8/18/2019 Cap 2 Transferencia de Calor

1/4

2. ECUACIÓN DE LA CONDUCCIÓN DE CALOR

la transferencia de calor tiene dirección y magnitud, La razón de latransferencia de calor por conducción en una dirección especíca esproporcional al gradiente de temperatura, el cual es la razón del cambio dela temperatura con respecto a la distancia, en esa dirección.

La transferencia de calor en un medio es tridimensional y depende del tiempo,la temperatura varía con el tiempo y la posición T=T  ( x , y , z , t ).Cuando la temperatura no varía con el tiempo es estacionario  o estable,cuando la temperatura varía con el tiempo es no estacionaria o transitoria.

2-1 INTRODUCCIÓN:

un cuando la transferencia de calor y la te!erat"raest!n íntimamente relacionadas, son #e nat"rale$a#iferente. diferencia de la temperatura, latransferencia de calor tiene dirección, así como ma"nitudy, por lo tanto, es una cantidad vectorial.

La f"er$a i!"lsora  para cual#uier forma detransferencia de calor es la diferencia de temperatura

la notación T ( x ,  y ,  z , t ) implica #ue la temperatura varíacon las variables espaciales  x ,  y y  z , así como con eltiempo. $or otra parte, la notación T ( x ) indica #ue latemperatura varía sólo en la dirección  x y no se tienevariación con las otras dos coordenadas espaciales o conel tiempo.

Transferencia #e calorestacionaria en

co!araci%n con latransferencia transitoria

%l t&rminoestacionario implica #ue no hay cambio con el tie!o encual#uier punto dentro del medio, en tanto #ue transitorioimplica variación con el tiempo o dependencia conrespecto al tiempo.%n el caso especial de variación con el tiempo, pero no con laposición, la temperatura del medio cambia uniformementecon el tiempo. Los sistemas con una transferencia de calor deeste tipo se llaman sisteas #e !ar&etros concentra#oso de resistencia interna despreciable.

La mayoría de los problemas de transferencia de calor #ue seencuentran en la pr!ctica son de naturaleza transitoria, pero suelen analizarseba'o condiciones #ue se suponen estacionarias, ya #ue los procesosestacionarios son m!s f!ciles de analizar y suministran respuestas a nuestraspre"untas.

Transferencia #e calor "lti#iensional

Los problemas de transferencia de calor tambi&n se clasican comounidimensionales' bidimensionales o tridimensionales' %n el caso m!s"eneral la transferencia de calor a trav&s de un medio es tri#iensional.

8/18/2019 Cap 2 Transferencia de Calor

2/4

la distribución de temperatura se epresa como T  ( x , y , z , t ),T   (r , f,  z , t ) y T   (r , f, u, t ), en los respectivos sistemas decoordenadas.ley #e (o"rier #e la con#"cci%n #e calor:

Q́cond=−kA dT 

dx (W )

onde k  es la conductividad térmica del material, #ue esuna medida de la capacidad del material para conducir elcalor y dT )dx  es el gradiente de temperatura.

considerando un sistema de distribución de temperaturatridimensional. %l vector de *u'o de calor en un punto P sobreesta supercie debe ser perpendicular a ella y debe apuntaren la dirección de la temperatura decreciente. +i n es lanormal a la supercie isot&rmica en el punto P, la razónde la conducción de calor en ese punto se puede epresar porla ley de ourier como-

Q́ n=−kA ∂ T ∂n

%n coordenadas rectan"ulares-

Q́ n=  Q́x  ⃗i+  Q́y  ⃗ j+  Q́z  ⃗k 

inalmente-

Q́ x=−kAx ∂ T 

∂ x , Q́ y=−kAy

 ∂ T 

∂ y ,  Q́ z=−kAz

 ∂T 

∂ z

La mayor parte de los materiales de in"eniería son denat"rale$a isotrópica  y, por lo tanto, tienen las isas!ro!ie#a#es en to#as #irecciones' en los materiales

anisotrópicos, como los brosos o compuestos, las propiedades puedencambiar con la dirección.

*eneraci%n #e calor

%n un medio a trav&s del cual se transere calor puede tenerse la conversión deener"ía mec!nica, el&ctrica, nuclear o #uímica en calor (o ener"ía t&rmica). %nel an!lisis de la conducción de calor, esos procesos de conversión soncaracterizados como +eneraci%n #e calor ,o de ener+a trica/.

la "eneración de calor es un fenómeno volumétrico. %s decir,

ocurre en todo el medio. $or lo tanto, la razón de "eneraciónde calor en un medio suele especicarse  por unidad de

volumen y se denota por é   "en, cuya unidad es el /m0  o

1tu/2 3 f t0

ecuación de "eneración de calor-

´ E gen=∫v

égen dV (W )

la "eneración de calor se epresa por unidad de volumen, en /cm0 o 1tu/2 3 ft0, en tanto

#ue el *u'o de calor se epresa por unidad de !rea supercial, en /cm4 o 1tu/2 3 ft4.

ECUACIÓN *ENERAL DE CONDUCCIÓN DE CALOR

Coor#ena#as rectan+"lares:

8/18/2019 Cap 2 Transferencia de Calor

3/4

∂

∂ x (k  ∂T 

∂ x )+  ∂

∂ y (k  ∂ T 

∂ y )+  ∂

∂ z (k  ∂ T 

∂ z )+ égen= ρc ∂ T 

∂ t 

∂

2

T ∂ x2 + ∂

2

T ∂ y2 + ∂

2

T ∂ z2 + égen=

1

α  ∂ T ∂t 

la propiedad α =k / ρc  es la difusividad térmica del material.

Coor#ena#as ciln#ricas:

 x=rcos∅ , y=rsen∅ , z= z

1

r

∂

∂ r (kr ∂ T 

∂r )+ 1

r2

∂

∂∅ (kr ∂ T 

∂∅ )+  ∂

∂ z (k  ∂ T 

∂ z )+ égen= ρc ∂ T 

∂ t 

Coor#ena#as esfricas: x=rcos∅ senθ, y=rsen∅senθ , z=cosθ

1

r2

∂

∂ r (k r2 ∂ T ∂ r )+  1

r2

sen2

θ

∂

∂∅ (kr ∂ T ∂∅ )+  1

r2

senθ

∂

∂ θ (ksenθ ∂ T ∂ z )+égen= ρc ∂ T ∂ t 

CONDICIONE0 DE (RONTERA E INICIALE0

1. Con#ici%n #e frontera #e te!erat"ra es!ecca.

8/18/2019 Cap 2 Transferencia de Calor

4/4

La temperatura de una supercie epuesta suele sermensurable directamente y con facilidad.

2. Con#ici%n #e frontera #e "3o es!ecco #e calor

Cuando eiste información suciente acerca de lasinteracciones de ener"ía en una supercie, puede serposible determinar la velocidad de transferencia de calor y,por lo tanto, el ujo de calor , q · (velocidad de transferencia

de calor por unidad de !rea supercial, /m4), sobre esasupercie, y se puede usar esta información como una delas condiciones en la frontera.

0. Condiciones de frontera de convección.

%s probable #ue la convección sea la condición defrontera m!s com5n encontrada en la pr!ctica.