Cálculo Integral - Bienvenido a FCFM · Laboratorio # 5 Área y Volumen I.- Halle el área de la...

Cálculo Integral Enero 2016

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Laboratorio # 1 Antidiferenciación I

I.- Resuelva las siguientes integrales indefinidas.

1) ∫(10𝑥4 − 6𝑥3 + 5)𝑑𝑥

2) ∫ (𝑥5 3⁄ −2𝑥3

𝑥3 2⁄ + 5𝑥1 5⁄ ) 𝑑𝑥

3) ∫2𝑧+1

(𝑧2+𝑧+1)3 5⁄ 𝑑𝑧

4) ∫(5𝑦2(8 − 𝑦2)21)𝑑𝑦

5) ∫𝑑𝑤

√𝑤(√𝑤−3)7

6) ∫ (2𝑥5

2 − 6𝑥3

4 + 4𝑥−3) 𝑑𝑥

7) ∫(3𝑥 − 5)3

4𝑑𝑥

8) ∫𝑦2

(𝑦3−1)3

9) ∫(2𝑤 + 1)√𝑤 − 4𝑑𝑥

10) ∫(2𝑦 − 5)(3𝑦2 + 1)𝑑𝑦

11) ∫ (6

√𝑥3 −

√𝑥

6+ 4) 𝑑𝑥

12) ∫ 3𝑡 √1 + 𝑡24𝑑𝑡

13) ∫(4 − 3𝑦)22𝑑𝑦

14) ∫(3𝑥−1+4)

7

𝑥2 𝑑𝑥

15) ∫𝑥5

(𝑥3+8)32


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Laboratorio # 2 Antidiferenciación II

I.- Calcule las siguientes integrales indefinidas.

1) ∫𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑥2)

cos2(𝑥2)𝑑𝑥

2) ∫sec2(3√𝑡)

√𝑡𝑑𝑡

3) ∫3𝑥3+6𝑥2+3𝑥+1

1+2𝑥+𝑥2𝑑𝑥

4) ∫(𝑠2 + 𝑠)√𝑠 + 73

𝑑𝑠

5) ∫ sec (4 +3

2𝑥) 𝑡𝑔 (4 +

3

2𝑥) 𝑑𝑥

6) ∫ csc−5

3(1 + 4𝑥)𝑐𝑡𝑔 (1 + 4𝑥) 𝑑𝑥

7) ∫ cos 𝑥 √4𝑠𝑒𝑛 + 3(𝑠𝑒𝑛2 𝑥)𝑑𝑥

8) ∫sec2(2+

4

𝑥2)

𝑥3 𝑑𝑥

9) ∫𝑠𝑒𝑛(1+𝑥−1)

𝑥2 𝑑𝑥

10) ∫2+cos 𝑥

𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥

11) ∫ 𝑥𝑡𝑔3

4(1 + 𝑥2) sec2(1 + 𝑥2) 𝑑𝑥

12) ∫1− 𝑠𝑒𝑛𝑥

(𝑥+cos 𝑥)3𝑑𝑥


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Laboratorio # 3 Propiedades de la Integral definida

I.- Dado que:

∫ 𝑥3𝑑𝑥 = 20

3

−1

∫ 𝑥2𝑑𝑥 =28

3

3

−1

∫ 𝑥𝑑𝑥 = 4

3

−1

∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =1

2

𝜋3

0

∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 =√3

2

𝜋3

0

Calcule:

1) ∫ (𝑥 + 2)𝑑𝑥3

−1

2) ∫ (5 − 8𝑥)𝑑𝑥3

−1

3) ∫ (3 − 8𝑥2)𝑑𝑥3

−1

4) ∫ (3𝑥2 + 6𝑥 + 2)𝑑𝑥3

−1

5) ∫ (𝑥3 + 2𝑥2 + 1)𝑑𝑥3

−1

6) ∫ (𝑥 + 1) (𝑥 − 1) (2𝑥 +3

−1

1)𝑑𝑥

7) ∫ (𝑥 − 1)3𝑑𝑥3

−1

8) ∫ 2𝑥𝑑𝑥 − ∫ 2𝑥𝑑𝑥1

23

1

2−1

9) ∫ (𝑥2 − 7𝑥2 + 8𝑥)𝑑𝑥−1

−1

10) ∫ (2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3 cos 𝑥 − 5)𝑑𝑥𝜋

30

11) ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥𝜋

40

+ ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥𝜋

3𝜋

4

II.- Halle un intervalo cerrado que contenga el valor de la integral dada (No calcule la integral).

1) ∫𝑑𝑥

𝑥−1

5

2

2) ∫𝑥−1

𝑥2−1

2

0

3) ∫ 𝑥31

−1

2

𝑑𝑥

4) ∫𝑥

𝑥+2

1

−1𝑑𝑥

5) ∫ √𝑥2 + 51

−1𝑑𝑥


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Laboratorio # 4 Teorema Fundamental del Cálculo

I.- Calcule las siguientes integrales definidas utilizando el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo.

1) ∫ (𝑥2 − 4𝑥 + 8)−1

−3𝑑𝑥

2) ∫ (𝑥3 − 3𝑥2 + 18)−1

−1𝑑𝑥

3) ∫ (4𝑥 + 1)(3𝑥 + 2)3

0𝑑𝑥

4) ∫ (𝑥

2+ 1)

32

−4𝑑𝑥

5) ∫ (𝑥1

2 + 3)3

4

0𝑑𝑥

6) ∫𝑥2−3𝑥+2

𝑥12

4

1𝑑𝑥

7) ∫𝑑𝑥

𝑥2+10𝑥+25

3

1𝑑𝑥

8) ∫ 𝑥2

0√2𝑥2 + 1𝑑𝑥

9) ∫𝑦+1

√𝑦2+2𝑦+3

1

0𝑑𝑥

10) ∫(𝑥+1)

√(𝑥+2)

2

0𝑑𝑥

11) ∫ 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥)𝜋

40

𝑑𝑥

12) ∫ cos 3𝑥0

−𝜋

4

𝑑𝑥

13) ∫ sec2(𝜋 − 𝑥)𝜋

40

𝑑𝑥

14) ∫ √cos 𝜃𝜋

20

𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃

15) ∫ 𝑡𝑔3 (𝜃 −𝜋

3)

2𝜋

3𝜋

2

sec2 (𝜃 −𝜋

3) 𝑑𝜃

II.- Calcule las siguientes derivadas utilizando el primer teorema fundamental del cálculo

1) 𝑑

𝑑𝑥∫

𝑑𝑡

𝑡2+3

𝑥

−𝑥

2) 𝑑

𝑑𝑥∫ √1 + 𝑡43

𝑥2 𝑑𝑡

3) 𝑑

𝑑𝑥∫ √2𝑡 − 9

35

𝑥2 𝑑𝑡

4) 𝐷𝑥(∫ √1 + 𝑡2𝑥

−𝑥𝑑𝑡)

5) 𝐷𝑥 (∫ √2𝑡 − 930

3𝑥+2𝑑𝑡)


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Laboratorio # 5 Área y Volumen

I.- Halle el área de la región acotada por las curvas y rectas dadas.

1) 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3, 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0

2) 𝑦 = √𝑥 + 1, 𝑒𝑗𝑒 𝑥 , 𝑒𝑗𝑒 𝑦 , 𝑥 = 8

3) 𝑦 = 2𝑥 , 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 , 𝑥 = −2

4) 𝑦 = 2𝑥2 + 𝑥 − 4, 𝑦 = 𝑥2 − 2

5) 𝑥 − 𝑦 + 6 = 0 , 𝑥 + 2𝑦 = 0, 𝑥 = 3

6) 𝑦2 = 𝑥, 𝑥 − 𝑦 − 2 = 0

7) 𝑦2 = 𝑥 − 2, 𝑦 = 4 − 𝑥, 𝑥 = 5

II.- Halle el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las curvas dadas, alrededor del eje indicado.

1) 𝑦 = 2𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑥 = 0, 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒: 𝑖) 𝑦 = 0 𝑖𝑖) 𝑦 = −1

2) 𝑦 = 9 − 𝑥2, 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒: 𝑖) 𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝑖𝑖) 𝑦 = −2

3) 𝑦 = 𝑥2 + 1, 𝑦 = 9 − 𝑥2, 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒: 𝑖) 𝑦 = 0 𝑖𝑖)𝑦 = 9

4) 𝑦 = 𝑥2(𝑥 − 1), 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒: 𝑖) 𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝑖𝑖) 𝑦 = 2

5) 𝑦 = 𝑥3 + 1, 𝑒𝑗𝑒 𝑥, 𝑒𝑗𝑒 𝑦, 𝑎𝑙𝑟𝑒𝑑𝑒𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒: 𝑖) 𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝑖𝑖) 𝑦 = 1


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Laboratorio # 6 Función inversa

I.- Determine si la función dada tiene inversa. Si la función tiene inversa determine el dominio y el rango. Si no tiene inversa, determine bajo que restricciones en su dominio, existe la inversa.

1) 𝑓(𝑥) = 16 − 𝑥2

2) 𝑓(𝑥) = √3𝑥 − 1

3) 𝑓(𝑥) =𝑥−1

𝑥−4

4) 𝑓(𝑥) = 𝑥5

5) 𝑓(𝑥) = 16 − 𝑥2

6) 𝑓(𝑥) = 8𝑥3 − 1

II.- Halle la inversa de la función dada y comprueba las propiedades 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑥 y 𝑓(𝑓−1(𝑥)) = 𝑥. Grafique 𝑓 y 𝑓−1 en el mismo sistema

coordenado.

1) 𝑓(𝑥) = 7 − 2𝑥

2) 𝑓(𝑥) =3𝑥+4

2𝑥+6

3) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 83

III.- En los siguientes ejercicios halle (𝑓−1)′(𝑑) .

1) 𝑓(𝑥) = 𝑥5 + 2; 𝑑 = 1

2) 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 + 2𝑥; 𝑑 = 6

3) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 5; 𝑑 = −3

4) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 𝑥 + 20; 𝑑 = 2

5) 𝑓(𝑥) = 𝑥5 + 4𝑥 − 3; 𝑑 = 2


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Laboratorio # 7 Función Logaritmo Natural

I.- Halle la derivada de las funciones siguientes. Simplifique el resultado.

1) 𝑦 = ln(3𝑥2 + 5𝑥)3

2) 𝑦 = ln(2 ln 10𝑥)

3) 𝑦 = 𝑥2(ln 4𝑥)2

4) 𝑦 = ln(cos 7𝑥)

5) 𝑦 = ln(3𝑥+5)2

(4𝑥2+2)3

6) 𝑦 = ln(𝑥2 + 9)

7) 𝑦 = ln √(3𝑥=1)

(1+4𝑥)

8) 𝑦 = ln(𝑠𝑒𝑛 5𝑥 )

II.- Utilice diferenciación logarítmica para obtener 𝑑𝑦

𝑑𝑥 .

1) 𝑦 = (cos 3𝑥)1+𝑠𝑒𝑛𝑥2

2) 𝑦 =𝑥

12⁄ (5−2𝑥)

32⁄

𝑥3

3) 𝑦 = 𝑥3𝑒𝑥2

4) 𝑦 = √𝑥2+4

𝑥2−4

4

5) 𝑦 =𝑥3(3𝑥−2)3

(𝑥−1)3

2⁄

6) 𝑦 = (𝑠𝑒𝑛 𝑥)𝑥2−1

7) 𝑦 = (3 + 4𝑥)2

𝑥⁄

III.- Evalúe las siguientes integrales.

1) ∫𝑥

3−4𝑥2𝑑𝑥

2) ∫𝑒3𝑥

𝑒−3𝑥+5 𝑑𝑥

3) ∫𝑥2+1

𝑥+5𝑑𝑥

1

0

4) ∫2𝑥2

3𝑥3+7𝑑𝑥

1

0

5) ∫𝑥+3

𝑥𝑑𝑥

3

2

6) ∫𝑑𝑥

6𝑥+1

12⁄

0


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Laboratorio # 8 Función Exponencial Natural

I.- Determine la derivada de las siguientes funciones.

1) 𝑦 = 𝑒−3𝑥4

2) 𝑦 = 𝑒−5𝑥2+2

3) 𝑦 = 𝑥𝑒2 𝑥

2−

𝑒2 𝑥

4

4) 𝑦 = 𝑒−2𝑥 ln(4𝑥)

5) 𝑦 =𝑒2 𝑥+1

𝑒2 𝑥−1

II.- Calcule las siguientes integrales.

1) ∫ 𝑒2𝑥+1𝑑𝑥

2) ∫𝑒𝑥+𝑒−𝑥

2

3

0

3) ∫𝑒3𝑥

(1−𝑒3𝑥)2

2

1𝑑𝑥

4) ∫ 𝑒5𝑥+21

0𝑑𝑥

5) ∫ 𝑒2𝑦√1 + 𝑒2𝑦 𝑑𝑦

6) ∫𝑒2𝑥

𝑒2𝑥+1𝑑𝑥

7) ∫𝑒4𝑥

𝑒2𝑥+1𝑑𝑥

8) ∫𝑒3𝑥+1

𝑒3𝑥−1𝑑𝑥

9) ∫(𝑒𝑥+2)2

𝑒2𝑥𝑑𝑥

10) ∫ (𝑒−3𝑥 + 1)2

0𝑑𝑥

11) ∫ 𝑥𝑒−𝑥√3

0𝑑𝑥

12) ∫𝑒4𝑥

𝑒𝑥+2𝑑𝑥


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Laboratorio # 9 Otras funciones Logarítmicas y Exponenciales

I.- Determine 𝑑𝑦

𝑑𝑥 .

1) 𝑦 = 10𝑥2−2𝑥

2) 𝑦 = log10 (𝑥

𝑥+1)

3) 𝑦 = 𝑡𝑔(23𝑥)

4) 𝑦 = √log𝑎 𝑥

5) 𝑦 = 𝑥10(10𝑥)

6) 𝑦 =4𝑥

1+2𝑥

7) 𝑦 = 4cos(10𝑥)

8) 𝑦 = 3𝑥2log3(𝑥3)

II.- Calcule las siguientes integrales.

1) ∫(log3 𝑥)2

𝑥𝑑𝑥

2) ∫4

ln1𝑥

𝑥𝑑𝑥

3) ∫log2 𝑥2

𝑥𝑑𝑥

4) ∫ 41−𝑥2(𝑥)

1

0𝑑𝑥

5) ∫ 42𝑥 (42𝑥 + 3)4𝑑𝑥

6) ∫2𝑥+3𝑥

5𝑥 𝑑𝑥

7) ∫ (2−𝑥 + 4)log2(3)

0𝑑𝑥


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Laboratorio # 10 Funciones Trigonométricas Inversas y Funciones Hiperbólicas

I.- Determine 𝑑𝑦

𝑑𝑥 .

1) 𝑦 = 𝑥𝑡𝑔−1𝑥 2) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠−1 (3𝑥)

3) 𝑦 =1

2𝑠𝑒𝑛−1𝑒𝑥

4) 𝑦 = 𝑡𝑔−1𝑥2 + 𝑐𝑜𝑠−1𝑥2

5) 𝑦 = 𝑥𝑐𝑠𝑐−1(𝑥2) − ln √1 − 𝑥2

6) 𝑦 = 4𝑐𝑜𝑠−1(√2𝑥)

7) 𝑦 = (3𝑥 − 1)𝑠𝑒𝑛−1(𝑥2)

8) 𝑦 =𝑠𝑒𝑛(3𝑥)

𝑠𝑒𝑛−1(3𝑥)

II.- Halle 𝐷𝑥𝑦 de los siguientes ejercicios.

1) 𝑦 = ln(𝑡𝑔ℎ3(5 − 3𝑥))

2) 𝑦 = 𝑡𝑔ℎ3√𝑥

3) 𝑦 = 𝑒𝑥 cosh 𝑥

4) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛−1(𝑡𝑔ℎ(𝑥2))

5) 𝑦 = coth(ln 𝑥)

III.- Evalúe las siguientes integrales.

1) ∫𝑠𝑒𝑐ℎ 2(1−4𝑥)

5−𝑡𝑔ℎ(1−4𝑥)𝑑𝑥

2) ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠ℎ (𝑥2)𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥2)𝑑𝑥

3) ∫𝑑𝑡

√−𝑡2−6𝑡−5

4) ∫𝑐𝑡𝑔ℎ(𝑥

13+2)

√𝑥33 𝑑𝑥

5) ∫cosh(3𝑥)

7−𝑠𝑒𝑛ℎ(3𝑥)𝑑𝑥

6) ∫[𝑠𝑒𝑛ℎ(5𝑥)]3

4 cosh(5𝑥)𝑑𝑥

7) ∫𝑐𝑠𝑐ℎ2𝑥𝑐𝑡𝑔ℎ𝑥

(8+𝑐𝑠𝑐ℎ2𝑥)𝑑𝑥


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Laboratorio # 11 Métodos de Integración I

I.- Calcule las siguientes integrales. 1) ∫ 𝑥𝑡𝑔−1𝑥𝑑𝑥

2) ∫𝑠𝑒𝑛2𝑥

𝑒𝑥 𝑑𝑥

3) ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑡) ln(cos(𝑡)) 𝑑𝑡

4) ∫ 𝑠𝑒𝑛−1(𝑤) 𝑑𝑤

5) ∫ 𝑥5𝑒𝑥2𝑑𝑥

6) ∫ 𝑐𝑡𝑔5 (3

4− 7𝑥) 𝑑𝑥

7) ∫𝑥2𝑑𝑥

(10+𝑥2)32

8) ∫ 𝑠𝑒𝑛3(𝜋 − 3𝑥) 𝑐𝑜𝑠 7(𝜋 − 3𝑥) 𝑑𝑥𝜋

4𝜋

6

9) ∫(9 − 𝑥2)−3

2 𝑑𝑥

10) ∫ √5 − 𝑥2 𝑑𝑥

11) ∫ 𝑠𝑒𝑐3(5𝜃) 𝑡𝑔5(5𝜃) 𝑑𝜃

12) ∫ 𝑥2 (7𝑥 − 2)9𝑑𝑥

13) ∫ 𝑥2𝜋

0cos 𝑥 𝑑𝑥

14) ∫ 𝑐𝑡𝑔6(3 − 𝑥) 𝑐𝑠𝑐4(3 − 𝑥) 𝑑𝑥

15) ∫ 𝑡2𝑠𝑒𝑛 (2𝑡) 𝑑𝑡


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Laboratorio # 12 Métodos de Integración II

I.- Calcule las siguientes integrales.

1) ∫2𝑥2+1

(𝑥−2)3𝑑𝑥

2) ∫𝑥3𝑑𝑥

(𝑥2+2)2

3) ∫4𝑥2−3𝑥

(𝑥+2)(𝑥2+1)𝑑𝑥

4) ∫𝑥3𝑑𝑥

(𝑥2+2)2

2

0

5) ∫𝑑𝑥

𝑥(𝑥2+𝑥+1)

6) ∫𝑑𝑥

𝑥√𝑥2+𝑥−1

7) ∫𝑠𝑒𝑛(𝑥)

1+𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑑𝑥

8) ∫𝑥 𝑑𝑥

𝑥3+2𝑥2+𝑥+2

1

0

9) ∫𝑥2

√𝑥2+16𝑑𝑥

10) ∫𝑥2+3

𝑥2−3𝑥+2 dx


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Laboratorio # 13 Limites

I.- Calcule el límite si existe.

1) lim𝑥→0

tan 2𝑥

ln(1+𝑥)

2) lim𝑥→0

sen (𝑥) − 𝑥

𝑥3

3) lim

𝑥→𝜋

2

(tan 𝑥 ∗ ln (sen(𝑥))

4) lim𝑥→1

(𝑥

𝑥−1−

1

ln 𝑥)

5) lim𝑥→0+

ln 𝑥1

𝑥

6) lim𝑥→3

(9−𝑥2)1

2⁄

3−𝑥

7) lim𝑥→3

2𝑥2−𝑥−15

3𝑥2−8𝑥−3

8) lim𝑥→0

𝑥𝑒2𝑥+7𝑥

1−cos 𝑥

9) lim𝑧 → 0

5𝑧

5𝑧− 𝑒𝑧

10) lim 𝑥→∞

ln( 𝑥+ 𝑒𝑥 )

3𝑥


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Laboratorio # 14 Integrales Impropias

I.- Determine si la integral impropia es convergente o divergente y si es convergente evalúe.

1) ∫ 2𝑥∞

1𝑑𝑥

2) ∫𝑑𝑥

𝑒𝑥

∞

2

3) ∫𝑑𝑥

𝑥5 4⁄

∞

1

4) ∫𝑑𝑥

√𝑥

∞

2

5) ∫𝑑𝑥

−𝑥2−6𝑥+9

∞

−∞

6) ∫𝑑𝑥

(4−𝑥)5

2

−∞

7) ∫𝑥𝑑𝑥

(𝑥2+4)2

∞

−∞

8) ∫𝑥𝑑𝑥

(2+𝑥2)3

2⁄

∞

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