7/26/2019 Cambio Base 2

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Notasacademicas

M A Y O R G A

Z A M B R A N O

J

Cambios de base: una formalizacion matematica

Juan Mayorga-Zambrano, Ph.D.

Marzo 2013

Un numero realxse puede escribir con cifrasdecimales(i.e. en base 10) como

x = apap1ap2 ...a1a0 . a1a2 ...aq ... (1)

dondep, qNyak B10 = {0, 1, 2, ..., 9}, k=p,p 1, ..., 0, 1, 2, ..., q, ... (2)

de manera quex =y+z, (3)

dondey = ap10

p+ap110

p1+ap210

p2+ ...+a110+ a0 (4)

z = a1101

+a2102

+ ...aq10q

+ ... (5)

es decir,y es la parte entera de xen tanto quezes la parte fraccionaria de x.

De la misma manera, dada unabase MN,M2, el numeroxse puede escribir como

[x]M = brbr1br2 ...b1b0 . b1b2 ...bs... (6)

donder, sNybk BM = {0, 1, 2, ...,M 1}, k= r, r 1, ..., 0, 1, 2, ..., s, ... (7)

de manera que

y = brMr+br1M

r1+br2M

r2+ ...+b1M+b0 (8)

z = b1M1

+b2M2

+ ...bsMs

+ ... (9)

Observacion.Por notacionx = [x]10.

Observacion. De forma directa, las formulas(8), (9) y(3) permiten transformar un numerox R dado enbaseMa su version decimal.

Observacion. Para transformar un numerox R dado en formato decimal a una baseM, aprovechamoslas formulas (8) y (9). Por un lado, para recuperar los dgitos de la parte entera se tiene que

w0 =y,

bk= wk mod (M), k= 0, 1, ..., r

wk=

wk1M

, k= 1, 2, ..., r

(10)

donde

p mod (q)

representa el residuo de la division entera de p Z para q Z \ {0}. Tener presente que [h] representa laparte entera deh R.

Para la parte fraccionaria se tiene que

v1 =zM,

bk= [vk], k= 1, 2, ..., s, ...

vk= (v(k1) b(k1))M, k= 2, 3, ..., s, ...

(11)

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