� Definición sólido rígido

› Se define como sólido rígido a todo cuerpo que no presenta deformaciones al ser sometido a cualquier combinación de fuerzas

› Se destaca que tal consideración es una aproximación. Realmente todos los cuerpos son deformables, en mayor en menor medida, dependiendo de los materiales y las solicitaciones a la que son sometidos.

� Fuerzas que actúan sobre un sólido rígido› 1) Fuerzas externas:

representan la acción de otros cuerpos sobre el sólido rígido considerado. Son las responsables del estado de movimiento o equilibrio del componente bajo estudio

› 2) Fuerzas internas: son las que mantiene unidas las partículas que conforman el cuerpo bajo estudio. Si el sólido está compuesto por varias partes, las fuerzas que las mantienen unidas también son consideradas como internas.

� Principio de

transmisibilidad:

› “Las condiciones de

equilibrio o de movimiento de

un sólido rígido se

mantendrán inalteradas si

una fuerza F que actúa en un

punto dado del sólido se

sustituye por una fuerza F´

de igual módulo, dirección y

sentido, pero que actúa en

un punto diferente, siempre

que las dos fuerzas tengan la

misma recta soporte”

� Limitaciones principio

transmisibilidad:

› P1 y P2 iguales y opuestas

› Primer caso: la barra AB se

encuentra sometida a esfuerzos

internos de tracción

› Segundo caso: barra AB se

encuentra sometida compresión

› Por lo tanto el principio puede

usarse para establecer

condiciones de equilibrio en

sólidos rígidos, pero no para

evaluar esfuerzos internos.

� Producto vectorial

› El producto vectorial de dos

vectores P y Q, se define

como el vector V, que

cumple:

� La recta soporte de V es

perpendicular al plano que

contiene a P y Q

� El módulo de V es igual al

producto de los módulos de P y

Q, multiplicado por el seno del

ángulo que forman

� La dirección es la que surge de

aplicar la regla de la mano

derecha

� Producto vectorial

› Gráficamente:

› Regla de la mano de derecha

aplicada en este caso

� Propiedades producto

vectorial:

› Si dos vectores P y Q tienen

la misma dirección, su

producto vectorial es nulo

› El producto vectorial no es

conmutativo, cumpliéndose

la siguiente igualdad

› El producto vectorial

presenta la propiedad

distributiva

� Propiedades producto

vectorial:

› La propiedad asociativa no

es aplicable

› Productos vectoriales de

componentes rectangulares

unitarias

� Momento de una fuerza

respecto a un punto

› Se observa que el módulo

del momento mide la

tendencia de la fuerza F a

imprimir al sólido rígido una

rotación alrededor de un eje

dirigido según MO

� Sistema de fuerzas

equivalentes

› Dos fuerzas F y F´ son

equivalentes (es decir,

producen el mismo efecto

sobre un sólido rígido), si y

sólo si son iguales (tienen

mismo módulo, dirección y

sentido), y sus momentos

respecto a un punto dado O

son también iguales.

� Momento de una fuerza

respecto a un eje

� Significado físico de

momento respecto a un eje

› El momento de F respecto al

eje OL mide la tendencia de

la fuerza F a imprimir al

sólido rígido una rotación

alrededor del eje OL

� Momento de un par de

fuerzas

› Dos fuerzas que tienen igual

módulo, rectas soporte

paralelas y sentidos

opuestos se dice que forman

un par.

› Como las suma de las

componentes de la fuerzas

en todas las direcciones es

cero, no se produce

traslación alguna.

› El momento respecto a un

punto dado no es nulo, por lo

que inducen a una rotación

del sólido rígido.

� Momento del par de fuerzas

› Considerando la suma de

momentos respecto a O:

› El vector M se denomina el

momento del par

� Observaciones:

› Al ser el vector r

independiente del punto O,

se observa que se hubiera

llegado al mismo resultado si

se hubieran tomados

momentos respecto a otro

punto cualquiera. Por lo tanto

el momento de un par es un

vector libre que puede

aplicarse en cualquier punto

� Equivalencia entre los pares

› Dos sistemas de fuerzas son

equivalentes, si pueden

transformarse el uno en el otro

mediante las siguientes

operaciones:

1. Sustituyendo dos fuerzas que

actúan en una partícula por su

resultante

2. Descomponiendo una fuerza en

componentes

3. Anulando fuerzas iguales y

opuestas que actúan sobre una

partícula

4. Aplicando a una partícula dos

fuerzas iguales y opuestas

5. Moviendo una fuerza a lo largo de

su recta soporte

� Proposición: caso coplanar

› Dos pares que tienen el

mismo momento M, son

necesariamente equivalentes

� Proposición: caso en

distintos planos

� Suma de pares

› Consideremos dos pares,

contenidos en planos P1 y

P2.

› r se define como el vector

que une B con A.

� Suma de pares

› Calculando el momento

respecto al punto B:

› El primer término

corresponde al par contenido

en P1

› El segundo término

corresponde al par contenido

en P2

› Se establece que la suma de

dos pares de momento M1 y

M2, corresponde a una suma

vectorial de M1 y M2

� Representación de pares mediante vectores

› Recordemos que pares con igual momento, que actúen en un mismo

plano o planos paralelos, son equivalentes

› No es necesario representar en el diagrama las fuerzas que forman el

par, siendo suficiente establecer el módulo, la dirección y el sentido del

momento M del par

› Adicionalmente sabemos que la suma de dos pares, es otro par de

momento igual a la suma vectorial de los pares iniciales

› Por lo tanto los pares pueden ser tratados como vectores, pudiéndose a

su vez descomponer el mismo en coordenadas adecuadas

� Descomposición de una fuerza en una fuerza en O y un par

› Se considera una fuerza F, aplicada en el punto de un sólido rígido

› A fin de trasladar la fuerza F aplicada en A al punto O, se procede de

la siguiente manera:

� En el punto O se agregan dos fuerzas, iguales y opuestas (F y –F), las cuales

no modifican el estado de movimiento o reposo, por anularse mutuamente.

� Se observa que las fuerzas –F y F forman un par, el cual puede representarse

mediante un vector Mo

� Al haber elegido el punto O arbitrariamente, se deduce que cualquier fuerza

aplicada en un punto, puede ser reemplaza por una fuerza igual, aplicada en

otro punto, más un momento que sea igual el momento de la fuerza A respecto

al punto O.

� Ejemplo de aplicación

› Hallar las componentes del

par único que equivale a los

pares de la fuigra:

› Agregando dos fuerzas en A,

que sean iguales y opuestas,

llegamos al sistema de

fuerzas indicado en la figura

siguiente.

Observando que las fuerzas forman

tres pares, en planos perpendiculares

a los ejes ordenados, se llega al

resultado indicado

� Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par

› Consideremos el sólido de la figura, sobre el cual un conjunto de fuerzas Fi se aplica

sobre los correspondientes punto Ai.

› Como se ha visto antes, cada una de las fuerzas Fi puede sustituirse por una fuerza

en O, más un determinado par (que depende de la fuerza y la distancia entre el punto

de aplicación y el punto O). Tal situación está indicada en el segundo gráfico de la

figura anterior.

› Al llegar al caso en que todas las fuerzas son concurrentes al punto O, las mismas

pueden ser sumadas directamente, obteniendo la resultante R. Un procedimiento

análogo puede hacerse con los pares, calculando el vector del par resultante.

› Luego de finalizadas estas operaciones, puede observarse que se llega a un sistema

fuerza-par, el cual está definido por las siguientes ecuaciones:

� Sistemas equivalentes de fuerzas

› “Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si pueden reducirse al

mismo sistema fuerza-par en un punto dado O.”

› “Dos sistemas de fuerzas, que actúan sobre un sólido rígido son

equivalentes si, y sólo si, las sumas de las fuerzas y las sumas de los

momentos respecto a un punto dado O de las fuerzas de los dos

sistemas son iguales.”

› Expresando esta condición en ecuaciones vectoriales:

› Se destaca que para demostrar la equivalencia entre dos sistemas,

necesita establecerse la segunda ecuación indicada en la figura

anterior respecto a un solo punto. Si los dos sistemas son

equivalentes se cumplirá para todo punto del rígido

� Sistemas equivalentes de fuerzas

› Descomponiendo según coordenadas las ecuaciones vectoriales

presentadas anteriormente, se llega a:

› Las cuales expresan que los sistemas de fuerzas son equivalentes si

tienden a imprimir al sólido rígido 1) la misma traslación en las

direcciones x,y,z, como también 2) la misma rotación según los ejes

x,y,z

› En general cuando dos sistemas de vectores cumplen las igualdades

antes indicadas, o sea, cuando sus resultantes y sus momentos

resultantes respecto a un mismo punto O son respectivamente iguales,

de ellos se dice que son equipolentes. Por lo tanto, si dos sistemas de

fuerzas que actúan sobre un sólido rígido son equipolentes, son

asimismo equivalentes.

� Estudiaremos a continuación casos en que un sistema dado de

fuerzas puede reducirse a una fuerza única (2D):› Caso 1: Si las fuerzas coplanares son concurrentes, es posible sumarlas directamente

(vectorialmente), para obtener su resultante. Por lo tanto siempre es posible llegar a la

representación del sistema por una fuerza única

› Caso 2: Si las fuerzas coplanares no son concurrentes, igualmente sabemos que su

resultante estará contenida en el mismo plano. Y todos los momentos (individuales y

resultantes), serán perpendiculares al plano de trabajo. Por lo tanto inicialmente se

llegaría al sistema indicado en la figura (b). Luego la resultante R puede desplazarse a

una determinada distancia del punto O, a fin de obtener un sistema equivalente al (b), el

cual está indicado gráficamente en (c).