¿Cómo resolver problemas sobre trabajo y presión de líquidos con la ayuda de la calculadora Casio fx – 9860G?Cálculo II – Práctica 6 Prof. Robinson Arcos

OBJETIVOS:

Al culminar esta práctica el usuario estará en capacidad de plantear y resolver mediante Integrales definidas problemas sobre trabajo mecánico y presión de líquidos con la ayuda de la calculadora CASIO fx – 9860G.

RESUMEN:

El concepto de fuerza se puede considerar como la entidad física que describe la acción de empujar o arrastrar un objeto. Por ejemplo, para empujar o arrastrar muebles sobre un piso, para levantar un objeto o para mover una partícula cargada eléctricamente a través de un campo electromagnético, se requiere aplicar una fuerza sobre el objeto o partícula.

Si un objeto o partícula tiene masa m su peso viene dado por G = mg (fuerza de gravedad, g módulo de la aceleración de gravedad) entonces la fuerza que se requiere como mínimo para levantarlo (o sostenerlo en el aire) es igual a G (en kilogramos fuerza, etc.).

El concepto de trabajo mecánico en física se origina cuando se traslada una partícula a lo largo de una trayectoria de un punto A hacia otro punto B a través de un campo de fuerzas. La siguiente definición se aplica en el caso más simple en que el objeto se desplaza a lo largo de una línea recta en la misma dirección que la fuerza:

Si una fuerza constante F se aplica a un objeto y lo desplaza una distancia d en el mismo sentido de la fuerza, entonces el trabajo mecánico W realizado sobre el objeto es .

En física la presión p a una profundidad h en un fluido (líquido o gas) se define como el peso del fluido contenido en una columna de altura h cuya sección transversal tiene un área de una unidad cuadrada. La presión puede considerarse como la fuerza ejercida por el fluido por unidad de área.

Si el peso específico (peso por unidad de volumen) de un fluido se denota por , entonces la presión p a una profundidad h es .

CONOCIMIENTOS PREVIOS:

El estudiante debe estar familiarizado con las siguientes unidades físicas y propiedades: En física suelen emplearse dos unidades para la fuerza, una del sistema CGS (centímetro-gramo-

segundo) y otra del MKS (metro-kilogramo-segundo). En el primero se define la dina (din) como la fuerza que aplicada a una masa de 1 g (gramo) le produce una aceleración de . Si F se expresa en dinas y d en centímetros, entonces la unidad de trabajo es la dina-centímetro ( ) o ergio. En el sistema MKS se define el newton (N) como la magnitud de la fuerza que se requiere para impartir una aceleración de a una masa de .

Un kilogramo fuerza (kgf) es la fuerza con que la gravedad atrae a una masa de . Como la gravedad produce una aceleración (en la localidad normal) de aproximadamente a todos los cuerpos, resulta que es igual a . Si F se expresa en newtons y d en metros, entonces la unidad de trabajo es el newton-metro ( ) o joule (J). Se puede determinar que .

Si F se expresa en kilogramos fuerza y d en metros, entonces la unidad de trabajo es el kilográmetro ( ), equivalente a .

El sistema MKS se llama ahora universalmente Sistema Internacional de Unidades (SI). En el sistema inglés, cuando la fuerza F se mide en libras (fuerza) (lb) y la distancia en pies, la

unidad de trabajo es la libra-pie ( ). Se tiene la siguiente equivalencia .105

Si F se expresa en libras y d en pulgadas, entonces la unidad de trabajo es la libra-pulgada ().

El módulo de la aceleración de gravedad es . El peso específico es el producto de la densidad (masa por unidad de volumen) y la

aceleración de gravedad g; es decir, . En hidrostática interviene y no . La unidad SI para medir la presión en newtons por cada metro cuadrado es el pascal (

). Como es una unidad pequeña a menudo se usa el kilopascal ( ).

Propiedades Fundamentales del Trabajo Mecánico. Designemos con , el trabajo realizado por una fuerza f al mover una partícula desde a hasta b. Tal trabajo tiene las siguientes propiedades:

Propiedad aditiva: Si , entonces .

Propiedad monótona: si en , entonces . Esto es, una fuerza mayor realiza un trabajo mayor.

Fórmula elemental: Si f es constante; es decir, para cada x en el intervalo abierto , entonces .

INTRODUCCIÓN:

En esta práctica trataremos el cálculo del trabajo donde la fuerza y el desplazamiento tienen la misma dirección. Más aun, trataremos problemas donde la fuerza es variable.

Veamos primeramente ejemplos donde la fuerza que se aplica es constante:

1. Situación problemática:a) Calcule el trabajo realizado al empujar un

automóvil sobre una carretera horizontal desde un punto A hasta un punto B a 10 metros de A, con una fuerza constante de 50 kgf.

b) Calcule aproximadamente el trabajo realizado para al elevar verticalmente un objeto de 20 kg de masa a una altura de 8 m.

Figura 1

Solución a la situación problemática planteada en a):Como la fuerza es constante F = 50 kgf y la distancia que el automóvil recorre es d = 10 m, de acuerdo con la

definición anterior, el trabajo realizado es:

.

Solución a la situación problemática planteada en b):La fuerza requerida F está dada por la segunda ley de Newton en la versión , donde m es la masa y a

es la aceleración del objeto. Si la masa m se mide en kilogramos y la aceleración a se mide en , entonces F resulta expresada en newtons. En este ejemplo, a es la aceleración de gravedad g, que en el sistema MKS (o SI), es aproximadamente . Entonces,

.

Por la definición anterior y en este sistema de unidades:

.

¿Cómo calcular el trabajo realizado por una fuerza variable?

106

Cualquiera que haya empujado un vehículo o algún otro objeto sabe que la fuerza aplicada normalmente varía de un punto a otro. Si el vehículo está detenido, hay que aplicarle una fuerza mayor para que empiece a moverse que para mantenerlo en movimiento. La fuerza también puede variar debido a la fricción que podamos encontrar en el movimiento, una parte del camino puede ser lisa y otra áspera o rugosa. Las fuerzas que no son constantes se denominan fuerzas variables. Otro ejemplo es la fuerza necesaria para impulsar un cohete que quema combustible durante el vuelo. Puesto que su masa no es constante, tampoco lo es la fuerza ejercida por la gravedad sobre el cohete.

Supongamos que estamos aplicando una fuerza variable a un cuerpo mientras el mismo recorre una determinada distancia en el mismo sentido de la fuerza, entonces para calcular el trabajo se requiere aplicar métodos de cálculo.

En esta práctica supondremos que el movimiento del objeto se realiza a lo largo de una recta L (movimiento unidimensional). Supongamos que la recta L está dotada de un sistema coordenado (eje OX) y que el objeto se mueve, por la acción de una fuerza, desde un punto A con coordenada a hasta un punto B con coordenada b, donde a < b.

Figura 2

Para calcular el trabajo realizado es necesario conocer la fuerza en cualquier punto P con coordenada x (). Esta fuerza la denotaremos por y supondremos que f es continua en . Consideremos en la

coordenada x un “desplazamiento muy pequeño” de magnitud dx > 0, entonces como f es continua, los valores de f variarán muy poco el intervalo . De manera que f es prácticamente constante en y el trabajo realizado por la fuerza en este intervalo viene dado por . Dado que el trabajo es aditivo, al sumar todos estos trabajos desde hasta por medio de una integral, se obtiene el trabajo total realizado por f al trasladar el objeto desde el punto A hasta el punto B; esto es,

.

En consecuencia tenemos la siguiente definición: Si f(x) es la fuerza en el punto de coordenada x sobre una recta coordenada L, donde f es continua en

, el trabajo total realizado por f, al mover un objeto del punto con coordenada a al punto con coordenada b, es:

.

Esta nueva definición puede ayudarnos a calcular el trabajo realizado al estirar o comprimir un resorte. Probablemente se ha observado que cuanto más se comprime un resorte (o se estire), desde su posición de reposo natural, más fuerza se requiere para comprimirlo (o estirarlo).

Según la ley de Hooke, la fuerza para mantener en una posición dada el resorte es proporcional a la distancia que recorre al comprimirlo (o estirarlo).

La fuerza f(x) que se requiere para estirar (o comprimir) un resorte x unidades a partir de su longitud natural es , donde k es una constante llamada constante del resorte.

Figura 3

107

2. Situación problemática:Para estirar un resorte de su longitud natural de 8 cm a una de

10 cm se requiere de una fuerza de 6 dinas. Encuentre el trabajo realizado al estirar el resorte:

a) De su longitud natural a una de 15 cm.b) De una longitud de 11 cm a una de 17 cm.Solución a la situación problemática planteada en a):Comenzamos por introducir un eje OX como se muestra en la

Figura 3, con uno de los extremos del resorte sujeto a un apoyo a la izquierda del origen, y el extremo movible colocado en el origen.

De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza f(x) que se requiere para estirar el resorte x unidades a partir de su longitud natural es

para alguna constante k. Figura 4

Dado que la longitud natural del resorte es de 8 cm y al estirarlo a una longitud de 10 cm se requiere una fuerza de 6 din, tenemos un estiramiento efectivo de longitud x = 2 cm. Obtenemos de el valor de la constante del resorte es entonces: .

Por lo tanto, la fuerza variable viene dada por y el trabajo realizado al estirar el resorte desde su longitud natural a una de 15 cm es:

.

Solución a la situación problemática planteada en b):En este caso el trabajo realizado para estirar el resorte de una longitud de 11 cm a una de 17 cm es:

.

3. Comentario.

Al estirar un resorte se le transfiere energía potencial elástica. Al liberar el resorte, éste recupera la posición de reposo y convierte la energía potencial elástica en energía cinética. Del problema precedente se observa que al estirar el resorte x unidades a partir de su longitud natural la energía potencial elástica almacenada es:

.

4. Situación problemática:

Una partícula se mueve a lo largo del eje OX mediante una fuerza impulsora dada por newtons:

a) Determine las constantes a y b si se sabe que se precisan 900 joules de trabajo para desplazar la partícula 10 m a partir del origen y que la fuerza es de 65 newtons cuando m.

b) Si la partícula se encuentra en la posición m, ¿hasta que posición aproximadamente puede ser desplazada si la fuerza puede realizar un trabajo de 1500 joules?

Solución a la situación problemática planteada en a):

108

Dado que , tenemos que .

Esto nos conduce a la ecuación:

(1)

Por otra parte, . De modo que obtenemos la segunda ecuación:

(2)

Para determinar a y b debemos resolver el sistema lineal:

Al resolver el sistema se obtiene: y .Veamos cómo se resuelve el sistema con la calculadora fx-9860G.

5. Observaciones: Antes de continuar, es importante señalar que el usuario debe realizar las actividades propuestas siguiendo cuidadosamente cada instrucción.

Para distinguir en esta práctica las instrucciones y actividades de la mera transmisión de información, estás

se destacarán con los iconos , , o una barra gris en el margen izquierdo de la página. El primer icono o la barra gris dispuesta a lo largo de una secuencia de instrucciones numeradas, anunciará al usuario que se abre una sección donde únicamente podrá hacer uso de la calculadora para ejecutar las instrucciones que se indican. El segundo icono le anunciará que se está planteando una situación problemática que será resuelta o que está propuesta para que la desarrolle. El último le anunciará que debe reportar por escrito la respuesta a la situación problemática formulada.

El menú ECUA dispone de comandos para resolver sistemas lineales (menú [SIML]), ecuaciones de segundo y tercer grado (menú [POLY]) y el menú [SOLV] para resolver otros tipos de ecuaciones.

6. Operación con la calculadora:

1. Presione para encender la calculadora.

2. Presione . Seleccione el menú [EQUA] y presione .

3. De ser necesario presione tantas veces hasta obtener el cuadro de diálogo mostrado en la Figura 5.

4. Presione para seleccionar el menú de los sistemas de ecuaciones lineales [SIML].

5. Presione nuevamente para indicar el número de incógnitas del sistema a resolver (en este caso es 2).

6. En el cuadro de diálogo presione para limpiar la matriz mostrada.

7. Presione para registrar el

Figura 5

Figura 6

109

primer coeficiente de la primera ecuación.

8. Presione para registrar el segundo coeficiente de la primera ecuación.

9. Presione para registrar el término del segundo miembro de la primera ecuación.

10. De manera análoga registre los coeficientes de la segunda ecuación (Figura 7).

11. Para obtener el conjunto solución del sistema presione . Esto activa el comando [SOLV].

Se obtiene una matriz columna que nos indica en nuestro caso que los valores de las incógnitas a y b son: (1ra. fila) y (2da. fila).

En consecuencia la fuerza viene dada por newtons.

Figura 7

Figura 8

Solución a la situación problemática planteada en b):De acuerdo a lo planteado, debemos encontrar x de manera que . Esto es,

.

La ecuación es equivalente a . Resolvamos esta ecuación en el menú [EQUA]:

12. Presione varias veces hasta obtener el cuadro de diálogo principal mostrado en la Figura 5.

13. Presione para seleccionar el menú [POLY]. Presione

nuevamente para indicar el grado de la ecuación (en nuestro caso es 3).

14. Presione para registrar el coeficiente de .

15. Presione para registrar el coeficiente de .

16. Presione para registrar el coeficiente de .

17. Presione para registrar el término independiente.

18. Presione para activar el comando [SOLV]. Se obtiene m.

Figura 9

Figura 10

La partícula puede ser impulsada desde m hasta m, si la fuerza puede realizar un trabajo de 1500 joules.

7. Observaciones: El menú [RUN-MAT] dispone del comando [Solve] para resolver numéricamente ecuaciones del tipo para una función f bajo determinadas condiciones.

El comando [Solve] está disponible en el menú [CALC] del menú de opciones [OPTN]. La sintaxis del comando es la siguiente: Solve(f(x), n, a, b)

Donde, : es la función (primer miembro de la ecuación ).

: es una aproximación inicial.

110

: Límite inferior de la gama de soluciones.

: Límite superior de la gama de soluciones.

OBS: Los límites a y b pueden ignorarse en determinados casos.

Veamos cómo se resuelve la ecuación usando el comando [Solve]:

Aquí la función es . Tomaremos como aproximación inicial el valor que representa la posición inicial de la partícula.

19. Presione . Seleccione el menú [RUN-MAT] y presione

.20. Configure el menú [Run-Mat] en el modo [Math].21. Borre la pantalla.

22. Presione para activar el menú de opciones.

23. Presione para activar el comando [Solve].24. Edite seguidamente la función .

25. Presione para introducir la aproximación .

26. Presione para resolver la ecuación. Se obtiene m.

Figura 11

Figura 12

8. Situación problemática:

Suponga que los valores de la Tabla 1 se obtuvieron experimentalmente para la fuerza f(x) que actúa sobre un punto con coordenada x en un eje OX. Use la regla de Simpson para calcular aproximadamente el trabajo (en joules) realizado a lo largo del intervalo .

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

7.4 8.1 8.4 7.8 6.3 7.1 5.9 6.8 7.0 8.0 9.2

Tabla 1

Solución a la situación problemática planteada:

Utilicemos el menú estadístico [STAT] para calcular, por la regla de Simpson, .

Recordemos como se realiza este cálculo:

9. Operación con la calculadora:

27. Presione .

28. Seleccione para acceder al menú estadístico [STAT].

29. Presione .30. Aparecen un arreglo rectangular en filas y columnas. Las filas están

numeradas desde 1 hasta 999 y las columnas está identificadas como List 1, List 2, hasta List 26.

Figura 13

31. Para borrar el contenido de una columna (lista) utilice la tecla direccional elíptica para desplazar el cursor

111

en cualquier fila de la lista y presione las teclas .

32. Borre todas las listas presionando . Al terminar su calculadora debe mostrar la pantalla de la Figura 13.

En la lista 1 ingresaremos los datos de la Tabla 1 que se reproduce a continuación:

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

7.4 8.1 8.4 7.8 6.3 7.1 5.9 6.8 7.0 8.0 9.2

33. Con el cursor el la primera fila de la lista List1 (ver Figura 13) presione

. Con esto queda editado el primer valor en la primera fila de List1 y el

cursor se ubica en la segunda fila de List1.

34. Presione .35. Edite de la misma manera cada uno de los 9 datos restantes. Si se

equivoca ubique el cursor en el dato erróneo y sobrescriba el nuevo dato.36. Desplace el cursor a la fila 12 de List2.

Este se ubicará en la primera fila de List2.

En List2 editaremos los coeficientes : .

37. Edite en List2 los 11 coeficientes .

Calcularemos ahora los productos .

38. Desplace el cursor a la fila 12 de List3.

39. Presione para ubicar el cursor sobre nombre de lista List3 (vea la Figura 15).

40. Presione

.

Aparecerán actualizados en List3 los productos para .

41. Para calcular SIMP(10) presione , seleccione el menú [RUN-

MAT] y presione .42. Borre la pantalla.

Comencemos asignando valores a las variables A, B, N y D:

43. Presione .

44. Presione .

45. Presione .

46. Presione la secuencia de teclas para calcular y asignar el valor a la variable D:

Figura 14

Figura 15

Figura 16

Figura 17

Figura 18

112

. Calcularemos el valor aproximado de la integral:

47. Presione la siguiente secuencia de teclas:

.

48. Presione .

Se obtiene que .

49. Presione . Se obtiene un trabajo total aproximado de

.

Figura 19

Figura 20

10. Resuelva cada una de las siguientes situaciones problemáticas:

1. Suponga que los valores de la Tabla 2 se obtuvieron experimentalmente para la fuerza f(x) que actúa sobre un punto con coordenada x en un eje OX. Use la regla de Simpson para calcular aproximadamente el trabajo (en joules) realizado a lo largo del intervalo .

1 2 3 4 5 6 7 8 9

125 120 130 146 165 157 150 143 140

Tabla 2

2. Un pozo tiene 30 m de profundidad. Un cubo que pesa 1,5 kgf tiene un volumen de 60 litros. El cubo se llena de agua en el fondo del pozo, y se levanta hasta arriba con una velocidad constante de 2 metros por segundo. Despreciando el peso de la cuerda, encuentre el trabajo realizado al levantar el cubo, si se sabe que el agua sale del cubo a razón constante de 0,3 litros por segundo.

3. Un elevador de carga (montacargas) que tiene una masa de 1500 kg está sostenido por un cable de 4 m de largo y una masa de 7 kg por metro lineal. Calcule aproximadamente el trabajo que se requiere para hacer subir el ascensor 3 m.

4. Para estirar un resorte desde una longitud de 6 cm hasta una de 7 cm se requiere un trabajo de 60 ergios, y para deformarlo de 7 a 8 cm se requieren de 120 ergios. Calcule la constante del resorte y su longitud natural.

5. Una cadena de 20 pies, que pesa 5 lb/pie, yace en el suelo. ¿Cuánto trabajo se precisa para elevar uno de sus extremos hasta 20 pies de altura de manera que quede toda extendida?

6. Una cadena de 15 pies de largo y que pesa 3 lb/pie está suspendida verticalmente desde 15 pies de altura. ¿Cuánto trabajo hace falta para elevar toda la cadena hasta 15 pies de altura?

7. La fuerza (en dinas) con la que dos electrones se repelen, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (en cm) que los separa. Calcule el trabajo realizado al mover un electrón a lo largo del:

a) Eje OX desde el origen hasta el punto (3,0) mientras otro se mantiene fijo en el punto (5,0).b) Eje OX desde el origen hasta el punto (3,0) mientras otros dos electrones se mantienen

113

fijos uno en el punto (- 5,0) y el otro en el punto (5,0).c) Eje OY desde el punto (- 2,4) hasta el punto (1,4) mientras otro se mantiene fijo en el punto

(2,4).8. El peso de un cuerpo varía inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al

centro de la Tierra. El radio aproximado de la tierra es 4000 millas. Si un satélite pesa 15 toneladas en la superficie terrestre; entonces, despreciando la resistencia del aire, ¿cuánto trabajo exige elevarlo hasta una altura de 800 millas.

9. La fuerza de atracción entre dos masas cualesquiera es igual al producto de las masas dividido por el cuadrado de la distancia que las separa. Si una varilla homogénea de espesor uniforme tiene 1,2 m de longitud y una masa de 15 kg, determine la fuerza de atracción que ejerce sobre un punto material P de masa 1kg situado a distancia 0,2 m de un extremo de la varilla, en la dirección de ésta.

¿Cómo calcular el trabajo requerido para bombear un líquido por encima de la parte superior de un tanque?

Como hemos visto, el trabajo requerido para elevar un objeto de masa m kg a una altura de h m está definido por el producto . Para elevar un objeto de masa 50 kg hasta una altura de 10 m se requiere un trabajo de

.

Cuando todas las partes de un objeto son elevadas hasta una misma altura, el trabajo es simplemente el producto de estos tres números. Ahora queremos calcular el trabajo requerido para elevar un objeto a un mismo punto, cuyas partes diferentes se encuentran a alturas distintas. Tal es el caso de bombear un fluido líquido que yace en un depósito, hasta una altura determinada.

11. Resuelva la siguiente situación problemática:

Un depósito esta lleno de un fluido líquido de densidad volumétrica . El líquido es bombeado hacia afuera por encima del nivel del líquido. ¿Cuánto trabajo se requiere para vaciar completamente el depósito?

Solución a la situación problemática planteada:El tratamiento físico-matemático del problema es el

siguiente:Introduzcamos un eje vertical OY (generalmente con

la parte positiva por encima del origen (Figura 21)). Sean a y b los niveles que delimitan el líquido en el depósito con a < b y k el nivel (por encima del nivel del líquido) por donde debe descargarse el fluido bombeado.

Consideremos un nivel y con y el plano perpendicular al eje OY que pasa por y, entonces este plano define una sección transversal del líquido en el depósito de área . Sea dy un “número positivo muy pequeño” que representará el espesor de la sección transversal en el nivel y.

Con esto hemos construido, en el nivel y, una sección de líquido que se encuentra aproximadamente a la misma altura y cuyo volumen es . Figura 21

Como la masa de la sección es , el trabajo necesario para elevarla desde el nivel y hasta el nivel k,

114

donde se encuentra el punto de descarga, viene dado por (ver Figura 21):

Integrando estos elementos diferenciales desde el nivel hasta el nivel (niveles entre los que se encuentra el líquido), obtenemos el trabajo total de bombear todo el líquido hasta el nivel de descarga :

12. Observaciones: El producto es el peso específico del líquido.

En el caso particular donde las paredes del depósito o tanque tienen la forma de una superficie de revolución generada al girar una curva de ecuación alrededor del eje OY, el área de la sección transversal del líquido en el tanque viene dada por .

13. Situación problemática:El tanque de la Figura 22 tiene 8 pies de altura y 2 pies de radio en su parte superior. Si se llena de hasta

una altura de 6 pies con un aceite que tiene un peso específico de , encuentre el trabajo requerido para bombear todo ese aceite por el borde superior del tanque.

Solución a la situación problemática planteada:Consideremos el aceite subdividido en

secciones de espesor dy, entonces el trabajo necesario para bombear cada sección es:

.

Integrando desde el nivel hasta el nivel , obtenemos el trabajo total para bombear

todo el aceite por la parte superior del tanque.

.

Figura 22

14. Situación problemática:Un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido está lleno de un determinado líquido.

Dos hombres deben bombear el líquido hasta arriba del tanque, haciendo cada uno la mitad del trabajo mecánico. Sea z la razón entre la profundidad del líquido que queda en el tanque cuando el primer hombre ha terminado su trabajo y la profundidad inicial.

a) Demuestre que z se determina por la ecuación .

b) Calcule el valor de z con dos decimales.

115

Solución a la situación problemática planteada en a):Sea H la altura del tanque y R el radio de la parte

superior. El tanque se genera haciendo girar la curva de

ecuación para (Figura 23). Sea el peso

específico del líquido. El elemento diferencial de trabajo viene dado por:

.

Integrando estos diferenciales en el intervalo se tiene el trabajo total para bombear todo el líquido por la parte superior del tanque.

. Figura 23

Sea h la profundidad del líquido que queda en el tanque cuando se ha efectuado la mitad del trabajo total, entonces la cantidad de trabajo que queda por realizar es:

, haciendo tenemos:

Solución a la situación problemática planteada en b):Utilicemos el comando [Solve] para resolver la ecuación en la variable x:

15. Operación con la calculadora:

50. En el menú [RUN_MAT] borre la pantalla.

51. Presione para activar el menú de opciones.

52. Presione para activar el comando [Solve].53. Edite seguidamente la función .

Dado que la función es positiva para y negativa para , tomemos como aproximación inicial .

54. Presione para introducir la aproximación .

55. Presione para resolver la ecuación. Se obtiene .

Figura 24

Figura 25

Con esto tenemos que la razón entre la profundidad del líquido que queda en el tanque cuando el primer

hombre ha terminado su trabajo y la profundidad inicial, es igual . De modo que , esto

116

significa que cuando el primer hombre termina su parte del trabajo, aún queda por bombear líquido cuya profundidad representa el 61% de la profundidad inicial.

Muestre que sin embargo, falta por bombear aproximadamente un 23% del total del líquido.

¿Qué relación existe entre el trabajo realizado para vaciar completamente un tanque cilíndrico acostado y el centroide de su base?

16. Situación problemática:Consideremos un tanque cilíndrico acostado cuya base es una región R del plano (no necesariamente

circular). La longitud del cilindro es h y se encuentra completamente lleno con un líquido de peso específico . Demuestre que el trabajo requerido para bombear todo el fluido hasta una altura por encima del nivel

superior del líquido, es igual al peso del líquido en el tanque multiplicado por la distancia vertical entre el punto de descarga y el centroide de R.

Solución a la situación problemática planteada:De acuerdo con la Figura 26, tenemos que el

elemento diferencial de trabajo es:

Donde h es la longitud del cilindro y L(y) es la longitud de la sección transversal de la región R en el nivel y, Luego, el trabajo total requerido para vaciar completamente el tanque por el punto de descarga es:

Figura 26

Donde G representa el peso total del líquido en el tanque y es la distancia vertical entre el nivel del punto de descarga y el centroide de la base R del tanque.

17. Observación: El líquido en el tanque es una masa homogénea que adopta la forma del tanque cilíndrico que lo

contiene, la posición vertical de su centro de masa (centroide en este caso) es en realidad , la misma posición vertical del centroide de R. Si consideramos el peso total G del líquido concentrado en su centroide y la distancia vertical del centroide hasta el nivel del punto de descarga, tendremos que el trabajo requerido para trasladar esta partícula hasta el punto de descarga es:

.

18. Situación problemática:El tanque mostrado en la Figura 27 se encuentre completamente lleno de agua. Si el peso específico del

agua es y la base del tanque es un triángulo equilátero, encuentre el trabajo requerido para bombear toda el agua por la espiga que se encuentra en la parte superior.

117

Solución a la situación problemática planteada:Como la región R es un triángulo equilátero de lado

, se puede deducir que su altura es . Por

otra parte, se sabe que el centroide de cualquier triángulo se aloja a una distancia del lado igual a un tercio de la altura.

Para el tanque dado, el centroide de R estará a

de su fondo. La distancia vertical entre el centroide y el nivel del punto de descarga será . Figura 27

El volumen del tanque es igual al producto del área de la región R por la longitud del cilindro: .

El área de R viene dada por y el volumen por . Por lo tanto, el peso

total del líquido en el tanque es .

El trabajo que se requiere para bombear toda el agua del tanque por el punto de descarga será:

.

19. Resuelva cada una de las siguientes situaciones problemáticas:1. Para cada uno de los tanques mostrados en la Figuras 28 y 29, encuentre el trabajo

requerido para vaciar cada uno si ambos están llenos de agua.

La base de la pirámide es cuadrada y el punto de descarga se encuentra a dos metros de esta base.

Figura 28

El tanque consiste de un cilindro circular recto coronado por una semiesfera con el punto de descarga en la parte superior.

Figura 29

2. En las siguientes situaciones problemáticas encuentre el trabajo requerido para bombear el agua de cada uno de los tanques de las figuras 30, 31, 32 y 33, si inicialmente se encuentran llenos de agua:

118

Figura 30 Figura 31

Figura 32 Figura 33

3. Un depósito lleno agua tiene la forma de un sólido generado al hacer girar alrededor del eje OY la región limitada por la gráfica de la función y el eje OY en el primer cuadrante. Para las funciones dadas a continuación, determine el trabajo requerido para bombear toda el agua contenida en el depósito hasta un nivel que se encuentra a 1 m de la parte superior del mismo. Considere todas las medidas en metros.

a) ; b) ; c) ;

4. Se requiere bombear por su borde toda el agua de una cisterna semiesférica de radio R. La bomba está accionada por dos hombres sucesivamente, y cada uno de ellos realiza la mitad del trabajo. ¿Cuál será la profundidad h del agua en el centro del tanque cuando el primer hombre ha terminado el trabajo que le corresponde?

5. Un tanque semiesférico de 6 m de diámetro está lleno de petróleo que pesa 800 kilogramos por metro cúbico. El petróleo se bombea, hasta un nivel 3 m más alto que el borde del tanque, mediante un motor de medio caballo de vapor (es decir, el motor realiza un trabajo de 2250

por minuto). ¿Cuánto tiempo se tardará en vaciar el tanque?6. Un tanque para agua tiene la forma de un hemisferio de 8 m de diámetro coronado por un

cilindro del mismo diámetro y de 3 m de altura. Encuentre el trabajo que se hace al vaciarlo con una bomba cuando está lleno hasta 1,5 m debajo del borde.

¿Cómo calcular la fuerza ejercida por un fluido sobre una pared?

Cuanto más profundamente se sumerge un objeto, mayor es la presión que sufre (entendiendo aquí presión como fuerza sobre cada unidad de área). Esta noción viene descrita por la fórmula explícita:

donde p representa la presión del fluido, h la altura bajo la superficie (profundidad) y el peso específico del fluido por unidad de volumen.

El peso específico del agua es , y por tanto a una profundidad de 20 pies, la presión sobre un buzo sumergido es:

.

Esta presión corresponde al peso de la columna de agua de 20 pies de altura que soporta sobre sí cada pie cuadrado de área del buzo.

Además de acuerdo con el principio de Pascal:

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La presión ejercida por un fluido a una determinada profundidad es igual en todas las direcciones.

En consecuencia la presión contra una compuerta de una represa, a cierta profundidad, es igual que la ejercida sobre un objeto sumergido a la misma profundidad.

Resulta sorprendente comprobar que la fórmula de la presión ejercida es independiente del recipiente. La presión queda determinada únicamente por la profundidad; cualquier otra dimensión del recinto que la contiene es irrelevante.

En esta práctica nuestro interés en la presión de fluidos se centrará en el cálculo de la fuerza total ejercida por un fluido sobre las paredes de su contenedor.

Para un contenedor de paredes verticales y fondo horizontal es fácil calcular la fuerza total sobre su fondo. La presión en dicho fondo es constante y la fuerza total es simplemente el producto de esa presión por el área del fondo.

En general, para una región plana sumergida horizontalmente, se tiene:Fuerza total sobre una región plana = (presión) (área de la región) = (peso específico)(profundidad)(área)

Esto es, .

Pero si se desea calcular la fuerza total sobre las paredes verticales del contenedor, el problema es más difícil, puesto que la presión no es constante en cada punto de las paredes, sino que aumenta con la profundidad.

20. Resuelva la siguiente situación problemática:

Considere una región plana R sumergida verticalmente en un fluido de peso específico , como se ve en la Figura 34. Determine fuerza total que actúa sobre esa región, desde la profundidad hasta .

Solución a la situación problemática planteada:Introduzcamos un eje vertical OY (generalmente con

la parte positiva por encima del origen (Figura 34)). Sean a y b los niveles que delimitan la región R con

.

Consideremos un nivel y con . Sea dy un “número positivo muy pequeño” que representará el espesor de la sección transversal de R en el nivel y. Entonces en este nivel tenemos un rectángulo de ancho dy y longitud L(y). La fuerza que actúa sobre este elemento diferencial es aproximadamente:

Como la fuerza es aditiva, al integrar estos elementos entre y obtenemos la fuerza total sobre la región vertical R:

.Figura 34

Por lo tanto tenemos el siguiente resultado físico-matemático:La fuerza F ejercida por un fluido de peso específico constante sobre una región plana R, sumergida

verticalmente entre y , viene dada por

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donde h denota la profundidad total del fluido y L(y) la longitud horizontal de la sección de R en y.

21. Resuelva la siguiente situación problemática:El fondo de una piscina es un plano inclinado. La piscina tiene 2 m de profundidad en un extremo y 10 m

en el otro. Si la misma mide 40 m de largo y 30 m de ancho, y sus paredes son verticales, ¿cuál es la fuerza hidrostática que actúa sobre una de las paredes laterales de 40 m?

Solución a la situación problemática planteada:Dispongamos los ejes del sistema coordenado OXY como se presenta en la Figura 35.

Figura 35

La ecuación que representa el fondo de la piscina es para . Cuando , x es constante e igual a 40. Luego el diferencial de fuerza sobre el elemento rectangular de longitud x viene dado por:

En consecuencia, la fuerza hidrostática sobre la pared es:

.

Como el peso específico del agua es , tenemos:

.

¿Cuál es la fuerza hidrostática que actúa sobre las demás paredes y el fondo de la piscina?

22. Situación problemática: La compuerta de una represa que tiene la forma de un segmento parabólico. Mide 120 pies de largo en

su parte superior y 40 pies en su parte más ancha. a) Calcule la fuerza hidrostática que actúa sobre la compuerta, si la superficie libre del agua

se encuentra a 25 pies de altura medida desde su parte más profunda.b) Encuentre el nivel para el cual la fuerza hidrostática en es igual a la fuerza

hidrostática en .

121

Figura 36

Solución a la situación problemática planteada en a):Dispongamos el sistema de ejes coordenados de modo que el eje OY sea el eje de simetría del segmento

parabólico y el origen se encuentre en el punto más bajo. Con esta disposición los puntos y

serán los extremos de la parte superior y la ecuación del fondo tomará la forma . El peso

específico del agua es .

Para un nivel y dado, el elemento diferencial (rectángulo) tendrá un ancho y el diferencial de fuerza viene dado por . Además y varía en el intervalo .

La fuerza hidrostática contra la compuerta es:

.

Calculemos la integral en el menú [RUN-MAT]:

23. Operación con la calculadora:

56. En el menú [RUN_MAT] borre la pantalla.57. Active la plantilla integral.

58. Edite la expresión .

59. Edite los límites de integración 0 y 25.

60. Presione .61. Multiplique este resultado por .

Se obtiene:

Figura 37

Solución a la situación problemática planteada en b):Debemos encontrar el nivel para el cual . Esto es equivalente a resolver la ecuación:

O bien,

Resolvamos la ecuación en el menú [RUN-MAT]:

122

62. En el menú [RUN_MAT] borre la pantalla.

63. Presione para activar el menú de opciones.

64. Presione para activar el comando [Solve].

65. Edite seguidamente la función .

Tomemos como aproximación inicial el nivel intermedio .

66. Presione para introducir la aproximación .

67. Presione para resolver la ecuación. Se obtiene .

Figura 38

Podríamos esperar que la fuerza hidrostática fuese mayor en la parte superior que en la parte inferior, pero recuerde que la fuerza aumenta proporcionalmente con la profundidad.

24. Resuelva cada una de las siguientes situaciones problemáticas:

1. Encuentre la fuerza hidrostática que actúa sobre un lateral vertical de un depósito, si dicho lateral tiene la forma de un:

a) Rectángulo de base 4 m y altura 3 m.b) Triángulo de base 4 m y altura 3 m.c) Trapecio isósceles de base inferior 2 m, base superior 4 m y altura 3 m.d) Semicírculo de 4 m de largo en su parte superior.e) Segmento parabólico de 4 m de largo en su parte superior y 4 m de altura en su parte más ancha.f) Segmento semielíptico de 4 m de largo en su parte superior y 3m de altura en su parte más ancha.

2. Un depósito cilíndrico de gasolina está colocado de modo que su eje esta dispuesto horizontalmente. Si el depósito está lleno hasta la mitad, encuentre la fuerza ejercida sobre uno de los laterales circulares, sabiendo que el diámetro es de 3 pies y la gasolina pesa

3. Calcule la fuerza total sobre cada una de las siguientes placas verticales que se indican, si las mismas están sumergidas en agua:

a) Un cuadrado cuya lado superior se encuentra a 2 m de profundidad.b) Un rombo de 2 m de lado cuyo vértice superior se encuentra a 1m profundidad.c) Un triángulo rectángulo de altura 9m y base 3m. Su vértice superior se encuentre a 3m de

profundidad.d) Un rectángulo de base 1 m y altura 5 m cuyo lado superior se encuentra a 1 m de profundidad.

4. Una lámina rectangular tiene una base de b metros y una altura de h metros. La lámina se encuentra sumergida verticalmente en un líquido de peso específico . El depósito que contiene al líquido tiene una profundidad de k metros ( ). Demuestre que la fuerza total ejercida sobre la lámina viene dada por:

Donde es la profundidad del centroide de la lámina.

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