El ahorro, la acumulación de capital y la producción

CAPÍTULO 11

Las relación entre la producción y el capital

En el modelo simplificado ,en el largo plazo la producción esta determinada por dos relaciones:

• La cantidad de capital determina la cantidad de producción• La cantidad de producción la cantidad de ahorro y a su vez la cantidad

de capital que se acumula en el tiempo.

STOCK DE CAPITAL

PRODUCCION

AHORRO / INVERSIONVARIACION DEL STOCK DE CAPITAL

Los efectos del capital en la producción

• Suponiendo rendimientos constantes a escala Y= F(K, N) puede expresarse como:

• Suponemos además que el capital muestra rendimientos decrecientes por lo que el efecto de un aumento de K en Y/N disminuye a medida que K/N aumenta:

• Para simplificar la notación la relación la expresaremos así:

• k

La producción y la inversiónSabemos que en una economía cerrada: • Y = C + I + G …..(1)• S = Y - T- C , de donde Y = S + C + T …. (2)• Sustituyendo (2) en (1).• S+C+ T = C+ I + GEliminando C en ambos lados: S + T = I + G Despejando I : I = S + (T-G)Si el ahorro público es igual a cero, es decir si T=G entonces: I = S La inversión es igual al ahorro privadoSi suponemos que el ahorro privado es proporcional al ingreso.S = sY donde s es la tasa de ahorro con valor entre 0 y 1Como I = S; sustituyendo sY en S tenemos: It = sYt

• Cuanto mayor es la producción (Y) mayor es el ahorro (S = sY) y, por tanto

mayor la inversión (I = sY)

La inversión y la acumulación de capital

• Desde el punto de vista de la producción el capital determina la producción.

• Desde el punto de vista del ahorro, la producción determina la acumulación de capital

• La inversión por trabajador sƒ(Kt /N), significa que el nivel de capital existente este año determina la producción por trabajador de este año.

Variación del stock de capital por

trabajador entre el tiempo t y t +1

Inversión por trabajador durante el tiempo t

Depreciación del capital durante el tiempo t

= -

• Dada la tasa de ahorro (s); Y/N determina la cantidad de ahorro (S) por trabajador, pues S = s(Y/N)

• La depreciación por trabajador de este año δ(Kt /N) esta determinada por la el stock de capital

• Si la inversión por trabajador es mayor que la depreciación por trabajador, es decir, si:

sƒ(Kt /N) > δ(Kt /N) (K⇒ t+1 /N - Kt /N) > 0

Ello significa que el capital por trabajador aumenta:Pero, si: sƒ(Kt /N) < δ(Kt /N) (K⇒ t+1 /N - Kt /N) < 0

En este caso el capital por trabajador disminuye

La dinámica del cápita y la producciónƒ(Kt /N) = producción por trabajador (Yt /N =ƒ(Kt /N): • La producción por trabajador aumenta con el capital

por trabajador a una tasa decreciente. sƒ(Kt /N)= Inversión por trabajador:

• (Recuérdese que s(Yt /N) = sƒ(Kt /N). Tiene la misma forma que la función de producción, con la salvedad que es menor en una proporción ‘s’.

δ(Kt /N)= Depreciación por trabajador:• Es una línea recta. Ya que la depreciación aumenta en

proporción al capital por trabajador. La línea recta tiene pendiente δ

• Cuando el capital y la producción son bajos, la inversión es superior a la depreciación, por lo que el capital aumenta.

• Cuando el capital y la producción son altos, la inversión es menor a la depreciación, por lo que el capital disminuye

Capital por trabajador, K/N

Prod

ucci

ón p

or tr

abaj

ador

, Y/N

La dinámica del cápita y la producción

• La variación del capital por trabajador (Kt+1 /N - Kt /N) es igual a la diferencia entre la inversión por trabajador sƒ(Kt /N) y la depreciación por trabajador δ(Kt /N).

En K0 /N : sƒ(Kt /N) > δ(Kt /N)• En este caso la acumulación de capital por trabajador

aumenta.• Y como la producción depende positivamente de la

cantidad de capital, entonces Yt /N, también aumenta.• La inversión por trabajador sigue aumentando hasta que

iguala la depreciación por trabajador. Punto E del gráfico.• En E la economía alcanza el nivel K*/N y Y*/N que son los

niveles de equilibrio de largo plazo.

El Capital y la Producción en el Estado Estacionario

• El estado en el que la producción y el capital por trabajador ya no varían se denomina estado estacionario de la economía.

• Es decir, si (Kt+1 /N) - (Kt / N) = 0 (Ya no varia):

• 0 = sƒ(Kt /N) - δ(Kt /N) sƒ(K⇒ t /N) = δ(Kt /N)• La inversión por trabajador es suficiente para cubrir la

depreciación del stock de capital por trabajador.• De esta manera en el estado estacionario la producción

por trabajador (Y*/N) se determina por la cantidad por trabajador (K*/N). L función resultante es:

La tasa de ahorro y la producciónLa tasa de ahorro no influye en la tasa de crecimiento de la producción por

trabajador a largo plazo. ¿Por qué?• Sabemos que para mantener una tasa constante de crecimiento de Y/N en

el largo plazo K/N debe aumentar.• Pero además, sabemos que para mantener el crecimiento constante K/N

debe crecer cada vez más debido a los rendimientos decrecientes del capital.

• Para aumentar el capital a un ritmo cada vez más alto la sociedad tendría que ahorrar una proporción cada vez mayor de la producción para destinarla a la inversión de capital.

• Así llegaría un momento en que la tasa de ahorro (s) tendría que ser mayor que uno, lo que es claramente imposible.

• Sin embargo, la tasa de ahorro si determina Y/N a largo plazo. Países con una tasa de ahorro más alta consiguen una Y/N más alta.

• Suponemos dos países con la misma función de producción, el mismo nivel de empleo y la misma tasa de depreciación.

• Los países solo difieren en su tasa de ahorro.

País 0: s = s0

País 1: s = s1

• El país 1. Alcanza su estado de equilibrio estacionario en A, donde s0 ƒ(Kt /N) =δ(Kt /N) y Y0 /N se determina por K0/N

• El país 2 alcanza el equilibrio en B, donde s1ƒ(Kt

/N) =δ(Kt /N) y Y1/N se determina por K1/N.

Capital por trabajador, K/N

Prod

ucci

ón p

or tr

abaj

ador

, Y/N

Efectos de un aumento de la tasa de ahorro en la producción por trabajador

• Un aumento de la tasa de ahorro da lugar a un periodo de crecimiento mayor hasta que la producción alcanza su nuevo nivel mas alto en el estado estacionario

Prod

ucci

ón p

or tr

abaj

ador

, Y/N

Tiempot

Correspondiente a una tasa de ahorro s0

Correspondiente a una tasa de ahorro s1>s0

Efectos de un aumento de la tasa de ahorro en Y/N con progreso tecnológico

• Un aumento de la tasa de ahorro da lugar a un periodo de crecimiento mayor hasta que la producción alcanza una nueva senda mas altaPr

oduc

ción

por

trab

ajad

or, Y

/N(e

scal

a lo

garít

mic

a)

Tiempot

Correspondiente a una tasa de ahorro s0

Correspondiente a una tasa de ahorro s1>s0

La tasa de ahorro y el consumo

¿Cual es el ahorro al que deben aspirar los gobiernos?

• Parar ello debemos fijar nos en el consumo• Una variación en s, no influye en K en ese año,

no influye en Y• Va acompañada de una disminución en el

consumo

• En una economía s=0, donde K=0Para Y=0⟹ C=0 es decir si s=0 ⟹ C=0 en el largo plazo.• En una economia s=1, la gente ahorra todo su ingresoK, Y son elevados, pero C=0• Ocurre que la economia tiene un exceso de K y hay que

dedicar toda la producción para sustituir 𝜹• El nivel de capital debe corresponder al valor de s que

maximice el consumo ( nivel de capital de la regla de oro)

Efectos de la tasa de ahorro en C/N en el estado estacionario

• Un aumento en la tasa de ahorro provoca un aumento y después una disminución en el C/N en estado estacionario

Cons

umo

por t

raba

jado

r, C/

N

Tasa de ahorro, ssg

Consumo máximo por trabajador en el estado estacionario

Una ilustración de los ordenes de magnitud

• ¿Cuanto afecta una Δs a Y en el largo plazo?• ¿Cómo afecta tal variación al crecimiento?Suponiendo que f(Y)

La función muestra: • Rendimientos constantes a escala• Rendimientos decrecientes de los factores

Dividiendo entre N

La f(Y) que relaciona Y/N y K/N esta dada por:

Sustituyendo en

Que describe la evolución de K/N.

Los efectos de la tasa de ahorro en la producción en el estado estacionario

• ¿Cuanto afecta una Δs a Y/N en el estado estacionario?

En el estado estacionario ΔK/N=0

Elevando al cuadrado la ecuación:

Dividiendo ambos lados por K/N y reordenando:

• A partir de y obtenemos :

Lo que implica queΔs, 𝛻𝜹⟹Δ(K/N)⟹Δ (Y/N)Ejemplo:𝜹= 10%s= 10%K/N=1Y/N=1Suponiendo que Δs=10%, es decir s=20%Se deduce que en estado estacionario K/N =4 y

Y/N= 2Por lo tanto si se duplica s, a largo plazo, se duplica Y

Efectos dinámicos de un aumento de la tasa de ahorro

• ¿Cuanto tarda un la producción en alcanzar el nuevo nivel estacionario?

• Suponiendo que s=10%, aumenta en el año 0 a 20% y se mantiene indefinidamente

• En el año 0 no ocurre nada con el stock de capital

• Por lo tanto, K/N permanece igual al valor del estado estacionario de s=10%

En el año 1, la ecuación indica:Con 𝜹=10% y s=20%, que implica:

por lo que:

Panel A: Se representa Y/N en relación al tiempo

• Y/N aumenta con el paso del tiempo del valor inicial 1, en el año 0, a 2 en el estado estacionario de largo plazo

Panel B: representa la tasa de crecimiento de Y/N en relación al tiempo

• El crecimiento de Y/N es el máximo al principio y disminuye con el tiempo

• Cuando llega al estado estacionario Y/N=0

0 10 20 30 40 50Años

1.75

1.50

1.25

1.00

Prod

ucci

ón p

or tr

abaj

ador

, Y/N

2.00

A. Efecto en el nivel de Producción por trabajador

0 10 20 30 40 50Años

3

2

1

1.00

Prod

ucci

ón p

or tr

abaj

ador

, Y/N

4

B. Efecto en crecimiento de la Producción5

La tasa de crecimiento y la regla de oro

• En estado estacionario:

• Sustituyendo (Y/N), (K/N):

• El consumo alcanza su valor máximo en estado estacionario cuando s=50%

• K corresponde a la regla de oro cuando s=50% Por de bajo de ese nivel, Δs⟹ΔC/NPor de encima de ese nivel, Δs⟹𝛻C/N• Pocas economías tienen un nivel de ahorro mayor de 35%• En Estados Unidos es de 18% desde1950• Δs⟹ΔY/N Δs⟹ΔC/N en el largo plazo

• El capital humano (H) ha aumentado tanto como el cápita físico (K) en los últimos dos siglos

Al principio de la Revolución Industrial:• 30% de la población de la OCDE sabia leer.

Actualmente es mas del 95%• La escolaridad no era obligatoria. Hoy hay una

escolaridad mínima de 16 año en la OCDE

Extensión de f(Y)

• Incorporan H a f(Y):

• Y/N depende tanto del capital por trabajador (K/N), como del capital humano por trabajador (H/N)

• Ambos factores tienen un efecto positivo en Y/N• ¿Como cambia el análisis la introducción de

H/N?

El capital humano, el capital físico y la producción

• Sabemos que:Δs⟹ΔK/N⟹ΔY/N• Esta conclusión se puede extender a H/NΔh⟹ΔK/N⟹ΔY/N• Donde h= “ahorro” social de capital humano por

medio de la educación y la formación en el trabajo.

• Eleva el H/N en el estado estacionario, lo que aumenta Y/N

• En el largo plazo Y/N depende de cuanto se ahorre y de cuanto se invierta en educación

• En España, el gasto educativo es de 5.5% del PIB• En México en educación para el año 2011 es de

6.47% del PIB.• Sin embargo el verdadero costo de oportunidad

del gato educativo se relaciona con la educación superior y con la investigación.

• Por otra parte la depreciación de K es mayor que la de H

Crecimiento endógeno

• El crecimiento depende de la acumulación del K y H

• El nivel de la tasa de progreso tecnológico limita la tasa de crecimiento

• El progreso tecnológico implica que se amplié el limite de crecimiento de la economía una vez alcanzado el estado estacionario

La función Cobb-Douglas y el estado estacionario

• Charles Cobb y Paul Douglas formularon esta función (1928), que describe la producción atreves de dos factores: cápita (K) y trabajo (N)

• Se le conoce como la función de producción tipo Cobb-Douglas

• Pa encontrar el ahorro por trabajador la función se divide entre N

• Utilizado las propiedades de las potencias

• Sustituyendo en f(Y)

• La producción por trabajador Y/N es igual a el capital por trabajador elevado a la potencia α

• El ahorro por trabajador es igual a la tasa de ahorro multiplicada por la producción por trabajador

• La depreciación por trabajador es igual a la tasa de depreciación multiplicada por el capital por trabajador

• El nivel de capital en estado estacionario K*es determinado por la igualdad de la depreciación y el ahorro

• Para encontrar K*/N, dividimos la ecuacion entre (K*/)α

• Asi mismo se divide entre 𝜹 y ordenando• Finalmente se eleva a la potencia 1/(1-α)• De esta manera se obtiene el nivel de capital por trabajador en el estado estacionario

• De acuerdo con la función de producción que corresponde al estado estacionario es:

• Si α=0.5 significa que

• La producción es igual al cociente entre la tasa de ahorro y la tasa de depreciación

• Una duplicación de la tasa de ahorro implica una duplicación de la producción por trabajador en el estado estacionario.