CAMPOS ELÉCTRICOS ESTÁTICOS

La electrostática es el estudio de los efectos de las cargas eléctricas en reposo y de los campos eléctricos que no cambian en el tiempo. Aplicaciones: relámpagos - efecto corona - osciloscopio - impresoras de chorro de tinta - teclados de efecto capacitivo.

Postulados Fundamentales de la Electrostática en el Espacio Libre

La intensidad de campo eléctrico E se define como la fuerza por unidad de carga que experimenta una carga de prueba estacionaria al colocarse en una región donde existe un campo eléctrico.

Si la fuerza se mide en N y la carga en C, el campo eléctrico queda expresado en V/m.

Los dos postulados fundamentales de la electrostática en el espacio libre especifican que:

a) Los campos eléctricos estáticos no son solenoidales a menos que

b) Los campos eléctricos estáticos son irrotacionales

a y b son relaciones puntuales que se aplican en todos los puntos del espacio. Son la forma diferencial de los postulados de la electrostática, obtenidas como caso particular de las ecuaciones de Maxwell.

Ley de Coulomb

Una carga puntual no tiene direcciones preferenciales. Su campo eléctrico debe ser radial en todas partes y tener la misma intensidad en todos los puntos de una superficie esférica con centro en la carga.

a) Campo electrostático de una carga puntual en el origen. Aplicando la ley de Gauss

Por lo tanto:

b) Campo electrostático de una carga puntual fuera del origen

R’= vector posición de q

R = vector posición de P

Cuando se coloca una carga puntual q 2 en el campo creado por otra carga puntual q 1 , q2 experimenta una fuerza.

Ley de Coulomb.

Ley de Gauss

Integrando a) m.a.m.

Y aplicando el teorema de la divergencia resulta

Donde Q es la carga total en el volumen V limitado por S. Es la ley de Gauss.

La ley de Gauss establece que el flujo de salida total del campo E a través de cualquier superficie cerrada en el espacio libre, es igual a la carga total encerrada en la superficie dividida por ε 0 .

Observamos que la superficie S puede ser cualquier superficie cerrada hipotética (matemática) elegida por conveniencia; no tiene porque ser una superficie física.

Potencial eléctrico

El potencial eléctrico en un punto es el trabajo que debe realizar una fuerza eléctrica (ley de Coulomb) para mover una carga positiva q desde la referencia (en el caso de la carga puntual el infinito) hasta ese punto, dividido por dicha carga. Dicho de otra forma, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una carga unitaria q desde

la referencia hasta el punto considerado en contra de la fuerza eléctrica, dividido por esa carga. Matemáticamente se expresa por:

V=W/q

Considérese una carga de prueba positiva, la cual se puede utilizar para hacer el mapa de un campo eléctrico. Para tal carga de prueba localizada a una distancia r de una carga q , la energía potencial electrostática mutua es:

De manera equivalente, el potencial eléctrico es =

Medios Materiales en un Campo Eléctrico Estático

Conductores

Un medio conductor es un material en el que los portadores de carga poseen libertad de moverse en su interior, en respuesta a campos eléctricos. Un conductor perfecto o ideal es un conductor en que los portadores de carga se moverán en respuesta a cualquier campo eléctrico, por pequeño que éste sea (gran movilidad).

Nos interesa, por ahora, estudiar el comportamiento de los medios conductores en presencia de campos eléctricos estáticos. El primer resultado de importancia es que el campo eléctrico en el interior de un conductor es cero.

En efecto, supongamos que producimos una inhomogeneidad en la distribución de carga en el interior de un conductor. Inicialmente, las cargas en el interior se moverán en respuesta al campo eléctrico presente y lo seguirán haciendo mientras sea distinto de cero, por lo tanto, el equilibrio se alcanzará sólo cuando en el interior del conductor. Cuando se alcance tal situación de equilibrio, necesariamente, no habrá carga neta en el interior del conductor; por lo tanto si hay una carga neta en el conductor, ésta residirá en su superficie.

Conductores son todos aquellos materiales o elementos que permiten que los atraviese el flujo de la corriente o de cargas eléctricas en movimiento. Si establecemos la analogía con una tubería que contenga líquido, el conductor sería la tubería y el líquido el medio que permite el movimiento de las cargas.

Cuando se aplica una diferencia de potencial a los extremos de un trozo de metal, se establece de inmediato un flujo de corriente, pues los electrones o cargas eléctricas de los átomos que forman las moléculas del metal, comienzan a moverse de inmediato empujados por la presión que sobre ellos ejerce la tensión o voltaje.Esa presión procedente de una fuente de fuerza electromotriz (FEM) cualquiera (batería, generador, etc.) es la que hace posible que se establezca un flujo de corriente eléctrica a través del metal.

Semiconductor

Un semiconductor es una sustancia que se comporta como conductor o como aislante dependiendo de la temperatura del ambiente en el que se encuentre. Los elementos químicos semiconductores de la tabla periódica se indican en la tabla siguiente.

El elemento semiconductor más usado es el silicio, aunque idéntico comportamiento presentan las combinaciones de elementos de los grupos II y III con los de los grupos VI y V respectivamente (AsGa, PIn, AsGaAl, TeCd, SeCd y SCd). De un tiempo a esta parte se ha comenzado a emplear también el azufre. La característica común a todos ellos es que son tetravalentes, teniendo el silicio una configuración electrónica s²p².

Aislantes

Un sólido es aislante cuando su banda de valencia se encuentra totalmente ocupada y existe una gran separación energética entre ésta y la banda de conducción. Esta separación energética entre ambas bandas suele ser mayor de 3.0 eV para que la sustancia se considere un aislante. Un buen ejemplo de material aislante es el diamante cuya diferencia entre bandas es de 5.47 eV.

Los materiales aislantes son utilizados para separar conductores eléctricos y así evitar cortocircuitos y mantener apartar a los usuarios de las partes de los sistemas eléctricos, que de tocarse accidentalmente

cuando se encuentran en tensión pueden producir una descarga. Los materiales aislantes más frecuentemente utilizados son los plásticos y las cerámicas.

Densidad De Flujo Electrico

Se denomina flujo del campo eléctrico al producto escalar del vector campo por el vector superficie Flujo =E•S

El vector superficie es un vector que tiene por módulo el área de dicha superficie, la dirección es perpendicular al plano que la contiene.

Cuando el vector campo E y el vector superficie S son perpendiculares el flujo es cero.

Si la superficie no es plana se divide la superficie en pequeñas superficies infinitesimalmente pequeñas. Entonces el flujo que atraviesa a cada una de ellas es infinitesimalmente pequeño y para hallar el flujo total habrá que valerse de una integral.

Para el caso del flujo del campo eléctrico creado por una carga puntual situado en el centro de una esfera a través de la superficie de esta, el campo en todos los puntos de la superficie de la esfera tienen el mismo valor (están a la misma distancia de la carga), y el vector normal a la superficie es paralelo)

Condiciones de Frontera para los Campos.

Frecuentemente debemos resolver problemas de campos, en los cuales se involucran dos (o más) regiones de diferentes materiales, y en consecuencia con diferentes propiedades de conductividad, permitividad, permeabilidad, etc. Para resolver problemas de campos electromagnéticos que involucren una frontera entre dos materiales diferentes, necesitamos determinar las propiedades transicionales del campo, en las dos regiones en esta frontera. Estas son conocidas como condiciones de frontera.

Primero consideremos el vector intensidad de campo eléctrico . En la frontera entre dos medios diferentes, podemos descomponer el campo eléctrico total E en una componente tangente a la superficie de la frontera, , y en una componente normal a la superficie de la frontera, , como se muestra en la figura 2.1:

Figura 2.1 Descomposición de E en sus componentes normal y tangencial.

Medio 1 .

Medio 2

Ahora consideremos una ruta rectangular pequeña, paralela a una sección de la superficie, con lados de ancho Dl, paralelos a la superficie, y lados de longitud Dh, perpendiculares a la superficie, como se muestra en la Figura 2.1.

Si aplicamos la 1er, ecuación de Maxwell ( Ley de Faraday), en la forma integral a un pequeño contorno , el cual consiste de lados Dl y Dh, los cuales rodean la superficie plana ,

  Ecuación 2.1

obtenemos:

  Ecuación 2.2

En el límite cuando Dh® 0, el área de se va a volver infinitamente pequeña, asi que:

 Ecuación 2.3a

 Ecuación 2.3b

Puesto que Dl ¹ 0, entonces:

 ó Ecuación 2.4

Por lo tanto, las componentes del vector de campo eléctrico que son tangentes a la superficie de una frontera entre dos materiales, deben ser continuas (iguales) a través de esa frontera.

De manera similar, consideremos las condiciones de frontera

para el vector densidad de flujo eléctrico .

La ley de Gauss es:

    Ecuación 2.5

Para evaluar esta integral en la frontera, construimos una pequeña superficie gaussiana en forma de caja.

Figura 2.2 Superficie Gaussiana para obtener las condiciones de frontera de las componentes normales.

Conforme la altura de esta caja se aproxima a cero, Dh® 0, sólo los componentes de D normales a la frontera contribuyen a la Ley de Gauss:

 

 Ecuación 2.6

dividiendo entre DS

   Ecuación 2.7

La cantidad del lado derecho cuando Dh® 0 es simplemente la distribución de carga libre en la superficie en la frontera:

 Ecuación 2.8

Por lo tanto:

 Ecuación 2.9

Esta última ecuación se puede interpretar como: "La diferencia en las componentes del vector D, en la frontera entre la dos regiones, que son normales a ésta, es igual a la densidad de la carga libre en la superficie, en esa frontera" . Hay que notar que se asume que se

aleja de la superficie,y que apunta hacia la superficie. La interpretación de 2.9, en otras palabras, sería que:

"El fllujo eléctrico neto normal entrando y saliendo de la superficie es igual a la densidad de carga positiva neta en la superficie".

 

Hemos obtenido condiciones de frontera para E tangencial y D normal, vamos a obtener resultados para E normal y D tangencial. Substituyendo D = eE en 2.4:

 Ecuación 2.10

  Ecuación 2.11

De manera similar obtenemos las condiciones de frontera para el vector densidad de flujo magnético B, por analogía con la densidad de flujo eléctrico D:

 Ecuación 2.12

La cual se puede interpretar como: los componentes del vector densidad del flujo magnético B, normales a la frontera, son continuos a través de ésta.

De forma análoga a la obtención de condiciones de frontera para E, obtenemos las condiciones de frontera para H, aplicando la ley de Ampere

  Ecuación 2.13

cuando Dh® 0

 Ecuación 2.14

donde K es cualquier densidad de corriente lineal que existe en la frontera.

Las condiciones de frontera desarrolladas arriba son generales en el sentido de que no hay restricciones en las propiedades de los dos medios. Estas condiciones de frontera fueron simplemente una consecuencia de las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, hay frecuentes e importantes casos que requieren especial atención. La mayoría de nuestras aplicaciones de condiciones de frontera serán para estos casos especiales.

Capacidad eléctrica

La capacidad o capacitancia es una propiedad de los condensadores . Esta propiedad rige la relación existente entre la diferencia de potencial (o tensión) existente entre las placas del capacitor y la carga eléctrica almacenada en este mediante la siguiente ecuación:

donde

C es la capacidad, medida en faradios (en honor al físico experimental Michael Faraday); esta unidad es relativamente grande y suelen utilizarse submúltiplos como el microfaradio o picofaradio.

Q es la carga eléctrica almacenada, medida en culombios; V es la diferencia de potencial , medida en voltios.

Cabe destacar que la capacidad es siempre una cantidad positiva y que depende de la geometría del capacitor considerado (de placas paralelas, cilíndrico, esférico). Otro factor del que depende es del dieléctrico que se introduzca entre las dos superficies del condensador. Cuanto mayor sea la constante diléctrica del material no conductor introducido, mayor es la capacidad.

En la práctica, la dinámica eléctrica del condensador se expresa gracias a la siguiente ecuación diferencial , que se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación anterior.

Donde i representa la corriente eléctrica , medida en amperios.

Condensador eléctrico

En electricidad y electrónica, un condensador, capacitor o capacitador es un dispositivo que almacena energía eléctrica, es un componente pasivo. Está formado por un par de superficies conductoras en situación de influencia total (esto es, que todas las líneas de campo eléctrico que parten de una van a parar a la otra), generalmente en forma de tablas, esferas o láminas, separados por un material dieléctrico (siendo este utilizado en un condensador para disminuir el campo eléctrico, ya que actúa como aislante) o por el vacío, que, sometidos a una diferencia de potencial (d.d.p.) adquieren una determinada carga eléctrica, positiva en una de las placas y negativa en la otra (siendo nula la carga total almacenada).

La carga almacenada en una de las placas es proporcional a la diferencia de potencial entre esta placa y la otra, siendo la constante de proporcionalidad la llamada capacidad o capacitancia. En el Sistema internacional de unidades se mide en Faradios (F), siendo 1 faradio la capacidad de un condensador en el que, sometidas sus armaduras a una d.d.p. de 1 voltio, estas adquieren una carga eléctrica de 1 culombio.

Fuerza electrostática. Energía potencial

Sean las dos cargas puntuales q1 y q separadas una distancia r, que se encuentran en reposo con respecto al origen O del sistema de referencia inercial. La fuerza que la carga q1 ejerce sobre q se denomina fuerza electrostática y viene dada por la ley de Coulomb:

donde K es una constante denominada constante electrostática que depende del medio y ε 0 es la permitividad eléctrica del vacío.

El vector u r es un vector unitario que va desde la carga q1 a la carga q de modo que cuando ambas cargas tienen distinto signo (figura (a)) la fuerza electrostática es de atracción, mientras que si tienen el mismo signo la fuerza electrostática es de repulsión (figura (b)).

Al estudiar problemas de cargas en electrostática, se denomina carga fuente a la carga que ejerce la fuerza (en este caso q1) y carga testigo o carga de prueba a la carga sobre la que se calcula la fuerza (q).

La fuerza electrostática cumple la tercera ley de Newton, por lo que la carga q1 experimentará una fuerza de igual módulo y sentido contrario que la que experimenta q.

Si la carga q1 se encontrase en presencia de N cargas puntuales, la fuerza total sobre ella sería la resultante de todas las fuerzas que ejercen sobre ella las N cargas.

Circulación del campo electrostático.

Si aplicamos el teorema de Stokes al segundo postulado de la electrostática:

La circulación de E a lo largo de una trayectoria cerrada es nula. El producto escalar E.dl integrado a lo largo de cualquier trayectoria es la diferencia de potencial entre los extremos de dicha trayectoria.

En teoría de circuitos, la ecuación es una expresión de

la segunda leu de Kirchhoff.

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS ELECTROSTÁTICOS CON VALORES DE FRONTERA

Ejercicio Nº 1:

Encontrar la densidad de carga volumétrica asociada al siguiente campo: D=XY2a x+YX2a y+Za z C/m2

Solución:

Como se encuentra en coordenadas cartesianas, aplicamos la siguiente formula:

Ejercicio Nº 2:

Encontrar la densidad de carga volumétrica asociada al siguiente campo: D= C/m2

Solución:

Como se encuentra en coordenadas cilíndricas, aplicamos la siguiente formula:

Ejercicio Nº 3:

Encontrar la densidad de carga volumétrica asociada al siguiente campo: D=a r C/m2

Solución:

Como se encuentra en coordenadas esféricas, aplicamos la siguiente formula:

Ejercicio Nº 4:

Sea D= (10xyz 2+4x)a x+5x 2z2a y+10x 2yza z C/m2 . Calcule la carga total encerrada en un cubo de volumen 10 - 1 0m3 localizado en (2,3,4).

Solución:

Evaluando en el punto (2,3,4), nos queda:

Ejercicio Nº 5:

La región esférica 0<r<10 cm contiene una densidad de carga volumétrica ρ v= 4µC/m 3 . a) Encuentre Dr, 0<r<10 cm. b) la carga total en 0<r<10 cm.

Solución a):

ρ v=divD

En coordenadas esféricas:

Solución b):

Ejercicio Nº 6:

Sea D= (8x+4x 3)a x-2ya y+2za z C/m2 , por medio de la ley de Gauss, determine la carga encerrada en la región cúbica -a<x,y,z<a.

Solución:

Ley de Gauss: usando el teorema tenemos:

Ejercicio Nº 7:

Calcular la divergencia de G en P(2,-3,4) si:

a) G=xa x+ya y+za z

divG=1+1+1=3

b) G=ρa ρ

c) G=ra r

divG=

Ejercicio N° 8

Sea D= (10r 2+5e - r)ar c/m 2 . Encontrar ρv como función de r

Solución

Ejercicio N° 9

En el interior de la esfera r≤4m, la densidad de flujo eléctrico está dada por 5r 3ar c/m. a) ¿Cual es la densidad volumétrica de carga en r=3?

Solución

Lo evaluamos en r=3

Ejercicio N° 10

Si D=4x 3ax -2zay-2yaz c/m 2 . Encontrar

a)b)

c)

Solución

a)

b)

c) Qt=∫D dsUsando el teorema de la divergencia