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INTEGRACIÓNCalculo Vectorial

Ing. Genaro Ocho Cruz

Guillermo Antonio Osorio Contreras

302-B

Diciembre del 2011INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE TIERRA BLANCA

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CONTENIDO

Introduccion.........................................................................................................1

1. Integración...................................................................................................... 2

1.1. Integral de línea.......................................................................................2

1.2. Trabajando integrales de línea................................................................3

1.3. Integrales iteradas dobles y triples..........................................................4

1.4. Definición de integral triple......................................................................6

1.5. Aplicaciones a áreas y solución de problemas........................................7

1.6. Integral doble en coordenadas polares.................................................10

1.7. Ejercicio #1............................................................................................11

1.8. Ejercicio #2............................................................................................12

1.9. Ejercicio #3............................................................................................13

Bibliografia.........................................................................................................14

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INTRODUCCIÓN

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas,

especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente,

una integral es una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

el cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las

matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la

ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo

de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René descartes,

Isaac newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los

aportes de newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que

propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [a,b] de la recta real, la

integral

Es igual al área de la región del plano (x,y) limitada entre la gráfica de f, el eje x, y

las líneas verticales x = a y x = b, donde son negativas las áreas por debajo del eje

x.

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INTEGRAL DE LÍNEA

Una integral de línea es una integral donde la función a integrar es evaluada a lo largo de una curva. Se utilizan varias integrales curvilíneas diferentes. en el caso de una curva cerrada también se la denomina integral de contorno.

La función a integrar puede ser un campo escalar o un campo vectorial. El valor de la integral curvilínea es la suma de los valores del campo en los puntos de la línea, ponderados por alguna función escalar de la curva (habitualmente la longitud del arco o, en el caso de un campo vectorial, el producto escalar del campo vectorial por un vector diferencial de la curva).

Esta ponderación distingue las integrales curvilíneas de las integrales más sencillas definidas sobre intervalos.

muchas fórmulas sencillas de la física tienen de forma natural análogas continuas en términos de integrales de línea; por ejemplo, el hecho de que el trabajo sea igual a la fuerza multiplicada por la distancia se puede expresar (en términos de cantidades vectoriales) como:

Que tiene su paralelismo en la integral de línea

Que acumula los componentes vectoriales a lo largo de un camino continuo, y así calcula el trabajo realizado por un objeto al moverse a través de un campo, como por ejemplo un campo eléctrico o un campo gravitatorio.

La integral de línea tiene varias aplicaciones en el área de ingeniería, y una de las interpretaciones importantes para tales aplicaciones es el significado que posee la integral de línea de un campo escalar.

En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también integral de contorno. Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:

el cálculo de la longitud de una curva en el espacio; el cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que

se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva;

ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.

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TRABAJANDO INTEGRALES DE LÍNEA

A la hora de trabajar integrales de línea debemos, considerar los siguientes pasos, para realizar con éxito nuestro cálculo: Primero debemos parame trizar la curva sobre la cual estamos trabajando:

Luego trabajamos la función a evaluar, sustituyendo el resultado de la parametrizacion en dicha función. He integramos:

Luego sustituimos ds por: Teniendo así lo siguiente:

EJERCICIO 1 evaluar la integral de línea del campo vectorial

sobre la trayectoria de una hélice

Solución: se resuelve la integral de acuerdo a la definición

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INTEGRALES ITERADAS DOBLES Y TRIPLES

Integrales dobles como volúmenes.

Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región rectangular r como el volumen del prisma sólido limitado abajo por r y arriba por la superficie z = f(x, y). Cada termino f (xk, yk) "ak en la suma sn =

"ak es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la porción del sólido que está directamente arriba de la base "ak. la suma sn aproxima entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como:

Teorema de fubini para calcular integrales dobles.

Suponga que queremos calcular el volumen bajo el plano z=4-x-y sobre la región rectangular

en el plano xy. Entonces el volumen es

Donde a(x) es el área de la sección transversal en x. para cada valor de x podemos calcular a(x) como la integral

que es el área bajo la curva z=4-x-y en el plano de la sección transversal en x. al calcular a(x), x se mantiene fija y la integración se efectúa respecto a y. al combinar (4) y (5), vemos que el volumen de todo es sólido es:

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Si quisiéramos escribir sólo las instrucciones para calcular el volumen, sin llevar a cabo ninguno de las integraciones, podríamos escribir

La llamada integral repetida o iterada, dice que el volumen se obtiene integrando 4-x-y respecto a y de y=0 a y=1, manteniendo fija a x y luego integrando la expresión resultante en x respecto a x=0 a x=2.

¿Qué pasa si calculamos el volumen formando rebanadas con planos perpendiculares al eje?

¿Cómo función de y, el área transversal típica es?

Por tanto el volumen de todo el sólido es

Ejemplo. Calcule

Solución. Por el teorema de fubini,

Si invertimos el orden de integración se obtiene la misma respuesta:

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DEFINICIÓN DE INTEGRAL TRIPLE

Una integral triple es una generalización de una integral doble en el mismo sentido que una doble es una generalización de una integral sencilla.

Esto es, una integral triple extiende el concepto de una integral al caso en que f es una función de tres variables independientes cuyo dominio es una región cerrada acotada en el espacio de 3 dimensiones.Supongamos que:

Es una función de tres

variables independientes cuyo dominio es una región cerrada acotada r3. Sea 𝑁𝑘3 una

red de r3, sea:

Si existe un número i con la propiedad de qué dado un número 𝜀>0 existe un número 𝛿>0

tal que:

Para todas las redes 𝑁𝑘3 y aumentos 𝑇𝑘3 con forma 𝑁𝑘3<𝛿, entonces este único número es la triple integral (riemann) de f sobre la región r3,

y la representamos

La existencia de una integral triple sobre una región r3 depende no sólo de la naturaleza de f sino también de la naturaleza de r3.Teorema. Si f es continua sobre una región cerrada acotada r3 cuya frontera consiste de la

unión de un número finito de superficies uniformes entonces

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APLICACIONES A ÁREAS Y SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Suma y resta de vectores: método gráfico y analítico.

Cuando necesitamos sumar 2 o más magnitudes escalares de la misma especie lo hacemos aritméticamente.

Por ejemplo, 2kg + 5kg = 7kg; 20m2 + 10 m2 = 35m2;3h + 4h = 7h; 200k + 100k = 300k. sin embargo, para sumar magnitudes vectoriales, que como ya mencionamos aparte de magnitudes tienen dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a una simple suma aritmética.

Estos métodos pueden ser gráficos o analíticos, pero ambos casos se consideran además de la magnitud del vector, su dirección y su sentido.Resolución de problemas de suma de vectores Un jinete y su caballo cabalgan 3km al norte y después 4km al oeste.

Calcular:

¿Cuál es la diferencia total que recorren?

¿Cuál es su desplazamiento?

Solución:

Como la distancia es una magnitud escalar, encontramos la distancia total recorrida al sumar aritméticamente las dos distancias:

dt = d1+ d2= 3km + 4km = 7km

Para encontrar su desplazamiento, que es una magnitud vectorial toda vez que corresponde a una distancia medida en una dirección particular entre dos puntos(el de partida y el de llegada), debemos hacer un diagrama vectorial.

Para ello, dibujamos a escala el primer desplazamiento de 3km realizado al norte, representado por d1, después el segundo desplazamiento de 4 km.

Al oeste representado por d2. Posteriormente, unimos el origen del vector d1, con el extremo del vector d2, al fin de encontrar el vector r equivalente a la suma vectorial de los dos desplazamientos.

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El origen del vector resultante r es el mismo que tiene el origen del vector d1 y su extremo coincide con el vector d2.

Para calcular la magnitud de r medimos su longitud de acuerdo con la escala utilizada y su dirección se determina por el ángulo que forma.

Así, encontramos que r =5 km. con un ángulo de 37º en dirección noroeste.

Descomposición y composición rectangular de vectores por métodos gráficos y analíticos.

 Un sistema de vectores puede sustituirse por otro equivalente, el cual puede contener un número mayor o menor de vectores que el sistema considerado.

Si el sistema equivalente tiene un número mayor de vectores, el procedimiento se llama descomposición. si el sistema equivalente tiene un número menor de vectores, el procedimiento se denomina composición.

En la siguiente, se muestra un vector a cuyo punto de aplicación se ha colocado en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares.

Si a partir del extremo del vector a trazamos una línea perpendicular hacia el eje de las x y otra hacia el eje de las y, los vectores a x y a y así formados, reciben el nombre de las componentes rectangulares del vector a.se les llama rectangulares por que las componentes forman entre si un ángulo (90º).

Se llama componentes de un vector aquellas que los sustituyen en la composición. un ejemplo: encontrar gráfica y analíticamente las componentes rectangulares del siguiente vector.

Solución por método grafico

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Para encontrar de manera gráfica las componentes rectangulares o perpendiculares del vector, primero tenemos que establecer una escala. para este caso puede ser: 1cm = 10n

Trazamos nuestro vector al medir el ángulo de 30º con el transportador.

Después a partir del extremo del vector, trazamos una línea perpendicular hacia el eje delas x y otra hacia el eje de las y.

En el punto de intersección del eje x quedara el extremo del vector componente fx.

En el punto de intersección del eje y quedara el extremo del vector componente fy.

En ambas componentes su origen será el mismo que tiene el vector f = 40n, el cual estamos descomponiendo:

Par encontrar el valor de la componente en x del vector f o sea fx, basta medir con regla la longitud, y de acuerdo con la escala encontrar su valor. en este caso mide aproximadamente 3.4cm que representan 34n.

Para hallar el valor de la componente de y del vector f o sea fy, es suficiente medir con la regla la longitud, y según la escala encontrar su valor que en este caso es de casi 2.0 cm., es decir, de 20n.

Solución por método analíticoCalculo de fy: sen 30º = cateto opuesto = fyHipotenusa fDespejemos fy: fy = f sen 30º = 40n x 0.5 = 20n Calculo de fx: cos 30º = cateto adyacente = fx hipotenusa fDespejemos fx: fx = f cos 30º = 40n x 0.8660 = 34.64n

Si comparamos los dos resultados obtenidos para calcular el valor de fy y fx de manera gráfica y analítica, encontraremos una pequeña diferencia.

Esto se explica si consideramos que al hallar las componentes gráficamente estamos expuestos a cometer errores al trazar el vector y al medir el valor de las componentes.

En cambio, de manera analítica se eliminan estos errores y el valor de las componentes es obtenido con mayor precisión

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INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES

Si deseamos integrar función definida dentro de una región , generalmente lo

Haríamos evaluando la integral doble sobre la región de integración que definiríamos utilizando los métodos que hemos visto antes en coordenadas rectangulares.

Un problema que puede presentarse seria si se deseara trabajar con ciertas figuras circulares (p.ej. círculos, paraboloides, elipsoides, etc.), la definición de su región de integración se vuelve algo complicada.

Una forma en la que nos facilitamos el trabajo es el trabajar para coordenadas polares, dado que estas se adecuan de mejor manera a las formas circulares.

Recordemos las ecuaciones que relacionan coordenadas polares con rectangulares.

Entonces, haciendo esta transformación, tendríamos que ahora la región está definida como

El diferencial de área se definiría como

y la integral quedaría como

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TEOREMA

Si es continúa en un rectángulo dado por , donde entonces,

Algunas integrales dobles son mucho más fáciles de calcular en forma polar que en forma rectangular.

Esto es especialmente cierto para regiones circulares, en forma de cardiode o de

pétalo de curva rosa, e integrando donde aparezca

EJERCICIO #1

Recordatorio evaluar:

Donde r es la región del semi-plano superior limitado por los círculos

y .

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EJERCICIO #2 determinar el volumen del sólido acotado por el plano y el paraboloide

Resolviendo:

Después de integrar:

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Ejemplo # 3

Calcular el volumen de un sólido que está debajo del paraboloide ,

encima del plano y dentro del cilindro .

Complementando al cuadrado:

Ahora procedemos a integrar:

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Bibliografía

Integrales múltiples

http://cursos.aiu.edu/matematicas%20superiores/pdf/tema%205.pdf

Integrales múltiples

http://html.rincondelvago.com/integrales-multiples.html

Integrales triples

http://www.ehu.es/~mtpalezp/libros/05_4.pdf

Integrales múltiples

http://www.dspace.espol.edu.ec/bitstream/123456789/7287/5/5-integraci%c3%b3n

%20m%c3%baltiple.pdf