Movimiento aleatorio de una partıcula

P. Estrada, G. Najera

Universidad Privada Boliviana

Departamento de Ingenierıa

26 de octubre de 2012

Resumen

El camino aleatorio o paseo aleatorio, abreviado en ingles como RW(Random Walks), es una formalizacion matematica de la trayectoria queresulta de hacer sucesivos pasos aleatorios. Por ejemplo, la ruta trazadapor una molecula mientras viaja por un lıquido o un gas, el camino quesigue un animal en su busqueda de comida, el precio de una accion fluc-tuante y la situacion financiera de un jugador pueden tratarse como uncamino aleatorio.

1. Introduccion

El termino camino aleatorio fue introducido por Karl Pearson en 1905. Losresultados del analisis de paseo aleatorio han sido aplicados a muchos camposcomo la computacion, la fısica, la quımica, la ecologıa, la biologıa, la psicologıao la economıa. En particular en este ultimo campo la teorıa del paseo aleatoriode Burton G. Malkiel en su obra (A Random Walk Down Wall Street) cuya tra-duccion en espanol es (Un Paseo Aleatorio Por Wall Street) se fundamenta en lahipotesis de los mercados eficientes, desarrollado en tres formas o hipotesis. Enfısica, el modelo ha servido, por ejemplo, para modelar el camino seguido poruna molecula que viaja a traves de un lıquido o un gas (movimiento browniano).En ecologıa, se emplea para modelar los movimientos de un animal de pastoreo,etc. Varios tipos diferentes de caminos aleatorios son de interes.En su forma mas general, los paseos aleatorios son cualquier proceso aleatoriodonde la posicion de una partıcula en cierto instante depende solo de su posicionen algun instante previo y alguna variable aleatoria que determina su subsecuen-te direccion y la longitud de paso. Los caminos aleatorios tambien varıan conrespecto al tiempo. Casos especıficos o lımites de los paseos aleatorios incluyenla caminata de un borracho, el vuelo de Levy y el movimiento browniano. Lospaseos aleatorios estan relacionados con los modelos de difusion y son un temafundamental en la discusion de los procesos de Markov. Varias propiedades delos paseos aleatorios incluyen distribuciones dispersas, tiempos del primer crucey rutas de encuentro.[1]

1

2. Programas

2.1. Yabasic

YaBasic es una implementacion de lenguaje Basic para plataformas Win-dows, Linux, Unix, Mac OS X y PlayStation 2.Es un BASIC bastante clasico, posee las funciones basicas para programacionen modo texto, incluso permite programacion estructurada y archivos con bi-blioteca de funciones. Esta muy limitada para manipulacion de ventanas en losentornos graficos Windows y XFree86.[2]

2.2. Programa Grafico

A continuacion presentamos un programa desarrollado en el lenguaje yaba-sic, el cual ha sido utilizado para simular el movimiento de un borracho dentrode una circunferencia, y ver cuantos pasos da este borracho antes de salir de estacircunferencia, ademas este programa permite introducir a un nuevo borrachodentro de la circunferencia, despues de salir un borracho. Cada borracho quesale desparece o muere, siguiendo la analogıa de que si sale de la circunferenciacaerıa a un precipicio.

open window 600,600

window origin "cc"

l=10

r=10

ev=1

evf=10000

mov=1

circle 0,0,5*l

for mov=1 to 1000

Theta=2*pi*ran()

x=x0+l*cos(Theta)

y=y0+l*sin(Theta)

fill circle x,y,r

d=sqrt(x^2+y^2)

x0=x

y0=y

wait 0.1

clear fill circle x,y,r

circle 0,0,5*l

if (d>=5*l) then print ev,mov

clear window

x0=0

y0=0

circle 0,0,5*l

ev=ev+1

mov=1

2

endif

if (ev=evf+1)

break

next mov

2.3. Programa de datos

Este programa no tiene un entorno grafico, debido a que ha sido realizadocon el proposito de procesar una tabla de datos, la cual puede ser usada por elsoftware octave para realizar histogramas, hallar el mınimo, maximo y promedio,de los pasos dados por los borrachos.

l=10

r=10

ev=1

evf=10000

mov=1

for mov=1 to 1000

Theta=2*pi*ran()

x=x0+l*cos(Theta)

y=y0+l*sin(Theta)

d=sqrt(x^2+y^2)

x0=x

y0=y

if (d>=5*l) then print ev,mov

x0=0

y0=0

ev=ev+1

mov=1

endif

if (ev=evf+1)

break

next mov

3. Resultados

En la Figura 1 se muestra la representacion del borracho como un cırculopintado de color negro dentro de la circunferencia, en el cual podemos ver elcamino aleatorio que el borracho recorrio.

En las Figuras 2, 3 y 4, podemos ver tres histogramas procesados medianteel software octave, basado en el sistema operativo Linux, donde se recogio losdatos del programa presentado en el subtıtulo 2 para comparar los mayoresnumeros de pasos o movimientos que se repitieron del borracho.

3

Figura 1: Simulacion de un Borracho

Figura 2: Histograma 1

Figura 3: Histograma 2

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Figura 4: Histograma 3

4. Conclusiones

Mediante el desarrollo de este programa realizado en el lenguaje yabasic,bajoplataforma linux, llegamos a la conclusion de que muchas veces llega un momentoen que las formulas y teoremas definidos no pueden ser usados, entonces esnecesario simular el problema para darle despues una solucion, y para esto unlenguaje sencillo y basico es el lenguaje de yabasic.En la siguiente tabla mostramos los mınimos, maximos y promedios de los datoshallados, en el programa de datos. Estos tres son hallados mediante el softwareoctave el cual tambien esta basado en Linux. Como podemos ver, todo esteproyecto ha sido hecho en base a Linux, el cual es uno de los sistemas masestables y mejor desarrollado.

N◦ Minimo Maximo Promedio

1 6 176 292 6 180 293 6 174 29

Referencias

[1] http://es.wikipedia.org/wiki/Camino_aleatorio

[2] http://es.wikipedia.org/wiki/YaBasic

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