Evaluar las siguientes integrales impropias:

1.∫0

1

¿ ( x )dx

La función y= Inx no está definida en x= 0 donde la gráfica presenta una asíntota vertical o lo mismo:

limx→0+¿ Inx=−∞¿

¿

Ahora resolvemos la integral indefinida, por partes haciendo.

∪=Inx→d∪=1xdx

y dv=dx→v=x

Y tenemos∫¿ ( x )dx=x Inx−∫ x ( 1xdx)

¿ x Inx−∫ dx

¿ x Inx−x+C

Y así ∫0

1

Inx dx= limt →0+¿∫

t

1

¿ xdx

¿¿

¿ limt→0+¿ [ x Inx−x ]z

1

¿¿

¿ limt→0+¿ [ ( 1∈1−1)−(t∈t−t )] ¿

¿

limt→0+¿ (0−1−tInt +t ) ¿

¿

Cuando t→0+¿ ¿ limt→ 0+¿t∈t=0¿

¿

Luego

∫0

1

Inxdx=0−1−0+∪

¿−1

1. ∫2

∝1¿¿ ¿

∫2

∝1¿¿ ¿

∫ 1¿¿ ¿

Aplicamos integración por sustitución ∫ f (g (x ) ) . g´ (x )dx=∫ f (u )du ,u=g ( x )

u=(x−1): du=1dx ,dx=1du

¿∫ 1

u21du

¿∫ 1

u2du

Usamos la propiedad de los exponentes1

an=a−n

1

u2u−2

Aplicamos la regla de la potencia ∫ xadx= xa+1

a+1a≠−1

¿ u−2+1

−2+1

Sustituimos la ecuación u=( x−1 )

¿(x−1)−2+1

−2+1

Simplificamos

¿ 1x−1

Agregamos una constante dF (x)dx

=f (x )=∫ f ( x )dx=F ( x )+c

¿− 1x−1

+c

Calculamos los límites

∫2

∝1¿¿ ¿

∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F (a )=limx→b

−(F ( x ) )−¿ limx→a

+ (F ( x ) )¿

limx→2

+( −1x−1 )=−1

limx→2

+( −1x−1 )

Sustituimos la variable f ( x ) , g ( x ) existen

lim [ f (x)±g ( x ) ]x→a

=limx→a

f ( x )± limx→a

g (x)

limx→a

[ f ( x ) . g ( x ) ]=limx→a

f ( x ) . limx→a

g (x)

limx→a

[c . f ( x ) ]=c limx→a

f (x )

limx→a [ f (x)g (x) ]=

limx→a

f (x)

limx→a

g (x)donde lim

x→ag( x)≠0

¿− 12−1

Simplificamos

¿−1

limx→∞ ( −1

x−1 )=0

limx→∞ ( −1

x−1 )Sustituimos variable

¿− 1∞−1

¿0−(−1)

¿1

2. ∫∝

∝

e−5 xdx

∫ e−5 xdx=−e−5 x

5+c

Aplicamos integración por sustitución

∫ f (g (x ) ) . g´ (x )dx=∫ f (u )du ,u=g ( x )

u=−5x :du=−5dx ,dx=(−15 )du

¿∫eu(−15 )du

¿∫−¿ eu

5du¿

Sacamos las constantes:

∫ a . f ( x )dx=a .∫ f (x )dx

¿−15eu

Aplicamos la regla de integración

∫ eudu=eu

¿−15eu

Sustituimos en la ecuación

u=−5x

¿−15e(−5 x)

Simplificamos:

¿− e−5 x

5

Agregamos la constante para la solución:

¿− e−5 x

5+C

Calculamos los límites

∫∝

∝

e−5 xdx :∫∝

∝

e−5x dx=0−0

∫a

b

f ( x )dx=F (b )−F (a )= limx→b−¿ (F ( x ) )−¿ lim

x →b+¿ (F ( x )) ¿¿¿

¿¿

limx→∝

(−e−5x

5 )=0

limx→∝

(−e−5x

5 )

limx→a

[c . f (x)]=c . limx→a

f (x )

¿ limx→∝

( e−5x

5 )

limx→a [ f ( x )

g ( x ) ]=lim

x→af ( x )

limx→a

g ( x ), dondeel lim

x→ag ( x )≠0

¿−lim

x→∝(e−5 x)

limx→∝

(5 )

limx→∝

(e−5x )=0

limx→∝

(e−5x )

Usamos la continuidad de ex en x=∝

f ( x ) es continuoal rededorde x=g (a ) y g ( x ) escontinuo alrededor de x=a

limx→a

f (g(x ))=f ¿

Calculamos elim

x →∝(−5 x)

limx→∝

(−5 x )=−∝

limx→∝

(−5 x )

Sustituimos variable

¿−5∝

Simplificamos

¿−∝

¿e−∝

Simplificamos

¿0

limx→∝

(5 )=5

limx→∝

(5 )

limx→a c=c

¿5

¿−05

Simplificamos

¿−0

Simplificamos

¿0

4-∫2

5x+4

√ x2−4dx

limt→ 2[∫t

5x+4

√x2−4dx ]

limt→ 2[∫t

5x

√x2−4dx+∫

t

54

√ x2−4dx ]

u=x2−4 x=2secθdu=2 x dxdx=2sec θ tan θ dθdu2

=x dx

limt→ 2[∫t

5 1√u (du2 )+4∫t

5 1

√ (2 secθ )2−4(2 secθ tanθ dθ )]

limt→ 2[12∫t5du

√u+4∫

t

52secθ tan θ

√4sec2θ−4dθ ]

limt→ 2[12∫t5

u−1

2 du+4∫t

52 secθ tan θ

√4 (sec2θ−1 )dθ]

limt→ 2[12∫t5

u−1

2 du+4∫t

52 secθ tan θ2 tan θ

dθ]limt→ 2[12∫t

5

u−1

2 du+4∫t

5

sec θdθ]limt→ 2[[12 u

12

12

]t

5

+4 [ ln|sec θ+ tanθ|]t5]

u=x2−4 x=2secθ2 tanθ=√ x2−4

u=x2−4x2

=secθ tanθ=√ x2−42

limt→ 2[ [√ x2−4 ]t5+4 [ ln|x

2+√ x2−4

2|]t

5]limt→ 2[ [ [√52−4 ]−[√t2−4 ] ]+4[ ln|5

2+√52−4

2|−ln|t

2+√ t2−4

2|] ]

[ [ [√52−4 ]−[√22−4 ] ]+4 [ ln|52 +√52−42

|−ln|22

+√22−42

|]]¿10 ,8498

5- ∫ Sen2√ x√ x

dx

√ x = U

X = U 2

dx = 2UdU

∫ Sen2UU

(2UdU )

∫2 Sen2U dU

2∫ Sen2U dU

2 tan U + C

2 tan √ x +c

6-∫1

4 11+√ x

dx

∫1

4 11+√x

dx

1+√x=u√x=u−1x= (u−1 )2

dx=2 (u−1 )du

∫1

4 1

1+√(u−1 )22 (u−1 )du

2∫1

4 (u−1 )1+u−1

du

2∫1

4 u−1u

du

2(∫1

4du−∫1

4 1udu)

2 [u−Ln|u|]14

2 [−1+√ x−Ln|1+√ x|]14

2 [ (−1+√4−Ln|1+√4|)−(−1+√1−Ln|1+√1|) ]¿1 ,18906

7- ∫0

π2 sin2x cos x dx

∫0

π2 sin2x cos x dx

∫0

π2 (1−cos2 x )cos x dx

∫0

π2 cos x−cos3 x dx

∫0

π2 cos x dx−∫0

π2 cos3 x dx

∫0

π2 cos x dx−∫0

π2 3 cos x+cos 3x

4dx

∫0

π2 cos x dx−3

4∫0

π2 cos x dx−1

4∫0

π2 cos3 x dx

∫0

π2 cos x dx−3

4∫0

π2 cos x dx−1

12∫0

π2 cosu du

[sin x ]0π2 −

34

[ sin x ]0π2 −

112

[ sinu ]0π2

[sin x ]0π2 −3

4[ sin x ]0

π2 −1

12[ sin 3x ]0

π2

14

[ sin x ]0π2 −1

12[sin 3 x ]0

π2

14 [sin

π2

−sin 0]−112 [sin 3(π2 )−sin 3 (0)]

¿13

=0 ,33333

8-∫ xe( x2−1 )

dx

∫ xe( x2−1 )

dx

u=x2−1du=2 xdxdu2

=xdx

∫ eudu2

12∫eudu

12eu+C

12eu+C

¿12e

( x2−1 )+C

9- ∫ 1

(x2+4 x+13)dx

∫ 1

(x2+4 x+4 )+13−4dx

∫ 1

(x+2)2+9dx

U=x+2

dU=dx

∫ 1

U 2+9dU

19∫

1

(U3

)2

+1

dU

U3

=V

12dV=dV

dU=3 Dv

19∫

1

V 2+13dV

13

arctan (V )+C

13

arctan (U3

)+C

13

arctan ( x+23

)+C

Este integral se ha desarrollado a través del método de integración por sustitución o cambio de variable.

10-∫ 1

4−x2dx

∫1

4−x2dx

∫1(2+x )(2−x )

dx

a(2−x )+b (2+ x )=1

b=14

a=14

∫14 (2+x )

dx+∫ 14 (2−x )

dx

14 (∫ 1

(2+x )dx+∫1

(2−x )dx)

14

(Ln|2+x|−Ln|x−2|)

¿14Ln|2+x|−1

4Ln|x−2|+C

Esta integral se realizó por el método de integración por fracciones parciales

11-∫ x √x+1dx

∫ x √x+1dx

u=√ x+1u2=x+1u2−1=x2u du=dx

∫ (u2−1 )√(u2−1 )+1 (2u du )

2∫ (u2−1 )u2du

2 (∫ u4 du−∫u2du)2(1

5u5−1

3u3+C )

¿25

(√x+1 )5−23

(√ x+1 )3+C

La integral se resolvió por el método de integración por sustitución o cambio de variable.

12- ∫ 2 x

x2−3 x−10dx

∫ 2x(x−5)(x+2)

dx

∫ ax−5

+ bx+2

dx

∫ a ( x+2 )+b( x−5)(x−5)(x+2)

dx

a ( x+2 )+b ( x−5 )=2x a ( x+2 )+b ( x−5 )=2x

a (5+2 )+b (5−5 )=2 (5 ) a ( (−2 )+2 )+b ( (−2 )−5 )=2 (−2 )

7a+0=10 0−7b=−4

a=107

b=47

∫ ax−5

+ bx+2

dx

∫107

x−5+

47

x+2dx

107 ∫ 1

x−5dx+ 4

7∫1

x+2dx

x−5=u x+2=v

dx=du dx=dv

107

ln|u|+ 47

ln|v|+C

107

ln|x−5|+ 47

ln|x+2|+C

Esta integral se resolvió a través del método de integración por fracciones parciales