Cálculo III - Carlos Alberto Abello Muñoz

7/18/2019 Cálculo III - Carlos Alberto Abello Muñoz

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CÁLCULO III INTEGRALES IMPROPIAS, SUCESIONES,SERIES Y OTROS

Carlos Alberto Abello Muñoz, Dumar Villa Zapata, Humberto Colorado

Facultad de EducaciónFacultad de Ciencias Básicas y Tecnológicas Universidad delQuindío

Armenia - Colombia

Magister Carlos Alberto Abello Muñoz Magister Dumar Villa ZapataMagister Humberto Colorado Torres

CALCULO IIIINTEGRALES IMPROPIAS, SUCESIONES, SERIES Y OTROS

No está permitido importar, v ender, dif undir, distribuir y exportar totalo parcialmente esta obra, ni su tratamiento o transmisión por cualquier método sin autorización escrita del editor. El contenido de lapresente obra es exclusiv o de los autores.

Derechos reservadosISBN: 978-958-8801-02-5 .200 ejemplares

ELIZCOM [email protected]

Celular:(57+) 3113349748 Fax: (57) (6) 7493244 Armenia, Quindío, Colombia Diciembre de 2012 Agradecimientos:

A la Facultad de Educación y Facultad de Ciencias Básicas yTecnológıcas, Univ ersidad del Quindío, Armenia - Quindío -Colombia.

Carlos Alberto Abello Muñoz Dumar Villa ZapataHumberto Colorado Torres

Armenia - Quindío, Colombia Diciembre de 2012Índice general

1. FORMAS INDETERMINADAS E INTEGRALES IMPROPIAS 8

1.1. INTEGRALES IMPROPIAS CON LÍMITES DE INTEGRACIÓN

2



INFINITOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2. INTEGRALES IMPROPIAS CON DISCONTINUIDADESINFINITAS (TIPO II) 23

2. SUCESIONES 28

3. SERIES INFINITAS 403.1. SERIE TELESCÓPICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 433.2. CRITERIO DEL N-ÉSIMO TÉRMINO PARA LA DIVERGENCIA. .. . . . . . 443.3. ADICIÓN O SUPRESIÓN DE TÉRMINOS. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . 463.4. RENUMERACIÓN DE LOS TÉRMINOS. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 473.5. COMBINACIÓN DE SERIES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 51

4. SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS POSITIVOS 564.1. EL CRITERIO DE LA INTEGRAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 564.2. DEFINICIÓN DE P-SERIE O SERIE P. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 584.3. PRUEBAS DE COMPARACIÓN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 614.4. CRITERIO BÁSICO DE COMPARACIÓN (DIRECTA). . . . . . . .. . . . . . . 614.5. CRITERIO DE COMPARACIÓN EN EL LÍMITE. . . . . . . . . . . . .. . . . . 644.6. CRITERIO DE LA RAZÓN ( O COCIENTE). . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 684.7. CRITERIO DE LA RAÍZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 714.8. CRITERIO DE RAABE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . 754.9. SERIES ALTERNAS O ALTERNANTES. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 774.9.1. SERIES ALTERNAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .774.9.2. CRITERIO PARA LAS SERIES ALTERNANTES . . . . . . . . . . .. . 78

4.9.3. CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONVERGENCIA

3



CONDICIONAL. 82

5. SERIES DE POTENCIAS 875.1. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES COMO SERIE DEPOTENCIAS. . . . . . 100

5.2. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS. .. . . . . . . . 1035.3. SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 113

Abello C, Villa D, Colorado H.INTRODUCCIÓN

En matemática, más específ icamente en el cálculo dif erencial, laregla de l’Hôpital o regla de l’Hôpital-Bernoulli es una regla que usaderiv adas para ay udar a ev aluar límites de f unciones que estén enf orma indeterminada.

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático f rancés delsiglo XVII Guillaume François Antoine, marqués de l’Hôpital (1661 -

1704), quien dio a conocer la regla en su obra L´Analy se desinf iniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (1692), elprimer texto que se ha escrito sobre cálculo dif erencial, aunqueactualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, quef ue quien la desarrolló y demostró. Esta regla tiene mucha aplicacióntanto para las integrales impropias (integrales def inidas donde uno oambos límites de integración son inf initos o donde el integrando es

discontinuo en un número f inito de puntos del interv alo deintegración), como a la teoría de sucesiones y series.

La teoría de series y sucesiones tiene sus antecedentes en laantigüedad clásica. Ya desde la época de Zenón de Elea se conocenintentos por comprender los fenómenos matemáticos de series ysucesiones. Zenón f ue un hombre que se caracterizó por construir

muchas aporías, de las cuales sólo cuatro llegaron hasta nosotros.En una de ellas él se preguntaba ¿cómo es que Aquiles, el de lospies ligeros, puede recorrer, es decir correr, el estadio (125 pasosgeométricos u octav a parte de una milla)? El decía: antes de llegar ala meta, Aquiles tiene que recorrer la mitad del camino. En estemomento le resta la otra mitad. Ahora bien, antes de recorrer lamitad restante, tiene que recorrer la mitad de esta mitad, de modo

que aún le resta la mitad de esta mitad, es decir la cuarta parte.

4



Pero antes de recorrer esta cuarta parte restante, tiene que recorrer su mitad, y así sucesivamente. Evidentemente, siempre –suponeZenón- le quedará una parte por recorrer.

Claro que Zenón no intentaba negar que Aquiles llegase a la meta. Él

sólo trataba de mostrar la aparente imposibilidad racional delmov imiento. Cuentan que Diógenes de Sinope, el cínico, intentabarefutar estos argumentos caminando en círculos alrededor de suoponente. Pero una verdad racional no se refuta demostrando locontrario, se ref uta delatando la falla lógica. El hecho de queDiógenes sólo atinase a caminar sin poder decir nada, muestra cuánf uerte son los argumentos de Zenón.

Ya en el siglo XVII y XVIII, algunos matemáticos empezaron apensar que era posible extender la idea de suma ordinaria deconjuntos f initos a conjuntos inf initos, de manera que en algunoscasos la suma de conjuntos de inf initos números f uese f inita. Laidea que propone Zenón en esta aporía es que la suma de unnúmero ilimitado de cantidades positiv as no puede tener una suma

f inita. La sucesión que propone Zenón es la siguiente: primero elcorredor tiene que recorrer la mitad del estadio, luego la mitad de lamitad restante (es decir, la cuarta parte), luego la mitad de la mitadde la mitad (es decir, la octava parte), y así sucesivamente. Es

decir, la sucesión tiene la f orma: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, . . .Ev identemente, esta sucesión tiene inf initos términos, cada uno delos cuales es una magnitud positiv a. Fácil es comprender que la

magnitud que tiene que recorrer el corredor v iene dada por la serie1/2+1/4+1/8+1/16+. . . ¿Qué es lo que propusieron losmatemáticos?, que la serie anterior tiene suma positiv a f inita,aunque se sumen inf initos términos. Sabemos que en este caso lasuma es 1, es decir la unidad (la unidad que el estadio representa).

Entre los primeros matemáticos que se ocuparon de las series ocupa

un lugar importante Leonar Euler. Euler descubría una f órmulainteresante después de otra y a la vez utilizaba las series inf initascomo concepto unificador de diversas ramas de las matemáticas,que hasta entonces estaban sin relación. La extensión del uso de lasseries inf initas empezó más tarde, cerca de 50 años después delnacimiento de Euler, coincidiendo con el desarrollo del cálculoinf initesimal. Nicolás Mercator y Guillermo Brunckor descubrieron en

1668 una serie inf inita para el logaritmo al intentar

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Newton descubrió la seriecalcular el

binómico.área de un segmento hiperbólico. Poco después Estos

descubrimientos constituy eron un punto

f undamental en la historia de las matemáticas. Poco después de lamuerte de Euler, el caudal de nuev os descubrimientos empezó adisminuir y el período f ormal en la historia de las series llegó a sutérmino.

Un nuevo período, y más crítico, empezó en 1812 cuando Gausspublicó la célebre memoria que contenía por primera vez un estudioriguroso de la convergencia de las series inf initas. Pocos años mástarde, Cauchy (en 1821) introdujo una def inición analít ica delconcepto de límite y expuso los f undamentos de la teoría modernade conv ergencia y divergencia de las series inf initas. Con ello quedóclaro que una serie inf inita de números tiene suma f inita si la seriees conv ergente, o lo que es lo mismo: si la serie conv erge,entonces tiene suma finita.

Cuando nos encontramos con una serie inf inita de números hay doscosas que debemos determinar: a) si la serie converge o no, b) siconverge, ¿cuál es su suma? La mayor dificultad para tratar dedilucidar ambas cuestiones es poder determinar el término n-ésimode la sucesión de las sumas parciales. En realidad, puede decirse

que son raras las series en las que es posible hallar una f órmula quenos de la suma de los n primeros términos de la serie. Por tanto, sipara determinar la conv ergencia de la serie es preciso hallar el límitecuando n tiende a inf inito del término n-ésimo de la sucesión de lassumas parciales, cav e la pregunta: ¿de qué manera podemos saber en el caso general el carácter de la serie?

De suerte que se han desarrollado criterios que permiten determinar el carácter de la serie sin tener que hallar el término n-ésimo de lasucesión de las sumas parciales. Existe un número bastante ampliode criterios, unos más apropiados que otros para este o aquel tipo deserie, que nos permite realizar semejante cálculo. Ahora bien, noexiste un criterio único, una metodología univ ersal que resuelv a elproblema en cuestión. La determinación del término n-ésimo de la

sucesión de las sumas parciales de una serie es un problema que su

6



Def inición 1. Sif y g son f unciones tales que l´ mf (x) = l´ mg (x) = 0,se dice que la

x→a x→af unción def inida por f(x) tiene la f orma indeterminada 0 ena.g(x) 0

Existe otro tipo de f orma indeterminada a saber:∞. Para mostrar unejemplo consideremos los∞límites l´ m (− ln |x|) → ∞ y l´ım cot |x| → ∞; de este modo, laf unciónG def inida por

x→0 x→0G

(x

) =− ln |x|cot |x|

toma la f orma indeterminada∞ enx = 0. AunqueG (x) no existe enx =

0, sucede que∞l´mG(x) = l´

m−ln|x|

= 0 x→0x→0 cot |x|

8 y es claro que no podemos hallar este límite con ninguno de losmétodos que conocemos hasta ahora, no obstante, la regla deL’hôpital nos v a a permitir corroborar esta asev eración. Pero antesde enunciar este famoso resultado, v amos primero a f ormalizar esteotro tipo de f orma indeterminada con la siguiente def inición:

Def inición 2. Sif y g son f unciones tales que l´ mf (x) → ±∞ y l´ mg

8



(x) → ±∞, entonces se

x→a x→adice que la f unción def inida por f(x) adopta la f orma indeterminada±∞

ena.g(x) ∞

FÓRMULA DE Si las f uncionesf y g son continuas en un intervalocerrado [a, b],CAUCHY.1.1.deriv ables en el intervalo abierto (a, b) y sig (x) = 0 para todox en (a,b), entonces existe un númerow en (a, b) tal quef(b) − f(a) f (w).g(b) − g(a) = g (w)

Demostración. Nótese primero queg (b) − g (a) = 0, y a que sig (a) =g (b), entonces por el Teorema de Rolle, existe un número c en (a, b)tal que g (c) = 0, lo que contradice la hipótesis sobreg . [1]

Seah una nueva función def inida como sigue:h (x) = [f (b) − f (a)] g (x) − [g (b) − g (a)] f (x)

para todox en [a, b]. Se deduce queh es continua en [a, b], deriv ableen (a, b)y h (a) = h (b). Por el Teorema de Rolle, existe un númerowen (a, b)tal queh (w) = 0, es decir;[f (b) − f (a)] g (w) − [g (b) − g (a)] f (w) = 0Esto equiv ale a la Fórmula de Cauchy. Tomandog (x) = x en (1,1.)seobtiene:

f(b) − f(a)=f (w) b − a 1 . o, equiv alentemente f (b) − f (a) = f (w) (b −

a)Lo anterior demuestra que la Fórmula de Cauchy es unageneralización del Teorema del Valor Medio.El siguiente resultado es el teorema más importante sobre f ormasindeterminadas. REGLA DE Seanf y g f unciones deriv ables en unintervalo abierto (a, b) queL’HÔPITAL . 1.2.

contiene a c, excepto posiblemente en el propioc. Supongamos queg(x) = 0 para todox en (a, b) excepto posiblemente en el propioc. Si el

límite def(x) cuandox t iende ac produce la f ormag(x)

indeterminada 0, entonces0

l ım f (x) f (x)

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x→cg

(x) = l´m

→c g (x)

supuesto que el límite de la derecha existe o es f inito. Este

resultado es v álido también si el límite de f(x) produce cualquiera de

las f ormas indeterminadas∞,−∞ , ∞ o bien−∞.g(x) ∞ ∞ −∞ −∞Demostración. Supongamos quef (x)/g(x) t iene la f orma

indeterminada 0/0 enx = c y que l ımx→c [f (x)/g (x)] = L para un

númeroL. Se quiere demostrar que l´ mx→c [f (x)/g(x)] = L.

SeanF yG tales queF (x) = f (x) si x = c y F (c) = 0,

G (x) = g (x) si x = c y G (c) = 0. Comol´ mF (x) = l´ımf (x) = 0 = F (c) ,x→c x→c

La función F es continua enc y por tanto es continua en todo elintervalo (a, b). Análogacamente, G es continua en (a, b). Además,F(x) = f (x) y G (x) = g (x), siempre quex = c. Aplicando la Fórmula deCauchy a uno de los intervalos [c, x] o [x, c] resulta que existe un

númerow entrec y x tal que

F (x) − F (c) F (w) f (w).G (x) − G (c) = G (w) = g (w) Aprov echando el hecho de queF (x) = f (x) , G (x) = g (x)y F (c) = G(c) = 0, se obtiene quef (x) f (w).g (x) = g (w)Comow se encuentra entrec y x, resulta que

f (x) f (w) f (w)

l ım g (x) = l´ım g (w) = l´ım g (w) = L

x→c →c →c

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que es lo que se quería demostrar.Guillaume François Antoine, marqués de L’Hôpital (París, 1661 –París, 2 de f ebrero de 1704) f ue un matemático f rancés. El logromás conocido atribuído a su nombre es el descubrimiento de la reglade L’Hôpital, que se emplea para calcular el valor límite de unaf racción donde numerador y denominador tienden a cero o ambostienden a inf inito.

L’Hôpital nació en París, Francia. Inicialmente planeó una carreramilitar, pero su poca v isión le obligó a cambiar a las matemáticas.Resolv ió el problema de la braquistócrona, independientemente deotros matemáticos contemporáneos. Murió en París. En 1694

Bernoulli y L’Hôpital acordaron que L’Hôpital le pagaría t rescientosf rancos anuales para que le transmitiera sus descubrimientos, queL’Hôpital describiría en su libro. En 1704, tras la muerte de L’Hôpital,Bernoulli rev eló la existencia del trato, asegurando que la may oría delos descubrimientos que aparecían en el libro de L’Hôpital’s eransuy os. En 1922 se encontraron documentos que apoyaban la tesisde Bernoulli. Publicó su libro anónimamente, Guillaume François

Antoine agradeciendo la ay uda prestada por Bernoulli en laintroducción, y nunca dijo ser el descubridor de la regla. [15]

Es también el autor del primer libro conocido sobre cálculodif erencial, L’Analy se des Inf iniment Petits pour l’Intelligence desLignes Courbes. Publicado en 1696, el texto incluy e las clases de suprofesor, Johann Bernoulli, en donde Bernoulli discute la

indeterminación 0/0.

11



x2− ln x

x→1 1 = 1

Ejemplo 2. Calcular el límite l´ msin x

x→0

x

Como la sustitución directa llev a a la forma indeterminada 0,

podemos aplicar la regla de L’hôpital, esto es:0

l´ msin x = l´ımcos x = 1

x→0x x→01

Otra f ormulación de la regla de L’hôpital establece que si el límite de

f(x) existe cuandox tiende ag(x)

∞ (o a−∞) produce una f orma indeterminada 0 o±∞, entonces0 ∞f (x) f (x)l ım g (x) = l´ım

x→∞ →∞ g (x)supuesto que el límite de la derecha exista.e

xEjemplo 3. Calcular el límite l´ m

x→∞ x

Como la sustitución directa llev a a la forma indeterminada∞,podemos aplicar la regla de L’hôpital,∞esto es:ex ex

l´ mx = l´ım1→ ∞x→∞ x→∞Ejemplo 4.Calcular el límite

l´ mx2

x→−∞ e−x

Como la sustitución directa llev a a la forma indeterminada∞,podemos aplicar la regla de L’hôpital,∞esto es: x2 2xl´ me−x = l´ım

x→−∞ −e−xx→−∞pero este límite vuelv e a generar la f orma indeterminada−∞, luego−∞2 2x = l´ m

e−x=0

x→−∞ e−x= l´ım

−e−x x→−∞

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l´ mx 2

x→−∞Nota. La regla de L’hôpital puede aplicarse también a límiteslaterales.

e

xEjemplo 5. Ev aluar el límite l´ım− (1 + x),n un entero positiv o.

x→0+ xn

Para este ejemplo vamos a analizar los casos particularesn = 1, 2 y3

n = 1 : l ım ex− (1 + x)

x→0+ x

Ya que la sustitución directa produce la f orma indeterminada 0,utilizamos la regla de L’hôpital0

l ım ex− (1 + x)= l ım ex− 1= 0x→0+ x x→0+ 1 n = 2 : l ım ex− (1 + x)

x→0+ x2Como la sustitución directa produce la f orma indeterminada 0,utilizamos la regla de L’hôpital0

l ım ex− (1 + x)= l ım ex− 1= l ım ex

x→

0+x

2x→0+2x

x→ 0 +2 =

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1 2De nuev o se tiene la f orma ind

0 0

n = 3 : l ım ex− (1 + x)

x→0+ x3

La sustitución directa produce la f orma indeterminada 0, utilizamosentonces la regla de L’hôpital0l´m

ex− (1 + x)= l ım ex− 1= l ım ex x

3x→0+3x

2x→0

+6 x → ∞

x→0+

De nuev o se tiene la f orma ind

0 0En general, para

n ≥ 3 l m

ex− (1 + x)

→ ∞x→0+ xn

Además de 0 y ∞, existen otras f ormas indeterminadas, tales como:0∞

0 · ∞, 1∞,∞0, 00 y ∞ − ∞

y para calcular el límite de una f unción que presenta una de estas

f ormas indeterminadas, primero debe reexpresarse la f unción (con

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ay uda del algebra y /o de sus propiedades) de tal f orma que presente

la f orma indeterminada 0 o∞ para poder usar la regla de L’hôpital.0 ∞

Ejemplo 6. Ev aluar el siguiente límite l´ım− (ln sin x) tan x.

x→π2Puesto que l´ım ln sin x = 0 y l´ım tan x → ∞, este límite toma laf orma indeterminada

x→π − x→π −2 20 · ∞. Debemos entonces reexpresar el límite dado, de f orma tal que

aparezca una de las f ormas indeterminadas 0 o∞ para poder usar la

regla de L’hôpital, esto es:0 ∞l ım (ln sin x) tan x = l ım ln sin x (Reescribiendo la f unción x→

π− x→π− cot x para obtener la f orma ind 0

2 2 0cos x=l´m

sin x−csc

2x(Aplicando la regla de L’hôpital)

x→π−2

16



cos x= l´ msin x = − l´ım cos x sin x = 0

x

→π − −1 x→π −

2 sin2x 2

Nota . Las formas indeterminadas 1∞,∞0 y 00 prov ienen de límitesde f unciones con bases y exponentes v ariables. Cuando nosencontramos ante esta situación recurrimos a procesos semejantesal de la deriv ación logarítmica, además del uso del siguiente teoremadel cálculo dif erencial.

Teorema 1. Si l mg (x) = b y si la f unciónf es continua enb,entonces

x→al´ m (f ◦ g) (x) = f (b)

x→ao equiv alentemente, l´ mf (g (x)) = f l´ımg (x)x→a x→a

Ejemplo 7. Ev aluar el límite l´ım 1 + 1 x

x→∞x

Vemos que la sustitución directa conduce a la f orma indeterminada

1∞. Para hallar el límite, empezamos por considerar que el límiteexiste y que es igual ay, esto es:

y = l´ım 1 + 1 x

x→∞x

luego, ln y = ln l´ım 1 + 1 x .

x→∞x

Como la función logaritmo natural es continua, podemos escribir x (En v irtud del teorema enunciado) x→∞ ln 1 + 1ln y = l ımx

= l´ mx ln 1 + 1 (Por propiedades de ln u)x→∞ x= l ım ln 1 + 1 (Reescribiendo la función parax 0x→∞1 obtener la formaindeterminada0x

1 − 1

17



(

1+1) x2

= l´ mx (Aplicando la regla de L’hôpital)

x→∞−

1

x2

= l´ m

1

= 1 (Simplif icando y evaluando)x→∞1 +

1x

En conclusión, ln y = 1, por lo tantoy = e y así l´ m 1 + 1 x

= e. Esteresultado es una f orma alternativ a para def inir al número de

Euler.x→∞ x

Ejemplo 8. Ev aluar el límite l´ım (sin x)x

x→0+

La sustitución directa produce la f orma indeterminada 00, entonces

suponemos que el límite existe y que es igual ayy = l ım (sin x)x

x→0+

ln y = ln l´ım (sin x)x (Tomando logaritmos)

x→0+

= l m ln (sin x)

x

(En v irtud del teorema enunciado)x→0+

= l ım x ln (sin x) (Por propiedades de ln u) x→0+ (Se obteniene la f orma

ind 0 (−∞))

= l ım ln (sin x) (Reescribiendo la función para

x

→

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0+1 obtener la forma indeterminada−∞

x ∞1= l´ msin x cos x (Aplicando la regla de L’hôpital)

x→0

+ − 1

x2

= − l´ m x2 cot x (simplif icando)

x→0+

= − l ı m x2 (Reescribiendo la f unción para

x→0+tanx

obtener la f orma indeterminada 0 0= − l´ m2x = 0 (Aplicando la regla de L’hôpital y ev aluando) x→0+

sec2x

Como ln y = 0, entoncesy = 1, luego l´ım (sin x)x = 1

x→0+

EJERCICIOS (Regla de L’Hôpital)

1. Use la regla de L´Hopital para calcular los siguientes límites.sin xl ım(1 + x)1/x− el ımx→0 xx2 x→0 √x −√a +√x − al ım ln(x100)x→∞ l ım √x2− a2 ln(x)

x→a+x

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l´m

n2

xlim

k=1xk− n x→∞ x − 1 l´msecx+ 1

x→1lim(cosx )

cot x x→π/2 tan x x→0ax− 1, b = 1 x→π−l ım lim (cos x)tan x

bx− 1 2x→0 2x − x−2) l´mln(lnx)

lim(csc

x→0

x→∞ ln xlim xlnx + 1 l ım ln(1 − 2x)x→∞ x − 1

x→1− tan πx lim(x + ex/2)2/x

2 x→0l´mcot x l´ım (cos x)x−π lnx

2 x→

π −

x→0

+

2

20



l´ mcsc x l´ mx1/x

x→0 cot2x x→∞

l´ m2x ln x2 1− x x→0 lim x − 1 ln xl ımx2 csc x x→1

x→0 1 + 1x

l´ m(csc x − cot x)lim

x→0x→∞ x

l´ m2(sec x − tan x) lim(cos x − sin x)1/xx→π/ −√x→0

x4− x2 + 2) lim √xl´ m (x2

x→∞ x→∞ 1 + x2

l´ m (x6 + 3x5 + 4)1/6− x1 + 1 x2

x→∞l im

l´ım e

−1/xx→∞ 2xx→0+ x lim [ln(x + 1) − ln(x − 1)] l´ m (cos x) · ex2/2 4/x2 x→∞ x √1 + e

−tdtx→0 lim 1

l´ m (2x)x2 x→1+ x

x→0+ lim ecos xx→∞l ımx1/(1−x) nx + 1x

x→1 Si l´ımnx − 1 = 9 determinen. l ım xxx

x→∞

x→0+

2. Halle los v alores dea yb tales que

lim

sin 3x + ax + bx2 x

3= 0

x→03. Si f(x) =(1 − e4x)x si x < 0 , determinek de modo quef sea continua

enk si x > 0

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x = 04. Suponga quef (x) =xe3t√9t4 + 1 dt y g(x) = xne3x. Sixlim

f (x) ∞ g (x) = 1, obtengan .1 →+

5. La primera aparición impresa de la regla de L’Hôpital f ue en el libro Analy se des Inf iniment Petits, publicado por el marqués de l´Hopitalen 1696. Fue el primer libro de texto de cálculo alguna v ez publicadoy el ejemplo que allí utilizó el marqués para ilustrar su regla f ue hallar el límite de la función

√2a3x − x4− a 3√aaxy = a − 4√ax3cuandox tiende aa , dondea > 0. (En aquel tiempo era común

escribiraa en lugar dea2.) Resuelv a este problema.1.1. INTEGRALES IMPROPIAS CON LÍMITES DE INTEGRACIÓN

INFINITOS

Hasta aquí, en el estudio de la integral def inida se ha supuesto queel integrando está def inido en un interv alo cerrado. Se extenderá ladef inición de la integral def inida para considerar un interv alo inf initode integración. A estas integrales se les denomina integralesimpropias. (Tipo I)

Definiciones.1. Seaf una f unción integrable en[a,+

∞). Sil´m´b

b→+∞ af (x) dx existe, se dice que la integral impropia +∞ (x) dx es

22



convergente y en este caso se escribe:a f

ˆ+∞ ˆb

f (

x)dx=l´ m

b→+∞ f (x) dx a asi el límite no existe, se dice que la integral impropia es div ergente.

2. Seaf una f unción integrable en(−∞, b]

. Sil´m

a→−∞abf (x) dx existe, se dice que la integral impropia b f (x) dx es

convergente y en este caso se escribe:−∞

ˆb ˆbf (x)dx=

l´ ma→−∞ f (x) dx −∞ asi el límite no existe, se dice que la integral impropia es div ergente.3. Sif es integrable en (−∞, +∞), y c ∈ R, entonces:

ˆ+∞ ˆc ˆ+∞ f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx

−∞ −∞ cObservaciones. 1. El signif icado de la def inición (3) es el siguiente:

23



Si las integrales impropias c f (x) dx y´

+∞−∞

( x) dx son convergentes, siendo c cualquier número real, entoncesla integral impropiac f +∞f (x) dx es convergente y su valor es la suma de las dos

integrales impropias. Pero si al−∞

menos una de las dos integrales impropias de la derecha es

divergente, entonces la integral +∞f (x) dx es divergente.−∞2. Cuandof (x)≥0y la integral impropia

´ +∞

a f (x) dx es convergente, entonces el valor de dicha integral

corresponde al área de la región acotada por la curvay = f (x), elejex y la rectax = a.

Ejemplo 9. Ev alúe la integral: ˆ2 dx

(4−x )

2 −∞Solución. ´

2dx=l´

m

24



a→−∞´ 2 dx

a (4−x)2−∞ (4−x)2

=l´m

a→−∞4−x 1 2=

l´m

a→−∞1−

4−a 1 2=1− 0 =

21 2Ejemplo 10. Evalúe, si existen:

1. r +∞x dx 2. l´ mr→+∞ −r x dx−∞Solución.

1. +∞x dx = l´ım 0 b a→−∞ ax dx + l´ mb→+∞ 0x dx−∞=l´m

a→−∞1x

2 0 + l´ımb→+∞

1x

2 b

2 a 2 0=l´m

a

→−∞

25



−1a2 + l´ mb→+∞ 1b2

2 2Como ninguno de estos dos límites existe, entonces la integral

impropia div erge.2. l´ım

r →+∞−r x dx=l´m

r → + ∞1x2 rr

2 −r =l´m

r →+∞1r 2− 1r 2

2 2

= l´ mr→+∞ 0= 0 Ejemplo 11. Ev alúe la integral si es conv ergente:

ˆ+∞x e−xdx

0Solución. +∞

x e

−x

dx = l´ım

b

26



b→+∞ 0x e−xdx0 A f in de ev aluar la integral se utiliza integración por partes conu = x

y dv = e−xdx, de modo que du = dx y v = −e−x, así: +∞ x e−xdx = l´ımb→+∞ [−xe−x− e−x]b

0 0= l´ mb→+∞−be−b− e−b + 1

= l´ mb→+∞ b− 0 + 1eb

Con objeto de calcular l´ mb→+∞ b, se aplica la regla de L’Hopital

porque l´ mb→+∞b = +∞ y l´

mb→+∞e

beb

= +∞. De este modo se tienel´m

b

→+∞b = l´ımb→+∞ 1 eb eb= 0 Por lo tanto la integral

ˆ+∞x e−xdx = 1

0EJERCICIOS (Integrales impropias tipo I )1. Determine si la integral impropia es conv ergente o div ergente. Sies convergente, evalúela.∞ −xdx f) +∞ x dx k) ∞3−√xa) 0 e −∞

x4

+ 90 √

xdxb) ∞

27



0

x2e−xdxg) ´∞ 1dx ∞ 1 dxc) 2 1 xdx h)

1 x3/4∞ x3 l) e x(ln x)2−∞5 − 20 (x2 + 1)2dxd) ∞ x dx i) 0 1 dxm) +∞ 1 dx1 1 + x2 −∞ x2 + 6x + 12 e)´01dx

)−∞

x2− 3x + 2

+∞

−∞ +∞e−|x|dx(x − 1)30 e−2x sin 3x dx, n)−∞2. Determinar los v alores de p para los cuales converge la integralˆ∞ 1dx 1 xp

3. Demuestre que la integral impropiab

f (x) dx es conv ergente, entonces +∞

−∞ −b f (−x) dx también esconvergente y tiene el mismo valor.4. Para un cierto v alor real deC , la integralˆ∞ Cx− 1 2 x + 1 dx 2 x2 + 1

conv erge. DeterminarC y calcular la integral. 5. Determine un valor den para la cual la integral impropia

ˆ +∞n − 3x2 x

2+ n dx 1 x + 1

es conv ergente, y evalúe la integral para este v alor den. 6. Laf unción gamma Γ(n) se def ine como

ˆ +∞

Γ(n) = xn−1e−xdx n > 0

0

a ) Calcular Γ(1) , Γ(2) , y Γ(3) .b) Probar integrando por partes, que Γ(n + 1) = nΓ(n)c) Expresar Γ(n) en términos de la notación f actorial, paran enteropositivo.

28



3 dx =t→ m 3 dx =t→ım [ln x]3dx0 x l´t x l´t0+ 0+= l m [ln 3 − ln t] = ∞

t→0+

Como el límite no existe la integral impropia div erge.Ejemplo 14. Determinar si la integral impropia 4 1 dx converge odiverge.0 (x−3)2

Esta integral es impropia porque el integrando tiene unadiscontinuidad inf inita en el punto interior x = 3 . Por tanto,escribimos:

´ 4 1 2dx = ´ 3 1 2dx + ´ 4 1 2dx0 (x−3) 0 (x−3) 3 (x−3)Para que conv erja la integral del lado izquierdo se necesita que lasdos integrales del lado derecho conv erjan. Resolv iendo la primeraintegral, tenemos: 3 1 dx =t m t 1 dx =t m−1 t

0 (x−3)2 l´ 0 (x−3)2 l´ x−3 0→3− →3−=

l´

tm−1− 1 = ∞

→3− t−3 3Por lo tanto, la integral impropia div erge.Ejemplo 15.Calcular ´dx

0∞ √x(x+1)dx dx + ´∞ √

x(x+1)l´Para calcular la integral, la div idimos por un punto apropiado(digamosx = 1) y escribimos:

´ dx 0 0 1∞ √x(x+1) = 1 √x(x+1)√x]1 + l´ım[2 arctan√x]b=t→ m [2 arctant b→∞ 1 =

2

33



1dxg)π/2 1

y dy m) 1

b)−1x2 0 1 − sin0x ln x dx h)∞ln x dxn) ´ 4 dx c

) 9 √1 dxi) ´

0

1 3 x − 9 0 1 dw−1 |x| −2(w + 1)1/3 ´ 0 √ 1 dxd) 2√ 1

2x − x2dx j) 2 1 dxñ) −3 3 + 2x − x200 (2x − 1)2/3

´π k) ∞√x(1 + x)dx o) 0 3−√x e)1

π2 sec θdθ 0 −3√xdx4

2. Encuentre los v alores p para los cuales converge cada integral. 1dx b) 2 dx c) 1 p ln x dxa)0 xp 1 x(ln x)p 0x

3. La Hipocicloide de cuatro cúspides tiene por ecuación

x2/3 + y 2/3 = a2/3

donde a es una constante , a >1. Consulte sobre su gráf ica,elaborela y luego calcule su perímetro. Rta 6a

Jean le Rond D’Alembert (París; 16 de nov iembre de 1717 -octubre de 1783) f ue

Íbidem; 29 de un matemático, filósofo y enciclopedista francés, unode los máximos exponentes del mov imiento ilustrado. Es célebre por crear con Diderot L’Ency clopédie y por su labor en el campo de lasmatemáticas, relativo a las ecuaciones diferenciales y a las

deriv adas parciales. Abordó la matemática a trav és de la f ísica, con el problema de lostres cuerpos (imposibilidad de encontrar ecuaciones de lastray ectorias inestabilidad del sistema), la precesión de losequinoccios estaciones), modos de música). Esto le llevó a estudiar las (razón del deslizamiento de las las cuerdas v ibrantes (distintos

v ibración - aplicación a la ecuaciones ecuaciones También inventó

36



un criterio para dist inguir una serie conv ergente de una div ergente.[15]

37



28 Por ejemplo:

1 , 2, 3, · · · , n, · · ·↓ ↓ ↓ ↓a1, a2, a3, · · · , an, · · ·

1 se aplica ena1, 2 ena2, etc. Llamamos aan el n-ésimo término de la

sucesión y denotamos ésta por{an}.

{an} = {a1, a2, . . . , an, . . .} , n ∈ Z+ La sucesión, también se

denota mediante {a

n}∞ n=1

Algunas sucesiones se pueden def inir mediante una f órmula para eln-ésimo término.

En los siguientes ejemplos, se dan tres f ormas de notar o describir

una sucesión. Una utiliza la notación anterior, otra emplea la f órmulade def inición y la tercera describe los términos de la sucesión.

n ∞ n 1, 2

, 3

, , n, n + 1 an =

n=1 n + 1 2 3 4n + 1

(−1)n (n + 1)an = (−1)n (n + 1)−1, 3, −4, , (−1)n (n + 1), 2n 2n 4 8 2n√n − 2 ∞ an =√n − 2, n ≥ 2 0, 1,√2,√3, . . . ,√n − 2, . . .n=2

cosnπ ∞ an = cosnπ, n ≥ 0 1, 1, −1, −1, −1, . . . , cosnπ, . . .3 n=0 3 2 22 3Otro ejemplo, es encontrar una f órmula, para el término general{an}

de la sucesión. Veamos:3, − 4 , 5 , − 6 , 7 , . . .5 25 125 625 3125suponiendo que continúe el patrón de los primeros términos. Así

= 3 a2 = − 4 a3 =5 a4 = − 6 a5 =7a1 5 25 125 625 3125

Se tiene que los numeradores empiezan con 3 y aumentan en uno,siempre que vamos al término siguiente. El segundo término tiene elnumerador 4, el tercero el numerador 5; en general, el n-ésimotérmino tiene el numeradorn + 2.Luego los denominadores, son las potencias del 5, por tantoan tiene

el denominador 5n. Además los signos de los términos se alternan

39



entre positiv o y negativ o, de modo que se necesita multiplicar por una potencia de−1.

Así se puede llegar a la f órmula

a

n= (−1)

n−1n + 2 5n Ahora v eamos la siguiente sucesiónan = (−1)n+1 1 cuy a

gráfica se observa.n

an1.510.5

n 2 46

Gráf ica de los términos de la sucesión:a

n= ( − 1)

n+1 1 nSe observ a que a medida que el valor den crece los puntos seaproximan cada v ez más a cero. Def inición 1. Límite de una

sucesión.Si para todoε > 0, existe un númeroN > 0 tal que|an− L| < ε

siempre quen > N, entonces decimos que el límite de la sucesión{an}

esL Se escribel´ m an = Ln→+∞Las sucesiones que tienen límite (f inito) se llaman conv ergentes y

las demás divergentes.Gráf icamente, esa def inición dice que ev entualmente (paran > M) lostérminos de una sucesión que converge aL estarán en la f ranjacomprendida entre las rectasy = L + ε e y = L − εcomo se muestra en la figura.

L+e

40



L’Hopital:x ∞

l´ m1 = 0x→∞ xPor consecuencia del teorema anterior

l´ mln n = 0n→∞ n

Por lo tanto la sucesión dada es conv ergente.

an

0.50.40.3

0.20.1n 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20Gráf ica de los primeros términos de la sucesión

{an} = ln n

n

3.{an} = n sin

π

= 0, 2,

3√3 √

2, . . .n 2 , 2Seaf (x) = x sinπ entoncesx

l´ m x sinπ = 0 · ∞ Forma indeterminada

x→∞ xEntoncesπsin

l´ mx = 0 L’Hopitalx→∞ 1 0

x−π cosπ

l´ mx2 x = l´ım π cosπ

x→∞− 1x→∞ x

x

2

= πPor lo tanto

l´ mπ = π n→∞n sinn Por lo tanto la sucesión dada conv erge aπ.

an

54

42



321 n 2 4 6 8 10 12 14Gráf ica de los primeros 12 términos de la sucesión{a

n} = n sin π n4.{

an}=1 + 1

n= 2, 9, 64, 625, . . . n 4 27 256 Sea

f (x) = 1 + 1x x entonces l ım 1 + 1x

x→∞= 1∞

x Forma indeterminada

l´ m 1 + 1x (1+ 1) = el ımx→∞x ln(1+ 1) = e1

x→∞ x x→∞ex ln x x= l´ım

l´ mx→∞x ln 1 + 1 = 0 · ∞xl´m

x→∞ln1 +

1x1 = 0 (L’Hopital).

x 01 · − 1

1 + 1

43



x

21 l´ mx→∞ x 1 = l´ mx→∞ 1 + 1 = 1 −x2 xPor lo tanto1 + 1 n l´ım = e

n→∞nPor lo tanto la sucesión dada conv erge ae.

an

54

321n 2 4 6 8 10 12 14Gráf ica de los primeros 12 términos de la sucesión{an} = 1 + 1n

n

5.{an} = {3 + (−1)n} = {2, 4, 2, 4, . . .} que oscilan entre 2 y 4, y lasucesión diverge.

an

54321n 2 4 6 8 10 12 14Gráf ica de los primeros 12 términos de la sucesión{an} = {3 + (−1)n}

Las siguientes propiedades de los límites, son análogas a los v istospara los límites de funciones.

Def inición 2. Si{an} y{bn} son sucesiones convergentes yc es unasucesión constante, entonces:

l´ mn→∞c = c (c constante) l´ımn→∞ (an± bn) = l´ımn→∞an + l

´ımn→∞bn l´ mn→∞can = c l´ımn→∞an l´ımn→∞ (anbn) = l´ımn→∞an· l

´ımn→∞bn

l´

44



m

n→∞ bn l´ımn→∞bnan = l´ımn→∞an si l´ mn→∞bn = 0

l´ mn→∞apn = [l´ımn→∞an]

p

sip > 0 yan> 0Definición 3. n factorialSin es un entero positiv o, f actorial den se def ine comon! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · · · · (n − 1) · nLa factorial de cero se def ine como 0! = 1

Nota: n! = n (n − 1) (n − 2) . . . 1;n! = n (n − 1)! (2n)! = (2n) (2n − 1)!,(2n + 2)! = (2n + 2) (2n + 1) (2n)!

n!Ejemplo 2. Determine la conv ergencia de la sucesiónan =nnn! = 1, 1 · 2, 1 · 2 · 3, 1 · 2 · 3 · 4, , 1 · 2 · 3 · · · · · nan = nn 2 2 3 3 3 4 4 4 4 n n n n

De acuerdo con esta expresión y la gráf ica parece que los términosson decrecientes y quizas tiendan a cero. Para conf irmar lo anterior tenemos

= 1 2 · 3 · · · · · nan n n n nLa expresión que aparece entre paréntesis, es como máximo uno,debido a que el numerador es menor que (o igual a) el denominador.De manera que:10 < an≤n

l´ m an = l´ım1 = 0

n→∞n →∞ nPor lo tanto,

l´ mn! = 0

n→∞ nn

así la sucesión dada es convergente.

an1

0.80.60.40.2 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Gráf ica de los primeros 12 términos de la sucesión

45



{a

n} = a

n= n! nn

Def inición 4. Una sucesión{an} se llama creciente sian≤ an+1 para

todan ≥ 1; esto es, a1≤ a2≤ a3≤ · · ·. Se llama decreciente sian≥ an+1para todan ≥ 1. Una sucesión es monótona si es creciente odecreciente.

3 Ejemplo 3. La sucesiónn + 5 es decreciente porque

3 3n + 53 > (n + 1) + 5 =n + 6y por consiguientean≥ an+1 para todan ≥ 1

Ejemplo 4. Demuestre que la sucesiónan = n es decreciente.

n2 + 1 nSedebe demostrar asi quean+1≤ an; es decir, n + 1

(n + 1)2 + 1≤ n2 + 1 Esta desigualdad equivale a la que se obtiene por multiplicación cruzada:n + 1 ≤ n ⇔ (n + 1) n2 + 1 ≤ n (n + 1)2 + 1(n + 1)2 + 1 n2 + 1

⇔ n3 + n2 + n + 1 ≤ n3 + 2n2 + 2n ⇔ 1 ≤ n2 + n

Comon ≥ 1, sabemos que la desigualdadn2 + n ≥ 1 se cumple; por consiguiente,an+1≤ an, así que{an} es decreciente. Otra soluciónpuede ser así:Considere la funciónxf (x) =x2 + 1 :

f (x) =

x2 + 1 − 2x2 1 − x2 (x2 + 1)2 = (x2 + 1)2< 0

siempre que x2> 1Por consiguientef es decreciente en (1, ∞), así quef (n) > f (n + 1).Como consecuencia,{a

n} es decreciente.

46



Def inición 5. El númeroC recibe el nombre de cota inferior de lasucesión{an} siC ≤ an, para todo entero positivon; y el númeroD se

llama cota superior de la sucesión{an} sian≤ D para todo entero

positivo.

Ejemplo 5. Consideremos los siguientes sucesiones.

1.n =1, 2, 3, 4, . . . , n , . . . . Cualquier número menor que 1 es cota2n+ 1 3 5 7 9 2n + 1 3inf erior.1

2.1 = 1, 1, 1, 1, . . . , n, . . . . Cualquier número que sea may or o igual

a 1 es una cotan 2 3 4superior de esta sucesión. Observación: Vemos que una sucesiónpuede tener muchas cotas superiores o inf eriores. Def inición 6. Sedice que una sucesión{an} es acotada sí y solo si: tiene cota

superior y cota inferior.EJERCICIOS 2.1. (Sucesiones)1. Escriba los cinco primeros términos de la sucesión:

1c)a

n= 1 + (−

1)ne) a

n=

( − 1) n(n+1)/2a) an =n + 2 n2= 1b)a

n

47



=−1 n d) an = sinnπ

2 2 f ) an n!

2. Para los siguientes ejercicios halle una f ormula para el n-ésimotermino de la sucecion

a ) 3 , 7 , 11 , 15 ,. . . e) 1, 1,1, 1, 1 ,. . .2 6 24 120 b)−1, 1 , -1 , 1 , -1 ,.

. . f) 1, 0 , 1 , 0 , 1,. . . c) 2, -1 , 1 , 1 , 1 ,. . . g)−3, -2 , -1, 0, 1 ,. . . 24 8

d)1,

1 1 1

1 3 ,1 3 5 ,1 3 5 7 ,. . . h) 1, x2,x2 x3 x4,x5,. . .2 ,6 ,24 120

3. Determinar la convergencia o divergencia de la sucesión cuyo n-ésimo término se da. En caso de convergencia, calcular el límite

a) a = 2n + 1 31/n ñ) an = n sin 1n n + 2 i) an = n nn2− 2n + 1 2− n + 4 o) an = (−1)n nb) an = n − 1 j) an = 3n n + 1c) an = 1 + (−1)n

2n2 + 1(10/11)n k n n!d) an = (9/10)n + (11/12)n k) an = 1 + p

n) an =106n√32n+1e) an = 3n = ln n q) an = n 4n l) an n1/n r) an = n −√n2− nn =

cosnπf ) a2 = 3n1−

n3g) an = m) an n3 s) an = 1 n 1dx70 − 4n2 √n n 1 x1 n) an = √n + 1 t) an = n1/nh) an = (−1)n+1

2n − 14. Determine si la sucesion es creciente, decreciente o nomonótona.¿Es acotada? √ n a

48



)a

n3n + 4 5n

= 2n − 3 b) an = 1c) an = n + 2

49



3SERIES INFINITASUna importante aplicación de las sucesiones infinitas consiste en

representaciones de sumas inf initas. Dicho de una manera informal,si{an} es una sucesión inf inita, entonces:

∞an = a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · ·

n=1Se denomina serie inf inita ó simplemente serie.

Dada la serie ∞

an = a1+ a2+ a3+ · · · + an+ · · ·, entonces lasucesión{Sn} , definida como:n=1

S1 = a1S2 = a1 + a2S3 = a1 + a2 + a3

.nSn = a1 + a2 + a3 + · · · + an = ak

k=1.

es la sucesión de sumas parciales de la serie, donde el número Sn ,

es la n-ésima suma parcial. Si la sucesión de sumas parcialesconverge a un límiteL, decimos que la serie converge y que susuma esL y escribimos

∞an = a1 + a2 + · · · + an· · · = L, l´ mn→∞Sn = L

n=1∞ an = l´ımn→∞ n ak = l´ mn→∞Sn = Ln=1 k=1

40 La serie an es divergente si{Sn} diverge. Una serie infinita

divergente no tiene suma.

Ejemplo 1. Demostrar que la serie inf inita:2 + 1

4 + 1

50



8 +· · ·+ 1

∞

· · · o1 = 12 + 14 + · · ·2

n 2n

n=1converge y su suma es 1Solución: Tenemos que las sumas parciales

Suma ParcialS

1

=12

S2 = 2 + 1S3 = 2 + 14 + 1

Sn = 2 + 14 + 18 + + 1 = 1 − 1

2n 2n

Se observa un patrón. Las sumas parciales f orman una sucesióncuyo n-ésimo término es:

1Sn = 1 −2n

Ahora,2n l´ım− 1 = 1 n→∞Sn = l´ım2nn→∞

Por lo tanto la serie dada conv erge y su suma es 1, es decir ∞ 1 =1n=1 2nEjemplo 2. Sea la serie inf inita∞ 1 1 1 1 1

4 + + n (n + 1) +

n=1 n (n + 1) =1 2 +2 3 +3

1. Obtenga los primeros cuatro elementos de la sucesión de sumasparciales {Sn}

2. Determine una f órmula paraSn en términos den

3. Demuestre que la serie dada conv erge y halle su suma. Solución.

1. Las sumas parciales:

51



2.

S

1=1

1 2 = 1

S 2 = 1 2 +2S3 = 1 2 +2 3 +3S4 = 1 2 +2 3 +3 4 +4

1 1 3 = 21 1 1 4 = 31 1 1 1 5 = 4

1111 Sn =1. 1 2 +2 3 +3 4 + + n (n + 1) = 1 − n + 11 Tenemos quean =n (n + 1), haciendo f racciones parciales

an = 11

n

− n + 1Por lo tanto, la n-ésima suma parcial de la serie se puede escribir comoSn = a1 + a2 + · · · + anSn = 1 − 2 2 3 3 4 n 1 +1− 1 +1− 1 + · · · +1−1 n + 1

1 3. Sn = 1 −n + 11 4. l´ mn→∞Sn = l´ımn→∞ 1 −n + 1 = 1, así la serie dada conv erge y

suma es 1 es decir

∞1+ 1) = 1n=1 n (n3.1. SERIE TELESCÓPICA.La serie del ejemplo anterior es una serie telescópica y a que tiene la

forma

52



∞(bn− bn+1) = (b1− b2) + (b2− b3) + (b3− b4) · · · + (bn−1− bn)

n=1o sea la n-ésima suma parcial de la serie es:Sn = b1− bn. Además si

la serie conv erge su suma es l´ m (Sn) = l´ m (b1− bn)n→∞ n→∞Ejemplo 3. Hallar la suma de la serie (Tarea):

∞2

4 n2− 1n=1Ejemplo 4. Demostrar que la serie∞

(−1)n−1

n=1es div ergente. Solución:

S1 = 1

S2 = 1 + (−1) = 0

S3 = 1 + (−1) + 1 = 1S4 = 1 + (−1) + 1 + (−1) = 0

.S

n

=1 si n es impar 0 si n es par

Como la sucesión de sumas parciales{Sn} alterna u oscila entre 1 y

0, resulta que l´ m Snn→∞no existe. Por lo tanto la serie inf inita es div ergente.Teorema 2. Si la serie

∞an

n=1es conv ergente, entoncesl´man = 0

n=∞Demostración. El n-ésimo términoan de una serie inf inita, se puede

expresar como

53



Si an = Sn− Sn−1 l´ mn→∞Sn = S, entonces también l´ımn→∞Sn−1 = S

y l´ım an = l´ m (Sn− Sn−1) = l´ m Sn− l´ m Sn−1 = 0

n→∞ n→∞ n→∞ n→∞3.2. CRITERIO DEL N-ÉSIMO TÉRMINO PARA LA DIVERGENCIA.

Teorema 3. Si l´ mn→∞an = 0 , entonces la serie inf inita ∞ an esdiv ergente.n=1La demostración de este teorema se encuentra ref erenciado en [3,8]Ejemplo 5. Aplicar el criterio del n-ésimo término para demostrar divergencia.∞ n → l´ m

n→∞ 2n + 1 = 1 = 0, por lo tanto la serie es div ergente.

n=12n + 1∞ 11→ l´ mn→∞ n2 = 0. No se puede decidir.n=1 n2

∞ en enn→1 n→ l´ımn→∞ n = ∞, por lo tanto la serie dada diverge.∞ 3 → l´ m3

n→∞

(3n − 2) (3n + 1) = 0

. No se permite concluir.n=1 (3n − 2) (3n + 1)Sin embargo al descomponer en f racciones parciales se tiene:

1 1 (3n − 2) (3n3 + 1) = 3n − 2− 3n + 1 entonces

∞3=

∞ 1 1 3n − 2− 3n + 1n=1 (3n − 2) (3n + 1)n=1=1−

1 1 1 4 4 7+ 1− 1 + + 3n − 2− 3n + 1 así la n-ésima suma parcialSnv iene dada por:

S1 ⇒ l´ım Sn = 1n = 1 −3n + 1 n→∞lo cual indica que la serie dada es convergente y su suma es 1 ∞

2n→ l´ımn→∞ 2n = ∞ = 0, por lo tanto la serie es divergente.n=1

∞n!

→ l ımn→∞ 2n! + 1 = l´

54



n! 1 1/2 mn→∞ 2−2n! + 1 = 1 = 0, por lo tanto lan=1 2n! + 1 2serie dada es div ergente.Def inición 1. La serie∞ 1 = 1 + 12 + 13 + · · · + 1 + · · · se conoce como serie armónica.

Serie que div erge.n=1 n n Algunas series inf initas aparecen f recuentemente en la solución deproblemas aplicados, una de las más importantes es la seriegeométrica.Def inición 2. La serie dada por ∞ ar n = a + ar + ar 2 + · · · + ar n−1· · · cona = 0 se llama seriegeométrica de razónr n=0Teorema 4. Teorema que garantiza la conv ergencia o div ergencia dela serie.

Una serie geométrica ∞ ar n de razónr diverge si:n=0|r| ≥ 1 y converge si|r| < 1 además si converge su suma es:S

n

=a

∞´ ar n = a = L1 − r n=0 1 − r

Demostración. Tenemos la serie geométrica ∞ ar n = ∞ ar n−1 la n-ésima suma parcial den=0 n=1

la serie dada es:Sn = a + ar + ar 2 + · · · + ar n−1 (3.2.1) Multiplicando porr

rSn = ar + ar 2 + ar 3 + · · · + ar n (3.2.2) Restando (3.2.2) de (3.2.1)

obtenemos

Sn− rSn = a + ar + ar 2 + · · · + ar n− ar − ar 2− ar 3 + · · · − ar n Sn (1 − r)

= a − ar n, div idiendo ambos miembros entre 1 − r a

(1−

r n)Sn = 1 − r , r = 1

Ahora bien, si

|

r

55



|<

1⇒

l´m

n→∞r

n

= 0⇒

l´m

n→∞S

n= l´m

a (1 − r n)

n→∞1 − r = a 1 − r Por lo tanto, si

|r |<

1la serie geométrica converge y su suma esa

1 − r Si|r| ≥ 1 → l´ımn→∞r n = ∞

3.3. ADICIÓN O SUPRESIÓN DE TÉRMINOS.En una serie podemos agregar o suprimir un número f inito detérminos sin alterar la conv ergencia o divergencia de la serie,

aunque en el caso de la convergencia esto suele modif icar la suma.

56



Si ∞ an converge entonces ∞ an conv erge parak > 1 y n=1 n=k

∞ ∞an = a1 + a2 + a3 + · · · + ak−1 + an

n=1 n=kInversamente.

Si ∞ an conv erge para todok > 1, entonces ∞ an converge.n=k n=1Ejemplo 6. ∞ 1 = 15 + 125 + 125 +

1∞ 1

n =45

n n=15n

y

∞1 ∞=1 − 1− 1 −1 5n 5n 5 25 125n=4 n=1

3.4. RENUMERACIÓN DE LOS TÉRMINOS.Mientras se preserve el orden de sus términos, podemos renumerar cualquier serie sin alterar su conv ergencia. Para elevar enh unidadesel valor inicial del indice, se sustituy e lan dean en la f órmula porn −

h.

∞ ∞an = an−h = a1 + a2 + · · · +

n=1 n=1+hPara reducir en “h” unidades el v alor inicial del índice, sustituy e la “n”dean en la fórmula por n + h

Ejemplo 7.

∞ ∞

an = an+hn=1 n=1−hPodemos escribir la serie geométrica que comienzan con: 1 + 12 +14 + · · · como:

∞1,

57



∞1 ∞12

n−5 o incluso2n+4

n=02

nn=5 n=−4Ejemplo 8. (Series Geométricas).Determinar si las series dadas son convergentes. Si convergen halle

su suma.2 + 23 + 2

2+· · ·+

3n−1o

∞21

n1.2

n=03

Solución: Tenemos que:∞ 1 n 2 + 23 + 22 + + 3n−1

n=03 = 22

=21 + 13 + 1

58



2+· · ·+ 1

3n−1Es una serie geométrica conr = 1 ya = 23

Además1 < 1 entonces la serie dada es conv ergente y su suma es:3S

n=a=2= 2

∞= 3⇒

2 1n 1 − r 1 − 12 3= 3

3 3 n=02. La serie5−10

3 + 20− 27 + · · · = 5 1 − 2

3 + 4− 8

= 5 −2 n 40 ∞

27n=0 3Serie geométrica conr = −2 ya = 5. Como−2 < 1 la serie dadaconverge y su suma es:3 3

Sn = a =5 = 5 = 31 − r 1 − −2 5

33

3. La serie ∞ 22n· 31−n ¿Es convergente o divergente?n=1Solución:

∞ ∞22n ∞4n ∞4 n

22n· 31−n =3n−1 =3n 3−1 = 33n=1 n=1 n=1 n=1Es una serie geométrica conr = 4 y a = 3. Además|r| > 1. Así la seriedada div erge.

3

59



4. Halle la suma de la serie ∞ xn, donde|x| < 1n=0

∞xn = 1 + x + x2 + x3 + · · · + · · ·

n=0Es una serie geométrica cona = 1 y r = x. Como|r| = |x| < 1 convergey su suma es:∞ 1Sn = a = a ⇒ xn

1 − r 1 − x = 1 − xn=05. Escriba el número 2, 317 = 2, 317171717 . . . como una razón denúmeros.

2, 3171717 . . . = 2, 3 + 17 + 17 + 17· · ·103 105 107

= 10 + 173 1 +1 +1 + · · ·102 104

∞1 n= 10 + 173 100n=0

Serie geométrica, conr =1

y a = 17, además1

< 1, entonces la serieconverge.100 103 100

2, 3171717 = 10 + 173·1 1 − 1 100

=1147495

APLICACIÓN.

La f igura dada muestra las tres f ilas y parte de la cuarta, de una

sucesión de filas de semicírculos. Hay 2n semicírculos en la n-

ésima f ila cada uno con radio 1. Calcula la suma de las áreas de

todos los semicírculos.2n

1/81/41/2Gráfica de semicírculos.Solución:Tenemos que el área del semicírculo está dada por πr

60



2 A =2El área de los semicírculos de las f ilas esta dado por:

Primer Fila Segunda Fila Tercera Fila n-ésima Fila 1 2 1 2 1 2 π

12 π 4 π 8 π 2n A

1= 22 A2 = 4 A3 = 8 · · · An = 2n 2

2 2 2

El área total de los semicírculos es: AT = A1 + A2 + · · · + An + · · ·

1 2 1 2 1 2 π

12 π 4 π 8 π 2n =22 + 4 + 8 + · · · + 2n 2

2 2 2

=π4 + 1

8 + 116 +

· · ·+

1

2n+1 , n = 1, 2, 3, . . .

=π 1 + 12 + 12 + + 1

2n−14π∞ 1 =π∞ 1 =π∞ 1n

= 4

n=1

2n−1 4

n=0

2n 4

n=0

2

61



Serie geométrica conr = 1< 1, convergente, y cuya suma es:2

Así la suma de las áreas de todos los semicírculos es S=

π 1=π4

1 − 1 2

2πu2 .23.5. COMBINACIÓN DE SERIES.Siempre que tenemos dos series convergentes, podemos sumarlastérmino a término, restarlas término a término, o multiplicarlas por constantes para crear nuev as series conv ergentes.

Teorema 5. Si ∞ an = A y ∞ bn = B son series conv ergentes

entonces:n=1 n=11.Regla de la Suma.

∞ ∞ ∞(an + bn) = an + bn = A + B

n=1 n=1 n=1

2. Regla de la Diferencia.∞ ∞ ∞(an− bn) = an− bn = A − B

n=1 n=1 n=13. Regla del múltiplo constante.

∞ ∞

kan = k an = kAn=1 n=11. Todo múltiplo constante no cero de una serie div ergente, diverge.∞ an converge y ∞ bn diverge, entonces tanto ∞ (an + bn) como ∞ (an− bn)2. Sin=1 n=1 n=1 n=1 div ergen.

Ejemplo 9. Determinar si la siguiente serie conv erge o diverge. ∞ 1 +

1n=1 5n nSolución. La serie ∞ 1 + 1 = ∞ 1 + ∞ 1 entonces:n=1 5n n n=1 5n n=1 n

Como ∞ 1 es una serie geométrica convergente cona = 1 y |r| =1 < 1y n=1 5n 5∞ 1 es una serie armónica divergente entonces por el corolarioanterior concluimosn=1 n

que la serie ∞ 1

+ 1 es div ergente.n=1 5n n

62



Ejemplo 10.Hallar la suma de la serie:

∞ 3n−1− 1

n=1 6n−1Solución:∞3

n−1

−1=∞ 1 1 2

n−1− 6n−1 n=1

6n−1n=1∞1 n−1 ∞1 n−1 ∞1 n ∞1 n= 2 − 6 = 2 − 6n=1 n=1 n=0 n=0

Ambas series geométricas cona = 1 y |r| = 1, 1< 1 convergentes ycuya suma es:2 6S=S

1 + S2 =1 − r a

− a

= 1 1

1 − 1 −1 − 1 = 2 − 65 = 41 1 − r2 2 6 Asi la serie,∞ 3n−1− 1∞

=1 n ∞ 1 n 65 = 4n=1 6n−1 2 −6 = 2 −

n=0 n=0

EJERCICIOS (Series )

63



1. Hallar los cinco primeros términos de la sucesión de sumasparcialesa) 1 + 14 + 19 + 116 + 125 + . . .2 3 4 5b) 1

3 +3 4 +4 5 +5 6 +6 7 + . . .

2c)

∞3

n=1 2n−12. Encuentre una f órmula para la n-ésima suma parcial de cada seriey usela para hallar la suma de la serie si ésta conv erge

a) 2 2 + 23 + 29 + 227 + . . .+3n−1 + . . .

1b) 1 −5 5 5 512 + 1− 8 + . . .+(−1)n−1 1 + . . .2n−1c) 1 2 +2 3 +3 4 + . . . + n (n + 1) + . . .

3. Determine si la serie es convergente o div ergente. En caso deque conv erja calcule la suma.

4 + 85 + 1625 + 32125 + . . . j) ∞ na)n=1 n + 5

b)−2 + 5− 258 + 125− . . . k)

∞ n!

2 n=0 1000n

c

)0,37 + 0,0037 +. . .

+37 + . . . l) ∞ nn

(100)n n=1 n!2n−1 m) ∞ ln n + 13 n=1d) ∞ n

5n=1

64



e)

∞ 3n + 2n n) ∞ 4 n=16n n=1 (4n − 3)(4n + 1) f

)

∞ (−5)n−14−nñ) ∞ 40n

n=1 n=1 (2n − 1)2(2n + 1)2 g)∞ [2(0,1)n + (0,2)n

n=1 ] o) ∞ cos nπ h)

∞ e n+1 n=0n=1 π p) ∞ cos nπ 3

n=0q)∞ arctan nn=1(−1)n+1i) ∞ 5n

2n n=1r )

∞1n=1 5 + 2−n

ns) ∞n=1 √1 + n2 (

n+ 1)

2t)

∞n=1 n(n + 2)

u) ∞ n sin 1n=1 n

v ) ∞ (2−n− 2−3n)n=1w)

65



∞ 3− 3

n=2 (n − 1)2 n2

x)

∞1

n=2n1− n − 1

y ) ∞ 1 |x| > 1n=2 xnz

)∞ 1 + (−1)n n=0 2n 5n

4. Series geom´etricas. Determine los v alores de x para los cualesconv erge la serie geométrica dada. Hallar también la suma de laserie (como f unción dex) para esos v alores dex.∞ 2nxn c) ∞ (ln x)na)n=0 n=0b

)∞ (−1)n(x + 1)n d) ∞ (x + 3)n

n=0n=0 2n5. Expresar cada decimal periódico como una serie geométrica yescribir su suma en f orma de cociente de dos números enteros.

a ) 0,222222 . . . d) 12,234234 . . . b) 0,353535 . . . e) 3,05454545 . .. c) 3,55555555 . . . f ) 1,22315315 . . .

6. Demuestre que si an diverge entonces can diverge para todoc = 0.

7. Demuestre o ref ute que si an y bn divergen entonces (an + bn)

divergen.8. ¿Para que v alores der la serie inf inita

1 + 2r + r 2

+ 2r 3

+ r 4

+ 2r 5

+ r 6

+ . . . converge?.Calcula la sumacuando la serie conv erge.

9. Se deja caer una pelota desde 4 m de altura. Cada vez que lapelota choca contra el asf alto después de caer de una altura dehmetros rebota hasta una altura de 0,75 metros. Calcula la distanciatotal que recorre la pelota en su mov imiento hacia arriba y abajo.Rta 28 m

66



10. La tray ectoria de cada oscilación, después de la primera, deldisco de un péndulo es la f racción 0,93 de la anterior (de un lado alotro). Si la tray ectoria de la primera oscilación tiene una longitud de56 cm, y la resistencia del aire termina por prov ocar que el pénduloquede en reposo, ¿qué tanto se desplaza el péndulo antes de quedar en reposo? Rta 8 m.

11. Un triángulo equilátero tiene 4 unidades de longitud por lado ; por consiguiente, su perímetro es de 12 unidades. Se construye otrotriángulo equilátero trazando segmentos de rectas a trav és de lospuntos medios de los lados del primer triángulo. Este triángulo tienelados de 2 unidades de longitud y su perímetro es de 6 unidades.

Supóngase que este procedimiento puede repetirse un númeroilimitado de v eces. ¿Cuál es el perímetro total de todos lostriángulos que se f orman?.

12. Ingresos. Un ingeniero entra en una empresa que paga $ 0,01 elprimer día, $ 0,02 el segundo día, $ 0,04 el tercero, etc. Si el salariodiario se mantiene así, doblándose cada día, ¿cuánto habrá cobrado

en total si trabaja 29 días , 30 días ?.

Rta $ 5368 709,11 , $10737 418,23

67



4SERIES INFINITAS DE TÉRMINOS POSITIVOS

Es dif ícil determinar si una serie an conv erge o diverge usandodirectamente la def inición de sucesión de sumas parciales{Sn}

porque en la may oría de los casos es imposible encontrar unaf órmula sencilla paraSn. Sin embargo, se pueden desarrollar criterios

de conv ergencia o divergencia basados en un análisis del n-ésimoterminoan. Estos criterios se aplican sólo para determinar si la serie

conv erge o div erge, no para calcular la suma.

Nota: La causa de que sólo tratemos series de términos positiv os esque las sumas parciales de estas series f orman sucesiones nodecrecientes, y las sucesiones no decrecientes que están acotadassuperiormente siempre convergen (teorema). Para demostrar queuna serie de términos positiv os conv erge, bastará mostrar que sussumas parciales están acotadas superiormente.

4.1. EL CRITERIO DE LA INTEGRALComo una integral def inida es límite de una suma por def inición eslógico esperar que puedan usarse como prueba de conv ergencia deseries. Veamos el siguiente teoremaTeorema 6. Si una f unciónf es continua y decreciente y tomavalores positivos enx ≥ 1 entonces la serie infinita

∞f (n) = f (1) + f (2) + · · · + f (n) + · · ·

n=1Conv erge si la integral impropia ∞ f(x)dx existe.1∞ (x)dx no existe.1 f Div erge si la integral impropia

La demostración de este teorema se encuentra ref erenciado en [1,2]56 Ejemplo 1. Usar el criterio de la integral para demostrar que laserie armónica1 + 12 + 13 + + 1 +nes div ergente.Solución: Si def inimosf (x) = 1 , entoncesf es una f unción continua ydecreciente que toma valores positiv os para

68



x≥1xy, por lo tanto, sé puede aplicar el criterio de la integral. Comoˆ∞ ˆ∞ 1 b 1 bf (x)dx = xdx = l´ m xdx = l´ m[ln x]11 1 b→∞ 1 b→∞= l m[ln b − ln 1] = ∞

b→∞Dado que la integral impropia es div ergente, la serie armónica ∞ 1 esdiv ergente.n=1 n

Ejemplo 2. Determinar si la serie inf inita

∞

ne

−n

es convergente odivergente. Solución:Sí definimosf (x) =xe

−xn=1

entonces la serie dada es igual a f (n). Six ≥ 1,f es continua y tomavalores positivos. Para investigar sif es decreciente, usamos la

primera deriv ada. Como

f (x) = e−x− xe−x = e−x (1 − x) ≤ 0 f es decreciente en [1, ∞). Por consiguiente puede aplicarse el criterio de la integral.ˆ∞ ˆ∞ ˆ b bf(x)dx = xe−xdx = l´ m xe−xdx = l´ım−e−x(x + 1)11 1 b→∞ 1 b→∞

= l´ mb + 1 + 2 = l´ m−b + 1 + l´ m2 = 2

b→∞−

eb

e b →∞ eb

b→∞ e ePor lo tanto la serie dada es convergente.

xe−xdx = −e−x + e−xdx = −xe−x− e−x + C

u = x −→ du = dx dv = e−xdx → v = −e−x

l´ mb→∞−b + 1 = ∞ Forma indeterminada (L’Hopital). Entonceseb ∞

l´ mb→∞− 1 = 0.eb

Así,

69



l ´m−b + 1 = 0b→∞ eb4.2. DEFINICIÓN DE P-SERIE O SERIE P.El criterio de la integral permite analizar la conv ergencia ydivergencia de muchas series como es la serie p.

Def inición 1. Una serie de la forma∞ 1 = 1 + 1 + 1 + + 1 +

n=1 np 1p 2p 3p np

Se llama una p-serie conp > 0Teorema 7. La serie p∞ 1 = 1 + 1 + 1 + + 1 +

n=1 np 1p 2p 3p np1. Converge sip > 1 2. Div erge si 0 < p ≤ 1

Demostración. Observamos primero que el casop = 1 corresponde ala serie armónica divergente. Supongamos ahora quep es un número

real positiv o dif erente de 1. Si se def inef (x) = 1 = x−p,xp

entonces f es continua y toma valores positivos parax ≥ 1. Además,para estos v alores dex se v e quef (x) = −px−p−1 y por tantof esdecreciente. Entonces,f satisf ace las condiciones del Criterio de laintegral. Consideremos

ˆ∞ ˆ∞ 1dx = l´ m x−pdx = l´ mx1−p bˆ b

f(x)dx =

1 1 xp b→∞1 b→∞ 1 − p1 =1 l´ m b1−p− 11 − p b→∞Sip > 1 entoncesp − 1 > 0 y la expresión anterior puede escribirse1 1 1

1 − p b→∞1 l´ mbp−1− 1 =1 − p(0 − 1) = −1 − p

Entonces por el criterio de la integral, la serie p conv erge para todop> 1. Si 0 < p < 1, entonces 1 − p > 0 yPor lo tanto por el criterio de la integral, la serie p es div ergente.

1 l´ m1

bp−1− 1 = ∞1 − p b→∞Sip

70



≤0, entoncesl´m1

b→∞ np = ∞. Por el criterio de n-ésimo término, la serie diverge.

Ejemplo 3. Determinar si la serie converge o div erge.

1. 1 + 1 + 1 + + 1 +

22 32 n2

La serie ∞ 1 conv erge porque es la serie p conp = 2 > 1n=1 n2

2. 5 +52 +53 + · · · +5 + · · ·n

La serie ∞ 5 div erge porque es la serie p conp = 1≤ 1n=1 n 2EJERCICIOS (Criterio de la integral y la p-serie)1. Inv estigar si la serie dada converge o no.(Cuando verif ique cadarespuesta, recuerda que puede haber más de una f orma dedeterminar la conv ergencia o divergencia de una serie)

∞ n ∞ (1/ ln n)a) n=1 n + 1 l) n=3 (ln n) ln2n − 1 b)

∞1

n=1 10n m) ∞5n

c)

∞−2 n=1 3 + 4n

n=1 n√n ∞ 1

d) ∞ n e−n n) n=1 (ln 2)nn=1 √n ∞ 1e) ∞n=12 ln n ñ) n=2 n(ln n)3

f

)n=1∞ 1 + 1 ∞ 2nn2 n3 o) n=1 n4 + 1g) ∞ sec h nn=1 ∞ n−0,99h)

∞ 2p) n=1n=1 1 + en ln 2 + ln 3 + ln 4 + ln 5 + ln 6+ . . i) ∞ 8 arctan n q) 2 3 4 5 6n=1 1 +

71



n2√1 1 1 1n r) 1 + 2

√2 +3√3 +4

√4 +5√5 + . . .

j) ∞ 5 − 2

n=1n3k) ∞ en 12 + 15 + 110 + 117 + 126 + . . .n=1 1 + e2n s)

2. Halle los v alores de p para los cuales la serie dada esconvergente.

1 b) ∞1

a) ∞n=2 n(ln n)p n=3 n ln n [ln(ln n)]p

3. Para que v alor dea, si lo hay, converge la serie

∞1n=1 n + 2a − n + 44. La f unci´on zeta de Riemann ζ se def ine con

∞ζ(x) = n−x. . .

n=1y se usa en la teoría de números para estudiar la distribución de losnúmeros primos.¿Cuál es el dominio deζ?

4.3. PRUEBAS DE COMPARACIÓN.

Hasta ahora hemos desarrollado criterios de convergencia para tiposespeciales de series, cuyos términos eran muy simples y debíancumplir condiciones muy especiales para que f ueran aplicables esoscriterios. La más mínima desv iación de tales condiciones los haciainserv ibles. Por ejemplo, en las series que siguen, la segunda serie

no puede ser estudiada con el mismo criterio, pese a ser muysimilares entre sí.

La serie

∞ n=11 es geométrica, pero ∞ n no lo es.2n n=0 2nLa serie

∞ n=1

72



1 es una serie p , pero ∞ 1 no lo es.n4 n=0 n4 + 2

Es por ello que en esta sección discutiremos cuatro criterios máspara series de términos positiv os que amplían mucho la colección de

series analizables. Y ello gracias a que permiten comparar una serie,con términos análogos, pero más complicados, a otra más sencillacuy a convergencia o div ergencia y a es conocida. En las pruebaspor comparación la idea es comparar una serie dada con una serieconocida convergente o que sea divergente.

La serie ∞ bn que usualmente se utilizan para comparar son las

series geométricas y la serien=1p.4.4. CRITERIO BÁSICO DE COMPARACIÓN (DIRECTA).El siguiente teorema indica como usar una serie conv ergente odivergente para demostrar que otras series también conv ergen odivergen.

Teorema 8. Sea la serie ∞ an una serie de términos positiv os:n=1

1. Sitodo entero positiv o∞ bn es una serie de términos posit iv os que se sabe que es

convergente yan≤ bn paran=1 n, entonces ∞ an es convergente n=1

2. Si ∞ bn es una serie de términos positiv os que se sabe que es

divergente yan≥ bn paran=1

todo entero positiv on, entonces ∞

an es divergente.n=1Demostración. Para demostrar la primera propiedad, denotamos:

∞L = bn y Sn = a1 + a2 + · · · + an

n=1Comoan≤ bn, sabemos que la sucesión

S1, S

2, S

3, · · ·

es no decreciente y acotada porL superiormente, luego debe ser convergente. Además, como

∞l´ m Sn = ann→∞ n=1

se sigue que ∞ an converge. La segunda propiedad es lógicamente

equiv alente a la primera, asín=1

que la demostración es completa.

73



Ejemplo 4. Determinar si la serie conv erge o diverge, aplicando elcriterio básico de comparación.1.

∞1 3. ∞ ln n

n=1 2 + 5n n=1 n

2n12. ∞n=1 n2− n + 1 4. ∞ n=1 2 +√n Solución:1. ∞ 1 .n=1 2 + 5n

Tenemos que el n–ésimo términoan =1 sugiere que comparemos esta

serie con 12 + 5n

aquella cuy o n–ésimo términob

n=5

n. La serieb

n=

∞1 n

n=1 5 es una seriegeométrica convergente con|r| = 1< 1.5 Además, 1 < 1 para todon ≥ 12 + 5n 5nPor el criterio de la comparación la serie dada es conv ergente. 2.

∞2n

n=1 n2− n + 1Tenemos que el n–ésimo términoa

n=2n

n2− n + 1 sugiere que comparemos esta serie con

74



los de una serie convergente, o mas grandes que los de una seriedivergente. Si son may ores o menores que una serie conv ergente odivergente, respectiv amente, entonces no se puede aplicar la pruebade comparación. Por ejemplo:

∞1

2n− 1n=1 La desigualdad1 >1 2n− 1 2n no sirv e, al menos en lo que concierne a la prueba decomparación, debido a que

∞1 n

bn =2n=1conv erge paraan> bn. No obstante se tiene la impresión de que ∞ 1

debe conv erger n=0 2n−1 debido a que es muy parecida a la serie

geométrica conv ergente ∞ 1 n . En tal caso, sen=1 2puede utilizar laprueba o criterio siguiente:4.5. CRITERIO DE COMPARACIÓN EN EL LÍMITE.

Con f recuencia una serie dada se parece a una p serie o a una seriegeometríca, pero no resulta f ácil establecer comparaciones términoa término. Entonces es útil recurrir a un segundo criterio decomparación, el criterio de comparación en el límite.

Teorema 9. Sea la serie ∞ an una serie de términos positivos cuya

naturaleza se desea determinar y sea

∞n=1bn una serie de términos positiv os cuy a naturaleza conocemos.n=1Considere el límitel´m

n→∞bnan = k. Entonces

Si k > 0 entonces ambas series conv ergen o div ergen. Sik = 0 y ∞

bn conv erge, entonces ∞ an converge.n=1 n=1

Sik = ∞ y ∞ bn div erge, entonces ∞ an diverge.n=1 n=1

76



La demostración de este teorema se encuentra ref erenciado en [7,9, 10] Ejemplo 5. Determinar si la serie conv erge o div erge.

13. ∞ 3n2 + 5n1. ∞n=1 3√n2 + 1n=1 2n(n2 + 1)

2.

∞ n + 24. ∞ 2nn + 5 n=1 5n3 + 2n + 1n=1 4n3 + 3n

Solución:1.

∞ 1n=1 3√n2 + 1 1 Tenemos que el n–ésimo términoan =3√n2 + 1 sugiere

que comparemos esta serie conaquella cuy o n–ésimo términob1 . La serie bn = ∞ 1 una serie p

divergenten =n2/3 n=1 n2/3

conp = 2< 1. Aplicando el criterio de comparación por límite3

3√ 1√3 l´

man = l ım n2 + 1 = l ım

3√n2 + 1 = l´

ım 3 n 2n2

1 n→∞ →∞ n2 + 1 = 1 > 0n→∞ bn n→∞

n2/3

y comob

ndiverge , se concluy e que la serie∞√ 1

n2 + 1 es div ergente.n=1 32.

∞ n + 2n=1 5n3 + 2n + 1

Tenemos que el n–ésimo términoa

n=n + 2

5n3 + 2n + 1 sugiere que comparemos esta serie con

aquella cuyo n-ésimo términob = 1.n n2

77



1 es una serie p conv ergente conp = 2 > 1. Aplicando el criterion =∞La serie bn=1 n2de comparación por límiten + 2

l´m

an= l ım 5n3 + 2n + 1= l ım n3 + 2n2 5

n

3+ 2

n+ 1 = 1> 0

n→∞ bn n→∞ 1 n→∞

n2

y como bn conv erge, se concluye que la serie ∞ n + 2 es

convergente.n=1 5n3 + 2n + 1 3.∞ 3n2 + 5n n=1 2n(n2 + 1)

Tenemos que el n–ésimo términoan =3n2 + 5n sugiere que

comparemos esta serie con2n(n2 + 1)aquella cuy o n-ésimo términobn = 3.

2n

∞ 31 n es una serie geométrica convergente conr = 1< 1.n =n=1 2 2 Laserie b

Aplicando el criterio de comparación por límite

3n2 + 5n

l ım an = l ım 2n(n2 + 1) = 13 l ı m 3n2 + 5n= 1 > 0

n→∞ bn n→∞ 3 →∞ n2 + 1

2n

y como bn conv erge, se concluye que la serie ∞ 3n2 + 5n es

convergente.n=1 2n(n2 + 1)4.

∞ 2nn + 5n=1 4n3 + 3n

78



Tenemos que el n–ésimo términoan =2nn + 5 sugiere que comparemos

esta serie con= 2

n 4n3 + 3n2n

aquella cuy o n-ésimo términobn n2. La serie bn = ∞ es una serie

divergenten=1 n2por el criterio del término n-ésimo, pues2

n

l´ mn→∞ n2 = 0 . Ahora aplicando el criterio de comparación por límite5 l ım an = l ım 4n3 + 3n 2nn3 + 5n2

2nn + 51 + n2n = 1> 0

n→∞b

nn→∞2

n= l ım 2n4n3 + 2n3n = l ım

n→∞ n→∞ 4 + 3 4

n2 n2 y como bn diverge, se concluye que la serie ∞ 2nn + 5 es

div ergente.n=1 4n3 + 3nCOMENTARIO:

Los criterios de conv ergencia que dependen de la comparación delas series con integrales u otras series, sé llaman criterios

extrínsecos. Estos son útiles, pero hay buenas razones para buscar criterios que no requieren comparaciones. En la práctica tal vez noencontremos las series o f unciones que necesitamos para que lacomparación sea ef icaz. Además, en principio, toda la informaciónsobre una serie dada debería estar contenida en sus propiostérminos. Por eso enfocaremos la atención en los criteriosintrínsecos (es decir, los que dependen únicamente de la serie en

cuestión).

79



EJERCICIOS 4.3.(Criterios de comparación)1. Determine si la serie es conv ergente o bien si es divergente.(Usar criterio de comparación directa o comparación en el límite).

1 m) ∞1

a) ∞n=1 n2 + 1n=1 2n− 5b)

∞√ 1

n+

3√nn)

∞√1n=1 2n=1 34 n − 1

∞ sin2n ñ) ∞n + 2nc)n=1 2n n=1 n22n

n3 1d) ∞n=1 n!n=2o) ∞ √n ln ne)

∞ 10n + 1 √n=1 nn(n + 1)(n + 2) p) ∞

n=1 n2 + 1f

)∞ 1 + cos n

n=1 n2q) ∞ 3n−1 + 1

∞√1

n=1 3n

80



g) n=1 n n2− 1r) ∞ n!∞ sin 1n=1 (2n)!

h) n=1 n s) ∞ n

i) ∞ln n n=1 3n(n + 1)(n + 2)n=2 n + 1 n2 + n + 1) ∞ 4n t) ∞ √

n6

+ n2

+ 13n− 1 n=1

n=1k)

∞1 u) ∞1

n=1 n +√n2 + 1n=1 1 + 2 + 3 + . . . + n∞ 1 v) ∞ n2n + 5l) n=1 1 + 22 + 32 + . . . + n2 n=1 4n3 + 3n 2. Utilizar el

criterio de la comparación en el límite con la serie armónica parademostrar que la serie an donde 0 < an< an−1div erge si l´ mn→∞nan =

0 .3. Probar que la serie de términos no negativ os

∞ ∞an y bn

n=1 n=1son convergentes, entonces también es conv ergente la serie ∞

anbn.n=14.6. CRITERIO DE LA RAZÓN ( O COCIENTE).

Cuando se aplica el criterio de la integral a una serie de términos

positivos ∞ an, dondean =n=1 f (n), los términos deben decrecer y se

debe poder integrar . Esto casi siempre excluye a las series conf actoriales u otras expresiones complicadas. Entonces v amos apresentar dos criterios que se pueden emplear para determinar conv ergencia o divergencia cuando no es posible aplicar otroscriterios. Desaf ortunadamente, como se indica en la parte (3), loscriterios no son concluyentes para algunas series.

Teorema 10. Sea la serie ∞ an+1

= Ln=1an una serie de términospositivos tal que:l´ mn→∞ an1. SiL < 1 la serie es conv ergente.

2. SiL > 1 o bien l´ man+1 = ∞ la serie es div ergente .n→∞ an3. SiL = 1, hay que aplicar otro criterio; la serie puede ser convergente o div ergente.Observaciones No demostraremos el teorema, sin embargo, un

análisis sencillo es hacer v er el resultado del teorema como algo

81



trivial.En efectol´m

n→∞an+1 = L, entoncesan+1≈ Lan; como aproximación que indica que laanserie se comporta como una serie geométrica, cuy a razón esL ysabemos que cuandoL > 1 la serie geométrica div erge.El criterio de la razón no proporciona inf ormación con respecto a laconv ergencia o div ergencia sian es una f unción racional, puesto que

siempre

l´ man+1 = 1

n→∞ an

El criterio de la razón casi siempre proporciona información conrespecto a la convergencia o div ergencia si el terminoan contiene

f actoriales (n!), f ormas exponenciales (an), potencias de potencias

(nn) o combinaciones de las f ormas anteriores.

Ejemplo 6. Determinar si la serie converge o div erge.

n 3. ∞ nn1. ∞

n=1 2nn=1 n!

(2n)!4. ∞ 2n + 52. ∞

n=1 3n(n!)2 n=1 3n Solución: Aplicando el criterio de la razón. 1.

∞ n

n=1 2nTenemos quean = n y an+1 =n + 1 entonces2n 2n+1

l´ man+1 = l´ mn + 1 2n n + 1 = l´ m2 = 1< 1

n→∞ an n→∞ 2n+1. n = l´ım 2nn→∞21 + 1

n n→∞Por lo tanto, por el criterio de la razón, la serie dada es conv ergente.

(2n)!2. ∞

n=1

3n

(n!)2

82



Tenemos quea

n=

(2n)! yan+1 = [2(n + 1)]! 3n+1 [(n + 1)!]2 entonces3n(n!)2

l ım an+1 = l ım 3n+1 [(n + 1)! ]2.3n(n!)2 1 [2(n + 1)]! (n!)2[2(n + 1)]!= l ım 3

(2n)! [(n + 1)! ]2n→∞ an n→∞ (2n)! n→∞l´ma

n+11

= 3 l ım (2n + 2) (2n + 1) = 23 l ı m 2n + 1 = 4> 1

n→∞ an →∞ (n + 1)2 →∞ n

Por lo tanto, por el criterio de la razón, la serie dada es div ergente[2(n + 1)]! = (2n + 2)! = (2n + 2) (2n + 1) (2n)!= (2n + 2) (2n + 1)(2n)! (2n)!(2n)!

(n!)2 n!2 n!2 1

[(n + 1)!]2 = (n + 1)!= (n + 1) n!= (n + 1)2

3.

∞nn n=1n!Tenemos quea

n=nn = (n + 1)n+1

y an+1 (n + 1)! entoncesn!

an+1=l´ma

83



n+1·1

= l´m(n+ 1)n+1 n! = l ım (n + 1)n+1 l´ım

n→∞ an n→∞ a

n n→∞ (n + 1)! nn

n→∞ nn (n + 1) (

n+ 1)n n + 1 n 1 + 1n

= l´ mnn = l´ımn = l m = e > 1n→∞ n→∞ n→∞ nPor lo tanto, por el criterio de la razón la serie dada es div ergente.n!

(n + 1)! = (n + 1)nn! ! =1

n + 14.

∞ 2n + 5 n=1 3nTenemos quean = 2n + 5 y an+1 = 2n+1 + 5 entonces3n 3n+1

l ım an+1 = l ım an+1 1= l ım 2n+1 + 5 3n + 5 = 13 l ım 2n+1 + 5

n→∞ an n→∞ an n→∞ 3n+1 · 2n →∞ 2n + 5

51

= →∞1 + 2n+1 = 2< 13 l´ m

1 5 32 + 2n+1Por lo tanto, por el criterio de la razón, la serie dada es conv ergenteOtra f orma de resolv erlo:

∞2n + 5 ∞ ∞ ∞=2n + 5= 2n ∞ 5 = 2 n ∞ 1 n

84



+ 3n 3+ 5 3n=1 3n 3n 3n 3n

n=1 n=1 n=1 n=1 n=1 Aplicando propiedades de las sumatorias, las dos últimas series

n1 n ∞ 2y 5 ∞ n=1 3 n=1 3

Son series geométricas con razonesr = 2, 1 < 1 conv ergentes. Por lotanto la serie

∞2n

+ 53 3

es convergente.n=1 3nEjemplo 7. Examinar la conv ergencia y divergencia de las siguientesseries (Tarea). (2n)!3. ∞ n + 21. ∞n=1 n=1 n(n + 1)n!n!2. ∞ 4nn!n! √nn=1 (2n)! 4. ∞

n=1 n + 1Ejemplo 8. Determine si la serie∞ 1 · 3 · · · (2n − 1) 4n· 2nn!n=1Converge o diverge.Solución: aplicando el criterio de la razóna

n= 1· 3 · · · (2n − 1)y an+1 = 1 · 3 · · · (2n − 1)(2n + 1) 4n· 2nn! 4n+1· 2n+1

(n + 1)! entonces

l ım an+1 = l ım an+1 1= l ım 1 · 3 · · · (2n − 1)(2n + 1) 4n· 2nn! n→∞an n→∞ an n→∞ 4n+1· 2n+1 (n + 1)! 1 · 3 · · · (2n − 1)(2n + 1)n! 2n + 1 + 1) = 18 l´ım 2n + 1=l ım 4 2(n + 1)! = l´ım

n→∞ →∞ 4 · 2(n →∞ n + 1 2 +

1= l´ mn = 1< 1n→∞ 1 + 1 4nPor lo tanto, por el criterio de la razón, la serie dada es conv ergente.4.7. CRITERIO DE LA RAÍZ.

El siguiente criterio, conocido como el criterio de la raíz y

85



estrechamente ligado con el criterio de la razón en la conclusión, esútil para determinar la conv ergencia o divergencia de las series cuy o

término general contenga sólo potencias den comonn oan.

Teorema 11. Sea la serie ∞

an una serie de términos positiv os talque:n=1

l´ mn√an = L

n→∞

1. Si L < 1 la serie es conv ergente.

2. SiL > 1 o bien l´ m

an+1

= ∞ la serie es div ergente.n→∞ an3. SiL = 1, hay que aplicar otro criterio; la serie puede ser convergente o div ergente.

La demostración de este teorema se encuentra ref erenciado en [5,6] Observ ación:√n = 1n→∞ nl ımEjemplo 9. Use el criterio de la raíz para establecer la conv ergenciao divergencia de las series. ∞=1 2

3n+13.∞

(3n+1)

n1. n nn n=1 (1+ 1)n(2n+1)nn2.

∞=1 2n

n n2 ∞ (n!)n 4. n=1 (nn)2 Solución:

∞=1 23n+11. n nn Tenemos que a

n= 2

3n+1

nn

86



entonces3+ 1 l´ mn√an = l´ mn 23n+1 2 n = 0 < 1n→∞ n→∞ nn = l´ım

n→∞ n

Por lo tanto la serie ∞=1 23n+1 es convergente.n nn

Nota: podriamos haber aplicado el criterio de la razón, pero laev aluación del límite seria más complicada.

∞=1 2n2. n n2

Tenemos que = 2nan n2

entonces

l´ mn√an = l´ mn 2n 2 = 2 > 1

n→∞ n→∞ n2 = l´ım (n√n)2n→∞Por lo tanto la serie ∞=1 2n es divergente.n n23.

∞ (3n+1)n n=1 (1+ 1)n(2n+1)nnTenemos quen a

n=(3n + 1) 1 +1 n (2n + 1)n

nentonces

l ı m n√an = l ım n (3n + 1)

n

(3n + 1) n→∞ n→∞ 1 +

1 n

(2n + 1)

n = l ım

1 + 1 (2n + 1)n n→∞n1 (3n + 1) 1 l ım (3n + 1)= l ım 1 + 1 (2n + 1) = l´ım

n→∞ 1 + 1 n→∞ (2n + 1)n →∞n

=3> 12Por lo tanto la serie dada es div ergente. Trate de analizar la serie

dada usando el criterio de la razón para que observ e la dif icultad delproceso.4.

∞ (n!)n n=1 (nn)2 Tenemos quen

an = (n!)

(nn)2 entonces l´ mn√an = l´ımn (n!)n n! = ∞n→∞ n→∞ (nn)2 = l´ mn2n→∞

Por lo tanto la serie

87



∞ (n!)n

n=1 (nn)2 es div ergente.

Pruebe por el criterio de la razón, y que puede decir de ello.EJERCICIOS (Criterio del Cociente y de la Raíz)

1. Usar el criterio del cociente para determinar si la serie dada esconvergente o divergente. n!h)

∞(

−1)n−1(3/2)n a)

∞n=0 3n n=1 n2

∞ n (−1)n24nb) n=1 2ni) ∞2nn=0 (2n + 1)!c) ∞ (−1)n

n=1 n! j) ∞4n

n ln n n=0 3n + 1d) ∞n=1 2n (−1)n+1n! e

)∞n2n(n + 1)! k) ∞

n=0 1 · 3 · 5 . . . (2n + 1)n=1 3nn!

f )

∞ n! ln nl) ∞ (−1)n2 · 4 · 6 . . . (2n) n=1 n (n + 2)!n=1 2 · 5 · 8 . . . (3n −

1) ∞ 1− 1m) ∞ 1 · 3 · 5 . . . (2n − 1)g) n=1 n n2 n=1 4n2nn!2. Usar el criterio de la raíz para estudiar la conv ergencia de la serie.n

n

∞ n

n

88



a)

∞n=1 d) n=1 (2n)22n + 1

b)

∞e−n e) ∞ (n!)n n=0n=1

nn2

c)

∞

(2n√n+ 1)

nf

)

∞(−1)nn=1 (arctan n)nn=13. Considere la serie

∞1 n=1 2n+1+(−1)n

4. Demuestre que la prueba de la razón no es apropiada para estaserie. 5. Use la prueba de la raíz para determinar si la serie esconvergente o div ergente.6. Demuestre que

∞ xn

n=1 n! conv erge para todax.

nDeduzca quel´mx

n→∞ n! = 0 para todax.

7. Probar que el criterio de la raíz no decide en el caso de una pserie.

4.8. CRITERIO DE RAABE.

89



Cuando para una serie dada falla el criterio del cocientel´m

a

n→∞ n+1 = 1 o el criterio de la raízl´m

n→∞n

√a

n= 1

an, el siguiente criterio puede aplicarse con éxito en la determinaciónde la conv ergencia o divergencia de la serie dada.

Teorema 12. Sea ∞ an una serie de términos positiv os tal que:n=1

l´ m n · an − 1

n→∞ an+1

1. Si L > 1 la serie es conv ergente.2. SiL < 1 la serie es divergente.

3. SiL = 1, hay que aplicar otro criterio; la serie puede ser conv ergente o divergente. La demostración de este teorema seencuentra ref erenciado en [13, 14]

Ejemplo 10. Determinar la conv ergencia o divergencia de la serie∞ 1 · 3 · 5 · 7 · · · (2n − 1) (2n + 1) · 2n· n!n=1Solución: Por la f orma del término n-ésimo nos v emos tentados a

aplicar el criterio de la razóna

n= 1· 3 · 5 · 7 · · · (2n − 1)y an+1 = 1 · 3 · 5 · 7 · · · (2n − 1) (2n + 1) (2n +

1) · 2n· n! (2n + 3) · 2n+1· (n + 1)! entonces,

l´ man+1 = l´ m an+1

· 1

90



n→∞ an n→∞ an

(2n + 1) (2n + 1)2

2 →∞

= l ım 1 · 3 · 5 · 7 · · · (2n − 1) (2n + 1) (2n + 1) · 2n

· n! n→∞ (2n + 3)· 2n+1· (n + 1)! 1 · 3 · 5 · 7 · · · (2n − 1)= l ım 1 (2n + 3) (n + 1)! = l´ım 22n! 1

n→∞ (2n + 3) (n + 1) 1

·

l´m4n2 + 4n + 1

= 2 n→∞ 2n2 + 5n + 3 = 1

Por lo tanto, por el criterio de la razón nada dice acerca de laconv ergencia o div ergencia de la serie. Apliquemos entonces elcriterio de Raabe y para ello considere el límite:l´mn·

an − 1 = l ım n

4n2 + 10n + 6− 1 = l ım

6n2 + 5n 4n2 + 4n + 1= 3>

1n→∞ an+1 n→∞ 4n2 + 4n + 1n→∞2 Por el criterio de Raabe la

serie dada es conv ergente.COMENTARIO.

Los criterios establecidos hasta ahora son los de más f recuente usoen un primer curso introductorio sobre series. Existen muchos otros

criterios, como el de Kummer, el del logaritmo, el de Prinsheim, etc.,que el estudiante puede encontrar en la bibliograf ía del f inal deltexto.

4.9. SERIES ALTERNAS O ALTERNANTES.

Todo el desarrollo teórico sobre series considerado hasta aquí esaplicable solamente a series con términos no negativ os, pero las

series con términos no positiv os pueden ser tratadas de la misma

91



forma.

En efecto, al ser ∞ an = − ( ∞ (−an)) , todas las consideraciones

mencionadas paran=1 n=1

series con términos positiv os puede aplicarse para series conterminos negativos.

Si ∞ an es una serie con terminos positivos y negativos, se puede

considerar en su lugar n=1

la serie ∞ |an| , cuyos terminos son todos no negativos y son

v alidos todos los resultadosn=1

presentados anteriormente. La conv ergencia absoluta o condicionalde una serie esta ligada a la conv ergencia o no de la serie ∞ |an|

f ormada por los v alores absolutos de la serie dada.n=1

4.9.1. SERIES ALTERNAS.Sea{an} una sucesión de términos positiv os. Una serie de cualquiera

de las formas

∞(−1)nan = −a1 + a2− a3 + a4− · · · + (−1)nan· · ·

n=1o

∞(−1)n+1a

n = a

1− a

2 + a

3− a

4 + · · · − (−1)n+1a

n· · ·

n=1

Se denomina serie alterna. Es decir, en las series alternas siempreaparece un término positiv o seguido de un término negativ o ov icev ersa. El siguiente criterio constituy e una prueba de laconv ergencia de una serie alternada. A esta se le denomina criterio oprueba de la serie alterna, también se le conoce como criterio deLeibniz para series alternas, y a que Leibniz lo f ormuló en 1705.

92



Comoan+1< an toda cantidad entre paréntesis es positiv a. Por lo

tantoS2n≤ a1 para todo entero positiv on. Luego{S2n} es acotada y

creciente. Converge a cierto limiteL. Ahora bien, comoS2n+1 = S2n + a2n+1 y l´ımn→∞a2n+1 = 0.

Resultal´ m a2n+1 = l´ m S2n + l´ım a2n+1 = L + l´ım a2n+1 = L

n→∞ n→∞ n →∞ n →∞Ya que tanto la sucesión de sumas parciales pares como lasimpares convergen al mismo límiteL, se sigue que{S2n} converge aL

también. En consecuencia, la serie alternada dada es conv ergente.Ejemplo 11. Use el criterio de las series alternantes para establecer

la convergencia o div ergencia de las series.∞(−1)n+1 13. ∞ (−1)n n1. n=1 n n=1 ln 2n∞ (−1)n+1 n+34. ∞(−1)n−1 2n2. n=1 n(n+1) n=1 4n2−3Solución:1.

∞(−1)

n+11= 1

−12 + 11− 4 + · · ·n=1 n

Aplicando el criterio de las series alternantes tenemos

f(n) = 1

nSe debe demostrar quean≥ an+1 para todo entero positiv on.

Mostremos quef (x) = 1 es decreciente parax ≥ 1x f (x) = − 1< 0x2Se deduce quef es decreciente y por lo tanto,an≥ an+1, para todo

entero positiv on . Otra f orma de obtener el mismo resultado es

demostrando quean− an+1≥ 0. Concretamente, sia1 = 1 yan+1 =n + 1,

entoncesn n

94



a1− an+1 = 1−n + 1 =

1 1n(

n+ 1) ≥ 0npara todo entero positiv on oan≥ an+1 1

≥n + 1 1 n

Además

l´ m1 = 0n→∞an = l´ım

n→∞ n

Se verif ica que la serie armónica alterna ∞ (−1)n+1 1 converge.n=1 n2.∞ (−1)n+1 n + 3 4 − 2 3 +3 4

− n=1 n (n + 1) =5 6

1 · 2

Aplicando el criterio de las series alternantes tenemos:n + 3f(n) = n (n + 1)Se debe demostrar a

n≥a

n+1para todo entero positiv on. Mostremos que f ( x ) = x + 3 x (x + 1) es decreciente parax ≥ 1 x +3 x + 3f (x) = x (x + 1) = x2 + x

f (x) =x2 + x − (x + 3) · (2x + 1)= −x2 + 6x + 3 < 0x2 (x + 1)2 x2 (x + 1)2Se deduce quef es decreciente y por lo tanto,an≥ an+1, para todo

entero positiv on. Ademásn + 3l´ m an = l´ım

n→∞ n→∞ n (n + 1) = 0

Se verif ica que la serie alterna ∞ (−1)n+1 n+3 converge.n=1 n(n+1)3.

95



m1

n→∞ 1/n = l´ımn→∞n = ∞

Así pues {an} no converge a cero y, por tanto, el criterio de las

series alternadas no es aplicable. Sin embargo por el criterio del n-ésimo término para la div ergencia nos permite concluir que la seriedada div erge.4.

∞ (−1)n−12n

n=1 4n2− 3 Aplicando el criterio de las series alternantes tenemos:2nf (n) =4n2− 3Se debe demostrar quean≥ an+1 para todo entero positiv on.

Mostremos que2xf (x) =4x2− 3

es decreciente parax ≥ 1f (x) = −2 (4x2 + 3) < 0(4x2− 3)2Se deduce quef es decreciente y por lo tantoan≥ an+1, para todo

entero positiv on. Además2l´ma

n= l´m2nn4n

2−3 = l´m4 − 3 = 0

n→∞n →∞ →∞n2

Se verif ica que la serie alterna ∞ (−1)n−1 2n converge .n=1 4n2− 3Ejemplo 12. Determine si la serie alternante converge o diverge

97



∞ 2n(−1)n−1

n=1 4n − 3

Puede demostrarse quean≥ an+1 para todo entero positiv on; sin

embargo

2n 3 = l´ m4 − 3 = 1 = 0

nl´ m2

n→∞→∞an = l´ım 4n − →∞n 2

y por tanto, de acuerdo con el criterio del n-ésimo término para ladivergencia nos permite concluir que la serie div erge.4.9.3. CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONVERGENCIACONDICIONAL.

Def inición 2. Una serie inf inita cualquiera ∞ an converge

absolutamente (es absolutamenten=1

conv ergente) si la serie correspondiente de v alores absolutos ∞ |an|

conv erge. Es decir, unan=1serie converge absolutamente si la serie formada por los v aloresabsolutos de los términos de la serie dada conv erge.

Observe que si ∞ an es una serie de términos positiv os,

entonces|an| = an y en este cason=1conv ergencia absoluta es lo mismo que convergencia.

Def inición 3. Cuando una serie inf inita ∞ an es conv ergente, pero la

serie f ormada por losn=1v alores absolutos de los términos de la serie dada diverge, sé diceque la serie dada conv erge condicionalmente o que escondicionalmente convergente

Teorema 14. Si la serie ∞ |an| converge, entonces la serie ∞ an esconvergenten=1 n=1La demostración de este teorema se encuentra ref erenciado en [4,5, 2] Ejemplo 13. Tenemos la serie alternante armónica.

∞(−1)n+1 1 1 = −12 + 1− 4 + · · ·

98



2(n−1) 1 =1 = 13 + 19 + 127 + 181 + · · ·

n

=13

n 3nn=1Es una serie geométrica conv ergente conr = 1< 1 . Comoconsecuencia la serie dada es3absolutamente convergente y , por tanto, convergente.

(

− 1)n

2. ∞ 11 +1 −13 +1 − · · ·n=1 √n = −2 4 Aplicando el criterio de las series alternantes tenemos:f (

n) =1nSe debe demostrar quea

n

≥a

n+1para todo entero positiv on. Mostremos que f ( x ) = 1 x es decreciente parax ≥ 1 .

f (x) = − 1 < 02x3

2Se deduce quef es decreciente y por lo tanto,an≥ an+1 , para todo

entero positiv on. Además

l´ m1 = 0

n→∞ n

100



Se verif ica que la serie alterna conv erge. Ahora la serie correspondiente de v alores absolutos∞ (− 1)n ∞

√ 1 = 11 +12 +13 +14 +

n=1n = nn=1div erge porque es la serie p conp = 1< 1.2Concluimos que la serie dada es condicionalmente convergente.

3. ∞ (−1)nn! = 0!−

1! + 2!− 3!

+ n=0 2n 20 21 22 23

El criterio de las series alternantes no es aplicable a esta serie, pese

a ser alternada, debido a que el límite del término general no es cero. Ahora la serie correspondiente de v alores absolutos

∞ ∞

(−1)nn! = n! = 0! + 1! + 2! + 3! +

n

=02n 2n 20 21 22 23 n=0

Aplicando el criterio de la razón tenemos:a

n=

n!; an+1 = (n + 1)!2n 2n+1l´m

an+1 = l ım an+1 1= l ım (n + 1)! 2n

· n!n n→∞ an n→∞ 2n+1n→∞ a

= l ım (n + 1) · n!= l ım (n + 1)= ∞

n→∞ 2n!n→∞ 2

Por lo tanto, por el criterio de la razón, la serie dada es div ergente.

4. ∞ cos n = cos 1 + cos 2 + cos 3 + cos 4+ n=1 n2 12 22 32 42

Esta serie tiene términos negativos y positivos, pero no es

alternante. (El primer término es positiv o, los siguientes t res son

101



negativos y los siguientes tres son positivos. Los signos cambiancon irregularidad).

Ahora la serie correspondiente de v alores absolutos∞ cos n∞

=|cos n|n

2 n2n=1 n=1Puesto que|cos n| ≤ 1 para todon, y usando el criterio de

comparación directa tenemos que el n-ésimo término| cos n|an = n2sugiere que comparemos esta serie con aquella cuy o n-ésimotérminobn = 12. La serien∞ 1bn =n2

n=1conv erge porque es la serie p conp = 2 > 1. Además. |cos n| 1

para todon ≥ 1n2 ≤n2Por el criterio de la comparación directa la serie ∞ | cos n| esconvergente.n=1 n2

Así la serie dada es absolutamente conv ergente y, por tanto,convergente.EJERCICIOS 4.9.(Series alternantes)1. Analizar si la serie dada es convergente o div ergente, usando el

criterio de las series alternadas 1f ) ∞ (−1)n n + 1a) ∞

√

n=1 (−1)n−1√2n + 1 n=0 8n + 51g

)∞(−1)

n−

102



11

b) ∞ (−1)n+1 n=1n2/3n=1 2n − 1 1c

)∞(−1)

n3

nh)

∞ (−1)n−1n=1 ln(n + 1)n=1 n2 ∞ cos nπd)

∞(−1)

n

1 i) n=1∞(−1)

n

+1n

nn=0 (2n)! j)n=1 10e)

∞

103



(−1)

n

+12√k)

∞ (−1)n+1 n + 1 n=1 en− e−n n=1 n + 1 2. Determinar si la serie dada es

absolutamente convergente, condicionalmente convergente o

div ergente.a)

∞ (−1)n+1 1 i) ∞ (−1)n−13n

n=1 nn=1 n4 + 4 b) ∞ (−1)ne−n ∞ (−100)nn=1 j) n=1 n!c) ∞ (−1)n 1n=1 n + 3

k) ∞ (−1)narctan n d

)

∞ (−1)nsin n n=1 n2

n=1 n2 l) ∞ (−1)n31/n

∞(

−1)

n√1

n=1e) n=0√n + 1 −√n)

n 3 n + 1 m) ∞ (−1)n(

n=1∞ cos nπ ∞ (−1)n (2n)! f) n=1n3/4 n)n=1 2nn!ng)

∞2n−1

n=11 3 +1 3 5 + . . . +5n(n + 1) ñ) 1 +2! 3! h) ∞ 10 − 2n 1 · 3 · 5 . .

. (2n − 1)+ . . n=1 n! n!

104



3. Muestra que si ∞ an div erge, entonces ∞ |an| diverge también.n=1n=1

4. Demostrar que la p- serie alternada ∞ (−1)n 1 + . . . converge si p >0.n=1 np

105



5SERIES DE POTENCIAS

Ahora que sabemos analizar la conv ergencia de series inf initas,estudiaremos un tipo importante de series con términos v ariablesdenominada serie de potencias, la cual se puede considerar comouna generalización de una f unción polinomial. Vamos a utilizar lasseries de potencias para calcular v alores de f unciones como sin x,

ex, ln x,√x que no se pueden ev aluar por medio de operacionesaritméticas comunes para determinar valores de f unciones

racionales.

Una serie de potencias es aquella que tiene la f orma

∞cnxn = c0 + c1x + c2x2 + · · · + cnxn + · · · (5.0.1)

n=0

En donde x es una variable y loscn son constantes, llamadoscoef icientes de la serie. Para cadax f ija, la serie (5.0.1) es una seriede constantes que podemos probar para v er si es convergente. Unaserie de potencias puede conv erger ante ciertos v alores de x ydivergir ante otros . La suma de la serie es una f unción

∞f (x) = cnxn = c0 + c1x + c2x2 + · · · + cnxn + · · ·

n=0

Es el conjunto de todas las x para las que conv erge la serie.Observara quef se parece a un polinomio. La única dif erencia esquef tiene una cantidad inf inita de términos. Por ejemplo, concn = 1

para todon la serie de potencias se transf orma en la seriegeométrica

∞ 1xn = 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + · · · =1 − xn=0Que conv erge cuando|r| = |x| < 1 ⇔ −1 < x < 1 y diverge cuando|x|> 187 De manera más general una serie de la f orma

∞

106



cn (x − a)n = c0 + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + · · · + cn (x − a)n + · · ·

(5.0.2)

n=0

Se llama serie de potencia en (x − a) .o serie de potencias centradaena o serie de potencias alrededor dea. Observ e que six = a todoslos términos son cero paran ≥ 1 y así la serie de potencias (5.0.2)siempre conv erge cuandox = a

Los siguientes ejemplos muestran como se puede utilizar el criteriode la razón para determinar los v alores dex para los cuales una seriede potencias es conv ergente.Ejemplo 2. Determinar los v alores dex para los cuales la serie depotencias dado sea convergente. 2

nxn 2. ∞ (−1)n+1n! · xn3. ∞ (x − 3)n

1.

∞ (−1)n+1n=1

n · 3n n=1 n=1

nSolución:1.

∞ (−1)n+1 2nxn

n=1 n · 3n Para la serie dada a

n= (−1)

n+12

nxnn+2 2n+1xn+1y an+1 = (−1) (n + 1) · 3n+1n · 3n

Aplicando el criterio de la razón tenemos:l´ma

n

107



+1=l´m

an+1·1= l´m

(−1)n+2 2n+1xn+1 n · 3n

(−1)n+1 2nxnn→∞ an n→∞ an n→∞ (n + 1) · 3n+1

= l ım 2 nx = 2|x| l ım n + 1 = 2| x|

n→∞ 3 (n + 1)3 n→∞Por lo tanto la serie de potencias será absolutamente convergente

cuando 2|x| < 1 o|x| < 3

o en f orma equivalente−3< x < 3 3 2

2 2. La serie conv ergerá para cualquier numero del interv alo abierto

−3, 3 .2 2Hay que realizar por separado comprobaciones de la conv ergencia

de la serie en puntos de f rontera. Sustituy endox por el valor de 3 enla serie de potencia se obtiene2

∞ 2nxn ∞ 1 = 1 − 12 + 1− 4 + · · · − (−1)n+1 1 + · · · n=1 n 3n = (−1)n+1 1

(−1)n+1

n=1n n

Tenemos la serie alternante armónica que es una serie conv ergentepor el criterio de las alternantes.

De manera semejante, sustituy endox por el v alor de−3 en las serie

108



de potencias se obtiene2∞ 2nxn ∞ 1(−1)n+1 = (−1)n+1 (−1)n

n · 3n nn=1 n=1

∞= (−1)2n+1 1 = −1 − 1− 1− 1− · · · − 1− · · · n=1 n 2 3 4 n

Es una serie armónica que es div ergente.Concluimos, entonces que la serie de potencias dada esconv ergente en el interv alo3< x ≤ 3−2 22.

∞ (−1)n+1n! · xn

n=1Para la serie dada an = n! · xn y an+1 = (n + 1)! · xn+1 Aplicando el

criterio de la razón tenemos:

n

l ım an+1 = l ım an+1 1= l ım (n + 1)! · xn+1

→∞a

nn→∞a

nn→∞n!·

xn= l m | (n + 1) x|

n→∞

= |x| l´ım (n + 1) =0 si x = 0 n→∞ +∞ si x = 0De acuerdo con el criterio de la razón, la serie div erge parax = 0. Por

lo tanto, la serie original solo conv erge parax = 0

109



(x−3)

n3.

∞n=1nPara la serie dadan = (x − 3)n+1a

n= (x − 3)

ny an+1 n + 1 Aplicando el criterio de la razón tenemos:

l´ man+1 = l´ m an+1· 1 = l´ m(x − 3)n+1 n n→∞ an n→∞ an n→∞ n + 1

(x − 3)n

n= |x − 3| l´ımn + 1 = |x − 3|

n→∞

Por lo tanto la serie de potencias será absoltamente convergentecuando |x − 3| < 1 o en su f orma equivalente 2 < x < 4. La serieconv erge para cualquier númerox del interv alo abierto (2, 4).

Hay que realizar por serparado comprobaciones de la conv ergenciade la serie en los puntos de f rontera. Sustituy endox por el v alor de 4en la serie de potencias, se obtiene:∞ 1n ∞ 1 = 1 + 12 + 13 + + 1 +

n=1n = n nn=1

Es un serie geométrica div ergente.De manera semejante, sust ituy endox por el v alor de 2 en la serie depotencia se obtiene:∞ (−1)n 1 + 1−

13 + 1− − 1

+

n=1

n

110



= −

2 n

Tenemos la serie alternante armónica que es una serie conv ergentepor el criterio de las series alternantes. Concluimos, entonces que laserie de potencias dada es conv ergente en el interv alo

2 ≤ x < 4 Ejemplo 3. Determinar los v alores dex para los cuales laserie de potencias dada es conv ergente.

∞xn

(−1)n

n=1 (2n − 1) · 32n−1Para la serie dadaa

n= (−1)

nx

nn+1 xn+1y an+1 = (−1) (2n + 1) · 32n+1(2n − 1) · 32n−1

Aplicando el criterio de la razón tenemos:an+1 = l´ m an+1· 1l´ım

n→∞ an n→∞ an=

l ım (−1)n+1 xn+1 (2n − 1) · 32n−1 →∞ (2n + 1) · 32n+1 (−1)nxnn

=l ı m 1|x| (2n + 1) = 1|x| l ım (2n + 1) = 1|x|

n→∞ 9 (2nn→∞ (2n

Por lo tanto la serie de potencias será absolutamente convergente

cuando 1|x| < 1 o|x| < 9 o en9f orma equiv alente−9 < x < 9. La serie conv ergerá para cualquier númerox del interv alo abierto (−9, 9).Hay que realizar por separado comprobaciones de la conv ergenciade la serie en los puntos de f rontera. Sustituy endox por el v alor de 9

en la serie de potencia se obtiene

111



∞xn ∞9n(−1)

n = (−1)n(2n−1)·3

2n−1 (2n − 1) · 32n−1

n=1 n=1∞ 32n ∞ 3 (−1)n = (−1)n = 2n − 1n=1 (2n − 1) · 32n−1

n=11 + 1−

5 +· · ·+ 3 (−

1)n 1= 3 − − 1 + · · ·

3 2n Aplicando el criterio de las series alternantes tenemos:f (n

) =3

2n − 1

Probemos quean≥ an+1 para todo entero positiv on. Mostremos que3f (x) =2x − 1es decreciente parax ≥ 16 f (x) = −(2x − 1)2< 0

Se deduce quef es decreciente y por lo tantoan≥ an+1, para todo

entero positiv on Además

112



3 entonces la serie dada es igual a f (n). Six ≥ 1,f es continua y2x − 1f es decreciente usamos la primera derivada.3f (x) =2x − 1

f (x) = −6 < 0(2x − 1)2

Es decreciente en [1, ∞). Por consiguiente puede aplicarse el criteriode la integral.

ˆ∞ ˆ b 3 3b

f (x) dx =ˆ∞ 3 dx = l´ m2x − 1dx = l´ m 2 ln |2x − 1|

1 1 2x − 1 b →∞

1 b→∞

13= 2 l´ mln |2b − 1| = ∞→∞Esto muestra que la serie es div ergente.

Concluimos , entonces que la serie de potencias dada esconv ergente en el intervalo −9 < x ≤ 9

Veremos que el uso principal de una serie de potencias es queof rece un medio de representar algunas de las f unciones másimportantes que surgen en Matemáticas, Fisica y Química. Enparticular, la suma de la serie de potencias del ejemplo que sigue sellama f unción de Bessel, en honor de Friedrich Bessel, astrónomoalemán (1784-1846). Estas f unciones se originaron al resolver laecuación de Kepler que describe el mov imiento planetario. Desde

entonces se han aplicado en muchos casos distintos de la f ísica,como la distribución de

temperaturas en una placa circular.[15]

114



Así, de acuerdo con el criterio de la razón, la serie original conv ergepara todos los v alores dex. En otras palabras, él dominio de laf unción de BesselJ0 es (−∞, ∞) = R

(n!)

2

n!

2

n!

2

1 [(n + 1)!]

2 =

(n + 1)!

=

(n + 1) n!

=

(n + 1)

2

Recordamos que la suma de una serie es igual al límite de lasucesión de sumar parciales. Por ello, cuándo def inimos la f unciónde Bessel como la suma de una serie, queremos decir que para todonúmero realx

∞ x2i J0 (x) = l´ım Sn (x) donde Sn (x) = (−1)i n→∞ i=0 22i (i!)2

Las primeras sumas parciales son:S0 (x) = 1 S

1(x)=1

− x2 4

x2 x4S2 (x) = 1 − 4 +64x2 x4 x6

S3 (x) = 1 − 4 +64−2304x2 x4 x6 x8

S4 (x) = 1 − 4 +64− 2304 +147456

En la f igura 1 se representa la gráf ica de estas sumas parciales, queson polinomios. Todos son aproximaciones a la f unción J0 pero las

aproximaciones mejoran conforme se agregan más términos. En la

f igura 2 se ilustra una gráf ica más completa de la función de Bessel.Figura 1: Sumas parciales de la f unción de Bessel.

Figura 2: Función de Bessel.

En las series de potencias que hemos tratado, el conjunto de valoresde x para los que la serie conv erge siempre ha sido un interv alo[f inito para la serie geométrica y la del ejemplo 2.3, inf inito (−∞, +∞)

ejemplo 4 , y el “colapasado” [0, 0] = {0} en el ejemplo 2.2. El

116



teorema que sigue. Af irma que esto es cierto, en general.Teorema 5. Para una serie de potencias dada

∞

cn (x − a)n

n=0Solo hay tres posibilidades:

1. La serie solo converge cuando x = a2. La serie conv erge para todox3. Hay un número positivoR tal que la serie converge si|x − a| < R.

y diverge si|x − a| > R

La demostración de este teorema se encuentra referenciado en [4,7]El númeroR se denomina radio de conv ergencia de la serie depotencias. Por convención, el radio de conv ergencia esR = 0 en elcaso 1. y R = ∞ en el caso 2.El interv alo de conv ergencia de una serie de potencias consta detodos los v aloresx para los cuales la serie conv erge.En el caso 1. El interv alo solo consta de un puntoaEn el caso 2. El interv alo es (−∞, +∞)

En el caso 3. La desigualdad|x − a| < R, se puede escribir en laf ormaa − R < x < a + R. Cualquierx es un punto extremo delintervalo (esto esx = a ± R) puede suceder cualquier cosa: la serie

puede converger en uno o ambos puntos extremos o divergir enellos. Así es este caso pueden ocurrir cuatro posibilidades

(a − R, a + R) , (a − R, a + R] , [a − R, a + R), [a − R, a + R]conv ergencia para |x-a|<Ra-R a a+Rdivergencia para |x-a|>R

A cont inuación se resume el radio de conv ergencia de los ejemplosanteriores. Series Radio de Interv alo de Convergencia ConvergenciaSerie Geométrica∞ xn

n=0R = 1 (−1, 1)Ejemplo 2. 1

∞ (−1)n+1 2nxn n=1 n · 3n

117



R = 3−3, 3

2 2 2Ejemplo 2.2∞ (−1)n+1n! · xn

n=1R = 0 [0, 0] = {0}Ejemplo 2.3

∞ (x − 3)n

n=1nEjemploxn 3∞ (−1)n

n=1 (2n − 1) · 32n−1 R = 1 [2, 4)R = 9 (−9, 9]Ejemplo 4J

0(x) =

∞ (−1)n x2n

n=0 22n (n!)2

R = ∞ (−∞, ∞)

En general se debe emplear la prueba de la razón, o a v eces laprueba de la raíz, para determinar el radio de conv ergencia R. Loscriterios de la razón y de la raíz f allan en un punto extremo delintervalo de convergencia, por lo que se debe comprobar los puntosextremos con algún otro método.

Ejemplo 6. Determine el radio y el interv alo de conv ergencia de lassiguientes series: xn n · (x + 2)n

1.

∞ (−3)n√n + 1 2. ∞n=0 n=0 3n+1Solución:

118



1.

∞ (−3)n xn

n=0 √n + 1 Para la serie dada

an= (−3)

nxn n+1 xn+1 √n + 1 y an+1 = (−3)√n + 2

Aplicando el criterio de la razón tenemos:

l´ man+1 = l´ m an+1· 1 = l´ m (−3)n+1 xn+1 √n + 1

n→∞ an n→∞ an n→∞√n + 2· (−3)nxn

=3 l´m

x·1 +

1n = 3 |x|

n

→∞1 +

2nPor tanto la serie de potencias será absolutamente conv ergente

cuando 3 |x| < 1 o|x| < 1 o en forma equiv alente

−1< x <

13. La serie conv ergerá para cualquier númerox del intervalo

abierto

119



−1, 1 3 3 R = 1

3 3 . Esto signif ica que el radio de conv ergencia es3

Hay que realizar por separado comprobaciones de la conv ergenciade la serie en los puntos de f rontera. Sustituy endox por el valor de 1

en la serie de potencia se obtiene3∞ xn ∞ 1 n ∞ (−1)n 1 −12 +1 − · · · −

n=0 n + 1 = (−3)n √ 3 + 1 =n=0 n + 1 =1 3n=0 n √(−3)n √

Aplicando el criterio de las series alternantes tenemos: f ( n ) =

√ 1 n+1Probemos quean≥ an+1 para todo entero positiv on. Mostremos quef

(x) = √1 es decreciente parax ≥ 1x + 1 1 f (x) = −2 (x + 1)3/2< 0

se deduce quef es decreciente y por lo tanto,an≥ an+1, para todo

entero positiv on. Además

l´ m an = l´ım √1

n→∞ n→∞ n + 1 = 0

Se verif ica que la serie alterna

∞(−1)n

√n + 1 converge.n=0

De manera semejante, sustituy endox por el v alor de−1 en la serie depotencia se obtiene:3∞ xn ∞ −1 n ∞ 1 ∞ 1(−3)n √n + 1 = (−3)n √n3 √ + 1 =n=0 n + 1 =n=1 nn=0 n=0= 11 +12 +13 + +

Div erge porque es la serie p conp = 1≤ 12Concluimos, entonces que la serie de potencias dada converge

cuando−

1

< x ≤

1

, y el intervalo de convergencia es−

1, 13 3 3 32.

∞ n · (x + 2)n

n=0 3n+1

Para la serie dada

120



a

n=n

·(x+ 2)n = (n + 1) · (x + 2)n+1

y an+1 3n+23n+1 Aplicando el criterio de la razón tenemos:

l´ man+1 = l´ m an+1· 1

n→∞ an n→∞ an(n+ 1)·

(x+ 2)

n+13n+1= l ım 3n+2 n · (x + 2)nn→∞=1|x + 2| l´ mn + 1 = 1|x + 2|3 n→∞ n 3

Por lo tanto la serie de potencias será absolutamente convergente

cuando 1|x + 2| < 1 o en3 f orma equivalente−5 < x < 1. La serie

conv ergerá para cualquier númerox del interv alo abierto (−5, 1). Estosignif ica que el radio de conv ergencia esR = 3

Ahora debemos inv est igar la conv ergencia en los puntos extremos

de dicho interv alo. Si x = −5 en la serie∞ n · (x + 2)n ∞ n · (−3)n = 1∞

n=03

n+1 (−1)nn

n=0

121



= 3n+13 n=01

=nn · · · )3 (−1 + 2 − 3 + 4 − · · · (−1)

Por el criterio de la divergencia [(−1)n

n no conv erge a 0].De esta manera semejante, sustituy endox por el valor de 1 en laserie de potencia se obtiene:∞ n · (x + 2)n ∞ n · (3)n = 1∞

n

n=0 n=03n+1 = 3n+1 3 n=01= 3 (1 + 2 + 3 + 4 + + n + )

que también div erge, según el criterio de la divergencia.Concluimos, entonces que la serie de potencias dada convergecuando−5 < x < 1, y el interv alo de conv ergencia es (−5, 1)EJERCICIOS 5.0 (Intervalos de conv ergencia de las series)1. Determine el radio y el interv alo de conv ergencia de lassiguientes series.¿Para qué valores dex conv erge la serie?

a) k) ∞ n!(x − 4)nn=0

∞xn 10n

b)

n=1√nl)

∞xn

n=0 n!

c) ∞ (−3)n x m) ∞ (−1)n−1 1nxnn=0 n n=1

2n· (x − 2)n 1x2n−1d) ∞ 3n) ∞ (−1)nn=0 n + 1 n=1 (2n − 1)!e)∞ xn (x − 5)n

122



n=1n√n3n ñ) ∞ (−1)n+1

n=1 n5nx2n+1 ∞(2n)!

x nf) ∞

n=0o) n=0 2n!g)

∞n·(x+ 3)n (−1)n+13 · 7 . . . (4n − 1)(x − 3)n p

)

∞n=0 5n n=1 4nn ∞nxn

h)

∞n=0 1 + 1 xn q) n=1 1 · 3 · 5 . . . (2n − 1)ni)

∞ (−1)n+1(x + 2)n ∞ln n n n=1 n2n r)n=1 n + 1(x − 5)1 xn j) ∞ (4x − 5)2n+1 s) ∞ (−1)n

n=1 n3/2n=1 (2n − 1)32n−1

2. Sik es un entero positiv o, encuentre el radio de convergencia dela serie∞ (n!)k n=0 (kn)!xn 5.1. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES COMO

SERIE DE POTENCIAS.

Se puede usar una serie de potencias ∞

cnxn

para def inir la f unciónf

123



cuyo dominio es eln=0intervalo de conv ergencia de la serie. Concretamente, para cadax eneste interv alo, se def inef (x) como la suma de la serie; es decir

f (x) = c0 + c1x + c2x

2

+ · · · + cnx

n

+ · · ·Si una f unciónf esta def inido de esta manera, se dice que ∞ cnxn es

una representación en serie de potenciasdef (x

)(o paraf (x)

n=0) .También se usa la expresión “f esta representada por la serie depotencias”.

Una representación en series de potenciasf (x) = ∞ cnxn permite

encontrar los v alores de la función de una manera nuev a. Así, sia

n=0esta en el interv alo de convergencia, entoncesf (a) puede calcularse(o estimarse) calculando (o estimando) la suma de la serie

f (a) = a0 + c1a + c2a2 + · · · + cnan + · · ·

Puede preguntarse porque deseamos expresar una función conocidaen forma de una cantidad inf inita de términos. Veremos masadelante que esta estrategia es útil en la integración de funcionesque no seria posible manejar de otra manera a f in de resolv er ecuaciones dif erenciales y aproximar f unciones mediantepolinomios. (En ciencias se hace esto con objeto de simplif icar lasexpresiones que se manejan, en computación para representar f unciones en calculadoras y computadoras. Comenzaremos con unaecuación que ya habíamos visto:

∞

124



xn = 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + · · · =1 x, |x| < 1 (5.1.1) n=0 1 −

Esta ecuación se encontró en el ejemplo 8.4 del capitulo 3, donde seobservo una serie geométrica cona = 1, r = x .De aquí que nuestropunto de v ista es completamente distinto: consideráremos que la

ecuación (5.1.1) expresa la f unciónf (x) =1

1 − x en forma de una suma de una serie de potencias. En los

siguientes ejemplos, recuerde que:∞ar n = a r, |r| < 1 n=0 1 −

Serie Geométrica. Ejemplo 7. Exprese1 en términos de la suma deuna serie de potencias y determine el1 + x2intervalo de conv ergencia.

Solución:

Tiene la f orma de la suma de una serie geométrica. Expresemos a1

así:1 + x21

∞ ∞

−x

2n=(−

1)nx

2n= 1

−

125



x

2+x

4− x

6+ x

8− · · · 1 +1 =

1 − (−x

2

) =n=0 n=0 x

2

Ya que es una serie geométrica, converge cuando|−x2| < 1 o|x| < 1.Así pues, el interv alo de conv ergencia es (−1, 1)

Ejemplo 8. Deduzca una representación de1 como serie depotencias.2 + xSolucion:

Tiene la f orma de la suma de una serie geometrica. Expresemos a1

asi:2 + x1 = 1 = 1 = 1∞ x n = 1∞ xn

x21−

−x2

n=02

2 n =02

n2 +x

− (−1)n 2 1 +2 2∞ xn = 1− x +x2 x3 n xn = (−1)n −24 + · · · + (−1)2n+1− · · · n=0 2n+1 2

126



22 23

Ya que es una serie geométrica, converge cuando−x < 1 o|x| < 2 .Así

pues, el interv alo de convergencia es (−2, 2).2

Ejemplo 9.

Deduzca una representación de

x3

x + 2 en f orma de serie de potencias. Solución: 1 , basta multiplicar

esta serie porx3Esta f unción solo esx3 multiplicada por la f unción2 +

x3 ∞ xn ∞ xn+3 2 +x

= x3 (−1)n = (−1)n

n=02

n+1 2n+1 n=01

x

3−x4 x5 x6 nxn+3 =2 22 +23−24 + · · · + (−1)2n+1− · · · Otro modo de

representar la serie es

∞ xn+3 ∞ xn = 1x3−x4 x5 x6 n−3 xnx3 n = (−1)n−3 +23−24 +· · · + (−1)2n−2−· ··2 + x = (−1)2n+1 2n−2 2 22

n=0 n=3Como es una serie geométrica, converge cuando−x < 1 o|x| < 2 .Así

pues, el interv alo de convergencia es (−2, 2).2

Ejemplo 10.

Hallar una serie de potencias centrada en 1 paraf(x) = 1

xSolución:Escribiendo en la f orma de la suma de una serie geométrica af (x) =1 se tienex

f (x1 1

127



x) = 1 = 1 + (x − 1) = 1 − (1 − x)de manera quea = 1 y r = 1 − x = − (x − 1) por tanto la serie de

potencias paraf (x) = 1 v iene dado por:x

f (x) = 1

∞ ∞= [− (x − 1)]n = (−1)n (x − 1)n

x n=0 n=0

= 1 − (x − 1) + (x − 1)2− (x − 1)3 + · · ·Esta serie de potencias converge cuando|− (x − 1)| = |x − 1| < 1 ,luego su intervalo de convergencia es (0, 2).5.2. DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS.

La representación de series de potencias papel importante en el

cálculo. De hecho, gran parte del trabajo de Newton sobre derivacióne integración se hizo en el marco series de potencias, especialmenterelativ o a complicadas f unciones algebraicas y trascendentes. Euler,Lagrange, Leibniz y los Bernoulli usaron series de potenciasf recuentemente en el cálculo. Uno de los pioneros f ue el escocésJames Gregory (1638-1675), quien desarrolló un método con seriesde potencias para interpolar v alores de las tablas, un método

utilizado después por Brook Tay lor en el desarrollo de los polinomiosy las series de Tay lor. [2]f unciones mediante

ha desempeñado unde las en lo

Una v ez def inida una f unción como serie de determinar las

características de la función. ¿Es continua?, ¿deriv able?,¿integrable?. La derivación e integración de la serie de potencias sehace término a término. El siguiente teorema responde talescuestiones:

128



∞c

n=0n=0dxc

n (x − a)n (x − a)n =

n=1= c

1 + 2c

2 (x − a) + 3c

3 (x − a)2 + · · · + nc

n (x − a)n−1 + · · ·

∞= ncn (x − a)n−1

n=12. La primitiva.

ˆ ˆ ∞ ∞ ˆ

f (x) dx = cn (x − a)n dx = cn (x − a)

ndx

n=0 n=0(x−a)

2 (x − a)3 (x − a)n+1 = C + c0 (x − a) + c1 2 + c2 3 + · · · + cn n + 1 + · ·

· ∞ (x − a)n+1

= cn n + 1 + C. radios de conv ergenciaR en 1. y 2.

n=0Resumen

∞Sif (x) = cn (x − a)n, (a − R, a + R)

n=0f (x) =∞

ncn (x − a)n−1

, f (x) = ∞

n (n − 1) cn (x − a)n−2

130



n=1 n=2f (x) dx = ∞ cn (x − a)ndx = ∞ c(x−a)n+1

n n+1+ Cn=0 n=0

´xf

(t)dt

=

∞´

xc

n (t − a)ndt =

∞ cn n+1

(x−a)n+1

0 n=0 0 n=0

El radio de conv ergencia de la serie obtenida por derivación ointegración es el mismo que el de la serie original. Sin embargo elintervalo de conv ergencia puede dif erir, a causa de los puntosterminales.

Nota: La idea de deriv ar una serie de potencias término a término esla base de un potente método de solución de ecuacionesdif erenciales.Ejemplo 12. Encontrar una representación en serie de potencias paraf

(x

) =1

(x + 1)2

Solución:

131



Tenemos que1 = 1 − x + x2− · · · (−1)nxn + · · · = ∞ (−1)nxn, |x| < 11 +n=0

Al deriv ar en ambos lados de la ecuación−

1∞= −1 + 2x − 3x2 + · · · (−1)nnxn−1 + · · · = (−1)nnxn−1, |x| < 1(1 + x)2

n=1Entonces: 1

∞

= 1 − 2x + 3x2− · · · (−1)

n+1nx

n−1 + · · · = (−1)

n+1nx

n−1, |x| < 1(1 + x)2

n=11

∞= (−1)n+1nxn−1, |x| < 1(1 + x)2

n=1

Según el teorema anterior el radio de conv ergencia de la seriederivada es el mismo que el de la serie originalR = 1 .Ejemplo 13. Deduzca una representación en serie de potencias paraf (x) = ln (1 − x) y determine su radio de convergencia.Solución:Método 1: Tenemos que

ˆ xln (1 − x) = −ˆ x 1 tdt = − 1 + t + t2 + · · · + tn· · · dt 0 1 −0Por el teorema anterior podemos integrar cada término de la seriecomo sigue

ˆ xln (1

−x)=−1 −ˆ x1

0 tdtˆ x ˆ x ˆ x

132



= − 1dt + tdt + t2dt + · · · + tndt + · · ·

0 0 0 0= − x1 + 1x2 + 1x3 + · · · +n + 1xn+1 + · · ·

2 3

∞ x n+1∞ xn= −n + 1 = − n, |x| < 1

n=0 n=1∞xnln (1 − x) = − n, |x| < 1

n=1Según el teorema anterior el radio de conv ergencia de la serieintegrada es el mismo que el de la serie originalR = 1.

ˆ x 1ln x = tdt0

∞

xn = 1 + x + x

2 + x

3 + · · · + x

n + · · · =

1 x, | x| < 1 n=0 1 −

Nota:Veamos que sucede cuando x =

1 2ln1

∞ ∞=−ln (2) =−(1/2)n 2 + 18 + 124 + 164 + = 2nnn=1 n

⇒ ln (2) = 1

2 n=1

Método 2: Tenemos que1 d d ln (1 − x) = −1 − x integrando en ambosladosdxf (x) =dxˆ− ln (1 − x) =ˆ 1 xdx = 1 + x + x2 + · · · + xn + · · · dx1 −=

x

133



+ 1x

2+ 1

x3xn+ · · · +n + 1 + · · · + C

2 3

∞ x n+1∞ xn

=n + 1 + C =n + C, |x| < 1n=0 n=1∞xnln (1 − x) = −n + C, |x| < 1

n=1 A f in de hallar el v alor deC seax = 0 en esta ecuación: ln (1 − 0) = C

⇒ C = 0∞xnln (1 − x) = − n, |x| < 1

n=1Ejemplo 14. Deduzca una representación en serie de potenciascentrada en 0, la función

f (x) = arctan xSolución: Como d d arctan x =1 integrando en ambos ladostenemosdxf (x) =dx 1 + x2ˆarctan x =ˆ 1 dx = 1 − x2 + x4− x6 + · · · + − (−1)nx2n + · · · dx1 + x2

ˆ ∞ ∞ x2n+1

= (−1)nx2ndx = (−1)n + 1 + C

n=0 n=02n

Cuandox = 0, resultaC = 0

ˆ1 ˆ ∞ ∞dx

=

134



∞cnknxn

n=0

∞ cnxN n2. f xN =n=0∞ (cn± dn) xn3. f (x) ± g (x) =n=0∞ cnxn) ( ∞ dnxn)4. f (x) · g (x) = (n=0 n=0

Observación: Las operaciones descritas en el teorema anterior puede cambiar el interv alo de convergencia en la serie resultante.

Así en la suma que presentamos a cont inuación el interv alo de

conv ergencia de la suma es la intersección de los interv alos de lasdos series sumadas.

∞ ∞ x n ∞ 1 + 1n xnxn +2 =

n=0 n=0 n=02

(−1, 1) ∩ (−2, 2) (−1, 1) Ejemplo 16. En los siguientes puntos:

1. Evalué 1 7dx en serie de potencias1+x2. Con el resultado anterior calcule 0,5 1 dx con precisión de 10−7 0 1+x7

Solución: 1. El primer paso es expresar el integrandof (x) =1 como la

suma de una serie de potencias.1 + x7

Tenemos que: 1

∞f (x) =1 − x = xn = 1 + x + x2 + · · · + xn + · · · , |x| < 1

n=0y escribiendo en la f orma de la suma de una serie geométrica af (x

) =1 + x7

1 =1 1 − (−x7)

de manera quea = 1 y r = −x7 por tanto la serie de potencias paraf (x)

=1 v iene dado por: (propiedad (2))1 + x7

1

∞

137



f −x

7

=1−(−x

7

) =n=0(−1)nx7n = 1 − x7 + x14− · · · − (−1)nx7n + · · · , |x| < 1

Asíf (x

) =1

∞= (−1)nx7n = 1 − x7 + x14− · · · − (−1)nx7n + · · · , |x| < 11 + x7

n=0 Ahora tenemos

ˆ1 ˆ ∞ ∞dx=(−1)n

x

7n

dx = (−1)

n x7n+1

7 7n + 1 + C1 + x n=0 n=0

Cuandox = 0, resultaC = 0

ˆ1 ∞dx=(

138



−1)

n x7n+1 x8 x15 x22

7 7n + 1 = x − 8 +15− 22 +

1 + x n=0

Esta serie converge si|−x7| < 1 esto es, cuando|x| < 12. Utilizando el resultado anterior tenemos:Solución.ˆ 0,5 1 dx = x − 8 +x15 x22 1/2x8

1 +x

715− 22 + · · ·

0 0 n=1−1 1 1 (−1)

8 · 28 + 15 · 215− 22 · 222 + + (7n + 1) · 27n+1 + Esta serieinf inita es el v alor exacto de la integral def inida. Calculando esta

integral con un error de 10−7

ˆ 0,5 1 dx = 1 −1 1 1 1/2 8·2

8+15 215−22 222 + · · ·

0 1 + x7 0 = 1 −1 11 +15 215−22 222 = 0,4995113748 28EJERCICIOS (Series de Potencias)

1. Halle una representación en serie de potencias para la f unción ydetermine el intervalo de conv ergencia.

a) f(x) =1 f ) f (x) =2x + 5b) f(x) =3

1 + x

1

139



1−x3 g) f(x) = x2 1 − x2 c

)f (x) =1

4 + x2 x2 + 1 d) f (x) = −1 h) f(x) = x − 1x 3

e)f (x) =1 i) f(x) =x (x − 2)2(1 + x)2

2. Hallar el intervalo de conv ergencia de a)f (x) b)f ’(x) c)f ”(x) d) f (x). Inv estigar qué ocurre en los puntos terminales.x

na)

∞n=0 2

∞(−1)

n+1(x−1)

n+1

b) n=0 n + 1

140



c)

∞ xn

n=1 n23. Usar la serie de potencias1

∞=(−1)

nxn1 + xn=0para encontrar una serie de potencias, centrada en 0, para laf unción. Identif icar el intervalo de convergencia.a)

h(x) =

x2− 1 + x−2 1 = 1 + 1 1

1 − xd) h(x) = 4x2 + 1

b) f (x) = ln(x + 1) = 1 dxe) h(x) = arctan xx + 1 3c)f (x

) =2(x+ 1)

3=

d2 1

141



d x2 x + 1 f ) f (x) = x ln(1 + x)4. Ev alúe una serie de potencias para calcular la integral def inida,con cinco decimales.

a ) 0,2 1 dx0

1 + x4

b 1/2arctan(x2)dx)0

c) 1e−x2/10dx0

5. Demuestre que la f unción de Bessel de orden 0 def inida por ∞ x2n J0 (x) = (−1)n n=0 22n (n!)2

satisface la ecuación diferncialx

2

J0 (x) + xJ0 (x) + x

2

J0 (x) = 0 yevalue 1J0 (x) dx0 6. Demuestre que la función

∞xnf(x) =n!n=0es una solución de la ecuación dif erencial

f ´(x) = f(x) y demuestre quef(x) = ex.

5.3. SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN.

En la sección anterior obtuv imos series de potencias para v ariasf unciones usando series geométricas junto con deriv ación ointegración término a término. Vamos a desarrollar un procedimientogeneral para hallar series de potencias para una f unción conderiv adas de todo orden.

Nos preguntamos ¿Qué funciones t ienen representación en serie depotencias? ¿Cómo podemos encontrar esas representaciones?.

El desarrollo de la serie de potencias como representación def unciones se debe a las contribuciones de muchos matemáticos delos siglos XVII y XVIII: Gregory, Newton, John y James Bernoulli,Leibniz, Euler, Lagrange, Wallis y Fourier entre otros. No obstante,

los dos nombres más asociados a las series de potencias son BrookTay lor (1685-1731) y Colín Maclaurin (1698-1746).

142



después del primero son cero, y obtenemosf (a) = c0

Aplicando el teorema de la deriv ada para una serie de potencias en(5.3.1) tenemos

∞f (x) = c1 + 2c2 (x − a) + 3c3 (x − a)2 + · · · = · · · ncn (x − a)n−1, |x −

a| < R (5.3.2)

n=1y sust ituy endox = a en la ecuación (5.3.2) obtendremosf (a) = c1

Ahora dif erenciando ambos lados de la ecuación (5.3.2)obtenemos

f (x) = 2c1 + 2 · 3c1 (x − a) + 3 · 4c2 (x − a)2 + · · · , (5.3.3)

∞= n (n − 1) cn (x − a)n−2, |x − a| < R

n=2y sust ituy endo nuevamentex = a en la ecuación (5.3.3) obtendremosf (a) = 2c

2 Apliquemos una v ez más el procedimiento .Al deriv ar la serie de laecuación (5.3.3) obtenemos

f (x) = 2 · 3c1 + 2 · 3 · 4c2 (x − a) + 3 · 4 · 5c3 (x − a)2 + · · · (5.3.4)

∞= n (n − 1) (n − 2) cn (x − a)n−3 ; |x − a| < R

n=3y sust ituy endox = a en la ecuación (5.3.4) obtendremosf (a) = 2 · 3 · c3 = 3!c3

A estas alturas y a podemos v er un modelo. Si continuamosderivando y sustituyendo llegamos a

f (n) (a) = 2 · 3 · 4 · · · · · nc n = n!cn f (n) (a) = n!cn Al despejar el n-ésimo,

cnde esta ecuación, el resultado es c

n

= f (n) (a) n!

De esta manera acabamos de demostrar el siguiente teorema

144



Teorema 17. Sif es una representación (desarrollo) en forma de seriede potencias ena, esto es si,∞

f (x) = cn (x − a)n, |x − a| < R

n=0Los coef icientes están expresados por la f órmulac

n=

f (n) (a) n!Con esto se demuestra que la serie def (x) tiene la f orma que

aparece en el siguiente teorema y que se llama serie de Tay lor def (x) ena.Teorema 18. Serie de Tay lor paraf enaSif v iene representada por una serie de potencias

∞f (x) = cn (x − a)n = cn + c1 (x − a) + c2 (x − a)2 + · · · + cn (x − a)n +

· · ·n=0Para todo en el intervalo en el interv aloI que contiene aa , entoncesf

(n) existe para n = 0, 1, 2, 3, · · · y cn =f(n) (a) por lo tanton!∞ f(n) (a) (x − a)nf (a) +f (a) (x − a) + · · · +f(n)

f (x) = (a) (x − a)n + · · · n=0 n! 1! n!

En el caso especial en quea = 0 se llama serie de Maclaurin def (x)Teorema 19. Serie de Maclaurin paraf Sif v iene representada por una serie de potencias

∞f (x) = cnxn = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + · · · + cnxn + · · ·

n=0

Para todox en el interv alo abierto (−r, r),∞ f(n) (0) n = f (0) +f (0) +f (0) 2 + · · · +f(n) (0) f (x) =n + · · · n=0 n! x1! x 2!xn! x Ejemplo 20. Determina la serie de Maclaurin de la f unciónf (x) =

ex , y su radio de convergencia. Solución:Por derivación sucesiva def (x)

f (x) = ex f (0) = 1

145



f (x) = ex f (0) = 1

f (x) = ex f (0) = 1

. .

f (n) (x) = ex f (n) (0) = 1En consecuencia, la serie de Tay lor def (x) en 0 . (Esto es la seriede Maclaurin)∞ f (n) (0)∞

n=x

n x x2 x3 xnf (x) = n!

x n! = 1 + 1! + 2! + 3! + + n! +

n=0 n=0Para la serie dadaxn xn+1an = n!y an+1 = (n + 1)!

Aplicando el criterio de la razón tenemos:l´man+1 = l´ m an+1· 1 = l´ mxn+1 (

n + 1)!n!

n→∞ an n→∞ an n→∞ xn

n! 1 = l´ m x ·(n + 1) n! = |x| l´ımn + 1 = 0 < 1

n→∞n→∞De modo que, de acuerdo con el criterio de la razón, la serieconv erge para todox y el radio de conv ergencia esR = ∞ .

De esta maneraf (x) = ex tiene un desarrollo de potencias en ceroentonces:

∞ xn x x2 x3 xnex = n! = 1 + 1! + 2! + 3! + + n! +

n=0

El teorema de la serie de Tay lor paraf en a implica que si unaf unciónf se representa por una serie de potencias enx − a entonces

la serie de potencias debe ser una serie de Tay lor. Sin embargo, el

146



teorema no da condiciones que garanticen la existencia de unarepresentación en serie de potencias. En otras palabras, sif tiene

deriv adas de todos los ordenes ¿Cuándo se cumple? ∞ f(n) (a)(x −

a)nf (x) =n!n=0

Al igual que con cualquier serie conv ergente, esto signif ica quef (x)es el límite de la sucesión de sumas parciales. En el caso de lasseries de Tay lor, tenemos que las sumas son∞ f(k) (a) (x − a)kTn (x) =k!n=0=f

(a) +f (a)(x − a) +f (a) (x − a)2 +f (a) (x − a)3 + · · · +f(n) (a) (x − a)n 1! 2! 3! n!

Observ ara que es un polinomio de grado n llamado Polinomio deTay lor de gradon , def ena. Por ejemplo, la f unción exponencialf (x)

= ex, indica que sus primeros tres polinomios de Tay lor en cero (osus polinomios de Maclaurin) conn = 1, 2 y 3 son

x

2 x2 x3T1 (x) = 1 + x, T2 (x) = 1 + x +2! , T3 (x) = 1 + x + 2! +3!En la f igura se trazan las gráf icas de la función exponencial y de

estos tres polinomios de Tay lor En general,f (x) es la suma de la serie de Tay lor sif (x) = l´ım Tn (x)

n→∞Si colocamos Rn (x) = f (x) − Tn (x) y f (x) = Tn (x) + Rn (x)

EntoncesRn (x) se llama residuo de la serie de Tay lor. Si pudiéramos

demostrar quel´ m Rn (x) = 0

n→∞entonces se desprenderíal´ m Tn (x) = l´ m [f (x) − Rn (x)] = f (x) − l´ım Rn = f (x)

n→∞n→∞n→∞

Hemos demostrado el teorema siguiente

147



Teorema 21. (Fórmula de Tay lor)Sif (x) = Tn (x) + Rn (x)

f

(a)(x−a) +f (a)(x−a)

2+f (a)+· · ·+f

(n)

= f (a) + (a)(x − a)n + Rn (x)1! 2! 31 n!DondeTn (x) es el polinomio de Tay lor de n-ésimo grado def ena, y

l´ m Rn (x) = 0, dondeRn (x) =f(n+1) (c) n+1, a < c < x

n→∞ (n + 1)! (x − a)

Cuando|x − a| < R , entonces es igual a la suma de su serie deTay lor en el interv alo|x − a| < R.

Cuando lo expresamos de esta f orma, el teorema de Tay lor

148



establece que, para cadax deI,f (x) = Tn (x) + Rn (x)

Ref lexiona un momento en lo extraordinario de esta ecuación. Paracualquier valor den que elijamos la ecuación nos da unaaproximación polinomial def , de ese orden y también una f órmulapara el error cometido al usar esa aproximación sobre el intervaloI.

La función Rn (x) se llama residuo de ordenn o término de error para

la aproximación de f por medio deTn (x) sobreI. Si l´ mn→∞Rn (x) = 0

para todax deI, decimos que la serie de Tay lor generada porf enx = aconverge af enI , y la escribimos así:

∞ f(k) (a)(x − a)kf (x) =k!k=0 Al tratar de demostrar que l´ mn→∞Rn (x) = 0 para cierta f unciónf ,

por lo general se emplea el teorema que sigue:Teorema 22. Desigualdad de Tay lor

Si f (n+1) (x) ≤ M para|x − a| ≤ c entonces el residuoRn (x) de la serie

de Tay lor satisf ace ladesigualdad M |x − a|n+1|Rn (x)| ≤(n + 1)!La demostración de este teorema se encuentra ref erenciado en [7] x

nNota: Al aplicar el teorema anterior, suele ser útil lo siguiente:l´ımn→∞

n! = 0 ,para todo número realx

Ejemplo 23. Muestre que la serie de Tay lor generada porf (x) = ex ,ena = 0 conv erge af (x) para todo v alor real dexSolución: La f unción tiene deriv adas en todos los órdenes a travésdel intervaloI = (−∞, ∞). Por deriv ación sucesiv a def (x)

f (x) = ex f (0) = 1 f (x) = ex f (0) = 1 f (x) = ex f (0) = 1

. .

f (n) (x) = ex f (n) (0) = 1

Aplicando la f ormula de Tay lor conf (x) = ex, ena = 0 tenemosf (x) = Tn (x) + Rn (x)

f

(a

149



)(x−a) +f

(a

)

(x−a)

2+

· · ·+f

(n)= f (a) + (a) (x − a)n + Rn (x)1! 2! n!ex = 1 +

1! + 2! + 3! + +xnx x2 x3

n! + Rn (x)

cyR

n(

x) =e

(n + 1)!xn+1 para algun enteroc entre 0 y x. Ahora aplicando la

desigualdad de

Tay lor tenemos:

150



f (x) = ex entoncesf (n+1) (x) = ex para todon. Sic es cualquier número

positivo|x| ≤ c ,entonces f (n+1) (x) = ex≤ ec De manera que la

desigualdad de Tay lor , cona = 0 y M = ec dice que

|RM |x − a|n+1, para|x − a| ≤ cn (x)| ≤(n + 1)!≤

ec

(n + 1)! |x|n+1 para|x| ≤ c

Observe que la misma constanteM = ec es efectiva para todo valor den. Pero e

cl´m

(n + 1)!| x| →∞n+1 = ec l´ m|x|n+1

n→∞ n (n + 1)! = 0

Se sigue por el teorema del emparedado que l´ımn→∞|Rn (x)| = 0 ypor lo tanto l´ımn→∞Rn (x) = 0 para todos los v alores dex. Por el

teorema de la f órmula de Tay lor,ex

∞ xn x x2 x3 xn

ex =n! = 1 + 1! + 2! + 3! + · · · +n! + · · · para todox (5.3.5)

n=0

En particular six = 1 en la ecuación , obtendremos la siguienterepresentación del número como suma de una serie inf inita

e1 =∞ 1n! = 1 + 11! + 12! + 13! +

n=0n

Ejemplo 24. Obtenga la serie de Tay lor def (x) = ex, ena = 2.

Solución: Tenemos quef (n) (2) = e2 y así cona = 2 en la def inición dela serie de Tay lor, obtenemos:∞ f (n) (2)∞ (x−2)n =

e2 n n

151



!

n=0n

! (x − 2)

n=0Para la serie dadaa

n=e

2n e2ya

n+1=(n+ 1)! (x − 2)

n+1

n! (x − 2)

Aplicando el criterio de la razón tenemos:l ım an+1 = l ım an+1 1 = l ım (n + 1)! (

e2 n!x − 2)n+1· e2 (x − 2)nn→∞ an n→∞ an n→∞

= l´ m1n! = |x − 2| l´ mn + 1 = 0 < 1 n→∞ (x − 2) (n + 1) · n!n→∞De modo que, de acuerdo con el criterio de la razón, la serie

conv erge para todox y el radio de conv ergencia esR = ∞. Además como en el ejemplo anterior l´ m Rn (x) = 0

n→∞∞ en n = e2 1 + (x − 2) + (x − 2)2 + (x − 2)n

ex =n! (x − 2)1! 2! + · · ·n! + · · · , para toda x

n=0

152



Tenemos dos desarrollos en series de potencias paraex. Serie deMaclaurin∞ xn x x2 x3 xnf (x) = ex =n! = 1 + 1! + 2! + 3! + · · · +n! + · · · para todox

n=0Serie de Tay lor ∞ en nf (x) = ex =n! (x − 2)

n=01 + (x

−2)+ (x−2)2 + (x − 2)3 + (x − 2)n

= e2 + · · ·n! + · · · para todax1! 2! 3!La primera es más apropiada si nos interesan v alores dex cercanosa cero y la segunda, cuandox es cercano a 2.Ejemplo 25. Mostrar que la serie de Maclaurin paraf (x) = sin x ,conv erge a sin x para todo v alor real dexSolución: Ordenamos nuestros cálculos en dos columnasPor derivación sucesiva def (x).

f (x) = sin x f (x) = cos x f (x) = − sin x f (x) = − cos x f (4) (x) = sin x

f (5) (x) = cos x

. .

f (2k) (x) = (−1)k sin x f (2k+1) (x) = (−1)k cos x f (2k) (0) = 0 f (2k+1) (0) =

(−1)k 1 La serie solo tiene términos de potencia impar y además,

paran = 2k + 1 el teorema de Tay lor nos da

f (x) = ∞ f(k) (0) k + Rn (x) n=0 k! x

= f (0) +f (0) +f (0) 2 +f (0) 3 + · · · +f(n) (0) n + Rn (x)1! x 2! x3! xn! xx3 x5 x7 n x2n+1

f (x) = sin x = x − 3! +5!− 7! + · · · + (−1)(2n + 1)! + R2n+1 (x)

Ahora aplicando la desigualdad de Tay lor tenemos:

153



f (x) = sin x entoncesf (n+1) (x) = ± sin x o± cos x para todon

Sic es cualquier número positivo|x| ≤ c, entonces f (n+1) (x) ≤ 1 Demanera que la desigualdad de Tay lor ,cona = 0 yM = 1 dice que|

Rn(x)| ≤M |x − a|n+1 (n + 1)!

|Rn (x)| ≤ |x|n+1

(n + 1)! para|x| ≤ 1

Entonces tenemos quen+1

l |x|

→∞m

n (n + 1)! = 0

Por el teorema de la f órmula de Tay lor,f (x) = sin x es igual a lasuma de su serie de Maclaurin, es decir, la serie de Maclaurin paraf (x) = sin x conv erge a sin x para todax. De modo que, de acuerdocon el criterio de la razón, la serie conv erge para todox y el radio deconv ergencia es 0.

De esta maneraf (x) = sin x t iene un desarrollo de potencias en ceroentonces:x3 x5 x7 ∞ x2n+1

sin x = x − 3! +5!− 7! + · · · = (−1)n para todox n=0 (2n + 1)!

ESTRATEGIA PARA HALLAR UNA SERIE DE TAYLOR. Deriv arf (x)v arias v eces y evaluar cada derivada enn

f (a) , f (a) , f (a) , f (a) , . . . , f (n) (a)Intentar reconocer algún modelo o esquema en esos números. Usar la secuencia desarrollada en el punto anterior para f ormar loscoef icientes de Tay lor c

n

=

154



f (n) (a)n!

y hallar el intervalo de conv ergencia de la serie de potenciasresultante. Dentro de ese interv alo de conv ergencia, inv estigar si laserie converge af (x)

El cálculo directo de los coef icientes de Tay lor o Maclaurin por deriv aciones sucesiv as puede resultar dif ícil. Los próximos ejemplosilustran un método para hallarlos de un modo indirecto, usando loscoef icientes de una serie de Tay lor o Maclaurin y a conocida.

Ejemplo 26. Determine la serie de Maclaurin paraf (x) = cos x.Solución: Podríamos proceder en f orma directa como el ejemplo(25), pero es mas f ácil deriv ar la serie de maclaurin de sin x.cosx=d sin x = d x − 3! +x5 x7 n x2n+1x3

dx dx 5!− 7! + + (−1) (2n + 1)!

=1−

3x2 + 5x4 7x6 n (2n + 1) x2n 3! 5!−7! + · · · + (−1)(2n + 1)! · · ·

cos

x=d sin x = 1 − 2! +x4 x6 n x2nx2

dx 4!− 6! + · · · + (−1)(2n)!· · · Ya que la serie de Maclaurin de sin x

conv erge para todox, entonces la derivada para cos x tambiénconv erge para todox . En consecuenciax2 x4 x6 ∞ x2n

cos x = 1 − 2! +4!− 6! + · · · = (−1)n para todox n=0 (2n)!Ejemplo 27. Determine la serie de Maclaurin paraf (x) = cos 2x

Solución: Hallar los coef icientes directamente exigirá deriv ar v ariasv ecesf (x) = cos 2x . Podemos hallar la serie de maclaurin para cos2x sust ituy endo 2x por x en la serie de Maclaurin correspondiente acos x

155



x2 x4 x6 n x2n ∞ x2n cos x = 1 − 2! +4!− 6! + · · · + (−1)(2n)!· · · = (−1)n

para todox n=0 (2n)! cos 2

x=

1−

(2x)2 + (2x)4 (2x)6 ∞ (2x)2n

2!4!

−6! + · · · = (−1)n para todox n=0 (2n)!

cos 2x=1−

(2x)2 + (2x)4 (2x)6 ∞ 22nx2n 2!4!

−6! + · · · = (−1)n para todox n=0 (2n)!

Ejemplo 28. Determine la serie de Maclaurin paraf (x) = x sin x

Solución: Hallar los coef icientes directamente exigirá deriv ar v ariasv ecesf (x) = x sin x . Podemos hallar la serie de Maclaurin para x sinx multiplicando la serie de Maclaurin correspondiente a sin x porx.

x3 x5 x7 ∞ x2n+1

sin x = x − 3! +5!− 7! + · · · = (−1)n para todox n=0 (2n + 1)!x3 x5 x7 ∞ x2n+1

x sin x = x · x − 3! +5!− 7! + · · · = (−1)n para todox n=0 (2n + 1)!

x sin x = x2− 3! +x6 x8 ∞ x2n+2x4 n para todox5!− 7! + · · · = (−1)(2n +1)!n=0La nuev a serie conv erge para todax porque la serie correspondientea sin x conv erge para todax.

Como el cálculo directo puede ser tedioso, el método mas prácticopara hallar una serie de Tay lor o Maclaurin consiste en desarrollar series de potencias para una lista básica de f unciones elementales.De esta lista se podrán deducir series de potencias para otrasf unciones mediante suma, resta, producto, div isión, deriv ación,

integración o composición con series conocidas. 1.

156



INTERVALO SERIES DE POTENCIAS PARA FUNCIONESELEMENTALES (SERIE DE DE MACLAURIN) CONVERGENCIA1 = ∞ xn = 1 + x + x2 + · · · + xn + · · · (−1, 1)1 − x n=01 = ∞ (−1)nxn = 1 − x + x2− · · · (−1)nxn + · · · (−1, 1)2. 1 + x n=0

3.1 = ∞ (−1)n (x − 1)n = 1 − (x − 1) + · · · (−1)n (x − 1)n + · · · (0, 2)xn=0

4. ex = ∞ xn = 1 + x +x2 +x3 + · · · +xn + · · · (−∞, ∞)n=0 n! 1! 2! 3! n!5.lnx

=∞ (−1)n−1 (x − 1)n (−1)n−1 (x − 1)n n=0 n = (x − 1) + · · ·n · · · (0, 2]

6.sinx=∞ (−1)n x2n+1 = x −x3 +x5−x7 + · · · + (−1)n x2n+1

n=0 (2n+1)! 3! 5! 7! (2n+1)!· · · (−∞, ∞)

7. cos x = ∞ (−1)n x2n = 1 −x2 +x4−x6 + · · · + (−1)n x2n · · · (−∞, ∞)n=0(2n)! 2! 4! 6! (2n)!

8. arctan x = ∞ (−1)nx2n+1 = x − 1x3 + 1x5− 1x7 + · · · [−1, 1]n=0 2n+1 3 57

9. sinh x = ∞ x2n+1 = x +x3 +x5 +x7 + · · · + x2n+1 · · · (−∞, ∞)n=0 (2n+1)!

3! 5! 7! (2n+1)!10. cosh x = ∞ x2n = 1 +x2 +x4 +x6 + · · · + x2n· · · (−∞, ∞)n=0 (2n)! 2! 4! 6!(2n)!

Las series de potencias conocidas nos v a a serv ir para obtener representaciones en series de potencias de otras f unciones. Por

ejemplo una representación de series de potencias dee−x y e−x2 son

respectiv amente: (utilizando 4).

∞ xn x x2 x3 xnex = n! = 1 + 1! + 2! + 3! + + n! +

n=0∞ (−x)n ∞ (−1)nxn x x2 x3 nxn e−x =n! =n! = 1 − 1! +2!− 3! + · · · (−1)n! + ·

· ·

157



n=0 n=0∞ (−x2)n ∞ (−1)nx2n 2 +x4 x6 nx2n e−x2 =n! =n! = 1 − x2!− 3! + · · · +

(−1)n! + · · ·

n=0 n=0Como cosh x = 12 (ex + e−x). Puede encontrarse una serie depotencias para cosh x sumando los términos correspondientes de la

serie paraex y e−x y multiplicando luego por 1 esto nos da:2

coshx=

1 ex + e−x2

=1 1 + 1! + 2! + · · · +xn x x2 nxnx x2

2 n! + · · · + 1 − 1! +2!− · · · + (−1)n! + · · ·

=1 2 + 22! + 24! + · · · + 2x2n x2 x4 x2nx2 x4

2 (2n)! + = 1 + 2! + 4! + + (2n)!

∞ x2n= (2n)!n=0

Las series de Tay lor y de Maclaurin pueden emplearse para estimar los v alores de una f unción. Por ejemplo, para calcular sin (0,1) sepuede utilizar la serie de potencias (6) de la tabla, v eamos:

sin (0,1) = (0

,1)−

(0,1)3 + (0,1)5 (0,1)7 3! 5! −7! + · · ·

Una de las razones de la importancia de las series de Tay lor en quepermiten integrar f unciones que no podríamos manejar de otramanera.

Ejemplo 29. Sean los siguientes casos:

158



Evalué e−x2dx en f orma de serie inf inita.

Evalué 1e−x2dx con precisión de 0,001 .0Solución:Tenemos que

∞ (−x2)n ∞ (−1)nx2n x4 x6 nx2n e−x2 =n! =n! = 1 − x2 +2!− 3! + · · · +(−1)n! + · · ·

n=0 n=0Entonces:ˆ 2 dx=

1−x

2+x

4 x6nx2n

e−x − 3! + · · · + (−1)n! + · · · dx2!ˆ x3 x5 x7 n x2n+1

e−x2dx = C + x − 3 +5 2!− 7 3! + (−1) (2n + 1) n!

Esta serie conv erge para todax porque la serie original dee−x2

conv erge para todax.

Evalué 1

e−x2

dx con precisión de 0,001 .0ˆ 1 2dx = x − 3 + x5 x7 1

e−xx3

05·

2!− 7 3! +

0 1

= 1 − 13 + 110− 42 +1 ≈ 0,7475216ex− 1 − xEjemplo 30. Ev aluar l´ımx→0 x2

Solución: Usando la serie de Maclaurin paraex tenemos:

159



l´mex− 1 − x1 + x

=l´m

1! +x2 +x3 + · · · − 1 − x2! 3!

x2 x→0 x2x→0x2 x3

2! +3! +· · · = l´ımx2x→0

= l´ m 1 x x2 x3 = 1

x→

02! +3! +4! +5! +· · ·2

Porque las series de potencias son f unciones continúas.EJERCICIOS (Series de Tay lor y Maclaurin)

1. Forme la serie de Maclaurin f (x) con la def inición de una serie deMaclaurin . [Suponga quef tiene un desarrollo en serie de potencias.No demuestre queRn (x) → 0]. Por último encuentre el radio de

conv ergencia asociado.

a ) f (x) = cos x d) f (x) = cosh x b) f (x) = sin 2x1 c) f(x) = e2x e) f(x) =

(1 + x)3

2. Forme la serie de Tay lor def (x) en el v alor dado de a. [Supongaquef tiene un desarrollo en serie de potencias. No demuestre queRn(x) → 0]

160



a ) f (x) = 1 + x + x2 a = 2. d) f (x) = 1 + x + x2 a = 2. b) f (x) = sin x a= π/4.

c) f(x) = ex a = 3. e) f (x) = ln x a = 2.

3. Use series y a conocidas para encontrar la serie de Maclaurin def (x) a y calcule el radio de convergencia.

a ) f(x) = x2ex d) f (x) = x arctan x b) f (x) = cos2x

c) f(x) = e−x/2 e) f (x) = x sin 3x

4. Use series para encontrar el límite

a)l´mx→0 1 + x − ex

1 − cos xc) l ı m ln x x→1 x − 1 x − arctan xd) l ımx→0 sin x− 1b) l ım 1

x→0x3

x

5. Use series a f in de aproximar la integral def inida y obtenga laprecisión indicada.a)

00 x dx (error< 10 1 sin(x2)dx con precisión 0,001c) 1sin x −4) b

)

0,1 √1 dx (error< 10−8

0) d)√e (error< 10−4)1 + x3Bibliografía[1] Earl W. Swokowski. Cálculo con geometría analítica. Segundaedición 1988.Impreso en Colombia por panamericana impresos S.A..9, 56[2] Larson / Hostetler / Edwards. Calculo Volumen 1. Quinta edición

1995. McGraw – Hill. 56, 82, 103[3] Edwards y Penney. Calculo con geometría analítica. Cuartaedición 1994. Prentice hall 44[4] Robert T Smith y Roland B Minton. Calculo. Tomo I . 2002McGraw – Hill 82, 95 [5] Tom M. Apostol. Calculusv olumen.1.Segunda edición 1988 .Editorial reverte,col.s.a 71, 82,103

[6] Cálculo una variable.George B.Thomas Jr,Ross L.Finney.

161

Cálculo III - Carlos Alberto Abello Muñoz

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