Caos en sistemas económicos

Jaime Montes Norniella

Profesor Titular

Universidad de Salamanca

Precios del algodón

Análisis clásico

Fluctuaciones erráticas alrededor de una curva que varía suavemente

El análisis clásico de fluctuaciones falla

Nuevos métodos

CAOS Teoría de sistemas Explicativo No predictivo (tiempo) Edward Lorenz

FRACTALES Geometría Descriptivo No predictivo (detalle) Benoit Mandelbrot

Unificación metodológica: ATRACTORES EXTRAÑOS

Definición de caos

Evolución acotada

Comportamiento de un sistema determinista cuyas variables sufren una evolución temporal con las siguientes propiedades:

Comportamiento irregular

Efecto mariposa

Evolución acotada

2 4 6 8 10

-10

10

20

30

Comportamiento irregular

Efecto mariposa

Dos condiciones iniciales muy próximas producen evoluciones temporales que rápidamente divergen entre sí.

La predicción a medio y largo plazo es imposible Ocurre en sistemas mecánicos, meteorológicos,

biológicos, económicos, etc.

El atractor de Lorenz

Ecuaciones del sistema Curvas unidimensionales Efecto mariposa Diagrama de Lorenz

Ecuaciones de Lorenz

Sistema diferencial Dimensión 3 No lineal

€

dx

dt= a(y− x)

dy

dt= rx − y− xz

dz

dt= −bz+ xy

Curvas unidimensionales

2 4 6 8 10 12 14

-10

10

20

30

Efecto mariposa

5 10 15 20

-20

-10

10

20

30

Evolución del errorEvolución del error

Diagrama de Lorenz 3D0

20

-20

0

20

20

40

60

80

-20

0

20

Diagrama de Lorenz 2D

-30 -20 -10 10 20 30

40

60

80

Fractales

Definición recursiva Estructura autosimilar a diferentes escalas Dimensión fraccionaria

Formas geométricas complejas que tienen:

Ejemplos: Curva de precios del algodón. Línea de una costa. Crecimiento de árboles y nubes. Conjuntos de Cantor, Mandelbrot, etc.

Conjunto de Cantor

Otros fractales

Conjunto de Mandelbrot

Dimensión fraccionaria

€

ε <<1⇒ N ε( )∝1

ε d

Ejemplo: Copo de nieve

Dimensión = 1,2618

Atractores extraños

Fase = conjunto mínimo de datos que determina totalmente la evolución posterior del sistema.

Espacio de fases = Conjunto de todas las fases potencialmente admisibles. Es un espacio vectorial.

Atractor = Subconjunto del espacio de fases que atrae las órbitas próximas hacia él.

Atractor extraño = Atractor con estructura fractal.

Tipos de atractores

Punto aislado = Posición de equilibrio estable

Curva cerrada = Movimiento periódico

Fractal = Comportamiento caótico

Puntos fijos

Son posiciones de equilibrio estable Órbitas elípticas = sistemas conservativos Órbitas espirales = sistemas disipativos

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

-0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Ciclos límite

Las órbitas convergen hacia una órbita cerrada El sistema es atraido hacia un ciclo periódico

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3

Atractor de Lorenz

Conclusión

El precio del algodón junto con otros precios relacionados forman un sistema.

El sistema es no lineal con D ≥ 3. El sistema tiene un atractor extraño (un fractal). Los precios del algodón son la proyección 1D de

la órbita que rodea al atractor extraño.

Bibliografía

Caos, la creación de una ciencia. JAMES GLEICK.(1988)

Chaotic Dynamics. G.L. BAKER J.P. GOLLUB. (1990)

Nonlinear Dynamics and Chaos. STEVEN H. STROGATZ. (1994)

Dinámica Caótica en Economía. ANDRÉS FERNÁNDEZ DÍAZ. (1999)