Calculo Vectorial
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Instituto Tecnológico de Apizaco
Nombre del alumno: Angel García Pérez
Aula: D8
Horario: 8-9 a.m.
Nombre de la materia: Calculo Vectorial
Unidad 1: Algebra de vectores
Actividad: Modelado de cuerpos geométricos con vectores
El cálculo vectorial proporciona una notación precisa para representar las ecuaciones matemáticas que sirven como modelo de las distintas situaciones
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físicas y, ayuda en gran medida a formar mentalmente la imagen de los conceptos físicos.
¿Qué es un vector?
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:Definición: la dirección de un vector u=(a,b) es el ángulo medio en radianes que forma el vector con el eje positivo de las x.El ángulo se puede medir haciendo tanq=b/a; pero es importante localizar el vector puesto queq=tan-1b/a da valores entre -p/2 y p/2 mientras que el ángulo buscado estará entre 0 y 2p
Vector en R2
Los vectores en R2 son los vectores en el plano XY o vectores en dos dimensiones. Tienen dos componentes y son de la forma u = (x, y), donde "x" e "y" son números llamados componentes escalares
Vector en R3.
Los vectores en R3 son los vectores en el espacio XYZ (espacio tridimensional). Tienen tres componentes y son de la forma u = (x, y, z), donde "x", "y", "z" son las componentes escalares.
Representación geometrica de la suma y la resta de vectores.
para vectores posición la suma u+v es el vector representado por la diagonal principal del paralelogramo cuyos lados están conformados por los vectores u y v. La resta u-v o v-u es el vector representado por la otra diagonal (al hacer v-u el punto final del vector es v y el inicial es u, por eso la flecha, si fuera u-v el punto final sería el de u y el vector tendría la dirección opuesta).
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Campos escalares y vectoriales
Campo vectorial
Es una asignación de un vector a cada punto en un subconjunto del espacio euclidiano. Un campo de vectores en el plano, por ejemplo, se puede visualizar como una flecha, con una magnitud dada y la dirección, que se adjunta a cada punto del plano. Los campos vectoriales se utilizan a menudo para modelar, por ejemplo, la velocidad y la dirección de un fluido en movimiento a través del espacio, o la fuerza y la dirección de algunas fuerzas, como la magnética o gravitatoria, la fuerza a medida que cambia de punto a punto.
Los campos vectoriales se puede considerar como la representación de la velocidad de un flujo de movimiento en el espacio, y esta intuición física conduce a nociones tales como la divergencia (que representa la tasa de variación del volumen de un flujo) y la curvatura (que representa la rotación de un flujo).
Campos escalares
Se visualiza mediante las superficies de nivel o isoescalares, que son el lugar geométrico de los puntos del espacio para los cueles la función escalar toma el mismo valor, por ejemplo: T(x, y, z)=cte
Cuando estas superficies se cortan por un plano se convierten en las llamadas curvas de nivel o isoescalares, que según la magnitud física que representan reciben un nombre particular: las isotermas se definen por: T(x, y)=cte las isobaras se definen por: P(x, y)=cte.
Geometría de las operaciones vectoriales.
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Cálculo vectorial es una rama de las matemáticas relacionadas con la diferenciación y la integración de campos vectoriales, sobre todo en tres dimensiones del espacio euclidiano el término “cálculo vectorial” a veces se utiliza como sinónimo para el tema más amplio de cálculo multivariable, que incluye el cálculo de vectores, así como la diferenciación parcial y la integración múltiple. Se utiliza ampliamente en la física y la ingeniería, especialmente en la descripción de los campo selectromagnéticos, los campos gravitatorios y el flujo de fluidos.
Objetos básicos
Los objetos básicos en cálculo vectorial son campos escalares (las funciones con valores escalares) y campos de vectores (vector con valores de funciones). Estos se combinan o se transforman en diversas operaciones, e integrada. En los tratamientos más avanzados, una más distingue pseudovector campos y pseudoescalar campos, que son idénticos a los campos vectoriales y campos escalares.
Operaciones algebraicas
Las algebraicas básicas (no diferencial) en las operaciones de cálculo vectorial se conocen como álgebra vectorial, se define un espacio vectorial y luego a nivel mundial se aplica a un campo de vectores, y consisten en:
-Multiplicación escalar: multiplicación de un campo escalar y un campo de vectores, produciendo un campo vectorial: av.;
Además de dos campos vectoriales, produciendo un campo vectorial: v1+v2.;
-producto de punto: multiplicación de dos campos vectoriales, producioendo un campo escalar: v1*v2;
-producto vectorial: multiplicación de dos campos vectoriales, produciendo un campo vectorial: v1xv2.
Ejercicio 1De los siguientes vértices conozca si los vectores que se forman muestran un cuadrilátero:
A= (0, 5, 2)
B= (4, 0, -1)
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C= (2, 4, 6)
D= (1, -1, 2)
Solución:
Como primer paso en la solución del ejercicio se encontraran los vectores
A⃗B , B⃗C , C⃗D, D⃗A, utilizando el teorema (14.4), que nos dice que si
P1 ( x1 , y1 ) y P2(x2 , y2)son dos puntos, entonces el vector a en V 2 que corresponde
a P⃗1P2 es: a=⟨ x2−x1 , y2− y1 ⟩
A⃗B= ⟨1 ,−6 ,0 ⟩
B⃗C=⟨−2, 4 ,7 ⟩
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C⃗D=⟨−1 ,−5 ,−4 ⟩
D⃗A= ⟨−1 ,6,0 ⟩
Ahora sacamos las componentes multiplicando a⃗× b⃗
a⃗=−1 −5 −4b⃗=0 5 2
a⃗× b⃗= [−10−(20) ] i−[−2−(0)] j+[−5−(0)] k
=(−10+20 ) i−(−2 ) j+ (−5 ) k
= 10 i+2 j−5k
=⟨10 ,2 ,−5 ⟩
‖a⃗× b⃗‖=√¿¿
Ejercicio 2Dados los puntos A (2, 3) y B (5, 7) encontrar el vector a v2 que corresponde a
A⃗B respectivamente, trazar A⃗B, el vector de posición a, encontrar la magnitud, la dirección y el ángulo del vector.
D (1,-1,2)
A (0, 5, 2)
C (2, 4, 6)a⃗=⟨−1,−5 ,−4 ⟩
b⃗=⟨−2,1 ,−4 ⟩
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Solución:
Como primer paso en la solución del ejercicio se encontraran los vectores A⃗B ,
utilizando el teorema (14.4), que nos dice que si P1 ( x1 , y1 ) y P2(x2 , y2)son dos
puntos, entonces el vector a en V 2 que corresponde a P⃗1P2 es:
a=⟨ x2−x1 , y2− y1 ⟩
A⃗B= ⟨3 ,4 ⟩
Por consiguiente procedemos a obtener la magnitud de A⃗B:
‖A⃗B‖=√(3)2+(4)2
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‖A⃗B‖=√9+6
‖A⃗B‖=√25=5
Ahora bien obtenemos el ángulo:
θ=tan−1( XY
)
θ=tan−1( 43)
θ=53,13°
Ejercicio 3Una caja rectangular tiene longitud a, anchura b y altura c. Sea P el centro de la caja. Use vectores para encontrar una expresión del ángulo APB en términos de a, b, c.
Solución:
Para resolver este ejercicio debemos analizar y encontrar las coordenadas de APB para encontrar su magnitud y posteriormente encontrar el ángulo que existe de APB, por lo tanto, tenemos que:
Obtenemos las coordenadas siguientes:
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A= (2, 0, 0) P= (1, 2, 2) B= (0, 0, 3)
Ahora bien se encontraran los vectores P⃗Ay P⃗B utilizando el teorema (14.4),
que nos dice que si P1 ( x1 , y1 ) y P2(x2 , y2)son dos puntos, entonces el vector a en
V 2 que corresponde a P⃗1P2 es: a=⟨ x2−x1 , y2− y1 ⟩:
μ⃗=P⃗A= ⟨1,−2 ,−2 ⟩
v⃗=P⃗B= ⟨−1 ,−2,1 ⟩
Posteriormente obtendremos las magnitudes de los vectores ‖μ⃗‖ y ‖v⃗‖ utilizando la ecuación √¿¿:
‖μ⃗‖=√(1)2+(−2)2+(−2)2=√9=3
‖v⃗‖=√(−1)2+(−2)2+(1)2=√9=3
Por ultimo obtendremos el ángulo:
θ=cos−1( M⃗ . N⃗
‖M⃗‖.‖N⃗‖)
θ=(−1,4 ,−23 X 3
)
θ=cos−1( 19 )=83.62 °
Ejercicio 4Dados los puntos P (-3, 2, -1), Q (2, -2, 1) y R (-2, -1, 4), calcular el área del triangulo determinado por P, Q y R
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Ahora procedemos a sacar los vectores a y b como se hace a continuación:
Por ultimo obtendremos las componentes y se procederá a sacar el área del
triángulo utilizando la siguiente formula 12√¿¿
a⃗=5 −4 0b⃗=1 −3 5
a⃗× b⃗= [−20−(0)] i−[25−(0) ] j+[−15−(−4)] k
P (-3, 2, -1)
Q (-2, -1, 4)
R (2, -2, 1)
a⃗=⟨5 ,−4 ,0 ⟩
b⃗=⟨1 ,−3 ,5 ⟩
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¿ −20 i−25 j−11k
¿ ⟨−20 ,−25 ,−11⟩
¿ 12√¿¿
Bibliografía
Swokowski, E. (1989), “Calculo con geometría analítica”, grupo editorial iberoamericana, 2da Edición, México, D.F.
MARSDEN, JERROLD E. Y TROMBA,ANTHONY J.CÁLCULO VECTORIAL, 1ª EDICIÓNMÉXICO, PRENTICE – HALL HISPANOAMERICANA1995