Ampliacion de Matematicas. Telecomunicaciones. Dpto. Matematicas

EJERCICIOS DE LAS LECCIONES 4,5,6 y 7

4. INTEGRACION SOBRE UN CONTORNO

4.1 Halle una representacion parametrica de las siguientes curvas:

(a) La parte de la circunferencia x2 + y2 = a2, a ∈ IR, a > 0, situada en el semiplano x ≥ 0.

(b) La elipsex2

a2+

y2

b2= 1 (a > 0, b > 0).

4.2 Halle

∫

C

f(z) dz siendo:

(a) f(z) = Re(z) y C la parte de la circunferencia x2 + y2 = a2, a ∈ IR, a > 0 que cumple y > 0(sentido de (0,−a) a (0, a)).

(b) f(z) = Im(z) y C la poligonal que definida por los puntos (0, 0), (1, 0) y (0, 1).

4.3 Calcule :

(a)

∫

[0,1+i]

z(z − 1)dz (Solucion: (−2/3)− (1/3)i)

(b)

∫

C(0,1)

1

|z|dz (Solucion: 0)

4.4 Calcule

∫

φ

(logα z)3

zdz, siendo α = 5π/2 y φ(t) = eit, t ∈ [0, π]. (Solucion: 65π4/4)

4.5 Sea f una funcion continua sobre los puntos de la circunferencia unidad que verifica f(−z) =

f(z). Pruebe que

∫

C(0,1)

f(z) dz = 0.

4.6 Demuestre que si una funcion entera vale cero sobre la circunferencia unidad entonces lafuncion vale cero en lC.

5. SERIES

5.1 Pruebe que la serie geometrica∞∑

n=0

zn converge a 1/(1− z) si |z| < 1 y diverge si |z| ≥ 1.

5.2 Halle el radio de convergencia de las series:

(a)∞∑

n=0

zn

n(Solucion: Radio = 1)

1

Ampliacion de Matematicas. Telecomunicaciones. Dpto. Matematicas

(b)∞∑

n=0

zn

n!(Solucion: Radio = +∞)

(c)∞∑

n=0

zn (Solucion: Radio = 1)

(d)∞∑

n=0

z2n (Solucion: Radio = 1)

6. DESARROLLOS EN SERIE

6.1 Verifique los siguientes desarrollos:

(a) exp(z) = 1 + z +z2

2!+ · · ·+ zn

n!+ · · · , ∀z ∈ lC

(b) senz = z − z3

3!+ · · ·+ (−1)n z2n+1

(2n + 1)!+ · · · , ∀z ∈ lC

(c) cosz = 1− z2

2!+ · · ·+ (−1)n z2n

(2n)!+ · · · , ∀z ∈ lC

(d) log0(1 + z) = z − z2

2+ · · ·+ (−1)n+1 zn

n+ · · · , |z| < 1

(e) senhz = z +z3

3!+ · · ·+ z2n+1

(2n + 1)!+ · · · , ∀z ∈ lC

(f) coshz = 1 +z2

2!+ · · ·+ z2n

(2n)!+ · · · , ∀z ∈ lC

6.2 Calcule la serie de Taylor de f(z) en potencias de z − z0 y su radio de convergencia en lossiguientes casos:

(a) f(z) =1

(1− z)2, z0 = 0. (Solucion:

∞∑n=0

(n + 1)zn; Radio = 1)

(b) f(z) =1

z2 − 3z + 2, z0 = 0. (Solucion:

∞∑n=0

(1− 1

2n+1

)zn; Radio = 1)

(c) f(z) =z + 3

(z − 1)(z − 4), z0 = 2. (Solucion:

∞∑n=0

(4(−1)n+1

3− 7

3 2n+1

)(z − 2)n; Radio

= 1)

6.3 Calcule los cuatro primeros terminos de la serie de Taylor de f(z) en potencias de z− z0 y suradio de convergencia, en los siguientes casos:

2

Ampliacion de Matematicas. Telecomunicaciones. Dpto. Matematicas

(a) f(z) = sen z, z0 = π/4. (Solucion: (1/√

2) + (1/√

2)(z − π/4)−(1/2

√2)(z − π/4)2 − (1/6

√2)(z − π/4)3 + ...; Radio = +∞)

(b) f(z) =sen z

z2 + 4, z0 = 0. (Solucion:z/4− 5z3/48 + ...; Radio = 2)

(c) f(z) =z

ez + 1, z0 = 0. (Solucion:z/2− z2/4 + ...; Radio = π)

6.4 Sean f(z) =1

z − 3, D1 = {z ∈ lC : |z−1| < 2} y D2 = {z ∈ lC : 2 < |z−1|}. Calcule los desar-

rollos en serie de Laurent de f en potencias de z−1 para D1 y para D2. (Solucion:∞∑

n=0

((−1)

2n+1(z − 1)n

en D1;∞∑

n=0

2n

(z − 1)n+1en D2)

6.5 Calcule los coeficientes an para n ≤ 1 de la serie de Laurent de f(z) =ez

z(1 + z2)en potencias

de z que es valida en 0 < |z| < 1. (Solucion: an = 0 si n < −1, a−1 = 1, a0 = 1 y a1 = −1/2)

6.6 Halle la serie de Laurent de f(z) =sen z

(z − 2π)2en potencias de (z − 2π) e indique donde es

valido dicho desarrollo. (Solucion:∞∑

n=−1

(−1)n+1

(2n + 3)!(z − 2π)2n+1; valido si 0 < |z − 2π| < +∞)

6.7 Halle la transformada en z de las sucesiones siguientes:

(a) bn = 1 para n ∈ IN ∪ {0}. (Solucion: z/(z − 1))

(b) bn = 3n para n ∈ IN ∪ {0}. (Solucion: z/(z − 3))

6.8 Halle la transformada en z inversa de las funciones siguientes:

(a) 1/(z − 2). (Solucion: b0 = 0 y bn = 2n−1 para n ≥ 1)

(b) e1/z. (Solucion: bn = 1/n!)

6.9 Halle la solucion de la ecuacion yk+4 − yk = 2k, k = 0, 1, . . ., con y0 = 0, y1 = 0, y2 = 0,y3 = 2 . (Solucion: yk = A2k + B + C(−1)k + Dik + E(−i)k con A = 1/15, B = 1/4, C = −5/12,D = (1 + 8i)/20, E = (1− 8i)/20 )

6.10

(a) Demuestre que Z {(k + 1)(−1)k

}=

z2

(z + 1)2.

(b) Resuelva la ecuacion en diferencias yk+1 − iyk = (k + 1)(−1)k, con y0 = 0. (Solucion:

yk =i

2ik − i

2(−1)k +

(1

2− i

2

)k(−1)k−1)

3

Ampliacion de Matematicas. Telecomunicaciones. Dpto. Matematicas

7. RESIDUOS Y POLOS

7.1 Clasifique las singularidades de las funciones siguientes:

(a)(z2 − 1)(z − 2)2

sen(πz). (Solucion: Z−Z− {1,−1, 2} son polos simples y {1,−1, 2} evitables)

(b)ez − 1

z(z − 1). (Solucion: 0 evitable y 1 polo simple)

(c)z(z − π)2

sen2 z. (Solucion: {kπ : k ∈ Z−Z − {0, 1} } polos de orden dos, 0, polo simple y π

evitable)

7.2 Calcule el residuo de f(z) en z = z0 en los siguientes casos:

(a) f(z) =ez

z(1 + z2)y z0 = 0. (Solucion: 1)

(b) f(z) = sen1

zy z0 = 0. (Solucion: 1)

(c) f(z) =sen z

(z − π)2y z0 = π. (Solucion: −1)

(d) f(z) =ez

z3y z0 = 0. (Solucion: 1/2)

(e) f(z) =1

1− cos zy z0 = 0. (Solucion: 0)

(f) f(z) =eiz

z + z3y z0 = i. (Solucion: −1/(2e))

(g) f(z) =ez

z(1 + z2)y z0 = 1. (Solucion: 0)

(h) f(z) =1

sen z3y z0 = 0. (Solucion: 0)

7.3 Demuestre que

∫

C(0,2)

eaz

1 + z2dz = 2πi sen a.

7.4 Calcule

∫

C

log0 z

1 + ezdz, siendo C la poligonal que une, en el orden que se indica, los puntos:

10 − 2i, 10 + 10i, −5 + 10i, −5 + 5i, 5 + 5i, 5 − 5i, −5 − 5i, −5 − 2i, 10 − 2i. (Solucion:2π2 − i2πLn3)

7.5 Calcule

∫

C(0,4)

2ez

z(ez − e−z)dz. (Solucion: 2πi)

7.6 Calcule

∫

C(0, 12)

log2π(1 + z)

ez2 − 1dz. (Solucion: 2πi)

7.7 Sea a ∈ lC con |a| 6= 1. Pruebe que

∫

C(0,1)

1

z − adz vale 0 si |a| > 1 y 2πi si |a| < 1.

4