CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL Y ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTICULAS

1. DEFINICION DE SISTEMA DE PARTICULAS

En mecánica consideramos un sistema de partículas como un conjunto de N puntos materiales que se mueven por separado, si bien interactúan entre sí y están sometidos a fuerzas externas.Cada una de las partículas del sistema posee una masa propia, mi, siendo   un índice que sirve para etiquetar individualmente cada una de las partículas. la partícula i está caracterizada por una posición   y una velocidad  . Esta posición y esta velocidad evolucionan de acurdo con las leyes de la dinámica

                 

siendo   la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula i. Esta resultante se compone de las fuerzas que cada una de las demás partículas del sistema ejerce sobre i, más la resultante de las fuerzas externas aplicadas sobre ella

Este sumatorio representa la suma sobre las partículas restantes, esto es k va de 1 hasta N, excluyendo el caso k = i, ya que admitimos que una partícula no produce fuerza sobre sí misma (equivalentemente,  ).

Suponemos que las interacciones entre las partículas obdecen la 3ª ley de Newton

o, lo que es lo mismo

En la mayoría de los casos se cumplirá además que la fuerza que la partícula k ejerce sobre la i (y por tanto la que la i ejerce sobre la k) va en la dirección de la recta que une ambas partículas. Matemáticamente, esto se expresa imponiendo que el vector   es paralelo a la posición relativa  , esto es, si

Eliminando paréntesis y aplicando la tercera ley de Newton esto equivale a la condición

2. MOVIMIENTO LINEAL DE UN SISTEMA DE PARTICULAS

El momento lineal de una partícula de masa m que se mueve con una velocidad v se define como el producto de la masa por la velocidad

p=mv

Se define el vector fuerza, como la derivada del momento lineal respecto del tiempo

La segunda ley de Newton es un caso particular de la definición de fuerza, cuando la masa de la partícula es constante.

Despejando dp en la definición de fuerza e integrando

A la izquierda, tenemos la variación de momento lineal y a la derecha, la integral que se denomina impulso de la fuerza F en el intervalo que va de ti a tf.

Para el movimiento en una dimensión, cuando una partícula  se mueve bajo la acción de una fuerza F, la integral es el área sombreada bajo la curva fuerza-tiempo.

En muchas situaciones físicas se emplea la aproximación del impulso. En esta aproximación, se supone que una de las fuerzas que actúan sobre la partícula es muy grande pero de muy corta duración. Esta aproximación es de gran utilidad cuando se estudian los choques, por ejemplo, de una pelota con una raqueta o una pala. El tiempo de colisión es muy pequeño, del orden de centésimas o milésimas de segundo, y la fuerza promedio que ejerce la pala o la raqueta es de varios cientos o miles de newtons. Esta fuerza es mucho mayor que la gravedad, por lo que se puede utilizar la aproximación del impulso. Cuando se utiliza esta aproximación es importante recordar que los momentos lineales inicial y final se refieren al instante antes y después de la colisión, respectivamente.

3. MOVIMIENTO ANGULAR DE UN SISTEMA DE PARTICULAS

Se define momento angular de una partícula respecto de del punto O, como el producto vectorial del vector posición r por el vector momento lineal mv

L=r´mv

 

4. MOVIMIENTO ANGULAR DE UN SÓLIDO RÍGIDO

Las partículas de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen vi=w ·ri

En la figura, se muestra el vector momento angular Li de una partícula de masa mi cuya posición está dada por el vector ri y que describe una circunferencia de radio Ri con velocidad vi.

El módulo del vector momento angular vale Li=rimivi

Su proyección sobre el eje de rotación Z es

Liz=miviricos(90-q i), es decir,

El momento angular de todas las partículas del sólido es

La proyección Lz del vector momento angular a lo largo del eje de rotación es

El término entre paréntesis se denomina momento de inercia

En general, el vector momento angular L no tiene la dirección del eje de rotación, es decir, el vector momento angular no coincide con su proyección Lz a lo largo del eje de rotación. Cuando coinciden se dice que el eje de rotación es un eje principal de inercia.

Para estos ejes existe una relación sencilla entre el momento angular y la velocidad angular, dos vectores que tienen la misma dirección, la del eje de rotación

L=Iw

El momento de inercia no es una cantidad característica como puede ser la masa o el volumen, sino que su valor depende de la posición del eje de rotación. El momento de inercia es mínimo cuando el eje de rotación pasa por el centro de masa.

Cuerpo Momento de inercia IcVarilla delgada de longitud L

Disco y cilindro de radioR

Esfera de radio R

Aro de radio R mR2

 

5. Teorema de Steiner

El teorema de Steiner es una fórmula que nos permite calcular el momento de inercia de un sólido rígido respecto de un eje de rotación que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas.

El momento de inercia del sólido respecto de un eje que pasa por O es

El momento de inercia respecto de un eje que pasa por C es

Para relacionar IO e IC hay que relacionar ri y Ri.

En la figura, tenemos que

El término intermedio en el segundo miembro es cero ya que obtenemos la posición xC del centro de masa desde el centro de masa.

Ejemplo

Sea una varilla de masa M y longitud L, que tiene dos esferas de masa m y radio r simétricamente dispuestas a una distancia d del eje de rotación que es perpendicular a la varilla y pasa por el punto medio de la misma.

Un péndulo consiste en una varilla de masa M y longitud L, y una lenteja de forma cilíndrica de masa m y radio r. El péndulo puede oscilar alrededor de un eje perpendicular a la varilla que pasa por su extremo O

 

MOVIMIENTO DE CENTRO DE MASA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS

El sistema de referencia del centro de masa (sistema-C) es especialmente útil para describir las colisiones comparado con el sistema de laboratorio (sistema-L).

En la figura, tenemos dos partículas de masas m1 y m2, como m1 es mayor que m2, la posición del centro de masas del sistema de dos partículas estará cerca de la masa mayor.

En general, la posición  de centro de masa de un sistema de N partículas es

La velocidad del centro de masas  se obtiene derivando con respecto del tiempo

En el numerador figura el momento lineal total y en el denominador la masa total del sistema de partículas.

En un sistema asilado, el momento lineal total permanece constante, su centro de masas se mueve con velocidad constante.

Para un sistema de dos partículas

La velocidad de la partícula 1 respecto del centro de masas es

La velocidad de la partícula 2 respecto del centro de masas es

En el sistema-C, las dos partículas parecen moverse con direcciones opuestas.

Podemos comprobar fácilmente que el momento lineal de la partícula 1 respecto al sistema-C es igual y opuesto al momento lineal de la partícula 2 respecto del sistema-C

La relación entre las energías cinéticas medidas en el sistema-L y en el sistema-C es fácil de obtener

El primer término, es la energía cinética relativa al centro de masas . El segundo término, es la energía cinética de una partícula cuya masa sea igual a la del sistema moviéndose con la velocidad del centro de masa. A este último término, se le denomina energía cinética de traslación del sistema.

En un sistema de partículas podemos separar el movimiento del sistema en dos partes:

el movimiento de traslación con la velocidad del centro de masa el movimiento interno relativo al centro de masas.

Para ilustrar la importancia de centro de masas de un sistema de partículas propondremos al lector el estudio de dos programas interactivos.