22 Campo eléctrico

E = ·S dq ,---er' r

(1.15)4 7r e o

donde dq es el diferencial de carga que puede ser dadoclón de un diferencial volumétrico, superficial o lineal, ydistancia del diferencial de carga al punto con respectose desea calcular el campo'.

1.6. Lineas de fuerza. Las líneas de fuerza, que también se cono-cen como líneas de campo eléctrico, son muy útiles en los as-pectos cualitativos de un problema, especialmente cuando éstetiene complicaciones geométricas. Recuerde que cargas igualesse repelen y cargas de signo contrario se atraen (Vea figura 1.12).Observe estas figUras y note que las líneas de campo se origi-nan en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas,lf que la tangente a la línea de fuerza en cualquier punto es para-lela al campo eléctrico en ese punto.

en fun-r es laal cual

Problemas resueltos

Problema 1. Objetivos 1 y 2

Dos cargas puntuales de +2 X 10-6 coul y - 4 X 10-6 coul estánseparadas una distancia de .3 m. Determine la magnitud, direccióny sentido de las fuerzas que experimenta cada carga.Solución:

De la Ley ~e Coulomb (Ec. 1.3) obtenemos la. magnitud de la(fuerza que es Igual en las dos cargas, pero de dirección opuesta.

,...,

I F I

Sustituyendo los datos en la ecuación anterior obtenemos que:

IFI =ni X m2

couP

(2 X 10-6 coul) (4 X 10.6 coul)

9 X 10-2 m'

I F I = 0.8 nt

En la figura 1.1 vemos la dirección de la fuerza actuando encada carga, como son de signo contrario las fuerzas son de atrac-ción.

Problemas resueltos 23

q,

--~~----------,...... _F 0---II--~. ----r-~ __ ·1

Figura 1.1

Problema 2. Objetivos 1 y 2

En los vértices de un cuadrado de lado a = .2 m se colocan car-gas de +q, +2q; -q Y +4q, donde q=1 X 10-0 coul como se mues-tran en la figura 1.2. Determine las fuerzas que ejercen estascargas sobre una carga prueba que se encuentra en e1 centro delcuadrado con un valor de + q.Solución:

De la ecuación 1.3 tenemos que:

,..., q. q2 A

F = e4 7r e ,2 r

o

Para el caso en que tengamos varias cargas discretas, la ecua-ción 1.3 la podemos escribir como:

FR

considerando I OJ1.2 tenemo qu

"x" y "y" como se muestran en la figura

FRX

,-.1I I

I J I I I

24 Campo eléctrico

)'

+ q l· a ·1

T 1 i+ 2q

2II

+q Ia I I1i

IIIII

----------.- -q4 3+ 4qx

Figura 1.2

POI" I teorema de Pitáqoras calculamos la distancia del centroti I uadrado a cada uno de los vértices encontrando que:

2 8r =

2

Las magnitudes de las fuerzas se obtienen por:

q fJI F,I =82

47TE --o 2

2 q q

8247TE --

o 2

q q

47rEo 2

4 q qI F.! =

Problemas resueltos 2S

y

F,

FRY

//

//

//

J'

x

F, F,

xa) b)

Figura 1.3

y la dirección y sentido de cada una de las fuerzas están dadasen la figura 1.3.

Por consiguiente la fuerza resultante en "x" es:

q q= ._-~----'- q qF = F, + F3RX +82

47TE --o 2·2

Obteniendo que:

q q

y la fuerza resultante en el eje "y":

2 q q 4 q q• - " .¡.uv +

dI ti 111111 (/ I

1/ t" ,j ,.,

•26 Campo eléctrico

La fuerza resultante está dada por:

Sustituyendo valores obtenemos:

r-'

FR = 0.9 ex + 0.9 ey nt.

Problema 3. Objetivo 3

Una esfera no conductora de radio .3 m tiene una carga total de3.6 x lO-b coul distribuida uniformemente. Calcule su densidadde carga volumétrica.

Solución:

De la ecuación 1.6 tenemos que: q =J v p (r) dv

Como la carga está distribuida uniformemente, es decir, que ladensidad de carga volumétrica es constante, entonces integrandoel volumen en la ecuación 1.6 obtenemos que:

q4

p -- rr r)3

Despejando y sustituyendo valores:

qp

4-- tt r'

3

3.6 X lO-b coul

4-- 7r X 27 X 10·) m3

3

p = X 10-< coull m'1T

Problema resueltos 27

SI la esfera fuera conductora, ¿Cuál sería su densidad de carga?Para una esfera conductora tendrí·amos una densidad de cargasuperficial uniforme. ya que toda la carga se encontraría en lasuperficie (vea justificación en la sección 2.3 del texto), de laecuación 1.10 tenemos que:

q = J (T ds

Como "u" es constante entonces:

Despejando (T y sustituyendo valores obtenemos:

q(T =

(T =3.6 X 1O.b coul

4 X 7r X 0.9 X 10·' m?

(T 5 coulX 10- --

7r m2

Problema 4. Objetivo 4

Una esfera de radio "b" tiene un hueco esférico de radio "a"como se muestra en la figura 1.4. Si tiene una densidad de car-ga dada por p = A / r donde A es una constante, determine lacarga Q que tiene la esfera.

Solución:

De la ecuación 1.6, t nemos que: Q

·v

J p dv

i

.1

donde' dv = 4 1r /'~ tlr, lod qudv en la cu el n 1.0, O[¡!.CJlH m

l' S lo varía en r. Reemplazando

/)

f A/'

ti

2N Campo eléctrico

lnteqrando y evaluando:

p

Figura 1.4

Problema 5. Objetivo 5

Encuentre el campo eléctrico resultante que actúa sobre la carga"q" que se encuentra en el centro del cuadrado del problema 2.

Solución:

De la. ecuación 1.13 obtenemos el campo eléctrico en un puntodado para cargas punto aisladas:

E =nz

1=1

ql-- e

r. r.I I

4 7T Eo

Por lo tanto:

E Rx

Problemas resueltos 29,....,

E = E2 + E.Ry

Donde:

,...., q ,...., qI El I27TE a2 / El/

. 27T E a2o o

,...., q ,...., 8q/ E2/a2 / E./

47TE a27TE

o o

Gonsiderando las direcciones de cada uno de los campos sobrela carga puntual nos queda (figura 1.3) II

y

//

//

//

/

Calcul110 no

el e rnpo eléctrico en el centro de curvatura de un anl-onducto- de radio "a", donde una mitad del anillo tíene

r--' ,..., q' .. ERx= El + El e7TE a7 x·

o

,..., ,..., q,E = E7 + E. = eyRy

7TE a2o

Por lo tanto el campo eléctrico resultante es:,....,E = 0.9 X 10+6 e + 0.9 X 10+6 e nt/coul.x y

,...., r--',....,E = El + E2 + El + E.

Considerando los ejes "x' y "y" como se muestra en la figura

1.2: Problema 6. Ob] tlvo 6.

30 Campo eléctrico

una carga de + q, y la otra mitad de - q, como se muestra en lafigura 1.5.

Solución:

Debido a la simetría del anillo observamos que el campo eléc-trico resultante en el centro, para un diferencial de carga en laparte positiva y su simétrica en la parte negativa como se mues-tra en la figura, es la suma de los diferenciales de campo eléc-trico, esto es:

y

----+---~~---~---x

dq

Figura 1.5

[) bldo a que el CAMPO es un VeCTOR y a la simetría del anillol nemos que el campo resultante está dado por:

E = O Y E = J.. dE . cos (J +x y + .

f dE cos (J = 2 f dE + cos (}

Ya que dE. = dE_en magnitud y dirección de la ecuación 1.151-

tenemos el campo resultante de un diferencial de carga, es:

E = 2. f dqcos O

Prob'lemas resueltos 31

Como dq = ,.\dI ; dl. = adO y r = a

E = 2 f ,.\ a cas O d OEntonces

Integrando y evaluando de O a tr y considerando que xobtenemos que:

q/7ra,

E = - ----- e =y7r F. a

o

Problema 7. Objetivos 1, 3, 6

Dos anillos iguales de radio "a", y con una carga +4q y -q seencuentran separados una distancia de "2a" entre ellos.

Calcule el campo eléctrico en el punto "P" que se I~caliza so-bre el eje de los anillos' y a una distancia "a" de cada anillo comose muestra en la figura 1.6.

y

FI(Jurn 1.6

Solución:Como el camp (1 <:lIlo() I 1111 VI 0101, 111110111:

E él I IxE I I

32 Campo eléctrico

De la figura 1.6 observamos que el campo resultante en "y"y "z". son cero por la simetría de los anillos.

~.~.i..

Por consiguiente, el campo eléctrico resultante es iguala lasuma de los campos eléctricos resultantes de cada anillo en eleje "x", esto es:

E == E + Ex2x xl

E lo calculamos de la ecuación 1.15, esto es:xl

E f. ae, GOS (J f dq,GOS ()=

xl 4 7r E ro.

Donde: dq, = A, dI ;

4qla figura 1.6 tenemosA, ---de que:

2 rr a

.<,

r = 2a', y cos () =

Sustituyendo en la ecuación del campo eléctrico nos queda que:

2 7r a Y2J A, dIEx, = --- =

4 tt E o (2a') 2

2 1f a

f 4q dI ...(2.--.-

o 2 7r a 4 rr E (2a') 2o

Integrando y evaluando:{.

E = q)( 1 2 v'2 tt E a'

o

En forma similar calculamos Ex" esto es:

f dq,----.:... GOS OJ dE~ cos e =E =

x2 4 7r E ro

Problemas resueltos 33

Donde:

l·i~

V2GOS ()= ---

2

qdo, = A, dI ,A2 = ---2 7r a

Sustituyendo en la ecuación del campo obtenemos que:\,

2 tt aV' E2 ~ J q dI V2

r~---

2 7r a 4 7r E 2a' 2o o

Integrando y evaluando:

qE, =

8 ~ 1f Eoa2

El campo resultante en el punto P es la suma de las magnitudesde los campos de cada anillo, ya que están en la misma direc-ción, entonces:

:(!

5qE

. Problema 8. Objetivos 1, 3, 6

Un disco de radio "a" tiene una distribución de carga dada porr

sr = a o -- , calcule el campo eléctrico para puntos sobre ela

eje. Figura 1:7.

Solución:

¡De la ecuación 1.15 calculamos el. campo eléctrico para una dls-tribución de carga, esto es:

J dqE'" =. -4-rr-E -R-' -

o

como el campo eléctrico es un vector, entonces:

E=Eé +Eéx x y y

34 Campo eléctrico

u = UD ~

rlr

ds

Figura 1.7

Por simetría del disco. concluimos que:

Ey = O Y Ex = f dq------ cas O4 7r

Donde dq = uds de la figura notan;1OSque:

ds . xcos B = R2 7r r d r , R = V x2 + r2

Sustituyendo en la ecuación del campo eléctrico. nos queda que:

Ex f .a ds x4 7r e

o

rComo: u = u ds = 2 ir r dro aEntonces:

B u 2 7r r2 drx f oE =

x 4 7r e a (x2 + r2) 3/2o o

/

Problemas resueltos 35

Integrando * y evaluando:

a + va2 + x2 aL (------------) ~----~~

n X -(a2 + x2)1/2 ex.,

,-~.,; ; r

,e;~I·

.-i .:

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