, t2 + 1, t2 − 5}, V = P2.

c) B =

{(

3 10 0

)

,

(

3 20 0

)

,

(

−1 10 3

)

,

(

1 11 −2

)}

, V = M2×2(IR).

9- ¿ Cuales de los siguientes conjuntos forman un base de IR3 ?. Expresar elvector (−1, 1, 2) como una combinacion lineal de los vectores de cada conjuntoque sea base.

a) {(1, 2,−1), (−1,−2, 3), (0, 1, 1)} b){(−1, 1, 3), (1, 1,−1), (3,−1,−7)}

c) {(1, 0,−1), (2,−2, 1), (3, 2, 1)}

10.- Para los siguientes subespacios, determine una base y su dimension:

a) S = {(x, y, z)/z = 2x + y} ⊂ IR3

b) S =

{(

a b cd e f

)

/a + b + c = 0, d = 2f

}

⊂ M2×3(IR).

c) S = {at3 + bt2 + ct + d/a − 2b = 0, c = d} ⊂ P3

11.- Dadas las siguientes aplicaciones, verifique que ellas son TransformacionesLineales..

a) T : IR2 −→ IR2, T (x, y) = (x, x + y)

b) T : P2(t) −→ IR3, T (at2 + bt + c) = (a + c, a + b, b + c)

c) T : IR3 −→ M2×3(IR), T (x, y, z) =

(

x y z2x 2y z

)

d) T : IR4 −→ IR3, T (x, y, z, w) = (x + y, z − w, y + z)

e) T : IR3 → M2×2(IR), T (a, b, c) =

(

a bc a

)


12.- Para las siguientes Transformaciones Lineales, encuentre su Kernel e I-magen. De acuerdo a lo anterior, diga si alguna de ellas es inyectiva.

a) T : IR3 → IR3; T (x, y, z) = (x, z + y, y).

b) T : P3 → IR4; T (at3 + bt2 + ct + d) = (a + d, b, d − c, b)

c) T : P3 → IR3; T (at3 + bt2 + ct + d) = (a + c, b, 2b)

13.- En los siguientes casos, encuentre la transformacion lineal T tal que:

a) T : IR2 → P2 con T (1, 2) = t2 − 1 y T (0,−2) = −t2 + 2t.

b) T : IR3 → IR3 con T (1, 1, 1) = (0, 0, 1), T (1, 1, 0) = (0, 1, 1) yT (1, 0, 0) = (1, 1, 1)

14.- En los siguientes problemas encuentre la matriz asociada a la Transfor-macion Lineal T , com respecto de las bases B1 y B2 que se indican.

a) T : IR2 → IR3 : T (x, y) = (x − 2y,−x + y, 3y)

B1 = {(1,−2), (1, 1)}, B2 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

b) T : IR3 → P2(t) : T (x, y, z) = 2xt2 + (x + y)t + 2z

B1 = {(1, 0, 1), (1, 0, 0), (1, 1, 1)}, B2 = {3, t − 1, t2 + t}

c) T : IR3 → IR2 : T (x, y, z) = (x + y + z, y − 3z + 2x)

B1 = {(0, 1, 1), (2,−1, 0), (1, 0, 1)}, B2 = {(1,−1), (2, 3)}

15.- Sean B1 = {(1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)} y

B2 =

{(

0 00 1

)

,

(

0 10 1

)

,

(

1 10 0

)

,

(

1 01 0

)}

bases de IR3 y M2(IR), respectivamente. Encontrar la Transformacion LinealT de IR3 en M2(IR) cuya matriz asociada, con respecto de las bases B1 y B2,es:

A =

2 1 −11 0 22 −4 00 3 2


16.- Sean las transformaciones lineales T , de IR2 en P2, y L, de P2 en IR4,definidas por:

T (x, y) = xt2 + yt + y − x

L(at2 + bt + ct) = (a, b, c, a − b)

Determine la trasformacion lineal compuesta L ◦ T usando la matriz asociadarespecto de las bases canonicas.

17.- Considere el espacio IR3 y la base B = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}. SiT : IR3 −→ IR3 es una transformacion lineal tal que

[T ]BB =

1 1 11 1 01 0 0

Encuentre la ecuacion que define a T−1.

18.- Para las matrices dada a continuacion, encontrar los valores propios y susespacios propios asociados:

(

−2 −2−5 1

)

,

1 −1 0−1 2 −1

0 −1 1

Capıtulo 2

FUNCIONES EN VARIASVARIABLES

2.1. INTRODUCCION

Muchos fenomenos de las ciencias pueden ser descritos por una funcion enuna variable, pero muchas otras cantidades dependen de mas de una variable.

Por ejemplo:

El area de un rectangulo depende de dos cantidades: largo y ancho.

El volumen de una caja rectangular depende de tres cantidades: largo,ancho y alto.

En general, la temperatura de un punto P de un objeto en el espacio pue-de depender de la tres coordenadas rectangulares: x, y, z y del tiempot.

En esta seccion nos abocaremos a definir funciones de varias variables; dos ytres, y se analizaran algunas de sus propiedades.

Definicion 2.1. Una funcion en varias variables es una relacion que asignaa cada elemento de un conjunto D, llamado dominio, uno y solo un elementode un conjunto E, denominado co-dominio.

El estudio estara abocado solo a las llamadas funciones reales; es decir,a funciones cuyo dominio va a ser un subconjunto de IRn y co-dominio unsubconjunto de los numeros reales, IR. Mas especıficamente, se estudiaran lasfunciones con dominio en IR2 y IR3. De esta manera, se hablara de una funcionde dos variables como la funcion cuyo dominio sea un conjunto de puntos enel plano y de una funcion de tres variables como la funcion cuyo dominiosea un conjunto de puntos en el espacio.

Una funcion en varias variables es denotada usualmente por letras mi-nusculas (f, g, h, . . .). El valor de una funcion f de dos variables en el punto(x, y) es denotado por f(x, y) y el valor de una funcion f de tres variables enel punto (x, y, z) es denotado por f(x, y, z).

51

52 CAPITULO 2. FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES

Por ejemplo, consideremos como aplicacion a una lamina delgada tendidael el plano xy en el cual a cada punto (x, y) le corresponde una temperaturacon valor f(x, y) que puede ser medida con un termometro. Este valor se puederepresentar en otro eje perpendicular a los ejes anteriores que llamamos el ejez.

y

f (x,y)

(x,y)

x

f (a,b)

(a,b)

A continuacion se presentan algunos ejemplos de funciones de dos y tresvariables. Dependiendo de la ecuacion que represente a la funcion, se visuali-zara si el dominio va a corresponder a todo IR2 o solo un subconjunto de el,para el caso de funciones de dos variables, o a todo IR3 o un subconjunto deel, para funciones de tres variables.

Ejemplo 2.1.

1.- Sea la funcion f , de dos variables, dada por f(x, y) =√

9 − 4x2 − y2.Entonces, el dominio de la funcion son todos los puntos (x, y) del planotales que 4x2+y2 ≤ 9; debido a que en los numeros reales el argumento dela raız cuadrada no debe ser negativo. Geometricamente, el dominio dela funcion corresponde a la elipse que se muestra en la siguiente figura:

3/2− 3/2

− 3

3

y

x

Ahora, evaluando la funcion en algunos puntos se tiene:

2.1. INTRODUCCION 53

f(0, 0) =√

9 − 4(0)2 − (0)2 = 3

f(1, 1) =√

9 − 4(1)2 − (1)2 = 2

f(1, 2) =√

9 − 4(1)2 − (2)2 = 1

2.- Consideremos la funcion f de dos variables definida por xyy−x2 . Luego, su

dominio es el conjunto de todos los puntos (x, y) tales que y 6= x2; debidoa que el denominador no debe hacerse nulo. Graficamente se tiene:

y

x

Por ejemplo, algunos valores de la funcion son:

f(2, 1) =2 · (1)

1 − 22= −2

3

f(2, 3) =2 · (3)

3 − 22= −6

3.- Sea g una funcion de tres variables dada por g(x, y, z) =√

x2 + y2 + z2.Claramente, el dominio consiste de todos los puntos del espacio IR3, (x2+y2 + z2 ≥ 0 para todo punto (x, y, z)).

�

La suma, producto y cuociente de dos funciones f y g en varias variablesson definidas analogamente como en las funciones de una variable. Ası, laspropiedades para funciones de dos variables son:

(f ± g)(x, y) = f(x, y) ± g(x, y)

(fg)(x, y) = f(x, y)g(x, y)

(fg)(x, y) = f(x,y)

g(x,y), g 6= 0

Ahora nos proponemos a graficar una funcion de dos variables; esto es, di-bujar la coleccion de puntos (x, y, f(x, y)), para lo cual (x, y) esta en el dominiode f . Lo que se hace para esto es poner z = f(x, y) para constituir un sistemade coordenadas rectangulares de tres dimensiones, con ejes coordenados x, y, z,perpendicularmente entre sı. De esta manera, la ecuacion z = f(x, y) represen-tara una superficie S en el espacio. Si D es una region en el plano xy, entoncesel par (x, y) en D queda representado por (x, y, 0). Los valores de la funcion


x

y

z

S z=f(x,y)

.(x,y,0)

.

.D

Figura 2.1: Grafica de f de dominio D en el plano x-y

f(x, y) son las distancias (con signo) del plano xy a S, como se muestra en laFigura 2.1.

Un metodo que es util para describir la grafica de una superficie dada poruna funcion f de dos variables, de la forma z = f(x, y), consiste en trazar enel plano xy la grafica de la ecuaciones f(x, y) = k para varios valores de k. Lascurvas que se obtienen de esta manera son las llamadas curvas de nivel dela funcion f .

Ejemplo 2.2. Sea f la funcion de dos variables definida por f(x, y) = 6 −2x − 3y. Tomando z = f(x, y) = 6 − 2x − 3y, las curvas de nivel, en el planoxy, van a estar dadas por las ecuaciones 6 − x − 3y = c, para c ∈ IR dado; oequivalentemente por x + 3y = 6 − c.

Estas curvas son rectas que cortan al eje x en 6 − c y al eje y en 6−c3

:

c = 3

c = 0

c = 9

c = −31 2 4 6 9

1

3 5 8

2

3

−3 −2 −1 7

y

x

Entonces a traves de las curvas de nivel se puede dibujar la superficie. Losvalores de c representan, en tres demensiones, los valores sobre el eje z. Clara-mente, las curvas de nivel son rectas con pendientes negativas, de tal manera

2.2. LIMITES Y CONTINUIDAD 55

que la superficie correspondiente en el espacio va a corresponder a un planocomo el que se muestra en la siguiente figura:

x

y

z

En general en IR3, un plano esta dado por la ecuacion:

ax + by + cz = d, a, b, c, d ∈ IR, constantes

�

Ejemplo 2.3. Consideremos ahora la funcion f tal que f(x, y) = x2 + y2.Entonces, se denota por z = f(x, y); es decir, z = x2 + y2, y por lo tanto lascurvas de nivel van a estar dadas por las ecuaciones x2 + y2 = c, c ≥ 0, dado,(figura 2.2).

Ası, las curvas de nivel corresponden a circunferencias de radios√

c:Para graficar en tres dimensiones, vemos que a medida que aumenta c, lascircunferencias se hacen mas grandes; es decir, a medida que z aumenta a partirdel plano xy, se obtienen circunferencias mas grandes sobre planos paralelosal plano xy y ası en el espacio se produce un cono que se encuentra sobre elplano xy (figura 2.3).

�

2.2. LIMITES Y CONTINUIDAD

Consideremos f una funcion de dos variables y sea f(x, y) el valor de fpara un punto (x, y) cualquiera en su dominio. Si el valor de f(x, y) se acercaa un valor real fijo L cuando (x, y) se aproxima cada vez mas a un punto fijo(x0, y0), entonces esto se denota por:

lım(x,y)→ (x0,y0)

f(x, y) = L


1 2 3

c = 1

c = 4

c = 9

x

y

Figura 2.2: Curvas de nivel

y se lee: el lımite de f(x, y) cuando (x, y) tiende a (x0, y0) es L. Con la idea deformalizar matematicamente el concepto anterior, la distancia entre el punto(x, y) y (x0, y0), en el plano, es menor que δ es denotado por:

√

(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ

Bajo la nocion anterior, se entrega la definicion de lımite.

Definicion 2.2. Sea f una funcion definida en un conjunto de IR2, (x0, y0)un elemento de dicho conjunto y L un numero real. Entonces L es el lımitede f en (x0, y0), si para todo ǫ > 0 existe un numero δ > 0, tal que si:

√

(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ

se tiene que:

|f(x, y)− L| < ǫ.

En el caso que se den las condicones de la definicion anterior, escribimos:


f(x, y) = L

y se dice que lım(x,y)→ (x0,y0)

f(x, y) existe.

Los lımites de una suma, un producto, un cuociente de funciones en va-rias variables tienen las mismas propiedades que los lımites de operaciones defunciones de una variable; vale decir, que para funciones de dos variables setiene que si lım

(x,y)→ (x0,y0)f(x, y) y lım

(x,y)→ (x0,y0)g(x, y) existen, entonces:


x

z

y

Figura 2.3: Cono sobre el plano xy


[f(x, y) ± g(x, y)] = lım(x,y)→ (x0,y0)

f(x, y) ± lım(x,y)→ (x0,y0)

g(x, y).


[f(x, y) · g(x, y)] = lım(x,y)→ (x0,y0)

f(x, y) · lım(x,y)→ (x0,y0)

g(x, y).


f(x, y)

g(x, y)=


f(x, y)


g(x, y); si lım

(x,y)→ (x0,y0)g(x, y) 6= 0.


√

f(x, y) =√


f(x, y); si lım(x,y)→ (x0,y0)

f(x, y) > 0,

entre otras propiedades.En forma analoga a la definicion de lımites para funciones de dos varia-

bles, se puede definir el lımite para funciones de tres variables. Tambien lasreglas para los lımites de funciones de tres variables son equivalentes al casode funciones de dos variables.

De acuerdo a las propiedades mencionadas, el evaluar lımites para funcio-nes en varias variables es totalmente equivalente a evaluar lımites de funcionesen una variable. A continuacion se muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.4. Evaluar:

a) lım(x,y)→ (1,3)

(x2 + y2 − 4)

b) lım(x,y)→ (−1,2)

x3+y3

x2+y2


Solucion:

a) Aquı se puede calcular el lımite reemplazando x por 1 e y por 3:

lım(x,y)→ (1,3)

(x2 + y2 − 4) = (1)2 + (3)2 − 4 = 6

b) lım(x,y)→ (−1,2)

(x3+y3

x2+y2 ) =lım

(x,y)→ (−1,2)(x3+y3)

lım(x,y)→ (−1,2)

(x2+y2)

=(−1)3 + (2)3

(−1)2 + (2)2=

7

5

�

Ejemplo 2.5. Verifique que lım(x,y)→ (0,0)

(x2−y2

x2+y2 ) no existe.

En efecto: aquı no se puede reemplazar x e y por cero, dado que eso darıa undenominador nulo. Entonces:

f(x, 0) =(x2 − 0)

(x2 + 0)= 1, para x 6= 0.

f(0, y) =(0 − y2)

(0 + y2)= −1, para y 6= 0.

Por lo tanto a medida que nos acercamos al punto (0, 0) la funcion f puedetomar el valor 1 si lo hacemos a lo largo del eje x y −1 si lo hacemos a lo largodel eje y con, lo cual no existirıa el lımite en (0, 0); ya que de acuerdo a laDefinicion 2.2, si se toma ǫ = 1, entonces para cualquier punto (x, y) cercanoa (0, 0) debiera tenerse que:

−1 + L < f(x, y) < 1 + L;

pero, claramente no existe ningun L tal que el intervalo (−1+L, 1+L) contengaa 1 y −1.

�

Lo anterior se debe a que se verifica que si el lımite existe, este es unico.Ahora, en el plano xy existen infinitas trayectorias para alcanzar un punto. Loanterior da lugar a lo siguiente:

Regla de las trayectorias: si dos trayectorias que llevan a un punto (x0, y0)producen dos valores diferentes de lımite entonces:


f(x, y)

no existe. Este es el caso presentado en el Ejemplo 2.5.


Observacion 2.1. Si f es una funcion de dos variables definida en todo punto(x, y) de una region R excepto en un punto interior (x0, y0) de R, entonces,puede usarse la Definicion 2.2 para analizar el lımite de f cuando (x, y) tiendea (x0, y0), pensando que a este punto se puede acercar a traves de cualquiercurva o trayectoria. Ahora, si (x0, y0) es un punto de frontera de R se usa laDefinicion 2.2 con la restriccion adicional de que al punto (x0, y0) se puedeaproximar a traves de curvas o trayectorias que solo van desde el interior deR.

Teniendo presente la observacion anterior se da la siguiente definicion

Definicion 2.3.

a) Una funcion f de dos variables es continua en un punto (x0, y0) si


f(x, y) = f(x0, y0)

b) Una funcion f de tres variables es continua en un punto (x0, y0, z0) si

lım(x,y,z)→ (x0,y0,z0)

f(x, y, z) = f(x0, y0, z0)

c) Una funcion en varias variables se dice continua si es continua en todosu dominio.

Se pueden demostrar teoremas sobre la continuidad de funciones dedos y tres variables que son analogos a los de las funciones de una variable.En particular, los polinomios son funciones continuas en todas partes, y lasfunciones racionales son continuas salvo donde el denominador es cero.

Graficamente, para el caso de funciones de dos variables, una funciones continua si su grafica no tiene hoyos ni saltos verticales.

Ejemplo 2.6. Analice la continuidad de la funcion f , donde

f(x, y) = ln(x + y − 1)

Solucion:Sabemos que el logaritmo natural esta definido y tiene un valor real cuan-

do su argumento es positivo, es decir, cuando x + y − 1 > 0; con lo cual f escontinua para todo (x, y) en el plano tal que x + y > 1.

Ejemplo 2.7. Sea la funcion f definida por

f(x, y) =

{

x2−y2

x−yy 6= x

2 y = x(2.1)

Analice la continuidad en los puntos (1, 1) y (2, 2).


Solucion:

lım(x,y)→ (1,1)

f(x, y) = lım(x,y)→ (1,1)

(x2 − y2)

x − y= lım

(x,y)→ (1,1)

(x + y)(x− y)

(x − y)

= lım(x,y)→ (1,1)

(x + y) = 2

Como de (2.1) f(1, 1) = 2, entonces

lım(x,y)→ (1,1)

f(x, y) = f(1, 1)

y ası f es continua en (1,1).

Por otro lado

lım(x,y)→ (2,2)

f(x, y) = lım(x,y)→ (2,2)

(x2 − y2)

x − y= lım

(x,y)→ (2,2)(x + y) = 4

Como de 2.1 f(2, 2) = 2, entonces:

lım(x,y)→ (2,2)

f(x, y) 6= f(2, 2)

y f no es continua en (2, 2).�

2.3. DERIVADAS PARCIALES

Sea f una funcion de dos variables x e y. Si fijamos una de las dos varia-bles, por ejemplo y = y0, la funcion que toma los valores f(x, y0) es solo funcionde x. Si la funcion con expresion f(x, y0) tiene derivadas en x0, entonces dire-mos que dicha derivada es una derivada parcial en (x0, y0). En forma analoga,se puede concluir para la funcion en la variable y con expresion f(x0, y).

Con la idea anterior, se define lo que es una derivada parcial para unafuncion de dos variables.

Definicion 2.4. Sea f una funcion de dos variables x e y, y sea (x0, y0) unpunto del dominio de f . La derivada parcial de f con respecto de x enel punto (x0, y0) se define como:

fx(x0, y0) = lımh→ 0

f(x0 + h, y0) − f(x0, y0)

h

cuando este lımite existe. La derivada parcial de f con respecto de y enel punto (x0, y0) se define como:

fy(x0, y0) = lımh→ 0

f(x0, y0 + h) − f(x0, y0)

h

cuando este lımite existe.

2.3. DERIVADAS PARCIALES 61

A partir de la definicion anterior, se puede decir que las primeras derivadasparciales con respecto a x e y son las funciones fx y fy definidas por:

fx(x, y) = lımh→ 0

f(x + h, y) − f(x, y)

h(2.2)

fy(x, y) = lımh→ 0

f(x, y + h) − f(x, y)

h(2.3)

en los puntos del dominio de f donde estos lımites existan. Frecuentemente,las derivadas anteriores, son denotadas por ∂f

∂xy ∂f

∂y, respectivamente. En (2.2)

se esta dejando a y como una constante y por lo tanto la funcion f se estarıaconsiderando solo como una funcion de x, con lo cual fx(x, y) serıa como unaderivada simple en x. Analogamente, en (2.3) fy(x, y) serıa como una derivadasimple en y. Es decir, para calcular una derivada parcial a una funcion de dosvariables se procede en forma analoga al caso de funciones de una variable,como se ve en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.8. Dada la funcion f , de dos variables, con expresion

f(x, y) = 3xy − x2y + x3y2

a) Encontrar fx(x, y) y fy(x, y).

b) Calcular fx(3,−2) y fy(3,−2).

Solucion:

a) Dejando y constante y derivando con respecto de x, se encuentra que:

fx(x, y) = 3y − 2xy + 3x2y2

Ahora, dejando x constante y derivando con respecto de y, se obtieneque:

fy(x, y) = 3x − x2 + 2x3y

b) Substituyendo x = 3, y = −2 en fx(x, y) y fy(x, y) obtenidos en a), setiene que:

fx(3,−2) = 3(−2) − 2(3)(−2) + 3(3)2(−2)2 = 114

fy(3,−2) = 3(3) − (3)2 + 2(3)3(−2) = −108

�

De acuerdo a las definiones anteriores de las derivadas, las formulas parala suma, producto y el cuociente para las derivadas parciales son equivalentesa las formulas de las derivadas de funciones en una variable. Ası, si f y g sonfunciones con derivadas parciales, entonces:

(f ± g)x = fx ± gx

(fg)x = fxg + fgx


(

f

g

)

x

=fxg − fgx

g2, g 6= 0

Analogamente, estas formulas se cumplen para la derivada parcial fy

Ejemplo 2.9. Sea z = x2ysen(xy). Obtener ∂z∂x

Solucion: Escribiendo z como z = (x2y)(sen(xy)), entonces:

∂z

∂x=

∂

∂x(x2y)(sen(xy)) + x2y

∂

∂x(sen(xy))

= 2xysen(xy) + x2y(ycos(xy))

= 2xysen(xy) + x2y2cos(xy)

= xy(2sen(xy) + xycos(xy))

�

Ejemplo 2.10. Sea z = xy2

exy . Obtener ∂z∂y

.

Solucion:

∂z

∂y=

∂∂y

(xy2)(exy) − xy2 ∂∂y

(exy)

(exy)2

=2xyexy − xy2(xexy)

(exy)2

=xyexy(2 − xy)

(exy)2

=xy(2 − xy)

exy

�

Se puede pensar la derivada parcial de una funcion f con respecto de xen un punto (x0, y0), fx(x0, y0), como el regimen de cambio de f en (x0, y0) conrespecto al eje x, cuando y permanece constante. Por ejemplo, supongamos quef(x, y) representa el valor de la temperatura en un punto (x, y) de un metalplano tendido sobre el plano xy, entonces fx(x0, y0) representa la razon decambio (instantanea) de la temperatura en el punto (x0, y0) a lo largo de unarecta que pasa por dicho punto paralelo al eje x (Figura 2.4). Si la temperaturaaumenta cuando x crece entonces fx(x0, y0) > 0, mientras que si la temperaturadecrece cuando x crece, entonces fx(x0, y0) < 0.

Para un funcion f de tres variables, las derivadas parciales en un punto(x0, y0, z0) en el dominio de f son definidas como:

2.3. DERIVADAS PARCIALES 63

x

y

z

(x ,y )

y=y

0 0

0

.

Figura 2.4: Razon de cambio cuando y permanece constante

fx(x0, y0, z0) = lımh→ 0

f(x0 + h, y0, z0) − f(x0, y0, z0)

h

fy(x0, y0, z0) = lımh→ 0

f(x0, y0 + h, z0) − f(x0, y0, z0)

h

fz(x0, y0, z0) = lımh→ 0

f(x0, y0, z0 + h) − f(x0, y0, z0)

h

cuando estos lımites existen.Las formulas anteriores en cualquier punto (x, y, z) denotan el valor de las

funciones derivadas parciales fx, fy y fz. Las notaciones alternativas para estasfunciones son ∂f

∂x, ∂f

∂yy ∂f

∂z, respectivamente o ∂w

∂x, ∂w

∂yy ∂w

∂zsi w = w(x, y, z).

Ejemplo 2.11. Sea f(x, y, z) = e2xcosz + e3ysenz. Encontrar las derivadasparciales de f .

Solucion: En forma analoga a las funciones de dos variables, para obtenerlas derivadas parciales de una funcion se deriva con respecto de esa variable,considerando constantes las otras. Ası:

∂f

∂x= 2e2xcosz, constantes y, z.

∂f

∂y= 3e3ysenz, constantes x, z.

∂f

∂z= −e2xsenz + e3ycosz, constantes x, y.

�


Si f es una funcion de dos variables, x e y, entonces fx y fy son funcionesen las mismas variables y se pueden considerar sus derivadas parciales:

(fx)x = fxx =∂

∂x

(

∂f

∂x

)

=∂2f

∂x2

(fx)y = fxy =∂

∂y

(

∂f

∂x

)

=∂2f

∂y∂x

(fy)x = fyx =∂

∂x

(

∂f

∂y

)

=∂2f

∂x∂y

(fy)y = fyy =∂

∂y

(

∂f

∂y

)

=∂2f

∂y2

Estas derivadas parciales son llamadas segundas derivadas parciales def . Las funciones fxy y fyx son usualmente llamadas derivadas parcialesmixtas.

Ejemplo 2.12. Sea f(x, y) = x2y3 + 3xy − 2xy2. Obtener las segundas deri-vadas parciales de f .

Solucion: Las primeras derivadas parciales de f son:

fx(x, y) = 2xy3 + 3y − 2y2, fy(x, y) = 3x2y2 + 3x − 4xy.

Entonces:

fxx(x, y) =∂

∂x(2xy3 + 3y − 2y2) = 2y3

fxy(x, y) =∂

∂y(2xy3 + 3y − 2y2) = 6xy2 + 3 − 4y

fyx(x, y) =∂

∂x(3x2y2 + 3x − 4xy) = 6xy2 + 3 − 4y

fyy(x, y) =∂

∂y(3x2y2 + 3x − 4xy) = 6x2y − 4x

�

En el ejemplo anterior las derivadas parciales mixtas fxy y fyx resultanser iguales. El siguiente teorema afirma que, en condiciones adecuadas, las dosderivadas parciales mixtas son iguales; es decir, el orden de la derivacion noaltera el resultado.

Teorema 2.1. Sea f una funcion de dos variables x e y. Asumamos que fxy

y fyx son continuas en un punto (x0, y0) del plano xy, entonces

fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0)

A partir del resultado anterior, se puede afirmar que si fxy y fyx sonfunciones continuas en una region R del plano xy, entonces fxy = fyx en R.

Las segundas derivadas parciales de una funcion f de tres variables; x, y, zson definidas de manera equivalente al caso de funciones de dos variables.Ademas, si fxy y fyx son continuas en un punto (x0, y0, z0), entonces:

fxy(x0, y0, z0) = fyx(x0, y0, z0)

En forma analoga estos resultados se cumplen para fxz, fzx y fzy, fyz.

2.4. GRADIENTE Y DIFERENCIAL TOTAL 65

2.4. GRADIENTE Y DIFERENCIAL TOTAL

A traves de las derivadas parciales de primer orden puede ser definidoun vector que, como se vera mas adelante, juega un papel importante en ladefinicion de un plano tangente al grafico de una supeficie de tres dimensio-nes. Dicho vector, que definimos a continuacion, tiene especial significacion enalgunas aplicaciones fısicas.

Definicion 2.5. Sea f una funcion de dos variables x, y que tiene derivadasparciales de primer orden, en un punto (x0, y0). El gradiente de f en (x0, y0),es el vector denotado por ∇f(x0, y0) y definido por:

∇f(x0, y0) = fx(x0, y0)i + fy(x0, y0)j (2.4)

En general, de la Definicion 2.4, se puede decir que si f posee primerasderivadas parciales en una region R del plano xy, el gradiente de f es unafuncion vectorial; es decir, una aplicacion que asigna a cada punto uno y soloun vector, definida como:

∇f(x, y) = fx(x, y)i + fy(x, y)j, ∀ (x, y) ∈ R.

Tambien el gradiente ∇f(x, y) es denotado a veces por gradf(x, y).

Ejemplo 2.13. Sea f(x, y) = y2 − 2x2y. Encontrar el gradiente de f en elpunto (1,−1) y representarlo graficamente.

Solucion: Las primeras derivadas de f son:

fx(x, y) = −4xy, fy(x, y) = 2y − 2x2.

Entonces:∇f(x, y) = −4xyi + (2y − 2x2)j

Por lo tanto:∇f(1,−1) = 4i − 4j

con lo cual es representado en la Figura 2.5.�

En forma analoga a la definicion de gradiente de funciones de dos varia-bles, se define el gradiente de una funcion f de tres variables, x, y, z en unpunto (x0, y0, z0) del espacio por:

∇f(x0, y0, z0) = fx(x0, y0, z0)i + fy(x0, y0, z0)j + fz(x0, y0, z0)k.

Tambien, en una region R de IR3, donde f tiene primeras derivadas par-ciales, se tiene la funcion vectorial gradiente de f dada por:

∇f(x, y, z) = fx(x, y, z)i + fy(x, y, z)j + fz(x, y, z)k. (2.5)

Ejemplo 2.14. Sea f(x, y, z) = xy3z2. Obtener y graficar el vector ∇f(1, 1, 1).


4

−4

y

x

Figura 2.5: ∇f(1,−1) = 4i − 4j

Solucion: De acuerdo a la ecuacion (2.5) se tiene que:

∇f(x, y, z) = y3z2i + 3xy2z2j + 2xy3zk

Entonces:

∇f(1, 1, 1) = i + 3j + 2k

Este vector esta representado en la figura 2.6.�

Como se menciona al principio de esta seccion, una de las aplicacionesmas importantes del vector gradiente es el papel que juega en la obtencion delplano tangente a una supeficie.

Para llegar a lo anterior, comencemos diciendo que si C es una curvasuave en el plano xy dada por una funcion f que es diferenciable en un punto(x0, y0), cuya ecuacion es de la forma f(x, y) = c, c una constante, entonces sepuede demostrar que si ∇f(x0, y0) 6= (0i+0j), entonces ∇f(x0, y0) es normal operpendicular a la pendiente a la curva en el punto (x0, y0). Geometricamente,esta situacion es mostrada en la figura 2.7.

Ejemplo 2.15. Considere la curva en el plano xy, dada por la ecuacion:

x3y − 2xy + y2 = 6

Encuentre un vector perpendicular a la pendiente a la curva en el punto (1, 3).

Solucion: Si ponemos

f(x, y) = x3y − 2xy + y2

Entonces la ecuacion de la curva queda como f(x, y) = 6. Ahora

fx(x, y) = 3x2y − 2y, fy(x, y) = x3 − 2x + 2y


1

2

31 21

f(1,1,1)

∆

z

x

y

Figura 2.6: ∇f(1, 1, 1) = i + 3j + 2k

con lo cual:∇f(x, y) = (3x2y − 2y)i + (x3 − 2x + 2y)j

y ası:∇f(1, 3) = 3i + 5j

Resultando el vector 3i + 5j normal a la pendiente en la curva en el punto(1, 3).

�

Observacion 2.2. Generalmente, para mencionar estos vectores, se habla devectores normales o perpendiculares a la curva en el punto.

Ahora, consideremos una superficie S cuya grafica esta dada por la ecua-cion F (x, y, z) = c, c una constante; donde F tiene primeras derivadas con-tinuas. Sea (x0, y0, z0) un punto de S en que Fx, Fy y Fz no son todas nulas.Entonces se demuestra que el vector ∇F (x0, y0, z0) es perpendicular al planotangente a S en (x0, y0, z0) (Figura 2.8).

Por otra parte, el plano que pasa por (x0, y0, z0) y tiene como vectornormal a ∇F (x0, y0, z0) es el plano tangente a S en (x0, y0, z0) y se dice quedicho vector es un vector normal a la superficie S en (x0, y0, z0). Todo estolo resumimos en el siguiente resultado.

Teorema 2.2. Sea F una funcion de tres variables x, y, z, con primerasderivadas parciales continuas y sea (x0, y0, z0) un punto de la grafica deF (x, y, z) = 0. Si Fx, Fy y Fz no son todas nulas en (x0, y0, z0), entoncesel vector ∇F (x0, y0, z0) es perpendicular o normal al plano tangente a S en(x0, y0, z0).


(x ,y )0 0

0 0f(x ,y )

∆

y

x

Figura 2.7: Vector gradiente perpendicular a una curva

A partir de las condiciones del teorema anterior, se puede probar que laecuacion del plano tangente a una superficie S de ecuacion F (x, y, z) = 0 enun punto (x0, y0, z0) es:

Fx(x0, y0, z0)(x − x0) + Fy(x0, y0, z0)(y − y0) + Fz(x0, y0, z0)(z − z0) = 0

Ejemplo 2.16. Encontrar la ecuacion del plano tangente a la esfera x2 +y2 +z2 = 9 en el punto (1, 1,

√7).

Solucion: La ecuacion de la esfera se puede escribir como F (x, y, z) = 0;donde:

F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 9

Las derivadas parciales de F son:

Fx(x, y, z) = 2x, Fy(x, y, z) = 2y, Fz(x, y, z) = 2z

En este caso se tiene que (x0, y0, z0) = (1, 1,√

7)

Fx(1, 1,√

7) = 2, Fy(1, 1,√

7) = 2, Fz(1, 1,√

7) = 2√

7.

Entonces, la ecuacion del plano tangente a la superficie en el punto (1, 1,√

7)es:

2(x − 1) + 2(y − 1) + 2√

7(z −√

7) = 0

2x + 2y + 2√

7z = 18

La grafica se representa en la figura 2.9.�


x

y

z

.

∇f(x0,y0,z0)

(x0,y0,z0)

S

Figura 2.8: Gradiente de F perpendicular al plano tangente a S, en (x0, y0, z0)

Ahora, empezamos a introducirnos en el concepto de diferenciabilidadtotal. Consideremos una funcion f de dos variables x, y. Ademas denotemospor ∆x y ∆y a los incrementos de x e y, respectivamente

Definicion 2.6. Sea z = f(x, y) y sea ∆x0 y ∆y0 los incrementos de x0 e y0,coordenadas de un punto del dominio de f . Entonces, el incremento ∆z0 sedefine como:

∆z0 = f(x0 + ∆x0, y0 + ∆y0) − f(x0, y0)

Observemos que el incremento ∆z0 es el cambio en el valor de la funcion cuando(x0, y0) varıa a (x0 + ∆x0, y0 + ∆y0); donde este ultimo punto tambien debeestar en el dominio de f . En general, para cualquier punto (x, y) en el dominiode una funcion f tal que (x + ∆x, y + ∆y) sea tambien un punto del dominio,el incremento ∆z se define como

∆z = f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y)

Ejemplo 2.17. Sea z = f(x, y) = 2y2 − xy. Calcule el incremento ∆z

Solucion:

∆z = f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y)


3

3

3

x

y

z

∇f(1,1, 7)

.

(1,1, 7)S

Figura 2.9: Plano tangente a la esfera en el punto (1, 1,√

7)

donde ∆x y ∆y son los incrementos de x e y respectivamente. Ası:

∆z = f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y)

= 2(y + ∆y)2 − (x + ∆x)(y + ∆y) − (2y2 − xy)

= 2(y2 + 2y∆y + (∆y)2) − (xy + x∆y + y∆x + ∆x∆y) − 2y2 + xy

= 4y∆y + 2(∆y)2 − x∆y − y∆x − ∆x∆y

Ahora si (x, y) varıa de (1,1) a (0.99,1.02), entonces la variable x tiene unincremento de ∆x = −0.01 y la variable y tiene un incremento de ∆y = 0.02;con lo cual, para esta situacion se tiene que:

∆z = 4(1)(0.02) + 2(0.02)2 − 1(0.02) − 1(−0.01) − (−0.01)(0.02) = 0.071

Claramente, este valor se puede obtener calculando f(0.99, 1.02)− f(1, 1).�

La Definicion 2.6 de ∆z0 entrega solo la forma de calcular la diferenciade los valores funcionales entre dos puntos que se suponen cercanos; no sien-do adecuada para obtener resultados sobre la variacion de f en esos puntos.Al respecto, para derivar a una formula mas util se entrega la definicion dediferenciabilidad, para una funcion de dos variables.

Definicion 2.7. Una funcion f de dos variables es diferenciable en un punto(x0, y0) si existen un disco D centrado en (x0, y0) y funciones ǫ1 y ǫ2 de dosvariables tal que:

f(x, y) − f(x0, y0) =

fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0)

+ǫ1(x, y)(x − x0) + ǫ2(x, y)(y − y0), ∀(x, y) ∈ D (2.6)


donde:


ǫ1(x, y) = 0 y lım(x,y)→ (x0,y0)

ǫ2(x, y) = 0

Puesto que los lımites mencionados, en la definicion anterior, son ceros,entonces para puntos (x, y) muy cercanos a (x0, y0) se tiene que la ecuacion(2.6) puede ser escrita como:

f(x, y) − f(x0, y0) ≈ fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0)

Ahora si reemplazamos x por x0 + ∆x e y por y0 + ∆y la relacion anteriorqueda como:

f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f(x0, y0) ≈ fx(x0, y0)∆x + fy(x0, y0)∆y (2.7)

Tomando el punto (x0, y0) como cualquier punto (x, y) en el dominio de f enel cual f es diferenciable, se tiene que (2.7) se puede escribir como:

f(x + ∆x, y + ∆y) − f(x, y) ≈ fx(x, y)∆x + fy(x, y)∆y

El lado derecho de esta ultima relacion usualmente recibe el nombre dediferencial o diferencial total de f en (x, y) con incrementos ∆x y ∆y;siendo denotado por df . Ası:

df = fx(x, y)∆x + fy(x, y)∆y

Finalmente, definiendo ∆x y ∆y como las diferenciales dx y dy, respecti-vamente, se tiene que:

df = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy

Observacion 2.3. Si ponemos z = f(x, y), entonces la diferencial de la va-riable dependiente z es:

dz = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy =∂z

∂xdx +

∂z

∂ydy

Ejemplo 2.18. Sea z = 2y2 − xy. Encuentre la diferencial dz y a partir deella obtenga en forma aproximada la variacion de z cuando (x, y) cambia de(1,1) a (0.99,1.02)

Solucion:

dz =∂z

∂xdx +

∂z

∂ydy

= −ydx + (4y − x)dy

De acuerdo a los datos del problema se tiene que el incremento de la variablex es dx = ∆x = −0.01, y el incremento de la variable y es dy = ∆y = 0.02.Ahora, evaluando dz en el punto original; es decir, en el punto (1, 1) se tiene:


dz = −1(−0,01) + (4 − 1)(0.02) = 0.07

En el Ejemplo 2.17 se considero esta funcion y se llego a que ∆z = 0.071.Luego para el valor aproximado de ∆z, dz, se comete un error de 0.001.

�

Ejemplo 2.19. Una lamina de metal se encuentra en el plano xy y la tempe-ratura T en un punto (x, y) esta dada por

T (x, y) = 10(x2 + y2)2

donde T se mide en oC, x e y en cms. Calcular el cambio aproximado de latemperatura desde el punto (2, 3) al punto (2.01, 2.03).

Solucion: El cambio aproximado de la temperatura entre los puntos se apro-xima por el diferencial dT que esta dado por

dT =∂T

∂xdx +

∂T

∂ydy

De acuerdo a la variacion entre las coordenadas se tiene que dx = 0.01 ydy = −0.97. Ahora:

∂T

∂x= 2 · 10(x2 + y2) · 2x = 40x(x2 + y2)

∂T

∂y= 2 · 10(x2 + y2) · 2y = 40y(x2 + y2)

de donde:

dT = 40x(x2 + y2)dx + 40y(x2 + y2)dy

Evaluando dT en el punto original (x, y) = (2, 3) se tiene que

dT = 1040(0.01) + 1560(−0.97) = −1502.8

Es decir, la temperatura disminuye en 1502.8 oC cuando pasa desde el punto(2, 3) al punto (2.01, 2.03)

�

Generalizando, se puede afirmar que si f es una funcion de tres variables:x, y, z; donde fx, fy y fz existen en una region R y son continuas en (x, y, z),el diferencial df esta dado por:

df = fx(x, y, z)dx + fy(x, y, z)dy + fz(x, y, z)dz

2.5. ROTOR Y DIVERGENCIA 73

2.5. ROTOR Y DIVERGENCIA

En el concepto de gradiente, en la seccion anterior, se dio la idea deque constituıa, si se podıa definir en cada punto de algun conjunto, un ciertoconjunto de vectores el cual originaba una funcion vectorial. En esta seccion, sedetallara mas este concepto que permitira definir lo que es rotor y divergencia.

Si a cada punto P de una region (del plano o del espacio) se le asocia ununico vector con punto inicial P , entonces el conjunto de tales vectores es loque llamamos campo vectorial. Por ejemplo, en un rio a cada partıcula deagua que se mueve en el le podemos asociar un vector velocidad. Dicho campovectorial es un campo de velocidad o de velocidades.

Otro tipo muy comun de campos vectoriales es el campo de fuerzas,utilizado en el estudio de la mecanica. En este contexto, se puede mencionar elcampo gravitatorio de fuerzas de la tierra; ya que asocia a cada punto (x, y, z)del espacio, un vector que representa la fuerza que ejerce la tierra sobre unaunidad de masa ubicada en (x, y, z).

Definicion 2.8. Un campo vectorial en tres dimensiones F es una fun-cion cuyo dominio es un subconjunto D de IR3 el cual asigna a cada punto(x, y, z) en D uno y solamente un vector F (x, y, z) que se indica como:

F (x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P (x, y, z)k;

donde M, N y P son funciones reales de tres variables.

Ejemplo 2.20. Si F (x, y, z) = j, entonces el campo vectorial se trata de vec-tores de magnitud 1 y cuya direccion es la direccion positiva del eje y:

x

y

z

�


Ejemplo 2.21. Si F (x, y, z) = yk, entonces el campo vectorial se trata devectores de magnitud |y| y de direccion a lo largo del eje z (positiva o negativa):

x

y

z

0

�

Un caso especial es aquel en que el dominio es una region en el plano xy yel codominio es un conjunto de vectores en el plano. Dicho caso corresponde aun campo vectorial F en dos dimensiones, que es una funcion dada por:

F (x, y) = M(x, y)i + N(x, y)j .

donde M y N son funciones reales de dos variables:

Ejemplo 2.22. Si F (x, y) = xi+yj, entonces este campo vectorial esta descritoen el siguiente grafico:

x

y

2.5. ROTOR Y DIVERGENCIA 75

�

Existen dos tipos de derivadas que se obtienen a partir de un campovectorial, una que es una funcion real evaluada y la otra que es un campovectorial. Se comienza difiniendo la funcion real evaluada.

Definicion 2.9. Sea F (x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P (x, y, z)k, uncampo vectorial tal que Mx, Ny y Pz existen. Entonces la divergencia de F ,es denotada por div F , y esta dada por:

div F =∂M

∂x(x, y, z) +

∂N

∂y(x, y, z) +

∂P

∂z(x, y, z) .

Ejemplo 2.23. Sea F un campo vectorial definido por F (x, y, z) = xyi +(2y2z + x2)j + 4x3z2k. Encontrar div F .

Solucion: Si se define:

M(x, y, z) = xy, N(x, y, z) = 2y2z + x2, P (x, y, z) = 4x3z2

Entonces:

div F =∂M

∂x(x, y, z) +

∂N

∂y(x, y, z) +

∂P

∂z(x, y, z)

= y + 4yz + 8x3z

�

Una aplicacion fısica de la divergencia puede observarse en el siguienteejemplo.

Ejemplo 2.24. Si F representa un campo de velocidades en un fluido, entoncesla div F entrega informacion acerca del flujo o desplazamiento de la masa. Sidiv F < 0 en un punto (x, y, z) del fluido, entonces la masa fluye hacia el puntoy se dice que hay un sumidero en el punto. Ahora, si div F > 0, entoncesla masa fluye desde el punto y se dice que hay una fuente en el punto. Sidiv F = 0 para cualquier punto del fluido, entonces se dice que el fluido esincompresible.

El segundo tipo de derivada, que se obtiene a partir de un campo vectorial,constituye otro campo vectorial que se define a continuacion.

Definicion 2.10. Sea F un campo vectorial en tres dimensiones dado por:

F (x, y, z) = M(x, y, z)i + N(x, y, z)j + P (x, y, z)k,

tal que las primeras derivadas parciales de M, N y P existen. El rotor de F ,denotado por rot F , es definido por:

rot F =

(

∂P

∂y− ∂N

∂z

)

i +

(

∂M

∂z− ∂P

∂x

)

j +

(

∂N

∂x− ∂M

∂y

)

k


El rotor de F tambien puede ser considerado como un determinante deuna matriz de tres por tres:

rot F =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

M N P

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Ejemplo 2.25. Sea F un campo vectorial definido por F (x, y, z) = (2xy2 +z)i + x2yzj− ex2

k. Encontrar rot F

Solucion: Tomando M(x, y, z) = 2xy2 + z, N(x, y, z) = x2yz yP (x, y, z) = −ex2

, se tiene que:

∂P∂y

= 0, ∂N∂z

= x2y, ∂M∂z

= 1

∂P∂x

= −2xex2, ∂N

∂x= 2xyz, ∂M

∂y= 4xy

Entonces:rot F = −x2yi + (1 + 2xex2

)j + (2xyz − 4xy)k

�

Nuevamente, si se supone que F representa el campo de velocidades deun fluido, que se mueve a traves de una region solida, entonces las partıculasen el fluido tienden a rotar con la maxima rapidez alrededor de un eje en ladireccion de rot F (x, y, z), como se muestra el Figura 2.10; donde (x, y, z) esun punto del fluido.

Si rot F (x, y, z) = 0, entonces el campo vectorial F se dice irrotacional,independientemente si F representa o no un campo de velocidades.

De las distintas relaciones entre el gradiente, divergencia y rotor, las masfrecuentes son:

div(rot F ) = 0

rot(grad F ) = θ

Otra formula importante es:

div(grad f) =∂2f

∂x2+

∂2f

∂y2+

∂2f

∂z2

El lado derecho de esta ultima relacion se llama Laplaciano de f y usualmentese denota por ∇2f

2.6. REGLA DE LA CADENA

Si f y g son funciones de una variable tales que:

w = f(u) y u = g(x)

entonces la funcion compuesta f ◦ g esta dada por:

w(x) = f(g(x))

2.6. REGLA DE LA CADENA 77

rot F(x, y, z)

(x, y, z)

Figura 2.10: rotor de un campo vectorial

y la derivada de w con respecto de x se encuentra aplicando la regla de lacadena:

dw

dx=

dw

du

du

dx

Las funciones compuestas en varias variables tienen su propia version dela regla de la cadena, en el cual se involucran derivadas y derivadas parciales.A continuacion se entregan algunos resultados de la regla de la cadena parafunciones de dos y tres variables, suponiendo que en cada caso las funcionestienen las derivadas requeridas. Estos resultados se obtienen a partir de pro-piedades importantes del Calculo Superior.

1.- Sean z = f(x, y), x = g1(t), y = g2(t). Entonces se tiene que z =f(g1(t), g2(t)) ≡ F (t) y

dz

dt=

∂z

∂x

dx

dt+

∂z

∂y

dy

dt(2.8)

2.- Sean z = f(x, y), x = g1(u, v), y = g2(u, v). Entonces se tiene quez = f(g1(u, v), g2(u, v)) ≡ F (u, v) y

∂z

∂u=

∂z

∂x

∂x

∂u+

∂z

∂y

∂y

∂u(2.9)

∂z

∂v=

∂z

∂x

∂x

∂v+

∂z

∂y

∂y

∂v(2.10)


3.- Sean w = f(x, y, z), x = g1(t), y = g2(t), z = g3(t). Entonces se tieneque w = f(g1(t), g2(t), g3(t)) ≡ F (t) y

dw

dt=

∂w

∂x

dx

dt+

∂w

∂y

dy

dt+

∂w

∂z

dz

dt(2.11)

4.- Sean w = f(x, y, z), x = g1(u, v), y = g2(u, v) z = g3(u, v). Entoncesse tiene que w = f(g1(u, v), g2(u, v), g3(u, v)) ≡ F (u, v) y

∂w

∂u=

∂w

∂x

∂x

∂u+

∂w

∂y

∂y

∂u+

∂w

∂z

∂z

∂u(2.12)

∂w

∂v=

∂w

∂x

∂x

∂v+

∂w

∂y

∂y

∂v+

∂w

∂z

∂z

∂v(2.13)

Ejemplo 2.26. Sea z = x2ey; x = sent, y = t3. Encontrar dzdt

.

Solucion: La variable z resulta ser finalmente funcion de t. Aplicando (2.8)se llega a que:

dz

dt= (2xey)(cos t) + (x2ey)(3t2)

= 2xeycos t + 3x2t2ey

Ahora se debe reemplazar x por sent e y por t3, obteniendose finalmente:

dz

dt= 2et3sen t cos t + 3t2et3sen2 t

�

Ejemplo 2.27. Suponga que z = xlny, x = u2 + v2, y = u2 − v2. Encontrar∂z∂u

y ∂z∂v

.

Solucion: Aquı se debe usar relaciones (2.8) y (2.9), ya que a traves de x e y,z resulta ser funcion de u y v, con lo que se llega a que:

∂z

∂u= (ln y)(2u) +

x

y2u

= 2uln y + 2ux

y

Haciendo x = u2 + v2, y = u2 − v2 se obtiene finalmente:

∂z

∂u= 2uln(u2 − v2) + 2u

u2 + v2

u2 − v2

Analogamente, se tiene que:

∂z

∂v= (ln y)2v +

x

y(−2v)

= 2vln(u2 − v2) − 2vu2 + v2

u2 − v2

�

A continuacion, vemos un ejemplo de la regla de la cadena aplicado a unproblema de la quımica.

2.6. REGLA DE LA CADENA 79

Ejemplo 2.28. La presion P , el volumen V y la temperatura T , de un gasencerrado, estan relacionados por la ley del gas ideal PV = kT , donde k esuna constante. Suponiendo que P y V varıan con rapidez dP

dty dV

dt, respectiva-

mente, encuentre una formula que permita evaluar la rapidez de cambio de latemperatura dT

dt, usando la regla de la cadena.

Solucion: De la ecuacion PV = kT , se tiene que:

T =PV

k;

o sea, T es funcion de P y V . Entonces, aplicando la regla de la cadena seobtiene dT

dtcomo:

dT

dt=

∂T

∂P

dP

dt+

∂T

∂V

dV

dt

=V

k

dP

dt+

P

k

dV

dt

Ası, conociendo los valores de la rapidez de cambio de la presion y vo-lumen, para un cierto volumen V y una presion P , se obtiene el valor de larapidez de variacion de la temperatura.

�

El uso de la regla de la cadena sirve tambien para obtener las derivadas delas funciones que estan determinadas implıcitamente. Asumamos, por ejemplo,que f es una funcion de dos variables y que la ecuacion f(x, y) = 0 defineimplıcitamente a y como una funcion de x. Si df

dyno es nula y si dy

dxexiste,

entonces la regla de la cadena nos permite obtener una formula para dydx

. Paraello ponemos:

w = f(u, y), u = x, y = y(x)

Usando la regla de la cadena y el hecho de que u e y son funciones solo de lavariable x, entonces :

dw

dx=

∂w

∂u

du

dx+

∂w

∂y

dy

dx(2.14)

Como f(x, y) = 0, para todo x, resulta que dwdx

= 0. Ademas:

du

dx= 1 ,

dy

dx= y′(x)

Por lo tanto, reemplazando lo anterior en ecuacion (2.14), se llega a:

0 =∂w

∂u(1) +

∂w

∂yy′(x)

Como se supone que ∂w∂y

no es nulo , entonces:

y′(x) = −∂w

∂u

/

∂w

∂y

= −∂f(x, y)

∂x

/

∂f(x, y)

∂y


Ejemplo 2.29. Suponiendo y = y(x), encontrar y′ en la ecuacion:

y3 + 3y2 − 5x4 − 4x = 0

Solucion: Haciendo:

f(x, y) = y3 + 3y2 − 5x4 − 4x

Entonces:

y′ = −∂f(x, y)

∂x

/

∂f(x, y)

∂y

= −−20x3 − 4

3y2 + 6y=

20x3 + 4

3y2 + 6y

�

En forma analoga con el caso anterior, si se tiene una funcion f de tresvariables: x, y, z, dada por la ecuacion de la forma f(x, y, z) = 0 en que fz noes nula y z depende implicıtamente de las variables x e y se verifica que ∂z

∂xy

∂z∂y

estan dadas por:

∂z

∂x= −fx(x, y, z)

fz(x, y, z),

∂z

∂y= −fy(x, y, z)

fz(x, y, z)

2.7. VALORES EXTREMOS

Lo mismo que para funciones de una variable, las funciones en variasvariables pueden tener valores maximos y mınimos sobre un conjunto dado.Igual que en el caso de una variable, la nocion de valores maximos y mınimosrelativos facilita el estudio de valores maximos o mınimos en el caso de variasvariables. Dado que el problema de valores extremos (maximos o mınimos) parafunciones en varias variables es bastante mas dificultoso que para funciones deuna variable, nos limitamos solo para el caso de funciones de dos variables.

Una funcion f de dos variables tiene un maximo relativo en un punto(x0, y0) del plano xy si existe un disco D centrado en (x0, y0) tal que f(x, y) ≤f(x0, y0) para todo (x, y) en D. En forma analoga, se dice que f tiene unmınimo relativo en un punto (x0, y0) del plano xy si existe un disco Dcentrado en (x0, y0) tal que f(x, y) ≥ f(x0, y0) para todo (x, y) en D.

Ahora, una funcion f de dos variables se dice que tiene un valor maximo(respectivamente, un valor mınimo) en una region R contenida en el domi-nio de f , en un punto (x0, y0) de R, si f(x, y) ≤ f(x0, y0) (respectivamente,f(x, y) ≥ f(x0, y0)) para todo (x, y) en R.

Observacion 2.4. Si la region R corresponde al dominio de f , se dice que ftiene un valor maximo (respectivamente, un valor mınimo) en (x0, y0).

Como una primera etapa, veamos la manera de identificar los valoresmaximos o mınimos relativos. Asumamos que f tiene un valor extremo relativoen un punto (x0, y0) del plano xy y coloquemos:

2.7. VALORES EXTREMOS 81

g(x) = f(x, y0), h(y) = f(x0, y)

Entonces, claramente g tiene un valor extremo relativo en x0 y h tiene un valorextremo relativo en y0. Por lo tanto si fx(x0, y0) y fy(x0, y0) existen se tieneque:

fx(x0, y0) = g′(x0) = 0, fy(x0, y0) = h′(y0) = 0

Esto permite enunciar el siguiente resultado:

Teorema 2.3. Supongamos que f tieme un valor maximo relativo o un valormınimo relativo en un punto (x0, y0), entonces

fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0

Tambien como en el caso de funciones en una variable, los maximos ymınimos relativos se pueden alcanzar en puntos del plano en que fx o bien fy

no existe. Esto da origen a la siguiente definicion.

Definicion 2.11. Sea f una funcion de dos variables. Un par (x0, y0) se dicepunto crıtico de f si fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0, o bien fx(x0, y0) o fy(x0, y0)no existe.

Observacion 2.5. Del Teorema 2.3 se puede concluir que para que un puntopueda ser maximo o mınimo relativo, este debe ser un punto crıtico.

Ejemplo 2.30. Considere la funcion f de dos variables dada por:

f(x, y) = 3 − x2 + 2x − y2 − 4y

Encuentre los puntos crıticos de f.

Solucion: Los puntos crıticos de f son soluciones del sistema de las dosecuaciones:

fx(x, y) = 0, fy(x, y) = 0;

vale decir,

−2x + 2 = 0, −2y − 4 = 0

El unico punto que satisface estas dos ecuaciones es el punto (1,-2), con lo cual(1,-2) es el unico punto crıtico de f .

�

El siguiente ejemplo muestra que pueden existir puntos que no son maxi-mos ni mınimos relativos, aunque sean puntos crıticos.

Ejemplo 2.31. Sea f(x, y) = y2 − x2. Verificar que el punto (0,0) es el unicopunto crıtico, pero que f(0, 0) no es un valor extremo relativo.


Solucion: En este caso

fx(x, y) = −2x, fy(x, y) = 2y

entonces, el punto (0,0) es el unico punto crıtico de f , con lo cual el unico puntoextremo posible es el punto (0,0) con valor extremo f(0, 0) = 0. Sin embargo,debido a que f(x, 0) = −x2 < 0 para x 6= 0 y f(0, y) = y2 > 0 para y 6= 0, noexiste ningun disco D, centrado en el punto (0, 0), tal que f(0, 0) = 0 ≥ f(x, y)o f(0, 0) = 0 ≤ f(x, y) para todo (x, y) en D. Por consiguiente, el punto (0,0)no es maximo ni mınimo relativo. De hecho, al dibujar la grafica de la funcionf se obtiene:

x

y

z

z=y - x2 2

Lo que verifica que el punto (0,0) no es ni maximo ni mınimo relativo.�

Debido a la forma de la superficie alrededor del punto (0,0,0) se dice queeste punto de la grafica es un punto de silla. En general, se puede decir quesi f es una funcion para la cual fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0 y si existen doslıneas en el plano xy que pasan por el punto (x0, y0), en una de las cuales fasume un valor maximo relativo y en la otra un valor mınimo relativo entoncesdecimos que f tiene un punto de silla en (x0, y0).

Una vez que se han determinados los puntos crıticos de una funcion f ,serıa interesante determinar cuales de ellos es un punto extremo relativo, demaximo o mınimo, o tambien si uno de ellos corresponde a un punto de silla. Atraves del siguiente resultado, cuya demostracion es omitida, que involucra se-gundas derivadas parciales, se podra concluir el tipo de punto que correspondea cada uno de los puntos crıticos obtenidos.

Teorema 2.4. Sea f una funcion de dos variables, que tiene segundas deri-vadas parciales continuas en una region rectangular R y sea

D(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y) − [fxy(x, y)]2 (2.15)

para todo (x, y) en R. Si (x0, y0) esta en R y fx(x0, y0) = fy(x0, y0) = 0,entonces:


a) Si D(x0, y0) > 0 y fxx(x0, y0) < 0, entonces f tiene un valor maximorelativo en (x0, y0).

b) Si D(x0, y0) > 0 y fxx(x0, y0) > 0, entonces f tiene un valor mınimorelativo en (x0, y0).

c) Si D(x0, y0) < 0, entonces f tiene un punto de silla en (x0, y0).

Si D(x0, y0) = 0, el teorema no entrega informacion; con lo cual f podrıatener o no valores extremos relativos en (x0, y0). La expresion D(x, y) es lla-mada el discriminante de f en (x, y). Un punto crıtico se dice degeneradosi D(x0, y0) = 0 y no degenerado en caso contrario.

Ejemplo 2.32. Sea f(x, y) = x2 − 2xy + 13y3 − 3y. Determinar si f tiene

valores extremos relativos y puntos de silla.

Solucion: Como fx(x, y) = 2x− 2y y fy(x, y) = −2x + y2 − 3, entonces lospuntos crıticos se obtiene de la resolucion del sistema de ecuaciones:

2x − 2y = 0

−2x + y2 − 3 = 0.

De la primera ecuacion se tiene que y = x, con lo que reemplazando y por xen la segunda ecuacion queda la ecuacion en una variable:

x2 − 2x − 3 = 0

o equivalentemente:

(x − 3)(x + 1) = 0

y ası x = 3 y x = −1 son soluciones de esta ecuacion. Como x = y, entonceslos puntos crıticos de f son los puntos (3,3) y (-1,-1). Las segundas derivadasparciales de f son:

fxx(x, y) = 2, fyy = 2y, fxy = −2

y por lo tanto el discriminante queda como:

D(x, y) = 2(2y) − (−2)2 = 4y − 4.

Como D(3, 3) = 8 > 0 y fxx(3, 3) = 2 > 0, entonces f tiene un mınimo relativoen el punto (3, 3). Puesto que D(−1,−1) = −8 < 0, entonces f tiene un puntode silla en (−1,−1).

�

Ejemplo 2.33. Se desea construir una caja sin tapa con la forma de un para-lelepıpedo rectangular que tenga un volumen de 32 cms3. Calcular las dimen-siones de la caja de tal manera que el area a ocupar por ella sea mınima.


Solucion: Sean x e y las dimensiones en centımetros de los lados de la basede la caja y sea z la altura, tambien en centımetros. Como hay dos lados dearea xz y dos lados de area yz, el area total que ocupa la caja es:

A = xy + 2xz + 2yz

donde x, y, z deben ser diferentes de cero. Ahora, el volumen de la caja es xyzy debe ser igual a 32 cms3, o sea

xyz = 32

de donde

z =32

xy

Reemplazando z en la formula de A y simplificando se obtiene:

A(x, y) = xy +64

y+

64

x

con x > 0 e y > 0. Los puntos crıticos se obtienen resolviendo el sistema dedos ecuaciones:

Ax = y − 64

x2= 0, Ay = x − 64

y2= 0

con lo que x2y = 64 y xy2 = 64, respectivamente. De la primera ecuacionse obtiene que y = 64

x2 y sustituyendo y en la segunda se llega a:

x

(

64

x2

)2

= 64

o bien

x3 = 64 =⇒ x = 4

De y = 64x2 resulta que y = 4, con lo que el punto (4, 4) es el unico punto crıtico.

Determinando las segundas derivadas parciales se tiene que:

Axx =128

x3, Ayy =

128

y3, Axy = 1

y ası

D(x, y) =128

x3

128

y3− 1

y por lo tanto

D(4, 4) = 2 ∗ 2 − 1 = 3 > 0

luego D(4, 4) > 0 y Axx(4, 4) = 2 > 0, por lo tanto de, acuerdo al Teorema 2.4,el punto (4, 4) es un punto de mınimo relativo. Este punto pasa a ser tambienun mınimo global, dado que es el unico punto crıtico.


Finalmente, reemplazando x = y = 4 en z = 32xy

se tiene que z = 2. Ası laslongitudes de la caja que minimizan su area son la base de 4 por 4 cms y laaltura de 2 cms; siendo entonces el area mınima A = 48 cms2

�

Hasta aquı no se ha tocado el caso en que las variables involucradas estanrestringidas a tomar valores solo dentro de un conjunto acotado del plano. Estasituacion es abordada de la siguiente manera:Sea S un conjunto acotado en el plano, (esto es, S esta contenido en una regionrectangular cerrada) y que contiene su borde o frontera. Bajo estas condicionesse entrega el siguiente resultado para funciones de dos variables:

Teorema 2.5. Sea S un conjunto acotado en el plano xy que contiene suborde y sea f una funcion de dos variables continuas en S. Entonces, f tieneun valor maximo y un valor mınimo en S.

Por lo visto anteriormente, se ve que si S es un conjunto acotado y ftiene un valor extremo en S en un punto (x0, y0) entonces dicho punto es unpunto crıtico de S o bien es un punto de frontera de S. Este hecho junto con elTeorema 2.5 nos proporciona una metodologıa para encontrar valores extremosen un conjunto acotado S:

1. Ver la existencia de puntos crıticos de f en el conjunto S.

2. Encontrar los valores extremos de f sobre la frontera S.

3. El valor maximo de f en S es obtenido como el mayor de los valorescalculados en los puntos obtenidos en 1 (si es que los hay) y 2 y el valormınimo de f en S se obtiene del mas pequeno de dichos valores.

Ejemplo 2.34. Sea f(x, y) = x2 − 4xy + y3 + 4y. Encontrar el valor maximoy el valor mınimo de la region triangular S que tiene como vertices los puntos(−1,−1), (7,−1) y (7, 7).

Solucion: Graficamente, la region S es:

y

x

l

l

l

2

31

(7,−1)

(7,7)

(−1,−1)


El borde de S consta de los segmentos l1, l2 y l3 como se muestra en la figura.Puesto que:

fx(x, y) = 2x − 4y y fy(x, y) = −4x + 3y2 + 4

se sigue que los puntos crıticos se obtienen de la solucion del sistema de dosecuaciones:

2x − 4y = 0 (2.16)

−4x + 3y2 + 4 = 0 (2.17)

De la ecuacion (2.16) se tiene que x = 2y y reemplazando x por 2y en laecuacion (2.17) se llega a la ecuacion en una variable.

3y2 − 8y + 4 = 0

cuyas soluciones son y = 2, y = 23. Entonces los puntos crıticos de f son

(4, 2), (43, 2

3). De acuerdo a la grafica de la region S, tanto el punto (4, 2) como

(43, 2

3) quedan dentro de S. A continuacion, se deben encontrar los maximos y

mınimos en la frontera de S:En l1 y = x, −1 ≤ x ≤ 7 y por lo tanto la expresion de f queda dada por:

f(x, x) = x2 − 4x2 + x3 + 4x = x3 − 3x2 + 4x

Denotando

g(x) = x3 − 3x2 + 4x

se tiene que:

g′(x) = 3x2 − 6x + 4

Ahora, como 3x2 − 6x + 4 no tiene raıces reales entonces g no tiene puntoscrıticos. Dado que g′ es siempre positiva en l1 entonces g es una funcion cre-ciente con lo que el valor mınimo se obtiene para x = −1 y el valor maximopara x = 7. Ası, el valor mınimo en l1 es f(−1,−1) = −8 y el valor maximoes f(7, 7) = 224.En l2 se tiene que y = −1, −1 ≤ x ≤ 7, entonces la expresion de f queda dadapor

f(x,−1) = x2 + 4x − 1 − 4 = x2 + 4x − 5

Denotando

g(x) = x2 + 4x − 5


entonces

g′(x) = 2x + 4

que vale cero cuando x = −2, pero este numero no se encuentra en el intervalo[−1, 7]. Nuevamente, vemos que g′(x) es positiva en dicho intervalo con lo cualg es creciente en el intervalo; obteniendo el valor mınimo en x = −1 y valormaximo en x = 7. Ası, el valor mınimo en l2 es f(−1,−1) = −8 y el valormaximo es f(7,−1) = 72.Finalmente, en l3 se tiene que x = 7, −1 ≤ y ≤ 7, y la funcion f queda dadapor:

f(7, y) = 49 − 28y + y3 + 4y = y3 − 24y + 49

Denotando

g(y) = y3 − 24y + 49

entonces

g′(y) = 3y2 − 24

Ahora, si g′(y) = 0, entonces y = ±√

8. Como −√

8 queda fuera del intervalo[−1, 7] entonces g tiene un solo punto crıtico en l3, y =

√8. Como

g′′(y) = 6y

entonces y =√

8 es un punto de mınimo. Analizando g′(y) se ve que g esdecreciente en el intervalo [−1,

√8) y creciente en (

√8, 7], con lo que se concluye

que el valor maximo de g esta entre g(−1) y g(7). Al evaluar se tiene queg(−1) = 72 y g(7) = 224. Ası, f(7,

√8) = 16

√2− 48

√2 + 49 ≈3.75 es el valor

mınimo en l3 y f(7, 7) = 224 su valor maximo.Ahora, resumiendo se tiene lo siguiente:

Primero, en los puntos crıticos de f se tiene que f(4, 2) = 0 y f(43, 2

3) = 32

27≈

1.1852. El valor mınimo en l1 es f(−1,−1) = −8 y el valor maximo en l1 esf(7, 7) = 224. En l2, el valor mınimo es f(−1,−1) = −8 y el valor maximo esf(7,−1) = 72. Y en l3, el valor mınimo es f(7,

√8) ≈3.75 y su valor maximo

f(7, 7) = 224. Entonces, el valor mınimo de f en S es f(−1,−1) = −8 y elvalor maximo de f en S es f(7, 7) = 224.

�


2.8. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

En muchas aplicaciones, para calcular valores extremos de una funcion f ,ello debe hacerse sujeto a alguna restriccion sobre las variables involucradas.Por ejemplo, sea f(x, y) la temperatura en el punto (x, y) de una lamina planade metal ubicada en el plano xy tal que sobre una curva C, dada por la ecuaciong(x, y) = 0, como se ilustra en la figura 2.11, se desea encontrar los puntos deC donde la temperatura sea maxima o mınima, lo que equivale a calcular losmaximos y mınimos de f(x, y) con la restriccion g(x, y) = 0.

C

x

y

g(x,y) = 0

Figura 2.11: Lamina plana de metal

En algunas oportunidades, podrıa ser facil despejar una de las variablesen la restriccion y reemplazarla en la funcion a la que se desea calcular valo-res extremos, pero en otras oportunidades puede que no sea simple. Tambienpuede darse que, al hacer el reemplazo, el calculo de las derivadas parciales yhallar los puntos crıticos se haga dificultoso. Para obviar estas dificultades, acontinuacion se describe un metodo que permite encontrar valores extremos deuna funcion de dos variables, sujeta a una restriccion, de una forma directa.

Consideremos el problema de encontrar el valor extremo de una funcionf de dos variables, sujeto a una restriccion de la forma g(x, y) = c, estoes, se busca un valor extremo de f sobre la curva de ecuacion g(x, y) = c,c constante. Ahora, si f tiene un valor extremo sobre la curva de ecuaciong(x, y) = c en el punto (x0, y0), bajo ciertas condiciones, existe un numero λtal que ∇f(x0, y0) = λ∇g(x0, y0).

En la figura 2.12 se muestra la curva C, con ecuacion g(x, y) = c, condistintas curvas de nivel de f . Si f tiene un valor extremo en el punto (x0, y0)de la curva C, entonces (x0, y0) pertenece a la curva de nivel f(x, y) = c3 y queC y la curva de nivel f(x, y) = c3 tienen tangentes paralelas en (x0, y0); con locual, ∇g(x0, y0) debe ser paralelo a ∇f(x0, y0); es decir, existe un numero realλ tal que ∇f(x0, y0) = λ∇g(x0, y0).

Con la idea anterior se puede enunciar el siguiente resultado:

2.8. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 89

(x ,y )0 0

(x ,y )0 0

∆

f

x

y

g(x,y) = c

f(x,y) = c

f(x,y) = c

f(x,y) = c

1

3

2

Figura 2.12: Valor extremo de f sobre la curva g(x, y) = c

Teorema 2.6. Sean f y g diferenciables en un punto (x0, y0). Sea g(x, y) = cuna curva suave conteniendo al punto (x0, y0), tal que (x0, y0) no es un puntoterminal de la curva. Si ∇g(x0, y0) 6= θ y si f tiene un valor extremo sobre lacurva g(x, y) = c en (x0, y0), entonces existe un numero real λ tal que:

∇f(x0, y0) = λ∇g(x0, y0)

El numero λ es llamado multiplicador de Lagrange para f y g. Elmetodo para determinar valores extremos por medio de multiplicadores deLagrange procede de la siguiente manera:

1. Asumir que f tiene un valor extremo sobre la curva g(x, y) = c.

2. Usando la ecuacion g(x, y) = c, resolver la ecuacion

∇f(x, y) = λ∇g(x, y)

para x e y, y si es necesario para λ.

3. Calcular f(x, y) para cada punto (x, y) obtenido en el punto 2. Si f tieneun valor maximo sobre g(x, y) = c, este sera el mas grande de los valorescalculados y si f tiene un valor mınimo sobre la curva, este sera el maspequeno de los valores calculados.

Ejemplo 2.35. Calcular los valores extremos de f(x, y) = xy sobre la elipse4x2 + y2 = 4.


Solucion: Haciendo g(x, y) = 4x2 + y2, entonces el problema es encontrar losvalores extremos a f(x, y) sujeto a g(x, y) = 4. Ahora

∇f(x, y) = yi + xj

∇g(x, y) = 8xi + 2yj

De la igualdad ∇f(x, y) = λ∇g(x, y) se obtiene

yi + xj = λ(8xi + 2yj).

Usando el hecho de que dos vectores son iguales, si son iguales componentes acomponentes, se tiene que

y = 8λx, x = 2λy

que sumadas a la ecuacion g(x, y) = 4, nos queda el conjunto de ecuacionessimultaneas en x, y, λ

y = 8λx, x = 2λy y 4x2 + y2 − 4 = 0.

Usando las dos primeras ecuaciones se tiene que:

x = 2λy = 2λ(8λx) = 16λ2x;

de donde,x − 16λ2x = 0 o x(1 − 16λ2) = 0

y por lo tanto

x = 0 o λ = ±1

4

Si x = 0, de la ecuacion 4x2 + y2 − 4 = 0, se obtiene y = ±2. Por lo tantolos puntos (0,2) y (0,-2) son posibles valores extremos para f(x, y). Si λ =±1

4, entonces de y = 8λx, se obtiene y = ±2x. Nuevamente, de la ecuacion

4x2 + y2 − 4 = 0, resulta

4x2 + 4x2 − 4 = 0 ⇒ 8x2 = 4

o bien

x = ±√

2

2

con lo cual y = ±√

2. Esto da los puntos extremos posibles

(

√2

2,√

2), (

√2

2,−

√2), (−

√2

2,√

2), (−√

2

2,−

√2)

Evaluando f en todos los puntos encontrados, se tiene lo siguiente

f(0, 2) = 0, f(0,−2) = 0, f(√

22

,√

2) = 1

f(√

22

,−√

2) = −1, f(−√

22

,√

2) = −1, f(−√

22

,−√

2) = 1

Ası f alcanza su valor maximo 1, sobre g(x, y) = 4, en (√

22

,√

2) y (−√

22

,−√

2)

y su valor mınimo -1 en (√

22

,−√

2) y (−√

22

,√

2).�



Definicion y GraficaPara definir una funcion se utiliza el sımbolo “− >”. Por ejemplo, para

representar la funcion de dos variables definida por f(x, y) = xy +x2 − 4y3, sedebe ejecutar:

> f:=(x,y)− > x*y+x∧2-4*y∧3; # se define la expresion de la funcion f

f := (x, y)− > xy + x2 − 4y3

Para evaluar f en un punto (a, b) del plano, se debe poner f(a, b);. Ası:

> f(1,2);

−29

> f(2,-1);

6

En forma analoga se definen las funciones de tres variables. Por ejemplo, paradefinir la funcion g, cuya expresion es g(x, y, z) = xz − x2y + yz2, se ejecuta:

> g:=(x,y,z)− > x*z-x∧2*y+y*z∧2; # se define la expresion de la funcion g

g := (x, y, z)− > xz − x2y + yz2

Evaluando la funcion g en algunos puntos, se tiene:

> g(-1,2,1);

−1

> g(3,0,-2);

−6

La manera mas simple de graficar una funcion de dos variables en elespacio es a traves del comando plot3d. Si se desea graficar, por ejemplo, lafuncion f de dos variable con expresion f(x, y) = x2 − y2 para −10 ≤ x ≤ 10,−10 ≤ y ≤ 10, se digita lo siguiente:

> f:=(x,y)− > x*∧2-y∧2; # se define la expresion de la funcion f

f := (x, y)− > x2 − y2

> plot3d(f(x,y),x=-10..10,y=-10..10); # graficacion de la funcion f de forma> # explıcita


En ambiente Maple se pueden introducir los ejes coordenados o algun otrosistema para entender mejor el grafico. Por ejemplo:

> plot3d(f(x,y),x=-10..10,y=-10..10,axes=boxed); # coloca el grafico en una> # caja con las dimensiones de los ejes correspondientes

–10

–5

0

5

10

x

–10

–5

0

5

10

y

–100

–50

0

50

100

Como se puede ver en el grafico anterior se aprecia claramente las unidadescorrespondientes de los ejes, con lo cual pueden ser identificados puntos sobrela superficie. Lo anterior se debe a la opcion axes = boxed. Hay otras opcionesque se pueden agregar al comando para graficar en tres dimensiones, pero lamayoria de ellas pueden ser manipuladas en el momento en que aparece eldibujo, utilizando el mouse. Estas opciones aparecen al pinchar el grafico, en


la parte superior del ambiente Maple. Una de las que es usada comunmente esla orientacion del grafico; ya que algunas veces la grafica que queda por defectono se aprecia muy clara y es necesario rotarla para una mejor visualizacion.Para escribir dicha opcion en una sentencia, se debe poner dentro del plot3dcomo orientation = [a, b]; donde a indica el angulo para mover a izquerda oderecha y b el angulo hacia adelante o atras, los dos angulos en grados; siendopor defecto dichos angulos 45o, ambos.

En algunas situaciones, la ecuacion a graficar viene dada de tal maneraque resulta complicado despejar la variable depediente z. Esto se resuelve conel comando implicitplot, colocando previamente el comando with(plots). Ası,si se desea graficar la superficie dada por la ecuacion x2 + y2 + z2 = 9, (esferade radio 3), para −5 ≤ x ≤ 5, −5 ≤ y ≤ 5, −5 ≤ z ≤ 5 (aquı se debe poner elrango de la variable dependiente z), se debe digitar lo siguiente:

> with(plots):

> implicitplot3d(x∗∗2+y∗∗2+z∗∗2 = 9,x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5,orientation=[35,50],axes=FRAME); # realiza la gafica rotada con los ejes coordenados

–4

–2

0

2

4

x

–4–2

02

4

y

–4

–2

0

2

4

z

Otra cosa bastante interesante, de las graficas en tres dimensiones, es eldibujo de las curvas de nivel. Para ello el Maple tiene el comando contourplot.Por ejemplo, si se desea tener las curvas de nivel del cono dado por la ecuacionz = x2 + y2, para x en [−10, 10] y para y en [−10, 10] con 15 curvas de nivel,se hace con la sentencia

> contourplot(x ∧ 2 + y ∧ 2,x=-10..10,y=-10..10,contours=15);


–10

–5

0

5

10

y

–10 –5 5 10

x

Derivadas ParcialesPara obtener las derivadas parciales de una funcion es utilizado el co-

mando diff. Si se tiene la funcion f de dos variables con expresion f(x, y) =x2y + xy2, entonces para obtener ∂f

∂xse realiza de la siguiente manera:

> f:=(x,y)-¿x∧2*y+x*y∧2;

f := (x, y)− > x2y + xy2

> diff(f(x,y),x);

2xy + y2

Para obtener una derivada de orden 2, por ejemplo, ∂2f∂x2 y ∂2f

∂y∂x, entonces se

realiza como:

> diff(f(x,y),x,x);

2y

> diff(f(x,y),x,y);

2x + 2y

Las derivadas parciales pueden ser evaluadas en distintos puntos con el coman-do subs. Por ejemplo, utilizando la funcion f anterior, fx(2, 1) y fxy(−1, 5) seobtienen como:

> subs(x=2,y=1,diff(f(x,y),x));

5

> subs(x=-1,y=5,diff(f(x,y),x,y));

8

Una aplicacion importante de la derivada parcial es la obtencion del gra-diente de una funcion; siendo el comando para obtener dicho vector grad. Por


ejemplo, si se tiene la funcion f de dos variables dada por f(x, y) = x2y + y2x,para obtener su gradiente se hace con:

> f:=(x,y)-¿x∧2*y+x*y∧2;

f := (x, y)− > x2y + xy2

> grad(f(x,y),[x,y]);

[2xy + y2, x2y + 2xy]

Ahora, para evaluar el gradiente en un punto, por ejemplo en (1,−2), se hacecon:

> fg:=(x,y)->grad(f(x,y),[x,y]): # se define el gradiente como una funcion

> subs(x=1,y=-2,fg(x,y));

[0,−6]

Observacion. Para evaluar el gradiente en un punto, a pesar que es definidocomo una funcion, no resulta evaluarla como tal en el punto.

Analogamente, si se tiene la funcion g de tres variables definida porg(x, y, z) = x2y − y3z2 y si se desea obtener el gradiente de g para evaluarloen el punto (1, 2,−1), se ejecuta:

> g:=(x,y,z)-¿x∧2*y-y∧3*z∧2;

g := (x, y, z)− > x2y − y3z2

> grad(g(x,y,z),[x,y,z]);

[2xy, x2 − 3y2z2,−2y3z]

> gg:=(x,y,z)->grad(g(x,y,z),[x,y,z]):

> subs(x=1,y=2,z=-1,gg(x,y,z));

[4,−11, 16]



1.- Determine el dominio de f y el valor de f en los puntos indicados:

a) f(x, y) = 2x − y2; (−2, 5), (5,−2), (0,−2)

b) f(u, v) = uvu−2v

; (2, 3), (−1, 4), (0, 1)

c) f(r, s) =√

1 − r − er/s; (1, 1), (0, 4), (−3, 3)

d) f(x, y, z) = x2sen (yz); (1, π, 2), (4, 2, π4), (1,2, 3,1, 4,2), f(π, π, π)

e) f(x, y, z) =√

25 − x2 − y2 − z2; (1,−2, 2), (−3, 0, 2)

2.- En las siguientes situaciones dibuje la curva de nivel z = k para los valoresindicados de k.

a) z = 2x − 3y + 4, k = 1, 3, 5, 10

b) z = 12(x2 + y2), k = 0, 2, 6, 8.

c) z = x2

y, k = −4,−1, 0, 1, 4

d) z = x2 + y, k = −4,−1, 0, 1, 4

e) z = x2 + 4y2, k = 1, 4, 9, 16

3.- Grafique las superficies en IR3 dadas por las siguientes expresiones:

a) z = 2x − 3y + 4

b) x2 + y2 + z = 9

c) z − x2 = 0

d) z = y2 − x

e) z − 9x2 − 16x2 = 36

4.- En los siguientes problemas encuentre el lımite indicado o establezca queno existe.

a) lım(x,y)→(−2,1)

(xy3 − xy + 3y2)

b) lım(x,y)→(1,3)

(3x2 − xy3)

c) lım(x,y)→(0,0)

x4 − y4

x2 + y2


d) lım(x,y)→(1,π)

xy − 1

cos(xy)

f) lım(x,y)→(0,0)

3x3 − 2x2y + 3y2x − 2y3

x2 + y2

5.- Verifique que

lım(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2

no existe, considerando el eje x como una trayectoria y la recta y = x como laotra.

6.- Verifique que

lım(x,y)→(0,0)

x2

x2 + xy + y2

no existe.

7.- Sea f una funcion de dos variables definida por:

f(x, y) =

x2−4y2

x−2yx 6= 2y

2 x = 2y

Analice la continuidad en los puntos (2, 1) y (1, 12).

8.- Para la funcion f de dos variables definida por:

f(x, y) =

x2−y2

x+y(x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

Averigue si f es continua en (0, 0).

9.- En cada uno de los siguientes problemas encuentre las primeras derivadasparciales de la funcion f , fx(x, y) y fy(x, y).

a) f(x, y) = x2y + 2xe2y b) f(x, y) =√

x2 + y2 c) f(x, y) = 2xy2

x2+3y3

d) f(x, y) = ln(2x4 + y2) e) f(x, y) = xyex2+y2

10.- En cada uno de los siguientes casos, encontrar las primeras derivadasparciales de la funcion f , fx(x, y, z), fy(x, y, z) y fz(x, y, z).

a) f(x, y, z) = x3y2 − 2x2z3 + 3xyz b) f(x, y, z) = xyzx2+y2+z2


11.- Si f(x, y) = 3x4y5 − 2x2y3 y g(x, y) = cos(2x2y2), encuentre las deri-vadas parciales hasta segundo orden de las funciones f y g. Evalue fxx(1,−2),fxy(2, 1) y gyy(1, 0).

12.- Verificar que la funcion f , dada por f(x, y) = exseny, satisface la ecuacionde Laplace

∂2f(x, y)

∂x2+

∂2f(x, y)

∂y2= 0

13.- Para cada una de las funciones f , encuentre el gradiente en el puntoindicado.

a) f(x, y) =√

x2 + y2; (4, 3)

b) f(x, y) = xln(x − y); (5, 4)

c) f(x, y, z) = xy2 + x2y + z3e−x; (−1, 3, 2)

d) f(x, y, z) = xy2ez; (2,−1, 0)

14.- Encuentre la ecuacion del plano tangente a la superficie en el punto indi-cado:

a) 4x2 − y2 + 3z2 = 10, (2,−3, 1)

b) xy + 2yz − xz2 + 10 = 0, (−5, 5, 1)

c) 9x2 − 4y2 − 25z2 = 40, (4, 1,−2)

d) z = 2e−xcosy, (0, π3, 1)

15.- Encuentre los puntos de la superficie, dada por la ecuacion x2 −2y2 −4z2

= 16, en los que el plano tangente sea paralelo al plano 4x − 2y + 4z = 5.

16.- Encuentre los puntos de la superficie z = 4x2 + 9y2 en los que el

vector normal sea paralelo al segmento dirigido−→PQ; donde P = (−2, 4, 3) y

Q = (5,−1, 2).

17.- Determine todos los puntos (x, y) en que el plano tangente a la grafica dez = x2 − 6x + 2y2 − 10y + 2xy sea horizontal.


18.- En los siguientes problemas use el diferencial total dz para aproximar elcambio en z cuando (x, y) se varıa de P a Q. Tambien determine el cambioexacto correspondiente y compare con el valor de dz.

a) z = 2x2y3; P (1, 1), Q(0,99, 1,02)

b) z = x2 − 5xy + y; P (2, 3), Q(2,03, 2,98)

c) z = ln(x2y); P (−2, 4), Q(−1,98, 3,96)

19.- Se desea medir indirectamente la presion ejercida dentro de un contenedorcerrado por un mol de un gas ideal a una temperatura de 22oC. El contenedores un cilindro circular recto de 50 cms de altura y 15 cms de radio. El instru-mento con que se midio la temperatura tiene una incertidumbre de ±0,2oC,miemtras que el utilizado para determinar las dimensiones del estanque tie-ne una incertidumbre de ±0,001 m. Calcule el valor de la presion y el errormaximo cometido en su medicion, en funcion de n y R a partir de la ecuacionPV = nRT .

20.- Al determinar la densidad especıfica de un objeto, se encontro que supeso en el aire era A = 26 libras y su peso en el agua de W = 20 libras, conun posible error en cada medida de 0.02 libras. Encuentre el maximo erroraproximado posible en el calculo de su densidad especıfica S, siendo

S =A

A − W

21.- En Los siguientes problemas, a traves de la regla de la cadena, obtengadwdt

.

a) w = x2y3; x = t3, y = t2

b) w = sen(xyz2); x = t3, y = t2, z = t

22.- En Los siguientes problemas, a traves de la regla de la cadena, obtenga∂w∂t

y ∂w∂s

a) w = x2 − yln x; x = s/t, y = s2t

b) w =√

x2 + y2 + z2; x = cos st, y = sen st, z = s2t

23.- La presion P y la temperatura T de un gas encerrado estan relacionadaspor la ley del gas ideal PV = kT , donde k es una constante. Suponiendo queP y V varıan con la rapidez dP

dty dV

dt, respectivamente, encuentre una formula

para evaluar dTdt

, usando la regla de la cadena.


24.- El radio r y la altura h de un cilindro circular recto aumentat a razon de0.01 cm/min y 0.02 cm/min, respectivamente. Use la regla de la cadena paracalcular la rapidez de crecimiento del volumen, cuando r = 4 cm y h = 7 cm.¿ Con que rapidez varıa el area de la superficie curva ?

25.- Un gas obedece la ley del gas ideal PV = 8T . El gas se calienta a razonde 2 oC/min y la presion razon de 0.5 (Kgf/cm2)/min. En cierto momento, latemperatura es de 200 oC y la pesion es de 10 kgf/cm2. Calcular la rapidez decambio del volumen en ese momento.

26.- Encuentre los puntos crıticos para las expresiones de funciones dadas acontinuacion. Averigue si son puntos de maximos, de mınimos o puntos desilla.

a) f(x, y) = 6xy − x3 − y3

b) f(x, y) = 4x3 − 2x2y + y2

c) f(x, y) = xy + 2x

+ 4y

27.- La suma de las longitudes del largo, ancho y alto de una caja rectangulardebe dar 330 cms.. ¿Cuantos deben medir estas longitudes para que el volumende la caja sea maximo?

28.- Encuentre la distancia mınima entre el punto (2, 1,−1) al plano de ecua-cion 4x − 3y + z = 5.

29.- Se desea construir una caja sin tapa con la forma de un paralelepıpedorectangular que tenga un volumen de 12 pies cubicos. El costo por pies cuadra-do del material que se usara para el fondo es de 4 dolares, el que se usara paralos lados opuesto es de 3 dolares, y el que se usara para los otros dos ladosopuesto es de 2 dolares. Calcular las dimensiones de la caja para las que elcosto sea mınimo.

30.- Para las siguientes funciones encuentre el valor maximo global y el valormınimo global en la region R que se indica.

a) f(x, y) = x2 + y2; R = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 3, −1 ≤ y ≤ 4}

b) f(x, y) = x3 + 3xy − y3; R es la region triangular con vertices en lospuntos (1, 2), (1,−2) y (−1,−2)

c) f(x, y) = 5 + 4x− 2x2 + 3y − y2; R es la region triangular acotadas porlas rectas y = x, y = −x, y = 2


31.- Suponga que la temperatura T de una lamina circular {(x, y) : x2 +y2 ≤1} esta dada por T = 2x2 + y2 − y. Encuentre los puntos mas calientes y masfrios de la lamina.

32.- A traves de Multiplicadores de Lagrange, resuelva los siguientes proble-mas:

a) Determine el valor maximo de f(x, y) = 4x2 − 4xy + y2 sujeta a larestriccion g(x, y) = x2 + y2 = 1.

b) Determine el valor mınimo de f(x, y) = x2+4xy+y2 sujeta a la restricciong(x, y) = x − y − 6 = 0.

Capıtulo 3

INTEGRALES MULTIPLES

El objetivo del capıtulo es estudiar las integrales de funciones de dosy tres variables. Ası como la integral de funciones en una variable permite,bajo ciertas condiciones, calcular areas; las integrales de dos y tres variablespermiten calcular areas de regiones mas complicadas, volumenes de muchostipos de regiones, solidos, etc.

3.1. INTEGRALES DOBLES

Sea f una funcion de dos variables tal que f(x, y) existe en toda unaregion R cerrada del plano xy y que esta contenida en un rectangulo cerradoW . Si W se divide en rectangulos mas pequenos mediante rectas paralelas a losejes coordenados, entonces el conjunto de todas las subregiones rectangularescerradas que quedan completamente contenidas en R es lo que constituye unaparticion interna P de R:

y

x

R

W

Figura 3.1: Particion interna P de R.

Si a las subregiones rectangulares que quedan completamente dentro de Rse les denota por R1, R2, . . . , Rn, entonces la particion interna P puede ser

103

104 CAPITULO 3. INTEGRALES MULTIPLES

denotada por {Rk}nk=1. Se denomina norma de la particion P a la mayor

de las diagonales de las subregiones Rk, k = 1, 2, ..., n, y se denota por ||P ||.Denotemos por ∆Ak al area de Rk y sea (xk, yk) un punto cualquiera de Rk,k = 1, 2, 3, . . . , n. Con todos estos elementos se entrega la siguiente definicion.

Definicion 3.1. Sea f una funcion de dos variables definida en una region Ry sea P = {Rk}n

k=1 una particion interna de R. Una suma de Riemann def para P es una suma de la forma

∑

k

f(xk, yk)∆Ak (3.1)

para algun punto (xk, yk) en Rk; siendo ∆Ak el area de Rk.

Ahora si f es una funcion continua, se puede demostrar que cuando||P || → 0, las sumas de Riemann (3.1) tienden a un numero real L, inde-pendientemente de los puntos (xk, yk) elegidos en las subregiones Rk. Esto dapie a la definicion de integral doble.

Definicion 3.2. Sea f una funcion de dos variables que esta definida en unaregion R. La integral doble de f sobre R se denota por

∫∫

Rf(x, y)dA y se

define como∫∫

R

f(x, y)dA = lım||P ||→0

∑

k

f(xk, yk)∆Ak (3.2)

siempre y cuando el lımite exista.

Si la integral doble de una funcion f sobre R existe, entonces se dice quef es integrable sobre R. Si f es una funcion continua en R, entonces f esintegrable en R.

De (3.2) se puede obtener la siguiente aplicacion geometrica: sea f unafuncion continua tal que f(x, y) ≥ 0 para todo (x, y) en R. Sean S la graficade f y Q el solido (region en tres dimensiones) que se encuentra entre R y Scomo se muestra en la figura 3.2. Si (xk, yk, 0) es un punto en la region Rk deuna particion P de R, entonces f(xk, yk) es la distancia del plano xy al puntoBk de la superficie S que se encuentra directamente arriba del punto (xk, yk, 0)y de esta manera el numero f(xk, yk)∆Ak es el volumen de la columna conbase rectangular de area ∆Ak y altura f(xk, yk). Ahora, si se suman todos losvolumenes de las columnas de base rectangular en R se obtiene una aproxima-cion del volumen V de Q. Como la aproximacion mejora cuando ||P || tiende acero, V se define como el lımite de la suma de los numeros f(xk, yk)∆Ak. Laidea anterior da lugar a la siguiente definicion.

Definicion 3.3. Sea f una funcion continua de dos variables, tal que f(x, y) ≥0 en una region R del plano xy. El volumen V del solido bajo la grafica dez = f(x, y) y sobre la region R es:

V =

∫∫

R

f(x, y)dA

3.1. INTEGRALES DOBLES 105

x

y

z

R.

.

(x ,y ,0)

f(xk,yk)

sBk

kk

Figura 3.2: Graficas de S y Q.

Observacion 3.1. En la Definicion 3.3 si f(x, y) ≤ 0 en toda la region R,entonces la integral doble de f sobre R es igual al negativo del volumen delsolido sobre la grafica de f y bajo la region R.

Antes de analizar la manera de como se evaluan las integrales dobles,se mencionan algunas propiedades, que como se vera son semejantes a laspropiedades de integrales de funciones en una variable. Suponiendo que todaslas regiones y las funciones son tales que las integrales que se indican existen,se tiene el siguiente resultado:

Teorema 3.1.

i)∫∫

R

cf(x, y)dA = c

∫∫

R

f(x, y)dA, ∀ c ∈ R.

ii)∫∫

R

[f(x, y) + g(x, y)]dA =

∫∫

R

f(x, y)dA +

∫∫

R

g(x, y)dA

iii) Si R es la union de dos regiones R1 y R2 que no se sobreponen:

∫∫

R

f(x, y)dA =

∫∫

R1

f(x, y)dA +

∫∫

R2

f(x, y)dA

iv) Si f(x, y) ≥ 0 en toda una region R, entonces:

∫∫

R

f(x, y)dA ≥ 0


R2

R1

Figura 3.3: Dos regiones con puntos de frontera comun

Observacion 3.2. En la parte iii) del Teorema 3.1, que las regiones R1 y R2

no se sobrepongan significa que estas regiones tienen en comun, a lo sumo,solo los puntos de frontera, como se muestra en la figura 3.3.

Salvo en algunos casos elementales, evaluar una integral doble me-diante la Definicion 3.2 es casi imposible. A continuacion se veran distintasformas de evaluar integrales dobles, dependiendo del tipo de region donde laintegral es evaluada. Comenzamos con el caso mas simple, el de una funcion fque es continua en una region rectangular R:

a b

c

d

x

y

R

(x,y)

Figura 3.4: Funcion continua sobre una region rectangular R

La notacion

∫ d

c

f(x, y)dy

significa que x se toma como constante e y es la variable de integracion. Laevaluacion de esta integral va a corresponder a una integracion parcial conrespecto de y. Entonces, a cada x en el intervalo [a, b], le corresponde un valorunico de esta integral, lo que determina una funcion A tal que el valor A(x)esta dado por:


A(x) =

∫ d

c

f(x, y)dy (3.3)

La funcion A es continua para x en el intervalo [a, b].En forma analoga, se puede efectuar una integracion parcial con respecto

de x denotada por:

B(y) =

∫ b

a

f(x, y)dx (3.4)

En este caso y se considera constante y se integra con respecto de x. La funcionB, obtenida de esta manera, es continua en el intervalo [c, d].

Ahora bien, como la funcion A definida en (3.3) es continua en el intervalo[a, b], A(x) se puede integrar con respecto de x, resultando:

∫ b

a

A(x)dx =

∫ b

a

[∫ d

c

f(x, y)dy

]

dx (3.5)

Analogamente, puede integrarse B(y) en 3.4 con respecto de y y se obtiene:

∫ d

c

B(y)dy =

∫ d

c

[∫ b

a

f(x, y)dx

]

dy (3.6)

Las integrales en el lado derecho de (3.5) y (3.6) se llaman integralesdobles iterativas. Generalmente, se simplifica la notacion omitiendo los cor-chetes; vale decir,

∫ b

a

∫ d

c

f(x, y)dydx =

∫ b

a

[∫ d

c

f(x, y)dy

]

dx (3.7)

∫ d

c

∫ b

a

f(x, y)dxdy =

∫ d

c

[∫ b

a

f(x, y)dx

]

dy (3.8)

Notemos que, en las integrales en (3.7) y (3.8), la primera diferencial a laderecha del integrando f(x, y) determina la variable de la primera integracionparcial. El sımbolo de integral a la izquierda de f(x, y) especıfica los lımiteso extremos de integracion de la variable correspondiente. Ası, al evaluar unaintegral iterativa se determina primero la integral de mas adentro.

Ejemplo 3.1. Evaluar la integral iterativa:

∫ 2

1

∫ 2

−1

(12xy2 − 8x3)dydx.


Solucion: Primero se debe integrar con respecto de y, entre −1 y 2, y elresultado de esta integracion debe integrarse con respecto de x, entre 1 y 2.Ası:

∫ 2

1

∫ 2

−1

(12xy2 − 8x3)dydx =

∫ 2

1

(4xy3 − 8x3y)

∣

∣

∣

∣

y=2

y=−1

dx

=

∫ 2

1

[(32x − 16x3) − (−4x + 8x3)]dx

=

∫ 2

1

(36x − 24x3)dx

= (18x2 − 6x4)

∣

∣

∣

∣

x=2

x=1

= −36

�

Ahora, en el ejemplo anterior, si se cambian el orden de las integrales;vale decir, si se evalua:

∫ 2

−1

∫ 2

1

(12xy2 − 8x3)dxdy

da el mismo valor que la integral anterior: -36. El hecho que estos dos valoressean iguales no es una casualidad; ya que se verfica que si f es una funcioncontinua, entonces las dos integrales dobles iterativas de (3.7) y (3.8) son igua-les. De esta manera se dice que el resultado de la integracion es independientedel orden en que se integre.

A continuacion, se vera la manera de calcular una integral doble iterativasobre regiones que no son rectangulares. Sea f una funcion de dos variablescontinua en una region, que se denomina region del tipo I :

y

x

R

a b

y=g (x)

y=g (x)1

2

Figura 3.5: Region del tipo I

Entonces, la integral doble iterativa definida sobre la region R anterior se definecomo:


∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

f(x, y)dydx =

∫ b

a

[

∫ g2(x)

g1(x)

f(x, y)dy

]

dx (3.9)

Si consideramos ahora a f como una funcion continua en una region, quese denomina region del tipo II, Figura 3.6, entonces la integral doble iterativa

y

x

R

x=h (y)x=h (y)1 2

c

d

Figura 3.6: Region del tipo II

de f sobre la region R anterior se define como:

∫ d

c

∫ h2(y)

h1(y)

f(x, y)dxdy =

∫ d

c

[

∫ h2(y)

h1(y)

f(x, y)dx

]

dy (3.10)

En (3.9) primero se realiza una integracion parcial con respecto de lavariable y, reemplazandola por g2(x) y g1(x) despues de la integracion. Luego,la expresion en x resultante se integra entre a y b. En (3.10) se integra primerocon respecto de x y despues de reemplazar x por h2(y) y h1(y), se integra elresultado con respecto de y entre c y d.

Ejemplo 3.2. Evaluar la integral doble iterativa

∫ 2

1

∫

√x

1−x

x2ydydx

Solucion:

∫ 2

1

∫

√x

1−x

x2ydydx =

∫ 2

1

[

x2y2

2

] ∣

∣

∣

∣

√x

1−x

dx

=

∫ 2

1

[

x3

2− x2(1 − x)2

2

]

dx

=1

2

∫ 2

1

[x3 − (x2 − 2x3 + x4)]dx


=1

2

∫ 2

1

[−x2 + 3x3 − x4]dx

=1

2

[

−x3

3+

3

4x4 − x5

5

] ∣

∣

∣

∣

2

1

=163

120

�

Ejemplo 3.3. Evaluar la integral doble iterativa

∫ 2

0

∫ 2y

y2

(4x − y)dxdy

Solucion:

∫ 2

0

∫ 2y

y2

(4x − y)dxdy =

∫ 2

0

[2x2 − yx]

∣

∣

∣

∣

2y

y2

dy

=

∫ 2

0

[(8y2 − 2y2) − (2y4 − y3)]dy

=

∫ 2

0

(6y2 + y3 − 2y4)dy

=

(

2y3 +y4

4− 2

5y5

) ∣

∣

∣

∣

2

0

=36

5

�

En la Definicion 3.3 se vio que, bajo ciertas condiciones, la integral doblede una funcion f sobre una region R,

∫∫

R

f(x, y)dA,

corresponde al valor del volumen V del solido que se encuentra bajo la super-ficie de la grafica z = f(x, y) y sobre la region R. Por ejemplo, si considera-mos una region R del tipo I, el volumen V que se encuentra bajo la graficaz = f(x, y) y sobre dicha region esta dado por:

V =

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

f(x, y)dydx (3.11)

Ejemplo 3.4. Calcule el volumen del solido que se encuentra bajo la graficade z = 4x2 + y2 y sobre la region triangular R en el plano xy con vertices(0,0,0), (1,0,0) y (1,2,0).


x

y

z

x

y

0 1

2

R

Figura 3.7: Figura de ejemplo 3.4

Solucion: El volumen a calcular es presentado en la Figura 3.7 (izquerda). Lasuperficie que esta sobre el plano xy esta dada por f(x, y) = 4x2 +y2, entoncesel volumen V puede ser calculado por:

V =

∫∫

R

(4x2 + y2)dA

donde R es el triangulo representado en la Figura 3.7 (derecha). Tomando lospuntos (0,0) y (1,2) de la hipotenusa del triangulo se obtiene la ecuacion de larecta y = 2x. Entonces, si consideramos R como una region tipo I, primero sedebera integrar con respecto de y, el cual variarıa entre 0 y 2x, y enseguida seintegrara con respecto de x entre 0 y 1. Ası, el volumen V queda dado por:

V =

∫ 1

0

∫ 2x

0

(4x2 + y2)dydx

Evaluando esta integral doble se tiene:

V =

∫ 1

0

∫ 2x

0

(4x2 + y2)dydx

=

∫ 1

0

[

4x2y +y3

3

] ∣

∣

∣

∣

2x

0

dx

=

∫ 1

0

(

8x3 +8x3

3

)

dx

=32

3

∫ 1

0

x3dx =32

3

[

x4

4

] ∣

∣

∣

∣

1

0

=8

3

Tambien se puede calcular V integrando primero con respecto de x. Al integrarprimero con respecto de x, vemos que para cualquier valor para la variable yentre 0 y 2 se tiene que la variable x varıa entre y

2y 1, con lo cual ahora el

volumen V serıa calculado como:

V =

∫ 2

0

∫ 1

y

2

(4x2 + y2)dxdy


Evaluando se tiene que:

V =

∫ 2

0

∫ 1

y

2

(4x2 + y2)dxdy

=

∫ 2

0

[

4

3x3 + y2x

]∣

∣

∣

∣

1

y

2

dy

=

∫ 2

0

[(

4

3+ y2

)

−(

1

6y3 +

y3

2

)]

dy

=

∫ 2

0

[

4

3+ y2 − 2

3y3

]

dy

=

[

4

3y +

y3

3− y4

6

] ∣

∣

∣

∣

2

0

=8

3

�

Las integrales dobles pueden utilizarse tambien para el calculo de areas.En efecto, si consideramos que R es una region del tipo I y tomamos f(x, y) =1, entonces:

∫∫

R

f(x, y)dA =

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

dydx

=

∫ b

a

y

∣

∣

∣

∣

g2(x)

g1(x)

dx =

∫ b

a

[g2(x) − g1(x)]dx (3.12)

Del calculo integral de funciones en una variable, (3.12) representa el valordel area de la region R. Lo mismo sucede si R es una region del tipo II. Estehecho resulta evidente a partir de la definicion de integral doble; ya que sif(x, y) = 1, entonces cualquier suma de Riemann de una particion interna Pde R, tendra la forma:

∑

k

∆Ak;

donde ∆Ak es el area de cada una de las regiones rectangulares Rk de laparticion . Ahora, cuando ||P || tiende a cero los rectangulos de la particionvan cubriendo una mayor parte de R, de tal manera que en el lımite resultaser igual al area de R. Ası, el area A de una region del tipo I queda dada por:

A =

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

dydx

Ejemplo 3.5. Calcular el area de la region acotada por las graficas de

y = 2x2 − 4, y = 5x + 3

3.2. INTEGRALES TRIPLES 113

Solucion: La region se encuentra bajo la recta y = 5x + 3 y sobre la parabolay = 2x2 − 4, como se ilustra en la siguiente figura:

-4

-1

3

1 2 3 4

-

-

x

y

Se encuentra que estas dos curvas se intersectan para x = −1 y para x = 72.

Por lo tanto, usando integral doble, se tiene que el area A de la region achuradase puede calcular como:

A =

∫ 72

−1

∫ 5x+3

2x2−4

dydx =

∫ 72

−1

y

∣

∣

∣

∣

5x+3

2x2−4

dx

=

∫ 72

−1

[(5x + 3) − (2x2 − 4)]dx

=

∫ 72

−1

(7 + 5x − 2x2)dx

=

(

7x +5

2x2 − 2

3x3

) ∣

∣

∣

∣

72

−1

=243

8

�

3.2. INTEGRALES TRIPLES

En forma analoga a las integrales dobles, se pueden definir las integralestriple de una funcion f de tres variables. Comencemos por el caso mas sencillo,cuando f es continua en un paralelepıpedo rectangular Q dado por:

Q = {(x, y, z) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ f ; a, ..., f constantes}; (3.13)


x

y

z

0

Q

.

(a,c,e)

. (b,d,f)

Figura 3.8: paralelepıpedo rectangular

es decir, con caras paralelas a los planos coordenados, como se presenta en laFigura 3.8.

Si se divide Q en subregiones Q1, Q2, . . . , Qn mediante planos paralelosa los tres planos coordenados, entonces el conjunto {Qk}n

k=1 constituye unaparticion P de Q. Se define la norma de la particion P , ||P ||, como la longitudde la mayor de las diagonales de todos los paralelepıpedos pequenos Qk. Sidenotamos por ∆xk, ∆yk y ∆zk las longitudes de los lados de Qk, entonces suvolumen, que escribimos ∆Vk, es:

∆Vk = ∆xk∆yk∆zk

Ahora, una suma de Riemann de f para la particion P es una suma de laforma:

∑

k

f(xk, yk, zk)∆Vk

donde (xk, yk, zk) es un punto cualquiera de Qk. Si el lımite de las sumas deRiemann existe cuando ||P || tiende a cero, este se denota por:

∫∫∫

Q

f(x, y, z)dV

y se llama integral triple de f sobre Q. Vale decir que∫∫∫

Q

f(x, y, z)dV = lım||P ||→0

∑

k

f(xk, yk, zk)∆Vk

cuando este lımite existe.En forma analoga al caso de integrales dobles, se verifica que si Q es una

region de la Figura 3.8, entonces:∫∫∫

Q

f(x, y, z)dV =

∫ f

e

∫ d

c

∫ b

a

f(x, y, z)dxdydz (3.14)


La integral iterativa del lado derecho de (3.14) se evalua de adentro haciaafuera. Se integra primero con respecto de x (manteniendo y y z fijas), luegocon respecto de y (manteniendo z fija) y finalmente con respecto de z. Ahora,al cambiar el orden de integracion el valor de la integral no es alterado; ya quese verifica que una integral triple evaluada sobre un paralelepıpedo como elanterior, no cambia su resultado cuando se cambia el orden de integracion.

Ejemplo 3.6. Evaluar∫∫∫

Q

(2x + y + 3z)dV

paraQ = {(x, y, z) : 0 ≤ x ≤ 4, −2 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 2}.

Solucion: Si elegimos integrar primero con respecto de z, despues con respectode y y finalmente con respecto de x, la integral se calcula como:

∫ 4

0

∫ 2

−2

∫ 2

0

(2x + y + 3z)dzdydx =

∫ 4

0

∫ 2

−2

(2xz + yz +3

2z2)

∣

∣

∣

∣

2

0

dydx

=

∫ 4

0

∫ 2

−2

(4x + 2y + 6)dydx

=

∫ 4

0

(4xy + y2 + 6y)

∣

∣

∣

∣

2

−2

dx

=

∫ 4

0

[(8x + 4 + 12) − (−8x + 4 − 12)]dx

=

∫ 4

0

(16x + 24)dx

= (8x2 + 24x)

∣

∣

∣

∣

4

0

= 224

�

Pueden definirse integrales triples sobre regiones mas complicadas. Porejemplo, sea R una region del plano xy, que puede ser una de los dos tiposde regiones vistas anteriormente, tipo I o tipo II, y sea Q la region en tresdimensiones definida por:

Q = {(x, y, z) : (x, y) ∈ R, k1(x, y) ≤ z ≤ k2(x, y)}

donde k1 y k2 son funciones que tienen primeras derivadas parciales continuasen R. La region Q se encuentra entre las superficies con grafica z = k1(x, y) yz = k2(x, y) y arriba de la region R como se muestra en la Figura 3.9. Si Q sesubdivide mediante planos paralelos a los tres planos coordenados, entonces losparalelepıpedos pequenos resultantes que se encuentran completamente dentrode Q forman una particion interna P de Q. Ahora, una suma de Riemann deuna funcion f para la particion P es una suma de la forma:

∑

k

f(xk, yk, zk)∆Vk


x

y

z

R

Q

z=k (x,y)

z=k (x,y) 1

2

Figura 3.9: Regiones R bidimensional y Q tridimensional

donde (xk, yk, zk) es un punto cualquiera del paralelepıpedo Qk y ∆Vk su volu-men. La integral triple de f sobre Q es definida, igual como en el caso anterior,por:

∫∫∫

Q

f(x, y, z)dV = lım||P ||→0

∑

k

f(xk, yk, zk)dVk (3.15)

cuando este lımite existe. Ahora, si f es una funcion continua en Q, se verificaque:

∫∫∫

Q

f(x, y, z)dV =

∫∫

R

[

∫ k2(x,y)

k1(x,y)

f(x, y, z)dz

]

dA (3.16)

La notacion del lado derecho de (3.16) significa que se integra primero conrespecto de z y luego se evalua la integral doble resultante sobre la region Rdel plano xy. Considerando los dos tipos de regiones, region tipo I y regiontipo II; la integral triple (3.16) queda como:

∫ b

a

∫ g2(x)

g1(x)

∫ k2(x,y)

k1(x,y)

f(x, y, z)dzdydx

si R es del tipo I, y

∫ d

c

∫ h2(y)

h1(y)

∫ k2(x,y)

k1(x,y)

f(x, y, z)dzdxdy

si R es del tipo II.


Ejemplo 3.7. Sea R la region en el plano xy entre las graficas y = 0 e y = x,para 0 ≤ x ≤ 1, y sea Q la region solida entre las superficies z = −y2 y z = x2

para (x, y) ∈ R. Evaluar∫∫∫

Q

(x + 1)dV

Solucion: Graficamente, la situacion tanto para el solido Q como para laregion R, es la siguiente:

x

y

z

x

y

0 1

Ry=x

z=x 2

Q

z=-y 2

Figura 3.10: Figura Ejemplo 3.7

La region R, en el plano xy, esta acotada por 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ x; con loque, tomando a R como una region tipo I, la integral es calculada como:

∫ 1

0

∫ x

0

∫ x2

−y2

(x + 1)dzdydx =

∫ 1

0

∫ x

0

[xz + z]

∣

∣

∣

∣

x2

−y2

dydx

=

∫ 1

0

∫ x

0

[(x3 + x2) − (−xy2 − y2)]dydx

=

∫ 1

0

∫ x

0

(x3 + x2 + xy2 + y2)dydx

=

∫ 1

0

[

x3y + x2y +xy3

3+

y3

3

] ∣

∣

∣

∣

x

0

dx

=

∫ 1

0

(

x4 + x3 +x4

3+

x3

3

)

dx

=

∫ 1

0

4

3(x4 + x3)dx

=4

3

[

x5

5+

x4

4

] ∣

∣

∣

∣

1

0

=3

5

�

Tambien, a traves de integrales triples, pueden calcularse volumenes desolidos encerrados por superficies en el espacio. En efecto, de acuerdo a ladefinicion de integral triple dada por (3.15), si f(x, y, z) = 1, entonces lasumatoria corresponderıa a la suma de los volumenes de los paralelepıpedospequenos Qk que forman la particion P de Q y por lo tanto cuando ||P || tiende


a cero, la particion {Qk} cubrira cada vez mejor al solido Q y ası, en el lımite,la suma de los volumenes Qk sera al volumen de Q. Entonces, se concluye quesi f(x, y, z) = 1 en Q, la integral triple de f sobre Q se escribe como:

∫∫∫

Q

dV

y su valor es el volumen de la region Q.

Ejemplo 3.8. Calcular el volumen del solido acotado por la superficie y = x2

y los planos z = 0 y y + z = 4.

Solucion: Graficamente, la situacion es la siguiente:

x

y

z

x

y

4

y=x2

-2 2

y+z=4

R

Geometricamente se puede decir que z se mueve entre los planos z = 0 yz = 4− y para y entre x2 y 4 con x entre −2 y 2. Ası, el volumen V del solidoacotado por las superficies dadas se obtiene como:

V =

∫ 2

−2

∫ 4

x2

∫ 4−y

0

dzdydx =

∫ 2

−2

∫ 4

x2

z

∣

∣

∣

∣

4−y

0

dydx

=

∫ 2

−2

∫ 4

x2

(4 − y)dydx =

∫ 2

−2

[

4y − y2

2

] ∣

∣

∣

∣

4

x2

dx

=

∫ 2

−2

[

(16 − 8) −(

4x2 − x4

2

)]

dx

=

∫ 2

−2

(8 − 4x2 +x4

2)dx

= (8x − 4

3x3 +

x5

10)

∣

∣

∣

∣

2

−2

=256

15

�

Algunas integrales triples se pueden evaluar mediante una integral tripleiterativa en que la primera integracion se efectua con respecto de y. Ası, sea:

Q = {(x, y, z) : a ≤ x ≤ b, h1(x) ≤ z ≤ h2(x), k1(x, z) ≤ y ≤ k2(x, z)}

donde h1 y h2 son funciones continuas en el intervalo [a, b] y k1, k2 tienenderivadas parciales continuas en la region R del plano xz como se muestra enla Figura 3.11. Entonces, la integral de una funcion f , de tres variables, sobre


x

y

z

y=k (x,z) y=k (x,z) 1 2

z=h (x)

z=h (x)

1

2

Q

a

b

Figura 3.11: Region Q donde se evalua una integral triple iterativa.

la region Q, esta dada por:

∫∫∫

Q

f(x, y, z)dV =

∫ b

a

∫ h2(x)

h1(x)

∫ k2(x,z)

k1(x,z)

f(x, y, z)dydzdx (3.17)

Ejemplo 3.9. Calcular el volumen del solido del Ejemplo 3.8, usando la inte-gral de la formula (3.17).

Solucion: De acuerdo al orden de integracion dado en (3.17) diremos que yse mueve entre x2 y 4 − z con lo que, haciendo la interseccion entre estas dossuperficies, tenemos que z = 4− x2. Ası, z se va a mover entre 0 y 4− x2 parax entre -2 y 2. Geometricamente, se tiene:

z

x

y x

z

4

z = 4 - x2

z = 4 - x2


Entonces, el volumen V del solido es calculado como:

V =

∫ 2

−2

∫ 4−x2

0

∫ 4−z

x2

dydzdx

=

∫ 2

−2

∫ 4−x2

0

y

∣

∣

∣

∣

4−z

x2

dzdx =

∫ 2

−2

∫ 4−x2

0

(4 − z − x2)dzdx

=

∫ 2

−2

[

4z − z2

2− x2z

] ∣

∣

∣

∣

4−x2

0

dx =

∫ 2

−2

[

4(4 − x2) − (4 − x2)2

2− x2(4 − x2)

]

dx

=1

2

∫ 2

−2

(4 − x2)2dx =256

15

�

En general, una integral triple puede evaluarse de varias maneras depen-diendo del orden en que se integra. Obviamente que de acuerdo a la regiondonde se evalue la integral, se eligira el orden de integracion mas conveniente.

3.3. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRA-

LES MULTIPLES

Existen algunas situaciones que para evaluar alguna integral doble o tri-ple es conveniente hacer un cambio de variables. Es ası como existe el casotıpico de cambiar una integral doble en coordenadas rectangulares a una in-tegral doble equivalente en coordenadas polares. En esta seccion se presentaun metodo general para hacer cambio de variables en las integrales multiplespara el caso particular de integrales dobles. Este metodo esta basado en lasllamadas Aplicaciones o Transformaciones de un sistema de coordenadas enotro.

Consideremos una funcion T cuyo dominio D es una region en el planoxy y su codominio E es una region en el plano uv. Esquematicamente, se tienelo siguiente: como se muestra en la Figura 3.12, a cada punto (x, y) en D sele asocia un unico punto (u, v) en E tal que T (x, y) = (u, v). A la funcion Tse le llama Transformacion de Coordenadas del plano xy al plano uv ypor lo tanto se puede decir que las coordenadas u y v son funciones de lascoordenadas x e y. Ası, la transformacion T puede ser definida mediante lasformulas

u = f(x, y), v = g(x, y); (x, y) ∈ D, (u, v) ∈ E;

donde, f y g son funciones que tienen el mismo dominio que T .Una transformacion T, como la definida anteriormente, se dice que es uno

a uno si (x1, y1) 6= (x2, y2) en el plano xy, entonces T (x1, y1) 6= T (x2, y2) enel plano uv. Ahora, si T es una transformacion de coordenadas uno a uno,entonces invirtiendo la correspondencia se obtiene una transformacion T−1 del

3.3. CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MULTIPLES 121

y

x

v

u

(x,y)(u,v)

.

T

DE

.

Figura 3.12: Funcion T con dominio D y codominio E.

plano uv al plano xy, llamada inversa de T. Esta transformacion se puededefinir tambien mediante las formulas

x = F (u, v), y = G(u, v)

para ciertas funciones F y G:

y

x

v

u

(x,y)(u,v).

T

DE

.

-1

Figura 3.13: Transformacion Inversa T−1

Obviamente, se tiene que T−1(T (x, y)) = (x, y) y T (T−1(u, v)) = (u, v) paratodo (x, y) en D y para todo (u, v) en E.

Ejemplo 3.10. Sea T la tranformacion de coordenadas definida por

u = x + 2y, v = x − 2y (3.18)

1. Encontrar la inversa de la transformacion T .


2. Obtener la curva en el plano de coordenadas uv que T−1 transforma enla elipse x2 + 4y2 = 1 del plano xy.

Solucion:1.- Si sumamos las dos ecuaciones de (3.18) tenemos u+v = 2x y si las restamosnos da u − v = 4y. Por lo tanto T−1 queda definido por

x =u + v

2, y =

u − v

4

2.- Si se reemplaza x por u+v2

e y por u−v4

en la ecuacion x2 + 4y2 = 1 setiene que:

[

1

2(u + v)

]2

+ 4

[

1

4(u − v)

]2

= 1

lo que haciendo las operaciones correspondientes se llega a

u2 + v2 = 2

que corresponde a una circunsferencia de radio√

2 con centro en el origen enel plano uv. Graficamente, se tiene:

v

ux

y

x + 4y =12u + v =2222

T-1

�

Recordemos que en el caso de funciones de una variable, en una integraldefinida

∫ b

af(x)dx, si se sustituye x = g(u) entonces dx = g′(u)du con lo cual

se tiene que

∫ b

a

f(x)dx =

∫ d

c

f(g(u))g′(u)du

donde a = g(c) y b = g(d). Veremos, a continuacion, como es el cambio devariables en las integrales dobles.

Sea la integral doble de una funcion F sobre una region R del plano xy:

∫∫

R

F (x, y)dA


y una transformacion de coordenadas dada por

x = f(u, v), y = g(u, v)

donde f y g tienen segundas derivadas parciales continuas. Ası, podemos decirque estas ecuaciones dan lugar a una transformacion L del plano uv al planoxy. Graficamente, se tiene lo siguiente:

y

x

v

u

LR

.(u,v).

(x,y)

S

Figura 3.14: Transformacion L del plano uv al plano xy.

Entonces, la idea es encontrar la region S en el plano uv que se transforme enla region R bajo L, como se presenta en la Figura 3.14, tal que

∫∫

R

F (x, y)dA =

∫∫

S

F (f(u, v), g(u, v))dA (3.19)

Es decir, se requiere pasar de la integral doble en las variables x e y a la integraldoble en las variables u y v, de acuerdo a la transformacion.

La funcion de u y v que se define a continuacion es utilizada en el cambiode variables en integrales doble.

Definicion 3.4. Sean x = f(u, v), y = g(u, v); donde f y g son funciones queadmiten primeras derivadas parciales. El Jacobiano de x e y con respecto deu y v, que se denota por ∂(x,y)

∂(u,v), se define por:

∂(x, y)

∂(u, v)=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=∂x

∂u

∂y

∂v− ∂x

∂v

∂y

∂u

Ejemplo 3.11. Supongamos la transformacion T definida por

x =u

v, y = v

Encontrar el Jacobiano de x e y con respecto de u y v.

Solucion:

∂x

∂u=

1

v,

∂x

∂v= − u

v2,

∂y

∂u= 0,

∂y

∂v= 1


Entonces

∂(x, y)

∂(u, v)=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1v

− uv2

0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=1

v

�

Como se decıa anteriormente, se tendra que encontrar la region S en elplano uv que se transforme en una region R del plano xy por la transformacionde coordenada L, como lo grafica la Figura 3.14. Para la obtencion de S, tantoR como el integrando F (x, y) de (3.19) deben cumplir algunas condiciones.Para empezar, R debe constar de todos los puntos que estan sobre una curvasimple cerrada C que es suave por todas partes y la funcion F debe tenerprimeras derivadas parciales en toda una region abierta que contenga a R.Ademas, se requiere que L transforme la region S del plano uv en la region Rdel plano xy de manera biunıvoca y que S este acotada por una curva simpleK que sea suave por todas partes y que L la transforme en C.

Tambien aparte de las condiciones anteriores de tipo analıticas, debe cum-plirse una restriccion de tipo geometrica. Para ello, decimos que el sentido (odireccion) positivo a lo largo de la curva C es tal que cuando un punto P re-corre C, la region R queda siempre a la izquierda y con el sentido negativo,R queda a la derecha. Entonces, la restriccion consiste en que cuando en elplano uv se recorra la curva K una vez en el sentido positivo, la curva C debeser recorrida una vez; ya sea en el sentido positivo o negativo.

En el siguiente teorema, que entrega la formula para evaluar una integraldoble cuando se realiza el cambio de variables, se supone que las regiones yfunciones satisfacen las condiciones mencionadas.

Teorema 3.2. Si x = f(u, v), y = g(u, v) es una transformacion de coorde-nadas entonces:

∫∫

R

F (x, y)dxdy = ±∫∫

S

F (f(u, v), g(u, v))∂(x, y)

∂(u, v)dudv, (3.20)

donde; el signo + o el signo − se elige de acuerdo a que si: cuando se recorrela frontera K de S una vez en el sentido positivo, la curva C de R se recorreuna vez en la direccion positiva o negativa, respectivamente.

Observacion 3.3. En las integrales del teorema anterior se usaron las nota-ciones dxdy y dudv en vez de dA para evitar confusiones acerca de la regionde integracion.

Ejemplo 3.12. Evalue la integral

∫ 1

0

∫ 2−y

y

sen

(

x − y

x + y

)

dxdy

Solucion: Es claro que lo que conviene es hacer la sustitucion:

u = x − y, v = x + y


lo cual define una transformacion T del plano xy al plano uv. Al sumar y restarestas dos ecuaciones se tiene que, respectivamente:

x =u + v

2, y =

v − u

2(3.21)

Estas dos ecuaciones definen la transformacion L = T−1. Ahora de 3.21 setiene:

∂(x, y)

∂(u, v)=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

12

12

−12

12

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=1

2

La region R esta dada por y ≤ x ≤ 2− y, para 0 ≤ y ≤ 1; lo que graficamentees:

y

1 2

1R

x=y x=2 - y

x

El perımetro de R es dado por las curvas de ecuaciones:

x = 0, y = x, x + y = 2

A continuacion, usando las transformaciones T y L, se obtienen las curvascorrespondientes al perımetro de la region en el plano uv, de acuerdo a lascondiciones que deben satisfacerse para que el Toerema 3.2 sea aplicado :

x = 0 ⇒ u + v

2= 0 ⇒ v = −u

y = x ⇒ u + v

2=

v − u

2⇒ u = 0

x + y = 2 ⇒ v = 2

Entonces los lados de la region S en el plano uv estan dados por las curvas deecuaciones:

v = −u, u = 0, v = 2;

lo que graficamente es:


2

u = 0

v = 2

v = -u

u

v

s

Se verifica que cuando se recorre la frontera de S en sentido positivo (en direc-cion contraria a los punteros de el reloj) una vez, entonces se recorre la fronterade R una vez en el sentido negativo (en direccion a los punteros de el reloj).Ası:

∫ 1

0

∫ 2−y

y

sen

(

x + y

x − y

)

dxdy = −1

2

∫ 2

0

∫ 0

−v

sen(u

v)dudv

= −1

2

∫ 2

0

−vcos(u

v)

∣

∣

∣

∣

0

−v

dv

=1

2

∫ 2

0

(v − cos(−1))dv

=1

2

[

v2

2− cos(−1)v

]2

0

≈ 0.4597

�

En la practica, a parte del sistema de coordenadas rectangulares en dosvariables, uno de los sistemas de coordenadas utilizado es el sistema de coor-denadas polares, en la cual un punto P del plano queda representado por elpar (r, θ); donde r es la distancia desde el origen a P y θ denota la medida delangulo por el eje polar y OP

θ

P(r,θ)

Eje Polar0

Figura 3.15: Sistema de coordenadas polares

Ahora, las transformaciones entre las coordenadas rectangulares y lascoordenadas polares estan dadas como se indica a continuacion. Si (x, y) es


un punto en el plano xy y (r, θ) su equivalente en el plano polar entoncesdeben cumplirse el siguiente conjunto de ecuaciones:

x = rcosθ , y = rsenθ (3.22)

tgθ =y

x, r2 = x2 + y2 (3.23)

Las ecuaciones (3.22) representan la transformacion del plano polar al planode coordenadas rectangulares; siendo viceversa las ecuaciones (3.23).

En condiciones adecuadas, una integral doble en coordenadas rectangula-res se puede transformar en una integral doble en coordenadas polares. Muchasveces, una integral doble en coordenadas rectangulares puede resultar complejasu evaluacion; sin embargo, al hacer la transformacion a coordenadas polaresel calculo de la integral puede hacerse muy sencillo.

Ejemplo 3.13. Evaluar∫ ∫

R

(x2 + y2)32 dydx

donde R es la region en el primer cuadrante entre x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4.

Solucion Esta integral puede ser cambiada a una integral en coordenadaspolares. Haciendo

x = rcosθ, y = rsenθ

entonces el jacobiano de la sustitucion es:

∂(x, y)

∂(r, θ)=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∂x∂r

∂x∂θ

∂y∂r

∂y∂θ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cosθ −rsenθ

senθ rcosθ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= r

Por otra parte, la grafica de la region R del plano xy es:

R

1 2

1

2

x

y


Ahora, nuevamente analizando la frontera de la region R se obtiene la fronterade la region S en el plano rθ:

x2 + y2 = 1 ⇒ r = 11 ≤ x ≤ 2 ⇒ θ = 0 (y = 0)x2 + y2 = 4 ⇒ r = 21 ≤ y ≤ 2 ⇒ θ = π

2(x = 0)

Ası, la region S en el plano rθ queda definida por 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π2.

Graficamente se tiene:

2π

θ

r

S

1 2

Se verifica que cuando se recorre la frontera de S una vez en el sentido positivo,tambien se recorre la frontera de R una vez en el mismo sentido. De acuerdoal Teorema 3.2 se tiene que:

∫ ∫

R

(x2 + y2)32 dydx =

∫ 2

1

∫ π2

0

r3 · rdθdr

=

∫ 2

1

∫ π2

0

r4dθdr

=

∫ 2

1

r4θ

∣

∣

∣

∣

π2

0

dr =

∫ 2

1

π

2r4dr

=π

10r5

∣

∣

∣

∣

2

1

=31

10π ≈ 9.7389

�


Para obtener una integral doble en Maple se usa el comando Doubleint,precedido de la sentencia with(student), que abre la libreria corespodiente. Lasentencia anterior obtiene la integral doble de una manera simbolica; usandoel comando value para obtener su valor numerico. Por ejemplo, si se desea


enaluar la integral doble de la funcion f definida por f(x, y) = x2y − 3y para−2 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ x ≤ 2, entonces se ejecuta:

> with(student):> f:=(x,y)− > x∧2*y-3*y; # la expresion se escribe como funcion

f := (x, y)− > x2y − 3y

> Doubleint(f(x,y),y=-2..3,x=0..2);

∫ 2

0

∫ 3

−2

x2y − 3ydydx

> value(%);

−25

3

con lo cual

∫ 2

0

∫ 3

−2

(x2y − 3y)dydx = −25

3

Ahora, si se desea calular el area encerrada entre las curvas y = x2,y = x + 6, una rutina completa serıa:

> with(student):> plot([x∧2,x+6],x=-5..5);

0

5

10

15

20

25

–4 –2 2 4

x

> Doubleint(1,y=x∧2..x+6,x=-2..3);

∫ 3

−2

∫ x+6

x2

1dydx

> value(%);


125

6

y ası el area entre las dos curvas anteriores es de 1256

unidades cuadradas.Observacion: Un modo de ayudarse en el calculo de areas encerrada entre

curvas, es con la sentencia intercept, que tambien esta dentro de la libreriastudent; el cual encuentra las coordenadas de los puntos de interseccion entredos curvas. Para el calculo del area anterior, los puntos de intersecion entre lascurvas y = x2 y y = x + 6 son encontrados ejecutando:

> with(student)> intercept(y=x**2,y=x+6,{x,y});

{y = 4, x = −2}, {y = 9, x = 3}el cual indica que los puntos de interseccion de las dos curvas son (−2, 4) y(3, 9)

En Maple las integrales dobles pueden ser evaluadas directamente con unasentencia de doble integral. Por ejemplo, el area anterior puede ser calculadacomo:

> int(int(1,y=x∧2..x+6),x=-2..3);

125

6

y la primera integral como:

> f:=(x,y)− > x∧2*y-3*y;

f := (x, y)− > x2y − 3y

> int(int(f(x,y),y=-2..3),x=0..2);

−25

3

Se puede realizar una pequena rutina para calcular un volumen encerrado porsuperficies. Por ejemplo, si se desea calcular el volumen de un solido, en elprimer octante, acotado por las superficies z = 9 − x2 − y2 y x + y = 2,entonces la representacion y el calculo de su volumen se hace como:

> with(student):> with(plots):> implicitplot3d({z=9-x∧2-y∧2,x+y=2},x=0..5,y=0..5,z=0..15,orientation=[300,45],

axes=boxed); # se representa el grafico de la superficie encerrada


01

23

45

x

0

1

2

3

4

5

y

0

2

4

6

8

10

12

14

z

> Doubleint( 9-x∧2-y∧2,y=0..2-x,0..2); # se representa la integral doble que># evalua el volumen

∫ 2

0

∫ 2−x

0

9 − x2 − y2dydx

> value(%);

46

3Para el caso de integrales triple, se usa el comando Tripleint, tambien

precedido del comando with(student). Por ejemplo, si se desa evaluar la integraltriple de la funcion f dada por la expresion f(x, y, z) = xz + 2 para 0 ≤ z ≤9 − y2, y2 ≤ x ≤ 4, −2 ≤ y ≤ 2, se hace como:

> Tripleint(x*z+2,z=0..9-y∧2,x=y∧2..4,y=-2..2);

∫ 2

−2

∫ 4

y2

∫ 9−y2

0

xz + 2dzdxdy

> value(%);

319744

315Lo anterior puede ser calculado en forma mas directa como:

> int(int(int(x*z+2,z=0..9-y∧2),x=y∧2..4),y=-2..2);

319744

315



1.- Considere los conjuntos del plano:

R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2}R1 = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}R2 = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}.Ademas suponga que:∫

R

∫

f(x, y)dA = 3,

∫

R

∫

g(x, y)dA = 5

∫

R1

∫

g(x, y)dA = 2

Use las propiedades de las integrales para evaluar:

a)

∫

R

∫

(3f(x, y) − g(x, y))dA

b)

∫

R

∫

(2f(x, y) + 5g(x, y))dA

c)

∫

R2

∫

g(x, y)dA

2.- En los siguientes problemas, evalue las integrales iteradas.

a)

∫ 4

−1

∫ 2

1

(x + y2) dydx

b)

∫ 3

0

∫ 2

1

(xy + y2) dxdy

c )

∫ 1

0

∫ 1

−1

xy3 dxdy

d)

∫ ln 3

0

∫ 1

0

xyexy2

dydx

3.- En cada uno de los casos, evaluar la integral doble sobre la region R ence-rrada por las curvas que se indican:

a)

∫

R

∫

(x + y)dA; R es el triangulo con vertices: (0, 0), (0, 4), (1, 4)

b)

∫

R

∫

xy dA; y = x2, y = 1

c)

∫

R

∫

(x2 + 2y) dA; y = x2, y =√

x


d)

∫

R

∫

ex/ydA; y = 2x, y = −x, y ≥ 1, y = 4

e)

∫

R

∫

ysen xdA; x = y2, x = 9, y ≥ 1

4.- En los siguentes problemas, bosqueje el solido indicado. Luego, determineel volumen mediante una integracion doble iterada.

a) El tetaedro acotado por los planos coordenados y el plano de ecuacionz = 6 − 2x − 3y

b) La cuna acotada por los planos coordenados y los planos de ecuacionesx = 5 y y + 2z − 4 = 0

c) El solido acotado en el primer octante acotado por las superficies deecuaciones z = 4 − x2 y x + y = 2.

d) El solido acotado por el cono de ecuacion z = x2 + y2, los planos deecuaciones x = 0, z = 0 y la superficie de ecuacion x = 9 − y2.

5.- Represente la region acotada por las curvas, dadas por las ecuacioinesindicadas, y calcule el area por medio de integrales dobles:

a) y = x, 2x + 3y = 18, y = 0

b) y2 = x, y + x = 2

c) y = x, y = 3x, x + y = 4

d) y =√

x, x = 1, x = 4

6.- En los siguientes problemas evalue las integrales iteradas.

a)

∫ 1

0

∫ 2

1

∫ 2

0

xy2zdydxdz

b)

∫ 5

0

∫ 4

−2

∫ 2

1

6xy2z3dxdzdy

c)

∫ 2

0

∫ 4

−1

∫ 3y+x

0

dzdydx

d)

∫ 7

−3

∫ 2x

0

∫ x−1

0

dzdydx

e)

∫ π/2

0

∫ z

0

∫ y

0

sen(x + y + z)dxdydz


7.- Represente la region acotada por la grafica de las ecuaciones y use unaintegral triple para calcular su volumen:

a) 3x + 4y + z − 12 = 0, x = 0, y = 0, z = 0

b) 4 − x2 = z, z = 3y, y = 0, z = 0

c) z = 4y2, z = 2, x = 2, x = 0

d) z + x2 + y2 = 9, x = 0, y = x, y = 2, z = 0

8.- Evalue la integral haciendo el cambio de variables a coordenadas rectan-gulares correspondiente.

a)

∫

S

∫

sen[(y − x)/(x + y)]dxdy;

S es el trapecio con vertices (1, 1), (2, 2), (4, 0), (2, 0).

b)

∫

S

∫

(√

x − 2y +1

4y2)dxdy;

S es el triangulo con vertices (0, 0), (4, 0), (4, 2).

9.- Evalue la integral haciendo el cambio de variables a coordenadas polares.∫

S

∫

(x2 + y2)3/2dydx;

S es la region acotada por y ≥ 0 y x2 + y2 = 9

10.- Si f es una funcion con primeras derivadas paeciales continuas tal quef(x, y) ≥ 0 en una region S del plano xy, entonces es posible calcular el areaA de la superficie dada por la grafica de f sobre la rgion S de la siguientemanera:

A =

∫

S

∫

√

(fx(x, y))2 + (fy(x, y))2 + 1dA

Entonces:

a) Sea S la region del plano xy acotada por y = 12x, x = 0, y = 6. Calcular

el area de la superficie de la gafica dada por la ecuacion z = x + 2y2 quese encuentra sobre la region S.

b) Calcule el area de la superficie de la parte del paraboloide z = x2 + y2

que se obtiene al cortarlo en plano z = 1.

Capıtulo 4

SERIES INFINITAS

Las series infinitas presentan bastante utilidad en la resolucion de muchosproblemas de matematica aplicada. Por ejemplo, una cierta funcion en una va-riable, que en el papel se ve complicada, puede ser aproximada por una sumade terminos; en que cada uno de ellos es una potencia en la variable. Dichasuma de terminos correspondera a una parte de una serie infinita que, gene-ralmente, mientras mayor sea el numero de terminos de la suma mejor sera laaproximacion. Otro caso importante es que la solucion de algunas ecuacionesdiferenciales, que representan algun fenomeno, tienen por solucion una serieinfinita.

La idea de este capıtulo es entregar algunos conceptos basicos de series,desarrollando primero para ello la idea de sucesiones.

4.1. SUCESIONES INFINITAS

En una manera simple, se puede decir que una sucesion infinita

a1, a2, a3, . . .

es un arreglo ordenado de numeros reales, uno por cada entero positivo. Conmas formalidad, una sucesion infinita (o simplemente sucesion o secuencia)es una funcion cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos y cuyorango es el conjunto de los numeros reales. Cada numero real ak es un terminode la sucesion y se dice que la sucesion es un arreglo ordenado, ya que hay unprimer termino a1, un segundo termino a2, y para todo entero positivo n unn-esimo termino an. Generalmente, una sucesion a1, a2, . . . es denotada por{an}.

Ejemplo 4.1.

1. Si an = 1 − 1n, entonces reemplazando primero n = 1, despues n = 2,

etc, se pueden obtener los primeros terminos de la sucesion:

0,1

2,

2

3,

3

4,

4

5, . . .

135

136 CAPITULO 4. SERIES INFINITAS

2. Si bn = (−1)n + 1n, entonces los primeros terminos de la sucesion serıan:

0,3

2, −2

3,

5

4, −4

5,

7

6, −6

7, . . .

3. Si cn = 4, entonces la sucesion es:

4, 4, 4, 4, . . .

�

Una sucesion infinita {an} puede tener la propiedad que cuando n aumen-ta, el valor de el n-esimo termino, an, se acerque a un numero real L; es decir,el valor de |an − L| sea cercano a cero cuando n es grande. Por ejemplo, lasucesion {an} del Ejemplo 4.1 se acerca progresivamente a 1 cuando n crece yen este caso se dice que la sucesion {an} tiene lımite 1 o converge a 1. Tambienes correcto decir que la sucesion {cn} converge a 4. La sucesion {bn} no seacerca a ningun numero y se dice que diverge.

Con la idea anterior, se entrega la definicion de convergencia de una su-cesion.

Definicion 4.1. Una sucesion {an} converge a L, lo cual se escribe como

lımn→∞

an = L,

si para todo numero positivo ǫ existe un numero positivo N correspondiente talque

|an − L| < ǫ, siempre que n > N

Observacion 4.1. Si tal numero L, en la definicion anterior, no existe, sedice que la sucesion diverge o que es divergente.

Ahora, si el n-esimo termino de una sucesion {an}, an, se puede hacertan grande como se quisiera tomando n suficientemente grande, entonces lasucesion diverge; usando, en este caso, la notacion de lımite y escribiendosecomo

lımn→∞

an = ∞

Por otra parte, si una sucesion {an} coincide con los valores de una funcion fen todo entero positivo n, y si f(x) tiende a un lımite cuando x → ∞, entoncesla sucesion debe converger a ese mismo lımite. A partir de esta idea, se tieneel siguiente resultado que permite investigar la convergencia o divergencia deuna sucesion.

Teorema 4.1. Sea {an} una sucesion infinita y sea f(n) = an, para todoentero positivo n, donde f(x) existe para todo numero real x ≥ 1:

i) Si lımx→∞

f(x) = L, entonces lımn→∞

an = L, L ∈ IR

4.1. SUCESIONES INFINITAS 137

ii) Si lımx→∞

f(x) = ∞ (o −∞), entonces lımn→∞

an = ∞ (o −∞)

Antes de revisar algunos ejemplos, se mencionan algunas propiedades so-bre lımites de sucesiones las cuales son analogas a las propiedades de lımitesde funciones.

Teorema 4.2. Sean {an} y {bn} sucesiones convergentes y k cualquier numeroreal. Entonces:

a) lımn→∞

k = k

b) lımn→∞

kan = k lımn→∞

an

c) lımn→∞

(an ± bn) = lımn→∞

an ± lımn→∞

bn

d) lımn→∞

(anbn) = lımn→∞

an lımn→∞

bn

e) lımn→∞

an

bn

=lım

n→∞an

lımn→∞

bn

; si lımn→∞

bn 6= 0

Ejemplo 4.2. Determinar si son convergentes las siguientes sucesiones

a)(−1)n

4

b)5n2

8n2 + 4

c)ln(n)

en

Solucion:

a) an =(−1)n

4, con lo cual la sucesion tiene terminos

−1

4,

1

4, −1

4,

1

4, . . .

con lo cual la sucecion oscila entre los valores −14

y 14

y por lo tanto notiene lımite y la sucesion diverge (el lımite es unico).

b) Aplicando los resultados del Teorema 4.2 se tiene

lımn→∞

5n2

8n2 + 4= lım

n→∞

5

8 + 4n2

=lım

n→∞5

lımn→∞

[

8 + 4n2

]

=5

lımn→∞

8 + lımn→∞

4n2

=5

8 + 0=

5

8


c) Aquı es conveniente aplicar el Teorema 4.1 por la necesidad de aplicar laregla de l’Hopital. Consideremos

f(x) =ln(x)

ex,

para lo cual f(x) existe para todo numero real x ≥ 1. Ahora, la idea esevaluar

lımx→∞

ln(x)

ex

Por regla de l’Hopital se tiene:

lımx→∞

ln(x)

ex= lım

x→∞

1x

ex= 0

con lo que, por el Teorema 4.1, se concluye que

lımn→∞

ln(n)

en= 0;

es decir, la sucesionln(n)

enconverge a cero.

�

A continuacion se ve el resultado que tiene que ver con la situacion enque los terminos de una sucesion esten siempre intercalados entre los terminoscorrespondientes de dos sucesiones que tienen el mismo lımite.

Teorema 4.3. Sean {an} y {bn} dos sucesiones tales que

lımn→∞

an = L = lımn→∞

bn

y supongamos que existe un numero entero N y una sucecion {cn} tales quean ≤ cn ≤ bn para todo n > N , entonces

lımn→∞

cn = L

Ejemplo 4.3. Calcular el lımite de la sucesion

{

sen3n

2n

}

Solucion: Para n ≥ 1 se tiene que

−1 ≤ sen3n ≤ 1

de donde

−1

2n≤ sen3n

2n≤ 1

2n, para n ≥ 1

Como lımn→∞

− 1

2n= 0 y lım

n→∞

1

2n= 0 y de acuerdo al Teorema 4.3 se tiene

que

lımn→∞

sen3n

n= 0,

4.1. SUCESIONES INFINITAS 139

con lo cual la sucesion

{

sen3n

2n

}

converge a cero.

�

Claramente, por lo que hemos visto, se ve que si an = c, c un numero realconstante para todo n; con lo cual la sucesion infinita es c, c, c, . . ., entonceslım

n→∞an = c. Ademas si b es una valor real y k es un numero real positivo,

entonces:

lımn→∞

b

nk= 0

Para sucesiones de signos variables es util tener el resultado que se da a con-tinuacion y que es una consecuencia directa de la definicion de lımite de unasucesion.

Teorema 4.4. Sea {an} una sucesion. Si lımn→∞

|an| = 0, entonces lımn→∞

an = 0

Del Teorema 4.4 se concluye lo siguiente: si se tiene una sucesion de termi-nos positivos y terminos negativos y si la sucesion de terminos positivos con-verge a cero entonces la sucesion original tambien debe converger a cero.

Ejemplo 4.4. Encuentre el lımite de la sucesion

{

(−1)n (n + 1)

n2

}

Solucion: Algunos terminos de la sucesion son

−2,3

4, −4

9,

5

16, − 6

25,

7

36, . . .

Si se considera solo la sucesion de terminos positivos, se tiene la serie

{

(n + 1)

n2

}

.

Ahora

lımn→∞

n + 1

n2= lım

n→∞

(

1

n+

1

n2

)

= 0

y ası la sucesion

{

(−1)n (n + 1)

n2

}

converge a cero.

�

Serıa interesante ver tambien, por ejemplo, que pasa con la sucesion{(0.75)n} o bien con la sucesion {(1.5)n}. Al evaluar la primera sucesion paravalores de n grande (10, 100, . . .) se ve que cada vez el valor de los terminosse va haciendo mas pequeno y la segunda sucesion marcha directo hacia ∞.Al respecto, se tiene el siguiente resultado:

Teorema 4.5.

1) lımn→∞

rn = 0; si |r| < 1

2) lımn→∞

|rn| = ∞; si |r| > 1


4.2. SERIES INFINITAS

Una de las aplicaciones importantes de las sucesiones es que ellas sirvenpara representar sumas infinitas y que dan pie a la siguiente definicion.

Definicion 4.2. Sea {an} una sucesion infinita, entonces la expresion

∞∑

n=1

an = a1 + a2 + · · ·+ an + · · ·

se llama serie infinita (o simplemente serie).

Los numeros a1, a2, a3, . . . de la Definicion 4.2 constituyen los terminos

de la serie y como convenio de notacion suele escribirse como∞∑

n=1

an o bien∑

an. En algunas situaciones sera conveniente comenzar la serie con n = 0.

Ahora, a partir de la serie∑

an definamos las siguientes sumas:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

......

...

Sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an

Pensando que n puede hacerse tan grande como se quiera se puede pensar que;de esta manera, se ha obtenido la sucecion {Sn}. Con esta idea se entrega lasiguiente definicion

Definicion 4.3. Para la serie∑

an, la n-esima suma parcial viene dada por

Sn = a1 + a2 + · · ·+ an

Si la sucesion de sumas parciales {Sn} converge a S, diremos que la serie∑

an

converge a S, llamando a S suma de la serie y escribiendo

S = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an + · · ·

Si {Sn} diverge, diremos que la serie es divergente.

Ejemplo 4.5. Verifique que la serie∞∑

n=1

1

2nes convergente.

Solucion:

∞∑

n=1

1

2n=

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ · · ·

4.2. SERIES INFINITAS 141

con lo cual la sucesion de sumas parciales es:

S1 =1

2= 1 − 1

2

S2 =1

2+

1

4=

3

4= 1 − 1

4

S3 =1

2+

1

4+

1

8=

7

8= 1 − 1

8... =

...

etc

Ahora, haciendo induccion sobre n, se prueba que:

Sn = 1 − 1

2n,

de donde:

lımn→∞

Sn = lımn→∞

(

1 − 1

2n

)

= 1

y ası {Sn} converge a 1. Por lo tanto la serie∞∑

n=1

1

2nes convergente y su lımite

es 1.�

Definicion 4.4. Una serie de la forma

∞∑

n=1

arn−1 = a + ar + ar2 + ar3 + · · · ;

donde, a y r son numeros reales, con a 6= 0, se llama serie geometrica.

Ejemplo 4.6. La serie de el Ejemplo 4.5∞∑

n=1

1

2nes una serie geometrica. En

efecto:

∞∑

n=1

1

2n=

∞∑

n=1

1

2

(

1

2

)n−1

=∞

∑

n=1

arn−1;

con lo que se puede tomar a = r = 12

En cuanto a la convergencia de la serie, se dispone del siguiente resultado:

Teorema 4.6. Sea a 6= 0. La serie geometrica

∞∑

n=1

arn−1 = a + ar + ar2 + ar3 + · · ·

1.- es convergente y su suma valea

1 − rsi |r| < 1.


2.- es divergente si |r| > 1.

Ejemplo 4.7. Use el resultado del Teorema 4.6 para analizar la convergenciade las siguientes series geometricas:

a)∞∑

n=1

5

4n−1

b)∞∑

n=1

(

−7

4

)n−1

Solucion:a)

∞∑

n=1

5

4n−1= 5 +

5

4+

5

42+

5

43+ · · ·

= 5 + 5

(

1

4

)

+ 5

(

1

4

)2

+ 5

(

1

4

)3

+ · · ·

Con lo cual se trata de una serie geometrica con a = 5 y r = 14. Como |r| < 1

la serie es convergente y su suma S es:

S =a

1 − r=

5

1 − 14

=20

3

b)

∞∑

n=1

(

−7

4

)n−1

= 1 +

(

−7

4

)

+

(

−7

4

)2

+

(

−7

4

)3

+

(

−7

4

)4

+ · · ·

siendo una serie geometrica con a = 1 y r = −74. Como |r| = 7

4> 1 la serie es

divergente.�

Definicion 4.5. La serie

∞∑

n=1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+

1

4+ · · ·

recibe el nombre de serie armonica.

Observacion 4.2. A traves de un arreglo agebraico, se verifica que la seriearmonica es una serie divergente.

En el siguiente resultado se entregan algunas propiedades de las series,las cuales son consecuencias directas de las correspondientes propiedades delos lımites de sucesiones.

Teorema 4.7. Si∞∑

n=1

an y∞∑

n=1

bn son series convergentes y c es una constante,

entonces las series∞∑

n=1

can y∞∑

n=1

(an + bn) tambien convergen y ademas


a)∞∑

n=1

can = c∞∑

n=1

an

b)∞∑

n=1

(an + bn) =∞∑

n=1

an +∞∑

n=1

bn

De acuerdo al Teorema 4.6, se ve que una serie geometrica converge si ysolo si el n-esimo termino converge a cero. ¿Sera posible que esto se cumplapara todas las series? La respuesta es no, aunque se sabe que si una serie

∑

an

es convergente entonces lımn→∞

an = 0. De lo anterior se obtiene el siguiente

resultado inmediato.

Teorema 4.8. Si lımn→∞

an 6= 0 (o lımn→∞

an no existe), la serie∑

an es divergente.

Ejemplo 4.8. Consideremos la serie

∞∑

n=1

n2

5n2 + 1

Entonces el n-esimo termino de la serie es

an =n2

5n2 + 1

con lo que

lımn→∞

an = lımn→∞

n2

5n2 + 1= lım

n→∞

1

5 + 1n2

=1

5

Por consiguiente, el lımite del n-esimo termino no es cero y se concluye quela serie es divergente.

�

A continuacion, se mencionan unos criterios de convergencia, algunos delos cuales podran ser aplicados a series especiales que se definen mas adelante.Muchas de las series se componen solo terminos positivos; teniendose paraestas series el siguiente criterio de convergencia llamado criterio de la razon.

Criterio de la Razon: Sea∑

an una serie con terminos positivos ysupongase que

lımn→∞

an+1

an= L

entonces,

i) Si L < 1, la serie converge.

ii) Si L > 1 o bien lımn→∞

an+1

an= ∞, la serie diverge.

iii) Si L = 1, no hay conclusion.

Ejemplo 4.9. Determinar si las siguientes series convergen.

a)∞∑

n=1

5n

n!


b)∞∑

n=1

2n

n3

Solucion:

a) an =5n

n!, entonces

L = lımn→∞

an+1

an= lım

n→∞

5n+1

(n + 1)!

n!

5n

Ahora, se sabe que (n + 1)! = (n + 1)n!, con lo cual

L = lımn→∞

an+1

an= lım

n→∞

5

n + 1= 0

Como L = 0 < 1, la serie es convergente.

b) an =2n

n3, entonces

L = lımn→∞

an+1

an

= lımn→∞

2n+1

(n + 1)3

n3

2n

= lımn→∞

2n3

n3 + 3n2 + 3n + 1

= lımn→∞

2

1 + 3n

+ 3n2 + 1

n3

= 2

Como L = 2 > 1, la serie es divergente.�

Consideremos ahora una serie en que tenga terminos positivos y negati-vos. En particular, veamos las llamadas series alternantes, cuya forma es lasiguiente:

a1 − a2 + a3 − a4 + · · ·donde an es positivo, para todo n ∈ IN . Por ejemplo, la serie

1 − 1

2+

1

3− 1

4+ · · · ;

se puede considerarse como la serie armonica alternante. Mas adelante severa que, a diferencia de la serie armonica, esta serie alternante es convergente.El siguiente resultado proporciona un criterio de convergencia para las seriesalternantes.

Criterio de Series Alternantes: Sea

∑

n→∞(−1)n−1an = a1 − a2 + a3 − a4 + · · ·

una serie alternante con an ≥ an+1 para todo n ∈ IN . Si lımn→∞

an = 0 entonces

la serie es convergente.


Ejemplo 4.10. Estudiar la convergencia de las series

a)∞∑

n=1

(−1)n−1(1

n!)

b)∞∑

n=1

(−1)n−1(2n

4n2 − 3)

Solucion:a)

∞∑

n=1

(−1)n−1 1

n!=

1

1!− 1

2!+

1

3!− 1

4!+

1

5!− 1

6!+ · · ·

Entonces la serie se puede denotar por∑

(−1)n−1an, donde an =1

n!. Ahora

1

(n + 1)!≤ 1

n!, para todon ∈ IN

lo cual implica que an+1 ≤ an, para cualquier entero n. Tambien

lımn→∞

an = lımn→∞

1

n!= 0

con lo que la serie converge, de acuerdo al criterio de series alternantes.

b)

∞∑

n=1

(−1)n−1 2n

4n2 − 3= 2 − 4

13+

2

11− 8

61+

10

97− 4

47+ · · ·

Para establecer que an+1 ≤ an usemos calculo diferncial. En este caso tomemos

f(x) =2x

4x2 − 3, x ≥ 1

cuya derivada es

f ′(x) =2(4x2 − 3) − (2x)(8x)

(4x2 − 3)2

=−8x2 − 6

(4x2 − 3)2

la que resulta ser siempre negativa; es decir, f es decreciente, de donde sededuce que an+1 ≤ an para n ≥ 1. Ademas:

lımn→∞

= lımn→∞

2n

4n2 − 3

= lımn→∞

2

4n − 3n

= 0

con lo que la serie converge, segun el criterio de las series alternantes.�


A continuacion veremos un criterio para series de terminos positivos en elcual se permite comparar, termino a termino, una serie con otra mas sencillacuya convergencia o divergencia ya es conocida.

Criterio de Comparacion Directa: Sean 0 ≤ an ≤ bn, para todo n ∈ IN.

1. Si∞∑

n=1

bn converge, entonces∞∑

n=1

an converge.

2. Si∞∑

n=1

an diverge, entonces∞∑

n=1

bn diverge.

Ejemplo 4.11. Sea la serie

∞∑

n=1

2

1 + 5n(4.1)

Verificar que es convergente.

Solucion:

an =2

1 + 5n<

2

5n= bn, n ≥ 1

Pero la serie∑

bn =∑ 2

5n

es una serie geometrica convergente (¿porque?). De acuerdo al criterio de com-

paracion directa, la serie∑ 2

1 + 5nes convergente.

�

Puede ocurrir que una serie tenga terminos positivos y negativos sin seruna serie alternante como ocurre con:

∑ sen(n)

n2=

sen1

1+

sen2

4+

sen3

9+ · · ·

Dada la caracterıstica de este tipo de series, se podrıa pensar en tomar la seriede los valores absolutos. Al respecto, se entrega la siguiente definicion.

Definicion 4.6. La serie∑

an se dice absolutamente convergente si laserie ∞

∑

n=1

|an| = |a1| + |a2| + |a3| + · · ·

es convergente.

Observese que si∑

an es una serie de terminos positivos, entonces |an| =an y, por lo tanto, la convergencia absoluta es lo mismo que la convergencia.Antes de presentar un ejemplo de series absolutamente convergente, se entregael siguiente resultado.

Teorema 4.9. La serie p o serie armonica∞

∑

n=1

1

np= 1 +

1

2p+

1

3p+

1

4p+ · · ·

converge si p > 1 y diverge si p ≤ 1.


Ejemplo 4.12. Verifique que la serie∞∑

n=1

(−1)n 5n

n!converge absolutamente.

Solucion: Si consideramos la serie de valores absolutos∑ 5n

n!y usamos el

criterio de la razon se tiene:

lımn→∞

an+1

an

= lımn→∞

5n+1

(n + 1)!

n!

5n= lım

n→∞

5n!

(n + 1)n!

= lımn→∞

5

n + 1= 0

Ası lımn→∞

an+1

an< 1 y la serie

∑ 5n

n!es convergente, con lo cual la serie

∑

(−1)n 5n

n!es absolutamente convergente.

�

Ejemplo 4.13. Verifique la convergencia absoluta de la serie

∞∑

n=1

sen(n)

n3

Solucion: Esta es una serie con terminos positivos y negativos, en la cual lossignos varıan aleatoriamente. Ahora, sabemos que

∣

∣

∣

∣

sen(n)

n3

∣

∣

∣

∣

≤ 1

n3, ∀ n = 1, 2, 3, ...

y que la serie∑ 1

n3es convergente por ser una serie p, con p = 3 > 1, y por el

criterio de comparacion directa la serie

∑

∣

∣

∣

∣

sen(n)

n3

∣

∣

∣

∣

es convergente. Ası∞

∑

n=1

sen(n)

n3

es absolutamente convergente.�

Existe una relacion entre convergencia absoluta y convergencia. Esta re-lacion esta dada en el siguiente resultado.

Teorema 4.10. Si una serie∑

an es absolutamente convergente, entoncesella es convergente. Es decir, si

∑

|an| converge entonces∑

an converge.

La implicancia inversa del teorema anterior generalmente no se cumple;es decir, que la convergencia implique la convergencia absoluta. Por ejemplo,la serie

∑ (−1)n

nen la cual se puede verificar que es convergente (por el criterio de series alter-nantes), pero al tomar los valores absolutos resulta la serie armonica que sesabe que es divergente. Esto da lugar a la siguiente definicion.


Definicion 4.7. Una serie∑

an es condicionalmente convergente si ellaes convergente pero

∑

|an| es divergente.

Ejemplo 4.14. Verificar que la serie∑ (−1)n

ln(n + 1)es condicionalmente con-

vergente.

Solucion: Por el criterio de series alternantes la serie∑ (−1)n

ln(n + 1)es conver-

gente. Sin embargo, la serie

∞∑

n=1

∣

∣

∣

∣

(−1)n

ln(n + 1)

∣

∣

∣

∣

=1

ln2+

1

ln3+

1

ln4+ · · ·

es divergente, ya que para todo n > 1 se tiene que

1

n + 1<

1

ln(n + 1)

Como∞∑

n=1

1

n + 1es divergente (serie armonica), entonces la serie

∞∑

n=1

1

ln(n + 1)es divergente, por el criterio de comparacion directa. Ası, la serie es condicio-nalmente convergente.

�

De todo lo dicho anteriormente, se concluye que las series infinitas sepueden clasificar en uno de los siguientes grupos: series absolutamente conver-gentes, series condicionalmente convergentes o series divergentes. Tambien lasseries de terminos positivos solo pueden ser convergentes o divergentes.

4.3. SERIES DE POTENCIAS

En esta seccion nos abocaremos a las series en las que los terminos no sonnumeros reales, sino que funciones en una variable.

Son muchas las funciones, que se utilizan para estudiar los problemasmatematicos, fısicos y quımicos, entre otros, que conviene expresar como unasuma de una serie de potencias. Para los casos en que las funciones tienen unacierta complejidad es necesario representarlas por una de estas series; ya quede esta manera se facilitara el estudio de ellas.

Claramente, en este tipo de series se debe delucidar cuales seran el o losvalores de la variable para lo cual la serie converge (intervalo de convergencia).Por ejemplo, consideremos la serie geometrica:

∞∑

n=0

xn = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · ·

donde x es una variable real. De acuerdo a un resultado anterior, sabemos queesta serie es convergente si |x| < 1 y en tal caso se tiene que

∞∑

n=0

xn =1

1 − x

4.3. SERIES DE POTENCIAS 149

Ası, si se define la funcion f por:

f(x) =1

1 − x, |x| < 1

entonces

f(x) = 1 + x2 + x3 + · · ·

y se dice que la funcion f esta representada por esta serie de potencia infinita.

Definicion 4.8. Sea x una variable. Una serie de potencias en x es unaserie de la forma

∞∑

n=0

anxn = a0 + a1x + a2x

2 + a3x3 + · · ·

donde a0, a1, a2 . . . son numeros reales. En general, una serie del tipo

∞∑

n=0

an(x − c)n = a0 + a1(x − c) + a2(x − c)2 + · · ·

se llama una serie de potencias centrada en c, donde c es una constantereal.

Ejemplo 4.15.

1. La serie ∞∑

n=0

xn

n!= 1 + x +

x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+ · · ·

es una serie de potencias centrada en 0.

2. La serie∞

∑

n=1

1

n(x − 1)n = (x − 1) +

1

2(x − 1)2 +

1

3(x − 1)3 + · · ·

es una serie de potencias centrada en 1.

Una serie de potencias en x

f(x) =∞

∑

n=0

an(x − c)n

puede ser considerada como una funcion de x, cuyo dominio es el conjuntode todos los x para los que la serie es convergente. El objetivo es entoncesdeterminar el dominio de las series de potencias. Particularmente, una serie depotencias centrada en c tiene en su dominio a la constante c; ya que

f(c) =

∞∑

n=0

an(c − c)n

= a0 + 0 + · · ·+ 0 + · · ·= a0


con lo cual la serie converge a a0. Para concluir lo anterior hay que hacer elsupuesto que 00 = 1.

A continuacion se enuncia un resultado, en el cual nos dice que una seriede potencias puede converger en un punto, en un intervalo centrado en c, o entoda la recta real.

Teorema 4.11. (Convergencias de Series de Potencias). Sea la serie depotencias centrada en c:

f(x) =

∞∑

n=0

an(x − c)n

entonces solo ocurre una de las tres posibilidades siguientes:

a) La serie converge solo en c.

b) La serie converge absolutamente para |x−c| < R y diverge para |x−c| >R, donde R es un numero real positivo.

c) La serie converge para todo x.

El numero R en el teorema anterior recibe el nombre de radio de con-vergencia de la serie de potencias. Si se da el caso a) diremos que R = 0 y sise da el caso c) entonces diremos que R = ∞. El conjunto de todos los valoresx donde la serie es convergente se llama intervalo de convergencia de laserie de potencias.

Observacion 4.3. El Teorema 4.11 no dice nada acerca de la convergenciaen los valores extremos del intervalo de convergencia de radio R (0 < R <∞). La convergencia de los dos puntos extremos de este tipo de intervalo deconvergencia deben estudiarse en forma separada.

Ejemplo 4.16. Encontrar los valores de x para los que la serie de potenciascentrada en 0:

∞∑

n=1

n

5nxn =

1

5x +

2

52x2 +

3

53x3 +

4

54x4 + · · ·

es absolutamente convergente.

Solucion: El n-esimo termino de esta serie es

an =n

5nxn =

nxn

5n

entonces

lımn→∞

∣

∣

∣

∣

an+1

an

∣

∣

∣

∣

= lımn→∞

∣

∣

∣

∣

(n + 1)xn+1

5n+1

5n

nxn

∣

∣

∣

∣

, x 6= 0

= lımn→∞

∣

∣

∣

∣

(n + 1)x

5n

∣

∣

∣

∣

= lımn→∞

(

n + 1

5n

)

|x|

= |x| lımn→∞

(

1

5+

1

5n

)

=1

5|x|

4.3. SERIES DE POTENCIAS 151

Luego, por el criterio de la razon con L = 15|x|, la serie es absolutamente

convergente si1

5|x| < 1 =⇒ |x| < 5

y diverge cuando |x| > 5. Por lo tanto el radio de convergencia de la serie esR = 5. Ahora, si |x| = 5 entonces x = 5 o x = −5 con lo cual la serie quedacomo:

1 + 2 + 3 + 4 + · · ·o

−1 + 2 − 3 + 4 − · · ·con lo que claramente son series divergentes. Por lo tanto, la serie es conver-gente para todo x en el intervalo (−5, 5) y diverge para cualquier otro valorfuera de este intervalo.

�

Ejemplo 4.17. Encontrar el intervalo de convergencia de la serie

∞∑

n=0

(−1)n

n + 1(x − 3)n = 1 − 1

2(x − 3) +

1

3(x − 3)2 − 1

4(x − 3)3 + · · ·

Solucion: El n-esimo termino de la serie es

an =(−1)n

n + 1(x − 3)n

entonces

lımn→∞

∣

∣

∣

∣

an+1

an

∣

∣

∣

∣

= lımn→∞

∣

∣

∣

∣

(x − 3)n+1

n + 2

n + 1

(x − 3)n

∣

∣

∣

∣

, x 6= 3

= lımn→∞

∣

∣

∣

∣

n + 1

n + 2(x − 3)

∣

∣

∣

∣

= |x − 3| lımn→∞

∣

∣

∣

∣

n + 1

n + 2

∣

∣

∣

∣

= |x − 3|

Luego, la serie converge si |x−3| < 1; vale decir, −1 < x−3 < 1 o 2 < x < 4y la serie diverge para x < 2 y x > 4. Ahora si x = 2, se obtiene la serie:

1 +1

2+

1

3+

1

4+ · · ·

lo que constituye la serie armonica y por lo tanto divergente. Si x = 4 la serieque se obtiene es:

1 − 1

2+

1

3− 1

4+

1

5− · · ·

que es una serie alternante convergente. Ası el intervalo de convergencia de laserie es (2,4].

�


4.4. SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN

De la seccion anterior se sabe que el conjunto de convergencia de unaserie de potencias

∑

anxn, en general, es un intervalo I el cual pasa a ser eldominio de una nueva funcion S(x), la suma de la serie. Ası, por lo analizadoen la seccion (4.3), se tiene que:

∞∑

n=0

xn =1

1 − x= S(x) , −1 < x < 1

con lo cual se tiene una formula mas simple para para la serie de potencias∑∞

n=0 xn. Lo que cabe preguntarse ahora, es que propiedades puede tener lafuncion S(x); por ejemplo, si es diferenciable o integrable. Esta interrogantequeda despejada en el siguiente resultado.

Teorema 4.12. Supongase que S(x) es la suma de una serie de potenciassobre un intervalo I; es decir,

S(x) =∞

∑

n=0

anxn

= a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + ......

Entonces si x esta en el interior de I,

i)

S′

(x) =

∞∑

n=0

nanxn−1 = a1 + 2a2x + 3a3x

2 + ......

ii)∫ x

0

S(t)dt =∞

∑

n=0

an

n + 1xn+1

= a0x +1

2a1x

2 +1

3a2x

3 +1

4a3x

4 + ....

Las series que se obtienen, derivando en i) e integrando en ii), del Teorema4.12 tienen el mismo radio de convergencia que la serie

∑

anxn, aunque la

convergencia en los extremos puede variar. Por otro lado, una consecuenciainteresante de este teorema es que se puede aplicar a una serie de potencias enla que conocemos la formula de su suma, para obtener formulas para la sumade otras series.

Ejemplo 4.18. Consideremos la serie geometrica

1

1 − x= 1 + x + x2 + x3 + x4 + ..., −1 < x < 1

Entonces la derivacion en el primer miembro y la derivacion por terminos enel segundo produce:

4.4. SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN 153

1

(1 − x)2= 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ..., −1 < x < 1

La integracion en el primer miembro y la integracion por teminos en el segundoda:

∫ x

0

1

1 − tdt =

∫ x

0

1dt +

∫ x

0

tdt +

∫ x

0

t2dt + ...

con lo cual:

−ln(1 − x) = x +x2

2+

x3

3+ ..., −1 < x < 1

o bien

ln(1 − x) = −x − x2

2− x3

3− ..., −1 < x < 1

�

Ahora la incognita que queda por resolver es si es posible representar unafuncion dada en una serie de potencias en x, o mas general en una serie determinos (x − a), en alguun intervalo en torno de a.

Supongamos una funcion f representada por una serie de potencias enx − a, de manera que

f(x) =

∞∑

n=0

cn(x − a)n

= c0 + c1(x−a)+ c2(x−a)2 + c3(x−a)3 + ...;donde, el dominio de f es un intervalo abierto que contiene a a. Entonces, porel Teorema 4.12,

f′

(x) = c1 + 2c2(x − a) + 3c3(x − a)2 + 4c4(x − a)3 + ...

f′′

(x) = +2c2 + (3 · 2)c3(x − a) + (4 · 3)c4(x − a)2 + ...

f′′′

(x) = (3 · 2)c3 + (4 · 3 · 2)c4(x − a) + ...···

Sustituyendo x = a en cada una de las represenaciones anteriores, se obtiene:

f(a) = c0, f′

(a) = c1, f′′

(a) = 2c2, f′′′

(a) = (3 · 2)c3

y, para todo entero positivo n, se tiene que:

fn(a) = n!cn

con lo cual

cn =f (n)(a)

n!


Ası, se verifica que los coeficientes cn quedan determinados por la funcionf y que tambien una funcion no puede ser representada por dos series depotencias en x − a. Esto da origen al siguiente resultado:

Teorema 4.13. Si f es una funcion tal que

f(x) =

∞∑

n=0

cn(x − a)n

para todo x en un intervalo que contiene a a, entonces f (n)(a) existe paran = 0, 1, 2, ... y

cn =f (n)(a)

n!con lo cual

f(x) = f(a) + f′

(a)(x − a) +f

′′

(a)

2!(x − a)2 +

f′′′

(a)

3!(x − a)3 + ......

La serie del Teorema 4.13 que representa la funcion f se llama serie deTaylor de f(x) en a. Para el caso en que a = 0 la serie recibe el nombre deserie de Macluarin, teniendose, para este caso, la siguiente igualdad:

f(x) = f(0) + f′

(0)x +f

′′

(0)

2!x2 +

f′′′

(0)

3!x3 + ...... (4.2)

Considerando f (0)(a) = f(a), la serie de Taylor en el Teorema 4.13 sepuede escribir con la notacion de sumatoria de la siguiente manera:

f(x) =∞

∑

k=0

f (k)(a)

k!(x − a)k (4.3)

Ejemplo 4.19. Encuentre la serie de Taylor de f(x) = 1/x en a = 2.

Solucion: Calculando las primeras derivadas de f y envaluandolas en x = 2,se tiene:

f(x) =1

x, f(2) =

1

2

f′

(x) = − 1

x2, f

′

(2) = −1

4

f′′

(x) =2

x3, f

′′

(2) =1

4

f′′′

(x) = − 6

x4, f

′′′

(2) = −3

8

f iv(x) =24

x5, f iv(2) =

3

4... ...... ...

4.4. SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN 155

Entonces, de acuerdo a la ecuacion (4.2), se tiene que:

f(x) =1

2− 1

4(x − 2) +

1

8(x − 2)2 − 1

16(x − 2)3 +

1

32(x − 2)4 − ...

�

Ejemplo 4.20. Encuentre la serie de Maclaurin para ex

Solucion: Si f(x) = ex, entonces la k-esima derivada de f es fk(x) = ex, conlo cual fk(0) = e0 = 1, para todo k = 0, 1, 2, .... Ası, de la ecuacion (4.2), setiene que:

f(x) = 1 + x +1

2!x2 +

1

3!x3 +

1

4!x4 + ...

�

Todavıa no se ha respondido la pregunta acerca de las condiciones parala representacion de una funcion en una serie de Taylor (o Maclaurin). En elsiguiente resultado se encuentra la repuesta.

Teorema 4.14. Sea f una funcion con derivadas en todos los ordenes en algunintervalo abierto I que contiene a a. Una condicion necesaria y suficiente paraque la serie de Taylor

f(a) + f′

(a)(x − a) +f

′′

(a)

2!(x − a)2 +

f′′′

(a)

3!(x − a)3 + ...

represente a la funcion f en el intervalo I es que

lımn→∞

Rn(x) = 0

donde Rn(x) es llamado el residuo de la serie de Taylor, dado por:

Rn(x) =fn+1(c)

(n + 1)!(x − a)n+1

con c ∈ I.

Ejemplo 4.21. Encuentrar la serie de Maclaurin para sen x y verificar querepresenta a sen x para todo numero real x.

Solucion: Obteniendo las primeras derivadas de f(x) = sen x y evaluandolasen 0 se tiene:

f(x) = sen x, f(0) = 0

f′

(x) = cos x, f′

(0) = 1

f′′

(x) = −sen x, f′′

(0) = 0

f′′′

(x) = − cos x, f′′′

(0) = −1

f iv(x) = sen x, f iv(0) = 0... ...... ...


con lo cual, sustituyendo en la ecuacion (4.2), se llega a que:

f(x) = x − x3

3!+

x5

5!− x7

7!+ ...

Ahora, |fn+1(x)| = |sen x| o |fn+1(x)| = | cos x|. Por lo tanto, |fn+1(c)| ≤ 1para todo numero c y ası, usando la formula de Rn(x) con a = 0, se tiene que:

|Rn(x)| =|fn+1(c)|(n + 1)!

|x|n+1 ≤ |x|n+1

(n + 1)!

Pero

lımn→∞

|x|nn!

= 0

ya que se verifica que la serie de potencias∑

xn/n! es absolutamente conver-gente para todo numero real x (teorema 4.8). De aquı, lımn→∞ Rn(x) = 0 y larepresentacion en serie de Maclaurin de sen x es valida para todo numero realx.

�


SucesionesUna sucesion puede ser manejada a traves de las sentencias seq, subs,

limit. Por ejemplo, si se desea estudiar la convergencia de la sucesion

{

5n2

8n2 + 4

}

entonces, se puede definir como

> an:=5n∧2/(8n∧2+4); # se define el termino n-esimo de la sucecion

an :=5n2

8n2 + 4

Para obtener valores de la sucesion para distinto valores de n, por ejemplo,para n = 10, n = 50 y n = 200, respectivamente; se puede hacer con:

> subs(n=10,an);

125

201

> subs(n=50,an);

3125

5001

> subs(n=200,an);

50000

80001


Si cada vez que se ejecuta cada una de las sentencias anteriores se pone lasentencia evalf( %) entonces aparecera la version decimal de cada una de lasfracciones; es decir, 0.6218905473, 0.6248750250, 0.6249921876, respectivamen-te.Si se requiere una secuencia de, por ejemplo, los diez primeros valores de lasucesion, entonces se ejecuta

> seq(an,n=1..10);

5

12,5

9,45

76,20

33,125

204,45

73,245

396,

80

129,405

652,125

201

Finalmente, para calcular el lımite de la sucesion, se pone:

> limit(an,n=infinity);

5

8

Lo anterior indica que la sucesion converge a 58; es decir, 0. 625, cosa que se

instuye de acuerdo a los calculos preliminares obtenidos.

SeriesLa sentencia que mas se puede usar aca es la sentencia sum; que permite

sumar una secuencia de numeros reales. Dada la serie

∞∑

n=1

1

n(n + 1)

entonces para analizar la convergencia se puede pensar primero en calcularalgunas sumas parciales. Por ejemplo, para los primero 10, 50 y 200 terminosde la serie, se ejecuta, respectivamente; definiendo en primer lugar el n-esimotermino de la serie:

> an:=1/(n*(n+1)); # se define el n-esimo termino de la serie

1

n(n + 1)

> sum(an,n=1..10);

10

11

> sum(an,n=1..50);

50

51

> sum(an,n=1..200);

200

201

Los tres calculos anteriores nos hace instuir que la serie es convergente y susuma vale 1, lo que se comprueba con:


> sum(an,n=1..infinity); # se evalua la serie completa

1

Sea ahora la serie:

∞∑

n=1

n2

n + 1

entonces al evaluar algunas sumas parciales, se tiene:

> an:=n∧2/(n+1); # se define el n-esimo termino de la serie

n2

n + 1

> evalf(sum(an,n=1..10)); # se calcula los primeros 10 terminos de la serie

47,01987734


1228,518813


1,247557948 105

En el calculo de las sumas anteriores, se uso el comando evalf para que losresultados sean impresos como numeros decimales, dado que las fraccionescorrespondientes a estos numeros no resultan legibles para leer. Los resultadosanteriores indican que a medida que el numero de terminos de la serie aumenta,su suma se hace cada vez mas grande, lo que indica que las serie debe serdivergente. Esto se verifica con:

> sum(an,n=1..infinity); # se evalua la serie completa

∞

Observacion: En Maple, en la sumatoria hasta el infinito hay que tener cuidado.Puede suceder que, dada una serie, a medida que se vayan calculando sumasparciales, cada vez mas grande, los valores de las sumas vayan aumentando; locual indicarıa que la serie tendrıa que ser divergente. Sin embargo, al calcular lasuma hasta el infinito no de precisamente ∞ sino que un numero real. En estetipo de situaciones habrıa que asegurarse con algun criterio de convergenciaapropiado. Consideremos, por ejemplo, la serie

∞∑

n=1

(−1)nn

Si se maneja en Maple esta serie, como las series anteriores, se tiene lo siguiente:

> an:=(-1)∧n*n;


(−1)nn

> sum(an,n=1..10);

5

> sum(an,n=1..51);

−26

> sum(an,n=1..100);

50

> sum(an,n=1..501);

−251

> sum(an,n=1..5000);

2500

> sum(an,n=1..10001);

−5001

Se sabe que esta serie no es convergente y de acuerdo a los calculos anterioreslas sumas parciales van por un lado creciendo positivamente (cuando el numerode sumandos es par) y por otro lado disminuyendo negativamente (cuando elnumero de sumando es impar). Sin embargo, al digitar

> evalf(sum(an,n=1..infinty));

−0,25

lo que implica una contradicion.

En cuanto a las series de potencias, existen algunas de ellas que en Maplese pueden trabajar directamente, utilizando el paquete powseries que se cargacon el comando with(powseries). Estas series tratadas en forma directa por elMaple, pueden hacerse solamente en torno a cero.

Por ejemplo, para obetener la serie de potencias de sen x, se realiza conel comando powsin(x) seguido del comando tpsform; que incluye el orden de laserie:

> with(powseries):> s:=powsin(x): # serie de potencias de sen x> tpsform(s,x,15); # la serie asignada a la variable s es hasta la potencia 15

x− 1

6x3 +

1

120x5− 1

5040x7 +

1

362880x9− 1

39916800x11 +

1

6227020800x13 +O(15)


El tercer caracter en el comando tpsform indica hasta que orden de potenciase desea la serie.

Con el comando powdiff se puede obtener la derivada de una serie; esdecir, si deseamos la derivada de la serie anterior se ejecuta:

> ds:= powdiff(s):> tpsform(ds,x,15);

1 − 1

2x2 +

1

24x4 − 1

720x6 +

1

40320x8 − 1

3628800x10 +

1

479001600x12

− 1

87178291200x14 + O(15)

Ejecutando el comando powint se integra la serie:> is:= powint(s):> tpsform(is,x,15);

1

2x2 − 1

24x4 +

1

720x6 − 1

40320x8 +

1

3628800x10 − 1

479001600x12

+1

87178291200x14 + O(15)

Para las otras series conocidas se tiene los comandos powsqrt, powexp, powlog,powcos para las series de las funciones raız cuadrada, exponecial, logaritmonatural y coseno, respectivamente.

Para representar, en general, una funcion en serie de potencias se recurrea la representacion en series de Taylor. Para ello se usa el comando taylor. Porejmplo, si se quiere representar la funcion f dada por la expresion

f(x) =1

x

en torno al punto x = 2 hasta potencia de orden 8, entonces se realiza como:

> f:=x->1/x;

f := x− >1

x

> t:=taylor(f(x),x=2,8);

t :=1

2− 1

4x−2+

1

8(x−2)2− 1

16(x−2)3 +

1

32(x−2)4− 1

64(x−2)5 +

1

128(x−2)6

− 1

256(x − 2)7 + O((x− 2)8)

Para obtener la derivada de la serie anterior se digita


> diff(t,x);

−1

4+

1

4x − 2 − 3

16(x − 2)2 +

1

8(x − 2)3 − 5

64(x − 2)4 +

3

64(x − 2)5

− 7

756(x − 2)6 + O((x− 2)7)

y para su integral

> int(t,x);

1

2x − 2 − 1

8(x − 2)2 +

1

24(x − 2)3 − 1

64(x − 2)4 +

1

160(x − 2)5 − 1

384(x − 2)6

+1

896(x − 2)7 − 1

2048(x − 2)8 + O((x− 2)9)



1.- Para las siguientes suceciones, escriba los primeros terminos y determinesi la sucecion converge.

a){

3n+1n+2

}

b){

n+42n2+1

}

c){

ln(n)n

}

d){

nsen(nπ/2)2n+1

}

e){e−n cos n } f){

(−π)n

4n

}

g){

en

2n

}

h){

n3

en

}

2.- Para las siguientes sucesiones encuentre una forma explıcita para el n-esimotermino an. Determine si la sucesion converge o diverge.

a) 12, 2

3, 3

4, 4

5..........

b) −1, 23, −3

5, 4

7, −5

9,..........

c) sen 1, 2sen 1/2, 3sen 1/3, 4sen 1/4,......

d) 12− 1

2

, 23− 1

3

, 34− 1

4

, 45− 1

5

,.......

3.- Determine si la serie converge o diverge. Si es convergente, calcule su suma.

a)∑∞

n=13

4n−1 b)∑∞

n=1en

3n−1 c)∑∞

n=1 2−n3n−1

d)∑∞

n=1n−5n+2

e)∑∞

n=1

[

5(

12

)n − 3(

17

)n]

f)∑∞

n=1

(

πe

)n+1

4.- Verifique que las siguientes series alternantes son convergentes.

a)∑∞

n=1(−1)n+1 23n+1

b)∑∞

n=1(−1)n+1 1√n

c)∑∞

n=1(−1)n+1 ln nn

5.- En cada uno de los siguientes casos, determine si la serie es absolutamenteconvergente, condicionalmenta convengente o divergente.

a)∑∞

n=1(−1)n+1 n2+34n b)

∑∞n=1

(−10)n

n!c)

∑∞n=1

n!(−5)n

d)∑∞

n=1(−1)ne−n e)∑∞

n=1(−1)n−13√n

n+1f)

∑∞n=1(−1)n+1 n

10n+1

6.- Encuentre el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias:

a)∑∞

n=01

n+4xn b)

∑∞n=0

n2

2n xn

c)∑∞

n=1(−3)n

nxn+1 d)

∑∞n=1

nn2+1

xn

e)∑∞

n=01

(−4)n x2n+1 f)∑∞

n=11

n5n (x − 5)n

g)∑∞

n=0n2

23n (x + 4)n h)∑∞

n=032n

n+1(x − 2)n

7.- Determinar la representacion en serie de potencias para f(x) y especifiqueel radio de convergencia.

a) f(x) = 11+x

b) f(x) = 1(1+x)2

c) f(x) = 12−3x


d) f(x) = x2

1−x4 e) f(x) = x(1+x)2

8.- Encuentre la serie de Maclaurin de la expresion dada y determine el radiode convergencia.

a) x2ex b) xsen 3x c) x2sen x d) cos x2

9.- Encuentre la serie de Taylor en el numero c para la expresion dada.

a) 1/x, c = 2 b) cos x, c = π/3

c) e2x, c = −1

Bibliografıa

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