Marco Alfaro C. 1UNIVERSIDAD DE COSTA RICAEscuela de MatemticaDepartamento de Matemtica AplicadaAPUNTES DE CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRALProf. Marco Alfaro CarranzaCiudad Universitaria Rodrigo Facio, Costa Rica2009Marco Alfaro C. 2Contenidos1. Lmites de Funciones 41.1 Clculo de Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.1 Leyes de los Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Lmites al innito y asntotas horizontales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.3 Lmites innitos y asntotas verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4 Respuestas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242. Derivada de una Funcin 252.1 Reglas de Derivacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2 Derivacin Implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3 Derivadas de Funciones Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4 Derivadas de Funciones Logartmicas y Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.1 Propiedades de la Funcin Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4.2 Leyes de los Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5 Derivacin Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.5.1 Unas Sugerencias para Derivacin Logartmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6 Tasas de Cambio Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.7 Derivadas de Funciones Trigonomtricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.8 Aplicaciones de la Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.8.1 Valores Mximos y Mnimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.9 Recomendaciones para el Trazo de Grcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.11 Respuestas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543. Integracin 553.1 Sumas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2 Teorema Fundamental del Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3 rea entre Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.4 Integrales de Funciones Logartmicas y Exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.5 Integrales de Funciones Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.5.1 Integrales del tipo senmrcosnr dr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.5.2 Integrales del tipo tanmrsecnr dr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.6 Sustitucin Trigonomtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.7 Integrales de Funciones Trigonomtricas Inversas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Marco Alfaro C. 33.8 Integracin por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.9 Integracin por Fracciones Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.10 Sustitucin de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.11 Frmulas Bsicas de Integracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.12 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.13 Respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Captulo 1Lmites de FuncionesConsidere la funcin denida por 1 (r) = r2r + 3. entonces, si investigamos el comportamientode 1 para valores de r cercanos a 2. tanto para valores menores que 2 (por la izquierda de 2)como para valores mayores que 2 (por la derecha de 2) obtenemos:r 1 (r) r 1 (r)1.0 3 3.0 9.01.5 3. 75 2.5 6. 751.8 4. 44 2.2 5. 641.9 4. 71 2.1 5. 311.95 4. 852 5 2.05 5. 152 51.99 4. 970 1 2.01 5. 030 11.995 4. 985 2.005 5. 0151.999 4. 997 2.001 5. 003es decir, los valores de 1 (r) se aproximan a 5. Decimos entonces que el lmite cuando r tiende a2 de 1 (r) es 5, y escribimos:limx!21 (r) = 5.En general, usaremos la siguiente denicin.DenicinSe escribe limx!a1 (r) = 1 y decimos que el lmite cuando r tiende a \a" de 1 es iguala 1. si podemos hacer que los valores de 1 se aproximen tanto como se quiera a 1 haciendo rarbitrariamente cercano a a.Denicin Escribimoslimx!a

1 (r) = 1y decimos que el lmite por la izquierda de 1 cuando r tiende a a es igual a 1. si los valores de1 (r) se aproximan arbitrariamente a 1 tomando a r sucientemente cercano a a. con r < a.Anlogamente,limx!a+1 (r) = 1signica que 1 (r) 1 cuando r a. con ra.4Marco Alfaro C. 5Teorema (Existencia del lmite) El limx!a

1 (r) = 1 existe si y slamente silimx!a

1 (r) =limx!a+1 (r) = 1. (1.1)Ejemplo En el siguiente ejercicio, dar el valor del lmite, si este existe, en caso contrario, explicarpor qu no existe.1 2 3 4-1 -2 -4 -3123-1-3-20yx4(a) limx!21 (r) (b) limx!41 (r) (c) limx!2+1 (r)(d) limx!11 (r) (e) limx!2

1 (r) (f) limx!21 (r)Solucin:(a) Tenemos, deacuerdo alltimoteorema, que limx!2

1 (r) =1 = limx!2+1 (r) . asquelimx!21 (r) = 1.(b) Aqu limx!4

1 (r) = 2 = limx!4+1 (r), por lo que limx!41 (r) = 2. Note que 1 (4) no existe.(c) En este caso limx!2+1 (r) = 3.(d) De nuevo, analizando los lmites laterales se llega a limx!1

1 (r) = 1 = limx!1+1 (r) . as quelimx!11 (r) = 1.(e) Finalmente, limx!2

1 (r) = 1 mientras que limx!2+1 (r) = 3. de donde concluimos que el limx!21 (r)no existe. Marco Alfaro C. 6Ejemplo Sea1 (r) = r21[r 1[.Hallar (i) limx!1+1 (r) (ii) limx!1

1 (r) .Solucin: De la denicin de la funcin valor absoluto, tenemos que[r 1[ =

r 1. si r _ 1(r 1) . si r < 1.Por lo tanto,limx!1+1 (r) =limx!1+(r + 1) (r 1)r 1= 2.Por su partelimx!1

1 (r) =limx!1

(r + 1) (r 1)(r 1)= 2.Concluimos entonces que limx!11 (r) no existe. Ejemplo Sea1 (r) =

r22r + 2. si r < 13 r. si r _ 1.Hallar (i) limx!1

1 (r) (ii) limx!1+1 (r) .Solucin: Para calcular el primer lmite usamos la primera rama de la funcin 1, es decirlimx!1

1 (r) =limx!1

r22r + 2

= 1.Para el segundo lmite usamos la rama de 1 correspondiente a r 1+, esto es r1. entonceslimx!1+1 (r) =limx!1+ (3 r)= 2.Nuevamente, como los lmites laterales no coinciden, se tiene que limx!11 (r) no existe. Marco Alfaro C. 71.1 Clculo de Lmites1.1.1 Leyes de los LmitesSi limx!a1 (r) = 1 y limx!a1 (r) = ', se cumple:1. limx!a[1 (r) o (r)] = 1 '.2. limx!a[c1 (r)] = c1. (c R) .3. limx!a[1 (r)o (r)] = 1'.4. limx!a1 (r)o (r)

=1' . si limx!ao (r) = 0.5. limx!a[1 (r)]n= 1n(: N) .6. limx!ac = c. limx!ar = a. limx!arn= an.7. limx!a n

r =n

a, : N. Si : es par se supone a0.8. limx!a n

1 (r) =n

limx!a1 (r), : N. Si n es par se supone limx!a1 (r)0.9. Si 1 (r) es un polinomio o una funcin racional con a 1f, entonceslimx!a1 (r) = 1 (a) .Aunque no existe ninguna regla general para el clculo de lmites, podemos revisar algunos ejemplosque nos ayuden a identicar los casos de aparicin ms frecuente. Para ello utilizamos, en formacombinada, todas las propiedades enumeradas en el teorema anterior.Ejemplos1. Calcular el lmite limx!1r4+r 2r31.Solucin: Mediante una aplicacin reiterada del Teorema del Factor para eliminar la forma inde-terminada00, obtenemoslimx!1r4+r 2r31= limx!1(r 1)

r3+r2+r + 2

(r 1) (r2 +r + 1)= limx!1r3+r2+r + 2r2 +r + 1= 53. Marco Alfaro C. 82. Calcular el lmite limx!2

r2 + 5 3r 2.Solucin: Nuevamente tenemos una forma indeterminada del tipo00. para eliminarla, esta vezrecurrimos a la racionalizacin del numerador para obtenerlimx!2

r2 + 5 3r 2= limx!2

r2 + 5 3r 2

r2 + 5 + 3

r2 + 5 + 3

= limx!2r24(r 2)

r2 + 5 + 3

= limx!2(r 2) (r + 2)(r 2)

r2 + 5 + 3

= limx!2r + 2

r2 + 5 + 3= 23. 3. Calcular el lmite limx!13

r 1r 1 .Solucin: Si bien es cierto para calcular este lmite podemos recurrir nuevamente a la racionalizacindel numerador como en el ejemplo anterior, esta vez debemos utilizar la frmula de diferencia decubos con exponentes fraccionarios, lo que hace que el problema se torne un poco complejo. Poresto mejor optamos por realizar un cambio de variable de la siguiente forma. Colocamos r = n3,de forma que cuando r 1 entonces n =3

r 1. Por lo tanto se sigue quelimx!13

r 1r 1= limu!1n 1n31= limu!1n 1(n 1) (n2 +n + 1)= limu!1n 1(n 1) (n2 +n + 1)= limu!11n2 +n + 1= 13. Teorema (Sandwich) Si /(r) _ 1 (r) _ o (r) para r en un intervalo abierto que contiene a a, y silimx!a/(r) = limx!ao (r)entonces limx!a1 (r) = 1.Marco Alfaro C. 9La interpretacin geomtrica de este teorema se representa en la siguiente grca.( ) x h y =( ) x f y =( ) x g y =yaaLxFigura 1: Teorema del SandwichEjemploHallar limx!01 (r) si4 r2_ 1 (r) _ 4 +r2Solucin: En este caso, tomando lmites en la desigualdad anterior, tenemos quelimx!0

4 r2

_limx!01 (r) _limx!0

4 +r2

es decir,4 _limx!01 (r) _ 4y por lo tanto limx!01 (r) = 4. 1.1.2 Lmites al Innito y Asntotas HorizontalesDenicin Sea 1 denida en ]a. +[. Entonceslimx!+11 (r) = 1signica que los valores de 1 (r) se pueden hacer arbitrariamente cercanos a 1. tomando valoresde r sucientemente grandes.Anlogamente,limx!11 (r) = 1signica que 1 (r) 1 tomando valores negativos de r sucientemente grandes.Denicin Se dice que la recta n = 1 es una asntota horizontal de la curva n = 1 (r), silimx!+11 (r) = 1 limx!11 (r) = 1Marco Alfaro C. 10yx( ) x f y =0L y =Figura 2: Asntota HorizontalTeorema Si r0 es un nmero racional tal que rrest denido, entonceslimx!+11rr = 0 y limx!11rr = 0Ejemplos1. Calcular limx!+13r2r 25r2 + 4r + 1.Solucin: Extrayendo la mayor potencia de r en el numerador y en el denominador, y uti-lizando el resultado del teorema anterior obtenemoslimx!+13r2r 25r2 + 4r + 1= limx!+1r2

3 1r 2r2

r2

5 + 4r +1r2

= limx!+13 1r 2r25 + 4r +1r2= 35. Marco Alfaro C. 112. Determinar las asntotas horizontales a la grca de la funcin 1 (r) =

2r2 + 13r 5.Solucin: Procedemos de manera similar al ejemplo anterior, tomando en cuenta que r2 = [r[ .limx!1

2r2 + 13r 5= limx!1

r2

2 +1r2

r

3 5r

= limx!1[r[

2 +1r2r

3 5r

= limx!1r

2 +1r2r

3 5r

= limx!1

2 +1r23 5r=

23 .Por lo tanto las asntotas horizontales a la grca de 1 (r) son las rectas n =

23 . Nota Observe que los procedimientos aplicados a los ejemplos anteriores, nos permiten concluirel siguiente resultado para una funcin racional:limx!1anrn+an1rn1+. . . +a0/mrm +/m1rm1 +. . . +/0 =

, si ::an/m, si : = :0, si : < :.Un resultado similar se obtiene si r . slo que en este caso se debe analizar adems el signode an./m y la paridad de : y :.Marco Alfaro C. 121.1.3 Lmites Innitos y Asntotas VerticalesDenicin Sea 1 denida en un intervalo abierto alrededor de a. Entonceslimx!a1 (r) = +signica que los valores de 1 (r) se pueden hacer arbitrariamente grandes, tomando r suciente-mente cercano a a.De forma similarlimx!a1 (r) = signica que los valores de 1 (r) se pueden hacer arbitrariamente grandes y negativos, tomando rsucientemente cercano a a.Denicin Se dice que r = a es una asntota vertical de la curva n = 1 (r) si se cumple algunade las condiciones siguientes:limx!a1 (r) = + limx!a

1 (r) = + limx!a+1 (r) = +limx!a1 (r) = limx!a

1 (r) = limx!a+1 (r) = 2 3 -1 -2-4-33-1-2042Figura 3: Asntota Verticalyx2 = x( ) x f y =15Teorema (lgebra de lmites innitos) Si a. 1 Rlimx!a1 (r) = + y limx!ao (r) = 1entonces(a) limx!a[1 (r) o (r)] = +.(b) limx!a[1 (r)o (r)] = + (10) y limx!a[1 (r)o (r)] = (1 < 0)(c) limx!ao (r)1 (r)

= 0.Marco Alfaro C. 13Nota Propiedades similares son vlidas para lmites laterales y para cuandolimx!a1 (r) = .Teorema(a) Si : N. : par, entonceslimx!a1(r a)n = +(b) Si : N. : impar, entonceslimx!a+1(r a)n = + y limx!a

1(r a)n = Ejemplo Hallar las asntotas verticales de la funcin1 (r) =rr2 +r 2.Solucin: Primero observe que 1 (r) =r(r + 2) (r 1). por lo tanto tenemos quelimx!2

1 (r) = limx!2

r(r + 2) (r 1)= .Anlogamente,limx!2+1 (r) = limx!2+r(r + 2) (r 1)= +.En el caso de r = 1. se obtienelimx!1

1 (r) =limx!1

r(r + 2) (r 1)= .y por otra partelimx!1+1 (r) =limx!1+r(r + 2) (r 1)= +. Marco Alfaro C. 141.2 Funciones ContinuasDenicin Una funcin se llama continua en r = a silimx!a1 (r) = 1 (a) . (1.2)Esto signica que se cumplen las condiciones siguientes:1. 1 (a) est denido.2. limx!a1 (r) existe.3. limx!a1 (r) = 1 (a) .Una funcin se llama continua en ]a. /[ si es continua en cada punto de ]a. /[ . Se dice que 1 tieneuna discontinuidad evitable en r = a si 1 puede hacerse continua redenindola en r = a. si estono es posible, la discontinuidad se llama inevitable.1 2 3 4 -1 -2 -4 -31-104Figura 4: Discontinuidades23En la gura anterior vemos que limx!31 (r) = 1, sin embargo 1 (3) = 3, as que 1 tiene unadiscontinuidad evitable en r = 3. Por su parte, limx!3

1 (r) = 4. mientras que limx!3+1 (r) = 2. esdecir el limx!3+1 (r) no existe, por lo que 1 tiene una discontinuidad inevitable en r = 3.Ejemplo La funcin1 (r) =

r. si r < 12. si r = 12r 1. si r1es discontinua en r = 1.Marco Alfaro C. 15Solucin: Veriquemos las tres condiciones para que exista continuidad en el punto r = 1.1. Segn la denicin de 1, se tiene que 1 (1) = 2. por lo que esta condicin se satisface.2. Calculamos ahora los lmites laterales en r = 1.limx!1

1 (r) =limx!1

r= 1.Por su partelimx!1+1 (r) =limx!1+ (2r 1)= 1.Concluimos entonces que limx!1 1 (r) = 1.3. Segn esta condicin, comparamos limx!1 1 (r) = 1 = 2 = 1 (1), as que 1 tiene una discon-tinuidad evitable en el punto r = 1. Para mayor claridad, veamos lo que sucede con la grca de1 en este punto:1 23 -1-2123-3-2yx-3-1Teorema (lgebra de funciones continuas)Si 1 y o son continuas en a y c R entonces tambin son continuas las funciones(a) 1 o(b) c1(c) 1o(d) 1o , si o (a) = 0.Teorema(a) Todo polinomio es continuo en R.(b)Toda funcin racional es continua en su dominio.Marco Alfaro C. 16Teorema(a) Si : N , es par, entonces 1 (r) =n

r es continua en [0. +[ .(b) Si : N , es impar, entonces 1 (r) =n

r es continua en R.Teorema Si o es continua en a y 1 es continua en o (a) entonces (1 o) es continua en a.Ejemplo Hallar el valor de la constante c, para que la funcin 1 denida por1 (r) =

c2r. si r _ 13cr 2. si r1sea continua en R.Solucin:Primero que nada observe que se nos solicita que la funcin 1 sea continua en toda larecta real, de modo que conviene empezar observando que las funciones11 (r) = c2r y 12 (r) = 3cr 2son claramente continuas en todo R, por tratarse de funciones polinomiales. Con esto, bastaentonces analizar la continuidad de 1 en el punto r = 1. que es donde, eventualmente, puedeperderse la continuidad al unir ambas funciones. Veamos.1. En este caso 1 (1) = c2. por lo que 1 (1) existe.2. Calculando los lmites laterales en r = 1 :limx!1

1 (r) =limx!1

c2r= c2.Mientras tantolimx!1+1 (r) =limx!1+ (3cr 2)= 3c 2.Como queremos que este lmite exista, debe cumplirse quelimx!1

1 (r) =limx!1+1 (r)lo que conduce a la ecuacin cuadrtica en c :c2= 3c 2cuyas soluciones sonc = 1 c = 2.3. Finalmente, debe tenerse que 1 (1) = limx!11 (r), lo que conduce la misma condicin sobre c.Concluimos entonces que la continuidad de 1 en todo R se logra escogiendo c 1. 2 . Marco Alfaro C. 17Ejemplo Encuentre y clasique las discontinuidades, si existen, de la funcin1 (r) =1 r24 r33r2.Solucin: Segn el teorema visto anteriormente, toda funcin racional, es decir, el cociente de dospolinomios, es continua en su dominio. En el caso de la funcin 1, extrayendo un factor comn de1 en el numerador y el denominador y realizando una sencilla divisin sinttica, se simplica a1 (r) =1 r24 r33r2=r21r3 + 3r24=(r + 1) (r 1)(r + 2)2(r 1).La funcin presenta problemas de indenicin en los puntos r = 1 y r = 2. Al calcular loslmites respectivos en esos puntos, se obtiene:limx!11 (r) = limx!1(r + 1) (r 1)(r + 2)2(r 1)= limx!1r + 1(r + 2)2= 29.As que 1 tiene una discontinuidad evitable en r = 1, pues bastara redenir 1 (1) = 29 para que lafuncin sea continua en r = 1. Por otra parte,limx!21 (r) =limx!2(r + 1) (r 1)(r + 2)2(r 1)=limx!2r + 1(r + 2)2= .Como el lmite en r = 2 no existe, la discontinuidad en este punto es inevitable. Marco Alfaro C. 18Teorema (Del Valor Intermedio) Suponga que 1 es continua sobre el intervalo cerrado [a. /] y sea cualquier nmero estrictamente entre 1 (a) y 1 (/). Entonces existe un nmero c ]a. /[ tal que1 (c) = .yx( ) x f y =0Figura 5: Teorema del Valor Intermedioa b( ) a f( ) b fNcEsto quiere decir que una funcin continua toma todos los valores comprendidos entre 1 (a) y1 (/) . Este resultado es en realidad una consecuencia inmediata del siguiente teorema conocidocomo Teorema de Bolzano.Teorema Sea 1 una funcin continua en el intervalo cerrado [a. /] y supongamos que 1 (a) y 1 (/)tienen signos opuestos. Existe entonces por lo menos un valor c ]a. /[ tal que 1 (c) = 0.yx( ) x f y =0Figura 6:Teorema de Bolzanoab( ) a f( ) b fcEjemplo Demuestre que la ecuacinr33r + 1 = 0tiene al menos una raz en el intervalo 1 = ]0. 1[ .Marco Alfaro C. 19Solucin:Considere la funcin 1 (r) = r33r+1, la cual es claramente continua en ]0. 1[ por ser una funcinpolinomial. Ntese ahora que al ser1 (0) = 0 0 + 1 = 101 (1) = 1 3 + 1 = 1 < 0es decir, 1 (0) y 1 (1) tienen signos opuestos, el teorema de Bolzano permite concluir que existec ]0. 1[ tal que 1 (c) = 0, o lo que es lo mismoc33c + 1 = 0. 1.3 Ejercicios1. En el siguiente ejercicio, d el valor de cada expresin, si existe. En caso que no exista,explique por qu.2 3 4 -1 -2 -4 -313-104yx12(a) limx!01 (r) (b) limx!3+1 (r) (c) limx!3

1 (r)(d) limx!31 (r) (e) limx!31 (r) (f) 1 (3)Marco Alfaro C. 202. Considere la funcin 1 denida por1 (r) =

3r + 1. si r < 1r2+ 3. si 1 < r _ 34r + 3. si r3.Calcule, si existen, los siguientes valores:(a) limx!11 (r) (b) limx!31 (r) (c) 1 (3)3. En la siguiente gura, d el valor del lmite, si existe.En caso que no exista, explique porqu.(a) limx!21 (r) (b) limx!3

1 (r) (c) limx!3+1 (r)(d) limx!31 (r) (e) 1 (3) (f) limx!2

1 (r)(g) limx!2+1 (r) (h) limx!21 (r) (i) 1 (2)1234 -1 -2 -4 -3123-3-20y-14. Trace la grca de una funcin 1 que satisfaga todas las siguientes condiciones:(a) 1 (3) = 1 (0) = 1 (4) = 0.(b) limx!2

1 (r) = 1y limx!2+1 (r) = 1 .(c) 1 (2) = 3.(d) limx!3

1 (r) = 2y limx!3+1 (r) = 2.(e) 1 (3) = 1.Marco Alfaro C. 215. Trace la grca de una funcin 1 que satisfaga todas las siguientes condiciones:(a) 1 es continua en ]. 5[ . ]5. 2[ . ]2. 3[ y en ]3. +[ .(b) 1 (0) = 1 (6) = 0.(c) limx!11 (r) = +y limx!+11 (r) = 1.(d) limx!5

1 (r) = 2y limx!5+1 (r) = 1.(e) limx!3

1 (r) = y limx!3+1 (r) = .(f) limx!21 (r) = 1y 1 (2) = 1.6. Calcule los siguientes lmites:(a) limx!1r4+r 2r31(f) limx!2r 2

r + 1

5 r(k) limx!1r2+r 2r24r + 3(b) limx!24 r23

r2 + 5(g) limx!1

r 13

r 1(l) limx!1r 1r3r2 +r 1(c) limx!1

r2 + 3 2

10 r 3(h) limx!13

r + 7 2r31(m) limx!3r 3r28r + 15(d) limx!2

r38[r 2[(i) limx!1

11 r 31 r3

(n) limx!2

2 r 2r2 + 5r + 6(e) limx!2

3r [r 2[r 2(j) limx!13

r 14

r 1() limx!3r32r22r 3r42r3277. Calcule, si existen, los siguientes lmites:(a) limx!1

3r +

9r2r

(e) limx!+1

1 + 4r24 +r(b) limx!+1

r2 + 1

r21

(f) limx!+1

9r2 +r 3r

(c) limx!+15r3+ 110r33r2 + 7(g) limx!1(1 r) (2 +r)(1 + 2r) (2 3r)(d) limx!+1r + 4r22r + 5(h) limx!+1r38r + 52r2r + 3Marco Alfaro C. 228. Calcule los siguientes lmites:(a) limx!1

r22r2r 2(e) limx!2

4(r 2)3(i) limx!1r3+ 3r22r 2r33r2 + 3r 1(b) limx!1+r3r21(f) limx!22(r 2)2(j) limx!2

r52r4+ 3r27r + 23r311r2 + 8r + 4(c) limx!2+r 3r 2(g) limx!2

r22r2r 2(k) limx!1+r4r3+ 2r2+ 5r 73r34r2r + 2(d) limx!1+2 +r1 r(h) limx!2

2r2+r + 1r + 2(l) limx!1

r2+ 8r 9r22r + 19. Considere la siguiente gura, con base en ella, complete las expresiones dadas de forma quese transformen en verdaderas1.-1-2 -3 -4 -5 -6 -7 1 2 3 4 5 6 74xy-1-331-1-2-42-51Tomado de Sancho, L, Proyecto MATEM 2007Marco Alfaro C. 23(a) limx!31 (r) = .(b) limx!11 (r) = .(c) limx!11 (r) = .(d) limx!+11 (r) = .(e) 1 tiene una discontinuidad evitable en el siguiente valor de r: .(f) 1 tiene una discontinuidad inevitable en el siguiente valor de r: .(g) Un intervalo en donde 1 es continua es el siguiente: .(h) Una asntota vertical de la grca de 1 es la siguiente: .(i) Una asntota horizontal de la grca de 1 es la siguiente: .10. Determine el valor de las constantes a. / y / para que las siguientes funciones sean continuasen toda la recta real.(a) 1 (r) =

4

r2+ 1

. si r _ 02r + 3/, si r0.(c) o (r) =

2. si r _ 1ar +/. si 1 < r < 32, si r _ 3.(b) 1 (r) =

r3. si r _ 2ar2, si r2.(d) o (r) =

r2a2r a . si r = a8, si r = a.11. Hallar el valor de la constante a para que el siguiente lmite exista y calclelo.1 =limx!23r2+ar +a + 3r2 +r 212. Determine las asntotas verticales y las discontinuidades evitables de la funcin denida porla expresin1 (r) = 2r2+ 7r + 6r416.(a) Enuncie correctamente el Teorema del Valor Intermedio.(b) Aplquelo para concluir que la ecuacin r5+ 2r 7 = 50 tiene solucin.13. Demuestre que las grcas de las funciones 1 (r) = cos r y o (r) = r se intersecan.14. Aplique el Teorema del Valor Intermedio para probar que existe un nmero positivo c tal quec2= 2. Esto demuestra la existencia del nmero 2.Marco Alfaro C. 241.4 Respuestas1. (a) 3. (b) 2. (c) 4. (d) No existe. (e) 1. (f) 3.2. (a) 4. (b) No existe. (c) 1 (3) = 12.3. (a) 3. (b) 2. (c) 2. (d) No existe. (e) 1. (f) 2. (g) 2. (h) 2. (i) 3.6. (a)53 . (b) 6. (c) 3. (d) 12. (e) no existe. (f) 3. (g)32 . (h)136. (i) 1. (j)43.(k) 32. (l)12. (m) 12. (n) 14. ()1354 .7. (a)16. (b) 0. (c)12. (d) 0. (e) 2. (f)16. (g)16. (h) +.8. (a) . (b) +. (c) . (d) . (e) . (f) . (g) . (h) . (i) +. (j) .(k) +. (l) .10. (a) / = 43. (b) a = 2. (c) a = 1. / = 1. (d) a = 4.11. a = 15. 1 = 1.12. Discontinuidad evitable en r = 2. asntota vertical en r = 2.Captulo 2Derivada de una FuncinDenicin La derivada de 1 en r se dene por10(r) = limh!01 (r +/) 1 (r)/. (2.1)Note que este lmite presenta el cociente del incremento de la funcin y el incremento del argumentode la funcin, segn vemos en la siguiente grca.0xh x +h( ) ( ) x f h x f +P( ) x f y =QFigura 1: Derivada de una funcinDe manera equivalente, la derivada de 1 en r = a. se puede denir por:10(a) = limx!a1 (r) 1 (a)r a(2.2)si este lmite existe.25Marco Alfaro C. 26Es decir, la derivada de una funcin 1 en un punto 1(a. 1 (a)), como se muestra en la Figura 1, seinterpreta como la pendiente de la recta tangente a la curva 1 en dicho punto.Notacin Para el concepto de derivada, utilizaremos cualquiera de los siguientes smbolos:10(r) = n0 = dndr = d1dr = 11 (r) = 1x1 (r) .Ejemplo Usando la denicin, calcule la derivada de la funcin. 1 (r) =

2r 1.Solucin: A partir de la denicin (2.1), obtenemos lo siguiente10(r) = limh!01 (r +/) 1 (r)/= limh!0

2 (r +/) 1

2r 1/= limh!0

2r + 2/ 1

2r 1/= limh!02r + 2/ 1 2r + 1/

2r + 2/ 1

2r 1

= limh!02r + 2/ 1 2r + 1/

2r + 2/ 1 +

2r 1

= limh!02

2r + 2/ 1 +

2r 1=1

2r 1. Observe que la derivada de una funcin es un lmite, por lo que para hallarlo recurrimos a cualquierade los procedimientos vlidos, en este caso se us nuevamente la racionalizacin del numerador paraeliminar la indeterminacin.Tambin como lmite que es, la derivada puede o no existir, por lo que ms adelante introducimosel concepto de derivada lateral para decidir este problema.Marco Alfaro C. 27Ejemplo Usando la denicin, calcule la derivada de la funcin. 1 (r) =rr + 1.Solucin: Nuevamente usando (2.1), obtenemos ahora10(r) = limh!01 (r +/) 1 (r)/= limh!01/r +/r +/ + 1 rr + 1

= limh!01/(r +/) (r + 1) r(r +/ + 1)(r +/ + 1) (r + 1)

= limh!0r2+r +/r +/ r2/r r/(r +/ + 1) (r + 1)= limh!01(r +/ + 1) (r + 1)=1(r + 1)2. Teorema Si 1 es diferenciable en a (es decir, 10(a) existe), entonces 1 es continua en a. El recprocoes falso.Ntese en la Figura 2 el caso tpico de una funcin que es continua pero no derivable en un punto.1 2 3 -1 -2 -312301 =x yyx4Figura 2: Funcin continua no derivablePara vericar esto,podemos usar la denicin (2.2) de derivada en el punto a = 1,para locual calculamos los lmites laterales, con el propsito de eliminar el valor absoluto. Introducimosadems los smbolos 10

(a) y 10+ (a) para denotar las derivadas izquierda y derecha de 1 en r = a,Marco Alfaro C. 28respectivamente. Entonces10

(1) =limx!1

1 (r) 1 (1)r 1=limx!1

[r 1[ [0[r 1=limx!1

(r 1)r 1= 1.De forma idntica tenemos10+ (1) =limx!1+1 (r) 1 (1)r 1=limx!1+[r 1[ [0[r 1=limx!1+r 1r 1= 1.Concluimos entonces que 10

(1) = 10+ (1) por lo que la derivada de 1 en r = 1 no existe, es decir,1 no es derivable en este punto. Otros casos de no derivabilidad de una funcin en un punto pueden ocurrir como consecuencia deuna discontinuidad de la funcin en dicho punto, o bien, que la curva presente un recta tangentevertical(de pendiente innita), como podemos ver en la siguiente gura.1 2 3 -1 -2 -4 -33-1-2042Figura 3:Funcin no derivableyx( ) x f y =1Marco Alfaro C. 292.1 Reglas de DerivacinSi c. : R, entonces1. (c1)0 = c104. (rn)0 = :rn12. (1 o)0 = 10o05. (1o)0 = 10o +1o03.

1o

0 = o101o0o26. (c)0 = 0Nota Observe que en particular, si 1 (r) = ar +/. entonces 10(r) = a.Teorema (Regla de la Cadena) Si las derivadas de o y 1 existen y 1 o es la funcin compuestaentonces (1 o)0 est denida y[1 (o (r))]0 = 10(o (r))o0(r)o bien, si n = 1 (n) y n = o (r) . entoncesdndr = dndn dndrEn particular[[1 (r)]n]0 = :[1 (r)]n1 10(r)o bienddr (nn) = :nn1dndrEjemplo Derive la funcin 1 (r) = r54r3+ 2r 3

6.Solucin: Colocamos n = r54r3+2r 3. entonces de acuerdo al teorema anterior tenemos que1 (r) = n6, y as10(r) = 6n5 n0= 6n5

r54r3+ 2r 3

0= 6n5

5r412r2+ 2

= 6

r54r3+ 2r 3

5

5r412r2+ 2

. Ejemplo Hallar la derivada de la funcin 1 (r) =

2r22r + 1r.Solucin: Si colocamos ahora n = 2r22r +1. entonces 1 (r) = n12ry tendremos, de acuerdo a laMarco Alfaro C. 30regla del cociente y la regla de la cadena10(r) = r

n12

0n12(r)0r2= r 12n

12n0

nr2=rn02n2

nr2= rn02n2r2

n= r(4r 2) 2

2r22r + 1

2r2

2r22r + 1=r 1r2

2r22r + 1. Teorema Si 10(a) existe, entonces la ecuacin de la recta tangente a la curva n = 1 (r) en1 (a. 1 (a)) es:n 1 (a) = 10(a) (r a) (2.3)Note que el teorema anterior es simplemente una reescritura de la denominada forma punto-pendiente para la ecuacin de la recta.Ejemplo Hallar las rectas tangentes a la curva n = r2+ 1 que pasan por el origen.Solucin Primero observe que n0(r) = 2r, as que la recta tangente en el punto 1 (a. /) segn (2.3)esn / = 2a (r a) .12+ = x y( ) 2 , 1( ) 2 , 1 ( ) 1 2 2 = x y( ) 1 2 2 + = x y0xyMarco Alfaro C. 31Como esta recta debe pasar por el origen, es decir, por el punto O(0. 0) . entonces0 / = 2a (0 a)esto es,/ = 2a2. (2.4)Pero el punto 1 (a. /) debe estar sobre la curva, de forma que tenemos la nueva condicin/ = a2+ 1. (2.5)De (2.7) y (2.8) se sigue que a = 1, y por lo tanto los puntos de tangencia son Q(1. 2) y1(1. 2) . Finalmente, encontramos que las ecuaciones de las rectas tangentes son n2 = 2 (r 1)e n 2 = 2 (r + 1) . 2.2 Derivacin ImplcitaDada una ecuacin que contiene a r e n. con n una funcin derivable de r. de la forma1 (r. n) = 0se puede hallar dndr as:1. Derive ambos lados de la ecuacin respecto de r.2. Agrupe todos los trminos que contienen dndr a la izquierda de la ecuacin, y los dems trminosa la derecha.3. Factorice dndr en el lado izquierdo.4. Despeje dndr en la ecuacin.Ejemplo Hallar la derivadadydx si r3+r2n +n2= 0.Solucin: Suponemos que n = n (r), entonces derivando esta ecuacin respecto de r, obtenemos3r2+ 2rn +r2n0 + 2nn0 = 0.agrupando los trminos que contienen a n0

r2+ 2n

n0 =

3r2+ 2rn

nalmente, resolviendo para n0 llegamos an0 =

3r2+ 2rn

r2 + 2n.Observe que si n = n (r) entonces la expresin r2n debe derivarse por la regla del producto. Marco Alfaro C. 32La recta normala una curva es la recta perpendicular a la tangente en el punto de tangencia1 (a. /). Por lo tanto, su pendiente es:0 = 1: = 110(a).( ) x f y =Tangente Normal( ) b a P ,yx0Figura 4:Recta NormalAs que la ecuacin de la recta normal a la grca de n = 1 (r) esn / = 110(a) (r a) . (2.6)Ejemplo Verique que la recta normal a la curva de ecuacinr2+n2= 1siempre pasa por el origen.Solucin: Derivando por derivacin implcita la ecuacin dada, tenemosn0 = rnpor lo que la ecuacin de la recta normal en 1 (a. /) es, segn (2.6)n / = 1a/ (r a)es decir,n = /arque claramente pasa por el origen. Marco Alfaro C. 332.3 Derivadas de Funciones TrigonomtricasSea r0, y considere la siguiente guraPQR ( ) 0 , 1 A( ) 1 , 0 BxFigura 5Ocon \11 el arco de circunferencia de radio 1 y centro en el origen, entonces tenemos:]1O = r = :1.Adems,senr = 11 < :1 = r. (2.7)As,senrr< rr = 1. (2.8)Note que el a/OQ viene dada pora/OQ = 12 (O) (Q) = 12 (1) (tanr) =senr2 cos r.Por su parte, el rea del sector circular O1 es = (1)2r2= r2.Se concluye entonces quer2 d fdMarco Alfaro C. 45Denicin Sea 1 una funcin cuya grca tiene recta tangente en (c. 1 (c)) . Sedice que el punto (c. 1 (c)) es un punto de inexin si la concavidad de 1 cambiade ser hacia arriba a ser hacia abajo (o viceversa) en ese punto.Teorema (Criterio de la Segunda Derivada)Sea 1 una funcin tal que 10(c) = 0 y tal que 100 existe en un intervalo abierto que contiene a c.(a) Si 100(c)0, entonces 1 (c) es un mnimo relativo.(b) Si 100(c) < 0, entonces 1 (c) es un mximo relativo.(c) Si 100(c) = 0, entonces el criterio no decide.Ejemplo Si consideramos nuevamente la funcin 1 (r) = r3 3r, encontramos que los puntoscrticos son10(r) = 3r23 = 3 (r + 1) (r 1) = 0, r = 1. 1con100(r) = 6r, 100(1) = 60. 100(1) = 6 < 0as que en r = 1 hay un mnimo local con 1 (1) = 2 y en r = 1 hay un mximo local con1 (1) = 2. DenicinSilimx!1[1 (r) (:r +/)] = 0entonces la recta n = :r +/ se llama una asntota oblicua de 1 (r) (Ver gura 10). En este caso,: y / pueden hallarse segn las frmulas: = limx!11 (r)ry / = limx!1[1 (r) :r] . (2.18)Figura 12: Asntota Oblicuayx 0( ) x g y =b mx y + =( ) x f y =bEjemplo Determinar las asntotas oblicuas, si existen, de la funcin 1 (r) = r3+r2+ 2r2.Solucin: Primero que nada, observe que si se simplica la expresin dada mediante divisin,obtenemos1 (r) = r + 1 +2r2.Marco Alfaro C. 46Adems, cuando r el trmino2r2 0. Es decir, este trmino es despreciable para valoresgrandes, positivos y negativos de r. por lo que podemos concluir que para valores grandes de r. lafuncin 1 es asintticamente equivalente a la rectan = r + 1. lo cual se denota1 (r) ~ 1 r.Este resultado es general, una funcin racional, con numerador y denominador sin factores comunes,tiene una asntota oblicua igual al cociente del numerador y denomidador, si el grado del numeradorexcede exactamente en una unidad al grado del denominador.Si se utilizan directamente las frmulas (2.18), se tiene: = limx!11 (r)r= limx!1r3+r2+ 2r3= limx!1

1 + 1r +2r3

= 1.Por su parte,/ = limx!1[1 (r) :r]= limx!1r3+r2+ 2r2

+r

= limx!1

r3+r2+ 2 +r3r2

= limx!1

r2+ 2r2

= limx!1

1 +2r2

= 1.De donde se obtiene, como antes, la asntota oblicua n = r + 1. Marco Alfaro C. 472.9 Recomendaciones para el Trazo de GrcasPara trazar la grca de n = 1 (r) :1. Determine el dominio de 1.2. Determine las intersecciones con los ejes.3. Haga un anlisis de la primera derivada (Creciente, decreciente, extremos relativos e imgenesde estos puntos).4. Haga un anlisis de la segunda derivada (Concavidad, puntos de inexin e imgenes de estospuntos ).5. Calcule las asntotas (verticales, horizontales y oblicuas).6. Haga el cuadro de variacin (resumen) de 1.7. Trace la grca de 1.NotaRecuerde que para hallar:(a) Asntotas OblicuasSi 1 (r) = j (r)c (r). con grado(j) = grado(c) + 1. la asntota oblicua consiste en el cociente de estadivisin de polinomios. Si 1 tiene otra expresin, la asntota oblicua es n = :r +/. donde :y/se calculan segn (2.18).(b) Asntotas VerticalesSi 1 (r) = j (r)c (r). j (r) y c (r) sin factores comunes, y c (a) = 0. se analiza limx!a

1 (r) y limx!a+1 (r) .(c) Asntotas HorizontalesSe analiza si limx!11 (r) = 1 R o si limx!+11 (r) = 1 R.Marco Alfaro C. 482.10 Ejercicios1. Calcule la derivada de las siguientes funciones, aplicando la denicin.(a) 1 (r) =3

r (c) 1 (r) = r2+r(b) 1 (r) =31 2r(d) 1 (r) =23r + 12. Se denen la derivada izquierda y la derivada derecha de 1 enr0 = apor10

(a) =limx!a

1 (r) 1 (a)r a10+ (a) =limx!a+1 (r) 1 (a)r asi estos lmites existen. Entonces 10(a) existe si y solo si estas derivadas laterales existen yson iguales. Calcule 10

(0) y 10+ (0) para la funcin1 (r) =

r2+ 2r + 5. si r < 0r3+ 2r2+ 2r + 5. si r _ 0.Concluya que 1 es derivable en r = 0.3. Verique que la funcin 1 denida por1 (r) =

2r2. si r _ 03r. si r0.no es derivable en r = 0. Haga una interpretacin grca.4. Verique que la funcin 1 no es derivable en el punto r0 indicado. Haga una interpretacingrca.(a) 1 (r) = [3r 1[ . en r0 = 13.(b) 1 (r) =

r21

. en r0 = 1.5. Calcule limx!1r10001r 1. (Sugerencia: Use la denicin de derivada en un punto)6. Calcule la derivada de las siguientes funciones, no simplique.(a) 1 (r) = 2r3r2+ 3r (e) 1 (r) = r2r r2+ 1 r2+r + 1

(b) 1 (r) = r33r 2r2+ 3r + 5

(f) 1 (r) = r +

r +3

r(c) 1 (r) = r3+ 3r2+ 2r21(g) 1 (r) = 1r +1

r +13

r(d) 1 (r) = r2r 3r2 + 1

r2+r + 1

(h) 1 (r) = r + 1r + 2

(2r 5)Marco Alfaro C. 497. Verique que la recta n = r es tangente a la curva n = r36r2+ 8r. calcule el punto detangencia 1.8. Encuentre las constantes a. / y c tales que las curvas 1 (r) = r2+ar +/ y o (r) = cr r2sean tangentes entre s en el punto 1 (1. 0) .9. Determinar el punto de la parbola n = r2 7r + 3 por el cual pasa una recta tangenteparalela a la recta cuya ecuacin es 5r +n 3 = 0. Interprete este resultado grcamente.10. Determine las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la grca de 1 (r) = 4rr2que pasanpor el punto 1 (2. 5) . Interprete este resultado grcamente.11. Calcule la derivada de las siguientes funciones, no simplique.(a) 1 (r) = 4r2+ 5

3(j) 1 (r) = sen2r + cos2r + 4(b) 1 (r) = 183

(1 +r3)8 153

(1 +r3)5(k) 1 (r) = (senr + cos r)2(c) 1 (r) = 2r + 3r2 + 1

3(l) 1 (r) = r +rsenr1 + 2 tan2r

2(d) 1 (r) = 1 + 1r

2

2 +1r3

4

3 +1r5

3(m) 1 (r) = r2cx2+3x+2(e) 1 (r) =

4(r2 +r + 4)2(n) 1 (r) = c3x+ 5c2xc6x(f) 1 (r) =r3+ 13 (r21) +r

2r2 + 3 () 1 (r) = 3x+ 2xcx(g) 1 (r) =ra2

a2 +r2(o) 1 (r) = ln[ln(lnr)] + ln2(lnr)(h) 1 (r) = 4r

2r 3

3r (p) 1 (r) = 1 + (1 + lnr)2

3(i) 1 (r) = 3 + cos r1 + senr(q) 1 (r) = lnr

1 + ln2r

2

2 + ln3r

312. Trace la grca de una funcin 1 que satisfaga las siguientes condiciones:(a) 1 es continua en ]. 5[ . ]5. 2[ . ]2. 3[ y en ]3. +[ .(b) 10(3) = 10(0) = 0y10(6) no existe.(c) limx!11 (r) = +y limx!+11 (r) = 0.(d) limx!5

1 (r) = 2y limx!5+1 (r) = 1.(e) limx!3

1 (r) = y limx!3+1 (r) = .(f) limx!21 (r) = 1y 1 (2) = 1.Marco Alfaro C. 5013. Verique que la curva n = 6r3+ 5r 3 no tiene recta tangente horizontal.14. Dada la funcin 1 denida por1 (r) =

r216. si r < 48r 32. si r _ 4(a) Determine si 1 es continua en r = 4.(b) Determine si 1 es derivable en r = 4.15. Sea1 (r) =

r2. si r _ 2ar +/. si r2.Encuentre los valores de a y / para que 1 sea derivable en todo R.16. Calcule la ecuacin de la tangente a la circunferencia r2+n2= 25 en el punto 1 (3. 4) .17. Hallar los dos puntos donde la curva r2+rn +n2= 7 interseca al eje r y verique que lastangentes a la curva en esos puntos son paralelas.18. Determine la ecuacin de la recta normal a la curva denida por la ecuacin r5+n52rn = 0.en el punto 1 (1. 1) .19. Determine las coordenadas de los puntos en los que el grco cuya ecuacin esr2+n24r + 2n + 4 = 0 tiene rectas tangentes verticales.20. Dada la ecuacin implcita r3+n3= 6rn.(a) Determine n0.(b) Calcule la ecuacin de la recta tangente en el punto 1 (3. 3) .(c) En cules puntos de la curva la recta tangente es horizontal o vertical?21. Verique que cada curva de la familia de hiprbolas rn = c. c = 0, es ortogonal a cada curvade la familia de hiprbolas r2 n2= /. / = 0. Se dice que estas familias de curvas sontrayectorias ortogonales entre s.22. Verique que la tangente a la elipsex2a2 + y2b2 = 1 en el punto 1 (r0. n0) esr0ra2+ n0n/2= 1.23. Determine los puntos en los que la grca de la ecuacin 4r2+n28r + 4n + 4 = 0 tiene(a) rectas tangentes horizontales.(b) rectas tangentes verticales.24. Calcule las coordenadas de los puntos de la curva cuya ecuacin es r2rn +n2= 7. dondela pendiente de la recta tangente es igual a45.25. Determine la ecuacin de la recta normal a la curva denida por la ecuacinr2+ 2rn2+ 3n4= 6. en el punto 1 (1. 1) .Marco Alfaro C. 5126. Calcule la ecuacin de la recta normal a la grca de la curva n4+ 3n 4r3= 5r + 1. en elpunto 1 (1. 2) .27. La curva de ecuacin n2= r3+3r2se llama cbica de Tschirnhausen. Encuentre la ecuacinde la recta tangente a esa curva en el punto 1 (1. 2) .28. Se tiene inicialmente un depsito cnico de altura 15 m y radio de la base 5 m, el cual estlleno de agua. En t = 0 comienza a bombearse el agua hacia afuera del depsito a una raznde 8 m3/h. Determine la razn a la que est disminuyendo el nivel del lquido en el depsitodespus de 10 horas de haber comenzado a vaciarse.29. El radio de la base de un cilindro circular recto de altura h = 10 cm est aumentanto a razn de3 cm/min. Calcule la rapidez a la que est aumentando el volumen del cilindro cuando elradio de su base sea r = 5 cm.30. Un canal de agua tiene 10 m de longitud y su seccin transversal tiene la forma de un trapecioissceles de 30 cm de ancho en el fondo, 80 cm de ancho en la parte superior y 50 cm dealtura. Si el canal se llena con 0.2 m3 min. de agua, con qu velocidad sube el nivel deagua cuando la profundidad de sta es de 30 cm?31. Un canal tiene 10 pies de largo y sus extremos presentan la forma de tringulos issceles de3 pies en la parte superior y una altura de 1 pie. Si el canal se llena con agua a un ritmode 12 pies3min., con qu velocidad cambia el nivel del agua cuando hay seis pulgadas deprofundidad?32. La arena que empieza a vaciarse de una tolva a razn de 10 m3/s forma una pila cnica cuyaaltura es el doble de su radio. A qu razn aumenta el radio de la pila cuando su altura esde 5 m?33. Se tiene un depsito en forma de cilindro circular recto de altura 9 m y radio de la base 2 m.En t = 0 comienza a llenarse el depsito con agua a razn de 10 m3/h. Determine la velocidada la que est subiendo el nivel del lquido en el depsito.34. De un tanque en forma de cono invertido se deja salir agua a razn de 10.000 cm3min,al mismo tiempo que se bombea agua al interior del tanque a una velocidad constante.Eltanque tiene 6 m de altura y el dimetro de la parte superior es de 4 m. Si el nivel del aguaest aumentando a razn de 20 cm/min cuando la altura es de 2 m, encuentre la velocidada la que se bombea el agua al interior del tanque.35. Encuentre los valores mximo y mnimo absolutos de 1 (r) = r23 en el intervalo [1. 1] .36. Encuentre los valores mximo y mnimo absolutos de 1 (r) =12r2

r22

en el intervalo[2. 3] .37. Considere la funcin o (r) =rr2 + 2r + 2. Calcule el mximo y el mnimo en [3. 0].38. Encuentre los valores mximo y mnimo absolutos de 1 (r) = r2+ 3r + 2r2 + 2r + 2 en el intervalo[2. 3] .Marco Alfaro C. 5239. Dada la funcin1 (r) = r36r2+ 9r + 1.(a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de 1 (r) .(b) Calcule los puntos mximos y mnimos relativos de la funcin, utilizando el criterio dela primera derivada.40. Dada la funcin1 (r) =

r24. si r < 38 r. si _ 3(a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de 1 (r) .(b) Calcule los puntos mximos y mnimos relativos de la funcin, utilizando el criterio dela primera derivada.41. Considere la funcin 1 denida por 1 (r) =r3r21. con10(r) = r43r2(r21)2. 100(r) = 2r3+ 6r(r21)3(a) Determine el dominio y las intersecciones con los ejes.(b) Determine los intervalos de monotona y extremos relativos de la funcin.(c) Determine los intervalos en los que la grca es cncava hacia abajo o cncava haciaarriba, y los puntos de inexin.(d) Calcule las asntotas y trace la grca de 1.42. Determine a y / tales que la funcin denida por 1 (r) = r3+ ar2+ / tenga un extremorelativo en 1 (2. 3) .43. Determine las asntotas horizontales de la grca de1 (r) =

r2+r 13r21. si r _ 0

r2 +r + 1 +r. si r < 044. Trace la grca de una funcin 1 que satisfaga, simultneamente, todas las siguientes con-diciones:(a) 10(r)0 en los intervalos ]. 3[ y]0. +[ .(b) 10(r) < 0 en los intervalos ]3. 2[ y]2. 0[ .(c) 10(0) = 0y10(3) = 0.(d) 100(r)0 en ]2. 2[ .(e) 100(r) < 0 en los intervalos ]. 2[ y]2. +[ .(f) limx!2

1 (r) = y limx!2+1 (r) = +.(g) limx!2

1 (r) = 3y limx!2+1 (r) = .(h) limx!11 (r) = y limx!+11 (r) = 0.(i) limx!1[1 (r) r] = 0.(j) 1 (0) = 0y1 (3) = 4.Marco Alfaro C. 5345. Sea 1 denida por 1 (r) = r3+r2+ 4r2. de la que se conoce la siguiente informacin:1 (r) 10(r) 100(r)< r < 2 +r = 2 4 0 +2 < r < 0 + +r = 0 indenida indenida indenida0 < r < + +(a) Determine el dominio mximo y las intersecciones con los ejes.(b) Indique los intervalos de monotona y extremos relativos de la funcin, si existen.(c) Indique los intervalos en los que la grca es cncava hacia abajo o cncava hacia arriba,y los puntos de inexin, si existen.(d) Calcule las asntotas de 1. si existen.(e) Trace la grca de 1.46. Considere la funcin 1 denida por 1 (r) = r2+r + 1r. con10(r) = r21r2. 100(r) =2r3(a) Determine el dominio y las intersecciones con los ejes.(b) Determine los intervalos de monotona y extremos relativos de la funcin.(c) Determine los intervalos en los que la grca es cncava hacia abajo o cncava haciaarriba, y los puntos de inexin.(d) Calcule las asntotas y trace la grca de 1.47. Un recipiente rectangular, con la parte superior abierta, debe tener un volumen de 10 m3.El largo de la base es el doble del ancho. El material de la base cuesta 5000 colones el metrocuadrado. El material de los costados 3000 colones el metro cuadrado. Encuentre el costo delos materiales para tener el recipiente ms barato con estas condiciones.48. En la parbola n = r2encuentre el punto ms cercano al punto 1 (5. 1) .49. Encuentre el punto sobre la parbola n2= 2r ms cercano al punto 1 (1. 4) .50. Determine el punto Q(r. n) de la recta 2r +n = 3 ms cercano al punto 1 (3. 2) .51. Se va a hacer una caja abierta con una pieza cuadrada de material, de 12 cm de lado, cortandoesquinas iguales y doblndolas. Hallar el mximo volumen posible de la caja.52. Un tringulo rectngulo est formado por los semiejes positivos y una recta que pasa por elpunto 1 (2. 3) . Hallar los vrtices de modo que su rea sea mnima.53. Un rectngulo est limitado por el eje r y por el semicrculo n =

25 r2 Qu longitud yqu ancho debe tener para que su rea sea mxima?Marco Alfaro C. 5454. El permetro combinado de un crculo y un cuadrado es 16. Hallar las dimensiones de las dosguras que hacen mnima el rea total.55. Una pgina rectangular ha de tener 96 cm2de texto, los mrgenes superior e inferior tienen3 cm de anchura y laterales 2 cm. Qu dimensiones de la pgina minimizan la cantidad depapel requerida?56. Una pgina rectangular ha de tener 24 pulgadas cuadradas de texto, con mrgenes superior einferior de 1.5 pulgadas y laterales de una pulgada. Qu dimensiones de la pgina requierenla mnima cantidad de papel?57. Se forma un slido uniendo dos semiesferas a los extremos de un cilindro circular recto.Elvolumen total es de 12 cm3. Hallar el radio del cilindro que produce la mnima rea de lagura.58. Se est transportando un tubo de acero por un pasillo de 5 pies de ancho.Al nal de steexiste una vuelta en ngulo recto hacia otro pasillo tambin de 5 pies de ancho. Cul es lalongitud del tubo ms largo que puede pasar horizontalmente por la esquina?59. Hallar la altura del cono de volumen mximo que puede inscribirse en una esfera de radio r.60. Hallar la altura del cilindro de volumen mximo que puede inscribirse en un cono circularrecto dado.2.11 Respuestas2. 10

(0) = 10+ (0) = 2. 5. 1000. 7. 1 (3. 3) . 8. a = 3. / = 2, c = 1. 9. 1 (1. 3) .10. n1 = 2r + 9. n2 = 2r + 1. 15. a = 4. / = 4. 16. 3r + 4n = 25. 17. 1 0.

7

;n0(1) = 12. 18. n = r. 19. 1 (3. 1) . Q(1. 1) . 20.) (a) n0 = 2yx2y22x; (b) r +n = 6; (c) Horizon-tal en (0. 0) y 243. 253

; vertical en (0. 0) y 253. 243

. 23.) (a) 1 (1. 0) yQ(1. 4) . (b) 1(0. 2)y o (2. 2) .24.) 1 (1. 2) y Q(1. 2) . 25.n = 4r + 3. 26.n =2917r 9717. 27.n = 9x4 + 14.28. 0. 11 m/h. 29. 300 cm3/min. 30.103cm/min. 31.dhdt=45. 32.drdt=45m/s.33.dhdt =52 m/h. 34. 88889 cm3min. 35. 1max = 1. 1min = 0. 36. 1max =632 . 1min = 12.37. 1max = 0. 1min = 1+p22. 38. 1max =1+p220. 1min = 1 1+p22. 39. (a) 1 | en ]. 1]y [3. +[, 1 | en [1. 3] . (b) 1Max Rel = 5. 1MinRel = 1. 40. (a) 1 | en [0. 3] , 1 | en ]. 0] y[3. +[ . (b) 1Max Rel = 5. 1MinRel = 4. 41. (a) 1f = R 1. 1, x = y = (0. 0) . (b) 1 | en

.

3

y 3. +

, 1 | en

3. 1

. ]1. 1[ y 1.

3

; 1Max Rel = 3p32. 1MinRel =3p32.(c) 1 ' en ]1. 0] y ]1. +[ ; 1 en ]. 1[ y [0. 1[, p.i.=(0. 0) . (d) AV: r = 1. AH: No hay,AO:n = r. 42. a = 3. / = 7. 43. AHI:n = 12. AHD:n = 13. 45. (a) 1f = R0, x = (2. 0),y:no hay. (d) AV: r = 0. AH: No hay, AO: n = 1 r. 46. (a) 1f = R 0, x, y:nohay. (b) 1 | en ]. 1] y [1. +[, 1 | en [1. 0[ y ]0. 1] ; 1Max Rel = 1. 1MinRel = 3.(c) 1'en ]0. +[ ; 1 en ]. 0[, p.i.= no hay. (d) AV: r = 0. AH: No hay, AO: n = r + 1. 47.C = 81770 colones. 48. Q(1. 1) . 49. Q(2. 2) . 50. Q(1. 1). 51. \= 0.128 cm3. 52. 1 (4. 0) yQ(0. 6).53.) | = 5

2. a =52

2.54.) | =328+2y r =168+2.55.) a = 12 cm, | = 18 cm.56. a = 6 cm, | = 6 cm. 57. r =3

9

. 58. | = 10

2. 59. / = 4r3 . 60. / = H3 .Captulo 3IntegracinDenicin 1 se llama una antiderivada de 1 si para todo r 1f.10(r) = 1 (r) .Se denota 1 (r) dr = 1 (r) +C. C Rdenominada tambin la integral indenida de 1 respecto a r.NotaObserve que si 1 (r) dr = 1 (r) +C. entoncesddr1 (r) dr

=ddr [1 (r) +C]= 10(r)= 1 (r) .As, se tiene el siguiente resultado.Teorema (Reglas Bsicas de Integracin)1. c dr = cr +C2. c1 (r) dr = c

1 (r) dr +C3. [1 (r) o (r)] dr = 1 (r) dr

o (r) dr4. rndr = rn+1: + 1 +C (: = 1)55Marco Alfaro C. 56Ejemplo Hallar la siguiente integral indenida

r22r + 3

dr.Solucin: Aplicando simultneamente las reglas 1.) a 4.), se obtiene

r22r + 3

dr = r2dr 2

r dr + 3

dr= r33 2

r22

+ 3r +C= r33 r2+ 3r +C. Ejemplo Hallar la integral indenida

(rmrn)2

rdr.Solucin: Desarrollando el respectivo producto notable, y aplicando nuevamente las reglas bsicasde integracin, tenemos

(rmrn)2

rdr = r2m2rm+n+r2n

rdr= r2m12 2rm+n12 +r2n12

dr= r2m+122:+ 12 2rm+n+12:+: + 12+ r2n+122: + 12+C.= 2r2m

r4:+ 1 4rm+n

r2:+ 2: + 1 + 2r2n

r4: + 1+C. Teorema (Integral indenida de una funcin compuesta)Sean 1 y o funciones que satisfacen las condiciones de la regla de la cadena para n = 1 [o (r)] . Si1 es una primitiva de 1. entonces

1 [o (r)]o0(r) dr = 1 [o (r)] +Co bien, si n = o (r) . entonces dn = o0(r) dr y

1 (n) dn = 1 (n) +C.Teorema Si 1 es una funcin derivable de r, entonces

[1 (r)]n 10(r) dr = [1 (r)]n+1: + 1+C. : = 1.Marco Alfaro C. 57o bien si n = 1 (r), entonces

nndn = nn+1: + 1 +C. : = 1.Ejemplo Hallar la siguiente integral indenida

dr

5r 2 dr.Solucin: Colocamos n = 5r 2. y por lo tantodn = 5dres decir,dn5= drEntonces, si se sustituye esto en la integral se llega a

dr

5r 2 dr = (5r 2)

12dr= 15

n

12dn= 15

n1212

+C.= 25n12 +C= 25

5r 2 +C. 3.1 Sumas de RiemannDenicin La suma de : trminos a1. . . . . an se denota porni=1ai = a1 +. . . andonde i se llama el ndice de la suma, ai el i-simo trmino de la suma, e i y : los lmites superiore inferior de la suma.Ejemploa)10i=1i = 1 + 2 + 3 +. . . + 9 + 10 = 55.b)10i=1i2= 12+ 22+ 32+. . . + 92+ 102= 385.Marco Alfaro C. 58Suponga que se desea calcular el rea encerrada por la curva n = 1 (r) . el eje r y las rectasverticales r = a y r = /. Considere la siguiente gurana b 1 kxkx a bxy( ) x f y =0Figura 1: Suma de Riemannsi dividimos el intervalo [a. /] en : partes iguales, cada uno de longitud /r = / a:. entonces lospuntos de subdivisin son:r0 = a. r1 = a+/ a:. . . . . rk1 = a+(/ 1) / a:. rk = a+/

/ a:

. . . . . rn = a+:

/ a:

= /Si adems :k y 'k son el mnimo y el mximo de 1 (r) en el /-simo subintervalo [rk1. rk]respectivamente, entonces el rectngulo de altura 'k contiene el rea debajo de la curva n = 1 (r)en el intervalo [rk1. rk] y el rectngulo de altura :k est contenido en el rea bajo la curva en elmismo intervalo, as que el rea bajo la curva n = 1 (r) est entre 'k (rkrk1) y :k (rkrk1)en el /-simo intervalo.1 kxkxkmkM( ) x f y =1 k kx xFigura 2:Elemento de reaMarco Alfaro C. 59Sumando todos los subintervalos tenemosnk=1:k (rkrk1) _ rea bajo n = 1 (r) _nk=1'k (rkrk1) (3.1)Si los extremos de la desigualdad en (3.1) tienden a un lmite comn cuando : tiende a innitoeste lmite se llama la integral denida de a a / de 1 (r) y se denota

ba 1 (r) dr.De esta forma,:n =nk=1:k (rkrk1) on =nk=1'k (rkrk1)`

ba 1 (r) drSe dice que 1es integrable segn Riemann si los lmites coinciden. Segn lo visto arriba, lacondicin para hallar la integral denida de 1 eson:n=nk=1'k (rkrk1) nk=1:k (rkrk1)=nk=1('k:k) (rkrk1) 0 (: +)llamada la condicin de integrabilidad.Denicin Sea 1 denida en [a. /] y / una particin arbitraria de [a. /] .a = r0 < r1 < r2 < . . . < rn = /donde /ri es el ancho del i-simo subintervalo. Si ci es cualquier punto del i-simo subintervalo,la sumani=11 (ci) /ri. ri1 _ r _ rise llama una suma de Riemann de 1 asociada a la particin /.TeoremaSi 1 es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a. /] entonces el rea de la reginlimitada por 1, el eje r y las lneas verticales r = a y r = / viene dada porrea = ba 1 (r) dr.Para efectos de simplicar los clculos, consideremos el caso en que los subintervalos tienen todosla misma longitud, es decir, la particin es uniforme, y los puntos ci escogidos en cada subintervalo,se toman como los extremos derechos de los mismos, es decir, cada subintervalo tiene medida/ri = / a:. i = 1. 2. 3. . . . . : (3.2)Marco Alfaro C. 60y los puntos extremos derechos de cada subintervalo tienen la formaci = a +

/ a:

i. i = 1. 2. 3. . . . . :as que la integral denida es

ba 1 (r) dr = limn!+1ni=11 (ci) /ri. (3.3)En el clculo concreto de integrales denidas, sern de gran utilidad las siguientes frmulas:(a)ni=1c = c +c +c +. . . +c = :c.(b)ni=1i = 1 + 2 + 3 +. . . +: = :(: + 1)2.(c)ni=1i2= 12+ 22+ 32+. . . +:2= :(: + 1) (2: + 1)6.(d)ni=1i3= 13+ 23+ 33+. . . +:3= :2(: + 1)24.(e)ni=1c1 (i) = cni=11 (i) . c R.(f)ni=1[1 (i) o (i)] =ni=11 (i) +ni=1o (i) .Ejemplo Use la denicin para calcular la integral denida

10

r2r + 3

dr.Solucin: Primero, dividimos el intervalo [0. 1] en : subintervalos de longitud/ri = / a:= 1:. i = 1. 2. 3 . . . . :.Escojemos los puntos ci como los extremos derechos del subintervaloci = a +

/ a:

i = 0 +

1 0:

i = i:. i = 1. 2. 3 . . . . :.As que, tomando 1 (r) = r2r + 3. se obtiene segn la frmula (3.3)

10

r2r + 3

dr = limn!+1ni=11 (ci) /ri= limn!+1ni=11 i:

1:

= limn!+1ni=1

i:

2

i:

+ 3

1:

= limn!+1ni=1

i2:3 i:2 + 3:

.Marco Alfaro C. 61Ahora, por las frmulas (a), (c) y (d) se llega nalmente a

10

r2r + 3

dr = limn!+1ni=1

i2:3 i:2 + 3:

= limn!+1ni=1:(: + 1) (2: + 1)6:3 :(: + 1)2:2+ 3

= limn!+1ni=12:3+ 3:2+: 3:33:2+ 18:36:3

= limn!+1ni=116:2 + 176

= 176 . Ejemplo Use la denicin para calcular la integral denida

30

r21

dr.Solucin: En este caso, dividimos el intervalo [0. 3] en : subintervalos de longitud/ri = 3 0:= 3:. i = 1. 2. 3 . . . . :.Escojemos los puntos ci de nuevo como los extremos derechos del subintervaloci = a +

/ a:

i = 0 +

3:

i = 3i: . i = 1. 2. 3 . . . . :.Dado que aqu 1 (r) = r21. se llega a

30

r21

dr = limn!+1ni=11 (ci) /ri= limn!+1ni=11 3i:

3:

= limn!+1ni=1

3i:

21

3:

= limn!+1ni=1

9i2:2 1

3:

= limn!+1ni=1

27i2:3 3:

Marco Alfaro C. 62Ahora, por las frmulas (a) y (c) y la denicin (3.3) se obtiene que

30

r21

dr = limn!+1ni=1

27i2:3 3:

= limn!+127:3

:(: + 1) (2: + 1)6

3

= limn!+127

2:3+ 3:2+:6:3

3

= limn!+127

2:3+ 3:2+:6:3

3

= limn!+1

6 + 272: 9:2

= 6. Denicina) Si 1 est denida en r = a, entonces

aa1 (r) dr = 0.b) Si 1 es integrable en [a. /], entonces

ab1 (r) dr =

ba 1 (r) dr.Teorema Si 1 es integrable en los tres intervalos denidos por a. / y c. entonces

ab1 (r) dr = cb1 (r) dr +

ac1 (r) dr.Teorema (Propiedades de integrales denidas)Si 1 y o son integrables en [a. /] y c es una constante, entoncesa) ba c1 (r) dr = c

ba 1 (r) dr.b) ab[1 (r) o (r)] dr = ab1 (r) dr

abo (r) dr.Teorema Sean 1 y o integrables en [a. /] .a) Si 1 es no negativa en [a. /], entonces0 _

ab1 (r) dr.b) Si 1 (r) _ o (r) . para todo r [a. /] . entonces

ba 1 (r) dr _

ba o (r) dr.Marco Alfaro C. 63Este resultado queda claro de nuestra interpretacin de integral denida para una funcin nonegativa como rea bajo la curva, segn podemos ver en la siguiente gura.( ) x g y =( ) x f y =xy0Figura 3: rea bajo la Curva3.2 Teorema Fundamental del ClculoA continuacin, estudiamos el resultado ms importante del clculo diferencial e integral, quenos relaciona, precisamente, el concepto de derivada con el concepto de integral. Este resultadoestablece, en trminos generales, que ambas operaciones, la derivacin e integracin, son inversasuna de la otra.Teorema ( Fundamental del Clculo) Supngase que 1 es continua en [a. /] .1. Si 1 (r) = xa1 (t) dt. entonces 10(r) = 1 (r) . En generalddr

(x)a1 (t) dt = 1 (c(r))c0(r) . (3.4)2. Si 1 es cualquier antiderivada de 1. es decir, 10(r) = 1 (r) . entonces

ba 1 (r) dr = [1 (r)]x=bx=a = 1 (/) 1 (a) . (3.5)Ejemplo Hallar los intervalos de monotona de la funcin denida por1 (r) = 1x23t1 +t2 dt.Marco Alfaro C. 64Solucin:Primero observamos que en este caso c(r) = 1 r2y 1 (t) =t1 +t2, por lo que deacuerdo a (3.4)10(r) = 1 (c(r))c0(r)=1 r21 + (1 r2)2

1 r2

0= 2r

1 r2

r42r2 + 2= 2r(1 +r) (1 r)r42r2 + 2.Aplicando ahora el criterio de la primera derivada, encontramos que la grca de 1 es estrictamentecreciente en el conjunto [1. 0] ' [1. +[ y es estrictamente decreciente en el conjunto [0. 1] ']. 1] . Ejemplo Calcular la integral1 = 30 [2r 3[ dr.Solucin:Primero, recordemos que por denicin de la funcin valor absoluto tenemos que[2r 3[ =

2r 3. si 2r 3 _ 0(2r 3) . si 2r 3 < 0lo que equivale a[2r 3[ =

2r 3. si r _ 32(2r 3) . si r < 32.Escribimos entonces el intervalo [0. 3] como [0. 3] = 0. 32

'

32. 3

, y nuestra integral 1 puedeentonces escribirse de la siguiente forma:1 = 30 [2r 3[ dr=320 [2r 3[ dr +

332[2r 3[ dr= 320(2r 3) dr +

332(2r 3) drComo ya sabemos de las reglas bsicas de integracin,

(2r 3) dr = r22 3r +C.Marco Alfaro C. 65es decir, 1 (r) = r22 3r + C es una antiderivada para 1 (r) = 2r 3. por lo que de acuerdo a(3.5) se tiene que 320(2r 3) dr +

332(2r 3) dr =

1 32

1 (0)

+

1 (3) 1 32

=

278 0 +C

+

92 + 278 +C

= 278 92 + 278= 94. Ntese que al hacer la evaluacin de la antiderivada 1 (r) . la constante C se cancela en todos loscasos, por lo que en lo sucesivo la omitimos y escribiremos, por ejemplo 320(2r 3) dr = r22 3r

x=32x=0= 278 .Una interpretacin geomtrica de este resultado aparece en la siguiente grca.3 2 = x yxy0233Figura 4Teorema (Integrales de funciones simtricas) Suponga que 1 es continua en [a. a] .1. Si 1 es par, entonces aa1 (r) dr = 2

a01 (r) dr.2. Si 1 es impar, entonces aa1 (r) dr = 0.Teorema (Sustitucin en integrales denidas) Si o0 es continua en [a. /] y 1 lo es en la imagen den = o (r) . entonces

ba 1 (o (r)) o0(r) dr = g(b)g(a) 1 (n) dn.Ejemplo Calcular la integral denida 1 = 411x2

1 + 1x dr.Marco Alfaro C. 66Solucin: Sea n = 1 +1x. entonces dn = dxx2. Para hallar los nuevos lmites de integracin,sustituimos los valores de r en la expresin que dene nuestra nueva variable n as:si r = 1. entonces n = 1 + 11 = 2si r = 4. entonces n = 1 + 14 = 54.Por lo tanto

411x2

1 + 1x dr = 542

ndn= 542n12dn= 23

n32

u=54u=2= 43

2 512

5. 3.3 rea entre CurvasTeorema El rea entre las grcas de las curvas n = 1 (r) y n = o (r) . entre las rectas r = a yr = / es = ba [1 (r) o (r)[ dr. (3.6)Esto signica que la regin de integracin debe particionarse en subregiones dependiendo si entales dominios se cumple o (r) _ 1 (r) o bien o (r) _ 1 (r) . lo que entonces nos permitir decidirel signo de la diferencia 1 (r) o (r) .( ) x g y =( ) x f y =xy0 a b c1R2RFigura 5: rea entre CurvasMarco Alfaro C. 67Ejemplo Hallar el rea encerrada por las grcas de n = 2r2, n = r2. Hacer una interpretacingrca.Solucin: Empezamos hallando los puntos de interseccin de ambas curvas, con el propsito dedilimitar en forma precisa nuestra regin de integracin. Como sabemos, dos curvas se intersecanen los puntos que satisfacen ambas ecuaciones, es decir, donde ambas curvas son iguales, luegoresolviendo la ecuacin2 r2= r2hallamos que sus soluciones son r = 1 y r = 1, como podemos observar en la Figura 6.2x y =22 x y =1 1xyFigura 6La curva 1 (r) = 2 r2se encuentra por encima de la curva o (r) = r2en el intervalo [1. 1], asque segn (3.6) el rea encerrada por las curvas viene dada por la integral = 11[1 (r) o (r)[ dr= 11

2 r2

r2

dr= 11

2 2r2

dr= 83

Nota Algunas regiones se manejan mejor considerando r como funcin de n. Si una regin 1 estlimitada por r = 1 (n) . r = o (n) . n = c y n = d. con 1 y o continuas con 1 (n) _ o (n) . parac _ n _ d. su rea es: = dc[1 (n) o (n)] dn = dc(rDrI) dn (3.7)en donde rD denota la curva que est a la derecha y rI denota la curva que est a la izquierda,respectivamente.En la Figura 7, a continuacin, se considera una de tales regiones, y se indica el correspondienteelemento de rea.Marco Alfaro C. 68xy0Figura 7: rea entre Curvas( ) y f x = ( ) y g x=Ejemplo Hallar el rea encerrada por el eje n y por la parbola r = 2n n2.Solucin: En la Figura 8 aparece la regin cuya rea se desea calcular. Los lmites de integracinlos calculamos mediante la ecuacin2n n2= 0cuyas soluciones son r = 0 y r = 2.Figura 8xy22 y y x =02Luego, el rea encerrada por la regin es, de acuerdo a (3.7) = dc[1 (n) o (n)] dn= 20

2n n20

dn= 43

Teorema (Valor medio para integrales) Si 1 es continua en [a. /], existe un c [a. /] tal que

ba 1 (r) dr = 1 (c) (/ a) . (3.8)Marco Alfaro C. 69Es decir, en la gura, el rea bajo la curva 1 de a hasta / es igual al rea del rectngulo con base/ a y altura 1 (c), para algn c [a. /] .xy0 a b c( ) x f y =( ) c fFigura 9: Teorema del Valor Medio3.4 Integrales de Funciones Logartmicas y ExponencialesComenzamos esta seccin con una importante denicin.Denicin La funcin logaritmo natural es la funcin denida porlnr = x11t dt (r0) .De esta denicin resulta inmediato, como consecuencia del Teorema Fundamental del Clculo,queddr (lnr) = 1r.De acuerdo con lo anterior, tenemos las dos importantes integrales siguientes

drr= ln[r[ +C.

dnn= ln[n[ +C.Ejemplo Hallar las integrales(a) 1 = 1 3r3 + 2r dr (b) r2+ 5r + 7r + 3drSolucin:(a) Empezamos observando que1 3r3 + 2r =112 (2r + 3) 32por divisin de polinomios, por lo que podemos considerar nuestra integral como la suma de lasdos integrales siguientes1 = 112

dr2r + 3 32

dr.Marco Alfaro C. 70Ahora, en la primera integral colocamos n = 2r+3, as que dn = 2 dr, o bien, dr = du2 .La segundaintegral es claramente inmediata. Se llega entonces a1 = 112

dr2r + 3 32

dr= 114

dnn 32

dr= 114 ln[n[ 32r +C= 114 ln[2r + 3[ 32r +C (b) Nuevamente por divisin, obtenemos quer2+ 5r + 7r + 3= r + 2 +1r + 3por lo tanto, si n = r + 3, entonces dn = dr. y tenemos1 = r2+ 5r + 7r + 3dr= (r + 2) dr +

drr + 3= (r + 2) dr +

dnn= r22+ 2r + ln[n[ +C= r22+ 2r + ln[r + 3[ +C De manera similar, de nuestra denicin de funcin exponencial de base natural como inversa dela funcin logartmica (ver la 2.2), se obtienen las correspondiente integrales

cxdr = cx+C e axdr =axlna +C.Ejemplo Hallar las siguientes integrales.(a) 20

r21

cx33x+1dr (b) cx+cx

cxcx dr .Solucin:(a) Empezamos haciendo la sustitucin n = r33r + 1, con dn = 3

r21

dr, o bien,dn3= r21

dr.En este caso,si r = 0. entonces n = 033 (0) + 1 = 1si r = 2. entonces n = 233 (2) + 1 = 3.Marco Alfaro C. 71Haciendo estos cambios en la integral dada, se llega a

20

r21

cx33x+1dr = 13

31cudn= 13 [cu]u=3u=1= 13

c3c

(b) En esta integral colocamos n = cxcx, con el correspondientedn = cx+cx

dr.De esta forma

cx+cx

cxcx dr = dn

n= n12 dn= 2

n +C= 2

cxcx +C 3.5 Integrales de Funciones TrigonomtricasDe la seccin (2.1) ya conocemos la tabla de derivadas1.) (senr)0 = cos r 4.) (sec r)0 = sec rtanr2.) (cos r)0 = senr 5.) (csc r)0 = csc rcot r3.) (tanr)0 = sec2r 6.) (cot r)0 = csc2r.Como es claro, esta tabla de derivadas nos lleva a la correspondiente tabla de integrales1.) senr dr = cos r +C 4.) sec2r dr = tanr +c2.) cos r dr = senr +C 5.) sec r dr = ln[sec r + tanr[ +C3.) csc2r dr = cot r +C 6.) csc r dr = ln[csc r cot r[ +CEs comn que las integrales de funciones trigonomtricas aparezcan en trminos de potencias delas funciones seno y coseno, as como tambin en trminos de potencias de las funciones secantey tangente. Por tal motivo consideramos a continuacin una forma de atacar este problema decarcter general.Marco Alfaro C. 723.5.1 Integrales del tipo senmx cosnx dxI Caso Si : = 2/ + 1. entonces podemos escribir la integral como

senmrcosnr dr = senmrcos2k+1r dr= senmr

cos2r

kcos rdr= senmr

1 sen2r

kcos rdrpara luego colocar n = senr.Ejemplo Calcule la integral1 = sen2rcos5r dr.Solucin: Segn la recomendacin, tenemos1 = sen2rcos5rdr= sen2rcos4rcos rdr= sen2r

1 sen2r

2cos rdr= sen2r

1 2 sen2r + sen4r

cos rdr= sen2rcos rdr 2

sen4rcos rdr +

sen6rcos rdr= sen3r3 2 sen5r5+ sen7r7+C II Caso Si : = 2/ + 1. entonces

senmrcosnr dr = sen2k+1rcosnr dr= sen2r

ksenrcosnr dr= 1 cos2r

ksenrcosnr dry hacemos el cambio de variable n = cos r.Ejemplo Hallar la integral1 = sen3rcos4r dr.Marco Alfaro C. 73Solucin: En este caso1 = sen3rcos4r dr= sen2rcos4rsenr dr= 1 cos2r

cos4rsenr dr= cos4r cos6r

senr dr= cos4rsenr dr

cos6rsenr dr= cos5r5+ cos7r7+C III Caso Si ambas potencias son pares, se usan las identidades de ngulo doblesen2r = 12 (1 cos 2r) . cos2r = 12 (1 + cos 2r) .Ejemplo Calcular la integral1 = cos4r dr.Solucin: Usando la segunda identidad de ngulo doble, tenemos1 = cos4r dr=

1 + cos 2r2

2dr=

14 + cos 2r2+ cos22r4

dr=14 + cos 2r2+ 1 + cos 4r8

dr= 14

dr + 12

cos 2r dr + 18

dr + 18

cos 4r dr= r4 + sen2r4+ r8 + sen4r32+C Marco Alfaro C. 743.5.2 Integrales del tipo tanmx secnx dxI Caso Si : = 2/. entonces

tanmrsec2kr dr = tanmr

sec2r

k1sec2r dr= tanmr

1 + tan2r

k1sec2r dry hacemos el cambio de variable n = tanr.Ejemplo Hallar la integral1 = sec4(3r) tan3(3r) drSolucin: Descomponemos las potencias de sec r ytanr segn lo comentado, para obtener1 = sec4(3r) tan3(3r) dr= sec2(3r) tan3(3r) sec2(3r) dr= 1 + tan2(3r)

tan3(3r) sec2(3r) dr= tan3(3r) + tan5(3r)

sec2(3r) dr= tan3(3r) sec2(3r) dr +

tan5(3r) sec2(3r) dr= tan4r12+ tan6(3r)18+C Caso II Si : = 2/ + 1. entonces colocamos

tan2k+1rsecnr dr = tan2r

ksecn1rsec rtanr dr= sec2r 1

ksecn1rsec rtanr dry hacemos el cambio n = sec r.Ejemplo Calcular la integral1 = tan3r

sec r dr.Solucin: En este caso obtenemosMarco Alfaro C. 751 = tan3r

sec r dr= (sec r)12tan3r dr= (sec r)32tan2r(sec rtanr) dr= (sec r)32 sec2r 1

(sec rtanr) dr= (sec r)12(sec r)32

(sec rtanr) dr= (sec r)12(sec rtanr) dr

(sec r)32(sec rtanr) dr= 2 (sec r)323+ 2 (sec r)12+C 3.6 Sustitucin TrigonomtricaCuando se calculan integrales de la forma a2r2dr, las conocidas identidades pitagricas detrigonometrasen2r + cos2r = 1. y sec2r = 1 + tan2rnos permiten eliminar el radical del integrando, pues por ejemplo, si se tiene

a2r2 y colocamosr = a sent. se llega a la expresin ms simple

a2r2 = a2(a sent)2= a2 (1 sen2r) = a [cos r[ .Note que aqu en realidad estamos aplicando una sustitucin inversa de la forma r = 1 (t), endonde suponemos a 1 como una funcin que posee inversa, es decir biunvoca, en cierto intervalo.Resumiendo, tenemos1. Si la integral contiene el radical a2r2. generalmente se colocar = a sent. 2 _ t _ 2de donde

a2r2 = a cos t.2. Si la integral contiene el radical r2a2. se colocar = a sec t. 0 _ t _ 2 _ t _ 32de donde

r2a2 = a tant.3. Si la integral contiene el radical r2 +a2. se colocar = a tant. 2 _ t _ 2de donde

r2 +a2 = a sec t.Marco Alfaro C. 76Ejemplo Hallar la integral 1 = r3

9 r2 dr.Solucin: Colocamos en este casor = 3 sentpor lo quedr = 3 cos t dt.Por lo tanto, tenemos1 = r3

9 r2 dr= (3 sent)3

9 (3 sent)23 cos t dt= 34sen3t 9(1 sen2t) cos t dt= 35

sen3t

1 sen2t cos t dt= 243

sen3t cos t cos t dt= 243

sen3t cos2t dt= 243

sen2t cos2t sent dt= 243

1 cos2t

cos2t sent dt= 243

cos2t cos4t

sent dt= 243

cos5t5 cos3t3

+C.Ahora, para deshacer el cambio de variable, considere el siguiente tringulo rectngulo en el quehemos colocado at como un ngulo agudo en el cualx3 = sent.tx329 x Marco Alfaro C. 77El cateto que falta, como bien sabemos, se obtiene aplicando el Teorema de Pitgoras. Finalmente,obtenemos la expresin requerida como cos t = p9x23. por lo que nuestro resultado para la integralpropuesta es 1 = 24315

p9x23

5 13

p9x23

3

+C 3.7 Integrales de Funciones Trigonomtricas InversasDe acuerdo con lo encontrado en la seccin (2.5), tenemos que1.)ddr sen1n =dn

1 n24.)ddr csc1n = dnn

n212.)ddr cos1n = dn

1 n25.)ddr sec1n =dnn

n213.)ddr tan1n =dn1 +n26.)ddr cot1n = dn1 +n2.Segn la tabla anterior, se tienen las correspondientes integrales indenidas que aparecen a con-tinuacin:1.)

dn

a2n2 = arcsen

na

+C2.)

dnn2 +a2 = 1a arctan

na

+C3.)

dnn

n2a2 = 1a arcsec[n[a+C.Ejemplo Calcular la integral 1 = 3r22r2 + 4dr.Solucin: Observe que si se hace la divisin de polinomios indicada se llega a

3r22r2 + 4dr =

3r 12r + 2r2 + 4

dr= 3rdr 6

2rr2 + 4dr 2

drr2 + 4= 3r22 6 ln

r2+ 4

arctan

r2

+C Ejemplo Calcular la integral 1 = drr2 + 6r + 13.Solucin: Si se completa el cuadrado, se obtiener2+ 6r + 13 = r2+ 6r + 9

+ 4= (r + 3)2+ 4.Marco Alfaro C. 78Ahora, identicando n = r + 3 y a = 2, se obtiene la integral

drr2 + 6r + 13= dr(r + 3)2+ 4= dnn2 +a2= 1a arctan

na

+C= 12 arctan

r + 32

+C 3.8 Integracin por PartesDe la frmula de derivada para un producto de funciones, sabemos que(1o)0 = 10 o +1o0.Si integramos formalmente esta identidad, se sigue que1 (r)o (r) = [10(r)o (r)] dr +

[1 (r)o0(r)] dres decir [1 (r)o0(r)] dr = 1 (r)o (r)

[10(r)o (r)] dr.Si se hace la sustitucin n = 1 (r) y = o (r) . se llega a la frmula ms conveniente

n d = n

dn. (3.9)denominada frmula de integracin por partes. Para el caso en que la integral es denida, se tiene

ba nd = n[ba

ba dn.Como veremos, esta frmula ser til para integrar un producto de funciones, en las que, depen-diendo de las caractersticas que stas cumplan, se sugiere adems seguir alguno de los siguientesmodelos, con el objetivo que la integral resultante en el miembro de la izquierda en (3.9), sea mssimple de calcular que la integral original. Pasamos entonces a ver estos modelos.1. Para integrales del tipo

rncaxdr. rnsenardr. rncos ardrse sugiere colocar n = rn. d = caxdr y d = senar dr d = cos ar dr.Marco Alfaro C. 792. Para integrales del tipo

rnlnrdr. rnarcsenardr. rnarctanardrcoloque n = lnr. arcsenar arctanar y d = rndr.3. Para integrales del tipo

caxsen/rdr. caxcos /rdrcoloque n = sen/r cos /r y d = caxdr.Ejemplo Integrar por partes 1 = r2cxdr.Solucin: En este caso, queremos integrar el producto de una funcin exponencial y un polinomio,por lo que seguiremos el primer modelo sugerido. Colocamos entoncesn = r2d = cxdrdn = 2r dr = cx.As se sigue que

r2cxdr = r2cx2

rcxdr.La ltima integral, en el miembro de la derecha en la igualdad anterior, tiene a su vez una estructurasimilar a la integral dada, por lo que le aplicamos nuevamente el procedimiento de integracin porpartes, siguiendo el modelo en cuestin. Se tiene entonces ahoran = r d = cxdrdn = dr = cx.As que

r2cxdr = r2cx2

rcxdr= r2cx2

rcx

cxdr

= r2cx2rcx+ 2

cxdr= r2cx2rcx+ 2cx+C. Ejemplo Integrar 1 = 10arctanr drSolucin: En este caso no contamos con muchas opciones, por lo que se tiene necesariamenten = arctanr d = drdn =dr1 +r2 = r.Marco Alfaro C. 80De donde, por la frmula de integracin por partes (3.9) se llega a

10arctanr dr = [rarctanr]10

10r1 +r2 dr.En la ltima integral, recurrimos a la sustitucinn = 1 +r2. dn = 2r dry al respectivo cambio de lmites de integracin, para obtener nalmente

10arctanr dr = [rarctanr]10

10r1 +r2 dr= [rarctanr]10 12

21dnn= [rarctanr]10 12 [ln[n[]21= 4 ln22

3.9 Integracin por Fracciones SimplesA continuacin, estudiamos el problema de integrar una funcin racional, es decir, se quiere hallaruna integral de la forma1 = 1 (r)Q(r) dren donde 1 y Q son polinomios. Para ello, dividiremos el problema en los siguientes dos casos,cuya justicacin formal, adems de ardua, trasciende los objetivos del curso, por lo que solamentenos limitaremos a utilizarlos para nes prcticos.1. Si la fraccin 1 (r)Q(r) es impropia, es decir, grado(1 (r)) _ grado(Q(r)) . se hace la divisinde polinomios para obtener1 (r)Q(r) = 1(r) + 11 (r)Q(r)donde grado(11 (r)) < grado(Q(r)) .2. Si la fraccin 1 (r)Q(r) es propia, esto es, si grado(1 (r)) < grado(Q(r)) . se factoriza comple-tamente el denominador en factores del tipo(ar +/)my ar2+/r +c

ndonde ar2+/r +c es irreducible. En este caso(a) Por cada factor lineal repetido (ar +/)mdebe incluirse una suma de la forma1(ar +/) +2(ar +/)2 +. . . +m(ar +/)m(3.10)Marco Alfaro C. 81(b) Por cada factor cuadrtico repetido ar2+/r +c

ndebe incluirse una suma de la forma11r +C1(ar2 +/r +c) +12r +C2(ar2 +/r +c)2 +. . . +1nr +Cn(ar2 +/r +c)n. (3.11)Ejemplo Hallar 1 = r 9r2 + 3r 10 dr.Solucin: Nuestra integral contiene una fraccin propia y al factorizar el denominador se llega a1 = r 9r2 + 3r 10 dr = r 9(r + 5) (r 2) drpor lo que tenemos dos factores lineales distintos, as que segn (3.10) la fraccin racional sedescompone comor 9(r + 5) (r 2) =r + 5 +1r 2. (3.12)Reduciendo a comn denominador la expresin de la derecha se llega ar 9(r + 5) (r 2) = (r 2) +1(r + 5)(r + 5) (r 2).igualando los numeradores respectivos, se obtiener 9 = (+1) r + (51 2)de donde resulta, igualando ahora los respectivos coecientes de las potencias de la variable r, elsistema de ecuaciones1

+1 = 151 2 = 9que tiene por solucin = 2. 1 = 1. Por lo tanto, de (3.12) se llega a la expresin1 =

2r + 5 1r 2

dr= 2

drr + 5

drr 2= 2 ln[r + 5[ ln[r 2[ +C Ejemplo Calcular la integral 1 = 3r24r + 5(r 1) (r2 + 1) dr.Solucin: La fraccin es propia, y el denominador presenta un factor lineal y un factor cuadrticoirreducible (con discriminante negativo) no repetidos. Luego, segn (3.10) y (3.11), la descomposi-cin en fracciones simples de esta expresin tiene la forma3r24r + 5(r 1) (r2 + 1)=r 1+ 1r +Cr2 + 1. (3.13)1El polinomio p(x) = anxn+ an1xn1+ : : : + a1x + a0 es igual a q(x) = bnxn+ bn1xn1+ : : : + b1x + b0 siy solamente si ai = bi para i = 0; 1; 2; : : : ; n:Marco Alfaro C. 82Nuevamente, por reduccin a comn denominador, se llega a3r24r + 5(r 1) (r2 + 1)=

r2+ 1

+ (1r +C) (r 1)(r 1) (r2 + 1)y haciendo las multiplicaciones indicadas en el numerador de la fraccin del miembro de la derechase obtiene3r24r + 5(r 1) (r2 + 1)= (+1) r2+ (C 1) r + (C)(r 1) (r2 + 1).Igualando los coecientes de los respectivos numeradores, se obtiene ahora el sistema de ecuaciones

+1 = 3C 1 = 4C = 5cuya solucin viene dada por = 2. 1 = 1. C = 3. As que de (3.13) se concluye que1 =

2r 1+ r 3r2 + 1

dr= 2

drr 1 +

rr2 + 1 dr 3

drr2 + 1.Finalmente, colocando n = r1 en la primera integral, t = r2+1 en la segunda integral, y usandola integral de tabla

dna2 +n2 = 1a arctan

na

+C.se llega a1 = 2

dnn+ 12

dtt 3

drr2 + 1= 2 ln[n[ + 12 ln[t[ 3 arctanr +C= 2 ln[r 1[ + 12 ln

r2+ 1

3 arctanr +C Ejemplo Calcular la integral 1 = r2(r2 + 1)2 dr.Solucin: En este caso se tiene un factor cuadrtico repetido, puesto que M< 0. as que descom-ponemos el cociente como la suma de fracciones simplesr2(r2 + 1)2= r +1r2 + 1+Cr +1(r2 + 1)2= (r +1)

r2+ 1

+Cr +1(r2 + 1)2= r3+1r2+ (+C) r + (1 +1)(r2 + 1)2Marco Alfaro C. 83Igualando los coecientes se llega al sistema

= 01 = 1+C = 01 +1 = 0cuya solucin es = 0. 1 = 1. C = 0. 1 = 1. Tomando en cuenta esto, nuestra integral sereduce a1 = drr2 + 1

dr(r2 + 1)2 = 1112.La primera integral 11, corresponde a un arcotangente, nos concentramos entonces en resolver lasegunda integral 12. Para ello hacemos el cambio de variable n = tant. por lo quedr = sec2t dt yr2+ 1 = sec2t.Esta integral toma entonces la forma12= dr(r2 + 1)2= sec2t dtsec4t= cos2t dt= 12

(1 + cos 2t) dt= t2 + sen2t4+C= arctanr2+ 12

r

r2 + 1

1

r2 + 1

+C= 12

arctanr +rr2 + 1

+C.Sumando los resultados de ambas integrales, llegamos nalmente a1 = arctanr + 12

arctanr +rr2 + 1

+C Marco Alfaro C. 843.10 Sustitucin de WeierstrassConsidere, para < r < . la sustitucinn = tan

r2

.Entonces, de las propiedades de funciones trigonomtricas, se sigue quecos

r2

=1sec

r2

=1

1 + tan2

r2

=1

1 +n2.Tambin,sen

r2

= cos

r2

tan

r2

=n

1 +n2.Ahora, ntese quesenr = 2 sen

r2

cos

r2

=2n1 +n2y por otra parte,cos r = cos2

r2

sen2

r2

= 1 n21 +n2.Finalmente, como n = tan

r2

. tomando inversas, se llega ar = 2 arctannas quedr =2 dn1 +n2.En resumen, se tienen el conjunto de sustitucionesn = tan

r2

. senr =2n1 +n2. cos r = 1 n21 +n2. dr =2 dn1 +n2las cuales tienen la ventaja de convertir cualquier funcin racional de senr y cos r en una funcinracional de n.Marco Alfaro C. 85Ejemplo Calcular la integral 1 = dr3 senr + 4 cos r.Solucin:Haciendo las sustituciones del caso, tenemos que1 = dr3 senr + 4 cos r= 2 dn1 +n23

2n1 +n2

+ 4

1 n21 +n2

= 2 dn1 +n26n + 4 4n21 +n2=

dn2n23n 2=

dn(2n + 1) (n 2)= 15 ln

n + 12

15 ln(n 2) +C= 15 ln

tan

x2

+ 12

15 ln

tan

x2

2

+C. Marco Alfaro C. 863.11 Frmulas Bsicas de Integracin1. nndn = nn+1: + 1 +C. : = 1 9. csc n dr = ln[csc n cot n[ +C2. senn dn = cos n +C 10.

csc ncot n dn = csc n +C3. cos n dn = senn +C 11. dn

a2n2 = arcsen

na

+C4.

csc2n dn = cot n +C 12. dna2 +n2 = 1a arctan

na

+C5. tann dr = ln[cos n[ +C 13.

dnn

n2a2 = 1a arcsec[n[a+C6. sec n dn = ln[sec n + tann[ +C 14. sec2n dn = tann +C7. sec ntann dn = sec n +C 15. cudn = cu+C8. cot n dn = ln[senn[ +C 16. dnn= ln[n[ +CMarco Alfaro C. 873.12 Ejercicios1. Verique que la funcin1 (r) =

r. si r < 1r2r + 1. si r _ 1es una antiderivada de 1 (r) = r +[r 1[ en R.2. Hallar una funcin n = 1 (r) que satisfaga las condiciones dadas(a) 100(r) = 5r. 10(1) = 2. 1 (2) = 5(b) 100(r) = 20r310. 10(1) = 5. 1 (1) = 1.(c) 100(r) = r +

r. 10(1) = 2. 1 (1) = 1.(d) 100(r) = r +

r. 10(1) = 2. 1 (1) = 1.3. Calcule las siguientes integrales.(a) r22r + 3

dr (g) 10r2

1 +r3 dr(b)

1r4 +14

r

dr (h) (rmrn)2

rdr(c) r25

7 4r3 dt (i) r

2r 1 dr(d) 5r4 +3

r 2

r

r2dr (j) r + 1(r2 + 2r 3)2 dr(e) r2

1 +r dr (k) t

2t2 + 1 dt(f) r

3 r dr (l) r 4

r28r + 1 dr4. Encontrar la solucin de la ecuacin diferencial dada, que satisface la condicin de fronteraindicada.(a)dndr = r22r 4. pasa por 1 (3. 6) .(b)dndr =r4

(1 +r2)3. pasa por 1 (1. 0) .(c)dndr = (r + 1) (r + 2) . pasa por 1 3. 32

.Marco Alfaro C. 885. Use el Teorema Fundamental del Clculo para evaluar las siguientes integrales denidas. Enlos ejercicios a) al g), haga una grca de la regin cuya rea viene dada por la integralpropuesta.(a) 31(2r 1) dr (g) 20 [2r 1[ dr(b) 20(r + 4) dr (h) 10

r(1 r) dr(c) 43

r29

dr (i) 62r

2r 3 dr(d) 21

r2+r + 2

dr (j) 30r

3 r dr(e) 10

r r3

dr (k) 10r(r 1)2dr(f) 21

r21

dr (l) 41

r2r 2

dr6. Dibuje la regin y calcule el rea encerrada por las siguientes curvas.(a) n = 2 r2. n = r.(b) 1 (r) = r36r2+ 8r. o (r) = r24r.(c) n = r2+ 2. n = r. r = 0. r = 1.(d) 1 (r) = r3. o (r) = 2r3+r22r.(e) n = r2+ 2r. n = r + 4.(f) 1 (r) =1r2. o (r) = r2. r = 1. r = 2.(g) 1 (r) = 3r 4r2+r3, o (r) = r2r.(h) 1 (r) = r2+ 2r + 8. o (r) = 2r + 3.(i) r = n3n. r = 1 n4.(j) 1 (r) = r32r. o (r) = r.(k) 1 (r) = r2+ 1. o (r) = 3 r2. r = 2.Marco Alfaro C. 897. Calcule las siguientes integrales.(a) 1 + 4r1 +r + 2r2 dr (g) e11r(3 + lnr)2 dr (m) r + 1r2 + 2r + 3 dr(b) ar +/ar2 + 2/r +c dr (h) 2r + 32r + 1 dr (n) 81drr(3 lnr + 4)(c) 1 3r3 + 2r dr (i) drr(lnlnr) lnr() r2+ 1r 1dr(d) e4e1r

lnr dr (j) 1034 +

r dr (o) (2 + lnr)2rdr(e) 714 dr5 +

4r + 9(k) r22rr33r2 + 1 dr (p) 1

r(1 +

r) dr(f) r(r + 1)2 dr (l) r + 1r 3dr (q) 51dr2 +

r 18. Hallar la derivada de las siguientes funciones usando el Teorema Fundamental del Clculo:ddr

(x)a1 (t) dt = 1 (c(r)) c0(r) yddr

(x)(x)1 (t) dt = 1 [ (r)] 0(r) 1 [c(r)] c0(r)(a) 1 (r) = 2x cos

t2

dt (e) 1 (r) =1x2tant dt(b) 1 (r) = x20

1 +t3 dt (f) 1 (r) = px3cos ttdt(c) 1 (r) = x31(t + sent) dt (g) 1 (r) = 113xn31 +n2 dn(d) 1 (r) = 3x2xn21n2 + 1 dn (h) 1 (r) = x3px

t sent dtMarco Alfaro C. 909. Hallar la derivada de las siguientes funciones. Use derivacin logartmica.(a) 1 (r) =(r + 2)2(r + 1)3(r + 3)4(d) 1 (r) = 1 + 1r

x(b) 1 (r) = rpx(e) 1 (r) =

r 13

(r + 2)2

(r + 3)3(c) 1 (r) = r 3

r2r2 + 1(f) 1 (r) =

r(r 1)r 210. Hallar las siguientes integrales aplicando el mtodo de fracciones parciales.(a) drr25r + 6(f) r dr(r 1) (r + 1)2(k) r3+r + 1r(r2 + 1) dr(b) 5r2+ 20r + 6r3 + 2r2 +rdr (g) r dr(r 1) (r + 1)2(l) r2+ 5r + 7r + 3dr(c) 3r + 4r32r 4 dr (h) cos r drsen2r 2 senr + 5(m) 3r27r3r + 2dr(d) 8r3+ 13r(r2 + 2)2dr (i) r2+r + 1r22r + 1 dr (n) drr32r2 +r(e) r24r + 7r3r2 +r + 3 dr (j) 2r + 3r2 + 2r + 5 dr () r + 1(r2 + 4r + 5)2 dr11. Hallar las siguientes integrales.(a) 20drr22r + 2(f) 13drr2 + 6r + 13(k) dr

c2x1(b) 2rr2 + 6r + 13 dr (g) dr(r 1)

(r 1)24(l) r + 2

4 r2 dr(c) r + 2

r24r dr (h)1p20arccos r

1 r2 dr (m) cxdr(c2x + 1) (cx1)(d) 8r3+ 13r(r2 + 2)2dr (i)

2113 + (r 2)2 dr (n) dr2r28r + 10(e) 2r 5r2 + 2r + 2 dr (j)

3r22r2 + 4dr () r drr4 + 2r2 + 2Marco Alfaro C. 9112. Hallar las siguientes integrales.(a) lnr dr (g) 10arcsenr dr (m) lnrr3dr(b) r2cxdr (h)

10ln

1 +r2

dr (n) rcos 3r dr(c) arctanr dr (i) cxcos 2r dr () rcx dr(d) r2cos r dr (j) rarctanr dr (o) rcx(r + 1)2 dr(e) arcsenr dr (k) lnr

r dr (p)

r2c3xdr(f) rsenr dr (l) rcos 3r dr (q) r22r + 5

cxdr13. Hallar las siguientes integrales.(a) 10drr2 + 4r + 5(f) r33

r2 + 1 dr (k) 2r 3(r 1)2 dr(b) ln2r dr (g) drr

r + 2(l) r + 4rdr(c) cxsenr dr (h) dr3

r +4

r(m) r42r2+ 4r + 1r3r2r + 1dr(d) 120arccos r dr (i) c2xc2x + 3cx + 2 dr (n) 2r2r + 4r3 + 4rdr(e) 1r

r + 1 dr (j)

1 r + 2r2r3r(r2 + 1)2dr () drr3 + 1Marco Alfaro C. 9214. Calcule las siguientes integrales, mediante una sustitucin trigonomtrica.(a) 1r2

r29 dr (h) 1 4r2 dr () dt

t26t + 13(b) r3

9 r2 dr (i) 9r24rdr (o)

r2

1 r2 dr(c) r3

r2 + 9 dr (j) 30dr

9 +r2(p) r3

2 r2 dr(d) 2p30r3

16 r2 dr (k)230r3

4 9r2 dr (q) r2a2rdr(e) 2p21t3

t21dt (l) 2r r2 dr (r) r2 + 1rdr(f) 1r2

25 r2 dr (m) 1

9r2 + 6r 8 dr (s) drr2

4 r2(g) 20r3

r2 + 4 dr (n) dr(r2 + 2r + 2)2(t) 1 r2 dr15. Demuestre que

dr

r2 +a2 = ln

r +

r2 +a2

+C.3.13 Respuestas2. (a) 1 (r) =5x36 x2 23. (b) 1 (r) =x412+ 6r + 3. (c) 1 (r) = r5 5r2+ 5.(d) 1 (r) = x36 + 4x5215 + 5x6 415 . 3. (a) x33 r2+3r+C. (b) 13x3 + 4x343+C. (c) 572

7 4r365+C.(d) 5x + 310r103 47r72+C. (e) 27 (1 +r)7245 (1 +r)52+23 (1 +r)32+C. (f) 25 (3 r)522 (3 r)32+C.(g)203

1 +r3 + C. (h)2x2m+124m+1 4xm+n+122m+2n+1 +2x2n+124n+1+ C. (i)16 (2r 1)32+12 (2r 1)12+ C.(j)12(x2+2x3) + C. (k)12

2t2 + 1 + C. (l) r28r + 1 + C. 4. (a) n =x33 r2 4r + 6.(b) n =14p1+x2 14p2. (c) n =x33+3x22+ 2r. 5. (a) 6. (b) 10. (c)103 . (d)92. (e)14.(f) 83. (g) 52. (h)415. (i) 223 . (j) 125

3. (k)112. (l) 796 . 6. (a) = 92. (b) = 716 . (c) = 176 .(d) =3712. (e) =1256 . (f) =176 . (g) =716 . (h) = 36. (i) =85. (j) = 9. (k) = 8.7. (a) ln

2r2+r + 1

+ C. (b)12 ln

ar2+ 2/r +c

+ C. (c)114 ln

r + 32

32r + C. (d) 2.(e) 148 20 + 10 ln p5+5p37+5. (f) ln[r + 1[ +1x+1 + C. (g)112. (h) r + ln

r + 12

+ C.(i) ln(lnlnr) + C. (j) 6 + 24 ln 45. (k)13 ln

r33r2+ 1

+ C. (l) r + 4 ln(r 3) + C.(m)12 ln

2r +r2+ 3

+ C. (n)13 ln

ln 512e44

.() r +12r2+ 2 ln(r 1) + C.(o) 4 lnr +2 ln2r + 13 ln3r +C. (p) 2 ln[

r + 1[ +C. (q) 4 4 ln 2. 8. (a) 10(r) = cos

r2

.Marco Alfaro C. 93(b)10(r) = 2r

1 +r6. (c)10(r) = 3r2

r3+ senr3

. (d) 10(r) =25x2+36x41(4x2+1)(9x2+1).(e) 10(r) = tan(1x)x2. (f) 10(r) =cospx2x. (g) 10(r) =81x381x227x39x26x+2. (h) 3r72 senr3 senpx2 4px .9. (a)(x+2)(5x2+19x+20)(x+1)4(x+3)5. (b)rpx12 1 + ln x2

. (c)3x2+53(x2+1)3

x2x2+1. (d) 1 + 1x

x

ln

1 + 1x

11+x

.(e)5x2+x243(x1)12 (x+2)53 (x+3)52 . (f)x24x+22

x(x1)(x2)3.10. (a) ln[r 3[ln[r 2[+C. (b) 6 lnrln[r + 1[9x+1+C. (c) ln[r 2[12 ln

r2+ 2r + 2

+C.(d) 4 ln

r2+ 2

+32x2+4+ C. (e) 2 ln[r + 1[ 12 ln

r22r + 3

+ C.(f) 14 ln[r 1[14 ln[r + 1[12x+2+C. (g) 14 ln[r 1[14 ln[r + 1[12x+2+C. (h) 12 arctan

sen x12

+C.(i) r + 3 ln[r 1[ 3x1 + C.(j) ln

r2+ 2r + 1

1x+1 + C. (k)r + ln[r[ 12 ln

r2+ 1

+ C.(l) 2r + 12r2+ ln[r + 3[ + C. (m)12r2 3r + 2 ln

3x+23

+ C. (n) ln[r[ ln[r 1[ 1x1 + C.() x+32(x2+4x+5) 12 arctan(r + 2) +C.11. (a)

2. (b) ln

r2+ 6r + 13

3 arctan

x+32

+C. (c)

r(r 4) +C.(d) 4 ln

r2+ 2

+32x2+4+C. (e) ln

r2+ 2r + 2

7 arctan(r + 1)+C. (f) 8. (g) 12 arcsec jx1j2+C.(h)3232 . (i)

p318 . (j) 3r 7 arctan

x2

+ C. (k) arcsec cx+ C. (l) 2 arcsen

x2

4 r2 + C.(m)12 arctancx+ 12 ln[cx1[ 14 ln

c2x+ 1

. (n)12 arctan(r 2) +C. ()12 arctan

r2+ 1

.12. (a) rln[r[ r + C. (b) 2cx 2rcx+ r2cx+ C. (c)rarctanr 12 ln

r2+ 1

+ C.(d) 2rcos r 2 senr + r2senr + C.(e) rarcsenr + 1 r2 + C.(f) senr rcos r + C.(g) 21. (h) 2 +ln 22. (i) 15cxcos 2r+ 25cxsen2r+C. (j) 12 arctanr12r14+ 12r2arctanr+C.(k)1px (2rln[r[ 4r) +C. (l)19 cos 3r+13rsen3r+C. (m) 14x2 12x2 ln[r[ +C.(n)19 cos 3r + 13rsen3r +C. () cxrcx+C. (0)exx+1 +C. (p)227c3x29rc3x+ 13r2c3x+C.(q)5cxr2cx+C.13. (a)arctan3arctan2. (b) r

ln2[r[ 2 ln[r[ + 2

+C. (c) ex2 senrex2 cos r+C. (d) 1612

3+1.(e) ln[r[ln[r + 2[+C.(f)

r2+ 123 310r2920

+C. (g) 13 ln

r + 2 2

13 ln

r + 2 + 1

+C.(h) 6r24 12r12 4r36+ 3r48125 r60+ 2r72127 r84+32r96+ 12 ln

r12+ 1

+ C.(i) cx+ ln(cx+ 1) 4 ln (cx+ 2) + C. (j) ln[r[ arctanr 12 ln

r2+ 1

12x2+2 + C.(k) 2 ln[r 1[ +1x1+C. (l) 2

r + 4 +2 ln

r + 4 2

2 ln

r + 4 + 2

+C.(m) r +12r2+ ln[r 1[ ln[r + 1[ 2x1 + C. (n) ln[r[ +12 ln

r2+ 4

12 arctan

x2

+ C.()16 ln

(x+1)2x2x+1

+1p3 arctan

2x1p3

+C.14. (a)19x

r29 + C. (b)65r2

9 r2 545

9 r2 +15r2

9 r2 95r2

9 r2+C.(c) 13r2

r2 + 96

r2 + 9+C. (d) 403 . (e)124+ 18

314. (f) 125x

25 r2+C. (g) 6415

2+ 6415.(h)14 arcsen(2r) + x2

1 4r2 +C. (i)

9r24 2 arcsec

3x2

+C. (j) ln

2 + 1

+C. (k)641215.(l) tanr+13 tan3r+C. (m)13 ln

3r + 1 +

9r2 + 6r 8

+C. (n) 12

arctan(r + 1) +x+1x2+2x+2

+C.() ln

12t +

14t2 32t + 134 32

+ C. (o) x2

1 r2+12 arcsenr + C.(p) x23

2 r243

2 r2 +C.(q)

r2a2arcsen ax +C. (r)

r2 + 1 ln

1 +

r2 + 1r

+C.(s) p4x24x+C.(t)x2

1 r2 + 12 arcsenr +C.Bibliografa[1] Apstol, T. M.: Calculus, Vol I. Segunda edicin, Editorial Revert, Barcelona (1984)[2] Curtis, P.: Clculo con una introduccin a vectores. Primera edicin, Editorial Limusa, Mxico(1979).[3] Demidovich, B.: Problemas y Ejercicios de Anlisis Matemtico. Editorial Paraninfo, Madrid(1985).[4] Larson, R. et al: Clculo con geometra analtica. Mc Graw-Hill. Mxico, D.F. (2006).[5] Leithold, L.: El Clculo con geometra analtica. Segunda edicin, Harper & Row Latinoame-ricana, Mxico, D.F. (1973).[6] Piskunov, N.: Clculo diferencial e integral, Tomo I. Ediciones Quinto Sol, Mxico, D.F.(1979).[7] Pita, C.: Clculo de una variable con aplicaciones. Primera edicin, Prentice Hall Hispanoame-ricana, Mxico, D.F. (1998).[8] Stewart, J.: Clculo de una variable. Cuarta edicin, Thomson Learning, Bogot (2003).[9] Takeuchi, Y.: Clculo diferencial e integral. Primera edicin, Editorial Limusa, Mxico, D.F.(1979).[10] Wisniewski, P. & Lpez, I.: Clculo diferencial de una variable con aplicaciones. Primeraedicin, Thomson Editores, S. A. Mxico, D.F. (2006).94