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SEPARATAS DE CLASE EN DISEÑO CANALES
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SEPARATAS DE CLASE EN
DISEÑO CANALES
REFERENCIAS:
Las Separatas de Clase se han basado en las siguientes referencias:
- Hidráulica de Tuberías y Canales. Arturo Rocha Felices.
- Mecánica de Fluidos. Merle Potter y David Wiggert.
- Hidráulica. Gilberto Sotelo
CAPITULO 1
MOVIMIENTO UNIFORME
Concepto
En un canal con movimiento uniforme la profundidad y, el área A, la velocidad media V y el gasto Q son constantes en todas las secciones y la línea de energía, la superficie libre y el fondo son líneas paralelas, de modo que sus pendientes son iguales.
SE=SW=S0=S (1)
donde
SE es la pendiente de la línea de energía
SW es la pendiente de la superficie libre
S0 es la pendiente del fondo
Fig. 1 Movimiento Uniforme en un Canal
Para que se desarrolle el flujo uniforme la pendiente no debe ser excesivamente grande. Si la pendiente es muy grande aparecen ondulaciones superficiales ye el flujo deja de ser uniforme. En algunos casos las altas velocidades dan a lugar a que el agua atrape y arrastre partículas de aire, que constituyen el aire incorporado y que alteran la uniformidad del escurrimiento.
Esfuerzo Cortante en un Canal
a) Canal muy ancho.
En la figura 2 se representa el perfil longitudinal de un canal muy ancho con movimiento uniforme.
Figura 2. Esfuerzo de corte en un canal muy ancho
En flujo uniforme las tres pendientes son iguales y se designan con la letra S. F es la componente del peso, de la parte achurada, en la dirección del escurrimiento, h es la distancia variable entre el fondo y la parte inferior de la porción achurada, cuya longitud es ∆s. Como es un canal muy ancho se considera el escurrimiento por unidad de ancho (medido perpendicularmente al plano del dibujo).
Para el elemento fluido achurado se tiene que su volumen es
(y-h)∆s
Y su peso es
ρg(y-h) ∆s
El producto de la densidad ρ por la aceleración de la gravedad g es igual al peso especifico γ.
La componente del peso en la dirección del escurrimiento es
ρg(y-h) ∆s senθ
Como el ángulo θ, formado por el fondo y un plano horizontal de referencia, es pequeño se considera que senθ=S luego,
ρg(y-h) ∆s S
En el movimiento uniforme no hay aceleración. La distribución de presiones es hidrostática. Las fuerzas debidas a la presión se compensan y la componente del peso en la dirección del escurrimiento debe ser equilibrada por el corte total, que es producto del esfuerzo unitario de corte τh por el área en que actúa.
τh .∆s = ρg(y-h) ∆s S
De donde la relación entre el corte y la inclinación es
τh = ρg(y-h) S (2)
La distribución del esfuerzo de corte es lineal, esto puede verse en la figura 3.
Figura 3. Distribución de Esfuerzos Cortantes en un Canal.
El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para h= 0.
τo = γ y S (3)
Como en un canal muy ancho el tirante es igual al radio hidráulico
τo = γ R S (3)
Se llega así a la conclusión que el esfuerzo de corte sobre el fondo es igual al producto del peso especifico del fluido, por el radio hidráulico y por la pendiente (de la línea de energía).
b) Canal de cualquier sección transversal
En la practica los canales son rectangulares, trapezoidales, circulares, etc. Estas formas se esquematizan en la figura 4.
Figura 4. Esfuerzo de corte en un canal de cualquier sección transversal.
Se muestra en la figura dos secciones de un canal, ubicadas a una distancia ∆s. Para las mismas condiciones anteriores se tiene que la componente del peso de la masa fluida, en la dirección del escurrimiento es
ρgAS∆s
donde
ρ es la densidad del fluido, g es la aceleración de la gravedad, A la sección transversal y S la pendiente.
Esta fuerza debe ser equilibrada por el corte total ( en este caso el esfuerzo de corte sobre el fondo no es constante), que tiene por expresión
Donde P es el perímetro mojado, τo es el esfuerzo de corte sobre el fondo. Esta expresión puede aproximarse por.
Igualando el peso y el esfuerzo de corte total se obtiene
Si se hace R=A/P
Se tiene (4)
Se observa que las ecuaciones (3) y (4) son iguales. Esto significa que el esfuerzo medio de corte sobre el fondo de un canal es igual al producto del peso especifico del fluido, por el radio hidráulico y por la inclinación de la línea de energía.
La distribución de esfuerzos cortantes en la sección depende de la geometría del conducto y se obtiene generalmente con datos experimentales. La figura 5 muestra la distribución de esfuerzos cortantes en una sección trapezoidal con talud 1H:1.5V y ancho de base b igual 4 veces el tirante h.
Figura 5. Distribución de Esfuerzos Cortantes en una Sección Trapezoidal
VELOCIDADES EN CONDUCTOS HIDRAULICAMENTE LISOS Y RUGOSOS.
Contorno Hidráulicamente Rugoso Contorno Hidráulicamente Liso
Condición
de aquí
Donde:
k: tamaño medio de irregularidades. δ: espesor de la subcapa laminar. v*: velocidad de corte ν : viscosidad cinemática
siendo: δ=11.6.ν/v* y v* = (g.RH.S)1/2
Condición
de aquí
Donde:
k: tamaño medio de irregularidades. δ: espesor de la subcapa laminar. v*: velocidad de corte ν : viscosidad cinemática
siendo: δ=11.6.ν/v* y v* = (g.RH.S)1/2
Distribución de Velocidades Distribución de Velocidades
Velocidad Media Velocidad Media
Para Flujos Hidráulicamente Lisos y turbulentos:
Velocidad Media
o bien:
donde También llamada ecuación de Chezy
Problemas:
Problema 1.
.
Problema 2.
Problema 3.
CAPITULO 2
CALCULO DE CANALES
Ecuación de Manning
La velocidad Media (V) se expresa mediante la expresión:
Donde:
R: Radio Hidráulico.S: Pendiente de la Línea de Energían: Coeficiente de Manning
El Caudal (Q) se expresa mediante.
Donde:A: Área de la Sección Transversal.
El coeficiente de Manning se obtiene de tablas, obtenidas experimentalmente. En la tabla 2.1 se muestra una de ellas.
Tabla 2.1. Coeficientes de Manning para Diferentes tipos de Superficies
Sección de Máxima Eficiencia Hidráulica
Se dice que una sección es de máxima eficiencia hidráulica cuando para la misma área, pendiente y calidad de paredes deja pasar un gasto máximo. O bien , es aquella que para el mismo gasto, pendiente y calidad de paredes tiene un área mínima.
De la ecuación de Manning
Y de R=A/P
Se obtiene:
Como en un canal dado, Q, n y S son constantes
La sección de M.E.H es aquella que para la misma área tiene el perímetro mínimo. En consecuencia la sección de máxima eficiencia hidráulica es la semicircular.
En una sección trapezoidal.
Interesa saber la relación entre b e y para que la sección sea de máxima eficiencia hidráulica. Si llamamos m a esta relación.
m= b/y
De geometría se tiene:
De donde,
El perímetro mojado es
Mediante transformaciones sucesivas se obtiene
Derivando el Perímetro P con respecto a m
Donde,
Se concluye que para cada talud hay una relación m, que es la que da la máxima eficiencia hidráulica.
Para un canal rectangular Z=0, de donde m=2. Significa que en un canal rectangular la máxima eficiencia hidráulica se obtiene cuando el ancho es igual al doble del tirante.
Para diferentes secciones trapezoidales la relación m se obtiene para cada talud. En la tabla siguiente se resumen los valores más comunes.
En las tablas 6.9 y 6.10 del libro del Dr. Rocha se obtiene información para otras secciones.
Borde Libre
Se denomina borde libre a la altura adicional que se da a fin de absorber los niveles extraordinarios que puedan presentarse por encima del caudal de diseño de un canal.
Para cálculos preliminares el Bureau of Reclamation recomienda:
Donde
b.l. : es el borde libre en metrosy: es el tirante en metrosc: es un coeficiente que varia de 0.46 para Q=0.60 m3/s a 0.76 para Q= 85 m3/s.
El Bureau of Reclamation también recomienda el siguiente grafico:
Calculo de Canales de Sección Compuesta
Una sección compuesta se puede dividir en N secciones parciales de modo que el gasto total Q es igual a la suma de los gastos parciales
Q= Q1+Q2+Q3+…….QN
Cada parte de la sección tiene su propia rugosidad:n1,n2, …., nN.
Para cada parte de la sección se tendrá que
De Donde:
Siendo:
El gasto total es:
De donde:
Canales con Rugosidad Compuesta:
Un canal puede ser construido de modo que el fondo y las paredes tengan rugosidades diferentes. En este caso habrá dos valores para el coeficiente de rugosidad. Uno para el fondo y otra para las paredes. Se dice entonces que la rugosidad es compuesta.
Si cada parte de la sección tiene un coeficiente n i de Manning, entonces el problema consiste en hallar un valor de n que sea representativo de todo el perímetro.
Si el canal tiene diferentes rugosidades, a cada rugosidad le corresponderá un perímetro Pi.
Si el canal tuviera dos rugosidades, de la ecuación de Manning se tendría:
Despejando el Radio Hidráulico:
De la expresión: A= R.P
Sumando las áreas parciales: A = A1+A2
Si se asume que la pendiente es la misma en todas las subsecciones y asumiendo que:
V1=V2=…..VN
Se tiene la expresión de Horton y Einstein para canales con rugosidad compuesta
Escurrimiento en Tubo Parcialmente Lleno
Es el flujo en un conducto cerrado que no ocupa totalmente la sección transversal.
Se le trata con las mismas consideraciones que un canal abierto.
Problema 1
Problema 2.
Problema 3
CAPITULO 3
ENERGIA ESPECIFICA
La energía específica en una sección determinada de un canal es igual a la suma del tirante, la energía de velocidad y la elevación del fondo con respecto a un plano horizontal de referencia arbitrariamente escogido
Energía Especifica = y + (1)
Donde :
y : Tirantev : Velocidad media en el canal
Expresada en términos del gasto Q y el área A de la sección transversal
Energía Especifica = y + (2)
ENERGIA ESPECIFICA A GASTO CONSTANTE
Energía Mínima
El mínimo contenido de energía se obtiene de:
Derivando (2) con respecto de y.
(3)
De la figura:
dA = T.dy
de donde:
(4)
Reemplazando (4) en (3)
(5)
Reemplazando en (5)
(6) (Expresión general de flujo critico)
Despejando Q
(7)
Reemplazando: , donde d: tirante hidráulico
(8)
dividiendo entre A ambos miebros se tiene:
(9) (Velocidad Crítica)Número de Froude en Flujo Crítico
Se sabe que:
(10)
Para flujo crítico: , en (10)
Fr = 1
En un río: v < vcritica
Por lo tanto: Fr < 1 (flujo subcritico)
En un torrente: v > vcritica
Por lo tanto: Fr > 1 (flujo supercritico)
Propagación de una onda superficial
En un canal rectangular la velocidad de una onda superficial se puede expresar como:
En un río, la celeridad de una onda será mayor que la velocidad del flujo, entonces las ondas ser propagaran tanto aguas arriba como aguas abajo del flujo.
En un torrente, la celeridad de una onda será menor que la velocidad del flujo por este motivo las ondas se propagaran solo aguas abajo del flujo.
En régimen critico, la celeridad de una onda es igual a la velocidad del flujo, razón por la cual las ondas permanecerán estacionarias.
FLUJO CRITICO EN SECCION RECTANGULAR
Tirante Crítico:
De:
y vc=Q/Ac
,
en una sección rectangular
Reemplazando Ac y depejando yc
Reemplazando Q/T por q y operando
Relación entre el Tirante Crítico y la Energía Especifica:
Se sabe:
ademas:
de donde:
,
Variación del gasto con el tirante a energía específica constante:
De:
Energía Especifica = y +
E = y +
Despejando q:
Derivando ( ) con respecto de y e igualando a cero se puede obtener el gasto máximo
Esta expresión es la misma obtenida para condiciones críticas, se concluye así que para una energía específica dada el gasto es máximo cuando las condiciones son críticas.
FLUJO CRITICO EN SECCION PARABOLICA
Tirante Crítico:
De:
y vc=Q/Ac
,
en una sección parabólica
Reemplazando Ac y despejando yc
, si se reemplaza q por Q/T , y se opera se tiene:
Relación entre el Tirante Crítico y la Energía Especifica:
de: y
donde:
se obtiene que:
,
FLUJO CRITICO EN SECCION TRAPEZOIDAL
Tirante Crítico:
De:
y vc=Q/Ac
,
en una sección trapezoidal
AC = (b+z.yc)yc
T = b+2z.yc
Reemplazando Ac y reacomodando
el tirante crítico yc se obtiene mediante tanteos.
Relación entre el Tirante Crítico y la Energía Especifica:
de: y
donde:
se obtiene que:
,
FLUJO CRITICO EN SECCION CIRCULAR
Tirante Crítico:
De:
y vc=Q/Ac
,
en una sección circular
Reemplazando Ac , T y reacomodando
Problema 1.
