Calculo_Julio_10_11
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E1 E2 E3 E4 E5 Calificacion
CALCULO INFINITESIMALExamen Final Julio-2011
NUM.de MATRICULA
APELLIDOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NOMBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
GRUPO / PROFESOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
INDICACIONES PREVIAS
La duracion del examen sera de tres horas sin interrupcion.
No se puede salir del aula y volver a entrar, debiendo permanecer en ella al menos durante laprimera hora.
No se admiten calculadoras.
E1. Hallar las soluciones de la ecuacion z4 = −16. (1 p.)
E2. Calcular las asıntotas de la funcion f(x) =x3
|x2 − 1| . (1.5 p.)
E3. Estudiar el intervalo de convergencia de la serie de potencias∞∑
n=0
(−4)n
(n + 4)4xn (1.5 p.)
E4. (a) Definir la integral impropia∫ +∞
1f(x) dx (1 p.)
(b) Sea D la region plana acotada por las graficas de las funciones
y = 5 + 4x − x2, y = x2 − 4x + 5
a) Calcular el area de D. (1 p.)
b) Calcular el volumen del solido generado al girar D alrededor del eje OX. (1 p.)
E5. (a) Hallar la ecuacion del plano tangente a la superficie z = 3 +1
2
(
x2 + 6y2)
en el punto
(x0, y0, z0) = (2, 1, 8). (1 p.)
(b) Dada la funcion f(x, y) =
2x2y + 3y2
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
.
Razonar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) f es continua en IR2.
b) Existen las derivadas parciales de f en IR2.
c) f es diferenciable en IR2 −{(0, 0)}.(2 p.)
Solucion del EXAMEN
E1. Soluciones de la ecuacion z4 = −16 =⇒ z = 4√−16
| − 16| = 16, Arg(−16) = π =⇒ 4√−16 = 4
√16π =
4√
16π+2kπ
4
= 2π+2kπ
4
k = 0, 1, 2, 3
Soluciones:
k = 0 −→ z1 = 2π
4= 2
(
cos(
π4
)
+ i sen(
π4
))
=√
2 + i√
2
k = 1 −→ z2 = 2 3π
4
= 2(
cos(
3π4
)
+ i sen(
3π4
))
= −√
2 + i√
2
k = 2 −→ z3 = 2 5π
4
= 2(
cos(
5π4
)
+ i sen(
5π4
))
= −√
2 − i√
2
k = 3 −→ z4 = 2 7π
4= 2
(
cos(
7π4
)
+ i sen(
7π4
))
=√
2 − i√
2
E2. Asıntotas de la funcion
f(x) =x3
|x2 − 1| =
x3
x2 − 1si x2 − 1 > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞,−1) ∪ (1, +∞)
x3
1 − x2si x2 − 1 < 0 ⇐⇒ x ∈ (−1, 1)
Asıntotas verticales: x = 1, x = −1 ya que se verifica
lımx→1
f(x) = lımx→1
x3
|x2 − 1|( 1
0)
= +∞, lımx→−1
f(x) = lımx→−1
x3
|x2 − 1|(− 1
0)
= −∞
Asıntotas no verticales: y = mx + n
m = lımx→±∞
f(x)
x= lım
x→±∞
x3
x(x2 − 1)= 1
n = lımx→±∞
(f(x) −mx) = lımx→±∞
(
x3
x2 − 1− x
)
= lımx→±∞
x
x2 − 1= 0
=⇒ y = x
E3. Intervalo de convergencia de la serie de potencias∞∑
n=0
(−4)n
(n + 4)4xn
Utilizamos el Criterio del cociente para calcular el radio de convergencia R
R =1
ρ, ρ = lım
n→∞
|bn+1||bn|
= lımn→∞
4n+1
(n+1+4)4
4n
(n+4)4
= lımn→∞
4n+1(n + 4)4
4n(n + 5)4= lım
n→∞
4(n + 4)4
(n + 5)4= 4
Por tanto, la serie converge en(
−1
4,1
4
)
. Ahora estudiamos los extremos del intervalo:
Para x = −1
4=⇒
∞∑
n=0
(−4)n
(n + 4)4
(
−1
4
)n
=∞∑
n=0
1
(n + 4)4convergente por el criterio de compa-
racion con la serie armonica generalizada:
lımn→∞
1(n+4)4
1n4
= lımn→∞
n4
(n + 4)4= 1
Para x =1
4=⇒
∞∑
n=0
(−4)n
(n + 4)4
(
1
4
)n
=∞∑
n=1
(−1)n
(n + 4)4absolutamente convergente, ya que la
serie de los valores absolutos es la anterior que sabemos converge.
Por tanto, la serie de potencias converge en el intervalo[
−1
4,1
4
]
E4. (a) Definir la integral impropia∫ +∞
1f(x) dx
Sea f una funcion acotada en [1, +∞), e integrable en [1, b], b > 1, podemos definir∫ +∞
1f(x) dx = lım
b→+∞
∫ b
1f(x) dx si este lımite existe diremos que la integral impropia es
convergente.
(b) Sea D la region plana acotada por las graficas de las funciones
y = 5 + 4x − x2, y = x2 − 4x + 5
Calculamos los puntos de interseccion de ambas parabolas:
{
y = 5 + 4x − x2
y = x2 − 4x + 5
}
=⇒0 = 8x − 2x2 ⇐⇒ 2x(4 − x) = 0 ⇐⇒ x = 0, x = 4
a) Area(D) =∫ 4
0
((
5 + 4x − x2)
−(
x2 − 4x + 5))
dx =∫ 4
0
(
8x − 2x2)
dx =
=
(
4x2 − 2x3
3
]4
0
= 43 − 243
3=
64
3
b) Volumen del solido generado al girar D alrededor del eje OX
V ol =∫ 4
0π(
5 + 4x − x2)2
dx −∫ 4
0π(
x2 − 4x + 5)2
dx = π
∫ 4
0
(
80x − 20x2)
dx =
= 20π
(
2x2 − x3
3
]4
0
= 20π(
32 − 64
3
)
=640π
3
E5. (a) Ecuacion del plano tangente a la superficie z = 3 +1
2
(
x2 + 6y2)
en el punto (x0, y0, z0) = (2, 1, 8).
El plano tangente a la superficie z = 3 +1
2
(
x2 + 6y2)
en el punto (2, 1), z(2, 1) = 8
z − z(2, 1) =
(
∂z
∂x
)
(2,1)
(x− 2) +
(
∂z
∂y
)
(2,1)
(y − 1)
z − 8 = (x)(2,1) (x − 2) + (6y)(2,1) (y − 1) =⇒ z − 8 = 2(x − 2) + 6(y − 1)
(b) Dada la funcion f(x, y) =
2x2y + 3y2
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
.
Razonar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:
a) f es continua en IR2.Falso.f es continua en IR2 −{(0, 0)} por ser composicion y producto de funciones continuas,siendo ademas x2 + y2 > 0. Estudiamos el punto (0, 0) : f(0, 0) = 0
lım(x,y)→(0,0)
f(x, y) = lım(x,y)→(0,0)
2x2y + 3y2
x2 + y2
0/0= lım
r → 0
α ∈ IR
2r3 cos2 α senα + 3r2 sen2 α
r2=
= lımr → 0
α ∈ IR
(
2r cos2 α senα + 3 sen2 α)
= 3 sen2 α
no existe el lımite de f en (0, 0), luego f no es continua en dicho punto.
b) Existen las derivadas de f en IR2.Falso.
(
∂f
∂x
)
(0,0)
= lımh→0
f(0 + h, 0) − f(0, 0)
h= lım
h→0
0 − 0
h= 0
(
∂f
∂y
)
(0,0)
= lımh→0
f(0, 0 + h) − f(0, 0)
h= lım
h→0
3h2
h2 − 0
h= lım
h→0
3
h= ∞
No existe la parcial de f respecto de y en el punto (0, 0). En IR2 −{(0, 0)} aplicamoslas reglas de derivacion:
∂f
∂x=
4xy(x2 + y2) − (2x2y + 3y2)2x
(x2 + y2)2,
∂f
∂y=
(2x2 + 6y)(x2 + y2) − (2x2y + 3y2)2y
(x2 + y2)2
c) f es diferenciable en IR2 −{(0, 0)}.Verdadero.f no es diferenciable en (0, 0) ya que f no es continua en dicho punto. En IR2 −{(0, 0)},existen las derivadas parciales y son continuas en dicho conjunto abierto, luego por lacondicion suficiente de diferenciabilidad , f es diferenciable en IR2 −{(0, 0)}.