Cap 1 Carga y Materia

,

[CAPíTULO 1 J

CARGA Y MATERIA

1 1 Algunas propiedades de la carga y materia

la materia en su estado natural tiene carga neutra, es decir, contiene cantidades iguales a carga positiva y negativa.

La materia ordinaria está compuesta por tres clases de partículas elementales: el protón (carga positiva), el neutrón (carga neutra) y electrón (carga negativa).

Cuerpos con cargas de igua l signo se repelen y los de signos diferentes se atraen.

1.2 La Ley de Coulomb

Para dos cargas puntuales q, y q2 se cump le:

Donde:

F= q, . Q2 - ,-,-

F = Newton (N)

q '" Coulomb tCl

6 q, . Q 2

F = K - ,-,-

T = Distancia entre las cargas (m)

e' Ea '" Constante de permilividad :: 8,85.10"2 N m2

9

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,

Si se desea hallar la fuerza que soporta una carga ~x" debido a Un" cargas. se cumple:

- ,,-F, ,,, L F¡.

" 1 3 Cuantización de la carga

L<I carga fu ndamental e = 1.6. 10 '0 e SIrve como base para exp resm otras que son múltiplos enleros de ésta, es decir:

q = n.e n r Z

la carga tamb ién se defme corno

q = I I

Donde:

I está d<ido en ampCIIQs (A)

está dado en segundos (5)

14 Va loros más usua les de algunas partículas .

Partíc ulas Símbo lo Carga Masa - ---

Protón +0 m, = 1.6710;>7 Kg - --- -

Neutrón o 1.67.10 <1 Kg --- ---- - --

Elecl rón 0- -o 9, 11 10 3' kg --- --- -

Alfa ' He o " 20 4 m, --- - -

Dculcrón ' H o d o 2 m,

10



,

=,,-===-- ==--=CARGA y MATERIA

Dos esleras mel<'lhcas idénticas (igual radio) con 60 ~IC y ·40 ,uC se ponen en contaclo y luego se les separa 10 cm. Determinar la fuerza de Interacción eléctrica en estas condiciones.

Solución:

'Cuando dos cuerpos esféricos de tgualladlo de Curvatura son puestos en contacto. Ids cargas eléctricas se reparten eqUitativamente".

1) 0, 0,

• • 11) En contacto' • 111) O O

------d

Donde'

Calculo de la fuerza eléctnca. mediante la ley de Coulomb

F", K q q

. -::;r '" 9 d

Reemplazando datos en el S 1.

2 Dos csfcnllas metálicas de radios iguales, con cargas do "q" y "3q" se repelen con una luerzo de 9N, si las esfcnUas son puestas en contacto y luego vueltas a sus posiciones originales ¿Con qué fuerza volverían a repelerse?

Solución:

Fuerzas de Coulomb antes det contacto:

3N '" K .• ( 1 )

9N o K (30)(q) R'

I I



3.

12

, RedistribuCión de las cargas en el contacto .

Carga lolal Q = 3q + q = 4q

Como los radios son iguales: q, = q2 = 2q

Fuerzas de Coulomb después del contaclo: F = K (ql)(q 2)

R' F = K (2 q )(2 q)

R'

F = 4K q R'

Reemplazando ( 1 ) en ( 2): F = 4 ( 3N )

I F = 12 N I

La figura mueSlra dos cuerpos esféricos de pesos Iguales él

20N Y cargados con Igual magnitud q = 10 5 e, pero con signos diferentes. Si la distancia de separación es d = 0, 1 rn. Determ inar la tensión en las cuerdas ( , ) y ( 2 j.

Solución:

La fuerza de atracción ~F~ enl re las cargas eléctricas será:

F= K q . q 9 10 9 10- 10 90N d 1QT

Haciendo el D.eL de la esfera con cargas posi tiva:

LFy = O T,

T, = F + W

TI = 90N + 20N

L0 "~J F

w

. (2 )

Haciendo el D.C.L. de la eslera con carga negativa -

F

w

~Fy = O

T~ =90N -20N

T2 = 70N I



4. la hgura muestra una barra homogénea y uniforme en equilibrio. Cada esfera tiene un peso de 5N y cargadas con magnitud q = 20 pe. pero signos diferentes. Ha!!ar el peso de la barra.

Solución:

Realizamos el D,C.l. de fa esfera '+qP.

~Fy = O

,

F T+5N = F

+Q

5 N T

Realizamos el D.e,L. de la barra:

tFy = O '--V W = 2T

T ... SN= K.q·q 7

Reemplazando datos

T+5N = 40N

T =; 35 N

T

12 )

. 11 )

Reemplazando ( 1 ) en ( 2 ) 11 1

[ W=70N I

Q ,

I 3m ¡

T

w

-

5. SI los valores de las cargas al' O2, 03 son de 30: 100 y 160 pe respectivamente, determinar la fuerza eléctrica resultante que actua sobre 0 2

Solución:

Q~O __ __ _ _ _ '"

6m Q,

Graficando las fuerzas eléctricas que actuan sobre O?"

' 0 Calculo de las fuerzas eléctricas, mediante la ley de Coulomb:

'" 3N

F:J2 = K = 4N



, Cálculo de la fuerza eléctrica resultante, mediante el teorema de Pltágoras:

I F = 5N

6. En los vértices de un triángulo equilátero de lado 0,3 m se han colocado tres ca rgas

7.

1'1

eléctricas de magnitud: +Q : +20 ; -30 , donde: O = 1 O ~IC

Determinar la fuerza resullante que actua sobre la carga "+0". Considere s610 fuerzas electricas.

Solución:

Cálculo de las fuerzas F, y F¿

F, = K 0(20)

-:: 20N "L?----

F2 = K 0(30 )

= 30N 7-Cálculo de la fuerza resultante:

Reemplazando: I F,= 10[7 N I En la figura , la eslera A y el péndulo poseen cargas de igual magmtud y de signos contrarios. Sabiendo que B está en eqUilibrio y que su masa tiene un va lor de l Ogramos, determine la magnitud de la carga en cada uno de estos cuerpos.

9= 10m/s;

Solución:

Cálculo de la IllOrza eléctrica: F = K q.q

d' F:l01l.q2

Haciendo D.e l , de la esfera "S":

Del triángulo de fuerzas:

F = m.g ... (2)

Reemplazando ( 1 ) en ( 2 ):

1011 q2: 10 2 ( 10)

luego· I q = 10~ e

F

L

, +20" __

(1 )

A

•

-3Q ~ (2) , '

O,3m

, , , ,

.... ( 1)

T o

'45· o

mg

B

T 45' mg

F



8.

9.

La figura muestra dos esferas cargadas con Igual magnitud pero signos diferentes (q = 20 !lC), peso 20 N cada uno y separados una distancia de 30 cm. Determinar fa tensión en \a cuerda ( 1 ).

Solución:

,

q

Cálculo de la tuerza eléctrica: -q

F=K q q d'

F:::; 40 N

9Xl0 9 (4XIO 9 lO: 10

.. ( 1 )

Realizamos el O C. L. de la esfera ( .. q ):

I

T, '60" I

T l..Fy = O

T .cos60o=(F+ W)

(1 )

( 2 )

• Reemplazando en ( 2 ): (" T "2 J = ( 40 + 20 )

(F +W) Luego:

Si la esíera A pesa 15N y tiene una carga q:::; 10 ~C, delern1U1ar la carga de la esfera B. para que las tensiones en las cuerdas ,!.

( 1 ) Y ( 2 ) sean iguales.

T = 120 N

1- _ _ _ '_ 1_1 _ __ _ II_ ! _ ___ I _1

(2) ¡

(1) !/----=--,fí. -- ... -- -- ... .!. A ro-- 30 om -->i Solución:

T

T 53'

w (T - F)

w

Haciendo el O.C .L de la esfera A y construyendo el triángulo de Fuerzas.

Resolviendo el triángulo: T = 5F F = 3W

Luego: F = 45N

Cálculo de la carga de B, aplicando la ley de Coulomb: F=K

Reemplazando datos en el S, 1. y despejando:

El signo de la carga 8 es negativa ( - )

15.



10.

,

la figura muestra dos esferas Idénticas de peso ION Y carga q = 20 ~IC, cada uno. Determinar la tensión en las cuerdas ( 1 ) Y ( 2 ).

(1 )

Solución:

o (2)

o

]o3m T Realizamos el O.C.L del sistema formado por las dos cargas. para

determinar la tensión en la cuerda ( 1 ). En este diagrama las fuerzas eléctricas se anulan

w l.Fy -= O T, = 2W

. w Luego: T 1 = 20N

Cálculo de la fuerza el6ctrica de repulsión: F = K

Realizamos el D.C.L de la eslera inferior"

~Fy O

T~ = W + F

Reemplazando: T ~ = 10 + 40

Luego:

( 1 )

.3...:..5! "" 40N d '

T,

w F

I_O,3m---j ·0 3q

11. la figura muestra dos es/orillas de Igual lamarlo cargadas con magnitud ~-q" y M3q" respectiva

mente. Despreciando las fuerzas de fricción,

hallar el peso del bloque 'W", tal que el sistema se encuenlre en equilibrio. q = 10 Ile.

53·

Solución:

Hallaremos primeramente la fuerza de atracción eléctrica entre los cuerpos cargados electricamente; de la ley de Coulomb:

->

F:= 30 N

(10")(30") (0,3)2

Como no existe rozamiento, la tensión en la cue rda no vertical es igual a la fuerza eléctrica "F",

16



,

F y F Haciendo el D.eL del nudo y aplicando la primera condición de eqUil ibrio lenemos que:

r Fy = O

". 53' """-t.> W=2F . sen 530 -V W =2.30N . 4 5

w W = 48N I

12. En dos vért ices opuestos de un cuadrado se fijan cargas "+q" mientras que en los otros vértices se ubican cargas "-O", halle la relación entre estas cargas de modo que "-O" no se mueva

Soluc ión:

Cálculo de las fuerzas: F = K O 9 a '

o ' F - K ~

- (<lV 2 )2 o'

K , 2,

Si "Q" no debe moverse. la suma de fuerzas debe ser cero, igualamos módulos:

0 2 a q K -- K - /2

2a 2 a ~

0 0 ,- ----ª- ---- 0 q

, "

, , ',a(2

, , , ' a

- FR F

e --------,,-' --.c:.t q F

Fl

13. En un triángulo equi látero de lado "a", se colocan cargas -q en cada vértice . Si queremos que el sistema permanezca en equilibrio, ¿qué carga debemos fijar en el centroide dcl triángulo?

Solución:

Para que la carga en el vért ice no se mueva. la suma de luerzas debe ser cero_ l uego la carga ubicada en el cenl roide debe atraer las cargas ubicadas en los vérl lces con una tuerza F 1 •

Cálculo de las tuerzas:

F, = K o q )

m' K O . q

(a l 3 )2 3K O q

a '

.q

<';) " I " . , , , , ,

, 1m , a ' , , a . , ,,' +o@ . ' ,

Ek0: ____ >~F>- F -q a -q ,

F ' __ ' FIJ

17



,

Para el equilibrio, estas fuerzas deben tener igual módulo .

F, = FJ3

14. Un estudiante realiza un experimento para medir la ca rga eléctrica de cuatro cuerpos. Los siguiontes son sus resullados experimentales:

o, = 2.4 .101g e Q . = 8.0. 10 '9 e

O2 = 11,2.10-19 C 03

= 6,6.10.9 e

¿Cuáles de estos resultados no son correctos?

Carga elemental = 1 . 6, 10 '~ e = e

Solución:

Del principiO de Cuanllzaci6n de la carga. sabernos, que loda carga eléctrica de un cuerpo o pa rt ícula es múltiplo entero de la carga elemental o sea de la carga de un electrón. Es decir:

Q = n Q

e _.-' n -e

n=0: 1,2;3: 4:

Hadando las divisiones respectivas:

Para "O;: :

Para "O; ' :

Q, n= -

e

Q, n=

e

Q, n =

e

2,4 .10 ' 8 C = 1 5 t,6 . lO ,1g e '

11,2 . 10 19 C = 7 1,6 . 10 II~ C

8,8. 10 ' 9 C ='''7",", 1 9r;C~ '" 5. 5 1,6.10

Q 4 8,0.10 'ge __ 5 o =-e-- 1.6.10 '9 C-

los valores de "n" para a, y 0 3 son incorrectos por conSiguiente 0 4 y O2 son correctos.

15. Dos cargas punluales positivas Iguales se manlienen a una distanCia fija 2a entre si. Una carga puntual de prueba se encuentra sobre un plano perpendicular a la tinea que las une y que pasa por su punto ~edio.

18

a) Calcular el radio Uf" del círculo de Simetría , en ese plano, para el cual la fuerza sobre la carga de prueba !lene un valor maximo.

b) ¿Cuál es la dirección de esta ruerza si la carga de prueba es positiva?



Solución:

Graficando:

a) las componentes hOrizontales se anulan. enlonces la fuerza resul· tante será:

FR = 2Fcos El

Pero F=

Reemplazando en (1): 2 q.q.

F - --JI - 4 It (o

Ffl = K

(a< ... r)J/2 _3r2(a2 ... r;)1'~ = O

De donde:

,

VISTA FRONTAL

,

K q q ,

2 n: 10 0

VISTA DE PERFIL

constante

b) SI qo es positiva, la dirección de F R será radia l hacia a fuera.

16. Una Cierta carga O se divide en dos partes: q y 0 - q. ¿Cuál es la relación de Q a q para que las dos partes colocadas a una cierta distanCIa de separación, lengan una repulsión coulomblana máxima?

Solución:

Graficando:

q (a - q )

d'

1 F- q (Q q)

- 4 It Eo d 2

F = K . q(Q - q)

F q Q - q F .'- -0- - -- -- - - -Qe----_.

.. ,,- - d - - ->l' 1

19



, Para que la repulsión sea máxima, derivamos la expresión de F:

d F (j'""'(j" = K [ -q + O - q I = O

Q Q-2q = O -=> -= 2

q

17. Dos cargas Q iguales y positivas se encuentran separadas una distancia 2a. La fuerza que ejercen sobre una carga de prueba q positiva, pequena, colocada a la mitad de la dislancia entre ellas es cero, Si la carga de prueba se desplaza una distancia corta ya sea:

a) Hacia cualqUiera de las cargas, Ó

b) Perpendicula rmente a la linea que las une, determinar la dirección de la fuerza que actua sobre ella

En ambos casos, ¿es un equilátero eslable o inestable?

Solución:

a) qo se mueve hacia la derecha: ~¡ q" (+)

Q (.;.) ------- - Q (+) O- - - - - - - Q-- - - - - --O

b)

al » ~

F, --- . pero F, < F 2 • entonces:

la dirección de F R es haCia la posiCión original.

qo se mueve hacia la izquierda:

Sucedo lo mismo. pero en sentido contrario.

~F a ~

Conclusión; El sentido de F R es hacia la posición original.

El equilibriO es estable. puesto que q" tiende a regresar a su pOSición original.

F,

--- ~- -,

F~»F Las componentes horizontales de F 1 Y F 2

se anulan.

- , , ""'Xlt "

" I ~ ,

6- - --------·------- - -- -00(.)

las componentes verticales se suman;

Conc lusión:

El sentido de Fn es el del desplazamiento. El equilibrio inestable. puesto que la carga no Ilende a regresar a su posición original.

1 B. Dos esferas similares de masa u m M cuelgan de hilos de seda de longitud f y tienen cargas semejantes "q~ , como se muestra en la figura. Suponer que" 9 " es lo suhcientemente

20



,

pequeño como para que la" T9 9 ~ pueda reemplazarse por el ~ sen O ". Utilizando esta aproximación:

al Demostrar que: x - [ q " J'" - 21tco mg

en donde x es la separación entre las esferas.

b) ¿Cuánto vale" q" si ¡ = 120 cm, m = 10 9 Y x = 5 cm?

Soluci6n:

a) Equilibrio de una de las cargas q:

T

F 90" - () --Ó] -----

mg

Dividiendo ( 1 ) + ( 2 ): ,

T 0 - q 9 - 4lt Eo mgx2

q

1: FH = O --v TCos (90° · O ) = F

1 q ' T5en9= -- -

<1 It ( o )( 2

EFv=O =-'.> TSen(900- 0 ) = mg

TCos9=mg

.. ( 3 1

So sabe que O es pequeño ---v T9 O .. Sen O

, Del gráfico: sen O 2 ' '" -=21


, 2 ,

q ' 4 ltEo mgx 2 " - [

q ' I J 211Eomg

[ q ' I 1;

)( = 2/tE o mg

bl Do ( 5 le J2nr mg x

3

q :: o ,

Reemplazando valores se obtiene:

... ( 4 1

( 5 1

q

. ( 1 1

. (2 1

2 J



, q '" +2,4.10 e C; siendo las cargas semejantes, entonces la fuerza siempre será de repulsión.

19. Dos cargas puntuales libres de +q y + 4q se encuentran separadas por una distancia d. Se coloca una tercera carga de lal forma que el sistema completo queda en equilibrio. Determinar la posición. la magnitud y el signo de la tercera carga, ¿Es estable el equilibrio?

Solución: - -F, F2 Sabemos que habrá equilibrio cuando la le rcera

carga sea colineal a las otras dos. O- - - - ----o---+- - - - - - -() Analizando se conc luye que Q solo puede -ser negativa y estar entre tas cargas para que el sistema completo esté en equili brio.

1+-- , --~~I~' -- f- x ---+I

• qO Q(4q)

4 n Co 7 4 Il Ea ( 1 X) 2

3x2- 2xl / 2 =0

Resolviendo: ,_ ¡ 1/3 - I .... no cumple

En la carga +q : q (4 q)

411 Ea -,-.. 2-

Comprobación en la carga +4q:

Conc lu s ión : posición magnitud signo Tipo de equilibrio

Q (4 q)

4 Jt 1;:0 ( 1 X) 2

4 Q 4 q

-'[-,-'--'3'-,7)'2 == 7

a l /3de +q 4q/9 negativo estable.

q (4 q) - ,-,-4

Q '" _. q 9

•

20. En cada vértice de un cubo de lado "a" hay una carga • q ~.

al Demostrar que la magnitud de la fuerza resultante sobre cualquiera de las cargas es:

22



,

b) ¿Cual es la dirección de F respecto da los lados del cubo?

Solución :

Graficando el cubo: ,

A " " P------;QB A (O;O; a) B (O; a; a) C (a; a; a) O ( a ; O; a)

E (O; O; O) F (O; a ; O) G{a;a:O) H (a; O; O) °0i"-~,---'1'1""

Para la carga A;

- 1 P DA == - ( -a ; O; O ) == ( -1, O; O )

a

Haciendo: q ' -=F

4 re "o a 2 . " " " ( 1 )

_ 1 q2 FOA "'-- -~ (-l,O;O)o=F(- l;O;O)

4 11: 100 a

-H -

•

En forma Similar para las otras fuerzas que actúan en A;

FOA =F(O; - \;O) - F FilA ~ 2 f2 (-1; O; 1 )

- F FfA "'~ (O" - 1" 1 ) 2 ..¡ 2 " ,

- F F eA = ~ ( -1; - \ ; O)

2 , 2

FEA 0= F( O: O; 1 ) - F FGA '" 3 [3 (-1;- 1, 1 )

F F F F --F- --- - - - --, - 2[2 2 [2 3[3

F F F 2[2- 2 [2-3[3

~'F' F [1' 1 + 1 1 - ,=- 12 3J3

F F F -- + --+F+--2[2 2[2 3[3

, , ~Oq - - - - "~"' "

G

2:-1



24

•

""" F =F[I+-;:" + F 1 1 ..¡ 2 3 3

FR

'" ~ { F, ) 2 + (Fy )2 + (F, )2

Fe = f3 [ 1 + f, +oh lF = 3.29F


b) Fx oo. - l ,9F

Fy = - 1,9F

Fz = l ,9F

Oireccion : A lo largo de las diagonales .

Sentido Alejándose del cubo.

q' FA "" 0 ,262 --,

' . a

(2 )



Cap 1 Carga y Materia

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