Calculo Integral (Definida e Indefinida) Teoria y ejemplos

7/25/2019 Calculo Integral (Definida e Indefinida) Teoria y ejemplos

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INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA

INTRODUCCION

En muchas ocasiones al estar cursando la materia no entendemos el fin de este

estudio o para que aplicarlo en nuestra vida. Antes de responder la interrogante

realizada quisiera decir que todo lo que se nos ensea en la escuela en el

momento menos inesperado nos funcionara en una aplicacin. Ahora

respondiendo a la pregunta el clculo integral o las integrales se utilizara mucho

en el area particular de ingeniera civil esto nos sirve para calcular como por

ejemplo, el area de un terreno de carcter amorfo o bien calcular la curvatura que

tendr una viga, eso es lo que puedo mencionar dado a que desconozco un sin fin

de aplicaciones que puede tener como en la hidrulica y estructuras.

INTEGRAL DEFINIDA

El clculo de la integral indefinida es muy parecido al de la integral definida con ladiferencia que al final no necesitamos poner los valores ni del lmite superior de laintegracin ni del lmite inferior de la integracin.

Esto tambin significa que la solucin de la integracin indefinida nunca es un

nmero, sino una funcin del integrando dado. La forma ms fundamental para

computar la integracin de un integrando dado es,

Aqu el valor de n no debe ser igual a 1.

Para integrar un integrando de la forma exponencial, donde el exponente es

alguna variable, solo incremente el valor del exponente de la variable por uno y

coloque el nuevo exponente en el denominador de la variable dada. Est bastante

claro que el valor de n = 1 no es admisible dado que este convertira el valor del

denominador en cero, resultando este en un valor indefinido como respuesta.

Otro mtodo bsico de la integracin es,


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Esto significa que la integracin de una constante producir la variable de

integracin como salida con la constante dada como su coeficiente.

Existen algunas frmulas de integracin las cuales se utilizan directamente para la

integracin de funciones trigonomtricas, funciones exponenciales, funciones

logartmicas, etc.

Algunas de estas frmulas se enumeran a continuacin,


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Es fundamental tener en cuenta que el mtodo de integracin de la multiplicacin

o la divisin de dos o ms funciones no puede llevarse a cabo de una manera

similar a como lo hacemos con la suma o resta de dos o ms funciones. Para

integrar la multiplicacin de funciones primero tenemos que multiplicar los

productos y para la integracin de la divisin de las funciones tenemos que

quebrar el cociente.

El clculo por sustitucin es un importante mtodo del clculo de integrales

indefinidas. Este mtodo es utilizado cuando el integrando no es sencillo y las

frmulas de integracin simple no se pueden aplicar directamente. Apartando esto

un pre- requisito importante para este mtodo es que el integrando debe definirsede forma tal que para cualquier funcin f(x) el integrando es la multiplicacin de la

diferenciacin de f(x) y funcin de f(x) como se muestra a continuacin,

Aqu tenemos g(x) como la funcin pincipal. Ahora reemplazamos g(x) con a lo

que producir,

g(x) = a

g(x) = da/ dx

da = g(x) dx

Los valores anteriores pueden ser sustituidos en la expresin real como

integrando y la integracin se puede seguir como es usual para el nuevo

integrando. Por ltimo, sustituimos de vuelta los valores reemplazados dentro dela expresin para obtener la respuesta final.

Para analizar si la sustitucin se ha llevado a cabo de forma correcta o no,

asegrese que despus de la sustitucin la nueva variable reemplazada aparezca

y que la variable original de la integracin desaparezca completamente del

integrando.


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Vale la saber que generalmente no obtenemos el problema de la forma exacta que

se ha descrito anteriormente. Entonces tenemos primero que modificarlo a una

forma en que la sustitucin pueda llevarse a cabo.

Veamos ahora un ejemplo para entender el proceso resolver integraciones

indefinidas.

5ex + cos(x)5 sec2(x) dx

= 5ex + sin(x)5 tan(x) + c

PROPIEDADES DE INTEGRALES INDEFINIDAS

En clculo infinitesimal, la funcin primitiva o antiderivada de una funcin f es una

funcin F cuya derivada es f, es decir, F = f.

Una condicin suficiente para que una funcin f admita primitivas sobre un

intervalo es que sea continua en dicho intervalo.

Si una funcin f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que

difieren entre s en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces

existe un nmero real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de

integracin. Como consecuencia, si F es una primitiva de una funcin f, el conjunto

de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se

representa como:

El proceso de hallar la primitiva de una funcin se conoce como integracin

indefinida y es por tanto el inverso de la derivacin. Las integrales indefinidas

estn relacionadas con las integrales definidas a travs del teorema fundamental

del clculo, y proporcionan un mtodo sencillo de calcular integrales definidas de

numerosas funciones.


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Ejemplo

Una primitiva de la funcin f(x)=\cos(x) en, es la funcin F(x)=\sin(x) ya que:

Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendr un

nmero infinito de primitivas tales como sin(x), sin(x) + 5, sin(x) - 100, etc. Es ms,

cualquier primitiva de la funcin f(x) = cos(x) ser de la forma sin(x) + C donde C

es una constante conocida como constante de integracin.

Constante de integracin

La derivada de cualquier funcin constante es cero. Una vez que se ha encontrado

una primitiva F, si se le suma o resta una constante C, se obtiene otra primitiva.

Esto ocurre porque (F + C) = F + C = F + 0 = F . La constante es una manera

de expresar que cada funcin tiene un nmero infinito de primitivas diferentes.

Para interpretar el significado de la constante de integracin se puede observar elhecho de que la funcin f (x) es la derivada de otra funcin F (x), es decir, que

para cada valor de x, f (x) le asigna la pendiente de F (x). Si se dibuja en cada

punto (x, y) del plano cartesiano un pequeo segmento con pendiente f (x), se

obtiene un campo vectorial como el que se representa en la figura de la derecha.

Entonces el problema de encontrar una funcin F (x) tal que su derivada sea la

funcin f (x) se convierte en el problema de encontrar una funcin de la grfica de

la cual, en todos los puntos sea tangente a los vectores del campo. En la figura de

la derecha se observa como al variar la constante de integracin se obtienen

diversas funciones que cumplen esta condicin y son traslaciones verticales unas

de otras.


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CONCLUSION

Pues bien, dentro de los ejemplos que he escuchado, hay mucha relacin a la

ingeniera civil, en topografa, reas y superficies de terrenos, aunque desde unpunto de vista ms prctico, y no tan tedioso como se hace ver el calculo integral

en el caso, con estos programas que menciona, sino es con todos, podemos

hacer, as como dice, el clculo un poco ms fcil en cierto sentido.

La relacin existe en tanto al rea que ms nos guste, si es en hidrulica, se

calculan velocidades de flujo de agua y aceleracin, as como vimos tambin

volmenes, de hecho es casi increble que existan cosas tan sencillas las cuales

han nacido luego de la implementacin del clculo, como los slidos de revolucin.

La relacin con otras ciencias como la probabilidad y la estadstica, el clculo de

probabilidades de que un evento ocurra dentro de un intervalo de confianza, o de

que ocurra un error de igual manera, en gerencia e ingeniera de construccin,

BIBLIOGRAFIAS

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Editores. Mxico.

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