Cap 11 Linealizacion

7/26/2019 Cap 11 Linealizacion

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Anlisis de Seales y SistemasHector Pea M. EIE - UCV

CAPITULO 11

LINEALIZACION: ESTUDIO DE

NOLINEALES A PEQUEA

SEAL

f(aX+bY) ! af(X)+bf(Y)


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Sistemas 332

El estudio de nolineales o sistemas nolineales es motivo de

gran actividad. Los fundamentos matemticos, conocidocomo teora cualitativa de ecuaciones diferenciales, es un

ejemplo.En general la situacin, para este curso, es la de utilizar de los

fundamentos de los lineales y con ellos determinar un

comportamiento aproximado del nolineal, a lo menos en

las cercanas inmediatas de inters.

Un ejemplo apropiado que muestra esta situacin es el delpndulo. La ecuacin que rige un pndulo real es :


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Sistemas 333

donde:

b coef. de roce

0sen2

2

"## !!!

l

g

dt

d

m

b

dt

d

mg

mgsen$

$

$

00


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Sistemas 334

Para simplificar hacemos b = 0 y asumimos que el ngulo $sufre pequeos cambios y adems supondremos que estosse verifican en la posicin de reposo $ = 00.

Tenemos entonces:

por lo visto en el Cap. 5, escribimos:

obteniendo as:

02

2

"# !!l

g

dt

d

%

"

"

!

!

2

1

x

x

12

21

xl

gx

xx

&"

"%

%


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Sistemas 335

Como este modelo corresponde a uno lineal, entonces

determinamos los valores propios obteniendo:

es decir, complejos conjugados son parte real nula (i.e. sin

atenuacin), esto corresponde a una oscilacin de amplitudmantenida y frecuencia angular:

rad/s

''(

)

**+

,

&" 0

10

lgA l

g

j-"2,1"

l

g"#


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Sistemas 336

Para tener una visin compacta de la posicin y velocidadangular se genera una ecuacin para un plano

(denominado PLANO DE FASE), como sigue:

a) divida la 2a ecn. por la 1a :

b) separe las variables:

c)integrando se obtiene:

),(%

!!

1

2

2

1

1

2

dx

dx

x

xlg

x

x"

&"

%

%

1122 dxxl

gdxx &"

Econstantexl

gx ""# 21

2

222

1


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Sistemas 337

La ltima ecuacin corresponde con una elipse, cuyossemiejes quedan definidos como se muestra en la figura:

x1

x2

- E2

Eg

l2-

t


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Sistemas 338

La respuesta angular versus tiempo ser entonces:

claramente la amplitud de la oscilacin, as como su

frecuencia, variar de acuerdo al valor de .

Observemos algunas caractersticas de comportamiento de

este sistema: PENDULO


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Sistemas 339

Algunas preguntas:

Qu sucede cuando $ = 00 ? cuando $ = 1800 ? $=900?

Y entonces cmo responder estas preguntas? qu

herramientas puedo utilizar para desarrollar unconocimiento y comprensin de la dinmica de unsistema?

La respuesta es doble:

Para estudiar los nolineales es necesario estudiar teoracualitativa . (postgrado)

Determinar comportamiento aproximado con los lineales. (S)


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Sistemas 340

Veamos, entonces, como nos ayuda lo estudiado en

matemticas.

6.1 PUNTOS DE OPERACIN

Se habla de punto o condicin de operacin, valor nominal,punto de equilibrio, punto Q, flujo de carga, etc. para

referirse a una condicin de estado estacionario o reposo.Es decir, condicin en la cual las variaciones son nulas.


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Sistemas 341

Para una ecuacin diferencial de orden n esto equivale aanular todas las derivadas de la variable dependiente, por

ejemplo, sea:

haciendo las derivadas cero, se obtienen dos soluciones para

la variable :

estos son puntos estacionarios o puntos de operacin.Corresponden con los ngulos 0 y 180 del pndulo.

0)()1(24 22 "###%%%%%%

yyyyyy

10 00 &"" yy


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Sistemas 342

Determinar los puntos de operacin es de importancia porcuanto ser posible determinar un modelo lineal vlido enlas cercanas de ellos. Recuerde la expansin en Serie de

Taylor:

observen que esto puede reescribirse como:

.supordendetrminos)()(),(),( 000000

00

#&.

.#&

.

.#" yy

y

fxx

x

fyxfyxf

yxyx

.supordendetrminos)()(),(),( 000000

00

#&.

.#&.

."& yyy

fxxx

fyxfyxf

yxyx


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Sistemas 343

Defina cada diferencia como un incremento en la variable o

funcin, es decir:

claramente las parciales evaluadas en x0,y0 corresponden, en

este caso, a constantes (en el caso general a matrices con

coeficientes constantes), por lo que escribimos:

.supordendetrminos00

00

),( #/.

.

#/.

.

"/ yy

f

xx

f

yxfyxyx

yJxJyxf /#/"/ 21),(


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Sistemas 344

Grficamente corresponde a:

x

y

f(x,y)

x0

y0/y

/x

/f(/x, /y)


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Sistemas 345

Como se destaca, la funcin f(x,y) , no lineal, ha sidoaproximada por una lineal en las cercanas de (x0,y0).

Utilicemos lo visto y aplicando sobre la ecuacin del pndulo

obtenemos como puntos de operacin:

$ = 0, -0, -20, etc.

Aplicamos ahora la serie de Taylor, slo en aquellos trminosnolineales:

0sen2

2

"## !!!

l

g

dt

d

m

b

dt

d

0sen "!

0cos 02

2

"/#/

#/

!!!!

l

g

dt

d

m

b

dt

d


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Sistemas 346

Para $ = 0, la EDO lineal viene dada como:

(1)

Para $ = -0 la EDO lineal viene dada como:

(2)

supongamos por simpleza, que =1, b=0, entonces para la

Ecn (1)

Ecn.(2)

02

2

"/#/

#/

!!!

l

g

dt

d

m

b

dt

d

02

2

"/&/

#/

!!!

l

g

dt

d

m

b

dt

d

02

2

"/#/

!!

gdt

d

02

2

"/&/

!!

gdt

d

l


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Sistemas 347

Ahora con

obtenemos:

es decir

es decir, cada punto de operacin tiene un espectro diferente,

uno corresponde con races complejas con parte real nula,y el otro corresponde a races reales de signo contrario.

%

"" !! 21 y xx

'(

)*+

,

&"

0

101

gA '

(

)*+

,"

0

102

gA

gA -")( 2"gjA -")( 1"


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Sistemas 348

Estas diferentes soluciones se presentan generalmente en un

plano de fase, que corresponde al campo de solucin de laecuacin diferencial, tal como se muestra a continuacin:


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Sistemas 349

En las cercanas de cada punto de operacin obtenemos lossiguientes planos de fase:

/x2

/x1

$ = 0

/x2

/x1

-0centro silla


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Sistemas 350

Vemos que entorno a 00 las soluciones son peridicas en elsentido reloj. En torno a -0 las soluciones son separatrices(de punto silla), que provienen de y se acercan a la

posicin de equilibrio vertical para tiempo muy largo yseparan las soluciones peridicas (ida y vuelta) de lassoluciones giratorias sin parar.

Veamos ahora como procederemos. Supondremos que hemos

obtenido un modelo de estado nolineal que denotaremos

como:

),(),(

uxgyuxfx

""

%


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Sistemas 351

Primeramente debemos determinar los puntos de operacin(P.O.), es decir:

la solucin de estos conjuntos de ecuaciones pueden o no,depender de la entrada u. Visto que se determinan puntos

de operacin, estas entradas debern encontrarse en estadoestacionario.

En segundo lugar debemos aproximar el modelo no lineal por

uno lineal vlido en cada P.O., es decir:

0),( "uxf


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Sistemas 352

dondeuJxJyuJxJx

/#/"/#/"/

%

43

21

'''

'

(

)

***

*

+

,

.

...

.

.

.

.

"

n

nn

n

x

f

x

f

x

f

x

f

J

1

1

1

1

1

'''

'

(

)

***

*

+

,

.

...

.

.

.

.

"

n

nn

n

u

f

u

f

u

f

u

f

J

1

1

1

1

2

'''

'

(

)

***

*

+

,

.

...

.

.

.

.

"

n

nn

n

x

g

x

g

x

g

x

g

J

1

1

1

1

3

'''

'

(

)

***

*

+

,

.

...

.

.

.

.

"

n

nn

n

u

g

u

g

u

g

u

g

J

1

1

1

1

4


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Sistemas 353

Cada matriz J as calculada se denomina Jacobiana .

En tercer lugar se evala cada jacobiana en cada P. O.obteniendose as, el modelo lineal vlido en el respectivo

P.O.La particular dinmica en torno a cada P.O. se calcula va los

valores propios de cada matriz de planta obtenida.

Para nuestro pndulo, el modelo de estado nolineal vienedado como:

uxm

bx

l

gx

xx#&&"

"%

%

212

21

sen


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Sistemas 354

Clculo de los P.O.

Para simplificar, se supone u(t)=0, y se obtiene:

es decir x10 x20

P.O.1 0 0P.O.2 -0 0

0),(sen

0),(

2121

212

""#&&

""

xxfuxm

bx

l

gxxfx

21

12

0sen0

xxxx

1"1"


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Sistemas 355

Esto equivale en un plano de fase a :

Clculo de Jacobiana

x1

x2

-0 0

''(

)

**+

,

&&"

m

b

xl

gJ101 cos

10


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Sistemas 356

Evaluando en cada P.O. se obtiene:

P.O. 1:

P.O.2:

'

'

(

)

*

*

+

,

&&"

m

b

l

gJ10

1

''(

)

**+

,

&" m

b

l

gJ

10

1 $ ''(

)

**+

,

&"& m

b

l

gJ

10

1 $


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Sistemas 357

Es posible evaluar los valores propios como:

P.O. 1

reales diferentes

P.O. 2

complejas conjugadas

reales iguales reales distintas

l

g

m

b

m

b 4

2

1

2

2

2,1 #23

456

7-&""

l

g

m

b

m

b 4

2

1

2

2

2,1 &23

456

7-&""

04

2

8&23

456

7l

g

m

b

0

42

"&23

4

56

7l

g

m

b

0

42

9&23

4

56

7l

g

m

b


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Sistemas 358

Esto se puede graficar en el plano Traza-Determinante

g/l(determinante)

b/m (traza)

04

2

8&23

456

7l

g

m

b

04

2

9&2

3

45

6

7

l

g

m

b

04

2

"&234567 l

g

m

b

0


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Sistemas 359

.

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